专题06 求一次函数解析式的七种方法（专项训练）数学沪科版2024八年级上册

专题06 求一次函数解析式的七种方法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、由平移求解析式 1 题型二、由平行求解析式 4 题型三、由对称求解析式 7 题型四、由旋转求解析式 9 题型五、待定系数法求解析式 10 题型六、由几何图形求解析式 13 题型七、实际问题求解析式 17 B综合攻坚 能力跃升 22 题型一、由平移求解析式 1．将一次函数向下平移5个单位长度后得到，则的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的平移，掌握平移的规律是解题的关键；根据一次函数平移规律，原函数向下平移5个单位后，解析式为，与平移后的函数对比，即可求出原函数的表达式． 【详解】解：一次函数向下平移5个单位后，解析式变为． ∵平移后的函数为， ∴，， 解得． 将和代入原函数，得， 故选：A． 2．把直线l：向上平移2个单位长度，得到直线，则的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的平移，熟记一次函数的平移规律“上加下减，左加右减”是解题的关键．根据一次函数的平移规律即可求解． 【详解】解：直线l：向上平移2个单位长度，得到直线， ∴的表达式为． 故选：B． 3．将直线向下平移3个单位长度得到的直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．依据题意，根据“上加下减”的平移规律即可判断得解． 【详解】解：由题意，直线为， 根据“上加下减”的平移规律可知，将函数向下平移3个单位所得函数的解析式为，即． 故选：C． 4．一次函数的图象向左平移m个单位正好经过原点，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】主要考查了一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 根据平移的规律得到平移后一次函数的解析式为，然后把原点的坐标代入求值即可． 【详解】解：一次函数的图象向左平移m个单位后得到， 把代入，得到：， 解得． 故选：A． 5．（2025·陕西咸阳·二模）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向右平移2个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则的值为（   ） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象平移，正比例函数，熟知“左加右减”的平移法则是解题的关键． 根据“左加右减”的平移法则，表示出平移后的直线解析式，再结合正比例函数的定义求出的值即可． 【详解】解：将一次函数的图象向右平移2个单位长度后， 所得函数的解析式为． 因为此函数为正比例函数， 所以， 解得． 故选：B． 6．在平面直角坐标系中，直线经过点，且与x轴交于点B． (1)求点B的坐标； (2)若将直线平移得到直线，且直线经过点，求直线的函数解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入，确定直线的解析式，后计算与x轴的交点坐标即可． （2）设直线，代入点计算，即可解答． 本题考查了待定系数法，一次函数的平移，与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数法，平移是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 解得， 点B的坐标为． （2）解：直线由直线平移得到， 设直线的函数解析式为． 直线经过点， ， 解得， 直线的函数解析式为． 7．在平面直角坐标系中，点，． (1)求直线的解析式； (2)将直线向下平移4个单位后得到直线l，求直线l 与坐标轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，平移的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得平移后的直线解析式，然后求出直线与坐标轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式的解析式为， 将点，代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵将直线向下平移4个单位后得到直线l，                               ∴直线l解析式为，               令，得；令，得； 直线l与坐标轴的交点坐标是、． 题型二、由平行求解析式 8．已知直线l与直线平行，且经过点，直线l的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线平行的问题，熟记两平行直线的解析式的k值相等是解题的关键． 根据两平行直线的解析式的k值相等可设直线的函数表达式为，再把经过的点的坐标代入函数解析式计算求出b，从而得解． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴设直线的函数表达式为， ∵直线经过点， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为． 故答案为：． 9．已知函数． (1)若该函数是正比例函数，求的值； (2)若该函数是一次函数，且与直线平行，该函数经过点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数性质，一次函数的平移，正比例函数与系数的关系，熟练掌握一次函数图象与性质是解题的关键． （1）根据函数是正比例函数，可知，，进一步求解即可； （2）根据这个函数是一次函数，且与直线平行，可得，得出，将代入解析式，进一步求解即可． 【详解】（1）∵函数是正比例函数 ∴， ∴， ∴； （2）∵该函数是一次函数，且与直线平行， ∴ ∴ ∴函数解析式为 ∵该函数经过点， ∴． 10．在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1=k2，且b1≠b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行．解答下面的问题： （1）求过点P（1，2），且与已知直线y=-2x-1平行的直线l的函数解析式，并画出图象； （2）设直线l分别与y轴，x轴交于点A、B，如果直线m：y=kx+t（t＞0）与直线l平行，且交x轴于点C，求出△ABC的面积S，关于t函数关系式． 【答案】（1）y=-2x+4;（2）S=． 【分析】（1）直线l与已知直线y=-2x-1平行，因而直线l的一次项系数是-2，根据待定系数法就可以求出函数解析式； （2）先求出A、B两点的坐标，对点C的位置分在B点的左侧和右侧两种情况进行讨论．再根据三角形的面积公式求出△ABC的面积S关于t的函数表达式． 【详解】（1）设直线l的函数表达式为y=kx+b， ∵直线l与直线y=-2x-1平行，∴k=-2， ∵直线l：y=-2x+b过点P（1，2）， ∴-2+b=2， ∴b=4， ∴直线l的函数表达式为y=-2x+4． 直线l的图象如图． （2）∵直线l分别与y轴、x轴交于点A、B， ∴点A、B的坐标分别为（0，4）、（2，0）． ∵l∥m， ∴直线m为y=-2x+t． 令y=0，解得x=， ∴C点的坐标为（，0）． ∵t＞0，∴＞0． ∴C点在x轴的正半轴上． 当C点在B点的左侧时，S=×（2-）×4=4-t； 当C点在B点的右侧时，S=×（-2）×4=t-4． ∴△ABC的面积S关于t的函数表达式为S=． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，两条直线平行的条件，三角形的面积，是需要熟记的内容． 题型三、由对称求解析式 11．（2020·陕西·模拟预测）已知一次函数y1＝mx+n与一次函数y2＝nx﹣1关于y轴对称，若点A1（2，b）和点A2分别是y1和y2函数图象上的一对对应点，则点A2的坐标是（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣2，0） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，﹣2） 【答案】A 【分析】根据对称得出n＝﹣1，从而求得y2＝﹣x﹣1，把A2（﹣2，b）代入即可求得b的值，求得点A2的坐标． 【详解】解：∵一次函数y1＝mx+n与一次函数y2＝nx﹣1关于y轴对称， ∴n＝﹣1， ∴y2＝﹣x﹣1， ∵点A1（2，b）和点A2分别是y1和y2函数图象上的一对对应点， ∴A2（﹣2，b）， 代入y2＝﹣x﹣1，得b＝2﹣1＝1， ∴点A2的坐标是（﹣2，1）， 故选：A． 【点睛】此题考查的是一次函数的图象与几何变换，掌握关于y轴对称的两点的坐标关系是解决此题的关键． 12．一条直线与x轴交于，与y轴交于点B，若点B到x轴的距离为2，则该直线对应的函数表达式为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了坐标系内点的位置确定、直线的斜率与截距的概念及其相互关系、一次函数的图像与性质、以及根据给定点求解直线方程的方法．解题的关键在于准确理解点B在y轴上的位置及其到x轴的距离含义，通过点A和点B的坐标确定直线的斜率和截距，进而求出直线方程，并对比选项找出符合题意的答案．首先确定点B的坐标，利用点A和点B的坐标求出直线的斜率和截距，得到直线的函数表达式，最后比较选项得出答案． 【详解】解：设点B的坐标为， 点B到x轴的距离为2，即， 或， 点B的坐标为或， 设该直线方程 的一般式为， 点在直线上，代入方程得：， 整理，得， 当时，，解得 此时直线方程为； 当时，由得：， 此时直线方程为， 故选：C． 13．已知一次函数的图象与直线关于直线对称，则此一次函数的解析式为 ． 【答案】 【详解】试题解析：过点，，， ∵一次函数与关于对称， ∴一次函数过点，， 设所求的一次函数为y=kx+b， 解得： 即解析式为：． 故答案为． 14．若直线经过点，经过点，且与关于轴对称，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据对称的性质得出关于x轴对称的对称点的坐标，再根据待定系数法确定函数关系式y1=k1x+b1，再根据对称的性质得到y2=kx+b2，求出不等式的解集． 【详解】解：依题意得：直线l1：y1=k1x+b1经过点（0，3），（3，-1），则 解得， 故直线l1：， 所以，直线l2：， 由k1x+b1＞k2x+b2的得到： 解得， 故答案是： 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象与几何变换，根据题意得到直线方程的解题的关键所在． 题型四、由旋转求解析式 15．已知直线过点，，将直线绕坐标原点旋转后得到直线，点的对应点为，点的对应点为．   （1）写出点和的坐标； （2）求直线的解析式． 【答案】（1）点和的坐标分别为：，；（2）． 【分析】（1）根据关于原点对称的点横坐标与纵坐标都互为相反数求解即可； （2）用待定系数法求解即可． 【详解】解：（1）∵点和与点和关于原点对称，点为，为， ∴点和的坐标分别为：，； （2）设直线l2的解析式为， 由题意得：， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的特征，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 题型五、待定系数法求解析式 16．已知一次函数的图象经过，点两点 ． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求这个函数图象与y轴的交点． 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查了一次函数的解析式、与坐标轴的交点的知识点，熟知求待定系数的方法和步骤以及直线与坐标轴的交点的坐标特征是解题的关键．（1）把P、Q两点的横、纵坐标分别代入函数解析式，求得k、b的值即可； （2）根据y轴上的点的坐标特征，结合一次函数的解析式可解． 【详解】（1）解：∵直线经过点，， ∴， 解得， ∴所求一次函数表达式为； （2）解：， 令，则， 直线与轴的交点坐标为． 17．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过两点．求这个一次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式．根据待定系数法求出一次函数解析式即可． 【详解】解：设直线的解析式为：， 把点与点代入得， 解得． 直线的解析式为：． 18．已知一次函数，它的图象经过． (1)求y与x的函数关系式； (2)判断点是否在该函数图象上． 【答案】(1) (2)不在 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式及一次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及一次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法进行计算即可． （2）将点P坐标代入（1）中所得解析式进行验证即可． 【详解】（1）解：将点代入得， ， 解得：， 所以y与x的函数关系式为； （2）解：点P不在该函数图象上， 将代入得，， ∴点P不在该函数图象上． 19．已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)若点在该函数图象上，直接写出与的大小关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式和一次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法． （1）用待定系数法即可求出答案； （2）由一次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴， 当时，， 即， 解得， ∴ 即， ∴y与x之间的函数解析式是； （2）解：∵， ∴y随x的增大而增大， 又， ∴． 20．一次函数（k为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上，求一次函数的解析式． (2)当时，一次函数（k为常数，且）有最大值k，求k的值． (3)若一次函数（k为常数，且）与x轴的交点为，且，设，求P的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． （1）将点代入一次函数解析式得到值，继而得到一次函数解析式； （2）分情况讨论最值①当时，随的增大而增大，②当时，随的增大而减小，继而得到的最大值； （3）画出示意图，先求出的取值范围，再根据求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：把代入， 得：， 解得：， ∴一次函数解析式为：； （2）解：①当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值，即，解得：， ②当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，即，解得：（舍去） 综上所述； （3）解：如图， ， ∵， ∴当时，，时， ，∴ ∵， ∴； 题型六、由几何图形求解析式 21．如图，在平面直角坐标系中，直线：与两坐标轴分别相交于A、B两点，直线与相交于点． (1)直接写出A、B两点的坐标； (2)若直线将的面积分成的两部分，求直线的函数关系式． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题考查了两条直线相交问题，三角形的面积问题，待定系数法求一次函数的解析式，注意（2）中C的坐标是两种情况． （1）分别令和，可求得A、B的坐标； （2）设C点的坐标为，然后分两种情况求得C的坐标，进而利用待定系数法即可求得直线的解析式． 【详解】（1）解：在中，令，得， 令，得，解得， ，； （2）解：，， ，， ， 设C点的坐标为， ， 将的面积分成的两部分， 或， 或， 解得：或4， 或， 设直线的解析式为， 或， 解得或 直线的解析式为或． 22．在平面直角坐标系中，点在直线上． (1)求该直线的函数解析式，并在图中画出该直线； (2)若，求x的取值范围． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，画一次函数的图象，求不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接把代入，得，再在平面直角坐标系描出点，，再连接，结合两点确定一条直线，即可作答． （2）根据，，得，解得，即可作答． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， 令，则， 经过点 在平面直角坐标系上找到点，，再连接，如图所示： （2）由（1）得， ， ， ． 23．（2025·贵州遵义·模拟预测）反比例函数的图象如图所示，一次函数的图象与的图象交于，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法，反比例函数与一次函数综合； （1）将，代入求出、的坐标，由待定系数法，即可求解； （2）根据在上方的图象对应的函数值较大，根据图象即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得， ， ， ， ，， ， 解得：， 一次函数的表达式为； （2）解：由图象得或． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与不等式，求出交点坐标，并利用数形结合是解题的关键． （1）由直线求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）求得的坐标，当时，求的取值范围，即求的图象在轴及其上方，且在的图象下方时，对应的的取值范围． 【详解】（1）解：直线与直线交于点， ， ， 把代入， 得， 解得， 直线的解析式为． （2）解：令，则，解得， ， 由图象知，当时，即的图象在轴及其上方，且在的图象下方时，对应的的取值范围是． 题型七、实际问题求解析式 25．某通讯公司推出甲、乙两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的费用y（元）与通讯时间x（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)有月租费的收费方式是________（填“甲”或“乙”），月租费是________元； (2)分别求出甲、乙两种收费方式中y与x之间的函数关系式； (3)若小明每月的通话时间为200分钟，请帮小明选出经济实惠的方案，并说明理由． 【答案】(1)甲；30 (2)， (3)选择乙种收费方式更实惠，理由见解析 【分析】本题考查的是用一次函数解决实际问题，解题的关键是读懂题意，能求出函数关系式． （1）根据当通讯时间为零的时候的函数值可以得到哪种方式有月租，哪种方式没有，有多少； （2）根据图象经过的点的坐标设出函数的解析式，用待定系数法求函数的解析式即可； （3）把分别代入（2）所求的解析式，求出两种收费，再比较即可． 【详解】（1）解：由图象可得：有月租费的收费方式是甲；月租费是30元； 故答案为：甲；30元． （2）解：设，将代入得： ， 解得， 甲收费方式的解析式为； 设，将代入得： ， 解得， 乙收费方式解析式为； （3）解：当时，， ∵，即， ∴选择乙种收费方式更实惠． 26．如图是甲骑自行车与乙骑摩托车，分别从，两地向地（，，在同一直线上）行驶过程中离地的距离（千米）与行驶时间（小时）的关系图，请你根据图中给出的信息解答下列问题： (1)甲在行驶过程中的速度为______千米小时；乙在行驶过程中的速度为______千米小时； (2)求乙行驶的距离与乙运动时间之间的函数关系式． (3)请问甲乙在何时相遇？ 【答案】(1)， (2)； (3)． 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图象，得到，，三地的相对位置及、之间的距离，再根据速度路程时间分别求出甲、乙的速度即可； （）根据路程速度时间计算即可； （）写出甲行驶的距离与运动时间之间的函数关系式，根据甲乙相遇时离地距离相等列关于的一元一次方程并求解即可． 【详解】（1）解：根据图象，，，三地的相对位置及距离如图所示： 甲在行驶过程中的速度为（千米小时）， 乙在行驶过程中的速度为（千米小时）， 故答案为：，； （2）解：设乙行驶的距离与乙运动时间之间的函数关系式为， ∴， 解得：， ∴行驶的距离与乙运动时间之间的函数关系式为； （3）解：设甲行驶的距离与运动时间之间的函数关系式为， ∴， 解得：， ∴甲行驶的距离与运动时间之间的函数关系式为， 当甲乙相遇时，得， 解得， 答：甲乙在甲出发小时相遇． 27．（2025·吉林长春·模拟预测）【问题背景】杆秤是我国独立发明的度量物体质量的衡器，它是我国古代劳动人民智慧的结晶．使用时，将被测物挂在秤钩上，一手提起称纽，一手移动秤砣，使秤杆平衡，观察称星，就可以读出物体的质量数．（如图）．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（千克）． 【记录数据】表中为若干次称重时，某数学兴趣小组所记录的一些数据． x/厘米 0 1 2 3 4 y/千克 0.5 0.75 1.00 1.25 1.5 【探索发现】 （1）在坐标系中描出数据所表示的点，判断y与x是________函数的关系（请选填“一次”，“二次”，“反比例”）； （2）求出y与x之间的函数关系式； 【结论应用】 （3）当秤钩所挂物重由6.5千克变为8千克时，直接写出秤杆上秤砣移动的水平距离是多少？    【答案】（1）图象见解析，一次；（2）；（3）秤杆上秤砣移动的水平距离是． 【分析】此题是一次函数的应用题，考查了一次函数的图象、待定系数法求函数解析式、求自变量的值等知识，准确判断和求出函数解析式是关键． （1）根据在坐标系中描出数据所表示的点，判断y与x是一次函数即可； （2）利用待定系数法求出答案即可； （3）分别求出当和时的自变量的值，作差即可得到答案． 【详解】解：描点并连线，如图所示，    ∵这些点分布在同一条直线上， ∴y与x是一次函数关系， 故答案为：一次 （2）设， 把，和，代入可得： ， 解得， 即． （3）当时，，解得， 当时，，解得， 答：秤杆上秤砣移动的水平距离是． 28．（2025·陕西咸阳·二模）某游乐园在五一假日期间，为了吸引游客，特别推出了团体门票优惠活动，当一次性购票不超过4张时，按原价售出；当一次性购票超过4张时，超过的部分给予优惠，团体购票数量x（张）与所付门票的总费用y（元）之间存在如图所示的函数关系． 根据图中信息，解答下列问题： (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若某团体在活动期间去该游乐园游玩，所付门票的总费用为320元，求该团体的总人数． 【答案】(1) (2)该团体的总人数是20人 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用． （1）利用待定系数法分别求出当时和当时y与x之间的函数关系式即可． （2）把320代入求解即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，设y与x之间的函数表达式为（k、b为常数，）， 将和代入， 得， 解得 ∴y与x之间的函数表达式为． 综上可得y与x之间的函数表达式为． （2）解：∵，∴． 令，得， 解得， ∴该团体的总人数是20人． 1．已知直线与直线平行，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了两条直线平行的条件：值相等，值不相等，解题的关键是熟练掌握两直线平行的条件． 根据平行的两直线的解析式的一次项系数相等，即可求解． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴， 解得， 故答案为：． 2．求与直线平行且经过点的直线表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键在于理解平行直线k值相等的原理．运用待定系数法求直线方程即可． 【详解】解：设所求直线方程为， 将点代入方程：， 解得，， ， 故答案为：． 3．弹簧的长度y（单位：）与所挂物体的质量x（单位：）的关系是一次函数，如图所示，此函数的图象经过，两点，则弹簧不挂物体时的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用，关键是设出函数关系式，利用待定系数法求出的值． 根据图象，设出直线解析式为，把，代入函数解析式，可得函数关系式为：，求直线与 y 轴交点即可． 【详解】解：设解析式为， 把，代入得：， 解得：， 则函数关系式为：， 当时，． 故选：B． 4．（2025·陕西西安·一模）将直线向下平移6个单位后，正好经过点，则k的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数图象的平移，利用待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握平移的性质． 根据平移的性质得出，将点的坐标代入即可求解． 【详解】解：直线向下平移6个单位得，， 将代入解析式得，， 解得， 故选：D． 5．一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且将一次函数的图象向下平移3个单位后经过点，则 ． 【答案】 【分析】根据图象平行，得，于是向下平移3个单位后为，把代入解析式解答即可． 本题考查了一次函数图象平行的条件，平移，图象过点，熟练掌握图象平行的条件和平移是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象与正比例函数的图象平行， ∴， ∴一次函数解析式为， ∵一次函数的图象向下平移3个单位， ∴平移后的解析式为， ∵新解析式经过点， ∴ 解得， 故答案为：． 6．如图，表示某产品一天的销售收入（万元）与销售量x（件）的关系，表示该产品一天的销售成本（万元）与销售量x（件）的关系，则： （1）销售收入与销售量x之间的函数关系式为 ； （2）销售成本与销售量x之间的函数关系式为 ； （3）当一天的销售量超过 件时，生产该产品才能获利．（利润收入成本） 【答案】 4 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）根据函数图象，用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据函数图象，用待定系数法求函数解析式即可； （3）根据图象得出结论． 【详解】解：（1）设， ∵过点， ∴， ∴销售收入与销售量之间的函数关系式为， 故答案为：； （2）设， ∵过点，， ∴有， 解得， ∴销售成本与销售量x之间的函数关系式为． 故答案为：； （3）由图象知当一天的销售量超过4件时，生产该产品才能获利， 故答案为：4． 7．（2025·吉林长春·模拟预测）蔬菜大棚能够人为创造适宜的生态环境，调整蔬菜的生产季节，促进蔬菜优质高产．某品种大棚蔬菜处在以下的气温条件超过，就会遭受冻害．深秋某天，气象台发布了第二天0时—8时的霜冻预警，室外气温（单位：）随时间（单位：）的变化图象（图象由两条有公共端点的线段组成）如图所示． (1)当时，求与的函数解析式； (2)结合函数图象，求第二天几时，室外气温为？ (3)为避免蔬菜在秋冬季节遭受冻害，农场购入一款恒温设备．未启动恒温设备时，大棚内的温度与室外气温的变化规律基本相同，启动恒温设备后，大棚内的温度将每小时匀速上升至设定温度后维持恒温．请直接写出，该蔬菜大棚在第二天最晚几时开启恒温设备，可避免该大棚蔬菜遭受冻害？ 【答案】(1)； (2)第二天时和时，室外气温为； (3)该蔬菜大棚在第二天最晚时开启恒温设备，可避免该大棚蔬菜遭受冻害. 【分析】（1）时，设出一次函数解析式，把，代入可得和的值； （2）时，取(1)中得到的函数解析式中的，求得对应的的值；时，设出一次函数解析式，把，代入可得和的值，取，求得的值，即为第二天室外气温为的时间； （3）根据第(2)问中得到的时间得到蔬菜会遭受冻害，易得开启恒温设备的时间在小时后，设最晚时启动恒温设备，根据时的温度 + 规定时间内上升的温度列出方程，求解即可. 【详解】（1）解：当时，设， 经过点，， ， 解得:， ； （2）解：， 当时，， 解得:； 当时，设， 经过点，， ， 解得:， ， 当时，， 综上: 第二天时和时，室外气温为. 答: 第二天时和时，室外气温为； （3）解：该蔬菜大棚在第二天最晚时开启恒温设备，可避免该大棚蔬菜遭受冻害. 理由: 第二天时和时的温度是， ， 蔬菜会遭受冻害， 最低气温为，设从最低气温到需要小时， ， 解得:， 设最晚时启动恒温设备，则，此时气温为， ， 解得:. 答: 蔬菜大棚在第二天最晚时开启恒温设备，可避免该大棚蔬菜遭受冻害. 【点睛】本题考查一次函数的应用，用待定系数法求得相关的一次函数解析式是解决本题的关键；易错点是判断出开启恒温设备的时间在哪个时间范围内 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 求一次函数解析式的七种方法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、由平移求解析式 1 题型二、由平行求解析式 2 题型三、由对称求解析式 3 题型四、由旋转求解析式 4 题型五、待定系数法求解析式 4 题型六、由几何图形求解析式 6 题型七、实际问题求解析式 8 B综合攻坚 能力跃升 10 题型一、由平移求解析式 1．将一次函数向下平移5个单位长度后得到，则的表达式是（    ） A． B． C． D． 2．把直线l：向上平移2个单位长度，得到直线，则的表达式为（   ） A． B． C． D． 3.将直线向下平移3个单位长度得到的直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．一次函数的图象向左平移m个单位正好经过原点，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．3 5．（2025·陕西咸阳·二模）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向右平移2个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则的值为（   ） A．3 B． C．6 D． 6．在平面直角坐标系中，直线经过点，且与x轴交于点B． (1)求点B的坐标； (2)若将直线平移得到直线，且直线经过点，求直线的函数解析式． 7．在平面直角坐标系中，点，． (1)求直线的解析式； (2)将直线向下平移4个单位后得到直线l，求直线l 与坐标轴的交点坐标． 题型二、由平行求解析式 8．已知直线l与直线平行，且经过点，直线l的函数表达式为 ． 9．已知函数． (1)若该函数是正比例函数，求的值； (2)若该函数是一次函数，且与直线平行，该函数经过点，求的值． 10．在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1=k2，且b1≠b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行．解答下面的问题： （1）求过点P（1，2），且与已知直线y=-2x-1平行的直线l的函数解析式，并画出图象； （2）设直线l分别与y轴，x轴交于点A、B，如果直线m：y=kx+t（t＞0）与直线l平行，且交x轴于点C，求出△ABC的面积S，关于t函数关系式． 题型三、由对称求解析式 11．（2020·陕西·模拟预测）已知一次函数y1＝mx+n与一次函数y2＝nx﹣1关于y轴对称，若点A1（2，b）和点A2分别是y1和y2函数图象上的一对对应点，则点A2的坐标是（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣2，0） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，﹣2） 12．一条直线与x轴交于，与y轴交于点B，若点B到x轴的距离为2，则该直线对应的函数表达式为（   ） A． B． C．或 D．或 13．已知一次函数的图象与直线关于直线对称，则此一次函数的解析式为 ． 14．若直线经过点，经过点，且与关于轴对称，则关于的不等式的解集为 ． 题型四、由旋转求解析式 15．已知直线过点，，将直线绕坐标原点旋转后得到直线，点的对应点为，点的对应点为．   （1）写出点和的坐标； （2）求直线的解析式． 题型五、待定系数法求解析式 16．已知一次函数的图象经过，点两点 ． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求这个函数图象与y轴的交点． 17． 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过两点．求这个一次函数的解析式． 18．已知一次函数，它的图象经过． (1)求y与x的函数关系式； (2)判断点是否在该函数图象上． 19．已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)若点在该函数图象上，直接写出与的大小关系． 20．一次函数（k为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上，求一次函数的解析式． (2)当时，一次函数（k为常数，且）有最大值k，求k的值． (3)若一次函数（k为常数，且）与x轴的交点为，且，设，求P的取值范围． 题型六、由几何图形求解析式 21．如图，在平面直角坐标系中，直线：与两坐标轴分别相交于A、B两点，直线与相交于点． (1)直接写出A、B两点的坐标； (2)若直线将的面积分成的两部分，求直线的函数关系式． 22．在平面直角坐标系中，点在直线上． (1)求该直线的函数解析式，并在图中画出该直线； (2)若，求x的取值范围． 23．（2025·贵州遵义·模拟预测）反比例函数的图象如图所示，一次函数的图象与的图象交于，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)直接写出当时，的取值范围． 题型七、实际问题求解析式 25．某通讯公司推出甲、乙两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的费用y（元）与通讯时间x（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)有月租费的收费方式是________（填“甲”或“乙”），月租费是________元； (2)分别求出甲、乙两种收费方式中y与x之间的函数关系式； (3)若小明每月的通话时间为200分钟，请帮小明选出经济实惠的方案，并说明理由． 26.如图是甲骑自行车与乙骑摩托车，分别从，两地向地（，，在同一直线上）行驶过程中离地的距离（千米）与行驶时间（小时）的关系图，请你根据图中给出的信息解答下列问题： (1)甲在行驶过程中的速度为______千米小时；乙在行驶过程中的速度为______千米小时； (2)求乙行驶的距离与乙运动时间之间的函数关系式． (3)请问甲乙在何时相遇？ 27．（2025·吉林长春·模拟预测）【问题背景】杆秤是我国独立发明的度量物体质量的衡器，它是我国古代劳动人民智慧的结晶．使用时，将被测物挂在秤钩上，一手提起称纽，一手移动秤砣，使秤杆平衡，观察称星，就可以读出物体的质量数．（如图）．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（千克）． 【记录数据】表中为若干次称重时，某数学兴趣小组所记录的一些数据． x/厘米 0 1 2 3 4 y/千克 0.5 0.75 1.00 1.25 1.5 【探索发现】 （1）在坐标系中描出数据所表示的点，判断y与x是________函数的关系（请选填“一次”，“二次”，“反比例”）； （2）求出y与x之间的函数关系式； 【结论应用】 （3）当秤钩所挂物重由6.5千克变为8千克时，直接写出秤杆上秤砣移动的水平距离是多少？    28．（2025·陕西咸阳·二模）某游乐园在五一假日期间，为了吸引游客，特别推出了团体门票优惠活动，当一次性购票不超过4张时，按原价售出；当一次性购票超过4张时，超过的部分给予优惠，团体购票数量x（张）与所付门票的总费用y（元）之间存在如图所示的函数关系． 根据图中信息，解答下列问题： (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若某团体在活动期间去该游乐园游玩，所付门票的总费用为320元，求该团体的总人数． 1．已知直线与直线平行，那么 ． 2．求与直线平行且经过点的直线表达式为 ． 3．弹簧的长度y（单位：）与所挂物体的质量x（单位：）的关系是一次函数，如图所示，此函数的图象经过，两点，则弹簧不挂物体时的长度是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西西安·一模）将直线向下平移6个单位后，正好经过点，则k的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且将一次函数的图象向下平移3个单位后经过点，则 ． 6．如图，表示某产品一天的销售收入（万元）与销售量x（件）的关系，表示该产品一天的销售成本（万元）与销售量x（件）的关系，则： （1）销售收入与销售量x之间的函数关系式为 ； （2）销售成本与销售量x之间的函数关系式为 ； （3）当一天的销售量超过 件时，生产该产品才能获利．（利润收入成本） 7．（2025·吉林长春·模拟预测）蔬菜大棚能够人为创造适宜的生态环境，调整蔬菜的生产季节，促进蔬菜优质高产．某品种大棚蔬菜处在以下的气温条件超过，就会遭受冻害．深秋某天，气象台发布了第二天0时—8时的霜冻预警，室外气温（单位：）随时间（单位：）的变化图象（图象由两条有公共端点的线段组成）如图所示． (1)当时，求与的函数解析式； (2)结合函数图象，求第二天几时，室外气温为？ (3)为避免蔬菜在秋冬季节遭受冻害，农场购入一款恒温设备．未启动恒温设备时，大棚内的温度与室外气温的变化规律基本相同，启动恒温设备后，大棚内的温度将每小时匀速上升至设定温度后维持恒温．请直接写出，该蔬菜大棚在第二天最晚几时开启恒温设备，可避免该大棚蔬菜遭受冻害？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$