微专题01 一次函数的图象与性质（专项训练）数学新教材人教版八年级下册

微专题01 一次函数的图象与性质 题型一 正比例函数的概念 1. 形式：y=kx（k≠0）； 2. 条件：x 次数为 1、常数项为 0、k≠0； 3. 先核对形式，再验证 k≠0 1．（25-26八年级下·吉林·期中）下列函数中是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正比例函数的定义是形如（k是常数，）的函数，其中k叫做比例系数．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A、是正比例函数，故此选项符合题意； B、的自变量在分母上，不是正比例函数，故此选项不合题意； C、的自变量的次数是2，不是正比例函数，故此选项不合题意； D、不是正比例函数，故此选项不合题意； 2．（2026八年级下·全国·专题练习）下列函数是正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的定义，根据正比例函数形如（为常数，，的次数为1）的特征逐一判断选项． 【详解】解：A、是分式，不是整式函数，不符合正比例函数定义，故此选项不符合题意； B、中的次数为2，不符合正比例函数中次数为1的要求，不是正比例函数，故此选项不符合题意； C、含有常数项，不符合的形式，故此选项不符合题意； D、符合（）的形式，是正比例函数，故此选项符合题意． 故选：D． 3．（25-26八年级下·河北唐山·期中）若函数（为常数）是正比例函数，则（   ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】D 【分析】根据正比例函数的定义得到函数的常数项为0，列方程求解即可得到的值． 【详解】解：正比例函数的一般形式为 （ 为非零常数），即函数的常数项为， ∵ 函数 是正比例函数， ∴ ， 解得 ． 4．（25-26八年级下·广西南宁·期中）已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．3或5 【答案】B 【分析】根据正比例函数的定义列出关于m，n的条件，求解后代入计算即可得到结果． 【详解】∵是正比例函数， 根据正比例函数定义可得， 解得：或，即或， ∵，即， ∴， 解得：， ∴． 5．（25-26八年级下·河北衡水·期中）下列说法中不成立的是（   ） A．在中，与成正比例 B．在中，与成正比例 C．在中，与成正比例 D．在中，与成正比例 【答案】D 【分析】对于两个变量x、y，若满足（k是常数，且），那么y与x成正比例，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴与成正比例，原说法正确，不符合题意； B、在中，与成正比例，原说法正确，不符合题意； C、在中，与成正比例，原说法正确，不符合题意； D、在中，与成正比例，与不成比例，原说法错误，符合题意； 题型二 正比例函数的图象与性质 1. 图象：过原点的直线； 2. k>0 过一、三象限，y 随 x 增大而增大； 3. k<0 过二、四象限，y 随 x 增大而减小. 1．（25-26八年级下·福建厦门·期中）正比例函数的图象经过的象限是（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】B 【分析】根据正比例函数比例系数的符号，即可判断图象经过的象限． 【详解】解：∵对于正比例函数，， ∴的图象经过第二、四象限． 2．（25-26八年级下·北京·月考）对于正比例函数，当自变量x的值减小2时，函数y的值减小6，则k的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据题意列出变化前后的函数值等式，即可求出的值． 【详解】解：设原来的自变量为，对应函数值为， 当减小后，新自变量为，对应函数值， 的值减小， ， 解得． 3．（23-24八年级上·陕西西安·期末）已知，在正比例函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两点横坐标代入解析式得到和，比较大小即可． 【详解】解：∵，在正比例函数的图象上， ∴将代入函数解析式可得，将代入函数解析式可得， ∵， ∴． 4．（25-26八年级下·北京西城·期中）下列关于正比例函数的说法中，正确的是（   ） A．自变量的取值范围是 B．它的图象是一条经过原点的射线 C．它的图象不经过第三象限 D．随的增大而增大 【答案】D 【详解】解：∵正比例函数的自变量可以取任意实数，图象是过原点的一条直线， ∴A选项自变量取值范围是的说法错误；B选项图象是经过原点的射线的说法错误； ∵该函数的比例系数， ∴函数图象经过第一，三象限，且随的增大而增大，因此C选项图象不经过第三象限的说法错误，D选项说法正确． 5．（25-26九年级下·陕西西安·阶段检测）在正比例函数的图象上有两点，则该函数图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两点都在正比例函数图象上，因此坐标满足函数解析式，代入坐标列方程求出的值，得到函数解析式，再验证选项即可得到答案． 【详解】解：∵都在正比例函数的图象上， ∴将两点坐标分别代入解析式得， 把代入，得， 解得， ∴正比例函数的解析式为，即横纵坐标相等， ∴该函数图象一定经过的点是． 题型三 一次函数的概念 1. 形式：y=kx+b（k≠0）； 2. 条件：x 次数为 1、k≠0，b 可为 0； 3. 核对次数与系数，判断是否符合标准式. 1．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）下列函数中，y是x的一次函数的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义判断即可，一次函数的一般形式为，其中为常数，且． 【详解】解：A、，不符合一次函数定义，故选项不符合题意； B、，不符合一次函数定义，故选项不符合题意； C、，符合一次函数定义，故选项符合题意； D、，不符合一次函数定义，故选项不符合题意． 2．（2024秋•东源县校级期末）下列函数中，不是一次函数的是（　　） A．y B．yx C．y3x D．y＝﹣x+4 【答案】A 【分析】直接根据一次函数的定义进行判断． 【解答】解：y＝﹣x+4，yx，y3x都是一次函数，而y为反比例函数． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数叫做一次函数． 3．（25-26八年级下·福建南平·期中）下列函数关系式：①；②；③；④其中一次函数的个数是(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①是一次函数；②是一次函数；③不是一次函数；④不是一次函数． 其中一次函数的个数是2个． 4．（25-26八年级下·河北衡水·期中）下列函数：①；②；③；④中是一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】一般地，形如（为常数，）的函数叫做一次函数，据此可得答案． 【详解】解：由一次函数的定义可知，函数，是一次函数， 函数和不是一次函数， ∴一次函数有2个． 5．（25-26八年级上·四川达州·期末）下列函数关系式中①；②；③；④；⑤；是一次函数的个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，熟知形如 （、为常数，且）的函数是一次函数是解题的关键． 根据一次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：①化简得，是一次函数，符合题意； ②不是一次函数，不符合题意； ③是一次函数，符合题意； ④不是一次函数，不符合题意； ⑤是一次函数，符合题意． 综上，一次函数有①③⑤，共3个． 故选：C． 题型四 由一次函数的定义求参数 1. 列条件：x 次数 = 1、一次项系数≠0； 2. 解方程后排除使 k=0 的解； 3. 必须检验 k≠0，避免增根. 1．（25-26八年级下·重庆·期中）已知是一次函数，则的值为（　　） A．1 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数需满足两个条件：x的次数为1，且一次项系数不为0，据此列等式和不等式计算即可得到m的值． 【详解】解：∵是一次函数， ∴， 解，得，即或， 又∵，即， ∴． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．1或 B．1或 C．或 D．1或或 【答案】D 【分析】根据一次函数的定义，函数中的最高次数必须为，且一次项系数不为．因此，需使含的项的系数为或指数为或，并确保整体函数为一次函数． 本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解决本题的关键． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴需考虑的情况： 情况1：当系数时，即，函数化为，是一次函数； 情况2：当指数时，即，函数化为，是一次函数； 情况3：当指数时，即，函数化为，是一次函数； 其他情况均不满足一次函数定义； 故选：D． 3．（25-26八年级下·上海·期中）若函数是关于的一次函数，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】先将给定函数整理为一次函数的一般形式，再根据一次函数的定义，要求一次项系数不为，列不等式求出的取值范围即可． 【详解】解： ， ∵函数是关于的一次函数， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）当________时，函数是关于x的一次函数． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的定义，根据一次函数的定义列出关于的关系式，再求解即可． 【详解】解：根据一次函数的定义可得， 解方程，得，即， 由，得， 因此． 5．（25-26七年级上·山东淄博·月考）已知函数． (1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ (2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？ 【答案】(1) (2)、 【分析】本题主要考查了一次函数和正比例函数的知识, （1）根据一次函数的定义可得且，求解即可获得答案； （2）根据正比例函数的定义可得且，且，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：由题意得且， 解，可得， ∴或， 解，可得， ∴当时函数是一次函数； （2）由题意得且，且， 解，可得， ∴或， 解，可得， 解，可得， 综上所述，当、时，函数是正比例函数． 题型五 一次函数的图象共存问题 同一坐标系内两条直线 y=k1x+b₁与 y=k2x+b 2，先分别判断每条直线的 k、b 符号，再看两组符号是否一致，一致即为正确图象. 1．（25-26八年级下·山东聊城·期中）正比例函数经过第二、四象限，则下列函数图象正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据经过的象限，可以判断的符号，从而判断出中和的正负性，最后便能判断该函数所经过的象限． 【详解】解：经过第二、四象限， ， ，， 经过二、三、四象限， A正确． 2．（25-26八年级下·河北衡水·期中）一次函数与正比例函数在同一直角坐标系内的图像可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数图像经过的象限判断 、的符号，进而确定 ​ 的符号，再验证正比例函数图像是否与之匹配． 【详解】解：选项中，一次函数图像过一、二、四象限，，，则 ，正比例函数应过二、四象限，符合描述； 选项中，一次函数图像过一、三、四象限，，，则 ，正比例函数应过二、四象限，但图中正比例函数过一、三象限，不符合描述； 选项中，一次函数图像过一、三、四象限，，，则 ，正比例函数应过二、四象限，但图中正比例函数过一、三象限，不符合描述； 选项中，一次函数图像过一、二、三象限，，，则 ，正比例函数应过一、三象限，但图中正比例函数过二、四象限，不符合描述． 3．（2026·陕西西安·三模）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵中 ∴函数经过第一，三象限，故C选项不符合题意； 当时， ∴函数经过第二，四象限，函数经过第一，二，三象限，故A选项符合题意；B选项不符合题意； 当时， ∴函数经过第一，三象限，函数经过第一，三，四象限，故D选项不符合题意． 4．（25-26八年级下·北京·期中）已知一次函数的图象和正比例函数的图象在同一个坐标系内，那么可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质． 根据一次函数和正比例函数的图象分别判断出每个选项中，的符号，即可判断． 【详解】解：A、由图象可得，正比例函数经过二、四象限，则，， 一次函数经过二、三、四象限，则，，矛盾，不符合题意； B、由图象可得，正比例函数经过二、四象限，则，， 一次函数经过一、二、三象限，则，，符合题意； C、由图象可得，正比例函数经过二、四象限，则，， 一次函数经过一、三、四象限，则，，矛盾，不符合题意； D、由图象可得，正比例函数经过一、三象限，则，， 一次函数经过一、二、四象限，则，，矛盾，不符合题意； 5．（24-25八年级下·重庆·期中）若，则一次函数与正比例函数在同一坐标系的图像可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，则，从而一次函数的图像过第一、二、四象限，正比例函数的图像经过第一、三象限，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． ∴一次函数的图像过第一、二、四象限，正比例函数的图像经过第一、三象限， ∴选项B、C、D均不符合题意，选项A符合题意． 题型六 一次函数的性质 1、当k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；当k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 2、当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴； 当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 1．（辽宁大连市金普新区2025-2026学年八年级（下）学情调查数学试卷）下列关于一次函数图象的描述，不正确的是（） A．y随x的增大而增大 B．图象不经过第二象限 C．图象经过点 D．图象与y轴的交点坐标是 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质判断选项A，B，求出时的函数值，即可判断选项C，把代入解析式，求出函数值即可得到图象与y轴的交点坐标，即可判断选项D． 【详解】解：A选项：∵一次函数中，， 随的增大而增大，故本选项正确； B选项：∵一次函数中，， 一次函数图象经过第一，三，四象限，不经过第二象限，故本选项正确； C选项：当时，， 图象经过点，故本选项正确； D选项：当时， 图象与轴的交点坐标是，不是，故本选项错误． 2．（25-26八年级下·河北承德·期中）下列关于一次函数的图像信息正确的是（   ） A．图像过二、三、四象限 B．图像过原点 C．与直线平行 D．与x轴相交于点 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图像性质. 根据和的取值判断象限. 过点情况，结合一次函数平行的性质判断选项，最后求出与轴交点验证即可． 【详解】解：对于一次函数 ，可得，． ∵ ，． ∴ 函数图像经过一、二、三象限，故A错误． 把代入函数得 ，因此图像不经过原点，故B错误． ∵ 直线 与 的值相等，b值不相等，两直线不重合． ∴ 两直线平行，故C正确． 求函数与轴交点，令，得 ，解得 ． ∴ 函数与轴交于点 ，故D错误． 综上，选C． 3．（25-26八年级下·上海·期中）关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图像与轴的交点 B．随着的增大而增大 C．图像经过第一、二、四象限 D．其图像可由的图像向上平移5个单位长度得到 【答案】C 【分析】根据一次函数的交点坐标求法、增减性、图象象限判断规律、平移规律，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．令，得，解得，因此图象与轴交点为，A错误，不符合题意． B． 一次函数中， 随的增大而减小，B错误，不符合题意． C． ，，图象经过第一、二、四象限，C正确，符合题意． D． 的图象向上平移个单位长度得到，不是，D错误，不符合题意． 4．（2026年5月山西晋中市部分学校中考二模九年级数学试卷）若点，在直线上，且，则该直线所经过的象限是（   ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，解题关键是先根据已知点的横坐标和函数值的大小关系确定k的符号，再根据截距的符号判断直线经过的象限． 【详解】解：∵，且， ∴y随x的增大而减小， ∴， 又∵直线解析式为，常数项，即直线与y轴交于负半轴， ∴直线经过第二、三、四象限． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数． (1)当m为何值时，y随x的增大而增大； (2)当m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方； (3)当m为何值时，函数图象经过原点； (4)当m为何值时，图象经过第二、三、四象限． 【答案】(1) (2)且 (3) (4) 【详解】（1）解：随x的增大而增大， ，解得； （2）解：函数图象与y轴的交点在x轴的下方， 且，解得且； （3）解：函数图象经过原点， ，解得； 检验：当时，，符合题意； （4）解：函数图象经过第二、三、四象限， ， 解得． 题型七 利用一次函数的性质比较函数值大小 1. 增减性法：k>0，x 越大 y 越大；k<0，x 越大 y 越小； 2. 代入法：直接代入计算 y 值比较. 1．（25-26八年级下·云南昆明·期中）直线经过点和点，已知，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由知， 随x的增大而增大， ， ． 2．（25-26八年级下·四川遂宁·月考）已知点，都在直线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据判断函数增减性，再比较两点横坐标大小，即可得到纵坐标的大小关系． 【详解】解：∵， ∴随增大而减小， ∵， ∴． 3．（2026·江西吉安·二模）已知点和点都在直线（m为常数）上，若，则________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】根据一次函数的性质可知一次函数值y随着x的增大而减小，再结合可得答案． 【详解】解：∵一次函数中， ∴一次函数值y随着x的增大而减小． ∵点在该函数图象上，且，即， ∴． 4．（25-26八年级下·上海·期中）如果正比例函数的图象经过点，，，且，那么和的大小关系是______． 【答案】 【分析】先设出正比例函数的一般形式，代入已知点的坐标求出比例系数，再根据的符号判断函数的增减性，最后根据比较与的大小． 【详解】解：设正比例函数的解析式为 将 代入解析式得， 解得 根据正比例函数的性质，当时，随的增大而减小 ∴． 5．（25-26七年级上·山东烟台·期末）已知函数． (1)当为何值时，是的一次函数？并求出这个一次函数的表达式； (2)判断点是否在这个函数图象上； (3)点，在该函数图象上，若，用函数的性质说明，的大小关系． 【答案】(1)当时，是的一次函数； (2)在，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，比较一次函数值的大小，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出当时，所对应的的值，即可得到答案； （3）根据一次函数的增减性进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得， 即当时，是的一次函数； 此时，， ∴y与x之间的函数解析式为． （2）解：对于， 当时，， ∴点在这个函数图象上． （3）解：对于， ∵， ∴y随x的增大而减小． ∵点，在该函数图象上，且， ∴＜． 题型八 利用一次函数的增减性求参数 1. 递增→k>0；递减→k<0； 2. 由增减性列 k 的不等式； 3. 解不等式得参数范围. 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知正比例函数的图象上有两点，，当时，，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件判断函数增减性，再结合正比例函数性质列不等式求解的范围即可． 【详解】解：∵当时，， ∴随的增大而减小， 对于正比例函数，当随增大而减小时，， ∴， 解得． 2．（25-26八年级下·北京·期中）已知一次函数，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】理解一次函数 ，当时，随的增大而增大，根据该性质列不等式求解即可。 【详解】解：一次函数中随的增大而增大， ， 解得． 3．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知，是直线上的相异两点，若，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】先将直线解析式整理为一次函数的一般形式，再根据已知条件判断随的变化趋势，利用一次函数的增减性得到关于的不等式，求解不等式即可得到的取值范围. 【详解】解：首先整理直线解析式：， ∵，是直线上的相异两点， ∵， ∴当时，，当时，， 即随的增大而增大， 根据一次函数的性质，一次项系数大于，可得， 解得． 4．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）已知函数（是常数），回答下列问题： (1)当取何值时，该函数为正比例函数； (2)当取何值时，随的增大而增大； (3)若该函数为一次函数，且函数图象经过第二、三、四象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据y是x的正比例函数列方程，即可得到结论． （2）根据随的增大而增大，可得，进一步可得答案． （3）根据y是x的一次函数，且图象经过二、三、四象限列不等式组，即可得到结论． 【详解】（1）解：对于y关于x的函数， ∵y是x的正比例函数， ∴且， 解得：． （2）解：∵随的增大而增大， ∴， 解得：． （3）解：∵该函数为一次函数，且函数图象经过第二、三、四象限， ∴， 解得：， 故m的取值范围为． 5．（25-26八年级下·福建南平·期中）已知函数 (1)若函数图象经过原点，求的值； (2)若这个函数是一次函数，且随着的增大而减小，求的取值范围； (3)若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把代入解析式即可求解； （2）根据题意，此函数为一次函数，则，又随着的增大而减小，则，综上可得，解不等式即可求解； （3）根据题意得出，解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得； （2）解：∵ 这个函数是一次函数， ∴ ， 又∵随的增大而减小， ∴一次项系数， 解得：； （3）解：函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限， ∴ ， 解得：． 题型九 一次函数与坐标轴交点问题 1.它与x轴的交点坐标是（，0）; 2.与y轴的交点坐标是（0，b）; 3.与两坐标轴围成的三角形面积是 S=· . 1．（25-26八年级下·河南周口·期中）直线与轴的交点坐标是(      ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：直线与轴的交点在轴上，轴上所有点的横坐标为， 令，将代入， 得， 直线与轴的交点坐标是． 2．（24-25八年级上·江西鹰潭·月考）一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，则的面积为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标问题，熟练的求解函数与坐标轴的交点坐标是解本题的关键．根据当函数图象与x轴相交时，函数图象与y轴相交时，结合已知函数解析式可得A、B两点的坐标；由A、B两点的坐标求出中两直角边的长度，再根据三角形的面积计算公式求出的面积． 【详解】解：∵一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B， ∴当时，，当时，，则， ∴，， ∴． 故选：B． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，若点关于轴的对称点的坐标为，则的面积为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】先根据对称点性质求出点A坐标，再代入直线解析式求出参数b，得到点B坐标，最后根据直角三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵点是点关于轴的对称点，关于轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， ∴将代入解析式得 ， 解得 ，即直线解析式为， ∵是直线与轴的交点，令，得， ∴点坐标为， ∵为坐标原点，为直角三角形，，， ∴． 4．（25-26八年级下·河南开封·期中）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于、两点． (1)求一次函数解析式； (2)点P是y轴上的点，若的面积为2，求此时P点的坐标． 【答案】(1) (2)P点的坐标为或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）设，根据三角形的面积为2建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：将、代入， 得， 解得，， 故一次函数的解析式为． （2）设，、， 解得，或， 故点的坐标为或． 5．（25-26八年级下·北京房山·期中）一次函数的图象经过和两点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)画出函数图象，并求出两点的坐标． 【答案】(1) (2)A点坐标为，B点坐标为，图象见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出点A和点B的坐标，再画出对应的函数图象即可． 【详解】（1）解：设这个一次函数的表达式为， 由题意得，， ∴， ∴这个一次函数的表达式为； （2）解：在中，当时，；当时，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为； 函数图象如下所示： 题型十 一次函数图形平移、对称问题 1. 平移：上加下减常数项，左加右减自变量； 2. 关于 x 轴对称：y=-kx-b；关于 y 轴对称：y=-kx+b； 3. 按规则改写解析式并化简。 1．（25-26八年级下·重庆·期中）将直线向下平移4个单位得到的直线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一次函数图象的平移规律为“上加下减，左加右减”，向下平移只需要对原解析式的常数项减去平移的单位长度即可． 【详解】解：将直线向下平移4个单位得到的直线解析式为． 2．（2026·陕西咸阳·一模）将直线沿y轴向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第一、二、三象限，则m的值可以是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先根据平移规则得到平移后直线的解析式，再根据直线经过第一、二、三象限的条件得到m的取值范围，即可选出正确答案． 【详解】解：将直线沿y轴向上平移m个单位长度，得到的新直线解析式为： ∵平移后的直线经过第一、二、三象限，一次函数经过第一、二、三象限时满足且， ∴ 解得， ∴只有A选项中的数符合题意． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）已知一次函数的图象与直线关于轴对称，则此一次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，轴对称性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 首先求出直线与x轴和y轴的交点坐标，然后根据题意得到一次函数的图象与x轴和y轴的交点坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵直线 ∴当时，， ∴直线与y轴的交点为； ∴当时，， 解得 ∴直线与x轴的交点为 ∵一次函数的图象与直线关于轴对称， ∴一次函数的图象与y轴的交点为，与x轴的交点为 设一次函数的解析式为 ∴ ∴ ∴此一次函数的解析式为． 故选：A． 4．（2026·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据关于x轴对称的性质求出k和b的值，再判断函数图象不经过的象限即可． 【详解】解：∵直线与直线关于轴对称， 根据轴对称性质，点关于轴对称的点为，因此将替换为即可得到原直线关于x轴对称的直线方程， ∴关于轴对称的直线为，整理得， 该直线与是同一直线，对应系数相等， ∴， 解得，， ∴所求一次函数为， ∵，， ∴该函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 5．（25-26八年级下·北京房山·期中）已知一次函数与轴交于点，与轴交于点，点是轴上一点，点关于直线的对称点为点． (1)求点B的坐标； (2)若点的坐标是，求的值及点的坐标． 【答案】(1) (2)，点C的坐标为 【分析】（1）把代入中，求出y的值即可得到答案； （2）设点A的坐标为，点C的坐标为，根据轴对称的性质可得，利用勾股定理得到相关方程，解方程可得点A和点C的坐标，再利用待定系数法求出k的值即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴点B的坐标为； （2）解：设点A的坐标为，点C的坐标为， ∵点关于直线的对称点为点，点D的坐标是， ∴，即， ∴，， 解得， ∴， ∴， 解得． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，且与直线交于点． (1)求m和b的值； (2)若将直线向下平移个单位长度后，所得到的直线与直线的交点在第一象限，求出t的取值范围． 【答案】(1)2；4 (2) 【分析】（１）点代入，得到，再把代入求解即可． （2）设直线向下平移个单位长度后的表达式为，根据题意，得 交点为，根据交点在第一象限，建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， 故， 把代入得， 解得． （2）解：根据题意，得， 设直线向下平移个单位长度后的表达式为， 根据题意，得， 解得， 故两条直线的交点为， 由于与直线的交点在第一象限， 故， 解得． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题01 一次函数的图象与性质 题型一 正比例函数的概念 1. 形式：y=kx（k≠0）； 2. 条件：x 次数为 1、常数项为 0、k≠0； 3. 先核对形式，再验证 k≠0 1．（25-26八年级下·吉林·期中）下列函数中是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026八年级下·全国·专题练习）下列函数是正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河北唐山·期中）若函数（为常数）是正比例函数，则（   ） A．1 B．0 C． D．2 4．（25-26八年级下·广西南宁·期中）已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．3或5 5．（25-26八年级下·河北衡水·期中）下列说法中不成立的是（   ） A．在中，与成正比例 B．在中，与成正比例 C．在中，与成正比例 D．在中，与成正比例 题型二 正比例函数的图象与性质 1. 图象：过原点的直线； 2. k>0 过一、三象限，y 随 x 增大而增大； 3. k<0 过二、四象限，y 随 x 增大而减小. 1．（25-26八年级下·福建厦门·期中）正比例函数的图象经过的象限是（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 2．（25-26八年级下·北京·月考）对于正比例函数，当自变量x的值减小2时，函数y的值减小6，则k的值为（   ） A． B． C．3 D． 3．（23-24八年级上·陕西西安·期末）已知，在正比例函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·北京西城·期中）下列关于正比例函数的说法中，正确的是（   ） A．自变量的取值范围是 B．它的图象是一条经过原点的射线 C．它的图象不经过第三象限 D．随的增大而增大 5．（25-26九年级下·陕西西安·阶段检测）在正比例函数的图象上有两点，则该函数图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 题型三 一次函数的概念 1. 形式：y=kx+b（k≠0）； 2. 条件：x 次数为 1、k≠0，b 可为 0； 3. 核对次数与系数，判断是否符合标准式. 1．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）下列函数中，y是x的一次函数的是（      ） A． B． C． D． 2．（2024秋•东源县校级期末）下列函数中，不是一次函数的是（　　） A．y B．yx C．y3x D．y＝﹣x+4 3．（25-26八年级下·福建南平·期中）下列函数关系式：①；②；③；④其中一次函数的个数是(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26八年级下·河北衡水·期中）下列函数：①；②；③；④中是一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（25-26八年级上·四川达州·期末）下列函数关系式中①；②；③；④；⑤；是一次函数的个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型四 由一次函数的定义求参数 1. 列条件：x 次数 = 1、一次项系数≠0； 2. 解方程后排除使 k=0 的解； 3. 必须检验 k≠0，避免增根. 1．（25-26八年级下·重庆·期中）已知是一次函数，则的值为（　　） A．1 B．5 C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．1或 B．1或 C．或 D．1或或 3．（25-26八年级下·上海·期中）若函数是关于的一次函数，那么的取值范围是______． 4．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）当________时，函数是关于x的一次函数． 5．（25-26七年级上·山东淄博·月考）已知函数． (1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ (2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？ 题型五 一次函数的图象共存问题 同一坐标系内两条直线 y=k1x+b₁与 y=k2x+b 2，先分别判断每条直线的 k、b 符号，再看两组符号是否一致，一致即为正确图象. 1．（25-26八年级下·山东聊城·期中）正比例函数经过第二、四象限，则下列函数图象正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河北衡水·期中）一次函数与正比例函数在同一直角坐标系内的图像可能为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·三模）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A．B． C． D． 4．（25-26八年级下·北京·期中）已知一次函数的图象和正比例函数的图象在同一个坐标系内，那么可能是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·重庆·期中）若，则一次函数与正比例函数在同一坐标系的图像可能为（    ） A． B． C． D． 题型六 一次函数的性质 1、当k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；当k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 2、当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴； 当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 1．（辽宁大连市金普新区2025-2026学年八年级（下）学情调查数学试卷）下列关于一次函数图象的描述，不正确的是（） A．y随x的增大而增大 B．图象不经过第二象限 C．图象经过点 D．图象与y轴的交点坐标是 2．（25-26八年级下·河北承德·期中）下列关于一次函数的图像信息正确的是（   ） A．图像过二、三、四象限 B．图像过原点 C．与直线平行 D．与x轴相交于点 3．（25-26八年级下·上海·期中）关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图像与轴的交点 B．随着的增大而增大 C．图像经过第一、二、四象限 D．其图像可由的图像向上平移5个单位长度得到 4．（2026年5月山西晋中市部分学校中考二模九年级数学试卷）若点，在直线上，且，则该直线所经过的象限是（   ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数． (1)当m为何值时，y随x的增大而增大； (2)当m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方； (3)当m为何值时，函数图象经过原点； (4)当m为何值时，图象经过第二、三、四象限． 题型七 利用一次函数的性质比较函数值大小 1. 增减性法：k>0，x 越大 y 越大；k<0，x 越大 y 越小； 2. 代入法：直接代入计算 y 值比较. 1．（25-26八年级下·云南昆明·期中）直线经过点和点，已知，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·四川遂宁·月考）已知点，都在直线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 3．（2026·江西吉安·二模）已知点和点都在直线（m为常数）上，若，则________．（填“>”“<”或“=”） 4．（25-26八年级下·上海·期中）如果正比例函数的图象经过点，，，且，那么和的大小关系是______． 5．（25-26七年级上·山东烟台·期末）已知函数． (1)当为何值时，是的一次函数？并求出这个一次函数的表达式； (2)判断点是否在这个函数图象上； (3)点，在该函数图象上，若，用函数的性质说明，的大小关系． 题型八 利用一次函数的增减性求参数 1. 递增→k>0；递减→k<0； 2. 由增减性列 k 的不等式； 3. 解不等式得参数范围. 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知正比例函数的图象上有两点，，当时，，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·北京·期中）已知一次函数，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是______． 3．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知，是直线上的相异两点，若，则的取值范围是____________． 4．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）已知函数（是常数），回答下列问题： (1)当取何值时，该函数为正比例函数； (2)当取何值时，随的增大而增大； (3)若该函数为一次函数，且函数图象经过第二、三、四象限，求的取值范围． 5．（25-26八年级下·福建南平·期中）已知函数 (1)若函数图象经过原点，求的值； (2)若这个函数是一次函数，且随着的增大而减小，求的取值范围； (3)若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，求的取值范围． 题型九 一次函数与坐标轴交点问题 1.它与x轴的交点坐标是（，0）; 2.与y轴的交点坐标是（0，b）; 3.与两坐标轴围成的三角形面积是 S=· . 1．（25-26八年级下·河南周口·期中）直线与轴的交点坐标是(      ) A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江西鹰潭·月考）一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，则的面积为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 3．（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，若点关于轴的对称点的坐标为，则的面积为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 4．（25-26八年级下·河南开封·期中）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于、两点． (1)求一次函数解析式； (2)点P是y轴上的点，若的面积为2，求此时P点的坐标． 5．（25-26八年级下·北京房山·期中）一次函数的图象经过和两点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)画出函数图象，并求出两点的坐标． 题型十 一次函数图形平移、对称问题 1. 平移：上加下减常数项，左加右减自变量； 2. 关于 x 轴对称：y=-kx-b；关于 y 轴对称：y=-kx+b； 3. 按规则改写解析式并化简。 1．（25-26八年级下·重庆·期中）将直线向下平移4个单位得到的直线解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西咸阳·一模）将直线沿y轴向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第一、二、三象限，则m的值可以是（    ） A．2 B．1 C． D． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）已知一次函数的图象与直线关于轴对称，则此一次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（25-26八年级下·北京房山·期中）已知一次函数与轴交于点，与轴交于点，点是轴上一点，点关于直线的对称点为点． (1)求点B的坐标； (2)若点的坐标是，求的值及点的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，且与直线交于点． (1)求m和b的值； (2)若将直线向下平移个单位长度后，所得到的直线与直线的交点在第一象限，求出t的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $