湖南长沙市第一中学2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题

高二数学期中 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设复数，为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 3. 某新能源车型的续航里程（单位：公里）服从正态分布．若该车型中的车续航里程介于360公里与440公里之间，则续航里程超过420公里的车在该车型中的占比约为（ ）（参考公式：，， A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 双曲线 的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且则C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 定义在上的三个函数，若，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，则 10. 定义在上的函数满足为偶函数，且，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象关于成中心对称 D. 11. 数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体．关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（ ） A. 三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为 B. “等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形 C. 三组对棱长度分别为a，b，c的“等腰四面体”的外接球直径为 D. “等腰四面体”的外接球与内切球的球心重合 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若的展开式的二项式系数和为32，且的系数为__________． 13. 已知变量x，y的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现y与x之间具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归直线方程为且当x=9时，残差为-0.1．则当x=11时，y的预测值为___________． x 5 6 7 8 9 y 3.5 4 5 6 6.5 14. 现有一盒子里装有序号分别为的六个大小、质地完全相同的小球，甲、乙、丙三人依次不放回地从盒子里各随机抽取一次（每个球被抽取的可能性相同），记录被抽取的球的序号分别为，则满足的情况有______种． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量与平行. （1）求； （2）若，，求△ABC的面积. 16. 已知函数 （1）当时，求的单调区间； （2）求在区间上的最小值． 17. 已知是等差数列，其前n项和为是等比数列，已知是和的等比中项． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前n项和 18. 在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常运行的概率称为系统的可靠度.某系统有四个核心部件，其中甲型两个，乙型两个，四个部件至少有三个正常工作时，系统才能正常运行，且各部件是否正常工作相互独立，一个甲型部件的可靠度为，一个乙型部件的可靠度为，且，系统能正常运行称为试验成功. （1）在一批产品中随机抽取六盒甲型部件，每盒9件，经逐个检测部件指标可以整理成下表，已知指标在内甲型部件可以正常工作. 盒一 31 45 28 55 58 66 57 39 42 盒二 48 67 42 46 56 35 29 53 34 盒三 31 53 48 37 29 34 45 58 64 盒四 55 28 44 36 61 47 56 61 57 盒五 30 49 54 43 35 62 32 56 59 盒六 54 52 29 37 56 47 60 38 44 （i）请根据抽样结果估计甲型部件的可靠度； （ii）若取（i）中的估计值，在一个系统试验成功的条件下，求这个系统中两个甲型部件同时正常工作的概率； （2）研发人员计划按照下图结构优化系统，①②位置上的部件中至少有一个能正常工作并且③④位置上的部件中至少有一个能正常工作，系统就能正常运行.优化后系统比优化前可靠度是否有提高？按照这个优化方案怎么安排原有的四个部件使新系统可靠度最大，请说明理由. 19. 已知是椭圆上的左、右焦点，P，Q，R是椭圆上三点． （1）设点R处的切线l的斜率为请用R的坐标表示 （2）（i）求的面积的最大值； （ii）当的面积取最大值时，求的重心的坐标． 高二数学期中 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）当时，；当时，；当时，． 【17题答案】 【答案】（1），． （2） 【18题答案】 【答案】（1）可靠度 （2）优化后系统可靠度提高了. 原因：原系统需要四个部件正常工作或三个部件正常工作，系统才能正常运行，新系统除了在四个部件正常工作或三个部件正常工作时，系统能正常运行以外，只有两个部件正常工作，系统也可能正常运行，所以可靠度提高了. 按照这个优化方案安排原有的四个部件可以有两种方法： 方法一：（1）（2）放同型部件，（3）（4）放同型部件，不妨设（1）（2）放甲型部件（3）（4）放乙型部件，设此时可靠度为； 方法二：（1）（2）放不同型部件，（3）（4）放不同型部件，不妨设（1）（3）放甲型部件，（2）（4）放乙型部件，设此时可靠度为. ； 因为，所以，，即， 所以当时，两个方案都可以； 当时，方案二可靠度更高. 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $