湖南湘潭市第一中学等校2025-2026学年高二下学期期中数学试题

高二数学 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.已知集合A=X∈N1≤x<4),B={Xy=√X),则A∩B= A.1,2,3 B.-1,1,2,3} C.{0,1,2,3) D.{-1,0,1,2,3} 2.已知复数7=，则： A.1-i B.-1+i C.2-2i D.2+21 3.设向量a=(2,x),b=(2+x,2x)若a(2a-b)=0,则x= A.2 B.3 C.4 D.5 4.已知数列1，是等比数列，若受-，则 S。 A.13 B.日 c.7 5.为了保障速滑比赛的安全，志愿者小王、小李、小方需要清理A、B、C、D、E、F六条短 道速滑跑道，每人至少清理一条跑道，则小王清理三条跑道的情况共有多少种 A.120 B.80 C.60 D.40 6.在空间直角坐标系中，过点P。(×,y。,z。)且以n=(a,b,c)为法向量的平面的方程可以表示 为a(x-x)+b(y-y。)+c(2-)=0,若平面a的方程为×+2y+2-4=0,则点Q(1,2,3)到 平面a的距离为 A.230 B.26 c.46 D.430 15 3 3 15 7.已知点人8在椭园号+片=g>b>0上，M与A关于原点对称，∠4日=90，M0交 y y轴于点Q,0为坐标原点，0M.00=200,则椭圆的离心率为 A.日 B. 6 2 c.9 D. 3 8.已知函数f(x)=(-2x2+3ax-a)e在(1,2)上单调递减，则a的取值范围为 A.(0,+00) B.(-00,2] C.[0,2] D.(0,2) 数学第1页（供4页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.甲、乙、丙3人进行传球游戏，每次抛一枚均匀的硬币，若正面朝上，则持球者不传球； 若反面朝上，则持球者等可能地将球传给其余2人之一.初始时球在甲手中，记第n次抛硬 币后球在甲手中的概率为P,,球在乙手中的概率为9。，在前n次抛硬币的过程中3人之间 传球的次数为X，则 A.p,=2g, B.0(x)= C.p+2qn=1 1 2 D.pn>。>qn 3 10正方体ABCD-AB,C,D,的棱长为a,M为DD,中点，F为侧面AAD,D内一动点，且B,FW 平面BC,M,则 A.AD⊥平面BC,M B.动点F的轨迹长为 2 C.有且仅有一点F,使得B,FIAF D.三棱锥F-AA8,外接球半径的最小值为互 a 2 11.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A+bsinB-cs1nc=V3 asin B, A是锐角，其外接圆半径为R=2,内切圆半径为”，则下列说法正确的是 A.c=I B.若a=2√3，则△ABC的面积为4 6 C.当△ABC是直角三角形时，r=√5-1D.√3b-a的取值范围是(0,4] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数f(x)是定义在(00,0)U(0,o)上的偶函数，x>0时， lx-10<x≤2 f(x)= fx-2,k>2则函数g(=8()2-6()+1的零点个数为一 1 2 13.已知S,是等差数列{an}的前n项和，S5>S,4>S,6,则满足S。·S,<0的正整数n是 14.小郅和小豪同学玩纸牌游戏，小郅面前有标有点数分别为1、2、3、4、5的纸牌各1 张，小豪面前有标号为1、2、3、4、5的纸牌分别有5、4、3、2、1张（抽牌阶段抽到每 张牌的概率均等)，规定首先小豪同学从其面前纸堆中抽取一张牌点数记为X,然后放回牌 数学第2页（供4页） 堆，随后小郅同学任意从其面分牌堆中抽取x张牌、记这X张纸牌的点数和为Y,则D(x)= 、 E(Y)= 四、解答题：本题共5小题、共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 不透明的袋子中装有编号为1,2,3、4的4张卡片、这4张卡片除编号外，其余完全相同 现从袋子中不放回地抽取1张卡片，若这张卡片的编号为偶数，则结束抽取；若这张卡片的 编号为奇数，则再从袋子中不放回地抽取1张卡片、直至抽出编号为偶数的卡片，结束抽取. (1)求恰好抽取2张卡片后结束抽取的概率； (2)若抽出编号为奇数的卡片得1分，抽出编号为偶数的卡片得2分，记抽取结束后的总得 分为X,求x的分布列与期望， 16.(15分) 已知院园c等+片=1g>6>0的离心率为宁，左右焦点分别为，过点的直线与c 相交于A,B、且△ABF,的周长是8. (1)求c的方程； (2)若△AFF2的面积是5，求△BF,F2的面积. 17. (15分) 四棱锥P-ABCD中、PA⊥平面ABCD,∠BAD=90°、AB=AD=2,AP=4,BC=CD,AC=4N2,E 为棱PD的中点.用空间向量坐标法解答以下问题： 数学第3页（供4页） O俅AE与PC所成角的余弦值； (2俅二面角E-AB-D的余弦值； (34在楼PC上是否存在点M,使得二面角M-AB-E的余弦值为5？若不存在，请说明 10 理由：若存在，求”的值. PC )8.(17分4 若正项数列{an}的前n项和为S,,且对任意的正整数n,均有S,-S。=Aa。,成立，其中入 和k是实数，则称此数列为“入-k”数列. 0偌数列(an}是"入-1"数列，求入的值； (24偌数列{an}是“2-2"数列，且a,=1,求数列{an}的通项公式； (34是否存在实数入，使得数列{a,}为“入-3"数列？若存在，求入的取值范围；若不存在， 请说明理由， )9.(17分4 已知函数f(x)=xsin x-asinx 0当a=0时，讨论f(x)在区间 上的单调性； (24设f(x)在区间(0，)上存在两个极值点X1,x2 ①求a的取值范围； ②若f(x)+f(x2)=0,求X1与×2的等差中项. 数学第3页（供4页）