第5节一元二次方程、不等式课件-2027届高三数学一轮复习

第5节　一元二次方程、不等式 课标解读　1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.2.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式不等式、绝对值不等式的解法. 方程的判别式 Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数的图象       一元二次方程的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 一元二次不等式的解集 {x|x<x1或x>x2} R 1.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0,判别式 Δ=b2-4ac),一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解的对应关系 2.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔　　　　　　　;  (2)≥0(≤0)⇔　　　 　　　　　.  微提醒 分式不等式转化为整式不等式求解,一定要注意原分式的分母不能为0. f(x)g(x)>0(<0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0 3.简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为　　　　　　　　,|x|<a(a>0)的解集为　　　　　　.  常用结论 一元二次不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔ 一元二次不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔ (-∞,-a)∪(a,+∞)　 (-a,a) [自主诊断] 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.(　) (2)若不等式ax2+bx+c>0的解集为(x1,x2),则a<0.(　　) (3)若ax2+bx+c>0恒成立,则a>0且Δ<0.(　　) (4)不等式≥0等价于(x-a)(x-b)≥0.(　　) × 解析 当a<0时,不等式无解. √ × 解析 当a=b=0,c>0时,ax2+bx+c>0恒成立. × 解析 0⇔(x-a)(x-b)≥0且x≠b. 2.(2025·全国2,4)不等式≥2的解集是(　　) A.{x|-2≤x≤1} B.{x|x≤-2} C.{x|-2≤x<1} D.{x|x>1} C 解析 原不等式等价于-2≥0,即0,即0,即(x+2)(x-1)≤0(x≠1),解得-2≤x<1.故选C. 3.(2024·上海,3)设x∈R,则不等式x2-2x-3<0的解集为　　　　　.  (-1,3) 解析 对于方程x2-2x-3=0,可解得其根为x1=-1,x2=3. ∵x2-2x-3<0,∴可作图如下: 由图象可知原不等式的解集为(-1,3). 4.(人B必修一教材习题改编)已知f(x)=x2+ax+b,且f(x)<0的解集是(-3,-1),则实数a=　　　　　,b=　　　　　.  4 3 解析 因为f(x)<0的解集是(-3,-1),所以f(x)=0的两根是-3,-1, 因此-3-1=-a,-3×(-1)=b,从而a=4,b=3. 5.(湘教必修一教材习题)设二次函数y=kx2-kx+. (1)若方程y=0有实根,则实数k的取值范围是　　　 　　.  (2)若不等式y>0的解集为⌀,则实数k的取值范围是　　　　　.  (3)若不等式y>0的解集为R,则实数k的取值范围是　　　　　.  (-∞,0)∪[3,+∞) ⌀ [0,3) 解析 (1)因为方程y=0有实根,故解得k<0或k≥3. (2)因为不等式y>0的解集为⌀,所以解得k∈⌀. (3)因为不等式y>0的解集为R,所以k=0,或故0≤k<3. 考点一　求解一元二次不等式 考向1　不含参数的一元二次不等式 例1　解下列不等式: (1)2x2+5x-3<0; (2)-3x2+6x≤2; (3)4x2+4x+1>0; (4)-x2+6x-10>0. 考点一 考点二 考点三 解 (1)Δ=49>0,方程2x2+5x-3=0的两根为x1=-3,x2=,作出函数y=2x2+5x-3的图象,如图1所示.由图可得原不等式的解集为{x|-3<x<}. (2)原不等式等价于3x2-6x+2≥0,Δ=12>0,解方程3x2-6x+2=0,得x1=,x2=,作出函数y=3x2-6x+2的图象,如图2所示, 由图可得原不等式的解集为{x|x或x}. 图1 图2 考点一 考点二 考点三 (3)因为Δ=0,所以方程4x2+4x+1=0有两个相等的实数根x1=x2=-作出函数y=4x2+4x+1的图象如图3所示.由图可得原不等式的解集为{x|x≠-}. (4)原不等式可化为x2-6x+10<0,因为Δ=-4<0,所以方程x2-6x+10=0无实数根,所以原不等式的解集为⌀. 图3 考点一 考点二 考点三 规律方法　解一元二次不等式的一般步骤 考点一 考点二 考点三 考向2　含参的一元二次不等式 例2　(2025·江西临川模拟)解关于x的不等式(a-1)x2+(2a-1)x+2>0. 解 ①若a=1,不等式为x+2>0,解得x>-2. ②若a>1,由不等式(a-1)x2+(2a-1)x+2>0,可得[(a-1)x+1](x+2)>0,所以(x+2)>0, 当->-2,即a>时,解不等式得x<-2或x>; 当-=-2,即a=时,不等式的解集为{x|x≠-2}; 当-<-2,即1<a<时,解不等式得x<或x>-2. 考点一 考点二 考点三 ③若a<1,由不等式(a-1)x2+(2a-1)x+2>0,可得[(a-1)x+1](x+2)>0, 所以(x+2)<0,解得-2<x<- 综上所述,当a<1时,不等式的解集为;当a=1时,不等式的解集为 (-2,+∞);当1<a<时,不等式的解集为(-2,+∞);当a=时,不等式的解集为{x|x≠-2};当a>时,不等式的解集为(-∞,-2) 考点一 考点二 考点三 规律方法　含参一元二次不等式的解法 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](原创题)设函数g(x)=kx2+(1-k)x+k-2(k∈R). (1)若k=2,求g(x)<0的解集; (2)解关于x的不等式g(x)<k-1. 解 (1)当k=2时,g(x)=2x2-x. 由g(x)=2x2-x<0,得0<x<,所以解集为{x|0<x<}. (2)由g(x)<k-1,得kx2+(1-k)x+k-2<k-1,整理得kx2+(1-k)x-1<0. 当k=0时,不等式化为x-1<0,解集为{x|x<1}. 当k>0时,不等式化为(kx+1)(x-1)<0,-<1,则解集为{x|-<x<1}. 当k<0时,不等式化为(kx+1)(x-1)<0. 若-1<k<0,则->1,解集为{x|x<1或x>-}; 考点一 考点二 考点三 若k=-1,则-=1,解集为{x|x≠1}; 若k<-1,则0<-<1,解集为{x|x<-或x>1}. 综上,当k>0时,解集为{x|-<x<1}; 当k=0时,解集为{x|x<1}; 当-1<k<0时,解集为{x|x<1或x>-}; 当k=-1时,解集为{x|x≠1}; 当k<-1时,解集为{x|x<-或x>1}. 考点一 考点二 考点三 考点二　三个“二次”之间的关系 例3　(多选题)(2026·河北NT20高三联考)已知关于x的不等式ax2-bx+c<0的解集为{x|x>3,或x<-2},则(　　) A.a<0 B.2a+3b+c>0 C.不等式bx2+cx+5a<0的解集为{x| x<-,或x>} D.不等式cx2-bx+a<0的解集为{x|-<x<} ABD 考点一 考点二 考点三 解析 已知关于x的不等式ax2-bx+c<0的解集为{x|x>3,或x<-2},则a<0, b2-4ac>0,=3+(-2)=1,=3×(-2)=-6,解得a<0,b=a,c=-6a,故A正确; 2a+3b+c=2a+3a-6a=-a>0,故B正确; bx2+cx+5a<0⇔ax2-6ax+5a<0⇔x2-6x+5>0⇔x>5或x<1,故C错误; cx2-bx+a<0⇔-6ax2-ax+a<0⇔6x2+x-1<0⇔-<x<,故D正确. 故选ABD. 考点一 考点二 考点三 规律方法　已知一元二次不等式的解集,就能够得到相应的一元二次方程的根,由根与系数的关系,可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负. 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](多选题)(2025·福建南平期中)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的部分图象如图所示,则(　　) A.a+b>0 B.abc>0 C.a-b+c=0 D.不等式bx2-ax-c>0的解集为{x|-2<x<1} BCD 解析 由题设及函数图象知y=a(x+1)(x-2)=a(x2-x-2),且a>0,所以b=-a,c=-2a,则a+b=0,abc=2a3>0,a-b+c=0,故A错误,B,C正确; 因为bx2-ax-c=-ax2-ax+2a>0,所以x2+x-2=(x+2)(x-1)<0,解得-2<x<1,故D正确.故选BCD. 考点一 考点二 考点三 考点三　一元二次不等式恒成立问题 例4　已知函数f(x)=mx2-(m-1)x+m-1. (1)若不等式f(x)<1的解集为R,求m的取值范围; (2)若不等式f(x)≥0对∀x∈[-]恒成立,求m的取值范围; (3)若不等式f(x)>2对∀m∈(0,2)恒成立,求x的取值范围. 考点一 考点二 考点三 解 (1)不等式f(x)<1,即mx2-(m-1)x+m-2<0,当m=0时,x-2<0,解得x<2,不符合题意;当m≠0时,有 解得m<, 综上所述,m的取值范围为(-∞,). 考点一 考点二 考点三 (2)不等式f(x)≥0对∀x∈[-]恒成立,即m(x2-x+1)≥1-x对∀x∈[-]恒成立, 因为x2-x+1=(x-)2+>0, 则不等式等价于m对∀x∈[-]恒成立,由x∈[-],得1-x>0,所以=1,当且仅当 1-x=,即x=0时等号成立,所以m≥1,即m的取值范围是[1,+∞). (3)不等式f(x)>2对∀m∈(0,2)恒成立,即(x2-x+1)m+x-3>0对∀m∈(0,2)恒成立,令h(m)=(x2-x+1)m+x-3,因为x2-x+1>0,所以函数h(m)=(x2-x+1)m+x-3在(0,2)上单调递增,则h(0)=x-3≥0,解得x≥3,所以x的取值范围为[3,+∞). 考点一 考点二 考点三 规律方法　恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数.一般情况下,求谁的范围,谁就是参数. (2)一元二次不等式在R上恒成立,可用判别式Δ;一元二次不等式在给定区间上恒成立,不能用判别式Δ,一般分离参数求最值或分类讨论. 考点一 考点二 考点三 [对点训练3](1)(2025·山东临沂期末)若关于x的不等式mx2-5x+m≤0的解集为R,则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. A 解析 当m=0时,不等式-5x≤0,解得x≥0,不符合题意;当m≠0时,由不等式的解集为R,得m<0,且Δ=(-5)2-4m2≤0,解得m≤-,即m的取值范围为故选A. 考点一 考点二 考点三 (2)若命题“∃a∈[-1,3],ax2-(2a-1)x+3-a<0”为假命题,则实数x的取值范围 为(　　) A.[-1,4] B. C.[-1,0]∪ D.[-1,0)∪ C 解析 因为命题“∃a∈[-1,3],ax2-(2a-1)x+3-a<0”为假命题,所以其否定为真命题,即“∀a∈[-1,3],ax2-(2a-1)x+3-a≥0”为真命题. 令g(a)=ax2-2ax+x+3-a=(x2-2x-1)a+x+3≥0, 则 解得x∈[-1,0]故选C. 考点一 考点二 考点三 (3)(2026·江西丰城模拟)已知函数f(x)=的定义域为R,则实数a的取值范围为(　　) A.(0,2) B.[0,2] C.(0,2] D.[0,2) B 解析 因为函数f(x)的定义域为R, 所以ax2-ax+0对∀x∈R恒成立, 当a=0时,满足题意; 当a≠0时,得解得0<a≤2. 综上所述,a∈[0,2].故选B. 考点一 考点二 考点三 $