精品解析：北京市顺义区仁和中学2024--2025学年七年级下学期期中考试数学试卷

仁和中学2024—2025学年度第二学期期中考试 初一年级数学试卷 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 叶绿体是植物进行光合作用的场所，叶绿体最早发现于衣藻叶绿体，长约0.00005米．其中，0.00005用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 将多项式分解因式后，结果完全正确的是( ) A. B. C. D. 6. 方程组的解满足的关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，线段上有C、D两点，且，C是的中点，若，则线段的长为（ ） A. 15 B. 10 C. 5 D. 2.5 8. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”译文：今有优质酒1斗的价格是50钱，普通酒1斗的价格是10钱，现在买了两种酒2斗，共付30钱．问优质酒、普通酒各买多少斗？ 如果设买优质酒x斗，普通酒y斗，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9. x的2倍与5的差大于13，用不等式表示为_______． 10. 如果把方程改写成用含的代数式表示的形式，那么__． 11. 如果是关于x，y的方程的解，那么 ______． 12. 分解因式：m2n﹣2mn+n= ． 13. 下列多项式：①；②；③．分解因式后结果含有相同因式的是______． 14. 若关于x的不等式组有且只有2个整数解，则m的取值范围是 ___________． 15. 综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： 以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有______（填序号） 16. 某工厂用甲、乙两种原料制作，，三种型号的工艺品，三种型号工艺品的重量及所含甲、乙两种原料的重量如下： 工艺品型号 含甲种原料的重量 含乙种原料的重量 工艺品的重量 A 3 4 7 B 3 2 5 C 2 3 5 现要用甲、乙两种原料共，制作5个工艺品，且每种型号至少制作1个． （1）若原料恰好全部用完，则制作型工艺品的个数为__________个； （2）若使用甲种原料不超过，同时使用乙种原料最多，则制作方案中，，三种型号的工艺品的个数依次为__________． 三、解答题（本题共68分，第17、18、20、21、23题，每小题6分，第19题16分，第22题6分，第24-26题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17. 解不等式组并写出这个不等式组的所有整数解． 18. 解方程组：． 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 已知，求代数式的值． 21. 每年的4月23日是世界读书日.某校计划购入，两种规格的书柜用于放置图书．经市场调查发现，若购买种书柜3个，种书柜2个，共需资金1020元；若购买种书柜1个，种书柜3个，共需资金900元． （1）、两种规格的书柜的单价分别是多少？ （2）若该校计划购买这两种规格的书柜共20个，学校至多投入4350元的资金购买书柜，则种书柜最多可以购买多少个？ 22. 已知关于x、y的方程组 （1）请写出的所有正整数解； （2）若方程组的解满足，求m的值； （3）如果方程组有正整数解，求整数m的值． 23. 如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“聪明数”，比如，，，则说明4，12，20都是“聪明数” （1）24是“聪明数”吗？36是“聪明数”吗？为什么？ （2）试说明所有的“聪明数”都不可能是8的倍数． （3）是否存在两个连续的奇数，它们的平方差是“聪明数”？为什么？ 24. 学习完整式除法运算之后，小明对多项式除以多项式进行了自主探究，他知道：两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法，于是他将多项式除以多项式类比多位数的除法进行了探究，如图1： 小华同学根据小明的探究设计了多项式除以多项式的计算步骤的流程图，如下： 说明： 当时， （1）根据小明的探究过程，小华的计算流程图中①处应填______； （2）多项式除以多项式，所得的商式为______； （3）已知能被整除，则______； （4）如图2，有1张A卡片，9张B卡片，8张C卡片，能否将这18片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 25. 如图，点是直线上的一点，将一直角三角板如图摆放，过点作射线平分. （1）如图1，如果，依题意补全图形，求度数； （2）当直角三角板绕点顺时针旋转一定的角度得到图2，使得直角边在直线的上方，若，其他条件不变，请你直接用含的代数式表示的度数为 ； （3）当直角三角板绕点继续顺时针旋转一周，回到图1的位置，在旋转过程中你发现与之间有怎样的数量关系？请直接写出你的发现： . 26. 不妨约定：关于的二元一次方程， 若系数满足，则称这个方程为“开心”方程．例如：方程，其中，满足，且，则方程是“开心”方程，由两个“开心”方程组成的方程组称作“开心”方程组．根据上述规定，回答下列问题： （1）判断以下方程是不是“开心”方程（填“是”或“不是”）； ① ；②______．③______； （2）若关于的“开心”方程组的解为，求的值． （3）关于的“开心”方程组满足，其中为整数，为常数且，求的值，并求此“开心方程组”的解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁和中学2024—2025学年度第二学期期中考试 初一年级数学试卷 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，当时，，，据此可判断A、C；根据不等式的性质由，可得，据此可判断B；当时，，据此可判断D． 【详解】解：A、当时，，原不等式此时不成立，不符合题意； B、由，可得，原不等式一定成立，符合题意； C、当时，，原不等式此时不成立，不符合题意； D、当时，，原不等式此时不成立，不符合题意； 故选：B． 2. 叶绿体是植物进行光合作用的场所，叶绿体最早发现于衣藻叶绿体，长约0.00005米．其中，0.00005用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为为整数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进行表示即可． 【详解】解：， 故选：C． 3. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握以上运算法则；根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方的运算法则计算即可； 【详解】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 故选：． 4. 不等式组的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别解出不等式的解集,然后再结合不等式组的解集为即可确定a的取值范围． 【详解】解： 由①得：x＞2 由②得：x＞a+1 ∵不等式组的解集为 ∴a+1≥2，即a≥1 故答案为D． 【点睛】本题主要考查了解不等式、解不等式组以及根据不等式组的解集确定字母的取值范围，正确的解出不等式的解集是解答本题的关键． 5. 将多项式分解因式后，结果完全正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先提取公因式4，再利用公式法分解因式即可． 【详解】4a2-4=4（a2-1）=4（a+1）（a-1）． 故选A． 【点睛】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确运用公式是解题关键． 6. 方程组的解满足的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两式相加得到x，代入②得到方程组的解，即可得到答案； 【详解】解：两式相加得， ，解得， 将代入②得， ， ∴，，， 故选B； 【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是正确解出方程组的解在代入代数式判断． 7. 如图，线段上有C、D两点，且，C是的中点，若，则线段的长为（ ） A. 15 B. 10 C. 5 D. 2.5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，先由线段之间的关系得到，再由线段中点的定义可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵C是的中点， ∴， 故选：D． 8. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”译文：今有优质酒1斗的价格是50钱，普通酒1斗的价格是10钱，现在买了两种酒2斗，共付30钱．问优质酒、普通酒各买多少斗？ 如果设买优质酒x斗，普通酒y斗，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】买优质酒斗，买普通酒斗，根据今有优质酒1斗的价格是50钱，普通酒1斗的价格是10钱，现在买了两种酒2斗，共付30钱的题意，列出方程组． 【详解】解：设买优质酒斗，买普通酒斗， 依据题意得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题列出二元一次方程组，解题的关键是：读懂题意，设出未知数、找出合适的等量关系、列出方程组． 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9. x的2倍与5的差大于13，用不等式表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列不等式，根据“x的2倍与5的差大于13”进行列式，即可作答． 【详解】解：∵x的2倍与5的差大于13， ∴用不等式表示为， 故答案为：． 10. 如果把方程改写成用含的代数式表示的形式，那么__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次的方程消元法，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．移项即可得出答案. 【详解】解：， 移项，得：， 故答案为：． 11. 如果是关于x，y的方程的解，那么 ______． 【答案】2 【解析】 【分析】把代入，即可求解． 【详解】解：∵是关于x，y的方程的解， ∴，解得：a=2， 故答案是：2． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，掌握方程的解的定义，是解题的关键． 12. 分解因式：m2n﹣2mn+n= ． 【答案】n（m﹣1）2． 【解析】 【分析】先提取公因式n后，再利用完全平方公式分解即可 【详解】m2n﹣2mn+n=n（m2﹣2m+1）=n（m﹣1）2． 故答案为n（m﹣1）2． 13. 下列多项式：①；②；③．分解因式后结果含有相同因式的是______． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】此题考查了公式法分解因式，熟练应用公式法分解因式是解题关键． ①利用平方差公式进行分解即可；②直接利用完全平方公式分解因式即可；③首先提取“”，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：① ； ② ； ③ ∴结果含有相同因式的是①③ 故答案为：①③． 14. 若关于x的不等式组有且只有2个整数解，则m的取值范围是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，先求出，则，再结合关于x的不等式组有且只有2个整数解，故，即可作答． 【详解】解：解不等式，得 ∴关于x的不等式组的解集是， ∵关于x的不等式组有且只有2个整数解， ∴． 故答案为： 15. 综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： 以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有______（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式以及等面积法是解题的关键． 用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可． 【详解】解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图②可以验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的有①②③， 故答案为：①②③． 16. 某工厂用甲、乙两种原料制作，，三种型号的工艺品，三种型号工艺品的重量及所含甲、乙两种原料的重量如下： 工艺品型号 含甲种原料的重量 含乙种原料的重量 工艺品的重量 A 3 4 7 B 3 2 5 C 2 3 5 现要用甲、乙两种原料共，制作5个工艺品，且每种型号至少制作1个． （1）若原料恰好全部用完，则制作型工艺品的个数为__________个； （2）若使用甲种原料不超过，同时使用乙种原料最多，则制作方案中，，三种型号的工艺品的个数依次为__________． 【答案】 ①. 3 ②. 2，1，2 【解析】 【分析】（1）设制作A、B、C三种类型的工艺品分别为x个，y个，z个，根据题意列出方程组求解即可； （2）设制作A、B、C三种类型的工艺品分别为a个，b个，c个，根据题意推出，再由使用乙种原料最多，则A、C的个数要尽可能的多，B的个数要尽可能的少，即可得到． 【详解】解：（1）设制作A、B、C三种类型的工艺品分别为x个，y个，z个， 由题意得，， 解得， ∴制作型工艺品的个数为3个， 故答案为：3； （2）设制作A、B、C三种类型的工艺品分别为a个，b个，c个， 由题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∵使用乙种原料最多， ∴最大， ∴A的个数要尽可能的多，C的个数次之，B的个数要尽可能的少， ∴取，，． 故答案为：2，1，2． 三、解答题（本题共68分，第17、18、20、21、23题，每小题6分，第19题16分，第22题6分，第24-26题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17. 解不等式组并写出这个不等式组的所有整数解． 【答案】； 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出答案即可． 【详解】解： ∵由①，得， 由②，得， ∴原不等式组的解集为：， ∴原不等式组的所有整数解为：0，1，2． 【点睛】本题考查的知识点是解一元一次不等式组及求其整数解，解决此类问题的关键是正确解得一元一次不等式组的解集． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】利用加减消元法求出方程组的解即可． 【详解】， ①×4+②得：11x＝22， 解得：x＝2， 把x＝2代入①得：y＝1， 则方程组的解为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法与代入消元法是求解的关键. 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，幂的运算，掌握相关运算法则和乘法公文是解题的关键． （1）根据积的乘方运算法则，幂的乘方，同底数幂的乘法镜像计算即可； （2）根据多项式乘以多项式进行计算即可； （3）根据完全平方公式和单项式乘以多项式进行计算即可； （4）根据多项式除以单项式进行计算即可． 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】        【小问3详解】 原式 【小问4详解】 原式． 20. 已知，求代数式的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据整式的混合运算化简原式，再将整理为，代入即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 21. 每年的4月23日是世界读书日.某校计划购入，两种规格的书柜用于放置图书．经市场调查发现，若购买种书柜3个，种书柜2个，共需资金1020元；若购买种书柜1个，种书柜3个，共需资金900元． （1）、两种规格的书柜的单价分别是多少？ （2）若该校计划购买这两种规格的书柜共20个，学校至多投入4350元的资金购买书柜，则种书柜最多可以购买多少个？ 【答案】（1）A种书柜的单价熟练掌握180元，B种书柜的单价是240元 （2）B种书柜最多可以买12个 【解析】 【分析】（1）设A种书柜的单价是x元，B种书柜的单价是y元，根据“购买A种书柜3个、B种书柜2个，共需资金1020元；购买A种书柜5个、B种书柜3个，共需资金1620元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设A种书柜可以买m个，则B种书柜可以买（20﹣m）个，根据学校至多有4350元的资金，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可求解． 【小问1详解】 解：设A种书柜的单价是x元，B种书柜的单价是y元，依题意得： ， 解得， 答：A种书柜的单价是180元，B种书柜的单价是240元； 【小问2详解】 设A种书柜可以买m个，则B种书柜可以买（20﹣m）个，依题意得： 180m+240（20﹣m）≤4350， 解得：m≥7.5， 则20﹣m≤12.5， ∵m为整数， ∴B种书柜最多可以买12个． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 22. 已知关于x、y的方程组 （1）请写出的所有正整数解； （2）若方程组的解满足，求m的值； （3）如果方程组有正整数解，求整数m的值． 【答案】（1）， （2） （3）整数的值为 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把看作已知数表示出，进而确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出与的值，进而求出的值； （3）根据方程组有正整数解，根据（1）的结论代入第二个方程，确定出整数的值即可． 【小问1详解】 解：方程， 解得：， 当时，； 当，； 即方程的正整数的解为，； 【小问2详解】 解：联立得， 解得， 代入得：， 解得； 【小问3详解】 解：∵方程组有正整数解，由（1）可得，； 代入得， 或 解得：（舍去）或 综上所述，整数的值为． 23. 如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“聪明数”，比如，，，则说明4，12，20都是“聪明数” （1）24是“聪明数”吗？36是“聪明数”吗？为什么？ （2）试说明所有的“聪明数”都不可能是8的倍数． （3）是否存在两个连续的奇数，它们的平方差是“聪明数”？为什么？ 【答案】（1）24不是“聪明数”；是“聪明数” （2） 设两个连续偶数为，，则， ∵是奇数， ∴不是8的倍数．即所有的“聪明数”都不是8的倍数． （3） 解：设两个连续奇数为  和， 其平方差为： 由（2）可得，所有的“聪明数”都不是8的倍数． ∴不存在两个连续的奇数，它们的平方差是“聪明数”． 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的运算，有理数的混合运算； （1）根据定义，进行判断，即可求解； （2）设两个连续偶数为，，根据平方差公式进行计算即可求解； （3）设两个连续奇数为  和，计算它们的平方差得出结果为，根据（2）即可说明不存在的理由． 【小问1详解】 解：∵， ∴24不是“聪明数” ∵ ∴是“聪明数” 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 学习完整式除法运算之后，小明对多项式除以多项式进行了自主探究，他知道：两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法，于是他将多项式除以多项式类比多位数的除法进行了探究，如图1： 小华同学根据小明的探究设计了多项式除以多项式的计算步骤的流程图，如下： 说明： 当时， （1）根据小明的探究过程，小华的计算流程图中①处应填______； （2）多项式除以多项式，所得的商式为______； （3）已知能被整除，则______； （4）如图2，有1张A卡片，9张B卡片，8张C卡片，能否将这18片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）当余式的次数低于除式的次数 （2） （3）3 （4）能，另一边长为 【解析】 【分析】本题考查了利用竖式计算整式的除法，解题关键是注意同类项的对应，理解被除式除式商式余式． （1）结合列竖式计算整数的除法即可得到结论； （2）列竖式进行计算即可得到答案； （3）列竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数即可得到答案； （4）根据题意，得到18张卡片的总面积为，列竖式计算，根据能被整除，即可得到答案． 【小问1详解】 解：余式的次数满足：当余式的次数低于除式的次数， 故答案为：当余式的次数低于除式的次数； 【小问2详解】 解：列竖式如下： 多项式除以多项式，所得的商式为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：列竖式如下： 能被整除， ， 解得：， 故答案为：； 【小问4详解】 解：能，理由如下： 根据题意，卡片的面积是，卡片的面积是，卡片的面积是， 张卡片，9张卡片，8张卡片的总面积为， 列竖式如下： 余式为， 能被整除，商式为， 可以拼成与原来总面积相等且一边长为的长方形，另一边长为． 25. 如图，点是直线上的一点，将一直角三角板如图摆放，过点作射线平分. （1）如图1，如果，依题意补全图形，求度数； （2）当直角三角板绕点顺时针旋转一定的角度得到图2，使得直角边在直线的上方，若，其他条件不变，请你直接用含的代数式表示的度数为 ； （3）当直角三角板绕点继续顺时针旋转一周，回到图1的位置，在旋转过程中你发现与之间有怎样的数量关系？请直接写出你的发现： . 【答案】 （1）补全图形： ； （2）； （3）；. 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作法作出OE平分∠BOC，先根据平角的定义求出∠BOC，再根据角平分线的定义求出∠COE，再根据直角的定义即可求解； （2）先根据平角的定义求出∠BOC，再根据角平分线的定义求出∠COE，再根据直角的定义即可求解； （3）分两种情况：0°≤∠AOC≤180°，0°≤∠DOE≤180°，可求∠AOC与∠DOE之间的数量关系． 【详解】（1）解：因为 所以 因为平分， 所以； 由直角三角板，得； 因为； 所以； （2）∵由∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC=α， ∴∠BOC=180°-α； ∵OE平分∠BOC， ∴∠COE=90°-α； ∵直角三角板， ∴∠COD=90°； ∵∠COD=90°，∠COE=90°-α， ∴∠DOE=； （3）①0°≤∠AOC≤180°时， ∵由∠AOC+∠BOC=180°， ∴∠BOC=180°-∠AOC； ∵OE平分∠BOC， ∴∠COE=90°-∠AOC； ∵直角三角板， ∴∠COD=90°； ∵∠COD=90°，∠COE=90°-∠AOC， ∴∠DOE=∠AOC； ②0°≤∠DOE≤180°时， ∵由∠AOC+∠BOC=180°， ∴∠BOC=180°-∠AOC； ∵OE平分∠BOC， ∴∠COE=∠BOC=90°-∠AOC； ∵直角三角板， ∴∠COD=90°； ∴∠DOE=90°+∠COE =180°-∠AOC； ∴∠DOE=∠AOC（0°≤∠AOC≤180°），∠DOE=180°−∠AOC（0°≤∠DOE≤180°）． 【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，角的计算，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键． 26. 不妨约定：关于的二元一次方程， 若系数满足，则称这个方程为“开心”方程．例如：方程，其中，满足，且，则方程是“开心”方程，由两个“开心”方程组成的方程组称作“开心”方程组．根据上述规定，回答下列问题： （1）判断以下方程是不是“开心”方程（填“是”或“不是”）； ① ；②______．③______； （2）若关于的“开心”方程组的解为，求的值． （3）关于的“开心”方程组满足，其中为整数，为常数且，求的值，并求此“开心方程组”的解． 【答案】（1）①不是；②是；③不是； （2）有． （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组： （1）根据“开心”方程的定义求解即可； （2）解方程组得，代入原方程组得，求出； （3）根据“开心”方程的定义将方程组整理为，解得，由求得，得到代入原方程可求解， 【小问1详解】 解：对于方程，， ∵, ∴方程不是开心方程； 对于方程，， ∵ ∴方程是开心方程； 对于方程，，所以，方程不是开心方程； 故答案为：不是，是，不是 【小问2详解】 解：由题意可知：， 解得：， 将代回原方程组得： 由①＋②得：， ∵， ∴有． 【小问3详解】 解：由题可知： 化简可得：． 解得， ∵， ∴， 解得， ∵m为整数， ∴或2 根据新定义，所以舍去1，则 ∴， 代入原方程得：， 消去y化简可得； ∵， 所以：“开心方程组”的解为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $