微专题02 求一次函数的解析式常见九大题型（专项训练）数学新教材人教版八年级下册

微专题02 求一次函数解析式常考九大题型 题型一 已知两点确定函数解析式 本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，若同时有多个点可以选择时，往往选取数值较小，且容易计算的点的坐标代入求值. 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知y是关于x的一次函数，x、y的部分对应数据如下表： x m 0 y 0 2 求出这个一次函数的表达式及m的值． 2．（24-25八年级下·广东东莞·阶段检测）已知一次函数的图象经过和两点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若点在这个函数图象上，求的值． 3．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）已知y是x的一次函数，且当x＝4时，y＝9；当x＝6时，y＝﹣1． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当x＝1时，求y的值． 4．（25-26八年级下·北京·课后作业）在平面直角坐标系中有，，三点． (1)求过，两点的直线的函数解析式； (2)判断，，三点是否在同一条直线上？并说明理由． 5．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）已知一次函数的图象经过点和点． (1)求函数表达式； (2)判断点是否在函数图象上； (3)已知，在函数的图象上，，比较b与d的大小，并说明理由． (4)将一次函数的图象向下平移m个单位后恰好经过，则m的值为________． 题型二 由函数图象确定函数解析式 本题考查用待定系数法求函数解析式，解题关键是利用所给条件得到关键点的坐标，进而求得函数解析式． 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）一次二次函数的图象在直角坐标系中的位置如图所示，这个函数的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·山西临汾·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，则该函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·四川内江·月考）如图，过点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点，则这个一次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河北·一模）如图，8个边长为1的小正方形按照图中方式放置在平面直角坐标系中，直线经过小正方形的顶点P和Q，则直线的表达式为（   ） A． B． C． D． 题型三 利用已知函数关系式，再求函数关系式 首先根据成正比例，设出函数解析式y+2＝k（4﹣x），把x和y的值代入求出k的值，即可确定出y与x的函数关系式；此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键. 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）已知与成正比，且当时，． (1)求与之间的函数表达式； (2)若点在这个函数图像上，求的值． 2．（24-25八年级下·江苏南通·期中）已知一次函数，当时，；当时，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，求y的值． 3．（23-24八年级上·广西崇左·月考）已知与成正比例，且时， (1)求y与x的函数表达式； (2)点在该函数图象上，求点M的坐标． 4．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知：与成正比例，当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)将该函数图象沿y轴向下平移3个单位后，得到的图象经过点，求a的值． 5．（24-25八年级上·江苏无锡·月考）已知：与成正比例，且时，， (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值； (3)若该函数图象沿轴向上平移个单位长度，求平移后图象与轴的交点坐标． 题型四 由图形的面积确定一次函数解析式 解决本题的关键是根据直线与坐标轴围成三角形的面积确定另一个点的坐标． 1．（2026·安徽阜阳·二模）如图，若直线与x轴交于点，与y轴正半轴交于点B，且的面积为6，则该直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一次函数的图象经过点，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为5，则一次函数的表达式为（   ） A． B． C． D．或 3．（23-24七年级上·山东泰安·期末）已知一次函数的图像经过点且与两条坐标轴截得的直角三角形的面积为3，则一次函数的解析式为______． 4．已知某直线经过点A（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2．则该直线的一次函数表达式是　 ． 5．已知一次函数的图象经过点P（﹣3，0），且与两坐标轴截得的三角形面积为4，则此一次函数的解析式为 ． 题型五 利用图形平移变换确定一次函数解析式 平移变换：一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)的图象为直线，当直线平移时k不变，当向上平移m个单位，则平移后直线的解析式为y＝kx＋b＋m. 1．将直线沿轴向下平移个单位长度后得到的直线的表达式是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁铁岭·三模）把直线沿轴向右平移2个单位，所得直线的解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·二模）将直线向左平移2个单位长度得到直线：，则直线的解析式是（   ） A． B． C． D．以上解析式都不对 4．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到的，且经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)若点为一次函数图象上一点，求m的值． 5．（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，直线分别与轴、轴交于点、，将直线沿轴向下平移至点，与轴交于点，过点作，垂足为． (1)求直线的解析式； (2)求． 题型六 利用图形轴对称变换确定一次函数解析式 轴对称变换： ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） 1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知一次函数的图象与直线关于轴对称，则此一次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·福建福州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点．若点A与点A′关于直线l成轴对称，则直线l的解析式是（　　） A． B． C． D． 3．（2026八年级下·全国·专题练习）已知直线． （1）该直线关于y轴对称的直线的函数解析式为______； （2）该直线关于x轴对称的直线的函数解析式为______． 4．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）（1）【源于课本】 将一次函数的图象沿着轴向上平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为：_____； （2）【深入探究】 ①（平移探究）将图中一次函数的图象沿着轴向右平移3个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移．因此，只需要在图象上任取两点，将它们沿着轴向右平移3个单位长度，得到点的坐标，从而求出直线对应的函数表达式为：_____； ②（轴对称探究）将图中一次函数的图象关于轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为： ； 5．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）已知是一次函数． (1)求m的值； (2)求该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积； (3)将该一次函数的图象关于轴对称后的直线记为，求直线对应的函数表达式． 题型七 利用图形旋转变换确定一次函数解析式 旋转图形的坐标：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 1．如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点A（2，4），AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ADC，则直线AC的函数表达式为 　 　． 2．已知一次函数的图象经过点和，若将这个函数图象绕原点顺时针旋转，求旋转后的函数解析式． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 题型八 由实际问题确定一次函数解析式 结合题意根据实际问题中的数量关系式，找到题中的等量关系式，然后然后根据等量关系式代入相关的数据即可求出函数解析式. 1．（2026·山西晋城·一模）声音的传播速度与温度的关系如下表： 0 1 2 ．．． 331 331.6 332.2 ．．． 则与的函数关系式为（） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知汽车油箱内有油40L，每行驶耗油0.1L，则汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式是（        ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，甲、乙两地相距，现有一列火车从乙地出发，以的速度向丙地行驶．    设表示火车行驶的时间，表示火车与甲地的距离． （1）写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数； （2）当时，求的值． 4．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离． （1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； （2）当x=0.5时，求y的值． 5．（25-26七年级上·河南周口·期中）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于50元． (1)当一次订购量为多少件时，实际出厂单价恰好降为50元？ (2)设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为y元，写出y与x之间的函数关系式． 题型九 与确定函数解析式有关的综合性问题 先用待定系数法求出一次函数解析式，再结合几何图形、面积、等腰三角形、交点、平移对称等条件综合求解。 1．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，已知一条直线经过点，，将这条直线向右平移使之与轴、轴分别交于点，．若，求直线对应的函数解析式． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1、12都经过点A （3，0），它们分别与y轴交于点B和点C，点B、C均在y轴的正半轴上，点C在点B的上方． （1）如果OA=OB，求直线l1的表达式； （2）在（1）的条件下，如果△ABC的面积为3，求直线l2的表达式． 3．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在△AOB中，∠ABO=90°，OB=4，AB=8，直线y=-x+b分别交OA、AB于点C、D，且ΔBOD的面积是4． (1)求直线AO的解析式； (2)求直线CD的解析式． 4．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，将边长为5的菱形放在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，边与x轴重合，且． (1)求C点的坐标； (2)则所在直线的函数表达式． 5．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，直线y＝2x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求A，B两点的坐标； （2）将直线y＝2x+1向下平移5个单位长度后的直线y2． （3）过B点作直线BP与x轴交于点P，且使OP＝2OA，求直线BP的函数关系式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题02 求一次函数解析式常考九大题型 题型一 已知两点确定函数解析式 本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，若同时有多个点可以选择时，往往选取数值较小，且容易计算的点的坐标代入求值. 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知y是关于x的一次函数，x、y的部分对应数据如下表： x m 0 y 0 2 求出这个一次函数的表达式及m的值． 【答案】； 【分析】代入已知的两组x，y，先通过待定系数法求出一次函数表达式，再代入时，y所对应的值，即可求出m． 【详解】解：设这个一次函数的表达式为， 由表格可知，当时，； 当时，， ∴ 解得 ∴， 当时，， 此时，即． 2．（24-25八年级下·广东东莞·阶段检测）已知一次函数的图象经过和两点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若点在这个函数图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）把点代入（）所得函数解析式计算即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，正确求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴这个一次函数的解析式为； （2）解：∵点在这个函数图象上， ∴， ∴． 3．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）已知y是x的一次函数，且当x＝4时，y＝9；当x＝6时，y＝﹣1． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当x＝1时，求y的值． 【答案】（1）y=-5x+29；（2）24 【分析】（1）设y=kx+b，代入（4，9）和（6，-1）得关于k和b的方程组，解方程组即可； （2）把x=1代入函数表达式计算即可． 【详解】解：（1）设y=kx+b，代入（4，9）和（6，-1）得 ， 解得：， ∴此一次函数的表达式为y=-5x+29； （2）将x=1代入y=-5x+29， 得：y=-5×1+29=24． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，解决这类问题一般先设函数的一般式，再代入两个点构造方程组求解． 4．（25-26八年级下·北京·课后作业）在平面直角坐标系中有，，三点． (1)求过，两点的直线的函数解析式； (2)判断，，三点是否在同一条直线上？并说明理由． 【答案】(1) (2)，，三点在同一条直线上，详见解析 【分析】（1）根据点、坐标，利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）将点坐标代入（1）中解析式中，判定是否符合函数解析式即可作出判断． 【详解】（1）解：设过，两点的直线的函数解析式， 则，解得， ∴直线的函数解析式为 （2）解：，，三点在同一条直线上， 理由：当时，， ∴点在直线上， 即，，三点在同一条直线上． 5．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）已知一次函数的图象经过点和点． (1)求函数表达式； (2)判断点是否在函数图象上； (3)已知，在函数的图象上，，比较b与d的大小，并说明理由． (4)将一次函数的图象向下平移m个单位后恰好经过，则m的值为________． 【答案】(1) (2)不在 (3) (4)11 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图像和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出时的值即可判断求解； （3）利用一次函数的性质解答即可； （4）将点代入平移后的解析式，即可求出m的值． 【详解】（1）解：设一次函数表达式为 （），将、 代入： 解得：． ∴函数表达式为． （2）解：将代入，得． 故点C不在函数图象上． （3）解：∵函数表达式中， ∴一次函数y随x的增大而减小． ∵，在函数的图象上，， ∴． （4）解：∵函数图象向下平移m个单位后， ∴表达式为． 将代入得： ，即， 解得． 题型二 由函数图象确定函数解析式 本题考查用待定系数法求函数解析式，解题关键是利用所给条件得到关键点的坐标，进而求得函数解析式． 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）一次二次函数的图象在直角坐标系中的位置如图所示，这个函数的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式．利用待定系数法即可求解． 【详解】解：由图象可知直线经过，两点， ∴根据题意得：， 解得：， 则这个函数的表达式是：， 故选：C． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟知待定系数法是解题的关键． 设直线对应的函数表达式为，由图象可知直线过点、，代入解析式即可得到函数表达式． 【详解】解：设直线对应的函数表达式为， 由图象可知直线过点、，则 解得： 故该直线对应的函数表达式是， 故选：B． 3．（23-24八年级下·山西临汾·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，则该函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，根据一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，列方程组计算即可；熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是关键． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 解得 ∴该函数的表达式为 故选：B． 4．（24-25九年级上·四川内江·月考）如图，过点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点，则这个一次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解决问题的关键是利用一次函数的特点，来列出方程组，求出未知数，即可写出解析式．根据正比例函数图象确定B点坐标再根据图象确定A点的坐标，设出一次函数解析式，代入一次函数解析式，即可求出． 【详解】解：∵B点在正比例函数的图象上，横坐标为1， ∴， ∴， 设一次函数解析式为：， ∵一次函数的图象过点，与正比例函数的图象相交于点， ∴可得出方程组 ， 解得 ， 则这个一次函数的解析式为， 故选：A． 5．（2025·河北·一模）如图，8个边长为1的小正方形按照图中方式放置在平面直角坐标系中，直线经过小正方形的顶点P和Q，则直线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用待定系数求函数解析式，解题的关键是将函数点的坐标代入解析式，然后解方程组． 利用待定系数法即可求出函数的解析式． 【详解】从图示来看，点P和Q的坐标分别是、， 设直线l的解析式为，将点P和Q的坐标代入直线l的解析式得：， ∴． ∴直线l的解析式为． 故选：D． 题型三 利用已知函数关系式，再求函数关系式 首先根据成正比例，设出函数解析式y+2＝k（4﹣x），把x和y的值代入求出k的值，即可确定出y与x的函数关系式；此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键. 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）已知与成正比，且当时，． (1)求与之间的函数表达式； (2)若点在这个函数图像上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，掌握待定系数法的应用步骤是解题的关键． （1）设，把已知条件代入可求得k的值，则可求得y与x的函数关系式； （2）把点的坐标代入函数解析式可得关于m的方程，则可求得m的值． 【详解】（1）解：设，当时，， 则， ∴， ∴与的函数关系式是：； （2）解：当时， ， 解得：． 2．（24-25八年级下·江苏南通·期中）已知一次函数，当时，；当时，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数解析式：把满足条件的两组对应值代入一次函数的解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，再解方程组求出k、b，从而确定一次函数的解析式． （1）根据待定系数法求解即可； （2）把代入求解即可； 【详解】（1）解：把，；，分别代入， 得， 解得， ∴这个一次函数的解析式为． （2）解：把代入，得． 3．（23-24八年级上·广西崇左·月考）已知与成正比例，且时， (1)求y与x的函数表达式； (2)点在该函数图象上，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)点M的坐标为 【分析】（1）利用正比例函数的定义，设 ，然后把已知的对应值代入求出即可； （2）把代入（1）中的解析式得到关于的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）设与的表达式为， 把时，代入得， 解得， ∴与的关系式为， 即； （2）∵点在该函数图象上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：一次函数，则需要两组的值．也考查了一次函数的性质． 4．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知：与成正比例，当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)将该函数图象沿y轴向下平移3个单位后，得到的图象经过点，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，函数平移的规律，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）设，将，代入解析式求解，即可解题； （2）根据平移的规律得到平移后的解析式为，再将代入解析式求解，即可解题． 【详解】（1）解：设， 将，代入中， 有， 解得， ∴，即； （2）解：∵向下平移3个单位， ∴平移后的解析式为， 将，代入中， 有 解得． 5．（24-25八年级上·江苏无锡·月考）已知：与成正比例，且时，， (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值； (3)若该函数图象沿轴向上平移个单位长度，求平移后图象与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查正比例函数的定义，一次函数的图象和性质，一次函数图象的平移，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）设，待定系数法求出函数解析式即可； （2）把点代入（1）中所求解析式，进行求解即可； （3）根据平移规则求出平移后的解析式，再令，进行求解即可． 【详解】（1）解：设， 把代入，得：， 解得：， 则与的函数关系式是， 即； （2）把点代入得：， 解得：； （3）由“上加下减”的原则可知，将函数的图象沿轴向上平移个单位长度后所得函数的解析式为， 令，则， 平移后的图象与轴的交点的坐标为． 题型四 由图形的面积确定一次函数解析式 解决本题的关键是根据直线与坐标轴围成三角形的面积确定另一个点的坐标． 1．（2026·安徽阜阳·二模）如图，若直线与x轴交于点，与y轴正半轴交于点B，且的面积为6，则该直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用三角形面积公式求出得到，然后利用待定系数法求直线解析式． 【详解】解：， ， ，解得， ， 把，代入， ，解得， 直线解析式为． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一次函数的图象经过点，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为5，则一次函数的表达式为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，正确求得与轴的交点坐标是关键． 设一次函数与轴的交点是，根据三角形的面积公式即可求得的值，然后利用待定系数法即可求得函数解析式． 【详解】解：∵一次函数的图象过点， ∴， 设一次函数与轴的交点是， 则， 解得：． 把代入，， 解得：， 则函数的解析式是； 把代入，， 解得：， 则函数的解析式是； 故选：D. 3．（23-24七年级上·山东泰安·期末）已知一次函数的图像经过点且与两条坐标轴截得的直角三角形的面积为3，则一次函数的解析式为______． 【答案】或 【分析】由题意可设函数解析式为，求出与坐标轴的交点坐标，再根据面积可得出关于k的方程，解出即可得出k的值，进而可以求出函数解析式． 【详解】解：设一次函数的解析式为， 令，得，则一次函数的图象与x轴交点坐标为， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为：或． 【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，结合了三角形的知识，但难度中等，注意掌握坐标和线段长度的转化． 4．已知某直线经过点A（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2．则该直线的一次函数表达式是　 ． 【答案】y＝x+2或y＝﹣x+2． 【分析】设直线解析式为y＝kx+b，先把（0，2）代入得b＝2，再确定直线与x轴的交点坐标为（，0），然后根据三角形的面积公式得到2×||＝2，解方程得k的值，可得所求的直线解析式． 【解答】解：设直线解析式为y＝kx+b， 把（0，2）代入得b＝2， 所以y＝kx+2， 把y＝0代入得x， 所以2×||＝2， 解得：k＝1或﹣1， 所以所求的直线解析式为y＝x+2或y＝﹣x+2． 故答案为：y＝x+2或y＝﹣x+2． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 5．已知一次函数的图象经过点P（﹣3，0），且与两坐标轴截得的三角形面积为4，则此一次函数的解析式为 ． 【答案】y＝x+或y＝﹣x﹣． 【分析】设一次函数图象与y轴交于点Q（0，m），利用三角形的面积公式结合一次函数图象与两坐标轴截得的三角形面积为4，可求出m的值，再利用待定系数法即可求出此一次函数的解析式． 【详解】解： 依照题意画出图形，如图所示． ∵一次函数的图象经过点P（﹣3，0），∴OP=3 设一次函数图象与y轴交于点Q（0，m）， 则S△POQ=OP.OQ=×3×|m|=4， ∴m=±． 设一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0）． 当m=时，将（-3，0），（0，）代入y=kx+b， 得：，解得：， ∴一次函数的解析式为y=x+． 当m=-时，将（-3，0），（0，）代入y=kx+b， 得：，解得：， ∴一次函数的解析式为y=-x-． 故答案为y=x+．或y=-x-． 【点睛】本题考查了三角形的面积以及待定系数法求一次函数解析式，根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 题型五 利用图形平移变换确定一次函数解析式 平移变换：一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)的图象为直线，当直线平移时k不变，当向上平移m个单位，则平移后直线的解析式为y＝kx＋b＋m. 1．将直线沿轴向下平移个单位长度后得到的直线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】掌握“上加下减”的平移法则，按平移规律求解即可． 【详解】解：直线沿轴向下平移个单位长度， 平移后的直线表达式为． 2．（2026·辽宁铁岭·三模）把直线沿轴向右平移2个单位，所得直线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移规则“左加右减，上加下减”，进行求解即可. 【详解】解：，向右平移2个单位，得到. 3．（2026·陕西西安·二模）将直线向左平移2个单位长度得到直线：，则直线的解析式是（   ） A． B． C． D．以上解析式都不对 【答案】C 【分析】利用一次函数平移“左加右减自变量”的规律可得平移后的关系式为，再根据对应常数项相等得出答案． 【详解】解：设的解析式为． ∵向左平移2个单位长度，则平移后直线的关系式为，即． ∵， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． 4．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到的，且经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)若点为一次函数图象上一点，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的平移性质，一次函数的图象上点的坐标特征及一元一次方程的解法． （1）一次函数平移时，k不变，即函数的形式为，根据题意将点A代入，解方程可求得b的值，进而确定函数表达式； （2）点P在函数图象上，因此点P坐标满足函数表达式，将点P代入得到一个含m的一元一次方程， 求解m的值即可． 【详解】（1）解：根据一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到的，可知， 将点代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵点在的图象上， ∴， 解得． 5．（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，直线分别与轴、轴交于点、，将直线沿轴向下平移至点，与轴交于点，过点作，垂足为． (1)求直线的解析式； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的平移性质、解析式的求法、等腰直角三角形的判定与性质以及三角形面积公式，熟练掌握一次函数的平移规律和等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据直线平移的性质，设出直线的解析式，代入点求解． （2）先确定点坐标，求出的长度；再结合直线斜率为得出角的特征，利用等腰直角三角形的性质求出高，最后代入三角形面积公式计算． 【详解】（1）解：直线的解析式为，把代入得，， 故此直线的解析式为：； （2）解：∵直线与轴交于点 ，与轴交于点 ， ， 过点作于， ， 同理可得 ． 题型六 利用图形轴对称变换确定一次函数解析式 轴对称变换： ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） 1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知一次函数的图象与直线关于轴对称，则此一次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，轴对称性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 首先求出直线与x轴和y轴的交点坐标，然后根据题意得到一次函数的图象与x轴和y轴的交点坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵直线 ∴当时，， ∴直线与y轴的交点为； ∴当时，， 解得 ∴直线与x轴的交点为 ∵一次函数的图象与直线关于轴对称， ∴一次函数的图象与y轴的交点为，与x轴的交点为 设一次函数的解析式为 ∴ ∴ ∴此一次函数的解析式为． 故选：A． 2．（2024·福建福州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点．若点A与点A′关于直线l成轴对称，则直线l的解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中点坐标公式、轴对称的性质、一次函数的图象与性质，连接，利用中点坐标公式求得线段的中点，再根据轴对称的性质得，直线l垂直平分，进而得直线l经过一、三象限，且经过点B，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵点，点， ∴线段的中点， ∵点A与点A′关于直线l成轴对称， ∴直线l垂直平分， ∴直线l经过一、三象限，且经过点B， ∴直线l的解析式是， 故选：C． 3．（2026八年级下·全国·专题练习）已知直线． （1）该直线关于y轴对称的直线的函数解析式为______； （2）该直线关于x轴对称的直线的函数解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的对称变换，熟悉一次函数关于轴和轴的对称变换规律，是解题的关键．利用点关于坐标轴对称的性质求解对称直线表达式即可． 【详解】解：（1）关于轴对称时，点的对称点为， 代入原方程得，即． （2）直线关于轴对称时，其上任意一点的对称点为， 代入原方程得，即， 4．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）（1）【源于课本】 将一次函数的图象沿着轴向上平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为：_____； （2）【深入探究】 ①（平移探究）将图中一次函数的图象沿着轴向右平移3个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移．因此，只需要在图象上任取两点，将它们沿着轴向右平移3个单位长度，得到点的坐标，从而求出直线对应的函数表达式为：_____； ②（轴对称探究）将图中一次函数的图象关于轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为： ； 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题考查了一次函数平移，对称的性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）由平移的性质即可求解； （2）①先求出函数图像平移后的解析式，再根据图象的平移就是点的平移即可求解； ②一次函数的图象关于轴对称，将x替换为即可求解． 【详解】解：（1）由平移的性质知，平移后的函数表达式为：， 故答案为：； （2）①一次函数的图象沿着轴向右平移3个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式为：， 图象的平移就是点的平移， 直线对应的函数表达式为； ②一次函数的图象关于轴对称， 函数上的点的坐标横坐标为相反数，纵坐标相等， 将x替换为，， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）已知是一次函数． (1)求m的值； (2)求该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积； (3)将该一次函数的图象关于轴对称后的直线记为，求直线对应的函数表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的定义、一次函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求解析式． （1）根据一次函数的定义得到，，求解即可； （2）先确定函数解析式，再分别令，，求出该函数图象与坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式求解即可； （3）根据直线l与一次函数的图象关于y轴对称，得到直线l过点，，运用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴，， 由得， 由得或， ∴． （2）解：∵， ∴一次函数的解析式为， ∵当时，， ∴该一次函数的图象与y轴的交点为， ∵当时，，解得， ∴该一次函数的图象与x轴的交点为， ∴该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积为． （3）解：∵直线l与一次函数的图象关于y轴对称，且一次函数的图象过点，， ∴直线l过点，， 设直线l的解析式为， ∴，解得， ∴直线l的解析式为． 题型七 利用图形旋转变换确定一次函数解析式 旋转图形的坐标：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 1．如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点A（2，4），AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ADC，则直线AC的函数表达式为 　 　． 【答案】y＝﹣0.5x+5. 【分析】直接把点A（2，4）代入正比例函数y＝kx，求出k的值即可；由A（2，4），AB⊥x轴于点B，可得出OB，AB的长，再由△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ADC，由旋转不变性的性质可知DC＝OB，AD＝AB，故可得出C点坐标，再把C点和A点坐标代入y＝ax+b，解出解析式即可． 【详解】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）经过点A（2，4） ∴4＝2k， 解得：k＝2， ∴y＝2x； ∵A（2，4），AB⊥x轴于点B， ∴OB＝2，AB＝4， ∵△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ADC， ∴DC＝OB＝2，AD＝AB＝4 ∴C（6，2）， 设直线AC的解析式为y＝ax+b， 把（2，4）（6，2）代入解析式可得：， 解得：， 所以解析式为：y＝﹣0.5x+5. 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及旋转变换，解题的关键是熟练掌握折叠的性质． 2．已知一次函数的图象经过点和，若将这个函数图象绕原点顺时针旋转，求旋转后的函数解析式． 【答案】 【分析】首先求出原一次函数的表达式，然后求出与x轴和y轴的交点坐标，然后利用待定系数法求解． 【详解】解：设一次函数解析式为， 则， 解得， 所以一次函数解析式为． 设与轴和轴分别交于点和点，则，， 所以，绕原点顺时针旋转的点为， 设 代入得， 解得， 所以一次函数解析式为． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）平移时k的值不变，只有b发生变化．可以先确定平移后与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得； （2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案； （3）在直线取两点，，根据旋转性质求得旋转后对应点，，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：（1）将函数的图象沿x轴向右平移3个单位长度， 平移后与x轴的交点为，将代入中，得 ， 解得， 所以平移后的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：在函数的图象上取两个点、， 关于x轴对称的点的坐标、， 设直线的解析式为， 把代入，得 ， ∴一次函数的表达式为； （3）解：如图，在直线上取两点，， 一次函数的图象绕点逆时针方向旋转， 点、绕点逆时针方向旋转后对应点为点、， 过点作轴于，过点作轴于，过点作于， ， ，， 由旋转可得，， ， ，， ， ， ， ， ，， 轴， 四边形是矩形， ，， ， ， 同理可求得点， 设直线解析式为， 把、代入，得 ， 解得：， ∴旋转后得到函数解析式为：． 故答案为：． 题型八 由实际问题确定一次函数解析式 结合题意根据实际问题中的数量关系式，找到题中的等量关系式，然后然后根据等量关系式代入相关的数据即可求出函数解析式. 1．（2026·山西晋城·一模）声音的传播速度与温度的关系如下表： 0 1 2 ．．． 331 331.6 332.2 ．．． 则与的函数关系式为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由表格数据可知满足一次函数关系，利用待定系数法求函数解析式即可． 【详解】由表格数据可知满足一次函数关系， 设的函数关系式为 当时，，代入得 把，代入，得 解得 验证：当时，，与表格数据一致 与的函数关系式为． 2．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知汽车油箱内有油40L，每行驶耗油0.1L，则汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用油箱内有油40L，每行驶1km耗油0.1L，进而得出余油量与行驶路程之间的函数关系式即可． 【详解】解：∵汽车油箱内有油40L，每行驶1km耗油0.1L， ∴汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式为： 故选：A． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列一次函数关系，表示出油箱内余油量是解题关键． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，甲、乙两地相距，现有一列火车从乙地出发，以的速度向丙地行驶．    设表示火车行驶的时间，表示火车与甲地的距离． （1）写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数； （2）当时，求的值． 【答案】（1），是的一次函数；（2）140 【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案； （2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km） ∵甲、乙两地相距100km ∴火车与甲地的距离表示为：（100+80x）km ∴y=100+80x ∴y是x的一次函数； （2）当时，得：y=100+80×0.5=140． 【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解． 4．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离． （1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； （2）当x=0.5时，求y的值． 【答案】（1），y是x的一次函数；（2） 【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案； （2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km） ∵甲、乙两地相距120km ∴火车与甲地的距离表示为：（km），即； 当火车到达甲地时，即 ∴，即火车行驶1.5h到达甲地 ∴ y是x的一次函数； （2）根据（1）的结论，得：． 【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解． 5．（25-26七年级上·河南周口·期中）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于50元． (1)当一次订购量为多少件时，实际出厂单价恰好降为50元？ (2)设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为y元，写出y与x之间的函数关系式． 【答案】(1)当一次订购量为600件时，实际出厂单价恰好降为50元 (2) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，列分段函数： （1）设当一次订购量为x件时，实际出厂单价恰好降为50元，根据降价规则列一元一次方程，解方程即可； （2）分，，三种情况，列分段函数． 【详解】（1）解：设当一次订购量为x件时，实际出厂单价恰好降为50元， ， 解得， 答：当一次订购量为600件时，实际出厂单价恰好降为50元． （2）解：当时，； 当时，； 当时，， 综上可得： ． 题型九 与确定函数解析式有关的综合性问题 先用待定系数法求出一次函数解析式，再结合几何图形、面积、等腰三角形、交点、平移对称等条件综合求解。 1．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，已知一条直线经过点，，将这条直线向右平移使之与轴、轴分别交于点，．若，求直线对应的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，线段垂直平分线的判定，熟知一次函数图象平移时k的值不变，只有b发生变化是解答此题的关键． 先通过待定系数法求出直线的解析式，再根据平移的性质求直线的解析式． 【详解】解：设直线对应的函数解析式为， 点，在直线上， ， 解得， ∴直线对应的函数解析式为， ∵将这条直线向右平移使之与轴、轴分别交于点，，且， ∴垂直平分， ， ， 设直线对应的函数解析式为， 把点的坐标代入中， 得， 解得， 直线对应的函数解析式为． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1、12都经过点A （3，0），它们分别与y轴交于点B和点C，点B、C均在y轴的正半轴上，点C在点B的上方． （1）如果OA=OB，求直线l1的表达式； （2）在（1）的条件下，如果△ABC的面积为3，求直线l2的表达式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）首先根据OA＝3，可得BO＝4，再设直线l1的表达式为y＝kx＋b，然后利用待定系数法求出k、b的值，可得直线的表达式； （2）根据△AOC的面积为3，可得CO长，进而得到C点坐标，然后再设直线的表达式为，利用利用待定系数法求出k、b的值，可得直线的表达式． 【详解】（1）解：∵， ∴，即 设的表达式为 将，分别代入，得 解得 故为 （2）解：∵ ∴ 即 又∵，且点 C在点B的上方， ∴ 设表达式为 将，代入，得 解得 故为． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解题时注意：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解． 3．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在△AOB中，∠ABO=90°，OB=4，AB=8，直线y=-x+b分别交OA、AB于点C、D，且ΔBOD的面积是4． (1)求直线AO的解析式； (2)求直线CD的解析式． 【答案】(1)y=2x (2) 【分析】（1）由OB=4，AB=8，∠ABO=90°，得A点坐标为（4，8），通过待定系数法，求得直线AO的解析式． （2）由OB=4，∠ABO=90°，=4，求得D点的坐标，再通过待定系数法，求得直线CD的解析式． 【详解】（1）解：∵OB=4，AB=8，∠ABO=90°， ∴A点坐标为（4，8）， 设直线AO的解析式为y=kx，则4k=8 ， 解得k=2，即直线AO的解析式为y=2x． （2）解：∵OB=4，∠ABO=90°，=4， ∴DB=2， ∴D点的坐标为（4，2）， 把D（4，2）代入得： 解得=6， ∴直线CD的解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，准确求得相关点坐标，熟练运用待定系数法是解题的关键． 4．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，将边长为5的菱形放在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，边与x轴重合，且． (1)求C点的坐标； (2)则所在直线的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求得线段，的长度，则可得的长，进而可得C点的坐标； （2）根据平行四边形的性质求出D点坐标，利用待定系数法即可求得所在直线的函数表达式． 【详解】（1）解：∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， ， ∴，． ∴． ∴． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴． 设直线的解析式为， ∴， 解得． ∴直线的解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法确定一次函数的解析式，勾股定理，菱形的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，利用勾股定理求得线段的长度，进而得到点C，D的坐标是解题的关键． 5．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，直线y＝2x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求A，B两点的坐标； （2）将直线y＝2x+1向下平移5个单位长度后的直线y2． （3）过B点作直线BP与x轴交于点P，且使OP＝2OA，求直线BP的函数关系式． 【答案】（1）A（﹣，0），B（0，1）；（2）y2=2x﹣4；（3）y=﹣x+1或y=x+1． 【分析】（1）利用直线解析式和坐标轴上点的坐标特征求解； （2）根据平移的性质即可求解； （3）设P（t，0），根据题意得|t|=2×=1，解方程得P点坐标为（1，0）或（-1，0），然后利用待定系数法求直线BP的解析式． 【详解】解：（1）当y＝0时，2x+1=0，解得x＝﹣，则A（﹣，0）， 当x=0时，y=2x+1=1，则B（0，1）； （2）y=2x+1向下平移5个单位长度得到直线y2， 则直线y2的表达式为：y2=2x+1﹣5=2x﹣4； （3）设P（t，0）， ∵OP=2OA， ∴|t|=2×=1，解得t=1或t=﹣1， ∴P点坐标为（1，0）或（﹣1，0）， 设直线BP的解析式为y=kx+b， 把P（1，0），B（0，1）代入得， 解得，此时直线BP的解析式为y=﹣x+1； 把P（﹣1，0），B（0，1）代入得， 解得，此时直线BP的解析式为y=x+1； 综上所述，直线BP的解析式为y=﹣x+1或y=x+1． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则以及待定系数法求一次函数解析式，利用数形结合思想解决问题是本题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $