湖北孝感奥美高级中学2026届高三适应性考试（一）数学试题

**基本信息** 以新技术学习效率、乒乓球比赛等真实情境为载体，通过函数图像性质、概率规则比较等问题设计，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，适配高三模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|复数、集合、解三角形、函数图像|第4题结合函数图像与垂线性质，考查几何直观| |多项选择|3/18|概率、立体几何、曲线方程|第10题以长方体动点截面为背景，体现空间观念| |填空题|3/15|圆台体积、双曲线离心率、方程求解|第13题通过对称点关系求离心率，注重数学运算| |解答题|5/77|三角函数、导数、立体几何、抛物线、概率统计|第18题抛物线与圆切线综合，第19题概率规则比较，培养综合应用与逻辑推理能力|

2026届孝感奥美高三适应性考试（一） 数学试题解析 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.已知i为虚数单位，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查共轭复数和复数的模，属于基础题. 利用，结合复数模的运算性质即可求解 【解答】 解：由题意，得 2.已知集合，则  A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查交集及其运算，涉及对数不等式的解法，属于基础题，先求出集合，再利用交集的运算法则即可. 【解答】 解：，， 故选 3.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 3 【答案】B  【解析】解：因为，由正弦定理得：， 在中，， 即，展开可得， 所以， 由，则， 因为a，b为边长，所以，，所以， 所以角C为钝角，， 所以角A为锐角，此时，， 所以由， 在中，， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为 故选： 利用正弦定理、两角和的正弦公式、两角和的正切公式以及基本不等式求解即可． 本题考查三角形的内角和定理的应用，两角和的正切公式的应用，基本不等式的性质的应用，属于中档题． 4.已知P是函数的图象上的任意一点，过P分别向直线和y轴作垂线，垂足分别为A，B，则(    ) A. B. C. 0 D. 【答案】B  【解析】解：由P是函数的图象上的任意一点， 可设，，则， 由，可得，解得， 所以， 则， 所以 故选： 设，，利用向量垂直的坐标表示求出点A的坐标，即可求出的值． 本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题． 5.随着对某项新技术学习效率的提升，生产力不断提高.该技术下生产第一件产品的工时为k，生产x件产品的平均工时，其中为产品工时递减速率现有一条工时递减速率为的生产线，则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由题意，工时递减速率， 根据，得 生产前四件产品的平均工时，生产前两件产品的平均工时， 比值为： 6.已知函数，的定义域为R，为的导函数，，，若，则(    ) A. 2026 B. 1013 C. 1 D. 【答案】D  【解析】解：因为函数，的定义域为R，为的导函数， ，，， 且， 所以， 因为，所以关于直线对称， 则原函数关于点对称，所以， 所以， 令，则，即， 所以， 所以的周期为4， 又，即，所以的周期也为4， 由得， 由得，所以， 由得，所以， 又，所以， 所以， 所以， 又， 所以 故选： 根据抽象函数的性质，赋值法，周期性，即可求解． 本题考查抽象函数的性质的综合应用，属中档题． 7.已知二面角的大小为，，，且，Q为内异于O的任意一点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：因为，， Q为内异于O的任意一点， 所以当为直线PO与所成角， 即PO在内的射影在直线OQ上时，最小. 过点P作，垂足为N， 由PO在内的射影在直线OQ上知：点， 在内，过P作，交AB于H，连接 因为 ，，所以， 而PH、平面PNH，， 因此平面PNH，而平面PNH，所以， 因此是二面角的平面角，即 设，由得：， 因此由得：， 所以，因此的最小值为 8.已知各项均为正数的数列，其中，n是正整数，是实数．若对任意，能构成三角形，则满足条件的n的个数为     A. 2 B. 4 C. 6 D. 无数个 【答案】B  【解析】【分析】由判断的范围，由三角形三边关系得的不等关系，构造函数，分析其零点，解不等式可得. 【详解】设， 易知，所以三点共线. 由，得，所以点在线段上. 又，所以均在第一象限. 其中是奇数，是偶数，所以 若，则 此时要构成三角形，只需满足，即，即 若，则 此时要构成三角形，只需满足，即，即 令，则是减函数， 又，， 所以存在，使得当时，；当时， 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，所以在区间上有一个零点，记为 所以当时，；当时， 令函数，则 令，是增函数， ， 所以恒成立，恒成立， 所以在上单调递增，在上单调递增. 因，，满足题意； ，满足题意； 当时，，不满足题意。又函数在时单调递增，故对任意均不满足题意. 综上所述，满足条件的n有4个，分别是 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球.现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球.记从甲袋子里取出红球的个数为X，则(    ) A. B. C. D. 【答案】BC  【解析】解：甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2个红球， 乙袋子里有3个红球和2个白球， 从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球， 记从甲袋子里取出红球的个数为X， 设从乙袋子中取出2个红球为事件A，则， 从乙袋子中取出2个白球为事件B，则， 从乙袋子中取出1个红球和1个白球为事件C，则， 由题意，X的可能取值为0和1， 则， ，故A错误，B正确； ，故C正确； ，故D错误． 故选： 分别求出从乙袋子中取出2个红球、2个白球和1个红球和1个白球的概率，分析X的可能取值，求出各个概率，可判断A、B的正误，代入期望公式，可判断C、D的正误． 本题考查离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 10.如图，在长方体中，，，点P是棱上的动点不含端点，过点，B，P作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，，则(    ) A. 截面是平行四边形 B. 若，则 C. 存在点P，使得截面为长方形 D. 截面的面积存在最小值 【答案】AD  【解析】解：如图： 对于选项A：设平面交棱于点Q，连接， 因为平面平面，平面平面， 平面平面， 所以 同理，所以四边形为平行四边形，即截面是平行四边形，故A正确； 对于选项B：因为，，所以， 又和中，，， 所以≌， 所以，， 连接，， 则， ， ， 且， 所以，又， 所以，所以，故B错误； 对于选项C：假设存在点P，使得截面为长方形． 设，则， 由， 即或 这与矛盾，所以假设错误．故不存在点P，使得截面为长方形．即C错误； 对于选项D：设，， 则，， 在中，由余弦定理，， 所以 所以 所以截面四边形的面积为， 所以当时，截面的面积最小，为故D正确． 故选： 对于A：根据面面平行的性质定理即可判断A； 对于B先证≌，根据，求解即可； 对于C：假设存在点P，使得截面为长方形．设，则，，推出矛盾，即可判断C； 对于D；求出截面四边形的面积为，即可判断 本题考查立体几何综合问题，考查逻辑推理与运算能力，属于难题． 11.已知曲线：，则下列说法正确的有 A. 曲线是中心对称图形 B. 曲线与直线有三个不同的交点 C. 该曲线可以成为一个函数的图象 D. 当时， 【答案】ACD  【解析】解：对于选项A，设点在曲线上，则 将分别代入方程左右两边， 左边，右边 由原方程可得， 故也在曲线上，所以曲线关于原点中心对称，A正确; 对于选项B，由得： ，即，解得或， 因此当或时， 时，无实根，此时只有一个交点，故B错误； 对于选项C，令，则，解得，， 显然，在R上单调递增，所以一个确定的x，对应唯一的t的值，从而对应唯一的y值， 所以y是x的函数，因而该曲线可以成为一个函数的图象，故C正确； 对于选项D，令，则，解得，， 当时，由，得，此时，， 对求导得， 令，解得， 当时，；当时，，故时y取最小值， ，故D正确， 故选 三、填空题：本大题共3小题，共15分。 12.若圆台的上下底面半径分别为1和4，侧面积为，则圆台的体积为        . 【答案】  【解析】解：设圆台母线长为l，则，所以，所以圆台的高为， 所以圆台的体积为 故答案为： 由圆台侧面积公式可得母线长，再求出圆台的高，利用圆台的体积求解即可． 本题考查圆台的体积公式，属于基础题． 13.已知双曲线的右焦点为F，A是C右支上一点，A关于原点和x轴对称的点分别为D，E，，，则C的离心率为          . 【答案】  【解析】解：方法一：设左焦点为F1，连接AF1， 与D关于O对称，，O，D三点共线， ，，， 点A与点E关于x轴对称， ， 为等边三角形，则， ， 又，则， ，则由勾股定理可得， 由点A在双曲线右支上，根据双曲线定义可知， 即，故， 故C的离心率为 方法二：令，则，，， ，， ，， ，， ，， ，即， 即， 即，即， ， 14.若，，则a的值为        . 【答案】1  【解析】解：因为，， 令，所以， 则当时，，即在上单调递减， 所以当时，，矛盾，故 因为当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以， 令，，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 所以要使，只需 故答案为： 将已知不等式恒成立转化为，令，利用导数求出的最小值大于等于0，即可求解a的值． 本题主要考查不等式恒成立问题，利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于难题． 四、解答题：本大题共5小题，共79分。 15.已知， 求的最小正周期和单调增区间； 已知锐角的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，，求BC边上的高的最大值. 【答案】   【解析】解： ， 所以函数的最小正周期， 令，，则， 所以函数单调递增区间为； 16.已知函数， 当时，求曲线在处的切线方程； 讨论的零点个数； 【答案】解：当时，，， ，， 所以曲线在处的切线方程为，即， 曲线在处的切线方程为； 因为，，令得，即， 令，所以的零点个数等价于与的图象交点的个数， 又因为，当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 且，有极大值也是最大值， 如图： 由图可知，当时，函数与的图象无交点； 当时，函数与的图象有1个交点； 时，函数与的图象有2个交点， 综上，时，的零点个数为0；时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2； 【解析】根据导数的几何意义可得切线方程； 先进行参数分离，再转化为与图象交点的个数可得； 17.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，， 证明：平面平面PAD； 若直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长； 【解析】解：证明：因为平面ABCD，平面ABCD， 所以， 又因为，， 所以平面PAD， 又因为平面PAB， 所以平面平面 以A为坐标原点，以为x轴正半轴方向，建立空间直角坐标系， 在平面ABCD内，作交AB于点F，则， 在中，，， 设，则，，由，得， 所以， ， 设平面PCD的法向量为， 则，由，得， 取， 得平面PCD的一个法向量为， 又， 由直线PB与平面PCD所成的角为， 可得， 即， 解得或舍去，因为， 所以 根据线面垂直的性质可得，再结合得到平面PAD，最后根据面面垂直的判定定理证明平面平面PAD； 以A为坐标原点建立空间直角坐标系，作交AB于点F，设，根据已知条件写出B，P，F，C，D的坐标，再运用线面角的向量求法列出方程，可得t即AB的长； 18.已知点在抛物线C：上． 求抛物线C的标准方程； 若射线PA，PB均与圆M：相切，且点A，B在抛物线C上． ①若存在R，使得，求直线AB的方程； ②过点P作于点H，问：是否存在定点T，使得为定值？若存在，求该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】解：将点代入抛物线C的方程， 得，， 所以抛物线C的标准方程是； ①因为， 所以PM是的中线， 又因为射线PA，PB均与圆相切， 所以PM是的角平分线，所以， 故，而，所以， 设点，， 过点P且与圆M相切的直线为：， 则 ， 又因为， 同理，， 所以， 所以，则， 所以AB直线为：，即； ②直线为：， 由①中式可知， 故定点在AB直线上， 因为，所以三角形PHT是直角三角形， 故， 即存在定点，使得为定值  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.甲和乙进行乒乓球比赛，每一球甲赢的概率为p，乙赢的概率为，每球的比赛结果相互独立，现从两套规则中选一套：规则一，双方进行球比赛，先赢得球的一方获胜；规则二，若一方赢得至少n球且必须领先对手至少2球则获胜，否则先赢得球的一方获胜．设选择规则一时甲获胜的概率为，选择规则二时甲获胜的概率为为正整数 若，，求，； 若选择规则二且，，，设随机变量X表示一方获胜时进行的总球数，事件A表示甲获胜，事件B表示，求； 若，，证明： 【答案】解：， 法一： ， 所以； 法二：事件B中每种情况下甲都恰比乙多赢两场，由对称性知 若甲乙两人持续比赛，设随机变量表示进行前m球甲赢得的球数， ， 两者相差部分为在前2n球甲乙各赢n球的情况下，中甲或胜乙，减去中甲胜乙 拆分为甲直接获胜和平局后甲获胜，是， 进一步可拆分为 所以  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届孝感奥美高三适应性考试（一） 数 学 试 题 命题人：张保贵 审题人：高三数学组 考试时间：2026.5.13 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.已知i为虚数单位，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知集合，则  A. B. C. D. 3.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 3 4.已知P是函数的图象上的任意一点，过P分别向直线和y轴作垂线，垂足分别为A，B，则(    ) A. B. C. 0 D. 5.随着对某项新技术学习效率的提升，生产力不断提高.该技术下生产第一件产品的工时为k，生产x件产品的平均工时，其中为产品工时递减速率现有一条工时递减速率为的生产线，则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为(    ) A. B. C. D. 6.已知函数，的定义域为R，为的导函数，，，若，则(    ) A. 2026 B. 1013 C. 1 D. 7.已知二面角的大小为，，，且，Q为内异于O的任意一点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 8.已知各项均为正数的数列，其中，n是正整数，是实数．若对任意，能构成三角形，则满足条件的n的个数为     A. 2 B. 4 C. 6 D. 无数个 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球.现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球.记从甲袋子里取出红球的个数为X，则(    ) A. B. C. D. 10.如图，在长方体中，，，点P是棱上的动点不含端点，过点，B，P作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，，则(    ) A. 截面是平行四边形 B. 若，则 C. 存在点P，使得截面为长方形 D. 截面的面积存在最小值 11.已知曲线：，则下列说法正确的有 A. 曲线是中心对称图形 B. 曲线与直线有三个不同的交点 C. 该曲线可以成为一个函数的图象 D. 当时， 三、填空题：本大题共3小题，共15分。 12.若圆台的上下底面半径分别为1和4，侧面积为，则圆台的体积为         . 13.已知双曲线的右焦点为F，A是C右支上一点，A关于原点和x轴对称的点分别为D，E，，，则C的离心率为           . 14.若，，则a的值为         . 四、解答题：本大题共5小题，共77分。 15.（本题13分）已知， 求的最小正周期和单调增区间； 已知锐角的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，，求BC边上的高的最大值. 16.（本题15分）已知函数， 当时，求曲线在处的切线方程； 讨论的零点个数； 17.（本题15分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，， 证明：平面平面PAD； 若直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长； 18.（本题17分）已知点在抛物线C：上． 求抛物线C的标准方程； 若射线PA，PB均与圆M：相切，且点A，B在抛物线C上． ①若存在R，使得，求直线AB的方程； ②过点P作于点H，问：是否存在定点T，使得为定值？若存在，求该定值；若不存在，请说明理由． 19.（本题17分）甲和乙进行乒乓球比赛，每一球甲赢的概率为p，乙赢的概率为，每球的比赛结果相互独立，现从两套规则中选一套：规则一，双方进行球比赛，先赢得球的一方获胜；规则二，若一方赢得至少n球且必须领先对手至少2球则获胜，否则先赢得球的一方获胜．设选择规则一时甲获胜的概率为，选择规则二时甲获胜的概率为为正整数 若，，求，； 若选择规则二且，，，设随机变量X表示一方获胜时进行的总球数，事件A表示甲获胜，事件B表示，求； 若，，证明： 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $