23.2 一次函数的图象和性质（分层作业）数学新教材人教版八年级下册

23.2 一次函数的图象和性质 知识点一 正比例函数与一次函数的图象 1．（24-25八年级下·重庆·期中）若，则一次函数与正比例函数在同一坐标系的图像可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，则，从而一次函数的图像过第一、二、四象限，正比例函数的图像经过第一、三象限，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． ∴一次函数的图像过第一、二、四象限，正比例函数的图像经过第一、三象限， ∴选项B、C、D均不符合题意，选项A符合题意． 2．（24-25八年级下·云南丽江·期末）下列表示一次函数（是常数，且）的图象与正比例函数的图象可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与正比例函数图象的综合判断，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质以及正比例函数的图象与性质． 分别对每个选项中一次函数中的与正比例函数中的的符号进行判断是否一致即可． 【详解】解：A、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； B、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； C、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； D、由图象可得一次函数中，正比例函数中，正确，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级下·湖南郴州·期末）如图，函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象，解题的关键是用数形结合的思想进行解答．根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限． 【详解】解：∵正比例函数与一次函数的自变量系数分别是k和，则两直线相交．故B、C不符合题意； A、正比例函数图象经过第二、四象限，则．则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限，故本选项不符合题意； D、正比例函数图象经过第一、三象限，则．则一次函数的图象应该经过第一、二、四象限，故本选项符合题意； 故选：D． 4．（2025·陕西延安·二模）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象，分和两种情况，讨论出直线经过的象限，再作出选择即可． 【详解】解：当时，的图象过一、二、三象限；的图象过二、四象限； 当时，的图象过二、三、四象限；的图象过一、三象限； 可见，符合条件的只有B． 故选：B． 知识点二 已知函数经过的象限求参数范围 1．（25-26八年级下·北京·开学考试）如果一次函数图象不经过第三象限，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限， ∴， 若，直线与y轴交于负半轴，会经过第三象限， ∴， 综上可得，． 2．（2025·上海杨浦·一模）已知一次函数不经过第二象限，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质：当，图象经过第一、三象限；当，图象经过第二、四象限；当，图象与y轴的交点在x轴的上方；当，图象过原点；当，图象与y轴的交点在x轴的下方． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限或一、三象限， ∴y随x的增大而增大， ∴． 故选：C． 3．（23-24八年级下·吉林·期末）已知一次函数的图象经过，但不经过第二象限，则下列结论不正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质． 由一次函数图象不经过第二象限可知且，结合图象过点得，逐一验证选项即可． 【详解】解：∵一次函数图象不经过第二象限， ∴， ∵图象过点， ∴，即， 对于A：，正确； 对于B：，正确； 对于C：，故不正确； 对于D：由，得，正确． 故选：C． 4．（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，则下列结论一定正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系； 根据一次函数的增减性和与y轴交于负半轴可得，． 【详解】解：由所给函数图象可知， 因为y随x的增大而减小， 所以， 因为一次函数的图象与y轴交于负半轴， 所以， 故选：D． 知识点三 求一次函数解析式 1．（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）一次函数与没有交点，且过点，则此函数解析式为________． 【答案】 【分析】两个一次函数没有交点，说明两条直线平行，平行一次函数的一次项系数相等，由此得到k的值，再利用待定系数法代入已知点坐标求出b的值，即可得到所求函数解析式． 【详解】解：∵一次函数与没有交点， ∴两条直线平行，即， 又∵一次函数经过点， ∴， 解得：， ∴此一次函数的解析式为． 2．（25-26八年级下·江苏连云港·开学考试）已知一次函数的图象与直线平行，且经过点，则该一次函数的解析式为___________． 【答案】 【分析】先根据平行关系确定的值，再代入已知点坐标求出的值，即可得到该一次函数的解析式． 【详解】解：一次函数的图象与直线平行， ∴， ∵一次函数经过点， ∴将点代入，得， 解得， ∴该一次函数的解析式为． 3．（24-25八年级下·云南保山·期末）新学期开学前，有一批教材要从A城市运到B县城需要6小时，车速为每小时x千米，若两地路程为y千米，则y与x的函数关系式是_______． 【答案】 【分析】本题考查了列函数关系式，根据题意明确路程时间速度是解答本题的关键． 根据路程时间速度列出关系式即可． 【详解】解：∵从A城市运到B县城需要6小时，车速为每小时x千米， ∴． 故答案为：． 4．（20-21八年级下·重庆大足·期末）已知一次函数的图像经过点，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图像上点的坐标的特点，熟练掌握一次函数点的坐标特点是解题的关键． 根据一次函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式，把该点坐标代入函数解析式即可． 【详解】解：∵一次函数的图像经过点， ∴， ∴． 故答案为：． 知识点四 一次函数图象平移问题 1．（24-25八年级下·广东江门·期中）将直线向上平移2个单位长度后得到的函数解析式是_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握平移的规则是解题的关键． 根据一次函数图象平移的规则，“上加下减常数项”，向上平移只改变常数项，则问题可解． 【详解】解：根据一次函数图象平移的规则，“上加下减常数项”，则直线向上平移2个单位长度，常数项增加2，得到． 故答案为：． 2．（21-22八年级下·福建福州·期中）将直线沿y轴向上平移个单位，则平移后的直线解析式为__________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将直线沿y轴向上平移个单位，则平移后的直线解析式为， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）一次函数的图象经过点，，则将该图象沿着x轴向右平移3个单位，再向下平移7个单位得到的函数表达式为_____ ． 【答案】 【分析】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与几何变换，熟记“左加右减、上加下减”的平移规律是解题的关键． 先将，两点的坐标代入,运用待定系数法求出一次函数的解析式为，再根据“左加右减、上加下减”的原则得出新的直线表达式． 【详解】解：将，代入得： ， 解得， ∴， 将图象沿着x轴向右平移3个单位，再向下平移7个单位得到的函数表达式为， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·福建龙岩·月考）将直线沿轴向左平移2个单位后再向下平移1个单位长度后得到的直线解析式为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，根据函数图象的平移规则“上加下减，左加右减”，即可得出直线平移后的解析式． 【详解】解：将直线沿x轴向左平移2个单位后再向下平移1个单位长度后得到的直线解析式为． 故答案为：． 知识点五 判断一次函数的增减性 1．（24-25八年级下·上海崇明·期末）已知一次函数与轴交于正半轴，则函数值随的增大而___________． 【答案】增大 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质， 根据直线与y轴的正半轴相交可得，即可得出，再根据一次函数图象的性质得出答案． 【详解】解：当时，， 即直线与y轴的交点为． ∵一次函数与y轴交于正半轴， ∴， ∴， ∴一次函数的函数值y随着x的增大而增大． 故答案为：增大． 2．（24-25八年级下·河南洛阳·期中）若直线，则随的增大而____； 【答案】减小 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握其增减性是关键．根据的正负判断即可的解． 【详解】解：直线， ∵， ∴随的增大而减小， 故答案为：减小 ． 3．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）点都在函数的图象上，若，则______（填“<”“>”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质：当时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大，当时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小． 根据正比例函数，y随x的增大而增减小即可求解． 【详解】解：∵函数的， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·湖南永州·期末）已知和是函数上的点且，则与的大小关系为______． 【答案】 【分析】本题考查比较一次函数的函数值大小，掌握对于一次函数，当时， y随x的增大而增大，当时， y随x的增大而增减小是解题的关键． 根据得到随的增大而减小，继而即可求解． 【详解】解：∵函数中， ∴随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 知识点一 一次函数的图象与性质综合应用 1．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）已知一次函数（为常数，且）． (1)若函数值随的增大而增大，求的取值范围； (2)若函数的图像过第二、三、四象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，对于一次函数（k为常数，），一次函数的图像有四种情况：①当，时，函数的图像经过第一、二、三象限，y的值随的值增大而增大；②当，时，函数的图像经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；当，时，函数的图像经过第一、二、四象限，y的值随的值增大而减小；④当，时，函数的图像经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小． （1）根据一次函数的图像与性质作答即可； （2）根据一次函数的图像与性质作答即可. 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：由条件可知， 解得， 当时，函数的图像过二、三、四象限． 2．（23-24八年级下·吉林延边·期中）已知关于的一次函数． (1)若函数值随着的增大而增大，则m的取值范围是 ． (2)若此一次函数的图象经过第一、二、四象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式组，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）依据题意，根据一次函数的性质可得当时，函数值随的增大而增大，求解即可； （2）根据此一次函数的图象经过第一、二、四象限，列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意，函数值随着的增大而增大， ， 解得：， 故答案为：． （2）解：此一次函数的图象经过第一、二、四象限， 解得， 即的取值范围为． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）已知一次函数． (1)若图象经过原点，求m的值； (2)若y随着x的增大而减小，图象交y轴于正半轴，求m的取值范围； (3)若，当时，求y的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把原点坐标代入解析式解答即可； （2）根据y随着x的增大而减小，图象交y轴于正半轴，得，解答即可； （3）当时，确定，判定y随x的增大而增大，结合，当时，y取得最大值，结合解析式解答即可． 本题考查了图象过原点，不等式的解法，一次函数的性质，熟练掌握解不等式组和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把原点坐标代入解析式， 得， 解得． （2）解：y随着x的增大而减小， ， 解得， 图象交y轴于正半轴， ， 解得， 故． （3）解：当时，函数的解析式为， ， y随x的增大而增大， 当时，时，y取得最大值， 故y的最大值为． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）已知一次函数（为常数且）． (1)若一次函数经过点，求此时函数表达式； (2)若一次函数不经过第三象限，求m的取值范围； (3)若函数在的范围内，至少有一个x的值使得，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】此题考查求一次函数的解析式，一次函数的性质： （1）将点代入解析式求出m的值即可； （2）由一次函数图象不经过第三象限，得求解即可； （3）分情况：当时，当时，根据函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：一次函数为常数且的图象经过， ， 解得：， ； （2）∵一次函数为常数且的图象不经过第三象限， ， 解得：， 的取值范围为； （3）一次函数为常数且中， 当时，y随x的增大而减小， 当时，有， 解得：， 当时，y随x的增大而增大， 至少有一个x的值使得， 当时，有， 解得：； 的取值范围为或， 故答案为：或 知识点二 一次函数图象坐标轴的交点问题 1．（25-26八年级下·浙江嘉兴·月考）如图，直线与x，y轴分别交于A，B两点，点M在线段上，将沿直线折叠，此时点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若点C在坐标轴上，是等腰三角形，请直接写出点C的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)、；、；、． 【分析】（1）先求出，，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，求出，即可求出a的值； （2）设，在中，根据勾股定理列方程求出的值，再根据待定系数法求解即可； （3）分三种情况结合等腰三角形的定义及勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：当时，，即，， 当时，，即，， ∴， ∵将沿直线折叠，此时点B恰好落在点处， ∴， ∴， 即； （2）解：设，则， 将沿直线折叠，此时点B恰好落在点处， ∴， 在中，在中， ∴， 解得：， 即， ∴， 设直线的解析式为， 将、代入得， 解得：， ∴直线的解析式为； （3）解：①以为腰，点B为顶角顶点时，如图： ∵， ∴，， 即点C的坐标为、； 以为腰，点A为顶角顶点，如图： 同理可得点C的坐标为、； 以为底，如图：作的垂直平分线交轴于，交轴于， 设 ∵， ∴， 解得：， 即， 设， ∵， ∴，解得， ∴； 综上所述，点C的坐标为、、、、、． 2．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，已知直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，过点A的直线与y轴负半轴交于点C，且． (1)求直线的函数表达式； (2)若将沿线段方向平移得到点O的对应点为点D，点B的对应点为点，连接，过点D的直线，恰好将四边形的面积分成相等的两部分，求直线的表达式； (3)若直线：与y轴正半轴交于点M，与直线交于点N，若，求k的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】求出，，由得，可得，故，再用待定系数法可得直线的函数表达式为； 设BC的中点为F，由将沿线段方向平移得到，知四边形是平行四边形，故直线经过点的中点F，求出，，再用待定系数法可得直线的表达式为； 设直线：交x轴于点T，过点T作直线交于点H，过点T作轴，交过点N和x轴的平行线于点G，交过点H和x轴的平行线于点K，设点、点，可得直线：过定点，证明≌，有且，故且，即可解得点，代入可得 【详解】（1）解：在中，令得，令得， ，， ， ，即， 解得， ， ， 设直线的函数表达式为，把，代入得： ， 解得， 直线的函数表达式为； （2）解：设的中点为F，如图： 将沿线段方向平移得到， ，， 四边形是平行四边形， 直线恰好将四边形的面积分成相等的两部分， 直线经过平行四边形的对称中心，即直线经过点的中点F， ，， ， ，， 根据平移性质可得， 设直线的表达式为，把，代入得： ， 解得， 直线的表达式为； （3）解：设直线：交x轴于点T，过点T作直线交于点H，过点T作轴，交过点N和x轴的平行线于点G，交过点H和x轴的平行线于点K，如图： 设点、点， 在中，令得， 直线：过定点， ，直线， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ≌， 且， 且， 解得：，， 点， 将点N的坐标代入得：， 解得：， 的值为 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及全等三角形判定与性质，三角形面积，待定系数法等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 3．（24-25八年级下·青海玉树·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点，． (1)求的值； (2)点是第一象限内直线上的一个动点，当点运动到什么位置时，的面积为2． 【答案】(1) (2)当移动到点时，的面积为2 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）把代入解析式进行求解即可； （2）求出点坐标，根据三角形的面积公式求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：把，代入，得：， ∴； （2）由（1）知：， ∴当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，； ∴当移动到点时，的面积为2． 4．（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴交于点A，与轴交于点，过中点的直线交轴于，且其横坐标为． (1)点C的坐标为_________． (2)求的长． (3)求直线对应的函数关系式． (4)点P为直线上一动点，点在轴上，当以点A、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)5 (3) (4)或或 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及求点坐标、线段长度、函数关系式及平行四边形存在性问题，解题关键是熟练运用一次函数性质与平行四边形性质． （1）先求出直线与轴、轴交点、的坐标，进而得到的长度，再根据点是中点求出长度，从而确定点坐标； （2）已知A、坐标，根据勾股定理求的长度； （3）设直线的函数关系式为，把、坐标代入，解方程组得到、的值，从而得到直线对应的函数关系式； （4）设，根据平行四边形的性质和中点坐标公式列方程组求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ， ， ∵点是的中点， ， ， 故答案为：； （2）解：由（1）知，，， ， ； （3）解：设直线对应的函数关系式为， ， ， ， ∴直线对应的函数关系式为； （4）解：设， ∵以点为顶点的四边形为平行四边形，， 当为平行四边形的边，且点在点右边，如图所示： 是平行四边形， 和是对角线，互相平分， 解得： ∴点的坐标为 当为平行四边形的边，且点在点左边，如图所示： 是平行四边形， 和是对角线，互相平分， 解得： ∴点的坐标为 当为平行四边形的对角线，如图所示： 是平行四边形， 和互相平分， 解得： ∴点的坐标为 ∴综上，点的坐标为或或． 1．（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点，连接． ①若，则点的坐标为 ； ②若的面积为，则点的坐标为 ； ③已知为线段的中点，连接，若在线段上有一点，满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或；③点F的坐标 【分析】（1）先确定出点B坐标和点A坐标，进而求出点C坐标，最后用待定系数法求出直线BC解析式； （2）①设点，则点)，则，由，，则，，，再由勾股定理得，，则，由此求解即可； ②设点， ，点在直线上，，，，进行求解即可； ③过点作交于，过点作轴于，根据，是等腰直角三角形，再证，得出，，根据点为线段的中点，，求出，设，则， 待定系数法求直线的解析式为，点在上，，代入得方程解方程即可． 【详解】（1）解：对于，令，， ， 令， ， ， ， 点与点A关于轴对称， ， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为； （2）解：①设点， ， ，， ，，， ， 是直角三角形， ， ， ， ， 故答案为：； ②设点， 点在直线上， ， 点在直线上， ， ， 的面积为， ， ， 或； ③过点作交于，过点作轴于， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ，， 点为线段的中点，， ，， 设，则，，则， ，， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在上，， ， 解得：， 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法求一次函数解析式． 2．（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，直线与x轴交于点，点D在第四象限，． (1)求直线的解析式； (2)若，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，若点F在直线上，且在x轴下方，试探究x轴上是否存在点E，使得四边形为平行四边形，若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为 (2) (3)x轴上存在点E，使得四边形为平行四边形，的长为 【分析】（1）由求出，再用待定系数法可得直线的解析式为； （2）过点D作轴于点E，求出，，可得，故，即有，得，再证是等腰直角三角形，知，从而求出； （3）根据四边形为平行四边形，知，即可求出，故，，可得的长为． 【详解】（1）解：在中，令，得， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得， 直线的解析式为； （2）解：过点D作轴于点E，如图， 在中，令，得，解得， ∴， ， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， 轴， 是等腰直角三角形， ∴， ， ∴； （3）解：轴上存在点E，使得四边形为平行四边形，理由如下： 如图： 由（2）知，， 四边形为平行四边形， ∴，即轴，， ∴， 在中，令得，解得， ∴， ∴， ， ∴， 的长为． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的图象的性质，求一次函数解析式，平行四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 3．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图1，图2，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，直线经过点和点． 如图2，将直线沿轴以每秒1个单位长度的速度向下平移，当直线经过点时，停止移动，设平移的时间为． (1)四边形的形状是___________； (2)①在平移过程中，求直线在四边形内的线段的长度保持不变的时长； ②当直线使四边形内部（不包括边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）平均分布在它的两侧时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)矩形 (2)①；②． 【分析】本题是一次函数的综合题，考查了平面直角坐标系、一次函数、矩形的判定、函数图象的平移．对平面直角坐标系、直线解析式以及图形平移等知识的综合运用是解题的关键； （1）根据坐标可判断四边形的形状； （2）①根据将直线向下平移，得到函数解析式为．直线在四边形内的线段的长度先增加，经过点时长度最大，求得线段长度开始保持不变，当直线经过点后，线段长度开始减小．当得到线段长度保持不变的时长为； ②当经过点时，有，得到；当经过点时，有，得到，于是得到的取值范围为． 【详解】（1）解：点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，， ，，，， 四边形的形状是矩形， 故答案为：矩形． （2）解：①将直线向下平移，函数解析式为． 直线在四边形内的线段的长度先增加，经过点时长度最大， ， 线段长度开始保持不变，当直线经过点后，线段长度开始减小． 当经过点时，，解得， 当经过点时，，解得， 线段长度保持不变的时长为； ②四边形内部的整点有6个，分别是，，，，，． 当经过点时，有，解得； 当经过点时，有，解得， 的取值范围为． 4．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数：的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，的图象分别交x轴，y轴于D，C两点，直线相交于点E，． (1)求A，B两点的坐标； (2)连接，求线段三者之间的数量关系； (3)设线段的中点为M，点N为直线l2上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质、矩形的性质、勾股定理等知识点，熟练运用相关知识是解题的关键． （1）当时，；当时，，即可求A、B点坐标； （2）求出直线的解析式，再求出E点坐标，分别求出的长，即可求解； （3）设，分、、三种情况，分别 利用勾股定理分别求出m的值即可． 【详解】（1）解：∵中，当时，；当时，， ∴，． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 当时， 解得： ， ∴， ∴，， ， ∴，，， ∴． （3）解：∵，，M是的中点， ∴， 设， ∴， ， ， 当时，， 解得：， ∴； 当时，， 解得： ， ∴； 当时，， 解得：， ∴． 综上所述：N点坐标为或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.2 一次函数的图象和性质 知识点一 正比例函数与一次函数的图象 1． 【答案】A 【分析】由，则，从而一次函数的图像过第一、二、四象限，正比例函数的图像经过第一、三象限，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． ∴一次函数的图像过第一、二、四象限，正比例函数的图像经过第一、三象限， ∴选项B、C、D均不符合题意，选项A符合题意． 2． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与正比例函数图象的综合判断，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质以及正比例函数的图象与性质． 分别对每个选项中一次函数中的与正比例函数中的的符号进行判断是否一致即可． 【详解】解：A、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； B、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； C、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； D、由图象可得一次函数中，正比例函数中，正确，故本选项符合题意； 故选：D． 3． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象，解题的关键是用数形结合的思想进行解答．根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限． 【详解】解：∵正比例函数与一次函数的自变量系数分别是k和，则两直线相交．故B、C不符合题意； A、正比例函数图象经过第二、四象限，则．则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限，故本选项不符合题意； D、正比例函数图象经过第一、三象限，则．则一次函数的图象应该经过第一、二、四象限，故本选项符合题意； 故选：D． 4． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象，分和两种情况，讨论出直线经过的象限，再作出选择即可． 【详解】解：当时，的图象过一、二、三象限；的图象过二、四象限； 当时，的图象过二、三、四象限；的图象过一、三象限； 可见，符合条件的只有B． 故选：B． 知识点二 已知函数经过的象限求参数范围 1． 【答案】D 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限， ∴， 若，直线与y轴交于负半轴，会经过第三象限， ∴， 综上可得，． 2． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质：当，图象经过第一、三象限；当，图象经过第二、四象限；当，图象与y轴的交点在x轴的上方；当，图象过原点；当，图象与y轴的交点在x轴的下方． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限或一、三象限， ∴y随x的增大而增大， ∴． 故选：C． 3． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质． 由一次函数图象不经过第二象限可知且，结合图象过点得，逐一验证选项即可． 【详解】解：∵一次函数图象不经过第二象限， ∴， ∵图象过点， ∴，即， 对于A：，正确； 对于B：，正确； 对于C：，故不正确； 对于D：由，得，正确． 故选：C． 4． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系； 根据一次函数的增减性和与y轴交于负半轴可得，． 【详解】解：由所给函数图象可知， 因为y随x的增大而减小， 所以， 因为一次函数的图象与y轴交于负半轴， 所以， 故选：D． 知识点三 求一次函数解析式 1． 【答案】 【分析】两个一次函数没有交点，说明两条直线平行，平行一次函数的一次项系数相等，由此得到k的值，再利用待定系数法代入已知点坐标求出b的值，即可得到所求函数解析式． 【详解】解：∵一次函数与没有交点， ∴两条直线平行，即， 又∵一次函数经过点， ∴， 解得：， ∴此一次函数的解析式为． 2． 【答案】 【分析】先根据平行关系确定的值，再代入已知点坐标求出的值，即可得到该一次函数的解析式． 【详解】解：一次函数的图象与直线平行， ∴， ∵一次函数经过点， ∴将点代入，得， 解得， ∴该一次函数的解析式为． 3． 【答案】 【分析】本题考查了列函数关系式，根据题意明确路程时间速度是解答本题的关键． 根据路程时间速度列出关系式即可． 【详解】解：∵从A城市运到B县城需要6小时，车速为每小时x千米， ∴． 故答案为：． 4． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图像上点的坐标的特点，熟练掌握一次函数点的坐标特点是解题的关键． 根据一次函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式，把该点坐标代入函数解析式即可． 【详解】解：∵一次函数的图像经过点， ∴， ∴． 故答案为：． 知识点四 一次函数图象平移问题 1． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握平移的规则是解题的关键． 根据一次函数图象平移的规则，“上加下减常数项”，向上平移只改变常数项，则问题可解． 【详解】解：根据一次函数图象平移的规则，“上加下减常数项”，则直线向上平移2个单位长度，常数项增加2，得到． 故答案为：． 2． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将直线沿y轴向上平移个单位，则平移后的直线解析式为， 故答案为：． 3． 【答案】 【分析】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与几何变换，熟记“左加右减、上加下减”的平移规律是解题的关键． 先将，两点的坐标代入,运用待定系数法求出一次函数的解析式为，再根据“左加右减、上加下减”的原则得出新的直线表达式． 【详解】解：将，代入得： ， 解得， ∴， 将图象沿着x轴向右平移3个单位，再向下平移7个单位得到的函数表达式为， 故答案为：． 4． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，根据函数图象的平移规则“上加下减，左加右减”，即可得出直线平移后的解析式． 【详解】解：将直线沿x轴向左平移2个单位后再向下平移1个单位长度后得到的直线解析式为． 故答案为：． 知识点五 判断一次函数的增减性 1． 【答案】增大 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质， 根据直线与y轴的正半轴相交可得，即可得出，再根据一次函数图象的性质得出答案． 【详解】解：当时，， 即直线与y轴的交点为． ∵一次函数与y轴交于正半轴， ∴， ∴， ∴一次函数的函数值y随着x的增大而增大． 故答案为：增大． 2． 【答案】减小 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握其增减性是关键．根据的正负判断即可的解． 【详解】解：直线， ∵， ∴随的增大而减小， 故答案为：减小 ． 3． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质：当时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大，当时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小． 根据正比例函数，y随x的增大而增减小即可求解． 【详解】解：∵函数的， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 4． 【答案】 【分析】本题考查比较一次函数的函数值大小，掌握对于一次函数，当时， y随x的增大而增大，当时， y随x的增大而增减小是解题的关键． 根据得到随的增大而减小，继而即可求解． 【详解】解：∵函数中， ∴随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 知识点一 一次函数的图象与性质综合应用 1． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，对于一次函数（k为常数，），一次函数的图像有四种情况：①当，时，函数的图像经过第一、二、三象限，y的值随的值增大而增大；②当，时，函数的图像经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；当，时，函数的图像经过第一、二、四象限，y的值随的值增大而减小；④当，时，函数的图像经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小． （1）根据一次函数的图像与性质作答即可； （2）根据一次函数的图像与性质作答即可. 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：由条件可知， 解得， 当时，函数的图像过二、三、四象限． 2． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式组，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）依据题意，根据一次函数的性质可得当时，函数值随的增大而增大，求解即可； （2）根据此一次函数的图象经过第一、二、四象限，列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意，函数值随着的增大而增大， ， 解得：， 故答案为：． （2）解：此一次函数的图象经过第一、二、四象限， 解得， 即的取值范围为． 3． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把原点坐标代入解析式解答即可； （2）根据y随着x的增大而减小，图象交y轴于正半轴，得，解答即可； （3）当时，确定，判定y随x的增大而增大，结合，当时，y取得最大值，结合解析式解答即可． 本题考查了图象过原点，不等式的解法，一次函数的性质，熟练掌握解不等式组和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把原点坐标代入解析式， 得， 解得． （2）解：y随着x的增大而减小， ， 解得， 图象交y轴于正半轴， ， 解得， 故． （3）解：当时，函数的解析式为， ， y随x的增大而增大， 当时，时，y取得最大值， 故y的最大值为． 4． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】此题考查求一次函数的解析式，一次函数的性质： （1）将点代入解析式求出m的值即可； （2）由一次函数图象不经过第三象限，得求解即可； （3）分情况：当时，当时，根据函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：一次函数为常数且的图象经过， ， 解得：， ； （2）∵一次函数为常数且的图象不经过第三象限， ， 解得：， 的取值范围为； （3）一次函数为常数且中， 当时，y随x的增大而减小， 当时，有， 解得：， 当时，y随x的增大而增大， 至少有一个x的值使得， 当时，有， 解得：； 的取值范围为或， 故答案为：或 知识点二 一次函数图象坐标轴的交点问题 1． 【答案】(1)； (2)； (3)、；、；、． 【分析】（1）先求出，，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，求出，即可求出a的值； （2）设，在中，根据勾股定理列方程求出的值，再根据待定系数法求解即可； （3）分三种情况结合等腰三角形的定义及勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：当时，，即，， 当时，，即，， ∴， ∵将沿直线折叠，此时点B恰好落在点处， ∴， ∴， 即； （2）解：设，则， 将沿直线折叠，此时点B恰好落在点处， ∴， 在中，在中， ∴， 解得：， 即， ∴， 设直线的解析式为， 将、代入得， 解得：， ∴直线的解析式为； （3）解：①以为腰，点B为顶角顶点时，如图： ∵， ∴，， 即点C的坐标为、； 以为腰，点A为顶角顶点，如图： 同理可得点C的坐标为、； 以为底，如图：作的垂直平分线交轴于，交轴于， 设 ∵， ∴， 解得：， 即， 设， ∵， ∴，解得， ∴； 综上所述，点C的坐标为、、、、、． 2． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】求出，，由得，可得，故，再用待定系数法可得直线的函数表达式为； 设BC的中点为F，由将沿线段方向平移得到，知四边形是平行四边形，故直线经过点的中点F，求出，，再用待定系数法可得直线的表达式为； 设直线：交x轴于点T，过点T作直线交于点H，过点T作轴，交过点N和x轴的平行线于点G，交过点H和x轴的平行线于点K，设点、点，可得直线：过定点，证明≌，有且，故且，即可解得点，代入可得 【详解】（1）解：在中，令得，令得， ，， ， ，即， 解得， ， ， 设直线的函数表达式为，把，代入得： ， 解得， 直线的函数表达式为； （2）解：设的中点为F，如图： 将沿线段方向平移得到， ，， 四边形是平行四边形， 直线恰好将四边形的面积分成相等的两部分， 直线经过平行四边形的对称中心，即直线经过点的中点F， ，， ， ，， 根据平移性质可得， 设直线的表达式为，把，代入得： ， 解得， 直线的表达式为； （3）解：设直线：交x轴于点T，过点T作直线交于点H，过点T作轴，交过点N和x轴的平行线于点G，交过点H和x轴的平行线于点K，如图： 设点、点， 在中，令得， 直线：过定点， ，直线， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ≌， 且， 且， 解得：，， 点， 将点N的坐标代入得：， 解得：， 的值为 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及全等三角形判定与性质，三角形面积，待定系数法等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 3． 【答案】(1) (2)当移动到点时，的面积为2 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）把代入解析式进行求解即可； （2）求出点坐标，根据三角形的面积公式求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：把，代入，得：， ∴； （2）由（1）知：， ∴当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，； ∴当移动到点时，的面积为2． 4． 【答案】(1) (2)5 (3) (4)或或 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及求点坐标、线段长度、函数关系式及平行四边形存在性问题，解题关键是熟练运用一次函数性质与平行四边形性质． （1）先求出直线与轴、轴交点、的坐标，进而得到的长度，再根据点是中点求出长度，从而确定点坐标； （2）已知A、坐标，根据勾股定理求的长度； （3）设直线的函数关系式为，把、坐标代入，解方程组得到、的值，从而得到直线对应的函数关系式； （4）设，根据平行四边形的性质和中点坐标公式列方程组求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ， ， ∵点是的中点， ， ， 故答案为：； （2）解：由（1）知，，， ， ； （3）解：设直线对应的函数关系式为， ， ， ， ∴直线对应的函数关系式为； （4）解：设， ∵以点为顶点的四边形为平行四边形，， 当为平行四边形的边，且点在点右边，如图所示： 是平行四边形， 和是对角线，互相平分， 解得： ∴点的坐标为 当为平行四边形的边，且点在点左边，如图所示： 是平行四边形， 和是对角线，互相平分， 解得： ∴点的坐标为 当为平行四边形的对角线，如图所示： 是平行四边形， 和互相平分， 解得： ∴点的坐标为 ∴综上，点的坐标为或或． 1． 【答案】(1) (2)①；②或；③点F的坐标 【分析】（1）先确定出点B坐标和点A坐标，进而求出点C坐标，最后用待定系数法求出直线BC解析式； （2）①设点，则点)，则，由，，则，，，再由勾股定理得，，则，由此求解即可； ②设点， ，点在直线上，，，，进行求解即可； ③过点作交于，过点作轴于，根据，是等腰直角三角形，再证，得出，，根据点为线段的中点，，求出，设，则， 待定系数法求直线的解析式为，点在上，，代入得方程解方程即可． 【详解】（1）解：对于，令，， ， 令， ， ， ， 点与点A关于轴对称， ， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为； （2）解：①设点， ， ，， ，，， ， 是直角三角形， ， ， ， ， 故答案为：； ②设点， 点在直线上， ， 点在直线上， ， ， 的面积为， ， ， 或； ③过点作交于，过点作轴于， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ，， 点为线段的中点，， ，， 设，则，，则， ，， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在上，， ， 解得：， 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法求一次函数解析式． 2． 【答案】(1)直线的解析式为 (2) (3)x轴上存在点E，使得四边形为平行四边形，的长为 【分析】（1）由求出，再用待定系数法可得直线的解析式为； （2）过点D作轴于点E，求出，，可得，故，即有，得，再证是等腰直角三角形，知，从而求出； （3）根据四边形为平行四边形，知，即可求出，故，，可得的长为． 【详解】（1）解：在中，令，得， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得， 直线的解析式为； （2）解：过点D作轴于点E，如图， 在中，令，得，解得， ∴， ， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， 轴， 是等腰直角三角形， ∴， ， ∴； （3）解：轴上存在点E，使得四边形为平行四边形，理由如下： 如图： 由（2）知，， 四边形为平行四边形， ∴，即轴，， ∴， 在中，令得，解得， ∴， ∴， ， ∴， 的长为． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的图象的性质，求一次函数解析式，平行四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 3． 【答案】(1)矩形 (2)①；②． 【分析】本题是一次函数的综合题，考查了平面直角坐标系、一次函数、矩形的判定、函数图象的平移．对平面直角坐标系、直线解析式以及图形平移等知识的综合运用是解题的关键； （1）根据坐标可判断四边形的形状； （2）①根据将直线向下平移，得到函数解析式为．直线在四边形内的线段的长度先增加，经过点时长度最大，求得线段长度开始保持不变，当直线经过点后，线段长度开始减小．当得到线段长度保持不变的时长为； ②当经过点时，有，得到；当经过点时，有，得到，于是得到的取值范围为． 【详解】（1）解：点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，， ，，，， 四边形的形状是矩形， 故答案为：矩形． （2）解：①将直线向下平移，函数解析式为． 直线在四边形内的线段的长度先增加，经过点时长度最大， ， 线段长度开始保持不变，当直线经过点后，线段长度开始减小． 当经过点时，，解得， 当经过点时，，解得， 线段长度保持不变的时长为； ②四边形内部的整点有6个，分别是，，，，，． 当经过点时，有，解得； 当经过点时，有，解得， 的取值范围为． 4． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质、矩形的性质、勾股定理等知识点，熟练运用相关知识是解题的关键． （1）当时，；当时，，即可求A、B点坐标； （2）求出直线的解析式，再求出E点坐标，分别求出的长，即可求解； （3）设，分、、三种情况，分别 利用勾股定理分别求出m的值即可． 【详解】（1）解：∵中，当时，；当时，， ∴，． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 当时， 解得： ， ∴， ∴，， ， ∴，，， ∴． （3）解：∵，，M是的中点， ∴， 设， ∴， ， ， 当时，， 解得：， ∴； 当时，， 解得： ， ∴； 当时，， 解得：， ∴． 综上所述：N点坐标为或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.2 一次函数的图象和性质 知识点一 正比例函数与一次函数的图象 1．（24-25八年级下·重庆·期中）若，则一次函数与正比例函数在同一坐标系的图像可能为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·云南丽江·期末）下列表示一次函数（是常数，且）的图象与正比例函数的图象可能的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖南郴州·期末）如图，函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西延安·二模）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 知识点二 已知函数经过的象限求参数范围 1．（25-26八年级下·北京·开学考试）如果一次函数图象不经过第三象限，那么（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海杨浦·一模）已知一次函数不经过第二象限，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·吉林·期末）已知一次函数的图象经过，但不经过第二象限，则下列结论不正确的是(    ) A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，则下列结论一定正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 知识点三 求一次函数解析式 1．（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）一次函数与没有交点，且过点，则此函数解析式为________． 2．（25-26八年级下·江苏连云港·开学考试）已知一次函数的图象与直线平行，且经过点，则该一次函数的解析式为___________． 3．（24-25八年级下·云南保山·期末）新学期开学前，有一批教材要从A城市运到B县城需要6小时，车速为每小时x千米，若两地路程为y千米，则y与x的函数关系式是_______． 4．（20-21八年级下·重庆大足·期末）已知一次函数的图像经过点，则的值为___________． 知识点四 一次函数图象平移问题 1．（24-25八年级下·广东江门·期中）将直线向上平移2个单位长度后得到的函数解析式是_______． 2．（21-22八年级下·福建福州·期中）将直线沿y轴向上平移个单位，则平移后的直线解析式为__________ ． 3．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）一次函数的图象经过点，，则将该图象沿着x轴向右平移3个单位，再向下平移7个单位得到的函数表达式为_____ ． 4．（24-25八年级下·福建龙岩·月考）将直线沿轴向左平移2个单位后再向下平移1个单位长度后得到的直线解析式为___________． 知识点五 判断一次函数的增减性 1．（24-25八年级下·上海崇明·期末）已知一次函数与轴交于正半轴，则函数值随的增大而___________． 2．（24-25八年级下·河南洛阳·期中）若直线，则随的增大而____； 3．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）点都在函数的图象上，若，则______（填“<”“>”或“=”） 4．（24-25八年级下·湖南永州·期末）已知和是函数上的点且，则与的大小关系为______． 知识点一 一次函数的图象与性质综合应用 1．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）已知一次函数（为常数，且）． (1)若函数值随的增大而增大，求的取值范围； (2)若函数的图像过第二、三、四象限，求的取值范围． 2．（23-24八年级下·吉林延边·期中）已知关于的一次函数． (1)若函数值随着的增大而增大，则m的取值范围是 ． (2)若此一次函数的图象经过第一、二、四象限，求m的取值范围． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）已知一次函数． (1)若图象经过原点，求m的值； (2)若y随着x的增大而减小，图象交y轴于正半轴，求m的取值范围； (3)若，当时，求y的最大值． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）已知一次函数（为常数且）． (1)若一次函数经过点，求此时函数表达式； (2)若一次函数不经过第三象限，求m的取值范围； (3)若函数在的范围内，至少有一个x的值使得，求m的取值范围． 知识点二 一次函数图象坐标轴的交点问题 1．（25-26八年级下·浙江嘉兴·月考）如图，直线与x，y轴分别交于A，B两点，点M在线段上，将沿直线折叠，此时点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若点C在坐标轴上，是等腰三角形，请直接写出点C的坐标． 2．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，已知直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，过点A的直线与y轴负半轴交于点C，且． (1)求直线的函数表达式； (2)若将沿线段方向平移得到点O的对应点为点D，点B的对应点为点，连接，过点D的直线，恰好将四边形的面积分成相等的两部分，求直线的表达式； (3)若直线：与y轴正半轴交于点M，与直线交于点N，若，求k的值． 3．（24-25八年级下·青海玉树·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点，． (1)求的值； (2)点是第一象限内直线上的一个动点，当点运动到什么位置时，的面积为2． 4．（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴交于点A，与轴交于点，过中点的直线交轴于，且其横坐标为． (1)点C的坐标为_________． (2)求的长． (3)求直线对应的函数关系式． (4)点P为直线上一动点，点在轴上，当以点A、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 1．（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点，连接． ①若，则点的坐标为 ； ②若的面积为，则点的坐标为 ； ③已知为线段的中点，连接，若在线段上有一点，满足，求点的坐标． 2．（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，直线与x轴交于点，点D在第四象限，． (1)求直线的解析式； (2)若，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，若点F在直线上，且在x轴下方，试探究x轴上是否存在点E，使得四边形为平行四边形，若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 3．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图1，图2，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，直线经过点和点． 如图2，将直线沿轴以每秒1个单位长度的速度向下平移，当直线经过点时，停止移动，设平移的时间为． (1)四边形的形状是___________； (2)①在平移过程中，求直线在四边形内的线段的长度保持不变的时长； ②当直线使四边形内部（不包括边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）平均分布在它的两侧时，直接写出的取值范围． 4．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数：的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，的图象分别交x轴，y轴于D，C两点，直线相交于点E，． (1)求A，B两点的坐标； (2)连接，求线段三者之间的数量关系； (3)设线段的中点为M，点N为直线l2上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $