一次函数与几何问题综合、一次函数与实际应用问题综合专项训练-2025-2026学年人教版八年级数学下册

一次函数与几何问题综合、一次函数与实际应用问题综合专项训练 一次函数与几何问题综合、一次函数与实际应用问题综合专项训练 考点目录 一次函数与几何问题综合 一次函数与实际应用问题综合 考点一 一次函数与几何问题综合 例1．（2026·天津红桥·一模）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B，C在第一象限，且，． (1)填空：如图①，点C的坐标为________，点B的坐标为________； (2)若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点落在x轴的正半轴上．设． ①如图②，若直线l与边相交于点D，与边相交于点E，点A的对应点为，点C的对应点为，当折叠后五边形与重叠部分为四边形时，与相交于点F．试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）过点C作轴于D，可通过解直角三角形求出点的横、纵坐标；根据平行四边形对边平行且相等的性质，可由点的坐标推出点的坐标． （2）①因为，所以先确定的坐标；再求出直线和直线的解析式，联立解析式得到交点的坐标，再结合点的坐标计算；因为重叠部分为四边形，所以根据图形位置确定的取值范围．②先分析该范围内重叠部分图形的形状，结合（2）①的结论，利用面积公式表示出关于的函数；再根据函数的性质，求出在给定范围内的最值． 【详解】（1）过点C作轴于D， ，， ， ∵， ∴点D与点A重合， ∴， 。 ∵四边形是平行四边形， ，的纵坐标和相等，横坐标为 ， ． （2）① 由折叠性质得 ，， ， ∴ ， ， 设直线的解析式为，把 ， ，代入得，解得， ∴直线的解析式为 ， 同理可得直线的解析式为， 联立和的方程得交点 ， ∴ ． 直线与、相交，且重叠部分为四边形时，（，且l在右侧、左侧）． (2) ② 当 时，过点F作 ， ∵直线与直线平行且经过原点， ∴直线解析式为， 由题意可得 ， ， ， ∴可得直线的解析式为， 联立和的方程得交点 ， ∴ ， ∴面积 ， 此时开口向下，对称轴是直线，此时S随着t的增大而增大， 故最大值在处，；最小值在端点处，； 当 时，重叠部分是四边形，过点F作 ， 同理可知 ， ， ， ， ， 面积 ， 此时开口向下，对称轴是直线，此时S随着t的增大而减小， 时，； 时，； 故此时，； 当时，重叠部分是三角形， 同理可知 ， ， ， ​，最小值在时为； ∴的范围是． 例2．（25-26八年级下·广东深圳·期中）阅读材料： 在数轴上，表示一个点：在平面直角坐标系中，表示一条直线：以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数的图象，它也是一条直线． 如图1，在平面直角坐标系中，不等式表示一个平面区域，即直线及其左侧的部分：如图2，不等式也表示一个平面区域，即直线及其下方的部分． 请根据以上材料回答问题： (1)图3阴影部分（含边界）表示的是______（填写不等式）表示的平面区域； (2)如图4，请求出表示阴影部分平面区域（含边界）的不等式组； (3)如图5，点A在x轴上，点B的坐标为，且，点P为内部一点（含边界），过点P分别作，，，垂足分别为C，D，E，若，则所有点P组成的平面区域的面积为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出经过，的直线为，可得图3阴影部分（含边界）表示的是表示的平面区域； （2）用待定系数法求出直线解析式为，直线解析式为，即得阴影部分平面区域（含边界）的不等式组为； （3）作的平分线交于，的平分线交于，的平分线交于，，，交于，过点作分别交于点， 满足条件的在内（包括边界），再求出，列方程求得，用三角形面积公式可得答案． 【详解】（1）解：设经过，的直线为， ， 解得， 经过，的直线为， 观察图象可知，图3阴影部分（含边界）表示的是表示的平面区域； （2）解：设直线解析式为， 把代入得：， 解得， 直线解析式为， 设直线解析式为， 将代入得：， 解得， 直线解析式为， 观察图象可知，阴影部分平面区域（含边界）的不等式组为； （3）解：如图，作的平分线交于，的平分线交于，的平分线交于，，，交于，过点作分别交于点， 则可得， 题中需要， 满足条件的在内（包括边界），即图中阴影部分， 在中，， 设，则， 根据勾股定理可得， 解得（负数舍去）， ． ， ，， 设，则， ， ， 解得， ． 即所有点P组成的平面区域的面积为． 例3．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与直线交于点． (1)点坐标为___________，点坐标为___________． (2)将直线向下平移1个单位长度，交直线于，交轴于，求四边形的面积． (3)若点为线段上一动点，在平面内是否存在点，使得以为顶点，且以为一边的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）令，求解即得到直线与x轴交点A的坐标；联立两个一次函数解析式即可得到其交点P的坐标； （2）先求出平移后的直线表达式，再求出交点的坐标以及的坐标，最后根据四边形的面积求解即可； （3）分两种情况讨论，将菱形的存在性问题转化为等腰三角形的存在性问题，结合菱形的性质以及中点坐标公式即可求解． 【详解】（1）解：直线与x轴交于点A， 令，则， 解得， 点的坐标为， 直线与直线交于点P 令， 解得， ， 点的坐标为； （2）解：如图， 由题意得，直线 当时，，解得 联立直线和直线表达式得，， 解得， ∴， ∵四边形的面积 ∴四边形的面积 （3）解：存在，设点C的坐标为，设D点坐标为   当时，连接，对角线、交于点G， 四边形为菱形， 、互相垂直平分， 为、的中点， ， ， ， 整理得，， 则 解得或（舍）， ， 点G坐标为，即 中点坐标为， ， ， D点的坐标为； 当时，连接对角线、交于点H， 四边形为菱形， 、互相垂直平分， 为、的中点， ， ， ， 整理得， 解得或， （舍去）或， ∴的中点 中点坐标为， ， ， 点的坐标为， 综上可知，D点坐标为或． 变式1．（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，． (1)①作图：经过点画出的垂线，垂足为， ②直接写出的长度； (2)与轴交于点，请求出点的坐标； (3)动点从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动，同时动点从点出发以每秒个单位长度的速度向上运动，设运动时间为秒，运动过程中射线和射线交于点．若三角形的面积等于，求出的值． 【答案】(1)①图见解析；② (2) (3) 【分析】（1）①根据垂线定义作图即可；②先利用割补法求出的面积，结合，由即可求解； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，令解析式中，计算出对应的值，即可得出点的坐标； （3）先根据动点的运动速度和时间，分别表示出、两点的坐标；再用待定系数法分别求出直线和直线的解析式，求出的取值范围，依题意作出图形，联立两个解析式解方程组，得到交点的坐标；利用为水平线段的特点，以为底，以点与点的纵坐标差为高，结合三角形面积等于的条件列出关于的方程；最后解方程并验证在射线相交的有效范围内，得到最终的值． 【详解】（1）解：①如图，即为所求； ②如图，在外作矩形方框， ， ∵，， ∴，解得 （2）解：设的解析式为，代入，，得 ， 解得， ∴的解析式为， 令，则， ∴ （3）解：∵ 动点从以每秒个单位向左运动，动点从以每秒 个单位向上运动，运动时间为秒， ∴，， 设直线的解析式为，把、代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，把、代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴当时，射线和射线无交点，故； ∵，， ∴当时，点在上，此时点和点重合，此时， ∵， ∴， ∴， 如图， ∵射线和射线交于点， ∴联立方程得 ， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 满足，且不会使运算中分母为，符合题意． 变式2．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：（）与轴相交于点，与轴相交于点，且与直线：相交于点．点在直线上运动（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线相交于点，连接，，记的面积为，的面积为． (1)若点的横坐标为1． ①求的值； ②如图1，当点与点重合时，直接写出的值； (2)在（1）的条件下，如图2，点在线段上运动（不与点，重合）时，试探究：的值是否是定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；② (2)是， (3) 【分析】（1）①点的横坐标为，且点是直线与直线的交点，可知点的纵坐标为：，把点的坐标代入求出的值； ②先求出，再由三角形面积公式分别求解两个三角形的面积，即可求解比值； （2）由①可知直线的解析式为，根据解析式求出点的坐标，设点的坐标为，可知点的坐标为，把和用含的代数式表示出来，根据两个图形的面积比可以得到； （3）设点的坐标为，则点的坐标为联立直线表达式求出点的坐标为，再分情况讨论，分别表示出，即可求解比值． 【详解】（1）解：①点的横坐标为，且点是直线与直线的交点， 点的纵坐标为：， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：； ②∵直线：（）与轴相交于点， ∴当时， ∴， ∵轴， ∴轴， 当点与点重合时，， 将代入得，， ∴ ∴； （2）解：的值是定值，这个定值为； 理由如下： 由可知直线的解析式为， 当时，可得：， 点的坐标为， ， 设点的坐标为， ∵轴，点在直线：上， ∴点的坐标为， ， ， ， ； 故的值是定值，这个定值为； （3）解：设点的坐标为，则点的坐标为 联立直线表达式可得，， 解得， 点的坐标为， 当点在线段延长线上时， ， ∴ 当点在线段上时， ， ∴同上：； 当点在线段延长线上时， ， ∴． 综上：． 变式3．（25-26八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是． (1)若在第一象限内有一点，使得四边形是平行四边形，则点的坐标为______________． (2)若在直线上有一点，平面内有一点，使得以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形且面积为10，求点的坐标； (3)在（1）的前提下，若直线与平行四边形的边交于一点，与边交于一点，且平行四边形四个顶点到直线的距离和是，求这条直线的解析式． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设出点D的坐标，根据平行四边形的两条对角线的中点的坐标相同列式求解即可； （2）根据平行四边形的性质得到的面积等于以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形的面积的一半，即为5；求出直线的解析式为；可求出，且轴，则；再分两种情况：当点E在点A下方时，，当点E在点A上方时，，据此分别求出点E的纵坐标即可得到答案； （3）过点A、B、C、D分别作直线l的垂线，垂足分别为点H，点G，点E，点F，连接，由平行四边形的性质得到，则可证明，进而可证明，根据平行四边形的性质得到，轴，则可证明，进而可求出；求出，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设点D的坐标为， 由题意，、是对角线， 由平行四边形的两条对角线的中点的坐标相同可得 ， ∴， ∴点D的坐标为； （2）解：∵以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形且面积为10， ∴的面积等于以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形的面积的一半，即为5； 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为； ∵点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， ∴，且轴， ∴； 如图所示，当点E在点A下方时， 则， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴点E的坐标为； 如图所示，当点E在点A上方时， 则， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或； （3）解：如图所示，过点A、B、C、D分别作直线l的垂线，垂足分别为点H，点G，点E，点F，连接， ∴， ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 由（2）得，轴， ∴，轴， ∴， ∴ ∵平行四边形四个顶点到直线的距离和是， ∴， ∴； 在中，当时，，解得， 当时，，解得， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ，即，此时点N的横坐标大于7，不满足点N在上，不符合题意； 当时，，即，此时满足点N在上，点M在上； 综上所述，， ∴直线l的解析式为． 考点二 一次函数与实际应用问题综合 例1．（2026·云南玉溪·一模）新春佳节临近，吉祥灯笼和剪纸窗花等传统春节装饰品相继上市．某校八年级年级组打算采购一批吉祥灯笼和剪纸窗花分发给各班装饰教室．通过市场调研得知：若同时买20个吉祥灯笼和50套剪纸窗花共需1100元，若同时买40个吉祥灯笼和30套剪纸窗花共需1500元． (1)一个吉祥灯笼和一套剪纸窗花的价格分别是多少元？ (2)本次采购打算购买两种物品共60个（套），其中购买吉祥灯笼的数量不少于剪纸窗花的，且不超过剪纸窗花的2倍，怎样购买两种物品最省钱？最少的费用是多少元？ 【答案】(1)一个吉祥灯笼的价格是30元，一套剪纸窗花的价格是10元 (2)购买24个吉祥灯笼，36套剪纸窗花时最省钱，最少费用为1080元 【分析】（1）设一个吉祥灯笼的价格是x元，一套剪纸窗花的价格是y元，列出二元一次方程组即可求解； （2）设购买m个吉祥灯笼，则购买剪纸窗花为套，总费用为w元，列出不等式、一次函数表达式即可求解． 【详解】（1）解：设一个吉祥灯笼的价格是x元，一套剪纸窗花的价格是y元， 由题意得， 解得， ∴一个吉祥灯笼的价格是30元，一套剪纸窗花的价格是10元． （2）解：设购买m个吉祥灯笼，则购买剪纸窗花为套，总费用为w元， 由题意可得：， 解得， 由题意得， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最小值为， 此时，， ∴购买24个吉祥灯笼，36套剪纸窗花时最省钱，最少费用为1080元． 例2．（25-26九年级下·内蒙古通辽·阶段检测）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量与用1440元购买航海模型数量相同． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航海模型数量不多于航空模型数量的2倍，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 【答案】(1)125元；90元 (2)购买航空模型40个，航海模型80个 【分析】（1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，根据用2000元购买航空模型的数量与用1440元购买航海模型数量相同列出方程求解即可； （2）购买航空模型m个，学校花费w元，，则购买航海模型个，先根据航海模型数量不多于航空模型数量的2倍列出不等式求出m的取值范围，再列出w关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元， 根据题意得： 解得， 经检验，是方程的解，也符合题意， ， 答：航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元． （2）解：购买航空模型m个，学校花费w元，则购买航海模型个， ， 解得， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， ∴当时，w取最小值，此时， 答：购买航空模型40个，购买航海模型80个，学校花费最少． 例3．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）某无人机配件销售公司有和两种配件，其进价和售价如表． 种类 A配件 B配件 进价/（元/件） 260 80 售价/（元/件） 300 100 已知该无人机配件销售公司购进配件和配件共件，并全部售出，设购买配件个，本次销售完件配件获得的总利润为元． (1)求关于函数关系式． (2)若配件购进件数不低于配件购进件数的倍，求购进多少件配件时，总利润最大？最大为多少？ 【答案】(1)(，且为整数) (2)购进100件A配件时总利润最大．最大总利润为8000元． 【分析】（1）先分别计算单个A、B配件的利润，再根据A配件的数量，表示出B配件的数量，最后根据总利润=单个利润×数量列出函数关系式，并注明自变量的取值范围． （2）先根据B配件购进件数不低于A配件的2倍列出不等式，求出的取值范围，再结合一次函数的增减性，确定利润最大时的值及最大利润． 【详解】（1）解：配件单件利润：(元) 配件单件利润： (元)． 配件数量： ， ∴ (，且x为整数)． （2）解：， ， ， 中，， 随的增大而增大． 当时，取得最大值．． ∴购进100件A配件时总利润最大．最大总利润为8000元． 变式1．（2026·陕西西安·模拟预测）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度（单位：千米/时）与高架路上每百米车的数量x（单位：辆）的关系如图所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为38千米/时，求该时刻高架路上每百米车的数量． 【答案】(1) (2)21 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入解析式求解即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为， 由题意得，， ∴， ∴y关于x的函数解析式为； （2）当时， 解得 答：该时刻高架路上每百米车的数量为21辆． 变式2．（25-26八年级下·广东深圳·期中）请根据以下素材，完成探究任务． 制定购买方案 购买背景 背景1 巴黎奥运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款吉祥物“弗里吉”钥匙扣样式，网店第一次用850元购进A款钥匙扣20件、B款钥匙扣10件，且每件A比每件B贵5元． 背景2 A款钥匙扣售价为45元/件，B款钥匙扣售价为37元/件，第一次购进的“弗里吉”钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款“弗里吉”钥匙扣共80件（进货价和售价均不变），且进货总价不高于2200元． 信息整理 若A款钥匙扣的进价为元/件，B款钥匙扣的进价为元/件，列表如下： 类别 A款钥匙扣 B款钥匙扣 进货量（件） 20 10 进价（元/件） 售价（元/件） 45 37 单件利润（元/件） ① ② 探究任务 (1)任务1：求A、B两款钥匙扣的进价； (2)任务2：请完成填空：①______，②_____； (3)任务3：根据背景2中的信息，求两款钥匙扣销售利润最大为多少元？ 【答案】(1)A款钥匙扣的进价为30元/件，B款钥匙扣的进价为25元/件 (2)①15；②12 (3)获得的销售利润最大为1080元 【分析】任务1：根据网店第一次用850元购进A款钥匙扣20件、B款钥匙扣10件，且每件A比每件B贵5元列出方程组求解即可； 任务2：根据利润=售价-进价即可求出两款钥匙扣的单件利润； 任务3：设第二次购进A款钥匙扣m件，总利润为w元，则第二次购进B款钥匙扣件，根据总购买费用不超过2200元列出不等式求出m的取值范围，再列出w关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：任务1：由题意得，， 解得， 答：A款钥匙扣的进价为30元/件，B款钥匙扣的进价为25元/件． （2）解：任务2：由任务1可知A款钥匙扣的利润为（元/件），B款钥匙扣的利润为（元/件）； （3）解：任务3：设第二次购进A款钥匙扣m件，总利润为w元，则第二次购进B款钥匙扣件， 由题意得，， 解得， ∵， ∴w随m增大而增大， ∴当时，w有最大值， 将代入得（元）， 所以获得的销售利润最大为1080元． 变式3．（25-26八年级下·陕西西安·期中）人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校计划购买、两种型号的机器人模型共50个，型号、型号机器人模型的单价分别为400元、240元，设学校购买型号机器人模型个，购买这两种型号机器人模型共花费元． (1)求与之间的函数关系式（无需写出取值范围）； (2)若购买型号机器人模型的数量不超过型号机器人模型数量的，问购买型号机器人模型多少个时花费最少？最少费用是多少元？ 【答案】(1) (2)购买A型号机器人模型30个时花费最少，最少费用是16800元 【分析】（1）根据总费用为两种机器人费用之和，代入数量和单价列出函数关系式，化简即可； （2）先根据B型数量的限制条件列出不等式，求得x的取值范围，再根据一次函数的增减性，即可求出最小花费和对应的购买数量． 【详解】（1）解：学校购买A型号机器人模型个，则购买B型号机器人模型个． 根据题意，总花费， 化简得， 即与之间的函数关系式为； （2）解：根据题意，得， 解得． 在函数中，， 因此随的增大而增大， 所以当时，取得最小值， 代入得（元）． 答：购买A型号机器人模型30个时花费最少，最少费用是16800元． 2 学科网（北京）股份有限公司 $一次函数与几何问题综合、一次函数与实际应用问题综合专项训练 一次函数与几何问题综合、一次函数与实际应用问题综合专项训练 考点目录 一次函数与几何问题综合 一次函数与实际应用问题综合 考点一 一次函数与几何问题综合 例1．（2026·天津红桥·一模）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B，C在第一象限，且，． (1)填空：如图①，点C的坐标为________，点B的坐标为________； (2)若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点落在x轴的正半轴上．设． ①如图②，若直线l与边相交于点D，与边相交于点E，点A的对应点为，点C的对应点为，当折叠后五边形与重叠部分为四边形时，与相交于点F．试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 例2．（25-26八年级下·广东深圳·期中）阅读材料： 在数轴上，表示一个点：在平面直角坐标系中，表示一条直线：以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数的图象，它也是一条直线． 如图1，在平面直角坐标系中，不等式表示一个平面区域，即直线及其左侧的部分：如图2，不等式也表示一个平面区域，即直线及其下方的部分． 请根据以上材料回答问题： (1)图3阴影部分（含边界）表示的是______（填写不等式）表示的平面区域； (2)如图4，请求出表示阴影部分平面区域（含边界）的不等式组； (3)如图5，点A在x轴上，点B的坐标为，且，点P为内部一点（含边界），过点P分别作，，，垂足分别为C，D，E，若，则所有点P组成的平面区域的面积为______． 例3．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与直线交于点． (1)点坐标为___________，点坐标为___________． (2)将直线向下平移1个单位长度，交直线于，交轴于，求四边形的面积． (3)若点为线段上一动点，在平面内是否存在点，使得以为顶点，且以为一边的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 变式1．（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，． (1)①作图：经过点画出的垂线，垂足为， ②直接写出的长度； (2)与轴交于点，请求出点的坐标； (3)动点从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动，同时动点从点出发以每秒个单位长度的速度向上运动，设运动时间为秒，运动过程中射线和射线交于点．若三角形的面积等于，求出的值． 变式2．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：（）与轴相交于点，与轴相交于点，且与直线：相交于点．点在直线上运动（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线相交于点，连接，，记的面积为，的面积为． (1)若点的横坐标为1． ①求的值； ②如图1，当点与点重合时，直接写出的值； (2)在（1）的条件下，如图2，点在线段上运动（不与点，重合）时，试探究：的值是否是定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)求的值（用含的代数式表示）． 变式3．（25-26八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是． (1)若在第一象限内有一点，使得四边形是平行四边形，则点的坐标为______________． (2)若在直线上有一点，平面内有一点，使得以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形且面积为10，求点的坐标； (3)在（1）的前提下，若直线与平行四边形的边交于一点，与边交于一点，且平行四边形四个顶点到直线的距离和是，求这条直线的解析式． 考点二 一次函数与实际应用问题综合 例1．（2026·云南玉溪·一模）新春佳节临近，吉祥灯笼和剪纸窗花等传统春节装饰品相继上市．某校八年级年级组打算采购一批吉祥灯笼和剪纸窗花分发给各班装饰教室．通过市场调研得知：若同时买20个吉祥灯笼和50套剪纸窗花共需1100元，若同时买40个吉祥灯笼和30套剪纸窗花共需1500元． (1)一个吉祥灯笼和一套剪纸窗花的价格分别是多少元？ (2)本次采购打算购买两种物品共60个（套），其中购买吉祥灯笼的数量不少于剪纸窗花的，且不超过剪纸窗花的2倍，怎样购买两种物品最省钱？最少的费用是多少元？ 例2．（25-26九年级下·内蒙古通辽·阶段检测）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量与用1440元购买航海模型数量相同． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航海模型数量不多于航空模型数量的2倍，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 例3．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）某无人机配件销售公司有和两种配件，其进价和售价如表． 种类 A配件 B配件 进价/（元/件） 260 80 售价/（元/件） 300 100 已知该无人机配件销售公司购进配件和配件共件，并全部售出，设购买配件个，本次销售完件配件获得的总利润为元． (1)求关于函数关系式． (2)若配件购进件数不低于配件购进件数的倍，求购进多少件配件时，总利润最大？最大为多少？ 变式1．（2026·陕西西安·模拟预测）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度（单位：千米/时）与高架路上每百米车的数量x（单位：辆）的关系如图所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为38千米/时，求该时刻高架路上每百米车的数量． 变式2．（25-26八年级下·广东深圳·期中）请根据以下素材，完成探究任务． 制定购买方案 购买背景 背景1 巴黎奥运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款吉祥物“弗里吉”钥匙扣样式，网店第一次用850元购进A款钥匙扣20件、B款钥匙扣10件，且每件A比每件B贵5元． 背景2 A款钥匙扣售价为45元/件，B款钥匙扣售价为37元/件，第一次购进的“弗里吉”钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款“弗里吉”钥匙扣共80件（进货价和售价均不变），且进货总价不高于2200元． 信息整理 若A款钥匙扣的进价为元/件，B款钥匙扣的进价为元/件，列表如下： 类别 A款钥匙扣 B款钥匙扣 进货量（件） 20 10 进价（元/件） 售价（元/件） 45 37 单件利润（元/件） ① ② 探究任务 (1)任务1：求A、B两款钥匙扣的进价； (2)任务2：请完成填空：①______，②_____； (3)任务3：根据背景2中的信息，求两款钥匙扣销售利润最大为多少元？ 变式3．（25-26八年级下·陕西西安·期中）人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校计划购买、两种型号的机器人模型共50个，型号、型号机器人模型的单价分别为400元、240元，设学校购买型号机器人模型个，购买这两种型号机器人模型共花费元． (1)求与之间的函数关系式（无需写出取值范围）； (2)若购买型号机器人模型的数量不超过型号机器人模型数量的，问购买型号机器人模型多少个时花费最少？最少费用是多少元？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $