第五章 图形的轴对称能力提升自测卷-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（北师大版）

**基本信息** 本章为初中数学“图形的轴对称”单元复习卷，通过选择、填空、解答题（10/4/7题，30/12/58分）覆盖对称轴、尺规作图、折叠等核心知识，突出几何直观与推理能力，适配单元能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|对称轴条数（1）、反射定律（3）、折叠计算（8）|结合台球运动（3）、纸带折叠（8）等情境，梯度从基础判断到动态推理| |填空题|4/12|中垂线作图（11）、最短路径（14）|以枕木固定（12）、台球反弹（13）为背景，渗透空间观念| |解答题|7/58|网格对称作图（15）、角平分线应用（19）、折叠探究（21）|设置折纸操作（21）、面积比探究（20）等综合题，培养创新意识与推理能力|

第五章 图形的轴对称能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列图形中，有3条对称轴的是（　　） A． B． C． D． 2．下列图形中是轴对称图形且对称轴条数最多的是（    ） A．等腰三角形 B．正方形 C．正五边形 D．圆 3．如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时 ，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 4．如图，已知线段，利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A和点B为圆心，以一定长度m为半径作弧，两弧相交于点C和点D；②作直线，直线就是线段的垂直平分线．下列各数中，m的值可能是（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 5．如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，平分交于点，过点作于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，P是外一点，D，E分别是两边上的点，点P关于的对称点恰好落在线段上，点P关于的对称点恰好落在的延长线上．若，，，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．7 D．12 8．如图，图a是一长方形纸带，，先将纸带沿折叠，得到平面图形如图b，再将纸带位于下方部分沿折叠，得到平面图形如图c，则图c中的的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，已知，以下是小聪通过尺规作图解决问题的部分过程： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F； ②以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于点M； ③作射线，与延长线父于点P，点D为延长线上一点． 根据以上作法，下列结论不成立的是（ ） A． B． C． D． 10．如图，在锐角中，，，为上一动点，将，分别沿，向外翻折，得到，，连接，当 面积的最小值为8时，则的面积为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，点，过这两个点作直线，交于点，连接．若，，则的长为_____． 12．如图，从枕木的端点往铁轨拉两条长度相等的固定绳与，当固定点到枕木的端点的距离相等，且在同一直线上时，枕木就垂直于铁轨．其依据是______． 13．一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹而滚向桌边，碰到上的点便反弹而滚入点，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为______． 14．如图，在中，，，的面积为6，D、E、F分别是、、边上的动点，连接，，，则的最小值是______． 三．解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，线段的端点都是格点． (1)作关于直线对称的； (2)求出的面积． 16．（8分）如图，点A、D、C、F在一条直线上，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 17．（8分）如图，已知：，点D在边上，且． (1)求证：； (2)如果O为中点，，求的度数． 18．（8分）如图，已知：． (1)用尺规作图作出它的一条角平分线（要求清楚保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，，，记，的面积分别为和，求的值． 19．（8分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB；垂足为E．求证： (1)CD=BE． (2) 20．（8分）【感知】如图①，是的平分线，点是上任一点，作， ．垂足分别为和．易知；由此可得角平分线的性质定理： ， 【探究】如图②， 在中，是它的角平分线． 若．求与的面积比；(写出完整的推理过程) 【应用】如图③、的周长是．分别平分和．于点． 若， 则的面积为 ． 21．（10分）在学习“图形的认识”一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【操作1】将长方形纸片的一角向长方形内部折叠，使角的顶点A落在点处，为折痕，如图1； 【操作2】在图1条件下，点F是线段上一点，角顶点B沿线段折叠，点B落在点处，且点在长方形内． 【任务】 (1)在图1中，若，求的度数； (2)在操作2中，当点刚好落在线段上时，如图2，求的度数； (3)在操作2中；当点不在线段上时，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 图形的轴对称能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列图形中，有3条对称轴的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项A有3条对称轴，选项B不是轴对称图形；选项C有6条对称轴；选项D有5条对称轴．故有3条对称轴的是A选项的图形． 2．下列图形中是轴对称图形且对称轴条数最多的是（    ） A．等腰三角形 B．正方形 C．正五边形 D．圆 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形的对称轴条数，需明确各选项图形的对称轴数量，再通过比较得出结果． 【详解】解：∵等腰三角形有1条对称轴，正方形有4条对称轴，正五边形有5条对称轴，圆有无数条对称轴． 又∵无数条5条4条1条， ∴对称轴条数最多的是圆， 故选：D． 3．如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时 ，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，结合求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 4．如图，已知线段，利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A和点B为圆心，以一定长度m为半径作弧，两弧相交于点C和点D；②作直线，直线就是线段的垂直平分线．下列各数中，m的值可能是（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】D 【分析】利用基本作图得到，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：根据题意得， 即， 故选项D符合题意． 5．如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D， ∴，，， ∴， 根据现有条件无法得到， ∴四个选项中只有A选项符合题意． 6．如图，在中，平分交于点，过点作于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到，再由求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， 故选：A． 7．如图，P是外一点，D，E分别是两边上的点，点P关于的对称点恰好落在线段上，点P关于的对称点恰好落在的延长线上．若，，，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．7 D．12 【答案】B 【分析】此题主要考查了轴对称图形的性质，利用轴对称图形的性质得出，进而得出，即可得出结果． 【详解】解：∵点P关于的对称点恰好落在线段上，点P关于的对称点恰好落在的延长线上， ， ， ， ， ， 故选：． 8．如图，图a是一长方形纸带，，先将纸带沿折叠，得到平面图形如图b，再将纸带位于下方部分沿折叠，得到平面图形如图c，则图c中的的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质求出的度数，再根据折叠的性质得出每次折叠后角度的变化，最后通过角度的和差关系求出的度数． 【详解】解：在图中， ， ， ， 由第一次折叠（沿）可知，图中， 图中下方的， 由第二次折叠（沿）可知，图中上方的， 图中． 9．如图，已知，以下是小聪通过尺规作图解决问题的部分过程： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F； ②以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于点M； ③作射线，与延长线父于点P，点D为延长线上一点． 根据以上作法，下列结论不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图-基本作图，三角形全等的判定，角平分线性质定理，运用相关知识逐项判断即可． 【详解】解：连接，过点作于点，于点， 由作图得，， 又， ∴， ∴， ∴， 故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故选项B正确，不符合题意； 无法判断， 故选项C符合题意； ∵，，， ∴， 又， ∴， 故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 10．如图，在锐角中，，，为上一动点，将，分别沿，向外翻折，得到，，连接，当 面积的最小值为8时，则的面积为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的折叠问题，全等三角形的性质和三角形的最小面积，解题的关键是弄清楚什么时候三角形的面积最小． 由将，分别沿，向外翻折至，可得：，由，得，面积，当取最小值时面积的最小即可求解． 【详解】解： ，分别沿，向外翻折至，， ，， ，，， ， ， 面积， 当取最小值时，的面积最小， 在中，当为边的高，即垂直时，最小， 此时，面积的最小值为：， 解得：， ， 故选：D． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，点，过这两个点作直线，交于点，连接．若，，则的长为_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、尺规作图等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 首先求出，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴． 故答案为：4． 12．如图，从枕木的端点往铁轨拉两条长度相等的固定绳与，当固定点到枕木的端点的距离相等，且在同一直线上时，枕木就垂直于铁轨．其依据是______． 【答案】等腰三角形的三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形“三线合一”的性质，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”． 故答案为：等腰三角形的“三线合一”． 13．一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹而滚向桌边，碰到上的点便反弹而滚入点，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】根据角平分线的定义可得，，根据平行线的性质可得，最后由垂直的概念可得答案． 【详解】解：， ， 平分，平分， ，， 由题意可知：， ， ， ， ， ． 14．如图，在中，，，的面积为6，D、E、F分别是、、边上的动点，连接，，，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-路径最短问题，垂线段最短，两点之间，线段最短，如图，作D关于直线的对称点M，作D关于直线的对称点N，连接， ，推出，可得M、C、N共线，由，，可知F、E、M、N共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】解：如图，作D关于直线的对称点M，作D关于直线的对称点N，连接， ，    ∵，，， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当F、E、M、N共线时，且时，的值最小，最小值， ∵， ∴， ∵，的面积为6， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 三．解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，线段的端点都是格点． (1)作关于直线对称的； (2)求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质找到A、B、C的对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：的面积为： ； 16．（8分）如图，点A、D、C、F在一条直线上，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明，再利用即可证明； （2）由等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，再由全等三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 17．（8分）如图，已知：，点D在边上，且． (1)求证：； (2)如果O为中点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据角的和差运算得到，结合已知条件即可利用证得结论； （2）根据全等三角形对应边和对应角相等，可知为等腰三角形，然后根据等边对等角、三线合一以及三角形内角和定理，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵O点为中点， ∴． 18．（8分）如图，已知：． (1)用尺规作图作出它的一条角平分线（要求清楚保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，，，记，的面积分别为和，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的尺规作图，熟知角平分线的性质及其尺规作图方法是解题的关键． （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）设点D到的距离为h，根据角平分线的性质可得点D到的距离为h，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：设点D到的距离为h， ∵平分， ∴点D到的距离等于点D到的距离， ∴点D到的距离为h， ∴． 19．（8分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB；垂足为E．求证： (1)CD=BE． (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先根据题意判断出△ABC是等腰直角三角形，故∠B=45°，再由DE⊥AB可知△BDE是等腰直角三角形，故DE=BE，再根据角平分线的性质即可得出结论； （2）先根据HL定理得出Rt△ACD≌Rt△AED，故AE=AC，再由CD=BE可得出结论． 【详解】（1）证明：在中，，， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ． 是的角平分线， ， ． （2）证明：是的角平分线，， ， 在Rt△ACD与Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)， ， 由知， ． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键． 20．（8分）【感知】如图①，是的平分线，点是上任一点，作， ．垂足分别为和．易知；由此可得角平分线的性质定理： ， 【探究】如图②， 在中，是它的角平分线． 若．求与的面积比；(写出完整的推理过程) 【应用】如图③、的周长是．分别平分和．于点． 若， 则的面积为 ． 【答案】（感知）角平分线上的点到两边距离相等 （探究） （应用） 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形面积的计算以及角平分线交点（内心）的性质，解题的关键是灵活运用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，将三角形面积进行分割求解． （感知）根据题意总结即可得角平分线的性质定理． （探究）根据角平分线性质，角平分线上的点到两边距离相等，可知与的高相等，面积比等于底边长的比． （应用）确定点是的内心，内心到三边距离相等，将面积分割为三个小三角形面积之和，利用周长和距离计算总面积． 【详解】解：（感知）根据题意可得角平分线的性质定理：角平分线上的点到两边距离相等， 故答案为：角平分线上的点到两边距离相等． （探究）∵是的角平分线， ∴点到和的距离相等（角平分线性质）． 设点到和的距离为， 则，， ∴， ∵， ∴与的面积比； （应用）∵分别平分和， ∴点是的内心，内心到三边的距离相等， ∵，， ∴点到、的距离也为3， 的面积可分割为、、的面积之和（如图）， 即， ∴ ， ∵的周长是，即， ∴． 故答案为：． 21．（10分）在学习“图形的认识”一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【操作1】将长方形纸片的一角向长方形内部折叠，使角的顶点A落在点处，为折痕，如图1； 【操作2】在图1条件下，点F是线段上一点，角顶点B沿线段折叠，点B落在点处，且点在长方形内． 【任务】 (1)在图1中，若，求的度数； (2)在操作2中，当点刚好落在线段上时，如图2，求的度数； (3)在操作2中；当点不在线段上时，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或，详见解析 【分析】本题主要考查折叠问题，熟练掌握图形折叠前后对应角相等，对应线段相等是解题的关键． （1）由折叠的性质得，进而可得，再根据平角的定义求解； （2）由折叠的性质得，，再根据，可得； （3）分点在点的左侧、右侧两种情况，结合折叠的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：由折叠性质可知：， ∵， ∴， ∴； （2）解：由折叠性质可知：，， ∵， ∴ ， 即； （3）解：，，之间的数量关系为：或 理由：由折叠性质可知：，， ①当点在点的左侧时，如图3， ， ∴， ∴； ②当点在点的右侧时，如图4， ， ∴， ∴， 综上所述，，，之间的数量关系为：或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $