7.3.2离散型随机变量的方差4题型分类(讲+练）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

2025-2026学年高二数学同步知识·题型解题秘籍精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 7.3.2离散型随机变量的方差4题型分类 一、离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 我们称D(X)＝(x1－E(X))2 p1 ＋(x2－E(X))2 p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)． 二、几个常见的结论 (1)D(aX＋b)＝a2D(X)． (2)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)． （一） 求离散型随机变量的方差 求离散型随机变量的方差的类型及解决方法： (1)已知分布列型(非两点分布)：直接利用定义求解，先求均值，再求方差． (2)已知分布列是两点分布：直接套用公式D(X)＝p(1－p)求解． (3)未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成(1)中的情况． 题型1：求离散型随机变量的方差 1．（2026高二·江西赣州·期中）已知随机变量的分布列为 X 4 8 10 P 0.3 0.6 0.1 则（    ） A．7 B．5 C．4.8 D．4.2 【答案】D 【分析】利用随机变量的数学期望与方差公式即可得解. 【详解】因为， 所以， 故选：D. 2．（2026高二·江苏宿迁·期中）已知随机变量的分布列如下表所示，且满足，则（    ） 0 2 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据均值的计算公式以及概率和为列式，联立求解得，，再根据求出即可. 【详解】，又， 所以，， 所以， 故选：A. 3．（2026高二·河北邢台·期中）若随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 0.4 0.3 0.2 0.1 则随机变量的方差（    ） A．1 B．1.4 C．2 D．2.4 【答案】A 【详解】因为， 所以． 4．（2026高二·河北张家口·期末）设随机变量的分布列如下（其中），表示的方差，则当从0增大到1时（    ） 0 1 2 A．增大 B．减小 C．先减后增 D．先增后减 【答案】D 【分析】首先根据期望公式得，再根据方差计算公式得的表达式，最后利用二次函数的性质即可得到答案. 【详解】由分布列可得, 则， 因为，所以先增后减， 故选：D. 5．（2026高二·上海·期中）已知随机变量的分布为，则 __________. 【答案】/ 【分析】利用方差公式可求方差. 【详解】的期望为， 故. 6．（2026高二·全国·课堂例题）已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.1 0.2 0.3 0.4 求其方差和标准差． 【答案】1，1 【分析】计算出期望，进而利用方差公式求出方差，得到标准差. 【详解】， 所以， ． 故方差和标准差均为1. 7．（2026高二·广东东莞·期中）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设表示取到的豆沙粽个数.求 (1)的分布列； (2)的期望与方差； (3)求至少取到一个豆沙粽的概率. 【答案】(1) 0 1 2 3 (2)， (3) 【分析】（1）由题意可知的可能取值为，根据古典概型计算概率即可写出分布列； （2）由分布列即可计算期望与方差； （3）先求“一个豆沙粽都没有取到”的概率，再利用对立事件即可求“至少取到一个豆沙粽的概率”. 【详解】（1）由题意，的可能取值为， 则 ，， ， ， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 （2）由（1）可知， . （3）记“至少取到一个豆沙粽”为事件A，则表示“一个豆沙粽都没有取到”， 则. 8．（2026高二·上海·期中）《水浒传》是中国古典四大名著之一，是中国历史上最早用白话文写成的章回小说，由三十六天罡与七十二地煞共同构成一百零八将的主体框架，小明喜欢收集其中的人物卡牌，卡牌分为普通卡和隐藏卡，小明目前收集到的卡牌分布如下表所示： 天罡 地煞 普通卡 6 12 隐藏卡 2 5 (1)若小明从25张卡牌中随机选取一张，记事件为小明取到的卡牌人物属于天罡，事件为小明取到的卡牌为隐藏卡，求和，并判断事件和事件是否相互独立； (2)小王和小明进行抽卡游戏，每人一次性从25张卡牌中抽取两张，给出以下规则：抽到的两张卡分别是天罡隐藏卡及地煞隐藏卡，得5分；抽到的两张卡有且仅有一张隐藏卡，得3分；抽到的两张卡分别是天罡普通卡及地煞普通卡，得1分；其余情况不得分.设为小王第一次抽取卡牌后获得的分数，写出的分布，并求出的数学期望和方差. 【答案】(1),，事件与事件不独立. (2) 0 1 3 5 ， 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求得的值，利用条件概率公式可求得的值，利用独立事件的定义可判断出事件和事件的关系； （2）分析可知，随机变量的可能取值有，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可得出和的值. 【详解】（1）由表格中的数据结合古典概型的概率公式可得， 由条件概率公式可得， 因为，所以， 故事件与事件不独立. （2）由题意可知，随机变量的可能取值有：， 则， ， ， 所以随机变量的分布列如下表所示： 0 1 3 5 故. 方差 9．（2026高二·江西南昌·期末）DeepSeek是北京一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为；如果出现语法错误，它回答正确的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答．已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个． (1)求小张能全部回答正确的概率； (2)求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率； (3)设小张答对的题数为，求的分布列，并求出的期望和方差． 【答案】(1) (2)0.9 (3)答案见解析 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得； （2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”，将所求事件表示为，再利用全概率公式计算可得； （3）X的可能取值是，求出所对应的概率，即可求出分布列、期望和方差． 【详解】（1）由题意，小张能全部回答正确当且仅当抽到的9个问题均来自他能正确回答的9个问题. 则由古典概型的概率公式可得， 小张能全部回答正确的概率， 故小张能全部回答正确的概率为； （2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”， 则，且事件与互斥， 由题意知， 则， 由全概率公式可得， ． 故一个问题能被DeepSeek回答正确的概率为； （3）已知小张答对的题数为X，则X的可能取值是， 且， 所以X的分布列为： 8 9 则， . 故的期望为，方差为. 10．（2026高二·黑龙江齐齐哈尔·期末）某高中在选拔学生参加高中数学联赛中，对数学成绩较好的100名学生进行了一次测试，将测试所得的成绩（满分100分）分成7组：，，，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)求此次测试成绩的平均数（同组数据以该组区间的中点值作代表）； (2)从测试成绩在区间内的学生中随机抽取4人，记4人中测试成绩在区间内的人数为，求的分布列、数学期望和方差. 【答案】(1)71.2 (2)分布列见解析，，. 【分析】（1）根据频率分布直方图求出测试成绩的平均数； （2）求出测试成绩在区间和内的学生的人数，得到可能的取值及对应的概率，得到分布列，求出数学期望和方差. 【详解】（1）由图知测试成绩的平均数为： . （2）测试成绩在区间内的学生人数为人， 测试成绩在区间内的学生人数为人， 所以的可能取值为2，3，4. 故，，， 所以的分布列为： 2 3 4 所以， . 题型2：两点分布的方差 11．（2026高二·重庆·期中）若随机变量服从两点分布，其中，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，则. 12．（2026高二·四川绵阳·期末）一批产品根据质量指标分为正品和次品，且次品率为，随机抽取1件，定义则随机变量的方差（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由两点分布求出随机变量的均值，然后求出方差即可. 【详解】由题意，所以. 故选：D 13．（2026高二·江苏连云港·期中）已知随机变量服从分布，则，则______. 【答案】 【分析】使用分布的方差公式求解. 【详解】. 14．（2026高二·福建福州·期中）设随机变量X服从两点分布，若，则（    ） A．0.24 B．0.21 C．0.16 D．0.8 【答案】C 【分析】利用两点分布性质可得，再由方差计算公式可得结果. 【详解】由两点分布可得， 解得； 因此期望值为， 所以. 故选：C （二） 方差性质的应用 求随机变量Y＝aX＋b方差的方法： 求随机变量Y＝aX＋b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解． 题型3：方差性质的应用 15．（2026高二·重庆沙坪坝·阶段检测）设X，Y为随机变量，且，则（    ） A．9 B．8 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据方差的公式求得，再根据方差的性质求解即可 【详解】由题意，，故 故选：B 16．（2026高二·湖北武汉·期末）设随机变量X的概率分布列如图所示，则（    ） X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 0.1 A．0.84 B．3.36 C．1.68 D．10.36 【答案】B 【分析】由均值和方差的公式求出，再由方差的性质求解即可. 【详解】因为， 则， 所以. 故选：B. 17．（2026高二·湖北孝感·阶段检测）已知随机变量的分布列为 0 1 2 P a 若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由概率和为1可确定，即可确定，后由方差性质可得答案. 【详解】由，得，则，．因为，所以． 故选： 18．【多选】（2026高二·山东青岛·阶段检测）已知随机变量的分布列为 若随机变量，，，则下列选项正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先利用分布列的性质求出，再利用均值和方差的性质求解即可. 【详解】依题意，由分布列可得，解得，A正确； ， ， 因为， 所以，， 解得，，B错误，C正确； 所以随机变量的分布列为： 由分布列可知D正确； 故选：ACD 19．（2026高二·山西忻州·期末）随机变量X的分布列如下所示． X 1 2 3 P a 2b a 则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分布列得出，即可代入计算出，即可根据方差的运算率得出，令，求导得出，即可得出答案. 【详解】由题可知，即， ， ， 则， 令， 则， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以， 则的最大值为. 故选：D. 20．（2026高二·广西崇左·期中）已知随机变量的均值，方差，则（    ） A． B． C．11.8 D．2 【答案】C 【详解】，； ，； . 21．（2026高二·湖南永州·期中）已知随机变量服从两点分布，随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 0.6 0.2 若，且与相互独立，则（    ） A．0.25 B．0.4 C．0.65 D．0.9 【答案】C 【分析】解法1：令，则的可能取值为，求得相应的概率，结合期望和方差的公式，即可求解； 解法2：由随机变量服从两点分布，得到，再求得，结合与相互独立，即可求解. 【详解】解法1：令，则的可能取值为. ，， ，， 所以， . 解法2：由随机变量服从两点分布，得， 又由 可得， 因为与相互独立，所以. 22．【多选】（2026高二·江苏无锡·期中）若随机变量服从两点分布，其中，和分别为随机变量的期望与方差，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由两点分布的期望、方差计算公式和期望、方差的性质逐项判断即可. 【详解】选项A：由概率和为，则​，A正确； 选项B：， 根据期望性质，得，B错误； 选项C：根据方差公式，得​，C正确； 选项D：根据方差性质，得，D正确. （三） 均值与方差的综合应用 1．均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断． 2．离散型随机变量的分布列、均值、方差之间存在着紧密的联系，利用题目中所给出的条件，合理地列出方程或方程组求解，同时也应注意合理选择公式，简化问题的解答过程． 题型4：均值与方差的综合应用 23．（2026高二·山西运城·期中）为了迎接即将到来的生物实验操作考试，小李同学每天都要去实验室做两次实验.某天，他来到实验室，决定做实验或实验，已知小李同学做实验成功的概率为，做实验成功的概率为，假设每次做实验是否成功相互独立. (1)小李每次都随机等可能的从实验与实验中选择一个实验进行操作，求他两次实验恰好成功一次的概率； (2)小李同学决定进行2次实验操作，有以下两种方案， 方案一:第一次实验，小李随机等可能的选择实验或实验中的一种，若第一次实验成功，则第二次继续做第一次的实验，若第一次实验不成功，则第二次做另一个实验； 方案二:第一次实验，小李随机等可能的选择实验或实验中的一种，无论第一次实验是否成功，第二次都继续做第一次的实验. 若方案选择以及实验操作互不影响，以实验成功次数的期望值作为决策依据，你认为哪个方案更好? 【答案】(1) (2)方案一略好 【分析】（1）记选择实验为事件，选择实验为事件，实验成功为事件，利用全概率公式求出，再由独立重复试验的概率公式计算可得； （2）记和分别是方案一与方案二中实验成功的次数，则、的取值均为，，，求出相应的概率，计算出期望，即可判断. 【详解】（1）记选择实验为事件，选择实验为事件，实验成功为事件， 则 所以. 所以两次实验恰好成功一次的概率. （2）记和分别是方案一与方案二中实验成功的次数，则、的取值均为，，， 所以， ， ， 所以. ， ， ， 所以. 因为，所以方案一略好. 24．（2026高二·重庆·期中）小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是，第二个路口遇到红灯的概率是．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立． (1)若小李下班后选择路线2驾车回家，已知小李在路上遇到了红灯的情况下，求小李在第一个路口就遇到了红灯的概率； (2)假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：）的期望最小，则小李应选择哪条路线?请说明理由． 【答案】(1) (2)小李应选择路线1，理由见解析. 【分析】（1）记小李在路上遇到红灯为事件，小李在第一个路口遇到红灯为事件，由题意可得，进而由条件概率公式可求结果； （2）分别求得条路线的情况下的数学期望，设路线累计增加时间的随机变量为，则，可求期望，路线累计增加时间的随机变量为，则的所有可能取值为，进而求得，，进而求得期望，比较可得答案. 【详解】（1）记小李在路上遇到红灯为事件，小李在第一个路口遇到红灯为事件， ，则， 则小李在路上遇到了红灯的情况下，小李在第一个路口就遇到了红灯的概率为； （2）设路线累计增加时间的随机变量为，则，所以， 设路线第个路口遇到红灯为事件，则， 设路线累计增加时间的随机变量为，则的所有可能取值为， 则， ，所以． 因为，所以为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间的期望最小， 小李应选择路线． 25．（2026高二·重庆江北·阶段检测）疫情期间某大型快餐店严格遵守禁止堂食的要求，在做好自身防护的同时，为了实现收益，也为了满足人们餐饮需求，增加打包和外卖配送服务，不仅如此，还提供了一款新套餐，丰富产品种类，该款新套餐每份成本20元，售价30元，保质期为两天，如果两天内无法售出，则过期作废，且两天内的销售情况互不影响，现统计并整理连续10天的日销量（单位：百份），得到统计数据如下表： 日销量（单位：百份） 2 4 天数 6 4 (1)求第一天日销量为4百份且第二天日销量为2百份的概率； (2)记两天中销售该款新套餐的总份数为（单位：百份），求的分布列和数学期望； (3)方案A：两天共备餐5百份；方案B：两天共备餐7百份，以该款新套餐两天内获得利润较大为决策依据，在这两种方案中应选择哪种？ 【答案】(1) (2)分布列见解析； (3)选择方案A. 【分析】（1）由相互独立事件同时发生的概率公式计算即可求解； （2）列出可能取值，分别计算出相应的概率，列出分布列表，即可求解； （3）根据利润的计算方式，分别计算出选择方案A和方案B所获得利润，比较后可得答案. 【详解】（1）依题意，这10天内有6天日销量为2百份，4天日销量为4百份， 设事件A为“日销量为4百份”，设事件B为“日销量为2百份”， 则A，B相互独立，且，， 故第一天日销量为4百份且第二天日销量为2百份的概率为 . （2）根据题意可得：的所有可能取值为， ， ， ， 的分布列为： 4 6 8 的数学期望为 （3）在方案A中，两天内获得的利润为 （百元）， 在方案B中，两天内获得的利润为 （百元）， 因为，所以应选择方案A. 26．（2026高二·广东广州·阶段检测）设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有2个白球，3个红球，这些球除了颜色之外完全相同. (1)如果从甲盒任取1球放入乙盒，再从乙盒任取1球，求从乙盒取出的球为红球的概率. (2)某超市进行促销活动，顾客可以在A，B两个活动中任选其一参加（甲乙两盒如初始状态）.活动A：每次有放回地从甲盒中随机取出一个球，重复三次，每取出一个红球得1张代金券；活动B：每次不放回地从乙盒中随机取出一个球，直到取到白球为止，每取出一个红球得1张代金券.所有代金券的面额都是相同的.从预期收益的角度看，哪个活动对顾客更有利？ 【答案】(1) (2)活动 【分析】（1）根据题意，直接运用全概率公式进行求解即可； （2）分别计算活动A和活动B的数学期望，比较两者大小即可判断出哪个活动对顾客更有利. 【详解】（1）记“从乙盒任取1球，求从乙盒取出的球为红球”为事件， “从甲盒任取1球放入乙盒，该球为红球”为事件， 则：从甲盒任取1球放入乙盒，该球为白球； 所以. 所以从甲盒任取1球放入乙盒，再从乙盒任取1球，求从乙盒取出的球为红球的概率为. （2）记参加活动获得张代金券，由题意可知，，则（张）； 记参加活动获得张代金券，的可能取值为0，1,2,3， , ， ， ， 所以（张）； 因为， 所以从预期收益的角度看，活动对顾客更有利 27．（2026高三·江西鹰潭·月考）为了加强学生的交通安全意识，贵溪一中开展了“安全头盔守护生命”主题教育活动.学校为此次活动准备了10道关于安全头盔重要性､正确佩戴方法及相关法律法规的题目.在活动的知识竞答环节中，会从这10道题目中随机抽取3道让学生回答.已知该校学生小曾同学中午与家长一同认真学习了相关知识，能够准确回答其中的6道题目. (1)求抽到的题目中他能答对的题目数的分布列； (2)求的期望和方差. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）先求得的取值，然后求得对应的概率，即可求出分布列； （2）根据期望的定义求得，，然后利用方差的期望公式求得即可. 【详解】（1）由题意知：所有可能的取值为， ； ； 的分布列为： 0 1 2 3 （2）期望； 又， ∴方差. 28．（2026高二·江苏宿迁·期中）高二（16）班参加青华中学红五月节目：猜歌名，班级只有一个名额，结合平时观察积累，闫某峻，贾某轩两名学生进入最后选拔，申老师为此设计了如下选拔方案：挑选8首歌进行测试，在这8首歌曲中，闫某峻能正确说出其中的6首歌名，贾某轩能正确说出每首歌名的概率均为，假设闫某峻、贾某轩两名学生说出每首歌名都相互独立、互不影响，现闫某峻、贾某轩从这8首歌中分别随机抽取4首进行竞猜 (1)求闫某峻、贾某轩共答对3首歌名的概率； (2)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表高二（16）班参加红五月活动？ 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用超几何分布和二项分布求概率即可； （2）计算出两人答对歌名个数的期望和方差即可. 【详解】（1）设闫某峻、贾某轩答对的题数分别为, 则可能为2，3，4， 则, 由题意知，贾某轩答对的题数满足， 故, 闫某峻、贾某轩共答对3首歌名,即闫某峻答对2道，贾某轩答对1道或者闫某峻答对3道，贾某轩答对0道， 故共答对3首歌名的概率：. （2）由（1）可知，闫某峻答对的题数的分布列如下： X 2 3 4 P 故期望， 方差， 且，故，, 故. 所以闫某峻、贾某轩答对的题数期望一样，但是闫某峻的方差更小，发挥更稳定， 故应选拔闫某峻代表高二（16）班参加红五月活动 29．（2026·上海宝山·模拟预测）在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投次，每投进一次得分，否则得分已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为，若前一次没投进，则该次投进的概率为. (1)求甲投篮次得分的概率； (2)若乙投篮次得分为，求的分布和期望； (3)比较甲、乙的比赛结果. 【答案】(1) (2)分布列见解析，3 (3)答案见解析 【分析】（1）甲3次投篮得2分即3次中1次，根据独立事件概率公式即可求解； （2）由题意得， X的所有可能取值为0，2，4，6，依次求出每种取值的概率，然后写出分布列，求出期望； （3）分别求出甲、乙的期望和方差，然后进行比较大小，根据大小进行分析即可. 【详解】（1）甲投篮次得分，即只投中次，概率为； （2）由题意知的所有可能取值为，，，， 则， ， 随机变量的分布为， 0 2 4 6 期望； （3）设甲三次投篮的得分，则，，，， 可求得随机变量的分布为， 0 2 4 6 所以 ， 又可算得， 因为，， 所以甲最终的得分均值等于乙最终的得分均值，但乙赢得的分值不如甲稳定. 30．（2026高二·北京·期中）某学校为了解学生的睡眠情况，从高一和高二年级中随机抽取各40名学生，统计他们一周平均每天的睡眠时间作为样本，统计结果如图. (1)从该校高一年级学生中随机抽取1人，估计该生平均每天的睡眠时间不少8小时的概率； (2)从该校高二年级学生中随机抽取2人，这2人中平均每天的睡眠时间为8小时或8.5小时的人数记为求的分布列和数学期望； (3)从该校高一年级学生中任取1人，其平均每天的睡眠时间记为，从该校高二年级学生中任取1人，其平均每天的睡眠时间记为，试比较方差与的大小．（只需写出结论） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据古典概型概率计算公司号求得正确答案. （2）先求得高二学生平均每天的睡眠时间为小时或小时的概率，然后根据二项分布的知识求得的分布列和数学期望. （3）通过观察条形图求得正确答案. 【详解】（1）记事件为“从该校高一学生中随机抽取1人， 该生平均每天的睡眠时间不少于8小时”， 样本中高一学生人数为：， 其中平均每天的睡眠时间不少于小时的人数为，则. （2）从高二年级学生中随机抽取1人， 其平均每天的睡眠时间为小时或小时的概率为. 的可能取值为， 故；； . 则的分布列为： . （3）通过观察条形图可知，高一年级和高二年级的统计数据有对称性， 根据方差的定义可知：. 31．（2026高三·河南洛阳·开学考试）某公司计划在2020年年初将100万元用于投资，现有两个项目供选择． 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和； 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，． (1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由； (2)若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番？ （参考数据，） 【答案】(1)建议该投资公司选择项目一进行投资，理由见解析 (2)大约在2023年年底总资产可以翻一番 【分析】（1）分别计算两种投资项目获利的期望和方差，比较大小，可得出结论；（2）依题意列出等式，对数运算即可求解. 【详解】（1）若投资项目一，设获利为万元， 则的分布列为 30 -15 P ． 若投资项目二，设获利为万元， 则的分布列为 50 0 -30 P ． ． ， ， ， 这说明虽然项目一、项目二获利的均值相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目一进行投资． （2）假设n年后总资产可以翻一番， 依题意，，即， 两边取对数，得， ， 大约在2023年年底总资产可以翻一番． 1．（2026高二·全国·课后作业）有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值，方差分别为，.由此可以估计（    ） A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 【答案】B 【分析】可以用样本的方差估计总体的方差，方差越小，分蘖越整齐. 【详解】解：已知样本方差：， 由此估计，乙种水稻的方差约为，甲种水稻的方差约为. 因为 所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 故选：B. 2．【多选】（2026高二·全国·课堂例题）已知随机变量的分布列为 0 1 则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据已知分布列得出概率，应用分布列计算数学期望及方差计算判断各个选项. 【详解】由分布列可知，，故A正确； ，故B不正确， ，C选项正确； ，D选项正确. 故选：ACD． 3．（2026高二·全国·课堂例题）小智参加三分投篮比赛，每投一次，投中得1分，投不中扣1分，已知小智投篮的命中率为，记小智投篮三次后的总分数为随机变量，则为______． 【答案】/ 【分析】根据题意求出随机变量的取值及对应的概率，进而求出，然后利用期望公式和方差公式计算即可. 【详解】根据题意，的可能取值为，，1，3， ， ， 则， 所以，所以． 故答案为： 4．（2026高二·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为（    ） 则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用随机变量的分布列计算出，再利用方差公式可求得的值. 【详解】由随机变量的分布列可得， 所以，. 故选：C. 【点睛】本题考查随机变量方差的计算，考查计算能力，属于基础题. 5．（2026高二·全国·课后作业）随机变量的概率分布为 0 1 且，则________. 【答案】 【分析】利用离散型随机变量及其分布列的概率和为1，求出的值，根据期望，求出的值，再根据方差的公式，即可求出结果. 【详解】由，得， ∵， ∴，得， ∴. 故答案为：. 6．（2026高二·全国·课后作业）已知随机变量X的分布列为 X 0 1 x P p 若， (1)求的值; (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分布列有关知识，概率和为1，以及均值方差计算； （2）利用，则可得解. 【详解】（1）由题意可得：，解得， 所以. （2）因为，则， 所以. 7．（2026高二·江苏·课前预习）设随机变量的概率分布为： 若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据随机变量的分布列求出随机变量的期望和方差，再根据求出. 【详解】由题意知，， 故， 所以. 故选：D. 8．（2026高二·河北衡水·期中）甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求ξ，η的分布列； (2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术． 【答案】(1)见解析. (2)甲比乙的射击技术好. 【分析】（1）由题意利用题中的条件已知甲、乙两名射手每次射击中的环数大于环，且甲射中环的概率分别为，可以得到，解出的值，再有随机变量的意义得到相应的分布列；（2）由于（1）中求得了随机变量的分布列，利用期望与方差公式求出期望与方差可得甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好. 【详解】(1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1. 因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2. 所以ξ，η的分布列分别为： ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)由(1)得： E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2； E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7； D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96； D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21. 由于E(ξ)＞E(η)，D(ξ)＜D(η)，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好. 【点睛】平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意，随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平;方差反映了随机变量稳定于均值的程度, 它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于取舍的重要的理论依据，ᅳ般先比 较均值, 若均值相同再用方差来决定. 9．（2026高三·福建泉州·阶段检测）某品牌轿车经销商组织促销活动，给出两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种. 方案一：每满6万元，可减6千元；方案二：金额超过6万元（含6万元），可摇号三次，其规则是依次从装有2个幸运号、2个吉祥号的一号摇号机，装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号摇号机各摇号一次，每次摇出一个号. 其优惠情况为：若摇出3个幸运号打6折；若摇出2个幸运号打7折；若摇出1个幸运号打8折；若没摇出幸运号不打折. (1)若某型号的车正好6万元，两名顾客都选方案二，求至少有一名顾客比选方案一更优惠的概率； (2)若你朋友看中一款价格为10万元的轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种优惠方案. 【答案】(1) (2)方案二 【分析】（1）设顾客三次没摇出幸运号为事件A，由独立事件概率乘法公式求得，则利用对立事件概率得所求概率为； （2）方案二，设付款金额为万元，则，求出的分布列，期望与方案一比较即可. 【详解】（1）方案一相当于打9折，要使选择方案二比选择方案一更优惠，则需要至少摇出1个幸运号， 设顾客不打折即三次没摇出幸运号为事件A，则， 故所求的概率. （2）若选择方案一，则需要付款（万元） 若选择方案二，设付款金额为万元，则， ，， ，， 故的分布列为 6 7 8 10 所以（万元），所以选方案二划算. 10．（2026高二·全国·课后作业）已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝3,6,9.则D(X)等于（ ） A．6 B．9 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据分布列，分别由数学期望和方差公式，即可求解. 【详解】由题意得, . 故选：A. 11．（2026高二·广东佛山·期中）已知随机变量的分布列如表，则的标准差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分布列的性质求得，利用方差的计算公式可求得，进而得到标准差. 【详解】由分布列的性质得：，解得：， ， ， 的标准差为. 故选：. 【点睛】本题考查根据离散型随机变量的分布列求解标准差的问题，考查了分布列的性质、数学期望和方差的求解，考查基础公式的应用. 12．（2026高三·浙江·月考）随机变量的分布列如下： n P a b c 其中a，b，c成等差数列，则（    ） A．与n有关，有最大值 B．与n有关，有最小值 C．与n无关，有最大值 D．与n无关，有最小值 【答案】C 【分析】求出的表达式，分析其与的关系，求最值即可． 【详解】依题意，，，所以， ． ， 所以，， 所以与无关，且当时，有最大值． 故选：． 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差，二次函数的最值等，考查公式的应用能力与字母运算能力．本题属于中档题． 13．（2026高二·全国·课堂例题）已知是离散型随机变量，，，，那么______，______． 【答案】 7 2 【分析】根据期望及方差的性质分别计算即可. 【详解】由期望和方差的运算性质知，，． 故答案为： 7；2. 14．（2026高二·浙江·期中）已知某随机变量， ， 则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用方差公式，即可求解. 【详解】因为，所以， 故选：D 15．【多选】（2026高二·江苏盐城·期中）已知8只小白鼠中有1只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患这种病的小白鼠，血液化验结果呈阳性的为患病小白鼠，下面是两种化验方案：方案甲：将8只小白鼠的血液逐个化验，直到查出患病小白鼠为止.方案乙：先取4只小白鼠的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这4只小白鼠的血液再逐个化验，直到查出患病小白鼠；若不呈阳性，则对剩下的4只小白鼠再逐个化验，直到查出患病小白鼠.则下列结论正确的是（    ） A．若用方案甲，化验次数为2次的概率为 B．若用方案乙，化验次数为3次的概率为 C．若用方案甲，平均化验次数为4 D．若平均化验次数少的方案好，则方案乙比方案甲好 【答案】AD 【分析】求出两种方案的化验次数的分布列即可判断. 【详解】若用方案甲，设化验次数为，则的可能取值为， 所以正确； 若用方案乙，设化验次数为，若，有两种情况： ①头4只均为阴性，则； ②头4只有阳性，则， 所以化验次数为3次的概率为，B错误； 若用方案甲， 则， 所以，C错误； 若用方案乙，可取2，3，4. ， 所以，因为， 所以方案乙比方案甲好，D正确. 故选：. 16．（2026高三·广东广州·阶段检测）最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次．记为试验结束时所进行的试验次数，的数学期望为． (1)证明：； (2)某公司意向投资该产品，若，每次试验的成本为元，若试验成功则获利元，则该公司应如何决策投资？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)应该投资，理由见解析 【分析】（1）由题意，，，列出分布列，列出，乘公比错位相减法求和，分析可证明； （2）由（1）可得，分析即得解 【详解】（1）由题意， 故 分布列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 所以的数学期望， 记， ， 作差可得，， 则； （2）由（1）可知，则试验成本的期望小于元， 试验成功则获利元，且，则该公司应该投资该产品 17．（2026高二·辽宁葫芦岛·期末）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到其频数分布图（如图所示）.若将这100台机器在三年内更换的易损零件数的频率视为1台机器在三年内更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (1)求X的分布； (2)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？并说明理由. 【答案】(1) 16 17 18 19 20 21 22 ； (2)，理由见解析 【分析】（1）由柱状图，易得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求得其相应概率，列出分布列； （2）购买零件所需费用含两部分：一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，结合（1）分别求出、时费用的期望即可下结论. 【详解】（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9， 10，11的概率分别为， 从而， ， ， ， ， ， ， 所以的分布列为 16 17 18 19 20 21 22 （2）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)， 当时， 当时， 因为， 可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值， 故应选． 18．（2026高二·江苏·单元复习）为选拔奥运会射击选手，对甲､乙两名射手进行选拔测试.已知甲､乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲､乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求X，Y的概率分布； (2)求X，Y的数学期望与方差，以此比较甲､乙的射击技术并从中选拔一人. 【答案】(1)分布列见解析 (2)（环）；（环）；；，应选拔甲射手参加奥运会 【分析】（1）借助概率之和为1可计算出的值及乙射中7环的概率，即可得其概率分布； （2）借助期望及方差的公式计算即可得. 【详解】（1）依题意，，解得， 乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2， 乙射中7环的概率为， 的概率分布为： X 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 的概率分布为： Y 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 （2）由（1）可得 （环）， （环）， ， ， 由于，说明甲平均射中的环数比乙高， 又因为，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定， 所以，甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会. 19．【多选】（2026高二·全国·课后作业）设，随机变量的分布列如下： ξ 0 1 2 P 0.5 0.5－x x 则当x在内增大时（  ） A．减小 B．增大 C．减小 D．增大 【答案】BD 【分析】根据分布列，利用公式得到和的算式，由函数思想判断变化情况. 【详解】，由随机变量的分布列， 得：， ， 当x在内增大时，增大，增大． 故选：BD. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二数学同步知识·题型解题秘籍精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 7.3.2离散型随机变量的方差4题型分类 一、离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 我们称D(X)＝(x1－E(X))2 p1 ＋(x2－E(X))2 p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)． 二、几个常见的结论 (1)D(aX＋b)＝a2D(X)． (2)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)． （一） 求离散型随机变量的方差 求离散型随机变量的方差的类型及解决方法： (1)已知分布列型(非两点分布)：直接利用定义求解，先求均值，再求方差． (2)已知分布列是两点分布：直接套用公式D(X)＝p(1－p)求解． (3)未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成(1)中的情况． 题型1：求离散型随机变量的方差 1．（2026高二·江西赣州·期中）已知随机变量的分布列为 X 4 8 10 P 0.3 0.6 0.1 则（    ） A．7 B．5 C．4.8 D．4.2 2．（2026高二·江苏宿迁·期中）已知随机变量的分布列如下表所示，且满足，则（    ） 0 2 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026高二·河北邢台·期中）若随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 0.4 0.3 0.2 0.1 则随机变量的方差（    ） A．1 B．1.4 C．2 D．2.4 4．（2026高二·河北张家口·期末）设随机变量的分布列如下（其中），表示的方差，则当从0增大到1时（    ） 0 1 2 A．增大 B．减小 C．先减后增 D．先增后减 5．（2026高二·上海·期中）已知随机变量的分布为，则 __________. 6．（2026高二·全国·课堂例题）已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.1 0.2 0.3 0.4 求其方差和标准差． 7．（2026高二·广东东莞·期中）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设表示取到的豆沙粽个数.求 (1)的分布列； (2)的期望与方差； (3)求至少取到一个豆沙粽的概率. 8．（2026高二·上海·期中）《水浒传》是中国古典四大名著之一，是中国历史上最早用白话文写成的章回小说，由三十六天罡与七十二地煞共同构成一百零八将的主体框架，小明喜欢收集其中的人物卡牌，卡牌分为普通卡和隐藏卡，小明目前收集到的卡牌分布如下表所示： 天罡 地煞 普通卡 6 12 隐藏卡 2 5 (1)若小明从25张卡牌中随机选取一张，记事件为小明取到的卡牌人物属于天罡，事件为小明取到的卡牌为隐藏卡，求和，并判断事件和事件是否相互独立； (2)小王和小明进行抽卡游戏，每人一次性从25张卡牌中抽取两张，给出以下规则：抽到的两张卡分别是天罡隐藏卡及地煞隐藏卡，得5分；抽到的两张卡有且仅有一张隐藏卡，得3分；抽到的两张卡分别是天罡普通卡及地煞普通卡，得1分；其余情况不得分.设为小王第一次抽取卡牌后获得的分数，写出的分布，并求出的数学期望和方差. 9．（2026高二·江西南昌·期末）DeepSeek是北京一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为；如果出现语法错误，它回答正确的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答．已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个． (1)求小张能全部回答正确的概率； (2)求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率； (3)设小张答对的题数为，求的分布列，并求出的期望和方差． 10．（2026高二·黑龙江齐齐哈尔·期末）某高中在选拔学生参加高中数学联赛中，对数学成绩较好的100名学生进行了一次测试，将测试所得的成绩（满分100分）分成7组：，，，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)求此次测试成绩的平均数（同组数据以该组区间的中点值作代表）； (2)从测试成绩在区间内的学生中随机抽取4人，记4人中测试成绩在区间内的人数为，求的分布列、数学期望和方差. 题型2：两点分布的方差 11．（2026高二·重庆·期中）若随机变量服从两点分布，其中，则（   ） A． B． C． D． 12．（2026高二·四川绵阳·期末）一批产品根据质量指标分为正品和次品，且次品率为，随机抽取1件，定义则随机变量的方差（   ） A． B． C． D． 13．（2026高二·江苏连云港·期中）已知随机变量服从分布，则，则______. 14．（2026高二·福建福州·期中）设随机变量X服从两点分布，若，则（    ） A．0.24 B．0.21 C．0.16 D．0.8 （二） 方差性质的应用 求随机变量Y＝aX＋b方差的方法： 求随机变量Y＝aX＋b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解． 题型3：方差性质的应用 15．（2026高二·重庆沙坪坝·阶段检测）设X，Y为随机变量，且，则（    ） A．9 B．8 C．5 D．4 16．（2026高二·湖北武汉·期末）设随机变量X的概率分布列如图所示，则（    ） X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 0.1 A．0.84 B．3.36 C．1.68 D．10.36 17．（2026高二·湖北孝感·阶段检测）已知随机变量的分布列为 0 1 2 P a 若，则（    ）． A． B． C． D． 18．【多选】（2026高二·山东青岛·阶段检测）已知随机变量的分布列为 若随机变量，，，则下列选项正确的为（    ） A． B． C． D． 19．（2026高二·山西忻州·期末）随机变量X的分布列如下所示． X 1 2 3 P a 2b a 则的最大值为（    ） A． B． C． D． 20．（2026高二·广西崇左·期中）已知随机变量的均值，方差，则（    ） A． B． C．11.8 D．2 21．（2026高二·湖南永州·期中）已知随机变量服从两点分布，随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 0.6 0.2 若，且与相互独立，则（    ） A．0.25 B．0.4 C．0.65 D．0.9 22．【多选】（2026高二·江苏无锡·期中）若随机变量服从两点分布，其中，和分别为随机变量的期望与方差，则（    ） A． B． C． D． （三） 均值与方差的综合应用 1．均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断． 2．离散型随机变量的分布列、均值、方差之间存在着紧密的联系，利用题目中所给出的条件，合理地列出方程或方程组求解，同时也应注意合理选择公式，简化问题的解答过程． 题型4：均值与方差的综合应用 23．（2026高二·山西运城·期中）为了迎接即将到来的生物实验操作考试，小李同学每天都要去实验室做两次实验.某天，他来到实验室，决定做实验或实验，已知小李同学做实验成功的概率为，做实验成功的概率为，假设每次做实验是否成功相互独立. (1)小李每次都随机等可能的从实验与实验中选择一个实验进行操作，求他两次实验恰好成功一次的概率； (2)小李同学决定进行2次实验操作，有以下两种方案， 方案一:第一次实验，小李随机等可能的选择实验或实验中的一种，若第一次实验成功，则第二次继续做第一次的实验，若第一次实验不成功，则第二次做另一个实验； 方案二:第一次实验，小李随机等可能的选择实验或实验中的一种，无论第一次实验是否成功，第二次都继续做第一次的实验. 若方案选择以及实验操作互不影响，以实验成功次数的期望值作为决策依据，你认为哪个方案更好? 24．（2026高二·重庆·期中）小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是，第二个路口遇到红灯的概率是．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立． (1)若小李下班后选择路线2驾车回家，已知小李在路上遇到了红灯的情况下，求小李在第一个路口就遇到了红灯的概率； (2)假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：）的期望最小，则小李应选择哪条路线?请说明理由． 25．（2026高二·重庆江北·阶段检测）疫情期间某大型快餐店严格遵守禁止堂食的要求，在做好自身防护的同时，为了实现收益，也为了满足人们餐饮需求，增加打包和外卖配送服务，不仅如此，还提供了一款新套餐，丰富产品种类，该款新套餐每份成本20元，售价30元，保质期为两天，如果两天内无法售出，则过期作废，且两天内的销售情况互不影响，现统计并整理连续10天的日销量（单位：百份），得到统计数据如下表： 日销量（单位：百份） 2 4 天数 6 4 (1)求第一天日销量为4百份且第二天日销量为2百份的概率； (2)记两天中销售该款新套餐的总份数为（单位：百份），求的分布列和数学期望； (3)方案A：两天共备餐5百份；方案B：两天共备餐7百份，以该款新套餐两天内获得利润较大为决策依据，在这两种方案中应选择哪种？ 26．（2026高二·广东广州·阶段检测）设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有2个白球，3个红球，这些球除了颜色之外完全相同. (1)如果从甲盒任取1球放入乙盒，再从乙盒任取1球，求从乙盒取出的球为红球的概率. (2)某超市进行促销活动，顾客可以在A，B两个活动中任选其一参加（甲乙两盒如初始状态）.活动A：每次有放回地从甲盒中随机取出一个球，重复三次，每取出一个红球得1张代金券；活动B：每次不放回地从乙盒中随机取出一个球，直到取到白球为止，每取出一个红球得1张代金券.所有代金券的面额都是相同的.从预期收益的角度看，哪个活动对顾客更有利？ 27．（2026高三·江西鹰潭·月考）为了加强学生的交通安全意识，贵溪一中开展了“安全头盔守护生命”主题教育活动.学校为此次活动准备了10道关于安全头盔重要性､正确佩戴方法及相关法律法规的题目.在活动的知识竞答环节中，会从这10道题目中随机抽取3道让学生回答.已知该校学生小曾同学中午与家长一同认真学习了相关知识，能够准确回答其中的6道题目. (1)求抽到的题目中他能答对的题目数的分布列； (2)求的期望和方差. 28．（2026高二·江苏宿迁·期中）高二（16）班参加青华中学红五月节目：猜歌名，班级只有一个名额，结合平时观察积累，闫某峻，贾某轩两名学生进入最后选拔，申老师为此设计了如下选拔方案：挑选8首歌进行测试，在这8首歌曲中，闫某峻能正确说出其中的6首歌名，贾某轩能正确说出每首歌名的概率均为，假设闫某峻、贾某轩两名学生说出每首歌名都相互独立、互不影响，现闫某峻、贾某轩从这8首歌中分别随机抽取4首进行竞猜 (1)求闫某峻、贾某轩共答对3首歌名的概率； (2)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表高二（16）班参加红五月活动？ 29．（2026·上海宝山·模拟预测）在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投次，每投进一次得分，否则得分已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为，若前一次没投进，则该次投进的概率为. (1)求甲投篮次得分的概率； (2)若乙投篮次得分为，求的分布和期望； (3)比较甲、乙的比赛结果. 30．（2026高二·北京·期中）某学校为了解学生的睡眠情况，从高一和高二年级中随机抽取各40名学生，统计他们一周平均每天的睡眠时间作为样本，统计结果如图. (1)从该校高一年级学生中随机抽取1人，估计该生平均每天的睡眠时间不少8小时的概率； (2)从该校高二年级学生中随机抽取2人，这2人中平均每天的睡眠时间为8小时或8.5小时的人数记为求的分布列和数学期望； (3)从该校高一年级学生中任取1人，其平均每天的睡眠时间记为，从该校高二年级学生中任取1人，其平均每天的睡眠时间记为，试比较方差与的大小．（只需写出结论） 31．（2026高三·河南洛阳·开学考试）某公司计划在2020年年初将100万元用于投资，现有两个项目供选择． 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和； 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，． (1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由； (2)若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番？ （参考数据，） 1．（2026高二·全国·课后作业）有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值，方差分别为，.由此可以估计（    ） A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 2．【多选】（2026高二·全国·课堂例题）已知随机变量的分布列为 0 1 则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026高二·全国·课堂例题）小智参加三分投篮比赛，每投一次，投中得1分，投不中扣1分，已知小智投篮的命中率为，记小智投篮三次后的总分数为随机变量，则为______． 4．（2026高二·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为（    ） 则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026高二·全国·课后作业）随机变量的概率分布为 0 1 且，则________. 6．（2026高二·全国·课后作业）已知随机变量X的分布列为 X 0 1 x P p 若， (1)求的值; (2)若，求的值. 7．（2026高二·江苏·课前预习）设随机变量的概率分布为： 若，则等于（    ） A． B． C． D． 8．（2026高二·河北衡水·期中）甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求ξ，η的分布列； (2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术． 9．（2026高三·福建泉州·阶段检测）某品牌轿车经销商组织促销活动，给出两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种. 方案一：每满6万元，可减6千元；方案二：金额超过6万元（含6万元），可摇号三次，其规则是依次从装有2个幸运号、2个吉祥号的一号摇号机，装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号摇号机各摇号一次，每次摇出一个号. 其优惠情况为：若摇出3个幸运号打6折；若摇出2个幸运号打7折；若摇出1个幸运号打8折；若没摇出幸运号不打折. (1)若某型号的车正好6万元，两名顾客都选方案二，求至少有一名顾客比选方案一更优惠的概率； (2)若你朋友看中一款价格为10万元的轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种优惠方案. 10．（2026高二·全国·课后作业）已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝3,6,9.则D(X)等于（ ） A．6 B．9 C．3 D．4 11．（2026高二·广东佛山·期中）已知随机变量的分布列如表，则的标准差为（    ） A． B． C． D． 12．（2026高三·浙江·月考）随机变量的分布列如下： n P a b c 其中a，b，c成等差数列，则（    ） A．与n有关，有最大值 B．与n有关，有最小值 C．与n无关，有最大值 D．与n无关，有最小值 13．（2026高二·全国·课堂例题）已知是离散型随机变量，，，，那么______，______． 14．（2026高二·浙江·期中）已知某随机变量， ， 则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．【多选】（2026高二·江苏盐城·期中）已知8只小白鼠中有1只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患这种病的小白鼠，血液化验结果呈阳性的为患病小白鼠，下面是两种化验方案：方案甲：将8只小白鼠的血液逐个化验，直到查出患病小白鼠为止.方案乙：先取4只小白鼠的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这4只小白鼠的血液再逐个化验，直到查出患病小白鼠；若不呈阳性，则对剩下的4只小白鼠再逐个化验，直到查出患病小白鼠.则下列结论正确的是（    ） A．若用方案甲，化验次数为2次的概率为 B．若用方案乙，化验次数为3次的概率为 C．若用方案甲，平均化验次数为4 D．若平均化验次数少的方案好，则方案乙比方案甲好 16．（2026高三·广东广州·阶段检测）最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次．记为试验结束时所进行的试验次数，的数学期望为． (1)证明：； (2)某公司意向投资该产品，若，每次试验的成本为元，若试验成功则获利元，则该公司应如何决策投资？请说明理由． 17．（2026高二·辽宁葫芦岛·期末）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到其频数分布图（如图所示）.若将这100台机器在三年内更换的易损零件数的频率视为1台机器在三年内更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (1)求X的分布； (2)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？并说明理由. 18．（2026高二·江苏·单元复习）为选拔奥运会射击选手，对甲､乙两名射手进行选拔测试.已知甲､乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲､乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求X，Y的概率分布； (2)求X，Y的数学期望与方差，以此比较甲､乙的射击技术并从中选拔一人. 19．【多选】（2026高二·全国·课后作业）设，随机变量的分布列如下： ξ 0 1 2 P 0.5 0.5－x x 则当x在内增大时（  ） A．减小 B．增大 C．减小 D．增大 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $