精品解析：黑龙江齐齐哈尔市第三中学校2025-2026学年下学期八年级数学期中试题

齐市三中2025－2026学年度下学期期中 初二数学试卷 注意事项： 1.答题前请在答题卡中填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2.请将所有答案写在答题卡上． 一、选择题（本题共计10小题，每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义对各项进行判断即可． 【详解】解：A、不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、，是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了最简二次根式，在判断最简二次根式的过程中要注意： （1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式； （2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式． 2. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的减法与乘法法则、分母有理化逐项判断即可得． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不可合并，则此项错误，不符题意； B、，则此项正确，符合题意； C、，则此项错误，不符题意； D、，则此项错误，不符题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的减法与乘法、分母有理化，熟练掌握运算法则是解题关键． 3. 下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是( ) A. 1，2，3 B. 1，1，2 C. 5，12，15 D. 6，8，10 【答案】D 【解析】 【分析】A、C、D根据勾股定理的逆定理，求出两个数字小的边的平方和，再求出大边的平方，看是否相等来求解，B根据三角形三边关系来求解． 【详解】解：A．因为 ，所以三角形不是直角三角形，故选项不符合题意； B．，不能组成三角形，故选项不符合题意； C．因为 ，所以三角形不是直角三角形，故选项不符合题意； D．因为，所以三角形是直角三角形，故选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了对勾股定理的逆定理的运用，勾股定理的逆定理是：如果一个三角形的三边分别是a、b、c（c最大）满足，则三角形是直角三角形． 4. 下列选项的命题中，是真命题的是（ ） A. 有三边相等的四边形是菱形 B. 四个角相等的菱形是正方形 C. 两条对角线互相平分的四边形是矩形 D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了真假命题的判断，涉及正方形、菱形和矩形的判定定理．根据相关判定定理可知：对角线相等且互相平分的四边形是矩形；对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形．据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、菱形的定义是四条边都相等的四边形，“有三边相等的四边形是菱形”是假命题，因为三边相等不能保证四边形是菱形，不符合题意； B、正方形的定义是四个角都是直角且四条边都相等的四边形，菱形已满足四边相等，若四个角相等，则每个角为，“四个角相等的菱形是正方形”是真命题； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，但矩形需满足对角线相等或有一个角是直角，“两条对角线互相平分的四边形是矩形”是假命题，不符合题意； D、对角线相等、互相垂直且平分的四边形是正方形，对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形，因此不一定是正方形，“两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形”是假命题，不符合题意； 故选：B． 5. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（ ） A. 40cm B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，连接，过B作于D，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，过B作于D， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即机器狗正常状态下的高度为， 故选：D． 6. 如图，平行四边形ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长是（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB＝OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE＝BC，所以易求△DOE的周长． 【详解】解：∵▱ABCD的周长为36， ∴2（BC＋CD）＝36，则BC＋CD＝18． ∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD＝12， ∴OD＝OB＝BD＝6． 又∵点E是CD的中点， ∴OE是△BCD的中位线，DE＝CD， ∴OE＝BC， ∴△DOE的周长＝OD＋OE＋DE＝BD＋（BC＋CD）＝6＋9＝15， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质．解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质． 7. 如图， 菱形的对角线、相交于点O， E、F分别是、边上的中点， 连接． 若，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质与中位线定理，熟练掌握中位线定理和菱形面积公式是关键．根据中位线定理可得对角线 的长，再由菱形面积等于对角线乘积的一半可得答案． 【详解】解：∵E，F分别是、边上的中点，， ∴， 又∵， ∴菱形的面积， 故选：C． 8. 镜，古称“鉴”，下图是六边形镜及其抽象出的正六边形，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正六边形的特点得出，，再根据等腰三角形的性质求出结果即可． 【详解】解：∵六边形为正六边形， ∴，， ∴． 9. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件得出x、y同号，并且x、y都是负数，求出x=-1，y=-4或x=-4，y=-1，再求出答案即可． 【详解】解：，， 、同号，并且、都是负数， 解得：，或，， 当，时， ； 当，时， ， 则的值是， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简与求值，能选择适当的方法求解是解此题的关键． 10. 如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：① ；② ；③ 过点B作于点I，延长B交于点J，则．④ 若，则．其中正确的结论个数是(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． 首先根据题意证明出，进而得到，即可判断①；过点F作交延长线于点O，证明出，得到，然后利用三角形面积公式即可得到，即可判断②；过点A作交的延长线于点P，过点C作，证明出，得到，同理得到，得到，然后证明出，得到，即可判断③；根据全等三角形的性质得到，然后利用勾股定理证明出，同理得到，然后得到，即可判断④． 【详解】∵在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴，故①正确； 如图所示，过点F作交延长线于点O，    ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∵， ∴，故②正确； 如图所示，过点A作交的延长线于点P，过点C作    ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ 同理可证， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴，故③正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴ 同理可证， ∴，故④正确． 综上所述，正确的结论个数是4． 故选：D． 二、填空题（本题共计8小题，每小题3分，满分24分） 11. 若代数式有意义，则x的取值范围为______． 【答案】x＞ 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，且分母不等于0列不等式组求解即可． 【详解】解：由题意得：2x﹣3＞0， 解得：x＞． 故答案为：x＞． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题的关键是取不等式组的公共解. 12. 比较大小：﹣3_____． 【答案】＜ 【解析】 【分析】首先计算两个无理数的平方，平方大的反而小． 【详解】（﹣3）2＝45，（﹣2）2＝28， ∵45＞28， ∴﹣3＜﹣2， 故答案为：＜． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，关键是掌握无理数比较大小的方法． 13. 如图，已知，到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理正确求出是解题的关键． 先利用勾股定理求出的长从而得到的长，再根据数轴上两点距离公式求解即可． 【详解】解：利用勾股定理算得， ， 数轴上点所表示的数为：． 故答案为：． 14. 如图，在中，D，E分别是，的中点，点F在上，且，若，，则的长为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可． 【详解】解：∵D、E分别为、的中点，， ∴， ∵，D为的中点，， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 15. 在平行四边形中，，平分交于点，平分交于点，且，则的长为_____． 【答案】8或12 【解析】 【分析】分两种情况：当与在平行四边形内部有交点时，当与在平行四边形外部有交点时，分别证明，，即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，当与在平行四边形内部有交点时， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴； 如图2所示，当与在平行四边形外部有交点时， 则； 综上所述，的长为8或12， 16. 如图，在矩形中，连接，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作直线分别交于点，连接若，则的大小为_____． 【答案】##66度 【解析】 【分析】设与交于点，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，结合矩形的性质可得出四边形为菱形，再进一步可得答案． 【详解】解：设与交于点， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，，，． 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， 四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 17. 如图，在中，，P为边BC上动点，于E，于F，M为EF的中点，则PM的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得最短时的长，然后即可求出最短时的长． 【详解】解：连接，如图所示： ，，， ， ，， 四边形是矩形， ，与互相平分， 是的中点， 为的中点， ， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即时，最短，同样也最短， 当时，由的面积计算公式（等积法）可得， ， 最短时，， 当最短时，． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短,由直角三角形的面积求出是解决问题的关键，属于中考常考题型． 18. 如图，正方形的边长为1，以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，，则第个正方形的面积为______．（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，图形类的规律探索，根据勾股定理求出、、、的长，根据正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：由题意，正方形的边长为1，则其面积为1； ∴，正方形的面积为； ∴，正方形的面积为； ∴，正方形的面积为， …… ∴，正方形的面积为． 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3）7 （4） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则即可求解． （2）首先根据零次幂、负指数次幂、绝对值的运算法则求出各式的值，然后进行求和得出答案； （3）首先根据立方根、绝对值和二次根式的性质化简，然后再合并即可解答； （4）利用平方差公式和二次根式的混合运算法则即可解答； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： 20. 如图，在平行四边形ABCD中，AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形，判断出AB//CD，且AB=CD，然后根据AE=CF，判断出BE=DF，即可推得四边形BFDE是平行四边形． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，且AB＝CD， 又∵AE＝CF， ∴BE＝DF， ∴BE∥DF且BE＝DF， ∴四边形BFDE是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质定理是解题的关键. 21. 如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离米，点A与地面上点C（点B，C处于同一水平面上）的距离米，且米． （1）求的度数； （2）现这架无人机沿所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练的掌握勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）设米，则米，由线段垂直平分线的性质得到米，在中，根据勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：，， ， ∴； 【小问2详解】 解：设米，则米， ∵点恰好在边的垂直平分线上， ∴米， 在中，由勾股定理得， ， 解得 答：这架无人机向下飞行的距离的长）为米． 22. 在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，平分，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）的长为 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，而，则四边形是平行四边形，再由，可推四边形是矩形； （2）由，，，根据勾股定理可求得，则，再利用角平分线证明，根据等角对等边求出． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ， 于点，点在上， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 【小问2详解】 解：，，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 的长为5． 23. 综合探究综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含角的菱形进行了探究 【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． （1）【感知】如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________； （2）【探究】如图2，当点为上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由； （3）【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2）成立，证明见解析 （3）的长度为或 【解析】 【分析】（1）连接，利用菱形的性质和等边三角形的三线合一性质证明即可； （2）利用菱形的性质和等边三角形的性质证明即可； （3）过点作交于点，利用菱形的性质和等边三角形的性质可得，利用勾股定理求出，，分当点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，可得出最后的结果． 【小问1详解】 解：连接，如下图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵为菱形的角平分线， ∴， 故与为等边三角形， ∴， ∵点为中点， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：成立，理由如下： 连接，如下图所示： 由（1）中，同理可得与为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：过点作交于点，按题意补充线段，连接，当点在点左侧时，如下图所示： 由（1）（2）得，为中点， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， 故， ∴； 当点在点右侧时，如下图所示： 同理可得， 故， ∴； 综上，的长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 齐市三中2025－2026学年度下学期期中 初二数学试卷 注意事项： 1.答题前请在答题卡中填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2.请将所有答案写在答题卡上． 一、选择题（本题共计10小题，每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是( ) A. 1，2，3 B. 1，1，2 C. 5，12，15 D. 6，8，10 4. 下列选项的命题中，是真命题的是（ ） A. 有三边相等的四边形是菱形 B. 四个角相等的菱形是正方形 C. 两条对角线互相平分的四边形是矩形 D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 5. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（ ） A. 40cm B. C. D. 6. 如图，平行四边形ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长是（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 24 7. 如图， 菱形的对角线、相交于点O， E、F分别是、边上的中点， 连接． 若，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 镜，古称“鉴”，下图是六边形镜及其抽象出的正六边形，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：① ；② ；③ 过点B作于点I，延长B交于点J，则．④ 若，则．其中正确的结论个数是(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共计8小题，每小题3分，满分24分） 11. 若代数式有意义，则x的取值范围为______． 12. 比较大小：﹣3_____． 13. 如图，已知，到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为______． 14. 如图，在中，D，E分别是，的中点，点F在上，且，若，，则的长为___________． 15. 在平行四边形中，，平分交于点，平分交于点，且，则的长为_____． 16. 如图，在矩形中，连接，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作直线分别交于点，连接若，则的大小为_____． 17. 如图，在中，，P为边BC上动点，于E，于F，M为EF的中点，则PM的最小值为______． 18. 如图，正方形的边长为1，以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，，则第个正方形的面积为______．（用含的代数式表示）． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1） （2） （3） （4） 20. 如图，在平行四边形ABCD中，AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形． 21. 如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离米，点A与地面上点C（点B，C处于同一水平面上）的距离米，且米． （1）求的度数； （2）现这架无人机沿所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 22. 在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，平分，求的长． 23. 综合探究综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含角的菱形进行了探究 【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． （1）【感知】如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________； （2）【探究】如图2，当点为上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由； （3）【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $