2026年中考数学模拟猜题卷（江苏常州卷）

2026年中考数学模拟猜题卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．2026的相反数是（　　） A．﹣2026 B．2026 C． D． 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【解答】解：2026的相反数是﹣2026． 故选：A． 【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键． 2．若在实数范围内有意义，则m的取值范围是（　　） A．m≥6 B．m≥﹣6 C．m≤﹣6 D．m≤6 【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，即可求解． 【解答】解：根据二次根式有意义的条件可得m+6≥0， 解得m≥﹣6， 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数为非负数时，二次根式有意义是解题的关键． 3．计算（2ab2）2的结果正确的是（　　） A．2ab4 B．2a2b4 C．4a2b4 D．8a2b4 【分析】根据积和乘方将原式化简即可． 【解答】解：（2ab2）2＝4a2b4． 故选：C． 【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握运算法则． 4．如图所示的几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据左视图是从物体左面看，所得到的图形，通过观察几何体可以得到答案． 【解答】解：从几何体的左面看是一个矩形， ∴几何体的左视图是矩形． 故选：C． 【点评】本题考查简单几何体的三视图，掌握三视图的画法是解答的关键． 5．某科技公司研发的智能系统在分析数据时，其算法对微观结构的测量精度可达0.00000009米，用科学记数法表示0.00000009＝9×10n，则n为（　　） A．﹣9 B．9 C．﹣8 D．8 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：∵0.00000009＝9×10﹣8， ∴n等于﹣8． 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 6．点P（m+3，m﹣1）在x轴上，则点P的坐标为（　　） A．（0，﹣4） B．（﹣3，0） C．（﹣3，1） D．（4，0） 【分析】根据x轴上点的纵坐标等于零，可得答案． 【解答】解：由题意，得m﹣1＝0， 解得m＝1， ∴m+3＝4， ∴点P的坐标为（4，0）， 故选：D． 【点评】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征：x轴上的点的纵坐标为0． 7．下列说法正确的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．不相交的两条直线叫做平行线 C．直线外一点到该直线的所有线段中垂线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】根据垂线段最短、垂线、平行线的定义解决此题． 【解答】解：A．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，那么A错误，故A不符合题意． B．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，那么B错误，故B不符合题意． C．直线外一点到该直线的所有线段中，垂线段最短，那么C正确，故C符合题意． D．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，那么D错误，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查垂线段最短、垂线、平行线，熟练掌握垂线段最短、垂线、平行线的定义是解决本题的关键． 8．三名工人加工同一种零件．他们在一天中的工作情况如图所示，其中Ai的横、纵坐标分别为第i名工人的工作时间和加工的零件数，i＝1，2，3．若Pi为第i名工人在一天中平均每小时加工的零件数，则关于P1，P2，P3大小关系的表述中，正确的是（　　） A．P1＞P2＞P3 B．P1＞P3＞P2 C．P3＞P1＞P2 D．P3＞P2＞P1 【分析】根据图形可判断出三名工人生产零件总数多少关系和时间的长短，再根据“零件总数÷时间”可判断工作效率的大小． 【解答】解：∵工人1：干活时间最短，做的零件最多，所以单位时间做的最多，效率最高， 工人2：干活时间最长，做的零件最少所以单位时间做的最少，效率最低， 工人3：干活时间比1长，做的零件比1少，所以效率比1低；但干活时间比2短，做的零件比2多，所以效率比2高． ∴P1＞P3＞P2． 故选：B． 【点评】本题主要考查有理数大小比较急点的坐标，理解题意是解题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 9．一个正数的平方根是7﹣2a和5a﹣1，则这个正数是　121　 ． 【分析】根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，由此列出方程求出a的值，再代入求出一个平方根，进而求出这个正数． 【解答】解：由题意，得7﹣2a+5a﹣1＝0， ﹣2a+5a＝1﹣7， 3a＝﹣6， 解得a＝﹣2， 则一个平方根＝7﹣2a＝7﹣2×（﹣2）＝11， 所以这个正数为112＝121． 故答案为：121． 【点评】本题考查了平方根，掌握平方根定义是关键． 10．分解因式：mn2+6mn+9m＝m（n+3）2 ． 【分析】先提取公因式m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【解答】解：mn2+6mn+9m＝m（n2+6n+9）＝m（n+3）2． 故答案为：m（n+3）2． 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 11．化简　1　 ． 【分析】根据同分母分式的加减法法则求解即可． 【解答】解： ＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了同分母分式的加减法，本题的关键是对第二项提出一个负号，做题过程中要注意符号变号问题． 12．如图，规格相同的某种盘子整齐地摞在一起，若这摞盘子的个数为x，盘子摞在一起的厚度为ycm，则y与x之间满足的关系式是 y＝x+2　 ． 【分析】首先计算每增加一个盘子增加的厚度，和一个盘子的厚度，然后表示x个盘子摞在一起的厚度y即可． 【解答】解：由题意得：每增加一个盘子，厚度增加（9﹣6）÷（7﹣4）＝1（cm）， 一个盘子的厚度为6﹣1×3＝3（cm）， ∴y与x之间满足的关系式为y＝3+（x﹣1）＝x+2， 即y＝x+2． 故答案为：y＝x+2． Comment by 振亚 代: 【点评】本题考查了函数关系式，解题的关键是根据题意找到等量关系． 13．若关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　　 ． 【分析】利用一元二次方程根的判别式即可求解． 【解答】解：根据一元二次方程根的判别式可得： Δ＝b2﹣4ac＝9+4k＞0， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况是解题的关键． 14．某节活动课上，安安用一张半径为18cm的扇形纸板做了一个圆锥形帽子（如图，接缝处忽略不计）．若圆锥形帽子的半径为10cm，则这张扇形纸板的面积为 　180π　 cm2． 【分析】根据扇形面积公式计算可得答案． 【解答】解：这张扇形纸板的面积为π（cm2）， 故答案为：180π． 【点评】本题主要考查圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键． 15．如图，假设可以随意在两个完全相同的正方形拼成的图案中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是 　　 ． 【分析】先设小正方形边长为a，求出阴影部分面积，再根据几何概率的求法即可得出答案． 【解答】解：设小正方形边长为a，则阴影部分面积为2a2， 图案总面积8a2﹣a2＝7a2， 因此这个点取在阴影部分的概率是． 故答案为：． 【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 16．如图，在⊙O中，A是优弧BC上一点，∠BAC＝α，连接BO，CO，延长BO交AC于点D，则图中角度大小为2α的角是 　∠BOC．　 ． 【分析】由圆周角定理，即可得到答案． 【解答】解：由圆周角定理得：∠BOC＝2∠BAC＝2α． 故答案为：∠BOC． 【点评】本题考查圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半． 17．如图，在矩形ABCD中，AB，AD＝1，延长AD至点F，使得DF＝AD，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交AB于点E，P为上一动点，连接FP并延长交AB于点G，当BG的长度最短时，阴影部分的周长为 　1　 ． 【分析】观察图象可知，当FG与相切时，BG的值最小，连接AP．首先证明A，P，C共线，再根据S阴＝S△ABC﹣S扇形APE，求解即可． 【解答】解：如图，连接AP． 观察图象可知，当FG与相切时，BG的值最小， 此时∠APF＝90°， ∵AD＝DF＝AP， ∴AF＝2AP， ∴∠F＝30°， ∴∠FAP＝60°， 连接AC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝∠ABC＝90°，AB＝DC，AD＝BC＝1 ∴tan∠DAC， ∴∠DAC＝∠DAP＝60°， ∴点P在线段AC上， ∴阴影部分的周长＝PC的长+BE+BC ＝2﹣11+11 故答案为：1， 【点评】本题考查弧长公式，矩形的性质，切线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是发现当FG与相切时，BG的值最小． 18．如图：在矩形ABCD中，，∠CAD＝30°，P是AD上一个动点，过点P作PG⊥AC，垂足为G，连接BP，取BP中点E，连接EG，则线段EG的最小值为　　 ． 【分析】延长PG，使得PG＝GQ，连接BQ，AQ，由PG⊥AC，PG＝GQ，得AG垂直平分PQ，∠AGP＝∠AGQ＝90°，然后证明Rt△AGQ≌Rt△AGP（HL），所以∠QAG＝∠PAG＝∠CAD＝30°，从而可得∠BAQ＝30°，则有点Q在定直线上，当BQ最小时，EG有最小值，即BQ⊥AQ时，BQ最小，然后通过含30°角的直角三角形的性质，中位线定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解答】解：如图1，PG⊥AC，延长PG，使得PG＝GQ，连接BQ，AQ， ∴AG垂直平分PQ，∠AGP＝∠AGQ＝90°， ∴AQ＝AP， 在Rt△AGQ和Rt△AGP中， ， ∴Rt△AGQ≌Rt△AGP（HL）， ∴∠QAG＝∠PAG＝∠CAD＝30°， ∴∠QAP＝60°， ∴∠BAQ＝30°， ∴点Q在定直线上， ∵E是BP的中点， ∴， 当BQ最小时，EG有最小值， ∴当BQ⊥AQ时，BQ最小，如图2， 此时， ∴EG的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，三角形中位线定理，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理与性质． 三、解答题（本大题共10小题，满分84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）解不等式组：，并将不等式组的解集表示在数轴上． 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后把解集表示在数轴上即可． 【解答】解：解不等式①得：x≥﹣6， 解不等式②得：x≤2， ∴不等式组不等式组的解集为﹣6≤x≤2， 在数轴上表示如下： 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键． 20．（6分）先化简，再求值：（a﹣b）2﹣2a（a﹣2b）+（a﹣b）（b+a），其中，b＝2026． 【分析】先去括号，然后合并同类项，然后把，b＝2026代入化简后的式子进行计算即可解答． 【解答】解：原式＝a2﹣2ab+b2﹣2a2+4ab+a2﹣b2 ＝2ab， 当，b＝2026时， 原式． 【点评】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是关键． 21．（8分）某校有学生3000人，现欲开展学校社团活动，准备组建摄影社、国学社、篮球社、科技制作社四个社团．每名学生最多只能报一个社团，也可以不报．为了估计各社团人数，现在学校随机抽取了若干名学生做问卷调查，得到了如图所示的两个不完全统计图．结合以上信息，回答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是　50　 ； （2）请你补全条形统计图，并在图上标明具体数据； （3）求科技制作社团对应的扇形的圆心角度数； （4）请你估计全校有多少名学生报名参加篮球社团活动． 【分析】（1）根据样本容量＝频数÷所占百分数，合理选择计算即可； （2）计算出篮球社的学生数，完善统计图即可； （3）根据扇形统计图的意义计算即可； （4）利用样本估计总体的思想计算即可． 【解答】解：（1）本次抽样调查的样本容量是5÷10%＝50； 故答案为：50； （2）参与国学社的人数为50﹣5﹣10﹣12﹣8＝15（人）， 补全条形统计图如图所示： （3）参与科技制作社团所在扇形的圆心角度数为； （4）3000×20%＝600（名）， 答：估计全校有600名学生报名参加篮球社团活动． 【点评】此题考查了扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计表和统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 22．（8分）某校为了促进学生对数学文化知识的了解，开展了讲数学家故事的活动，学生通过抽取卡片的形式选取故事的主人公．学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，依次制成A，B，C，D四张卡片（除画像外，其余完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）从中随机抽取一张，抽到数学家韦达的概率为 　　 ． （2）从中随机抽取一张不放回，洗匀后再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取到的卡片都是中国数学家的概率． 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表可得所有等可能结果，从表格中得出两次抽取到的卡片都是中国数学家的概率，从而得出答案． 【解答】解：（1）直接根据概率公式求解可得： 抽到数学家韦达的概率为， 故答案为：； （2）根据题意，列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 由列表可知：共12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片都是中国数学家的情况有2种， ∴． 故两次抽取到的卡片都是中国数学家的概率为． 【点评】本题考查的是概率公式的应用，利用列表或画树状图求解随机事件的概率是关键． 23．（8分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E． （1）求证：△ADC≌△CEB； （2）若AD＝3，BE＝1．求DE的长． 【分析】（1）由AD⊥CE，BE⊥CE，可以得到∠BEC＝∠CDA＝90°，再根据∠ACB＝90°，可以得到∠BCE＝∠CAD，然后即可证明结论成立； （2）根据（1）中的结论和AD＝3cm，BE＝1cm，可以求得BE的长． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠BCE+∠DCA＝90°，∠BEC＝∠CDA＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD， 在△CEB和△ADC中， ， ∴△CEB≌△ADC（AAS）； （2）解：∵△CEB≌△ADC， ∴BE＝CD＝1，CE＝AD＝3cm． ∴DE＝3﹣1＝2（cm）． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 24．（8分）如图，一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数y2（k2≠0，x＞0）的图象交于点C（1，2），D（m，），连接OC，OD． （1）求k2和m的值； （2）求一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）的函数表达式； （3）求△OCD的面积． 【分析】（1）把点C（1，2）代入求出k2＝2，得，把代入，解得m＝4； （2）把C（1，2），代入y1＝k1x+b（k1≠0），求出k1，b的值即可； （3）求出点A的坐标，根据S△OCD＝S△AOC﹣S△AOD解答即可． 【解答】解：（1）∵点C（1，2）在的图象上， ∴k2＝1×2＝2， ∴； 把代入， 得， 解得m＝4； （2）由（1）得， 把C（1，2），代入y1＝k1x+b（k1≠0），得：， 解得， ∴； （3）对于，当y＝0时，， 解得x＝5， ∴A（5，0）， ∴OA＝5， 又C（1，2），， ∴S△OCD＝S△AOC﹣S△AOD ． ∴△OCD的面积为． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 25．（8分）某超市第一次用3100元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 12 20 售价（元/件） 19 30 （1）该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的4倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折（售价的50%）促销，若在本次销售过程中超市共获利1850元，则以五折售出的乙商品有多少件？ 【分析】（1）设该超市第一次购进x件甲商品，y件乙商品，根据“该超市第一次用3100元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多15件”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设五折售出的乙商品有m件，则原价销售的乙商品的数量为（65×4﹣m）件，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设该超市第一次购进x件甲商品，y件乙商品， 根据题意得：， 解得：． 答：该超市第一次购进150件甲商品，65件乙商品； （2）设五折售出的乙商品有m件，则原价销售的乙商品的数量为（65×4﹣m）件， 根据题意得：（19﹣12）×150+（30﹣20）（65×4﹣m）+（30×0.5﹣20）m＝1850， 解得：m＝120． 答：以五折售出的乙商品有120件． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 26．（10分）如图1，在正方形ABCD中，以AB为斜边向上作一个直角三角形ABE，其中AE＞BE，过点D作DF⊥AE交AE于点F． （1）求证：△ABE≌△DAF； （2）如图2，连结AC，BD交于点O，连结OE，若，AF＝3，求AB的值． （3）如图3，延长AE至点G，使得EG＝EB，连结CG，试判断EF与CG的位置关系与数量关系，并证明． 【分析】（1）根据题意，利用正方形的性质及全等三角形的判定定理即可得证； （2）连接OF，根据正方形的性质及全等三角形的判定与性质，证明△OBE≌△OAF（SAS），进而得到△EOF是等腰直角三角形，求出EF、AE，利用勾股定理即可解答； （3）连接AC，BD交于点O，连结OE，OF，过点O作OH⊥AG交AG于点H，根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质及三角形的中位线定理即可解答． 【解答】（1）证明：∵DF⊥AE，△ABE是以AB为斜边的直角三角形， ∴∠E＝∠AFD＝90°， ∴∠BAE+∠ABE＝90°， ∵正方形ABCD， ∴∠DAB＝90°，AB＝AD， ∴∠DAF+∠BAE＝90°， ∴∠ABE＝∠DAF， 在△ABE和△DAF中， ， ∴△ABE≌△DAF（AAS）； （2）解：连接OF，如图， ∵△ABE≌△DAF， ∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF， ∵正方形ABCD， ∴∠ABO＝∠DAO＝45°，OB＝OA，∠AOB＝90°， ∴∠OBE＝∠OAF， ∴△OBE≌△OAF（SAS）， ∴OE＝OF，∠BOE＝∠AOF， ∴∠EOF＝90°， ∴△EOF是等腰直角三角形， ∴，AE＝3+6＝9， ∵BE＝AF＝3， ∴在Rt△AEB中，； （3）解：EF⊥CG，EF＝CG，证明如下： 如图，连接AC，BD交于点O，连结OE，OF，过点O作OH⊥AG交AG于点H， ∵由（2）得△EOF是等腰直角三角形， ∴HF＝HE， ∵EG＝EB＝AF， ∴HA＝HG， ∵在正方形ABCD中，OA＝OC， ∴OH是△AGC的中位线， ∴OH∥CG，， ∵OH⊥AG， ∴CG⊥AG， 即EF⊥CG， ∵在等腰Rt△EOF中，， ∴EF＝CG． 【点评】本题考查四边形的综合应用，主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，掌握这些性质定理是解题的关键． 27．（10分）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“远离数”． （1）如图2，在平面直角坐标系中，点E的坐标为（4，0）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于x轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点 C （填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“远离数”为 　10　 ； ②若直线n的函数表达式为．求⊙O关于直线n的“远离数”； （2）在平面直角坐标系中，直线l经过点M（5，1），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点N（0，2）是⊙F关于直线l的“远点”．且⊙F关于直线l的“远离数”是，求直线l的函数表达式． 【分析】（1）利用“远点“和“远离数”的定义解答即可；②利用函数的解析式求得与坐标轴的交点坐标，再利用直角三角形的边角关系定理和含30°角的直角三角形的性质求得线段OH，进而得到线段PQ，PH的长度，用“远离数”的定义解答即可； （2）设直线l的函数表达式为y＝kx+b，利用分类讨论的思想方法分两种情形讨论解答：①当k＜0时，过点M作MG⊥ON于点G，过点M作MD⊥x轴于点D，利用“远离数”的定义求得线段NH的长度，得到△HMN为等腰直角三角形，过点H作HB⊥y轴于点B，DM的延长线交BH的延长线于点C，过点H作HE⊥x轴于点E，则BC⊥CD，设H（m，n），利用全等三角形的判定与性质得到BN＝CH＝n﹣2，BH＝CM＝m，进而得到BC＝BH+CH＝m+n﹣2，CD＝CM+MD＝m+1，列出关于m，n的方程组，解方程组得到点H的坐标，再利用待定系数法解答即可得出结论；②当k＞0时，利用①中的方法解答即可． 【解答】解：（1）由题意得：⊙O关于直线m的“远点”是点C， ∵点E的坐标为（4，0），⊙O的半径为1， ∴CA＝2，CO＝1，OE＝4， ∴CE＝5， ∴CA•CE＝2×5＝10， ∴⊙O关于直线m的“远离数”为10． 故答案为：C；10； ②设直线n分别交x轴，y轴于点B，A， 令x＝0，则y， ∴A（0，）， ∴OA． 令y＝0，则x0， 解得：x＝4， ∴B（4，0）， ∴OB＝4， 在Rt△AOB中， ∵tanB， ∴∠B＝30°， ∴OHOB＝2， ∴PH＝OP+OH＝3， ∴PQ•PH＝2×3＝6， ∴⊙O关于直线n的“远离数”为6； （2）设直线l的函数表达式为y＝kx+b， ①当k＜0时， 由题意得：NA＝2，NH⊥MH，NA•NH＝2， ∴NH． 过点M作MG⊥ON于点G，过点M作MD⊥x轴于点D，如图， ∵M（5，1），N（0，2）， ∴MD＝1，OD＝5，ON＝2， ∴OG＝MD＝1， ∴NG＝ON﹣OG＝1， ∴MN， ∴MH， ∴HN＝HM， ∴△HMN为等腰直角三角形． 过点H作HB⊥y轴于点B，DM的延长线交BH的延长线于点C，过点H作HE⊥x轴于点E，则BC⊥CD，设H（m，n）， ∴四边形ODCB为矩形，四边形OEHB为矩形， ∴BH＝OE＝m，OB＝HE＝n，BC＝OD＝5，BN＝n﹣2． ∵∠BHN+∠HNB＝90°，∠BHN+∠MHC＝90°， ∴∠HNB＝∠MHC， 在△BHN和△CMH中， ， ∴△BHN≌△CMH（AAS）， ∴BN＝CH＝n﹣2，BH＝CM＝m， ∴BC＝BH+CH＝m+n﹣2，CD＝CM+MD＝m+1， ∴， 解得：， ∴H（3，4）， ∴， ∴， ∴直线l的函数表达式为yx； ②当k＞0时， 由题意得：NA＝2，NH⊥MH，NA•NH＝2， ∴NH． 由①知：MN， ∴MH， ∴HN＝HM， ∴△HMN为等腰直角三角形． 过点M作MB⊥x轴于点B，过点H作HC⊥y轴于点C，MB的延长线交CH的延长线于点D，过点H作HE⊥x轴于点E，则CD⊥MD，MB＝1，OB＝5，设H（m，n）， ∴四边形OCDB为矩形，四边形OEHC为矩形， ∴CH＝OE＝m，OC＝HE＝BD＝﹣n，BO＝CD＝5，CN＝﹣n+2． ∴MD＝MB+BD＝﹣n+1． ∵∠CHN+∠HNC＝90°，∠CHN+∠MHD＝90°， ∴∠HNC＝∠MHD， 在△CHN和△DMH中， ， ∴△CHN≌△DMH（AAS）， ∴CH＝MD＝m，CN＝DH＝﹣n+2， ∴CD＝DH+CH＝m﹣n+2，BD＝MD﹣MB＝m﹣1， ∴， ∴， ∴H（2，﹣1）， ∴， ∴． ∴直线l的函数表达式为y． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义是解题的关键，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解决此类问题常用的方法． 28．（12分）平面直角坐标系中，已知抛物线C1：y＝﹣x2+（1+m）x﹣m（m为常数）与x轴交于点A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C． （1）若m＝4，求点A，B，C的坐标； （2）如图1，在（1）的条件下，D为抛物线x轴上方一点，连接BD，若∠DBA+∠ACB＝90°，求点D的坐标； （3）如图2，将抛物线C1向左平移n个单位长度（n＞0）与直线AC交于M，N（点M在点N右边），若AMCN，求m，n之间的数量关系． 【分析】（1）当m＝4时，抛物线C1为y＝﹣x2+5x﹣4，令x＝0得y＝﹣4，令y＝0得﹣x2+5x﹣4＝0，即可解得A的坐标为（1，0），B的坐标为（4，0），C的坐标为（0，﹣4）； （2）过D作DF⊥x轴于F，过A作AE⊥BC于E，由A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4），可得∠ABC＝45°，AB＝3，BC＝4，即得AE＝BEAB，CE＝BC﹣BE，从而tan∠ACBtan∠BDF，设D（t，﹣t2+5t﹣4），则BF＝4﹣t，DF＝﹣t2+5t﹣4，可得，即可解得D（，）； （3）过N作NG∥x轴交y轴于点G，过M作HM∥x轴，过A作AH∥y轴交HM于点H，由抛物线y＝﹣x2+（1+m）x﹣m＝﹣（x﹣m）（x﹣1），知将其向左平移n个单位的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣m+n）（x﹣1+n），分两种情况：①当m＞1，A（1，0），B（m，0），C（0，﹣m）时，用待定系数法可求得直线AC的解析式为y＝mx﹣m，根据x2+（2n﹣1）x+n2﹣mn﹣n＝0，设点M、N的横坐标分别为x1、x2，有x1+x2＝﹣2n+1，x1•x2＝n2﹣mn﹣n，而2，可得NG＝2MH，即﹣x2＝2（x1﹣1），即x2＝﹣2x1+2，故x1＝2n+1，x2＝﹣2x1+2＝﹣4n，代入x1•x2＝n2﹣mn﹣n可得m＝9n+3，②当m＜1，A（m，0），B（1，0），C（0，﹣m）时，同理可得①可得3m+9n＝1． 【解答】解：（1）当m＝4时，抛物线C1为y＝﹣x2+5x﹣4， 令x＝0得y＝﹣4， ∴C（0，﹣4）， 令y＝0得﹣x2+5x﹣4＝0， 解得x＝1或x＝4， ∴A（1，0），B（4，0）； 答：A的坐标为（1，0），B的坐标为（4，0），C的坐标为（0，﹣4）； （2）过D作DF⊥x轴于F，过A作AE⊥BC于E，如图： 由（1）知A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）， ∴∠ABC＝45°，AB＝3，BC＝4， 在Rt△ABE中，AE＝BEAB， ∴CE＝BC﹣BE， ∴tan∠ACB， ∵∠DBA+∠ACB＝90°， 又∠DBA+∠BDF＝90°， ∴∠ACB＝∠BDF， ∴tan∠BDF， ∴， 设D（t，﹣t2+5t﹣4），则BF＝4﹣t，DF＝﹣t2+5t﹣4， ∴， 解得t或t＝4（舍去）， ∴D（，）； （3）过N作NG∥x轴交y轴于点G，过M作HM∥x轴，过A作AH∥y轴交HM于点H，如图： ∵抛物线y＝﹣x2+（1+m）x﹣m＝﹣（x﹣m）（x﹣1）， ∴将其向左平移n个单位，得到的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣m+n）（x﹣1+n）， 当m＞1时，A（1，0），B（m，0），C（0，﹣m），当m＜1时，A（m，0），B（1，0），C（0，﹣m）， ①当m＞1，A（1，0），B（m，0），C（0，﹣m）时， 由C（0，﹣m）设直线AC的解析式为y＝px﹣m，将A（1，0）代入得p﹣m＝0， 解得p＝m， ∴直线AC的解析式为y＝mx﹣m， 由，得x2+（2n﹣1）x+n2﹣mn﹣n＝0， 设点M、N的横坐标分别为x1、x2，则x1+x2＝﹣2n+1，x1•x2＝n2﹣mn﹣n， ∵∠CNG＝∠HMA，∠H＝∠CGN＝90°， ∴△CNG∽△AMH， ∵AMCN， ∴2， ∴NG＝2MH， ∴﹣x2＝2（x1﹣1），即x2＝﹣2x1+2， ∴x1+x2＝2﹣x1， ∴﹣2n+1＝2﹣x1， ∴x1＝2n+1， ∴x2＝﹣2x1+2＝﹣4n， ∵x1•x2＝n2﹣mn﹣n， ∴（2n+1）•（﹣4n）＝n2﹣mn﹣n， ∵n＞0， ∴整理得m＝9n+3． ②当m＜1，A（m，0），B（1，0），C（0，﹣m）时，直线AC的解析式为y＝x﹣m， 由得x2﹣（m﹣2n）x+n2﹣mn﹣n＝0， 同①可得3m+9n＝1， 综上所述，m，n之间的数量关系为m＝9n+3（m＞1）或3m+9n＝1（m＜1）． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及锐角三角函数、三角形相似的判定与性质、一元二次方程根与系数的关系等知识，解题的关键是通过正确地作出辅助线，构造所需要的图形，从而列出方程，求得结果，此题综合性强，计算繁琐，属于考试压轴题． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学模拟猜题卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．2026的相反数是（　　） A．﹣2026 B．2026 C． D． 2．若在实数范围内有意义，则m的取值范围是（　　） A．m≥6 B．m≥﹣6 C．m≤﹣6 D．m≤6 3．计算（2ab2）2的结果正确的是（　　） A．2ab4 B．2a2b4 C．4a2b4 D．8a2b4 4．如图所示的几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 5．某科技公司研发的智能系统在分析数据时，其算法对微观结构的测量精度可达0.00000009米，用科学记数法表示0.00000009＝9×10n，则n为（　　） A．﹣9 B．9 C．﹣8 D．8 6．点P（m+3，m﹣1）在x轴上，则点P的坐标为（　　） A．（0，﹣4） B．（﹣3，0） C．（﹣3，1） D．（4，0） 7．下列说法正确的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．不相交的两条直线叫做平行线 C．直线外一点到该直线的所有线段中垂线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 8．三名工人加工同一种零件．他们在一天中的工作情况如图所示，其中Ai的横、纵坐标分别为第i名工人的工作时间和加工的零件数，i＝1，2，3．若Pi为第i名工人在一天中平均每小时加工的零件数，则关于P1，P2，P3大小关系的表述中，正确的是（　　） A．P1＞P2＞P3 B．P1＞P3＞P2 C．P3＞P1＞P2 D．P3＞P2＞P1 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 9．一个正数的平方根是7﹣2a和5a﹣1，则这个正数是　 　 ． 10．分解因式：mn2+6mn+9m＝　 　 ． 11．化简　 　 ． 12．如图，规格相同的某种盘子整齐地摞在一起，若这摞盘子的个数为x，盘子摞在一起的厚度为ycm，则y与x之间满足的关系式是 　 　 ． 13．若关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　 ． 14．某节活动课上，安安用一张半径为18cm的扇形纸板做了一个圆锥形帽子（如图，接缝处忽略不计）．若圆锥形帽子的半径为10cm，则这张扇形纸板的面积为 　 　 cm2． 15．如图，假设可以随意在两个完全相同的正方形拼成的图案中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是 　 　 ． 16．如图，在⊙O中，A是优弧BC上一点，∠BAC＝α，连接BO，CO，延长BO交AC于点D，则图中角度大小为2α的角是 　 　 ． 17．如图，在矩形ABCD中，AB，AD＝1，延长AD至点F，使得DF＝AD，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交AB于点E，P为上一动点，连接FP并延长交AB于点G，当BG的长度最短时，阴影部分的周长为 　 　 ． 18．如图：在矩形ABCD中，，∠CAD＝30°，P是AD上一个动点，过点P作PG⊥AC，垂足为G，连接BP，取BP中点E，连接EG，则线段EG的最小值为　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，满分84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）解不等式组：，并将不等式组的解集表示在数轴上． 20．（6分）先化简，再求值：（a﹣b）2﹣2a（a﹣2b）+（a﹣b）（b+a），其中，b＝2026． 21．（8分）某校有学生3000人，现欲开展学校社团活动，准备组建摄影社、国学社、篮球社、科技制作社四个社团．每名学生最多只能报一个社团，也可以不报．为了估计各社团人数，现在学校随机抽取了若干名学生做问卷调查，得到了如图所示的两个不完全统计图．结合以上信息，回答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是　 　 ； （2）请你补全条形统计图，并在图上标明具体数据； （3）求科技制作社团对应的扇形的圆心角度数； （4）请你估计全校有多少名学生报名参加篮球社团活动． 22．（8分）某校为了促进学生对数学文化知识的了解，开展了讲数学家故事的活动，学生通过抽取卡片的形式选取故事的主人公．学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，依次制成A，B，C，D四张卡片（除画像外，其余完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）从中随机抽取一张，抽到数学家韦达的概率为 　 　 ． （2）从中随机抽取一张不放回，洗匀后再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取到的卡片都是中国数学家的概率． 23．（8分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E． （1）求证：△ADC≌△CEB； （2）若AD＝3，BE＝1．求DE的长． 24．（8分）如图，一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数y2（k2≠0，x＞0）的图象交于点C（1，2），D（m，），连接OC，OD． （1）求k2和m的值； （2）求一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）的函数表达式； （3）求△OCD的面积． 25．（8分）某超市第一次用3100元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 12 20 售价（元/件） 19 30 （1）该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的4倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折（售价的50%）促销，若在本次销售过程中超市共获利1850元，则以五折售出的乙商品有多少件？ 26．（10分）如图1，在正方形ABCD中，以AB为斜边向上作一个直角三角形ABE，其中AE＞BE，过点D作DF⊥AE交AE于点F． （1）求证：△ABE≌△DAF； （2）如图2，连结AC，BD交于点O，连结OE，若，AF＝3，求AB的值． （3）如图3，延长AE至点G，使得EG＝EB，连结CG，试判断EF与CG的位置关系与数量关系，并证明． 27．（10分）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“远离数”． （1）如图2，在平面直角坐标系中，点E的坐标为（4，0）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于x轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点 　 　 （填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“远离数”为 　 　 ； ②若直线n的函数表达式为．求⊙O关于直线n的“远离数”； （2）在平面直角坐标系中，直线l经过点M（5，1），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点N（0，2）是⊙F关于直线l的“远点”．且⊙F关于直线l的“远离数”是，求直线l的函数表达式． 28．（12分）平面直角坐标系中，已知抛物线C1：y＝﹣x2+（1+m）x﹣m（m为常数）与x轴交于点A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C． （1）若m＝4，求点A，B，C的坐标； （2）如图1，在（1）的条件下，D为抛物线x轴上方一点，连接BD，若∠DBA+∠ACB＝90°，求点D的坐标； （3）如图2，将抛物线C1向左平移n个单位长度（n＞0）与直线AC交于M，N（点M在点N右边），若AMCN，求m，n之间的数量关系． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学模拟猜题卷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C C C D C B 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 9．121 10. m（n+3）2 11．1 12．y＝x+2 13． 14. 180π 15． 16．∠BOC 17．1 18. 三、解答题（本大题共10小题，满分84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分） 解：解不等式①得：x≥﹣6， 解不等式②得：x≤2， ∴不等式组不等式组的解集为﹣6≤x≤2，····························4分 在数轴上表示如下： ······························6分 20．（6分） 解：原式＝a2﹣2ab+b2﹣2a2+4ab+a2﹣b2 ＝2ab，··············································································4分 当，b＝2026时， 原式．······················································6分 21．（8分） 解：（1）本次抽样调查的样本容量是5÷10%＝50； 故答案为：50；·····································································2分 （2）参与国学社的人数为50﹣5﹣10﹣12﹣8＝15（人），·································3分 补全条形统计图如图所示： ····················································4分 （3）参与科技制作社团所在扇形的圆心角度数为；·························6分 （4）3000×20%＝600（名）， 答：估计全校有600名学生报名参加篮球社团活动．········································8分 22．（8分） 解：（1）直接根据概率公式求解可得： 抽到数学家韦达的概率为， 故答案为：；··········································································3分 （2）根据题意，列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 由列表可知：共12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片都是中国数学家的情况有2种， ∴． 故两次抽取到的卡片都是中国数学家的概率为．···········································8分 23．（8分） （1）证明：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠BCE+∠DCA＝90°，∠BEC＝∠CDA＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD， 在△CEB和△ADC中， ， ∴△CEB≌△ADC（AAS）；····························································4分 （2）解：∵△CEB≌△ADC， ∴BE＝CD＝1，CE＝AD＝3cm． ∴DE＝3﹣1＝2（cm）．································································8分 24．（8分） 解：（1）∵点C（1，2）在的图象上， ∴k2＝1×2＝2，·······································································1分 ∴； 把代入， 得， 解得m＝4；··········································································2分 （2）由（1）得， 把C（1，2），代入y1＝k1x+b（k1≠0），得：， 解得， ∴；·····································································5分 （3）对于，当y＝0时，， 解得x＝5， ∴A（5，0）， ∴OA＝5， 又C（1，2），， ∴S△OCD＝S△AOC﹣S△AOD ． ∴△OCD的面积为．································································8分 25．（8分） 解：（1）设该超市第一次购进x件甲商品，y件乙商品， 根据题意得：， 解得：． 答：该超市第一次购进150件甲商品，65件乙商品；········································4分 （2）设五折售出的乙商品有m件，则原价销售的乙商品的数量为（65×4﹣m）件， 根据题意得：（19﹣12）×150+（30﹣20）（65×4﹣m）+（30×0.5﹣20）m＝1850， 解得：m＝120． 答：以五折售出的乙商品有120件．······················································8分 26．（10分） （1）证明：∵DF⊥AE，△ABE是以AB为斜边的直角三角形， ∴∠E＝∠AFD＝90°， ∴∠BAE+∠ABE＝90°， ∵正方形ABCD， ∴∠DAB＝90°，AB＝AD， ∴∠DAF+∠BAE＝90°， ∴∠ABE＝∠DAF， 在△ABE和△DAF中， ， ∴△ABE≌△DAF（AAS）；······························································2分 （2）解：连接OF，如图， ∵△ABE≌△DAF， ∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF， ∵正方形ABCD， ∴∠ABO＝∠DAO＝45°，OB＝OA，∠AOB＝90°， ∴∠OBE＝∠OAF， ∴△OBE≌△OAF（SAS）， ∴OE＝OF，∠BOE＝∠AOF， ∴∠EOF＝90°， ∴△EOF是等腰直角三角形， ∴，AE＝3+6＝9， ∵BE＝AF＝3， ∴在Rt△AEB中，；··············································6分 （3）解：EF⊥CG，EF＝CG，证明如下： 如图，连接AC，BD交于点O，连结OE，OF，过点O作OH⊥AG交AG于点H， ∵由（2）得△EOF是等腰直角三角形， ∴HF＝HE， ∵EG＝EB＝AF， ∴HA＝HG， ∵在正方形ABCD中，OA＝OC， ∴OH是△AGC的中位线， ∴OH∥CG，， ∵OH⊥AG， ∴CG⊥AG， 即EF⊥CG， ∵在等腰Rt△EOF中，， ∴EF＝CG．········································································10分 27．（10分） 解：（1）由题意得：⊙O关于直线m的“远点”是点C， ∵点E的坐标为（4，0），⊙O的半径为1， ∴CA＝2，CO＝1，OE＝4， ∴CE＝5， ∴CA•CE＝2×5＝10， ∴⊙O关于直线m的“远离数”为10． 故答案为：C；10；····································································2分 ②设直线n分别交x轴，y轴于点B，A， 令x＝0，则y， ∴A（0，）， ∴OA． 令y＝0，则x0， 解得：x＝4， ∴B（4，0）， ∴OB＝4， 在Rt△AOB中， ∵tanB， ∴∠B＝30°， ∴OHOB＝2， ∴PH＝OP+OH＝3， ∴PQ•PH＝2×3＝6， ∴⊙O关于直线n的“远离数”为6； ··········································4分 （2）设直线l的函数表达式为y＝kx+b， ①当k＜0时， 由题意得：NA＝2，NH⊥MH，NA•NH＝2， ∴NH． 过点M作MG⊥ON于点G，过点M作MD⊥x轴于点D，如图， ∵M（5，1），N（0，2）， ∴MD＝1，OD＝5，ON＝2， ∴OG＝MD＝1， ∴NG＝ON﹣OG＝1， ∴MN， ∴MH， ∴HN＝HM， ∴△HMN为等腰直角三角形． 过点H作HB⊥y轴于点B，DM的延长线交BH的延长线于点C，过点H作HE⊥x轴于点E，则BC⊥CD，设H（m，n）， ∴四边形ODCB为矩形，四边形OEHB为矩形， ∴BH＝OE＝m，OB＝HE＝n，BC＝OD＝5，BN＝n﹣2． ∵∠BHN+∠HNB＝90°，∠BHN+∠MHC＝90°， ∴∠HNB＝∠MHC， 在△BHN和△CMH中， ， ∴△BHN≌△CMH（AAS）， ∴BN＝CH＝n﹣2，BH＝CM＝m， ∴BC＝BH+CH＝m+n﹣2，CD＝CM+MD＝m+1， ∴， 解得：， ∴H（3，4）， ∴， ∴， ∴直线l的函数表达式为yx；····················································7分 ②当k＞0时， 由题意得：NA＝2，NH⊥MH，NA•NH＝2， ∴NH． 由①知：MN， ∴MH， ∴HN＝HM， ∴△HMN为等腰直角三角形． 过点M作MB⊥x轴于点B，过点H作HC⊥y轴于点C，MB的延长线交CH的延长线于点D，过点H作HE⊥x轴于点E，则CD⊥MD，MB＝1，OB＝5，设H（m，n）， ∴四边形OCDB为矩形，四边形OEHC为矩形， ∴CH＝OE＝m，OC＝HE＝BD＝﹣n，BO＝CD＝5，CN＝﹣n+2． ∴MD＝MB+BD＝﹣n+1． ∵∠CHN+∠HNC＝90°，∠CHN+∠MHD＝90°， ∴∠HNC＝∠MHD， 在△CHN和△DMH中， ， ∴△CHN≌△DMH（AAS）， ∴CH＝MD＝m，CN＝DH＝﹣n+2， ∴CD＝DH+CH＝m﹣n+2，BD＝MD﹣MB＝m﹣1， ∴， ∴， ∴H（2，﹣1）， ∴， ∴． ∴直线l的函数表达式为y．····················································10分 28．（12分） 解：（1）当m＝4时，抛物线C1为y＝﹣x2+5x﹣4， 令x＝0得y＝﹣4， ∴C（0，﹣4）， 令y＝0得﹣x2+5x﹣4＝0， 解得x＝1或x＝4， ∴A（1，0），B（4，0）； 答：A的坐标为（1，0），B的坐标为（4，0），C的坐标为（0，﹣4）；························3分 （2）过D作DF⊥x轴于F，过A作AE⊥BC于E，如图： 由（1）知A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）， ∴∠ABC＝45°，AB＝3，BC＝4， 在Rt△ABE中，AE＝BEAB， ∴CE＝BC﹣BE， ∴tan∠ACB， ∵∠DBA+∠ACB＝90°， 又∠DBA+∠BDF＝90°， ∴∠ACB＝∠BDF， ∴tan∠BDF， ∴， 设D（t，﹣t2+5t﹣4），则BF＝4﹣t，DF＝﹣t2+5t﹣4， ∴， 解得t或t＝4（舍去）， ∴D（，）；········································································6分 （3）过N作NG∥x轴交y轴于点G，过M作HM∥x轴，过A作AH∥y轴交HM于点H，如图： ∵抛物线y＝﹣x2+（1+m）x﹣m＝﹣（x﹣m）（x﹣1）， ∴将其向左平移n个单位，得到的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣m+n）（x﹣1+n）， 当m＞1时，A（1，0），B（m，0），C（0，﹣m），当m＜1时，A（m，0），B（1，0），C（0，﹣m）， ①当m＞1，A（1，0），B（m，0），C（0，﹣m）时， 由C（0，﹣m）设直线AC的解析式为y＝px﹣m，将A（1，0）代入得p﹣m＝0， 解得p＝m， ∴直线AC的解析式为y＝mx﹣m， 由，得x2+（2n﹣1）x+n2﹣mn﹣n＝0， 设点M、N的横坐标分别为x1、x2，则x1+x2＝﹣2n+1，x1•x2＝n2﹣mn﹣n， ∵∠CNG＝∠HMA，∠H＝∠CGN＝90°， ∴△CNG∽△AMH， ∵AMCN， ∴2， ∴NG＝2MH， ∴﹣x2＝2（x1﹣1），即x2＝﹣2x1+2， ∴x1+x2＝2﹣x1， ∴﹣2n+1＝2﹣x1， ∴x1＝2n+1， ∴x2＝﹣2x1+2＝﹣4n， ∵x1•x2＝n2﹣mn﹣n， ∴（2n+1）•（﹣4n）＝n2﹣mn﹣n， ∵n＞0， ∴整理得m＝9n+3．····································································9分 ②当m＜1，A（m，0），B（1，0），C（0，﹣m）时，直线AC的解析式为y＝x﹣m， 由得x2﹣（m﹣2n）x+n2﹣mn﹣n＝0， 同①可得3m+9n＝1， 综上所述，m，n之间的数量关系为m＝9n+3（m＞1）或3m+9n＝1（m＜1）．················12分 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $