第四章 三角形能力提升自测卷-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（北师大版）

第四章 三角形能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，下列三角形中，与全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形全等的判定定理，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：题干的：三边长分别为、、， ∵三角形要全等对应边必须相等， ∴只有C项与的各边都相等． 2．以下生活现象利用四边形的不稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、木窗框与对角钉的木条形成的三角形，三边和三角固定，防止安装变形，是利用三角形的稳定性，不符合题意； B、活动梯子，张开的梯腿与地面形成三角形，三边和三角固定，防止登上梯子变形，是利用三角形的稳定性，不符合题意； C、伸缩门的结构是平行四边形，四角活动可以变形开关门，是利用四边形的不稳定性，符合题意； D、使用梯子的过程中，墙壁、地面和梯子形成三角形，三边和三角固定，防止登上梯子变形，是利用三角形的稳定性，不符合题意． 3．如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，要使，需要增加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用全等三角形的判定定理可求解． 【详解】解：∵， ∴， A、当时，不能判定，故A不符合题意； B、当时，∵， ∴， ∴能判定，故B符合题意； C、当时，不能判定，故C不符合题意； D、当时，不能判定，故D不符合题意； 4．已知三角形两条边的长度分别是5和7，那么第三边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形三边的不等关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求出第三边的取值范围． 【详解】解：∵两边长分别为5和7，第三边为a， ∴，即． 5．已知一个等腰三角形两边的长分别为6和4，那么它的周长是（    ） A．16 B．14 C．10或16 D．16或14 【答案】D 【分析】分情况讨论腰长，验证三边能否构成三角形后计算周长． 【详解】解：∵等腰三角形的两边长为6和4， ∴分两种情况分析： ①当腰长为6，底边长为4时， ∵，满足三角形两边之和大于第三边的关系， ∴周长为； ②当腰长为4，底边长为6时， ∵，满足三角形两边之和大于第三边的关系， ∴周长为； ∴该等腰三角形的周长为16或14． 6．如图，小华将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为，即，．测得，两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上、两点之间的距离．图中与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由即可判定求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：在与， ∵， ∴， ∴， ∴与全等的依据是， 故选：． 7．如图，在中，于点D、E是上一点，若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握相关知识点是解题的关键． 根据全等三角形的性质，可得，再根据周长为，即可求解． 【详解】解：， ， ， 则的周长为． 故选：D． 8．如图，在中，，，，点D是边上一动点(不与点A，C重合)，过点D作，分别交于点E，F．则的值为（   ） A．2.4 B．4.8 C．6 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的面积等知识．根据，，，列出等式，由此即可解决问题． 【详解】解：连接， ，，， ，则， 则， 故选：B． 9．如图，已知线段米，于点，米，于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为（   ） A． B．5或10 C．10 D．或10 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意，分类讨论：当时，，；当时，，；由全等三角形性质计算的值是否符合题意，即可求解． 【详解】解：点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后， ∴米，米， ∴（米）， 当时，，， ∴， 解得，， 此时，不符合题意，舍去； 当时，，， ∴， 解得，， 此时，符合题意； 综上所述，与全等，的值为， 故选：A ． 10．如图，在和中，，，，，连接，交于点，与相交于，与相交于，连接．则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由证明得出，则①②正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得，得出，则③正确；作于，于，则，由证明，得出，由角平分线的判定得出平分，假设，证明，可得到，从而得到，与矛盾，则④错误． 【详解】解：， ∴，即， 在和中， ， ，则①正确； ，，，则②正确； 由三角形的外角性质得：， ，则③正确； 如图，作于，于，则， 在和中， ， ， ，， 平分，即， ， ∴， 假设， ， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，即，与矛盾， 则假设不成立，则④错误； 综上，正确的结论有①②③． 二．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．如图，已知，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，若，则的度数为______． 【答案】/26度 【分析】连接，结合作图过程证明，再利用全等三角形性质分析求解，即可解题． 【详解】解：连接， 由作图过程可知，， 又， ， ， ． 12．如图，在中，，，则________． 【答案】 【分析】利用证明得到，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 13．如图，在中，平分，过点A作，交的延长线于点E，若，则的长为_____ ． 【答案】8 【分析】延长交于点F，证明，得，再证明，得，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 14．如图，在四边形中，，分别是上的点，连接，若，则的长为________． 【答案】6 【分析】通过延长线段构造全等三角形，将所求的线段转化到与已知线段、相关的线段上，进而求出的长度． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 三．解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）如图，点在线段上（点在点左侧），，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．利用全等三角形的判定定理“”证得；然后由全等三角形的对应角相等证得． 【详解】证明： ， ， ， 在与中， ， ， ． 16．（8分）商丘的风筝活动丰富多彩，既包括市民在公园休闲放飞，也涵盖学校美育实践和文旅节庆中的非遗展示，体现了风筝文化在日常生活和教育传承中的活力，图1是市民在“商丘好人”主题公园放风筝的图片，图2是风筝骨架的示意图，其中，． (1)求证：； (2)小华发现平分，你觉得他的发现正确吗？请说明理由， 【答案】(1)见解析 (2)正确；理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． （1）利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得，然后根据角平分线定义即可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中， ∴； （2）解：正确，理由： 由（1）得， ∴， 即平分， 所以小华的发现是正确的． 17．（8分）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，则与的周长差为________； (2)若，，求的大小． 【答案】(1)2； (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形中线以及三角形外角： （1）通过中线性质得到线段相等关系，再根据周长公式计算差值； （2）根据已知条件求出相关角度，进而得出所求角的大小． 【详解】（1）解：是的中线， ， 的周长为：，的周长为：， 与的周长差为：． 故答案为：． （2）解：在中，为它的一个外角，且，， ． 是的角平分线， ． ， ， 在中，． ． 18．（8分）在等腰中，，，点在直线上．且于点，于点． (1)当直线处于图1位置时，若，，则___________，___________． (2)当直线处于图1位置时，求证：． (3)当直线处于图2位置时，猜想，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)1，3 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定． （1）根据题意证明出，即可得到，； （2）由（1）得，，进而证明即可； （3）同（1）证明出，得到，，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，； （2）解：由（1）得，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴． 19．（8分）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c为整数，求的周长； (3)直接写出化简结果：________． 【答案】(1)等边三角形 (2)11或12或13 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质即可得出结论； （2）根据三角形的三边关系结合c是整数即可求解； （3）根据三角形的三边关系得出，，，然后化简绝对值，再去括号合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵，， ∴，即， ∵c为整数， ∴， ∴当时，的周长， 当时，的周长， 当时，的周长， ∴的周长是11或12或13． （3）解：∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴，，， ∴原式 ． 20．（8分）如下图，和都是等腰直角三角形，． (1)求证：，． (2)试判断和的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了手拉手模型，熟练掌握手拉手模型的结论是解题的关键； （1）通过证明三角形全等得到线段相等和角的关系，进而证明垂直； （2）作垂线，利用全等三角形面积相等得到线段相等，再根据角平分线的判定证明角相等． 【详解】（1）解：证明：和都是等腰直角三角形，， ，，， ， 即， 在和中， ， ，， ， ． 综上所述，，． （2）解：．证明如下： 过点分别作于点，于点，如图． 由（1）可知，，， ， ． ，， 平分， ． 21．（10分）在等腰中，，点D是边上的一个动点（点D不与点B，C重合），连接，作等腰，使，，点D，E在直线两旁，连接． (1)如图1，当时，直接写出与的位置关系； (2)如图2，当时，过点A作于点F． ①若点F在线段的延长线上时，请你在图2中补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． ②若点F在射线上时，直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①，图形见解析，证明见解析；② 【分析】（1）当时，由，，，易证，可得，进而求出，即可证明； （2）①结论：，由（1）可知，，，可证，可得，即可求解；②画出图形，结论：，同理可得出结论． 【详解】（1）解：当时， ， ， ，，， ，即， ， ， ， ， ； （2）①如图，点F在线段的延长线上时，补全图形如图所示； 结论：， 理由如下：延长到点，使，连接， 由（1）可知：， ，，． ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； ②如图所示，若点F在射线上时，， 在上截取，连接， 由（1）可知：， ，，． ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，下列三角形中，与全等的是（   ） A． B． C． D． 2．以下生活现象利用四边形的不稳定性的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，要使，需要增加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 4．已知三角形两条边的长度分别是5和7，那么第三边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知一个等腰三角形两边的长分别为6和4，那么它的周长是（    ） A．16 B．14 C．10或16 D．16或14 6．如图，小华将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为，即，．测得，两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上、两点之间的距离．图中与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，于点D、E是上一点，若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，点D是边上一动点(不与点A，C重合)，过点D作，分别交于点E，F．则的值为（   ） A．2.4 B．4.8 C．6 D．无法确定 9．如图，已知线段米，于点，米，于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为（   ） A． B．5或10 C．10 D．或10 10．如图，在和中，，，，，连接，交于点，与相交于，与相交于，连接．则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．如图，已知，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，若，则的度数为______． 12．如图，在中，，，则________． 13．如图，在中，平分，过点A作，交的延长线于点E，若，则的长为_____ ． 14．如图，在四边形中，，分别是上的点，连接，若，则的长为________． 三．解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）如图，点在线段上（点在点左侧），，．求证：． 16．（8分）商丘的风筝活动丰富多彩，既包括市民在公园休闲放飞，也涵盖学校美育实践和文旅节庆中的非遗展示，体现了风筝文化在日常生活和教育传承中的活力，图1是市民在“商丘好人”主题公园放风筝的图片，图2是风筝骨架的示意图，其中，． (1)求证：； (2)小华发现平分，你觉得他的发现正确吗？请说明理由， 17．（8分）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，则与的周长差为________； (2)若，，求的大小． 18．（8分）在等腰中，，，点在直线上．且于点，于点． (1)当直线处于图1位置时，若，，则___________，___________． (2)当直线处于图1位置时，求证：． (3)当直线处于图2位置时，猜想，，之间的数量关系，并证明． 19．（8分）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c为整数，求的周长； (3)直接写出化简结果：________． 20．（8分）如下图，和都是等腰直角三角形，． (1)求证：，． (2)试判断和的大小关系，并证明你的结论． 21．（10分）在等腰中，，点D是边上的一个动点（点D不与点B，C重合），连接，作等腰，使，，点D，E在直线两旁，连接． (1)如图1，当时，直接写出与的位置关系； (2)如图2，当时，过点A作于点F． ①若点F在线段的延长线上时，请你在图2中补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． ②若点F在射线上时，直接写出线段，，之间的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $