微专题 一次函数的5类应用问题（专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

微专题 一次函数的5类应用问题 目录 题型一、分配方案问题 1 题型二、最大利润问题 6 题型三、行程问题 12 题型四、梯度计价问题 19 题型五、其他问题 25 题型一、分配方案问题 1．在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． (1)甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ (2)已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和150人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 2．某快递公司准备购买机器人来代替人工分拣．已知购买台甲型机器人比购买台乙型机器人多万元；购买台甲型机器人和台乙型机器人共需万元． (1)求甲、乙两种型号的机器人每台的价格分别为多少万元？ (2)该公司计划最多用万元购买台这两种型号的机器人，已知甲、乙两种型号的机器人每台每小时分拣快递分别为件和件，该公司如何购买，才能使得每小时的分拣量最大？ 3．近年来光伏建筑一体化广受关注．朝阳社区拟修建，两种光伏车棚若干个，分别使用甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若社区计划购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多40块，且乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，求社区有几种购买方案?哪种方案的费用最低?最低费用是多少元? 4．根据以下素材，探索完成任务. 如何设计采购方案？ 素材1 宋曹是明末清初时期的大书法家，字彬臣，又字臣，号射陵，盐城郊区北宋庄人，工书能文，对书法造诣很深．宋曹故居纪念馆位于江苏省盐城市儒学街4号，为了能更好地宣传优秀传统文化以及宋曹的书法，文创商店近期推出了许多新的文创产品，有宋曹书法手袋、宋曹书签、宋曹书法贴纸等． 素材2 小明在本店购买了3套书签和4套贴纸，一共花费了110元； 小丽在本店购买了5套书签和2套贴纸，一共花费了90元． 问题解决 任务1 确定单价 求购买1套书签和1套贴纸分别需要多少元？ 任务2 探究函数关系 临近期末考试，数学王老师打算提前给学生准备奖品，他准备同时购买书签和贴纸两种商品共20套．设数学王老师准备购买书签x套，总费用为y元，请你求出y与x的函数关系式． 任务3 拟定购买方案 现要求贴纸的数量不少于13套，应该怎样选择购买方案，才能使总费用最低？总费用最低是多少元？ 题型二、最大利润问题 5．端午节是我国的传统节日，有吃粽子的习俗．节日前夕，某商场购进A，B两种粽子，若购进1盒A种粽子，2盒B种粽子，共需76元；若购进2盒A种粽子，1盒B种粽子，共需92元．经了解，A，B两种粽子的进价与标价如下表所示（单位：元/盒）： 种类 进价 标价 A a 48 B b 24 (1)求a，b的值； (2)该商场打算购进A，B两种粽子共200盒，且要求A种粽子的数量不超过B种粽子的2倍，设购进A种粽子盒（） ①设本次交易总利润为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ②问应该如何进货，销售完这200盒粽子所获总利润最大？最大利润是多少？ 6．河南非遗文化底蕴深厚，朱仙镇木版年画、淮阳泥泥狗等文创产品深受游客喜爱．某文旅商店购进A，B两款河南非遗文创产品共100套售卖，已知购进4套A款文创产品和5套B款文创产品共需310元，购进6套A款文创产品和8套B款文创产品共需480元． (1)求A，B两款文创产品购进时的单价． (2)设购进A款文创产品套，购进A，B两款文创产品的总花费为元，求与之间的函数关系式． (3)在（2）的条件下，若A款文创产品的售价为52元/套，B款文创产品的售价为40元/套．该商家计划购进A，B两款文创产品所花的总费用不超过3600元，要使A，B两款文创产品全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 7．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测粽子能够畅销．根据预测，每千克粽子节前的进价比节后多元，节前用元购进粽子的数量是节后用元购进的数量的倍．根据以上信息，解答下列问题： (1)该商场节后每千克粽子的进价是多少元？ (2)如果该商场在节前和节后共购进粽子千克，若节前购进粽子千克，按照节前每千克元，节后每千克元全部售出，那么该商场节前购进多少千克粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 8．为了备战体育基础达标测试，我校八年级组在开学初购进了A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了3000元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍．已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花20元． (1)求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？ (2)八（1）班同学为了训练更加方便，决定集体再购买A、B两种品牌足球共50个，恰逢商店足球按第一次购买时售价的九折出售，若八（1）班此次购买A、B两种品牌足球费用不超过3200元，则八（1）班此次最多可购买多少个B品牌足球？ (3)若商店销售A、B两种品牌足球进价分别为40元、55元，在（2）的条件下，商店销售完这50个A、B两种品牌的足球时，商店的最大利润是多少？并写出利润最大时的采购方案． 9．春暖花开，新学期伊始，某中学为了给学生提供充足的体育运动器材，准备购买一批某品牌的足球和排球，每个足球的价格比每个排球的价格多40元，若用1000元购买的足球数量和600元购买的排球数量相等． (1)设每个足球的价格为元，求的值． (2)学校决定购买足球和排球共50个． ①求购买足球和排球的总费用（元）与购买足球数量（个）之间的函数关系式． ②若购买足球的数量不少于排球的数量，则购买足球___________个最合算，总费用为___________元． 题型三、行程问题 10．为落实“双减”政策，某校开展课后兴趣小组活动，甲、乙两名同学分别从学校门口和学校操场出发，前往市中心的图书馆参加活动，甲步行，乙骑车，两人行驶路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，甲步行30分钟到达图书馆，乙骑车到达图书馆后停留5分钟，因有事需要立即按照原速返回学校． (1)求甲步行的速度和乙骑车的速度以及学校门口和操场的距离； (2)当乙追上甲时，求x的值； (3)求乙返回时行驶路程y与x的函数关系式（不必写出自变量的取值范围），并直接写出当乙到达学校门口时x的值． 11．如图，是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量（千瓦时）关于已行驶路程（千米）的函数图象． (1)当时，求关于的函数表达式； (2)当蓄电池剩余电量为12千瓦时的时候汽车开始报警，提示要及时充电，请计算报警时汽车能行驶多少千米？ 12．小敏上午8∶00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中．小敏离家的路程（单位：）和所经过的时间（单位：）之间的函数图象如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)小敏去超市途中的速度是多少？在超市停留了多长时间？ (2)请写出与的函数关系式； (3)小敏几点几分返回到家？ 13．已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家600，公园离家1800．小华从家出发，先匀速步行了6到书店，在书店停留了12，用相同速度匀速步行了12到公园，在公园停留25后，再用相同速度匀速步行回家，下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间/ 2 6 18 52 小华离家的距离/ 600 ②填空：当小华离家的距离为时，他离开家的时间为 ； ③当时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)小华的妹妹比哥哥迟2到书店，在书店待了15后去公园，速度是哥哥的2倍，能否在哥哥到达公园前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离公园还有多远（直接写出结果即可）． 14．如图1，在矩形中，，，点P从A出发，沿的路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿路线运动，到点A停止．若点P、Q同时出发，速度分别为每秒，，a秒时，P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒，（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是的面积s和运动时间x（秒）的图象． (1)求出a值； (2)设点P已行的路程为，点Q还剩的路程为，请分别求出改变速度后，、与x的函数关系式； (3)当P、Q两点都在边上时，若，求x的值． 题型四、梯度计价问题 15．为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 (1)当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； (3)某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 16．小明使用出行软件打车回家的行程详情如图（1）所示，爱动脑筋的小明查看了计价规则，如图（2）所示．他发现，在不考虑其他因素的情况下，在其打车的时间段（），3公里以内（含3公里）的起步价为元；超过3公里的部分，按元/公里的标准收取里程费． (1)当行程超过3公里时，判断实际打车费用y元是否是里程x公里的函数，并用含x的代数式表示y； (2)如图（1）所示，小明此次行程的实际路线为公里，那么打车费用是多少元？ 17．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 18．某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量 单价／[元／ 第一档 第二档 第三档 (1)当时，写出电费（单位：元）与用电量之间的表达式； (2)小明家月用电量是，求小明家月的电费； (3)某户月的电费是元，求该户月的用电量． 19．某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元／单） 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 5 超过900单的部分 8 (1)若某外卖小哥一个月送餐单（），所得工资元，求与的函数关系式． (2)若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？ 题型五、其他问题 20．某批发商欲将一批海产品由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务，已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/时、100千米/时．两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示： 运输工具 运输费单价（元/吨·千米） 冷藏费单价（元/吨·小时） 过路费（元） 装卸及管理费（元） 汽车 2 5 200 0 火车 1.8 5 0 1600 注：“元/吨·千米”表示每吨货物每千米的运费；“元/吨·小时”表示每吨货物每小时的冷藏费． (1)设该批发商待运的海产品有x（吨），汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y1（元）和y2（元），试求y1和y2与x的函数关系式； (2)若该批发商待运的海产品不少于45吨，为节省运费，他应选择哪个货运公司承担运输业务？ 21．全世界大部分国家都采用摄氏温标预报天气，但美国、英国等国家仍然采用华氏温标．某学生查阅资料，得到下表中的数据： 摄氏温度值 0 10 20 30 40 50 华氏温度值 32 50 68 86 104 122 (1)在图中描出表中数据对应的点． (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映摄氏温度和华氏温度之间的函数关系，并求出这个函数的表达式．（不要求写出的取值范围） (3)请根据数据推算时的摄氏温度为_____； (4)华氏温度值是否可能与摄氏温度值相等？若可能相等，请直接写出这个摄氏温度值，若不可能相等，请说明理由． 22．综合与实践：探究杆秤中的函数关系． 背景介绍：《楚辞·惜誓》中的一句古语：“若称量而不审兮，是谓知轻重．”秤亦作“称”，衡器也．杆秤是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，如图1． 测量与整理：称重时（秤杆均平衡），若秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．实践小组利用一个杆秤A进行实验，将几次测试的结果描在图2中． 建模与应用： (1)图2中有一个点的位置描错，观察判断横坐标_____的点描错了； (2)求与x的函数关系式； (3)若杆秤A中秤砣到秤纽的水平距离最大为38厘米，求杆秤A所能称量的最大物重； (4)重新取另一个杆秤B，再次进行实验发现．当同一个物体分别用杆秤A，B称重时，发现杆秤A中秤砣到秤纽的距离比杆秤B中的大10厘米，求此时的物重． 23．某学校计划购买若干台电脑，现从甲、乙两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下表所示： 商场 优惠条件 甲商场 第一台按原价收费，其余每台优惠 乙商场 每台优惠 (1)分别写出甲、乙两商场的收费y（元）与所买电脑台数x之间的关系式； (2)学校到哪家商场购买电脑更合算？ 24．某游泳馆普通票价为元张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： ①金卡售价元张，每次凭卡不再收费 ②银卡售价元张，每次凭卡另收元． 暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数设游泳次时，所需总费用为元． (1)分别写出选择银卡、普通票消费时，所需总费用，与之间的函数关系式 (2)在同一平面直角坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请求出点，，，的坐标 (3)请根据函数图像，直接写出选择哪种消费方式更划算． 试卷第1页，共3页 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 一次函数的5类应用问题 目录 题型一、分配方案问题 1 题型二、最大利润问题 6 题型三、行程问题 12 题型四、梯度计价问题 19 题型五、其他问题 25 题型一、分配方案问题 1．在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． (1)甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ (2)已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和150人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 【答案】(1)甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元 (2)购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大 【分析】（1）设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购买甲型机器人m台，根据题意，列出不等式组求出的范围，设6台机器人每天服务客人的人数为w，根据题意列出一次函数的解析式，利用一次函数的性质求最值即可. 【详解】（1）解：设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元， 依题意，得 解得 答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元． （2）解：设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人台． 依题意，得解得． 设6台机器人每天服务客人的人数为w， 则． ， 随m的增大而增大， 当时，w取得最大值，此时， ∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大． 2．某快递公司准备购买机器人来代替人工分拣．已知购买台甲型机器人比购买台乙型机器人多万元；购买台甲型机器人和台乙型机器人共需万元． (1)求甲、乙两种型号的机器人每台的价格分别为多少万元？ (2)该公司计划最多用万元购买台这两种型号的机器人，已知甲、乙两种型号的机器人每台每小时分拣快递分别为件和件，该公司如何购买，才能使得每小时的分拣量最大？ 【答案】(1)甲型机器人每台的价格为万元，乙型机器人每台的价格为万元 (2)该公司购买台甲型机器人，台乙型机器人时，才能使得每小时的分拣量最大 【分析】（1）设甲型机器人每台的价格为万元，乙型机器人每台的价格为万元，根据购买台甲型机器人比购买台乙型机器人多万元；购买台甲型机器人和台乙型机器人共需万元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买台甲型机器人，则购买台乙型机器人，根据该公司计划最多用万元购买台这两种型号的机器人，列出一元一次不等式，解之得的最大整数值为，再设每小时的分拣量为件，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设甲型机器人每台的价格为万元，乙型机器人每台的价格为万元， 依题意得：， 解得：， 答：甲型机器人每台的价格为万元，乙型机器人每台的价格为万元； （2）解：设购买台甲型机器人，则购买台乙型机器人， 依题意得：， 解得：， 为整数， 的最大整数值为， 设每小时的分拣量为件， 依题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值， 此时，， 答：该公司购买台甲型机器人，台乙型机器人时，才能使得每小时的分拣量最大． 3．近年来光伏建筑一体化广受关注．朝阳社区拟修建，两种光伏车棚若干个，分别使用甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若社区计划购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多40块，且乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，求社区有几种购买方案?哪种方案的费用最低?最低费用是多少元? 【答案】(1)甲种光伏板的单价为700元 (2)一共有11种购买方案，购买甲种光伏板为180块，乙种光伏板为400块总费用最低，最低费用为486000元 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，分式方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元，根据用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍，列出方程，解方程即可； （2）设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块，根据乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，列出不等式，解不等式组得出，设总费用为w元，根据题意得出，根据一次函数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解：设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元， 由题意得， 解得：， 经检验，为原方程的根， 甲种光伏板的单价为700元． （2）解：设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块， 由题意得：， 解得， 为正整数， 满足条件的有11种取值，所以一共有11种购买方案， 设总费用为w元， 则， ， ∴w随的增大而增大. 越小，总费用越低， 当时，总费用最低， 即购买甲种光伏板为180块，则乙种光伏板为400块总费用最低， 最低费用为元． 4．根据以下素材，探索完成任务. 如何设计采购方案？ 素材1 宋曹是明末清初时期的大书法家，字彬臣，又字臣，号射陵，盐城郊区北宋庄人，工书能文，对书法造诣很深．宋曹故居纪念馆位于江苏省盐城市儒学街4号，为了能更好地宣传优秀传统文化以及宋曹的书法，文创商店近期推出了许多新的文创产品，有宋曹书法手袋、宋曹书签、宋曹书法贴纸等． 素材2 小明在本店购买了3套书签和4套贴纸，一共花费了110元； 小丽在本店购买了5套书签和2套贴纸，一共花费了90元． 问题解决 任务1 确定单价 求购买1套书签和1套贴纸分别需要多少元？ 任务2 探究函数关系 临近期末考试，数学王老师打算提前给学生准备奖品，他准备同时购买书签和贴纸两种商品共20套．设数学王老师准备购买书签x套，总费用为y元，请你求出y与x的函数关系式． 任务3 拟定购买方案 现要求贴纸的数量不少于13套，应该怎样选择购买方案，才能使总费用最低？总费用最低是多少元？ 【答案】（1）购买1套书签10元，1套贴纸20元 （2） （3）购买书签7套，贴纸套，总费用最低，总费用最低是330元 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决实际问题，求函数关系式，求函数最值，解题的关键是理解题意，列出方程组及函数关系式． （1）设购买1套书签元，1套贴纸元，根据购买方式列出方程组进行求解即可； （2）设数学王老师准备购买书签x套，则购买贴纸为套，根据题意列出函数关系式即可； （3）根据题意列出不等式求解，然后根据函数关系式求出最值即可． 【详解】解：（1）设购买1套书签元，1套贴纸元，根据题意得， 解得 ∴购买1套书签10元，1套贴纸20元； （2）设数学王老师准备购买书签x套，则购买贴纸为套， ∴总费用为元； （3）根据题意得，， 解得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，的值最小，最小值为（元）， ∴购买书签7套，贴纸套，总费用最低，总费用最低是330元． 题型二、最大利润问题 5．端午节是我国的传统节日，有吃粽子的习俗．节日前夕，某商场购进A，B两种粽子，若购进1盒A种粽子，2盒B种粽子，共需76元；若购进2盒A种粽子，1盒B种粽子，共需92元．经了解，A，B两种粽子的进价与标价如下表所示（单位：元/盒）： 种类 进价 标价 A a 48 B b 24 (1)求a，b的值； (2)该商场打算购进A，B两种粽子共200盒，且要求A种粽子的数量不超过B种粽子的2倍，设购进A种粽子盒（） ①设本次交易总利润为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ②问应该如何进货，销售完这200盒粽子所获总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)①（且x为正整数）；②购进A种粽子133盒，B种粽子67盒时总利润最大，最大利润为1864元． 【分析】（1）根据题意，列二元一次方程组求解即可； （2）①设购进A种粽子盒，则购进B种粽子盒，得出利润，然后列不等式确定的取值范围； ②根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得； （2）解：①设购进A种粽子盒，则购进B种粽子盒，总利润为元， 由题意可得， 要求A种粽子的数量不超过B种粽子的2倍， ， 解得， ∴（且x为正整数）； ②∵（且x为正整数） 随的增大而增大， 为整数， 当时，取得最大值，此时，则， 答：当购进A种粽子133盒，B种粽子67盒时总利润最大，最大利润是1864元． 6．河南非遗文化底蕴深厚，朱仙镇木版年画、淮阳泥泥狗等文创产品深受游客喜爱．某文旅商店购进A，B两款河南非遗文创产品共100套售卖，已知购进4套A款文创产品和5套B款文创产品共需310元，购进6套A款文创产品和8套B款文创产品共需480元． (1)求A，B两款文创产品购进时的单价． (2)设购进A款文创产品套，购进A，B两款文创产品的总花费为元，求与之间的函数关系式． (3)在（2）的条件下，若A款文创产品的售价为52元/套，B款文创产品的售价为40元/套．该商家计划购进A，B两款文创产品所花的总费用不超过3600元，要使A，B两款文创产品全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【答案】(1)A款文创产品购进的单价为40元，B款文创产品购进的单价为30元 (2) (3)购进A款文创产品60套、B款文创产品40套可使商家获得最大利润，最大利润是1120元 【分析】（1）设款文创产品购进的单价为元，款文创产品购进的单价为元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）：设购进款文创产品套，则购进款文创产品套，根据题意，列出函数关系式，即可求解； （3）求出x的取值范围，设商家获得的利润是元，根据题意，列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设款文创产品购进的单价为元，款文创产品购进的单价为元，根据题意，得 ， 解得 答：A款文创产品购进的单价为40元，B款文创产品购进的单价为30元． （2）解：设购进款文创产品套，则购进款文创产品套． 根据题意，得． 答：与之间的函数关系式为． （3）解：根据题意，得， 解得． ， ， 设商家获得的利润是元，则． ， 随的增大而增大． ． 当时，的值最大，最大值为， ． 答：购进A款文创产品60套、B款文创产品40套可使商家获得最大利润，最大利润是1120元． 7．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测粽子能够畅销．根据预测，每千克粽子节前的进价比节后多元，节前用元购进粽子的数量是节后用元购进的数量的倍．根据以上信息，解答下列问题： (1)该商场节后每千克粽子的进价是多少元？ (2)如果该商场在节前和节后共购进粽子千克，若节前购进粽子千克，按照节前每千克元，节后每千克元全部售出，那么该商场节前购进多少千克粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)该商场节后每千克粽子的进价是元 (2)该商场节前购进千克粽子获得利润最大，最大利润是元 【分析】（1）设该商场节后每千克粽子的进价是元，则节前每千克粽子的进价是元，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解； （2）设购进的粽子全部售出后可获得的总利润为，根据题意列出一次函数关系式，根据一次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：设该商场节后每千克粽子的进价是元，则节前每千克粽子的进价是元   依题意得：     解得：    经检验，是所列方程的解，且符合题意     答：该商场节后每千克粽子的进价是元； （2）设购进的粽子全部售出后可获得的总利润为，则      即     ， 随的增大而增大     当时，取得最大值，最大值为     答：该商场节前购进千克A粽子获得利润最大，最大利润是元 8．为了备战体育基础达标测试，我校八年级组在开学初购进了A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了3000元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍．已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花20元． (1)求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？ (2)八（1）班同学为了训练更加方便，决定集体再购买A、B两种品牌足球共50个，恰逢商店足球按第一次购买时售价的九折出售，若八（1）班此次购买A、B两种品牌足球费用不超过3200元，则八（1）班此次最多可购买多少个B品牌足球？ (3)若商店销售A、B两种品牌足球进价分别为40元、55元，在（2）的条件下，商店销售完这50个A、B两种品牌的足球时，商店的最大利润是多少？并写出利润最大时的采购方案． 【答案】(1)购买一个A品牌足球需要60元，购买一个B品牌足球需要80元 (2)27个 (3)最大利润是781元，采购方案：A种品牌的足球采购23个、B种品牌的足球采购27个 【分析】（1）设购买一个品牌足球需要元，则购买一个品牌足球需要元，根据题意建立分式方程求解，即可解题； （2）设购买个品牌足球，则购买个品牌足球，根据“此次购买A、B两种品牌足球费用不超过3200元，”建立一元一次不等式求解，即可解题； （3）设商店销售完这50个、两种品牌的足球时，商店的利润是元，根据题意列出与的关系式，再结合一次函数的增减性求解，即可解题． 解题的关键在于找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；以及正确求得一次函数解析式，根据一次函数的性质解题． 【详解】（1）解：设购买一个品牌足球需要元，则购买一个品牌足球需要元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：购买一个品牌足球需要60元，购买一个品牌足球需要80元． （2）解：设购买个品牌足球，则购买个品牌足球， 依题意得：， 解得：． 为整数， 的最大值为27． 答：八（1）班此次最多可购买27个品牌足球； （3）解：设商店销售完这50个、两种品牌的足球时，商店的利润是元， 由题意得：， ， 随的增大而增大， 最大时，最大， ，且取整数， 时最大，此时（元）， （个）， ∴采购方案为：A种品牌的足球采购23个、B种品牌的足球采购27个． 答：A种品牌的足球采购23个、B种品牌的足球采购27个，商店的最大利润是781元． 9．春暖花开，新学期伊始，某中学为了给学生提供充足的体育运动器材，准备购买一批某品牌的足球和排球，每个足球的价格比每个排球的价格多40元，若用1000元购买的足球数量和600元购买的排球数量相等． (1)设每个足球的价格为元，求的值． (2)学校决定购买足球和排球共50个． ①求购买足球和排球的总费用（元）与购买足球数量（个）之间的函数关系式． ②若购买足球的数量不少于排球的数量，则购买足球___________个最合算，总费用为___________元． 【答案】(1)每个足球的价格为100元 (2)①；②25，4000 【分析】 （1）设每个足球的价格为元，则每个排球的价格为元．根据用1000元购买的足球数量和600元购买的排球数量相等，列出分式方程，解方程即可； （2）①设购买足球和排球的总费用（元），购买足球数量（个），则购买排球个，再结合足球和排球的价格列式计算，即可作答． ②根据购买足球的数量不少于排球的数量，求出，再由题意得，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：设每个足球的价格为元，则每个排球的价格为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：每个足球的价格为100元； （2）解：①由（1）得每个足球的价格为100元，则每个排球的价格为元 依题意，购买足球和排球的总费用（元），购买足球数量（个）， 则购买排球个． 由题意得：， ②∵购买足球的数量不少于排球的数量， ， 解得：， 由①得， ， 随x的增大而增大， 当时，有最小值，， ∴则购买足球25个最合算，总费用为4000元． 题型三、行程问题 10．为落实“双减”政策，某校开展课后兴趣小组活动，甲、乙两名同学分别从学校门口和学校操场出发，前往市中心的图书馆参加活动，甲步行，乙骑车，两人行驶路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，甲步行30分钟到达图书馆，乙骑车到达图书馆后停留5分钟，因有事需要立即按照原速返回学校． (1)求甲步行的速度和乙骑车的速度以及学校门口和操场的距离； (2)当乙追上甲时，求x的值； (3)求乙返回时行驶路程y与x的函数关系式（不必写出自变量的取值范围），并直接写出当乙到达学校门口时x的值． 【答案】(1)甲步行的速度为米每分钟，乙骑车的速度为米每分钟，学校门口和操场的距离为米 (2) (3)，当乙到达学校门口时 【分析】（1）根据函数图象，用路程除以时间得出速度，两人的路程差即为学校门口和操场的距离； （2）根据题意，先根据待定系数法分别求得甲、乙去图书馆时y与x的函数关系式，再根据当乙追上甲时，乙的路程甲的路程操场到学校门口的距离列出方程，即可求解； （3）根据返回的速度相同，得出乙到达学校门口时x的值为，的值为，进而待定系数法求解析式，即可求解． 【详解】（1）解：根据函数图象可知，甲步行的速度为米/分钟， 乙骑车的速度为米/分钟， ∵甲从学校门口到图书馆的路程为1000米，乙从操场到图书馆的路程是2000米， ∴学校门口和操场的距离为：米； （2）解：设甲的函数解析式为：，代入， ∴， ∴， ∴， 设乙的函数解析式为： 代入， ∴ 解得： ∴， 由题意，， 解得：， 故当乙追上甲时，x的值为20； （3）解：∵乙骑车到达图书馆后停留5分钟，按照原速返回学校门口， ∴乙返回时的行驶距离为（米）， ∴乙到达学校门口时x的值为，的值为， 设乙返回时行驶路程y与x的函数关系式为，代入， ，解得： ∴，当乙到达学校门口时x的值为． 11．如图，是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量（千瓦时）关于已行驶路程（千米）的函数图象． (1)当时，求关于的函数表达式； (2)当蓄电池剩余电量为12千瓦时的时候汽车开始报警，提示要及时充电，请计算报警时汽车能行驶多少千米？ 【答案】(1)； (2)千米． 【分析】（1）运用待定系数法求出关于的函数表达式即可； （2）把代入（1）中的函数表达式，即可求出报警时汽车能行驶的千米数． 【详解】（1）解：设，把点，代入， 得， 解得， ； （2）当时，则， ， 答：报警时汽车能行驶千米． 12．小敏上午8∶00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中．小敏离家的路程（单位：）和所经过的时间（单位：）之间的函数图象如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)小敏去超市途中的速度是多少？在超市停留了多长时间？ (2)请写出与的函数关系式； (3)小敏几点几分返回到家？ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据观察横坐标，可得去超市的时间，根据观察纵坐标，可得去超市的路程，根据路程与时间的关系，可得答案；在超市逗留的时间即路程不变化所对应的时间段； （2）分类讨论：①当时，②当时，③设返回家时，逐个分析求解即可； （3）求出返回家时的函数解析式，当时，求出x的值，即可解答． 【详解】（1）解：速度为：（米/分） 逗留的时间为：． （2）解：①由（1）可知，当时，y与x的函数解析式为， ②当时，； ③设返回家时，y与x的函数解析式为，把分别代入，得 ， 解得 ∴函数解析式为， 当时，， 解得， 综上所述，． （3）解：由（2）可知，当时，， ∴返回到家的时间为． 13．已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家600，公园离家1800．小华从家出发，先匀速步行了6到书店，在书店停留了12，用相同速度匀速步行了12到公园，在公园停留25后，再用相同速度匀速步行回家，下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间/ 2 6 18 52 小华离家的距离/ 600 ②填空：当小华离家的距离为时，他离开家的时间为 ； ③当时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)小华的妹妹比哥哥迟2到书店，在书店待了15后去公园，速度是哥哥的2倍，能否在哥哥到达公园前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离公园还有多远（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①见解析；②20或65；③； (2)能，追上时兄妹俩离公园还有． 【分析】（1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用公式进行计算即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解即可． 【详解】（1）解：①小华去书店的速度为， 2分钟时小华离家的距离为； 由图可知18分钟时，小华离家的距离为； 52分钟时，小华离家的距离为； 填表如下： 小华离开家的时间/min 2 6 18 52 小华离家的距离/ 200 600 600 1800 ②小华去公园的过程中：， 小华从公园返回的过程中：， 综上，当小华离家的距离为时，他离开家的时间为20或65； ③由①得小华去书店的速度为， ∴当时，； 由图可知，当时，； 当时，， 综上，； （2）解：哥哥的速度：100，妹妹的速度：200 妹妹到达书店的时间：哥哥到书店的时间是6，妹妹迟2，即到达书店； 妹妹在书店停留15，离开书店的时间：． 哥哥在23时的位置：18离开书店，到23走了， 距离为． 设妹妹离开书店后经过追上哥哥： 解得， 此时总时间为， 小于哥哥到达公园的30，能追上． 此时离家距离：，离公园还有． 答：能，追上时兄妹俩离公园还有． 14．如图1，在矩形中，，，点P从A出发，沿的路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿路线运动，到点A停止．若点P、Q同时出发，速度分别为每秒，，a秒时，P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒，（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是的面积s和运动时间x（秒）的图象． (1)求出a值； (2)设点P已行的路程为，点Q还剩的路程为，请分别求出改变速度后，、与x的函数关系式； (3)当P、Q两点都在边上时，若，求x的值． 【答案】(1) (2)； (3)或 【分析】本题考查了本题是几何双动点问题，正确理解图象的变化与动点运动位置之间的关系是关键． （1）由图象可知，当点P在上运动时，的面积保持不变，则a秒时，点P在上，再利用面积求a； （2）P、Q两点的函数关系式都是在运动6秒的基础上得到的，因此注意在总时间内减去6秒，由此列函数关系式即可； （3）在（2）的基础上，两个点相距分为相遇前相距或相遇后两种情况，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，当点P在上运动时，的面积保持不变，则a秒时，点P在上， ， 即， 解得， ； （2）解：由（1）知，6秒后点P变速，则点P已行的路程为； 点运动的路程总长为（），第6秒时已经走了，故点Q还剩的路程为； （3）解：当P、Q两点相遇前相距时， ， 解得； 当P、Q两点相遇后相距时， ， 解得； 当或时，P、Q两点相距． 题型四、梯度计价问题 15．为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 (1)当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； (3)某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 【答案】(1) (2)该户这一年的燃气费为1147元 (3)该户去年一年的用气量为 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的关系式， （1）第一档用气总费用加上超过第一档用气量的费用可得关系式； （2）直接将代入（1）关系式，可得答案； （3）先求出第一档的最高费用，第二档的最高费用，可知该用气费用属于第二档，可得一元一次方程，求出解即可． 【详解】（1）解： 由表格可知，当时，． （2）解：， 当时，， 所以，当用气量为时，该户这一年的燃气费为1147元． （3）解：当时，（元）， 当时，（元）， ， 所以，该户用气量属于第二档， 当时，， 解得，， 所以当燃气费为1311元时，该户去年一年的用气量为． 16．小明使用出行软件打车回家的行程详情如图（1）所示，爱动脑筋的小明查看了计价规则，如图（2）所示．他发现，在不考虑其他因素的情况下，在其打车的时间段（），3公里以内（含3公里）的起步价为元；超过3公里的部分，按元/公里的标准收取里程费． (1)当行程超过3公里时，判断实际打车费用y元是否是里程x公里的函数，并用含x的代数式表示y； (2)如图（1）所示，小明此次行程的实际路线为公里，那么打车费用是多少元？ 【答案】(1)y是x的函数， (2)元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确列出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意，得，化简为即可求解； （2）根据题意，当时，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：由题可得，当里程x超过3公里时，其中3公里以内（含3公里）的起步价为元；超过3公里的部分里程为公里，费用为元， 则实际打车费用，即， 对于每一个超过3公里的x值，都有唯一的y值与之对应， y是x的函数，； （2）当时，， 则打车费用是元． 17．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用——分段计费，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握每段水费与单价和吨数的关系列式与列方程． （1）由题意列出不等式组即可求解； （2）根据阶梯收费标准列出一次函数，求出7月份水费最大值即可； （3）分和分别列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵该居民7月份用水量为，则6月份用水量为， 由题意得，， 解得， 答：x的取值范围为． （2）解：∵， ∴7月份的水费， ∵， ∴随增大而增大， ∴当时，7月份的水费最多为（元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元． （3）解：当时，该居民6月份用水量超过了， ∴ 解得，不符合题意，舍去； 当时，该居民6月份用水量未超过， ∴， 解得， 答：该居民7月份的用水量为． 18．某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量 单价／[元／ 第一档 第二档 第三档 (1)当时，写出电费（单位：元）与用电量之间的表达式； (2)小明家月用电量是，求小明家月的电费； (3)某户月的电费是元，求该户月的用电量． 【答案】(1) (2)小明家月的电费元 (3)该户月的用电量为 【分析】本题考查一元一次方程的应用以及一次函数的应用，关键是电费与用电量之间的数量关系； （1）利用表格所给数据，即可找出电费与之间的关系式； （2）将代入（1）中所得的关系式，求出的值即可； （3）根据电费是元，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； 【详解】（1）解：当时， ， 即； （2）解：当时，（元）， ∴小明家月的电费元； （3）解：当时，， 当时，， ， ∴该户月用电量属于第二档， 当时，，解得， ∴该户月的用电量为． 19．某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元／单） 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 5 超过900单的部分 8 (1)若某外卖小哥一个月送餐单（），所得工资元，求与的函数关系式． (2)若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？ 【答案】(1)当时，；当时， (2)他2月份外卖送餐950单 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式，注意分类讨论． （1）分两种情况，列出函数关系式即可； （2）先确定他2月份送餐单数超过900单，再利用（1）中函数解析式求解． 【详解】（1）解：当时， ； 当时， ； 综上，当时，；当时，． （2）解：（元，（元； 元元 ； ∴当时，得 ， 解得， 他2月份外卖送餐950单． 题型五、其他问题 20．某批发商欲将一批海产品由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务，已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/时、100千米/时．两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示： 运输工具 运输费单价（元/吨·千米） 冷藏费单价（元/吨·小时） 过路费（元） 装卸及管理费（元） 汽车 2 5 200 0 火车 1.8 5 0 1600 注：“元/吨·千米”表示每吨货物每千米的运费；“元/吨·小时”表示每吨货物每小时的冷藏费． (1)设该批发商待运的海产品有x（吨），汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y1（元）和y2（元），试求y1和y2与x的函数关系式； (2)若该批发商待运的海产品不少于45吨，为节省运费，他应选择哪个货运公司承担运输业务？ 【答案】(1)， (2)当待运海产品不少于45吨且不足50吨时，选择汽车货运公司；当待运海产品恰好为50吨时，两家公司费用相同；当待运海产品超过50吨时，选择铁路货运公司 【分析】（1）根据总费用=运输费+冷藏费+固定收费，分别列出两个函数的关系式； （2）分情况比较两个函数的大小，结合海产品不少于45吨的条件，得到不同重量下的最节省运费的方案． 【详解】（1）解：由题意得，汽车运输时间为 小时， ∴.； 火车运输时间为 小时， ∴ ； （2）解：分三种情况讨论： 当 时，.，解得， ∴当待运海产品恰好为50吨时，两家公司费用相同； 当时，，解得， ∴当待运海产品超过50吨时，选择铁路货运公司.； 当时，，解得, ∴当待运海产品不少于45吨且不足50吨时，选择汽车货运公司； 答：当待运海产品不少于45吨且不足50吨时，选择汽车货运公司；当待运海产品恰好为50吨时，两家公司费用相同；当待运海产品超过50吨时，选择铁路货运公司． 21．全世界大部分国家都采用摄氏温标预报天气，但美国、英国等国家仍然采用华氏温标．某学生查阅资料，得到下表中的数据： 摄氏温度值 0 10 20 30 40 50 华氏温度值 32 50 68 86 104 122 (1)在图中描出表中数据对应的点． (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映摄氏温度和华氏温度之间的函数关系，并求出这个函数的表达式．（不要求写出的取值范围） (3)请根据数据推算时的摄氏温度为_____； (4)华氏温度值是否可能与摄氏温度值相等？若可能相等，请直接写出这个摄氏温度值，若不可能相等，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)相等，摄氏温度值为 【分析】（1）根据对应的点在直角坐标系下描出即可． （2）根据描出的点，可知该函数模型为一次函数，使用待定系数法求解即可． （3）根据函数关系式，令，即可求解； （4）假设相等，令求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：根据表中数据，该函数模型为一次函数，即， 将点，代入函数表达式， ∴，解得， ∴函数的表达式为． （3）解：由（2）知，， ∴令，即，解得， ∴可推算时的摄氏温度为； （4）解：假设华氏温度值与摄氏温度值相等， 令，即， 即，解得， ∴当摄氏温度值为，华氏温度值与摄氏温度值相等． 22．综合与实践：探究杆秤中的函数关系． 背景介绍：《楚辞·惜誓》中的一句古语：“若称量而不审兮，是谓知轻重．”秤亦作“称”，衡器也．杆秤是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，如图1． 测量与整理：称重时（秤杆均平衡），若秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．实践小组利用一个杆秤A进行实验，将几次测试的结果描在图2中． 建模与应用： (1)图2中有一个点的位置描错，观察判断横坐标_____的点描错了； (2)求与x的函数关系式； (3)若杆秤A中秤砣到秤纽的水平距离最大为38厘米，求杆秤A所能称量的最大物重； (4)重新取另一个杆秤B，再次进行实验发现．当同一个物体分别用杆秤A，B称重时，发现杆秤A中秤砣到秤纽的距离比杆秤B中的大10厘米，求此时的物重． 【答案】(1)5； (2)； (3)20斤； (4)15斤； 【分析】（1）观察图2中各点，假设y是的一次函数，检验各点是否符合线性关系，找出偏差最大的点． （2）用待定系数法，选取两个正确的点求一次函数解析式． （3）将代入函数关系式求最大物重． （4）根据两杆秤称同一物体时，且，列方程求解． 【详解】（1） 解：观察图2中的点，假设是的一次函数， 观察、、、，发现它们都在一条直线上， 偏差最大， 横坐标的点描错了． （2）解：设，将、代入， 得， 解得：，， ． （3）解：当时，， 杆秤所能称量的最大物重为20斤． （4）解：设杆秤B中秤砣到秤纽的距离为，则杆秤中为， 同一物体， ， ， 解得：， ， 此时的物重为15斤． 23．某学校计划购买若干台电脑，现从甲、乙两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下表所示： 商场 优惠条件 甲商场 第一台按原价收费，其余每台优惠 乙商场 每台优惠 (1)分别写出甲、乙两商场的收费y（元）与所买电脑台数x之间的关系式； (2)学校到哪家商场购买电脑更合算？ 【答案】(1)， (2)当购买5台时，两家商场收费相同；当购买超过5台时，甲商场更合算；当购买少于5台时，乙商场更合算 【分析】本题考查了一次函数的实际应用；解题的关键是根据优惠条件正确列出两个商场的收费函数关系式，再通过比较函数值大小确定最优方案． （1）甲商场第一台原价，其余台每台按原价的收费，列式为，化简得; 乙商场每台按原价的收费，列式为； （2）令求出两函数图象交点对应的，再分三种情况讨论哪家更合算． 【详解】（1）解：由题意知，每台电脑原价6000元. 甲商场：第一台按原价收费，其余每台优惠， ，（且x为整数）， 乙商场：每台优惠， （且x为整数）， （2）解：当时，，解得; 当时，，解得; 当时，，解得. 当购买5台时，两家商场收费相同；当购买超过5台时，甲商场更合算；当购买少于5台时，乙商场更合算. 24．某游泳馆普通票价为元张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： ①金卡售价元张，每次凭卡不再收费 ②银卡售价元张，每次凭卡另收元． 暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数设游泳次时，所需总费用为元． (1)分别写出选择银卡、普通票消费时，所需总费用，与之间的函数关系式 (2)在同一平面直角坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请求出点，，，的坐标 (3)请根据函数图像，直接写出选择哪种消费方式更划算． 【答案】(1)银卡消费：，普通票消费： (2)，，， (3)当时，普通票消费更划算；当时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；当时，银卡消费更划算；当时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算；当时，金卡消费更划算 【分析】（1）根据银卡售价元/张，每次凭卡另收元，以及游泳馆普通票价元/张，设游泳次时，分别得出所需总费用即为与的关系式； （2）利用函数交点坐标求法分别求解即可； （3）利用（2）的各点的坐标并结合函数图像得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得： 选择银卡消费时，所需总费用与之间的函数关系式为， 选择普通票消费时，所需总费用与之间的函数关系式； （2）解：由题意可得： 当，时，得：， ∴； 当时，解得：， ∴； 当时，解得：， ∴； 当时，得：， ∴； （3）解：如图所示：由，，的坐标可得： 当时，普通票消费更划算； 当时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算； 当时，银卡消费更划算； 当时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算； 当时，金卡消费更划算． 试卷第1页，共3页 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $