精品解析：湖北孝感奥美高级中学2025-2026学年高三下学期考前预测数学试卷

2025-2026学年高三下学期第三次测试数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程求得集合元素，结合交集，可得答案. 【详解】由， 则. 故选：A. 2. 设复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的虚部的定义求解. 【详解】因为复数，所以的虚部是. 故选：D 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方法一：构造对偶式；方法二：齐次化应用；方法三：变形，代入，根据求得答案；方法四：设，则，代入原方程，求得答案. 【详解】方法一：因为－①，设②， 由①2+②2：，解得． 因此，从而，所以． 方法二：由两边同时平方，得， 即，整理得（，解得． 方法三：由，得，两边平方：， 代入，得，即， 解得， 所以，则． 方法四：设，则，代入， 得，则． 代入，整理得，即解得． 故选：D. 4. 已知钝角的面积为，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或6 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设求得，依题分角为钝角和角为钝角两种情况讨论检验，利用向量数量积的定义即可分别求得. 【详解】依题意，，解得， 若角为钝角，则， 由余弦定理，,符合题意， 此时，； 若角为钝角，则， 由余弦定理，， 此时,即，符合题意， 此时. 故选：C. 5. 定义在R上的奇函数满足，则（　　） A. 0 B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及所给条件判断出函数具有周期性，即可求解. 【详解】由于为奇函数，且，故，进而可得，因此是周期为4的周期函数， 故. 6. 已知直线与圆交于两点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线过定点，结合圆的性质，利用最短弦来求角的余弦值即可. 【详解】 由直线， 所以当时，可得，所以动直线经过定点， 要使得取最大值，即满足最小， 根据是等腰三角形，则只需要满足弦长最短， 故由圆的几何性质可知：，由于， 从而有：，解得：， 此时，， 即 故选：A. 7. 如图是某零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体的棱长为，则模型中九个球的表面积的和为（ ） A. 6π B. 9π C. D. 21π 【答案】B 【解析】 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、中、小内切于不同高度的正四面体即可求解． 【详解】如图所示正四面体，设棱长为，高为， 为正四面体内切球的球心，延长AO交底面BCD于， 是等边三角形BCD的中心，过作交CD于，连接BF， 根据对称性，BF过点E， 则OE为正四面体内切球的半径， 正中，高，而，， 同理，所以， 所以， 解得，所以正四面体ABCD内切球的表面积为， 由图可知最大球内切于高的正四面体中， 最大球半径，故最大球表面积为， 进一步，可知中等球内切于高的正四面体中， 中等球半径，故中等球的表面积为， 最小球内切于高的正四面体中， 最小球半径，故最小球的表面积为， 所以九个球的表面积之和为． 8. 若函数的定义域与区间的交集由个开区间组成，则n的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先求解在区间上的根，将区间进行分区，在每一个区间内利用函数的图象研究函数的正负，从而得出结果. 【详解】函数的定义域需要满足， 可以先考虑， 因为， 当时，； 当时，； 当时，或； 这时区间自然就被分为五个区间，分别为，，，，，然后对每一个区域分析函数的符号， 根据图象可得，当时， ，，，， 所以，故满足题意； 同理可得时，，故不满足题意； 时，，故满足题意； 时，，故不满足题意； 时，，故满足题意. 故选：B. 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及作差法和特殊值法，即可求解． 【详解】对于A，若，，则，则，故A为真命题； 对于B，若，，则，故B为假命题； 对于C，若，则 所以，则，故C为真命题； 对于D，若，，则，，所以，故D为真命题. 故选：ACD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70%分位数是23 B. 若随机变量，且，则 C. 在回归分析中，可用决定系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好 D. 在回归模型中，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据百分位数、正态分布、决定系数的意义以及残差的定义进行判断即可. 【详解】对于A： 先将数据从小到大排列为：12，13，14，15，17，19，23，24，27，30共10个数据， 因为，为整数，所以第70%分位数是第7项和第8项的平均值， 即，所以A错误； 对于B： 因为，正态分布关于对称， 所以，所以， 所以B正确； 对于C： 在回归分析中，决定系数越接近1，说明模型对数据的拟合效果越好，即越大，模型的拟合效果越好，所以C正确； 对于D： 残差点所在的带状区域宽度越窄，说明残差越小，模型对数据的拟合精度越高，所以D正确. 故选：BCD. 11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为的右支上任意一点，点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 双曲线的渐近线方程为 C. 过点且与双曲线只有一个公共点的直线有2条 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据双曲线定义分析判断；对于B：根据双曲线方程求得，即可求解渐近线方程；对于C：根据直线与双曲线的位置关系以及渐近线的性质分析判断；对于D：可知在双曲线的渐近线上方，结合双曲线定义分析判断. 【详解】由双曲线C的方程可知：，且焦点在x轴上， 则，双曲线的渐近线方程为，故B正确； 对于选项A：由双曲线的定义可得，故A正确； 对于选项C：当过M的直线与双曲线相切时，有两条直线与双曲线只有一个公共点； 当过M的直线与渐近线平行时，也有两条直线与双曲线只有一个公共点， 所以过M点且与双曲线只有一个公共点的直线有4条，故C错误； 对于选项D：由选项A可得：， 因为在双曲线的渐近线上方， 则， 当且仅当M，P，三点共线时，取得等号，故D正确.    故选：ABD. 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知 ，函数在点处切线的斜率是4，则实数_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义列方程，求解即可. 【详解】由题意，， 因为函数在点处切线的斜率是4， 所以，解得. 故答案为：. 13. 已知椭圆的左焦点为，过原点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若，则椭圆的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由对称性不妨设，则，由已知可得，解得，可得，进而可得，结合通径可得，求解即可. 【详解】由对称性不妨设，则， 所以， 由，可得，解得，所以， 所以，因为直线斜率为，所以， 所以，又由通径长可得，所认， 所以，所以，又，所以. 故答案为： 14. 已知，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】令、求得的值，再结合二项展开式的通项公式可求得答案. 【详解】令，得， 再令，则 ， 所以，则， 所以的通项为， 令，可得. 故答案为：. 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知的内角的对边分别为. （1）求的值； （2）若，求的面积. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，求得，进而求得的值； （2）根据题意，利用余弦定理列出方程，求得，结合面积公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为 由正弦定理得，即， 可得， 整理得， 因为，可得，所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 解：由余弦定理，可得， 因为，代入得，解得或（舍）， 所以的面积. 16. 如图，在三棱锥中，． （1）证明：； （2）若和所在平面垂直，且平面与平面所成角的余弦值为，求． 【答案】（1） 取中点，连接． 因为，所以． 又由题，可得≌，则， 故． 因为平面，所以平面， 又平面，所以. （2）或． 【解析】 【分析】（1）取中点，求证，，再结合线面垂直的判定定理和定义求证； （2）法一：以点为坐标原点建系，设，分别计算两个平面的法向量，利用向量求出面面角即可得出；法二：过点作于点，过点作于点，证明为平面与平面所成的角，再在、中利用三角函数值建立关系即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：设， 由平面平面且平面平面，由面面垂直的性质定理可知， 可以点为坐标原点，过点垂直于平面的直线为轴，直线为轴， 过点垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系， 则有， 则， 设平面的一个法向量为， 则有，故可取， 易知平面的一个法向量为， 则，解得， 所以或， 法二：如图，过点作于点，过点作于点，连接． 因为平面平面且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以． 又，平面， 所以平面，即为平面与平面所成的角， 由题，可知． 设，则， 所以在中，，所以， 在中，， 所以，即， 所以或． 17. 某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为区和区，每一个球可以选择在区投篮也可以选择在区投篮，在区每投进一球得2分，没有投进得0分；在区每投进一球得3分，没有投进得0分．学生甲在两区的投篮练习情况统计如下表： 甲 区 区 投篮次数 30 20 得分 40 30 假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立． （1）试分别估计甲在区，区投篮命中的概率； （2）若甲在区投3个球，在区投2个球， （ⅰ）记甲在区投篮得分为，求的分布列及期望； （ⅱ）求甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率； （3）若甲在区，区一共投篮5次，投篮得分的期望值不低于7分，直接写出甲选择在区投篮的最多次数．（结论不要求证明） 【答案】（1）甲在区进球的概率估计为，在区投篮进球的概率估计为． （2）（ⅰ）分布列见解析，4；（ⅱ） （3）3次． 【解析】 【分析】（1）分别求出甲在区、区投篮进球的频率即可估计概率； （2）（ⅰ）求出甲在区投篮得分的分布列，进而可求得数学期望；（ⅱ）甲在区投篮得分高于在区投篮得分的情况有：区2分区0分、区4分区0分、区4分区3分、区6分区0分、区6分区3分，分别求出相应的概率，求和即可. （3）分别求出甲在区、区投篮一次得分的期望值，设甲在A区投篮此，则在B区投篮次，根据期望值不低于7分列出不等式求解即可. 【小问1详解】 甲在区投篮30次，投进20次，所以估计甲在区投篮进球的概率为， 甲在区投篮20次，投进10次，所以估计甲在区投篮进球的概率为. 【小问2详解】 据题意，甲在区进球的概率估计为，在区投篮进球的概率估计为． （ⅰ）所有可能的取值为， ，， ，， 的分布列为 0 2 4 6 的数学期望. （ⅱ）设事件为“甲在区投篮得分高于在区投篮得分” 甲在区投3个球，得分可能是，在区投2个球，得分可能是． 则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的情况有： 区2分区0分，概率估计为， 区4分区0分，概率估计为， 区4分区3分，概率估计为， 区6分区0分，概率估计为， 区6分区3分，概率估计为， 则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率估计为 【小问3详解】 甲在A区投篮一次得分的期望为：， 甲在B区投篮一次得分的期望为：， 设甲在A区投篮此，则在B区投篮次， 则总的期望值，解得， 所以甲选择在区投篮的次数最多是3次. 18. 已知函数的最大值为0． （1）求实数的值. （2）若对恒成立，求k的取值范围. （3）证明： 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数最大值点，由最大值求实数的值； （2）问题转化为对恒成立，令，利用导数讨论函数的单调性和恒成立的条件，可求k的取值范围； （3）由（2）知，，可得，利用累加法结合对数式的运算证明不等式. 【小问1详解】 函数的定义域为， 求导得，令，解得，（，否则单调递增，无最大值)， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故为极大值点，也是最大值点， 最大值为， 由题意，得. 【小问2详解】 由（1）可知，，故， 不等式化简为， 即在上恒成立， 设，求导得， 令，求导得， 当时，在上恒成立，在上单调递增， 所以，即，在上单调递增， ，符合题意； 当时，令，解得， 时，，单调递减；时，，单调递增， 又，则在上恒成立，即在上恒成立， 在上单调递减， 又，所以存在，使，与已知矛盾，不合题意. 综上，实数k的取值范围为. 【小问3详解】 证明：由（2）知，当时，在上恒成立， 所以， 即， 两边取对数得，， 令，得， ， 左边 即. 19. 已知抛物线上一点到焦点的距离为． （1）求抛物线C的方程； （2）过点F的直线l与抛物线C交于A、B两点． （ⅰ）过原点且垂直于的直线与抛物线的准线交于点，设、的面积分别为、，求的最大值； （ⅱ）抛物线上的点，使得的重心在轴的正半轴上，直线AD，BD分别交轴于点，，记，，的横坐标分别为，，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）是定值，为 【解析】 【分析】（1）直接根据题干列方程组即可求解； （2）（i）设直线的方程为，，，联立抛物线并结合韦达定理求得弦长AB，再结合点到直线的距离求得O点、H点到直线l的距离，据此求得、，并求得的表达式，最后结合基本不等式即可求解；（ⅱ）设，，，，在（i）的基础上，结合及D点在抛物线上，求出D点坐标，根据和三点共线求出P点和Q点坐标，而G点坐标根据重心结论求解即可，最后统一代入表达式求值即可． 【小问1详解】 依题意可得，因为，解得， 所以抛物线的方程为． 【小问2详解】 （i）由（1）知，可得，易得直线l的斜率一定不为零， 设直线的方程为，与抛物线的方程联立，消去，可得， 恒成立，设，，则，， 所以 ，则原点到直线的距离为， 所以， 易得，则到直线的距离为， 所以， 故， 设，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为． （ii）设，，，，，， 由（i）知，因为是的重心， 又，代入，解得， 而在抛物线上，可得，即， ，， 由三点共线，知，所以 ， 由于，由上式化简整理得， 同理，由三点共线，可得， 所以， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三下学期第三次测试数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知钝角的面积为，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或6 5. 定义在R上的奇函数满足，则（　　） A. 0 B. C. 2 D. 4 6. 已知直线与圆交于两点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是某零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体的棱长为，则模型中九个球的表面积的和为（ ） A. 6π B. 9π C. D. 21π 8. 若函数的定义域与区间的交集由个开区间组成，则n的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70%分位数是23 B. 若随机变量，且，则 C. 在回归分析中，可用决定系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好 D. 在回归模型中，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高 11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为的右支上任意一点，点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 双曲线的渐近线方程为 C. 过点且与双曲线只有一个公共点的直线有2条 D. 的最小值为 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知 ，函数在点处切线的斜率是4，则实数_____． 13. 已知椭圆的左焦点为，过原点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若，则椭圆的离心率为______． 14. 已知，若，则_______． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知的内角的对边分别为. （1）求的值； （2）若，求的面积. 16. 如图，在三棱锥中，． （1）证明：； （2）若和所在平面垂直，且平面与平面所成角的余弦值为，求． 17. 某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为区和区，每一个球可以选择在区投篮也可以选择在区投篮，在区每投进一球得2分，没有投进得0分；在区每投进一球得3分，没有投进得0分．学生甲在两区的投篮练习情况统计如下表： 甲 区 区 投篮次数 30 20 得分 40 30 假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立． （1）试分别估计甲在区，区投篮命中的概率； （2）若甲在区投3个球，在区投2个球， （ⅰ）记甲在区投篮得分为，求的分布列及期望； （ⅱ）求甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率； （3）若甲在区，区一共投篮5次，投篮得分的期望值不低于7分，直接写出甲选择在区投篮的最多次数．（结论不要求证明） 18. 已知函数的最大值为0． （1）求实数的值. （2）若对恒成立，求k的取值范围. （3）证明： 19. 已知抛物线上一点到焦点的距离为． （1）求抛物线C的方程； （2）过点F的直线l与抛物线C交于A、B两点． （ⅰ）过原点且垂直于的直线与抛物线的准线交于点，设、的面积分别为、，求的最大值； （ⅱ）抛物线上的点，使得的重心在轴的正半轴上，直线AD，BD分别交轴于点，，记，，的横坐标分别为，，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $