第5节　三角函数的图象与性质课件-2027届高三数学一轮复习

第5节　三角函数的图象与性质 课标解读　1.能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象.2.了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性和最大(小)值等性质.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上,正切函数在(-)上的性质. 1.五点法作正弦函数、余弦函数的简图 (1)在正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0). (2)在余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是(0,1),(,0),　　　　　,(,0),(2π,1).  (π,-1) 2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象           定义域 R R {x|x∈R,且x≠kπ+,k∈Z} 值域 ___________  ___________  R 周期性 2π ___________  ___________  奇偶性 ___________  ___________  奇函数 正切函数的图象是由直线x=kπ+(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的 [-1,1] [-1,1] 2π π 奇函数 偶函数 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 单调递 增区间 [2kπ-,2kπ+](k∈Z) _______________  (kπ-,kπ+)(k∈Z) 单调递 减区间 [2kπ+,2kπ+](k∈Z) ________________  — 对称中心 (kπ,0)(k∈Z) (k∈Z) (k∈Z) 对称轴 方程 x=kπ+(k∈Z) x=kπ(k∈Z) — [2kπ-π,2kπ](k∈Z) [2kπ,2kπ+π](k∈Z) 常用结论 熟记与三角函数周期性、对称性、奇偶性有关的常用结论 (1)正弦型曲线、余弦型曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期. (2)若y=Asin(ωx+φ)为偶函数,则φ=kπ+(k∈Z);若为奇函数,则φ=kπ(k∈Z). (3)若y=Acos(ωx+φ)为偶函数,则φ=kπ(k∈Z);若为奇函数,则φ=kπ+(k∈Z). [自主诊断] 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f(x)=sin(-2x)与f(x)=sin 2x的单调递增区间都是[kπ-,kπ+](k∈Z). (　　) (2)函数y=|tan x|与y=tan x的最小正周期都是π.(　　) (3)函数y=sin x图象的对称轴方程为x=2kπ+(k∈Z).(　　) × 解析 f(x)=sin(-2x)=-sin 2x,与y=-sin 2x单调性相反. √ × 解析 对称轴方程为x=kπ+(k∈Z). (4)已知y=ksin x+1,x∈R,则y的最大值为k+1.(　　) (5)函数y=tan x在它的定义域内为增函数.(　　) × 解析 当k>0时,ymax=k+1;当k<0时,ymax=-k+1. × 解析 y=tan x在定义域内不具有单调性. 2.(人A必修一教材例题改编)函数y=2sin(x-)(x∈[-π,0])的单调递增区间 是(　　) A.[-π,-] B.[-,-] C.[-,0] D.[-,0] D 解析 令-+2kπ≤x-+2kπ,k∈Z,得-+2kπ≤x+2kπ,k∈Z.因为x∈[-π,0],所以所求函数的单调递增区间为[-,0].故选D. 3.(2025·全国1,4)已知点(a,0)(a>0)是函数y=2tan(x-)的图象的一个对称中心,则a的最小值为(　　) A.　　　　　B. C. D. B 解析 由题意知,a-,k∈Z,所以a=,k∈Z.又a>0,所以当k=0时,a取最小值.故a的最小值为故选B. 4.(人A必修一教材例题改编)函数f(x)=-2tan(2x+)的定义域是 　 　　　　.  {x|x,k∈Z} 解析 由2x+kπ+,k∈Z,得x,k∈Z. 5.(2024·全国甲,文13)函数f(x)=sin x-cos x在[0,π]上的最大值是　　　　　.  2 解析 f(x)=sin x-cos x=2(sin x-cos x)=2sin(x-),当x∈[0,π]时, x-[-].当x-,即x=时,f(x)max=2. 考点一　三角函数的定义域与值域(最值) 考向1　三角函数的定义域 例1　(1)(2025·浙江宁波期末)函数f(x)=tan 2x的定义域为(　　) A.{x|x≠,k∈Z} B.{x|x≠+kπ,k∈Z} C.{x|x≠,k∈Z} D.{x|x≠+kπ,k∈Z} A 解析 因为2x≠kπ+, 所以x,k∈Z,则函数f(x)=tan 2x的定义域为{x|x,k∈Z}. 故选A. 考点一 考点二 考点三 (2)函数y=的定义域为　　　 　　. [2kπ+,2kπ+](k∈Z) 解析 (方法一)要使函数有意义,必须使sin x-cos x≥0.在同一直角坐标系中画出在[0,2π]内y=sin x和y=cos x的图象,如图所示. 在[0,2π]内,满足sin x=cos x的x为,再结合y=cos x,y=sin x的周期是2π,所以原函数的定义域为[2kπ+,2kπ+](k∈Z). 考点一 考点二 考点三 (方法二)要使函数y=有意义,则sin x-cos x≥0, 即sin(x-)≥0, 即2kπ≤x-2kπ+π(k∈Z), 解得2kπ+x≤2kπ+(k∈Z), 即原函数的定义域为[2kπ+,2kπ+](k∈Z). 考点一 考点二 考点三 规律方法　求三角函数定义域的方法 (1)求三角函数的定义域一般可归结为解不等式; (2)求三角函数的定义域经常借助两个工具:三角函数线和三角函数的图象,有时也利用数轴; (3)对于较为复杂的求三角函数的定义域问题,应先列出不等式(组)分别求解,然后再求交集. 考点一 考点二 考点三 考向2　三角函数的值域 例2　(1)(2025·河南南阳模拟)函数f(x)=2-cos(4x-),x∈(-)的值域 为(　　) A.(,2+) B.(,2+] C.(2-) D.[2-) D 考点一 考点二 考点三 解析 ∵-<x<,∴-<4x<,∴-<4x-,∴-<cos(4x-)≤1, ∴--cos(4x-)<, ∴2-2-cos(4x-)<,即2-f(x)<, ∴函数f(x)=2-cos(4x-),x∈(-)的值域为[2-).故选D. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·云南昆明期末)函数f(x)=sin2x+4cos x(x∈[-]),则f(x)的最小值为　　　　　.  解析 f(x)=sin2x+4cos x=1-cos2x+4cos x=-(cos x-2)2+5.因为x∈[-],所以cos x∈[,1],cos x-2∈[-,-1],f(x)=-(cos x-2)2+5∈[,4],故最小值为 考点一 考点二 考点三 规律方法　求三角函数值域(最值)的几种类型及解法思路 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](1)(2025·浙江杭州模拟)已知函数y=sin(2x-)的定义域为[,a],值域为[-1,],则a的取值范围是(　　) A.[] B.[,π] C.[] D.[,π] A 考点一 考点二 考点三 解析 因为函数y=sin(2x-)的值域为[-1,],所以-1≤sin(2x-)又x∈[,a],所以2x-[,2a-], 根据正弦函数的图象(图略)可知2a-, 解得a, 又a>,所以a, 所以a的取值范围是[]. 故选A. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·上海长宁期中)函数f(x)=2sin xcos x+sin x-cos x,x∈R的值域是　　 　　　.  [-1-] 解析 因为(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x, 设t=sin x-cos x=sin(x-),则t∈[-],且t2=1-2sin xcos x, 所以2sin xcos x=1-t2,则函数f(x)转化为y=1-t2+t=-(t-)2+, 所以函数y=-t2+t+1在区间[-]上单调递增,在区间[]上单调递减, 所以当t=时,y取最大值,即ymax=,当t=-时,y=-1-; 当t=时,y=-1,所以ymin=-1- 因此函数f(x)的值域为[-1-]. 考点一 考点二 考点三 (3)函数y=+lg(tan x+1)的定义域是 　　　　 　.  (2kπ-,2kπ+)∪[2kπ+,2kπ+)(k∈Z) 解析 由题意得 即 如图,得x∈(2kπ-,2kπ+]∪[2kπ+,2kπ+)(k∈Z). 考点一 考点二 考点三 考点二　三角函数的单调性 例3　(1)(2026·湖南益阳模拟)设函数f(x)=cos(-2x),则f(x)在[0,]上的单调递减区间是(　　) A.[0,] B.[0,] C.[] D.[] D 解析 由已知f(x)=cos(-2x)=cos(2x-), 令2kπ≤2x-2kπ+π,k∈Z,则kπ+x≤kπ+,k∈Z, 又x∈[0,],所以f(x)在[0,]上的单调递减区间为[].故选D. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·北京延庆期中)已知a=sin(-),b=sin(-),c=sin,则(　　) A.c>a>b B.b>a>c C.a>b>c D.c>b>a B 解析 a=sin(-)=sin(-+4π)=sin,b=sin(-)=-sin(π+)=sin, c=sin=sin=-sin=sin(-).因为函数y=sin x在(-)上单调递增,所以sin>sin>sin(-),故b>a>c.故选B. 考点一 考点二 考点三 (3)(多选题)(2025·内蒙古鄂尔多斯模拟)已知函数f(x)=tan(x+)在(,m)上单调递增,则m可能的取值为(　　) A. B. C. D. ABC 解析 令kπ-<x+<kπ+(k∈Z),解得x∈(kπ-,kπ+) (k∈Z), 故f(x)=tan(x+)的单调递增区间为(kπ-,kπ+) (k∈Z),令k=1,得一个单调递增区间为(), 要使函数f(x)=tan(x+)在(,m)上单调递增, 故<m,所以满足要求,不合要求.故选ABC. 考点一 考点二 考点三 规律方法　1.已知三角函数解析式求单调区间: 求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,可先借助诱导公式将ω化为正数,防止计算错误. 2.已知三角函数的单调区间求参数: 先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解. 3.比较三角函数值的大小,一般化为同名函数,把角化到同一单调区间内,即可比较. 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](1)(2025·北京海淀期中)下列选项正确的是(　　) A.sin 103°<sin 164° B.cos(-)>cos(-) C.sin 508°<sin 144° D.tan<tan C 考点一 考点二 考点三 解析 因为y=sin x在(,π)上单调递减,所以sin 103°>sin 164°,故A错误; 因为cos(-)=cos,cos(-)=cos,则cos(-)<cos(-),故B错误; 因为sin 508°=sin(360°+148°)=sin 148°,且y=sin x在(,π)上单调递减,得到sin 148°<sin 144°,即sin 508°<sin 144°,故C正确; 由正切函数性质结合诱导公式得tan=tan=tan,tan,所以tan>tan,故D错误.故选C. 考点一 考点二 考点三 (2)(2022·北京,5)已知函数f(x)=cos2x-sin2x,则(　　) A.f(x)在(-,-)上单调递减 B.f(x)在(-)上单调递增 C.f(x)在(0,)上单调递减 D.f(x)在()上单调递增 C 解析 f(x)=cos2x-sin2x=cos 2x,对于选项A,当x∈(-,-)时,2x∈(-π,-),f(x)单调递增,故A错误;对于选项B,当x∈(-)时,2x∈(-),f(x)不单调,故B错误;对于选项C,当x∈(0,)时,2x∈(0,(,f(x)单调递减,故C正确;对于选项D,x∈()时,2x∈(),f(x)不单调,故D错误.故选C. 考点一 考点二 考点三 考点三　三角函数的周期性、奇偶性与对称性 考向1　三角函数的周期性 例4　(1)函数f(x)=cos x+2cosx的一个周期为(　　) A.π B.2π C.3π D.4π D 解析 易知y=cos x,y=2cosx的最小正周期分别为2π,4π,则2π,4π的公倍数4π是f(x)的一个周期.故选D. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·安徽蚌埠期末)下列函数中,最小正周期为π的偶函数是(　　) A.y=cos x B.y=sin 2x C.y=|cos x| D.y=tan|x| C 考点一 考点二 考点三 解析 y=cos x的最小正周期为2π,不合题意,故A错误; y=sin 2x是奇函数,不合题意,故B错误; 作出函数y=|cos x|的图象如图所示: 由图可知,函数y=|cos x|是最小正周期为π的偶函数,故C正确; 设f(x)=tan|x|,因为f(-)=tan=tan=1,f()=tan=tan=-1, 所以f(-)≠f(),所以π不是f(x)=tan|x|的周期,故D错误. 考点一 考点二 考点三 (3)(2024·北京,6)已知f(x)=sin ωx(ω>0),f(x1)=-1,f(x2)=1,|x1-x2|min=,则ω=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 B 解析 ∵f(x)在x1,x2处分别取得最小值与最大值,|x1-x2|min=, ∴最小正周期为2=π,∴ω==2.故选B. 考点一 考点二 考点三 规律方法　 考点一 考点二 考点三 [对点训练3](1)(2025·甘肃白银期末)函数y=sin 3x-cos 3x的图象的相邻两条对称轴之间的距离为(　　) A. B. C. D.π B 解析 因为函数y=sin 3x-cos 3x=2sin(3x-)的最小正周期T=,所以函数y=2sin(3x-)的图象相邻两条对称轴之间的距离为故选B. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·上海杨浦模拟)设常数k≠0,已知函数y=tan(kx+)的最小正周期为12,则cos(k+)的值为　　 　　　.  解析 由最小正周期T==12,得k=±当k=时,cos()=-sin =-sin()=-sincos+cossin;当k=-时,cos(-) =-sin(-)=sin=sin()=sincos-cossin 考点一 考点二 考点三 考向2　三角函数的奇偶性 例5　(1)(2025·江苏镇江模拟)若函数f(x)=cos(2x+φ+),φ∈R为奇函数,则下列能满足条件的φ的取值为(　　) A.- B.- C. D. C 解析 由题得φ+=kπ+,k∈Z,则φ=kπ+,k∈Z,显然当k=0时,φ=,而φ=-, -均不可能取到.故选C. 考点一 考点二 考点三 (2)已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x,若函数y=f(x+θ)为偶函数,则θ的最大负值是　　　　　.  - 解析 由f(x)=sin(2x+), 则f(x+θ)=sin(2x++2θ), 由函数y=f(x+θ)为偶函数,则y轴为该函数图象的对称轴,即+2θ=+kπ,k∈Z,化简可得θ=,k∈Z, 当k=-1时,θ取得最大负值- 考点一 考点二 考点三 规律方法　三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acos ωx的形式. 考点一 考点二 考点三 [对点训练4](2025·重庆沙坪坝模拟)若函数f(x)=3tan(2x++φ)(φ>0)为奇函数,则φ的最小值为　　　　　.  解析 因为函数f(x)=3tan(2x++φ) (φ>0)为奇函数,所以由f(-x)=-f(x)得,3tan(-2x++φ)=-3tan(2x++φ),即tan(2x--φ)=tan(2x++φ), 所以2x--φ=2x++φ+kπ(k∈Z),解得φ=-(k∈Z),因为φ>0,取k=-1,得φ=,所以φ的最小值为 考点一 考点二 考点三 考向3　三角函数的对称性 例6　(1)(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知函数f(x)=sin xcos x+cos2x,则函数f(x)图象的一条对称轴可以是(　　) A.x=- B.() C.y= D.x= D 解析 因为f(x)=sin xcos x+cos2x=sin 2x+cos 2x+=sin(2x+)+, 所以f(x)图象的对称轴方程为2x++kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z. 令k=0,则对称轴为直线x=故选D. 考点一 考点二 考点三 (2)(2022·新高考Ⅰ,6)记函数f(x)=sin+b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π,且y=f(x)的图象关于点中心对称,则f=(　　) A.1 B. C. D.3 A 考点一 考点二 考点三 解析 ∵y=f(x)的图象关于点中心对称,∴b=2,且sin=0, +=kπ,k∈Z,解得ω=,k∈Z.∵T=,ω>0,<T<π, <π,∴2<ω<3. ∴当k=4时,ω=符合题意. 故f(x)=sin+2. ∴f=sin+2=1. 故选A. 考点一 考点二 考点三 规律方法　对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)(或f(x)=Acos(ωx+φ))形式的函数,如果求f(x)图象的对称轴,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z)(或令ωx+φ=kπ(k∈Z)),求x即可;如果求f(x)图象的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)(或令ωx+φ=+kπ(k∈Z)),求x即可.对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数,如果求f(x)图象的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=(k∈Z),求x即可. 考点一 考点二 考点三 [对点训练5](2026·安徽合肥模拟)若点(a,0)是函数y=2sin(2x+)的图象的一个对称中心,则|a|的最小值为　　　　　.  解析 ∵正弦函数y=sin θ图象的对称中心为(kπ,0),k∈Z,(a,0)是函数y=2sin(2x+)的图象的一个对称中心,∴2a+=kπ,k∈Z,解得a=-, k ∈Z,∴|a|的最小值为 考点一 考点二 考点三 $