专题09-2 离散型随机变量的方差7种常见考法归类讲义（40题）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册题型归纳与解题策略

【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 专题09-2 离散型随机变量的方差7种常见考法归类（40题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 求离散型随机变量的方差、标准差 考点二 两点分布的方差 考点三 离散型随机变量方差的性质 考点四 由离散型随机变量的方差求参数 考点五 离散型随机变量方差的最值（范围）问题 考点六 方差的期望表示 考点七 方差的实际应用 知识点1 离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X的分布列如表所示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 我们用X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度．我们称则称为随机变量X的方差(variance)，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差(standard deviation)，记为σ(X)． 注：离散型随机变量的方差的深层理解 ①离散型随机变量的方差是个数值，是随机变量的一个重要特征数. 描述了()相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均值，刻画了随机变量的取值与其均值的平均偏离程度.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定性和波动、集中与离散程度，越大，表明平均偏离程度越大，的取值越分散；反之，越小，的取值越集中在附近. ②标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方. ③均值与方差的关系 在实际问题中仅靠均值还不能全面地说明随机变量的特征，还必须研究随机变量的集中与离散程度，这就需要求出方差. ④方差公式的变形： ⑤方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定非负. 知识点2　离散型随机变量方差的性质 1．设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)． 2．D(c)＝0(其中c为常数)． 注：若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则 (1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数； (2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)； (3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)； (4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2； (5)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)；知识点3 两点分布的方差公式 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么:. 1 0 策略方法 1.求离散型随机变量方差的步骤 ①理解随机变量X的意义，写出X的所有取值； ②求出X取每个值的概率； ③写出X的分布列； ④计算E(X)； ⑤计算D(X)． 2.线性关系的方差计算：若η＝aξ＋b，则D(η)＝a2D(ξ)． 3.均值、方差在决策中的作用 (1)均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高． (2)方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定． (3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断． 4.处理综合问题的方法 第一步：确定事件间的关系，是互斥、对立还是相互独立． 第二步：要依据事件间的关系，选择相应的概率公式，计算相应事件的概率． 第三步：列分布列，并计算均值及方差． 考点一 求离散型随机变量的方差、标准差 1．（2026高二·河北邢台·期中）若随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 0.4 0.3 0.2 0.1 则随机变量的方差（    ） A．1 B．1.4 C．2 D．2.4 2．（2026高二·上海·期中）已知随机变量的分布为，则 __________. 3．（2026高二·全国·课堂例题）已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.1 0.2 0.3 0.4 求其方差和标准差． 4．（2026高二·全国·课前预习）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，，在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、方差及标准差． 5．（2026高二·广东东莞·期中）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设表示取到的豆沙粽个数.求 (1)的分布列； (2)的期望与方差； (3)求至少取到一个豆沙粽的概率. 6．（2026高二·上海·期中）《水浒传》是中国古典四大名著之一，是中国历史上最早用白话文写成的章回小说，由三十六天罡与七十二地煞共同构成一百零八将的主体框架，小明喜欢收集其中的人物卡牌，卡牌分为普通卡和隐藏卡，小明目前收集到的卡牌分布如下表所示： 天罡 地煞 普通卡 6 12 隐藏卡 2 5 (1)若小明从25张卡牌中随机选取一张，记事件为小明取到的卡牌人物属于天罡，事件为小明取到的卡牌为隐藏卡，求和，并判断事件和事件是否相互独立； (2)小王和小明进行抽卡游戏，每人一次性从25张卡牌中抽取两张，给出以下规则：抽到的两张卡分别是天罡隐藏卡及地煞隐藏卡，得5分；抽到的两张卡有且仅有一张隐藏卡，得3分；抽到的两张卡分别是天罡普通卡及地煞普通卡，得1分；其余情况不得分.设为小王第一次抽取卡牌后获得的分数，写出的分布，并求出的数学期望和方差. 7．（2026高二·江西南昌·期末）DeepSeek是北京一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为；如果出现语法错误，它回答正确的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答．已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个． (1)求小张能全部回答正确的概率； (2)求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率； (3)设小张答对的题数为，求的分布列，并求出的期望和方差． 8．（2026高二·黑龙江齐齐哈尔·期末）某高中在选拔学生参加高中数学联赛中，对数学成绩较好的100名学生进行了一次测试，将测试所得的成绩（满分100分）分成7组：，，，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)求此次测试成绩的平均数（同组数据以该组区间的中点值作代表）； (2)从测试成绩在区间内的学生中随机抽取4人，记4人中测试成绩在区间内的人数为，求的分布列、数学期望和方差. 考点二 两点分布的方差 9．（2026高二·重庆·期中）若随机变量服从两点分布，其中，则（   ） A． B． C． D． 10．（2026高二·四川绵阳·期末）一批产品根据质量指标分为正品和次品，且次品率为，随机抽取1件，定义则随机变量的方差（   ） A． B． C． D． 11．（2026高二·福建福州·期中）设随机变量X服从两点分布，若，则（    ） A．0.24 B．0.21 C．0.16 D．0.8 12．（2026高二·江苏连云港·期中）已知随机变量服从分布，则，则______. 13．（2026高二·全国·课堂例题）某运动员投篮命中率，求投篮一次时命中次数X的均值与方差； 考点三 离散型随机变量方差的性质 14．（2026高二·安徽六安·期中）已知随机变量取所有的值1，2，…，n是等可能的，且，则______. 15．（2026高二·广西崇左·期中）已知随机变量的均值，方差，则（    ） A． B． C．11.8 D．2 16．（2026高二·湖南永州·期中）已知随机变量服从两点分布，随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 0.6 0.2 若，且与相互独立，则（    ） A．0.25 B．0.4 C．0.65 D．0.9 17．（2026高二·广西南宁·期中）已知随机变量的分布如下：若，则（    ） 0 1 2 A． B．7 C． D．22 18．【多选】（2026高二·江苏宿迁·期中）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的是（    ） 0 1 0.6 A． B． C． D． 19．【多选】（2026高二·江苏无锡·期中）若随机变量服从两点分布，其中，和分别为随机变量的期望与方差，则（    ） A． B． C． D． 考点四 由离散型随机变量的方差求参数 20．【多选】（2026高二·辽宁朝阳·期中）已知随机变量的概率分布表如下： 其中，，都是正数，若随机变量的数学期望，方差，则正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（2026高二·河北邢台·期末）已知随机变量满足，且为正数，若，则（    ） A． B． C． D． 22．（2026高二·福建三明·期中）若随机变量的分布列为： 0 1 0.2 已知随机变量，且，，则与的值分别为(    ) A．， B．， C．， D．， 考点五 离散型随机变量方差的最值（范围）问题 23．（2026·浙江·模拟预测）已知随机变量的分布列如下表，则下列方差值最大的是（    ） 0 1 A． B． C． D． 24．（2026高二·广东清远·月考）已知随机变量X有三个不同的取值，分别是，其中，又，，随机变量X的方差的最小值为（    ） A． B． C． D． 25．（2026·浙江·模拟预测）设，随机变量X的分布列是： X -1 1 2 P 则当最大时的a的值是 A． B． C． D． 26．（2026高二·江苏南通·月考）甲、乙两名选手参加羽毛球单打比赛，比赛采用三局两胜制，先赢得两局的选手获胜．每局比赛没有平局，且甲选手每局获胜的概率都是，记比赛结束时的局数为随机变量，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 27．（2026·安徽淮南·模拟预测）设，随机变量的分布列为 0 1 则（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．的最小值为 D．的最大值为 28．（2026高三·广东深圳·月考）甲、乙两名选手参加羽毛球单打比赛，比赛采用三局两胜制，先赢得两局的选手获胜．每局比赛没有平局，且甲选手每局获胜的概率都是，记比赛结束时的局数为随机变量，则的取值范围为________． 29．（2026高二·重庆·期中）设，随机变量的分布列为 当随机变量的方差取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 考点六 方差的期望表示 30．【多选】（2026高二·广西桂林·开学考试）已知离散型随机变量的分布列如下表： 2 4 8 若，则（    ） A． B． C． D． 31．（2026高二·辽宁沈阳·月考）设，为随机变量，，，，则（    ） A．22 B．6 C．8 D．4 32．（2026高三·江西新余·专题练习）小郅和小豪同学玩纸牌游戏，小郅面前有标有点数分别为1、2、3、4、5的纸牌各1张，小豪面前有标号为1、2、3、4、5的纸牌分别有5、4、3、2、1张（抽牌阶段抽到每张牌的概率均等），规定首先小豪同学从其面前纸堆中抽取一张牌点数记为，然后放回牌堆，随后小郅同学任意从其面前牌堆中抽取张牌，记这张纸牌的点数和为，则__________，__________. 33．（2026高二·山东临沂·期中）某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取4道让参赛者回答，已知小李只能答对其中的7道，试求： (1)抽到他能答对题目数的分布列； (2)求的期望和方差. 34．（2026高三·江西鹰潭·月考）为了加强学生的交通安全意识，贵溪一中开展了“安全头盔守护生命”主题教育活动.学校为此次活动准备了10道关于安全头盔重要性､正确佩戴方法及相关法律法规的题目.在活动的知识竞答环节中，会从这10道题目中随机抽取3道让学生回答.已知该校学生小曾同学中午与家长一同认真学习了相关知识，能够准确回答其中的6道题目. (1)求抽到的题目中他能答对的题目数的分布列； (2)求的期望和方差. 考点七 方差的实际应用 35．（2026高二·江苏宿迁·期中）高二（16）班参加青华中学红五月节目：猜歌名，班级只有一个名额，结合平时观察积累，闫某峻，贾某轩两名学生进入最后选拔，申老师为此设计了如下选拔方案：挑选8首歌进行测试，在这8首歌曲中，闫某峻能正确说出其中的6首歌名，贾某轩能正确说出每首歌名的概率均为，假设闫某峻、贾某轩两名学生说出每首歌名都相互独立、互不影响，现闫某峻、贾某轩从这8首歌中分别随机抽取4首进行竞猜 (1)求闫某峻、贾某轩共答对3首歌名的概率； (2)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表高二（16）班参加红五月活动？ 36．（2026·上海宝山·模拟预测）在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投次，每投进一次得分，否则得分已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为，若前一次没投进，则该次投进的概率为. (1)求甲投篮次得分的概率； (2)若乙投篮次得分为，求的分布和期望； (3)比较甲、乙的比赛结果. 37．（2026高二·北京·期中）某学校为了解学生的睡眠情况，从高一和高二年级中随机抽取各40名学生，统计他们一周平均每天的睡眠时间作为样本，统计结果如图. (1)从该校高一年级学生中随机抽取1人，估计该生平均每天的睡眠时间不少8小时的概率； (2)从该校高二年级学生中随机抽取2人，这2人中平均每天的睡眠时间为8小时或8.5小时的人数记为求的分布列和数学期望； (3)从该校高一年级学生中任取1人，其平均每天的睡眠时间记为，从该校高二年级学生中任取1人，其平均每天的睡眠时间记为，试比较方差与的大小．（只需写出结论） 38．（2026高二·江苏·单元复习）为选拔奥运会射击选手，对甲､乙两名射手进行选拔测试.已知甲､乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲､乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求X，Y的概率分布； (2)求X，Y的数学期望与方差，以此比较甲､乙的射击技术并从中选拔一人. 39．（2026高二·广东东莞·期中）某公司计划在年年初将万元用于投资，现有两个项目供选择． 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和； 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、、． 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 40．（2026高三·河南洛阳·开学考试）某公司计划在2020年年初将100万元用于投资，现有两个项目供选择． 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和； 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，． (1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由； (2)若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番？ （参考数据，） $【考点通关】20252026学年高二数学高频考点与解题策略（人教A版2019选择性必修第三册 专题09-2离散型随机变量的方差7种常见考法归类(40题)》 高频考点 考点一求离散型随机变量的方差、标准差 考点五离散型随机变量方差的最值（范围）问题 考点二两点分布的方差 考点六方差的期望表示 考点三离散型随机变量方差的性质 考点七方差的实际应用 考点四由离散型随机变量的方差求参数 知识梳理 知识点1离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X的分布列如表所示. X X1 2 Xn P P2 Pn 我们用X所有可能取值x与E)的偏差的平方x1一E)2,(x2一E)2,·,(xn一E)2,关于取值概率的 加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E)的偏离程度.我们称则称 D(X)=(化-E(Xp,++x-E(X)》p,+…+(G,-E(X)》p.=2(K-E(X)p为随机变量x i=l 的方差(variance),有时也记为Va(),并称DX_为随机变量X的标准差(standard deviation),记为o(), 注：离散型随机变量的方差的深层理解 ①离散型随机变量X的方差D(X)是个数值，是随机变量的一个重要特征数 (x,-E(X)描述了x,(i=1,2,3,…n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)是上述偏离程度的加权平 均值，刻画了随机变量X的取值与其均值E(X)的平均偏离程度.随机变量的方差和标准差都反映了随机变 量X取值的稳定性和波动、集中与离散程度，D(X)越大，表明平均偏离程度越大，X的取值越分散；反 之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近 ②标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方. ③均值与方差的关系 在实际问题中仅靠均值还不能全面地说明随机变量的特征，还必须研究随机变量的集中与离散程度，这就 需要求出方差 ④方差公式的变形：D(X)=E(X2)-(E(X) 【考点通关】20252026学年高二数学高频考点与解题策略（人教A版2019选择性必修第三册） ⑤方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定非负」 知识点2离散型随机变量方差的性质 1.设a,b为常数，则D(aX+b)=a2D 2.D(c)=0(其中c为常数) 注：若Y=aX十b,其中a,b是常数，X是随机变量，则 (I)E()=k,D=0,其中k为常数； (2)E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X); (3)E(X1+X2)=EX1)+EX2): (4)DX)=EX2-(EX)2: (⑤)若X1,X2相互独立，则EX1X2)=EX)EX2): 知识点3两点分布的方差公式 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么：D(X)=p(1-p) X 0 P 1-p %策略方法 1.求离散型随机变量方差的步骤 ①理解随机变量X的意义，写出X的所有取值； ②求出X取每个值的概率； ③写出X的分布列： ④计算E): ⑤计算D). 2.线性关系的方差计算：若n=a心+b,则D(n)=a2D() 3均值、方差在决策中的作用 (①)均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高. (②)方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定· (3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断.！ 4.处理综合问题的方法 【考点通关】20252026学年高二数学高频考点与解题策略（人教A版2019选择性必修第三册 第一步：确定事件间的关系，是互斥、对立还是相互独立. 第二步：要依据事件间的关系，选择相应的概率公式，计算相应事件的概率， 第三步：列分布列，并计算均值及方差 考点精析 考点一求离散型随机变量的方差、标准差 1. (2026高二·河北邢台期中)若随机变量X的分布列如下： 0.4 0.3 0.2 0.1 则随机变量X的方差DX)=() A.1 B.1.4 C.2 D.2.4 【答案】A 【详解】因为E(X)=1×0.4+2×0.3+3×0.2+4×0.1=2, 所以D(X)=1-2)2×0.4+(2-2)2×0.3+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.1=1 -21 2.(2026高二·上海期中)已知随机变量X的分布为 111 则D[X] 424 【答案】 51/33 1616 【分析】利用方差公式可求方差 【降解】X的期里为-2×+1+3子 44 散1-(2-1--×好-21*81-君 64 16 3. (2026高二·全国·课堂例题)已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.3 0.4 【考点通关】20252026学年高二数学高频考点与解题策略（人教A版2019选择性必修第三册） 求其方差和标准差。 【答案】1,1 【分析】计算出期望，进而利用方差公式求出方差，得到标准差 【详解】E(5)=0.1×0+0.2×1+0.3×2+0.4×3=2, 所以D(5)=(0-2)×0.1+1-2)2×0.2+(2-2)2×0.3+(3-2×0.4=1, VD(5=f=1. 故方差和标准差均为1 4.(2026高二全国·课前预习)甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方 投篮，第一次由甲投篮.已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为子？，在前3次投篮中，乙投篮的次数为 X,求X的分布列、方差及标准差. 【答案】分布列见解析， 149V149 324'18 【分析】依题意，确定X的所有可能值，计算出每个值对应的概率，列出分布列，运用均值、方差公式计 算即得 【详解】由题意得，X的可能取值为0,1,2. 11_1 P(X=0)=x 339 12.217 PX==3×33418 Px 故X的分布列为 X 0 1 3 1 7 P 9 18 E(X)=0x石+1x乙+2x-25 9 18 218 -j盟 VD(X)=V149 18 5.(2026高二·广东东莞·期中)端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3 4 【考点通关】20252026学年高二数学高频考点与解题策略（人教A版2019选择性必修第三册） 个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设X表示取到的豆沙粽个数求 ()X的分布列： (2)X的期望与方差： (3)求至少取到一个豆沙粽的概率. 【答案】(1) X 0 1 2 3 > 24 站 o 到名0=8 盟 【分析】(1)由题意可知X的可能取值为0,1,2,3，根据古典概型计算概率即可写出分布列： (2)由分布列即可计算期望与方差： (3)先求“一个豆沙粽都没有取到的概率，再利用对立事件即可求“至少取到一个豆沙粽的概率” 【详解】(1)由题意，X的可能取值为0,1,2,3， C-b07,P1x==Cc.6321 则P(X=0)=CC-35-7 C12040 P(X=2) CC=21=7 C12040'P(X=3)= Ci。1201 所以X的分布列如下： X 0 1 2 3 7 21 1 24 40 (2)由(1)可知E(x)=1x2 +3x19 7 +2× 40 4 12010 -0000j00j0-品 (3)记“至少取到一个豆沙粽”为事件A,则A表示“一个豆沙粽都没有取到”， P4-1n可-1是7号 【考点通关】20252026学年高二数学高频考点与解题策略（人教A版2019选择性必修第三册 6.(2026高二·上海期中)《水浒传》是中国古典四大名著之一，是中国历史上最早用白话文写成的章回 小说，由三十六天罡与七十二地煞共同构成一百零八将的主体框架，小明喜欢收集其中的人物卡牌，卡牌 分为普通卡和隐藏卡，小明目前收集到的卡牌分布如下表所示： 天罡 地煞 普通卡 6 12 隐藏卡 2 5 (1)若小明从25张卡牌中随机选取一张，记事件A为小明取到的卡牌人物属于天罡，事件B为小明取到的卡 牌为隐藏卡，求P(B)和P(BA八，并判断事件A和事件B是否相互独立； (②)小王和小明进行抽卡游戏，每人一次性从25张卡牌中抽取两张，给出以下规则：抽到的两张卡分别是天 罡隐藏卡及地煞隐藏卡，得5分；抽到的两张卡有且仅有一张隐藏卡，得3分；抽到的两张卡分别是天罡 普通卡及地煞普通卡，得1分；其余情况不得分.设X为小王第一次抽取卡牌后获得的分数，写出X的分布， 并求出X的数学期望和方差 【答类】0P川到5P川B4小号事件A与事件a不发立 (2) X 0 1 3 23 6 21 75 25 50 30 E(x)= 3， DK)=467 225 【分析】(1)利用古典概型的概率公式可求得P(B)的值，利用条件概率公式可求得P(BA的值，利用独 立事件的定义可判断出事件A和事件B的关系： (2)分析可知，随机变量X的可能取值有0、135，求出随机变量X在不同取值下的概率，可得出随机变量 的分布列，进而可得出E(X)和D(X)的值 【详解】(1)由表格中的数据结合古典概型的概率公式可得P(B)=25 由条件概率公式可得P(BAe n(AB 2 1 n(A84' 6 【考点通关】20252026学年高二数学高频考点与解题策略（人教A版2019选择性必修第三册） 8 因为P(AB)= )SPAL三)S所以PAB≠P(A P(B) 故事件A与事件B不独立 (2)由题意可知，随机变量X的可能取值有：0135， 则P(X=5)= CC 1 C30 P(X=3)= 50' P(X=1)= 6 C225 P(X=0)=1 121623 30502575 所以随机变量X的分布列如下表所示： 0 1 3 5 23 6 21 1 25 50 30 故E(X)=0x2+1x6+3x2 +5x1=5 75 25 50 303 方刘--到常-到名-引器-到0 7.(2026高二·江西南昌·期末)DeepSeek是北京一家人工智能技术研究公司推出的AI助手.它能进行逻 辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习，某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试 时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概 率为0.18.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相 互独立.该公司科技人员小张想挑战DeepSeek,小张和DeepSeek各自从给定的l0个问题中随机抽取9个 作答.已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个. ()求小张能全部回答正确的概率； (2)求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率； (3)设小张答对的题数为X,求X的分布列，并求出X的期望和方差. 【答案】()0.1 (2)0.9 (3)答案见解析 【分析】(1)根据古典概型的概率公式计算可得： 7 【考点通关】20252026学年高二数学高频考点与解题策略（人教A版2019选择性必修第三册） (2)设事件A表示“输入的问题没有语法错误”，事件B表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”，将所求事 件表示为(AB)UAB),再利用全概率公式计算可得： (3)X的可能取值是8,9，求出所对应的概率，即可求出分布列、期望和方差. 【详解】(1)由题意，小张能全部回答正确当且仅当抽到的9个问题均来自他能正确回答的9个问题 则由古典概型的概率公式可得， 小张能全部回答正确的概率P=S==QL, C%10 故小张能全部回答正确的概率为01； (2)设事件A表示“输入的问题没有语法错误”，事件B表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”， 则B=(AB)UAB),且事件AB与AB互斥， 由题意知P(A=0.1,P(B1A=0.98,PB|A=0.18, 则P(A)=1-PA=0.9, 由全概率公式可得， P(B)=P(AB)+P(AB=P(A)P(B A)+P(A P(BIA =0.9×0.98+0.1×0.18=0.9. 故一个问题能被DeepSeek回答正确的概率为0.9； (3)已知小张答对的题数为X,则X的可能取值是8,9， 且x=利=瓷-agmx=号-6-0u 所以X的分布列为： X 8 9 P 0.9 0.1 则E(X)=8×0.9+9×0.1=8.1, D(X)=(8-8.1)×0.9+(9-8.1×0.1=0.09 故X的期望为8.1，方差为0.09 8.(2026高二黑龙江齐齐哈尔·期末)某高中在选拔学生参加高中数学联赛中，对数学成绩较好的100名 【考点通关】20252026学年高二数学高频考点与解题策略（人教A版2019选择性必修第三册 学生进行了一次测试，将测试所得的成绩（满分100分）分成7组：[30,40)，[40,50)，「50,60)，[60,70)， [70,80),「80,90)，「90,100]，整理得到如图所示的频率分布直方图 频率组距 0.028------------ 0.024 0.020 0.012 0.008 0.006 0.002 O '30405060708090100成绩/分 (I)求此次测试成绩的平均数（同组数据以该组区间的中点值作代表）； (2)从测试成绩在区间[30,50)内的学生中随机抽取4人，记4人中测试成绩在区间40,50)内的人数为X, 求X的分布列、数学期望和方差 【答案】(1)71.2 2分布列见解析，E(X)=3,D(X)=号 3 【分析】(1)根据频率分布直方图求出测试成绩的平均数： (2)求出测试成绩在区间30,40)和40,50)内的学生的人数，得到X可能的取值及对应的概率，得到分布 列，求出数学期望和方差 【详解】(1)由图知测试成绩的平均数为： 0.002×10×35+0.006×10×45+0.012x10×55+0.024×10×65 +0.028×10×75+0.020×10×85+0.008×10×95=71.2 (2)测试成绩在区间30,40)内的学生人数为0.002×10×100=2人， 测试成绩在区间40,50)内的学生人数为0.006×10×100=6人， 所以X的可能取值为2,3,4 故P(X=2= 受-m晋手州x=答2 Cg141 所以X的分布列为： 2 3 14 14 0 【考点通关】20252026学年高二数学高频考点与解题策略（人教A版2019选择性必修第三册） 所以E(X)=2 3 4， 3 +3×+4× 147414 =3, p刘=2-驴x音+3-4那x-房 考点二两点分布的方差 9.(2026高二重庆期中)若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)-子，则0x)=(） B. 2 9 3 D.3 【答案】B 【详解1国为P=0-写所以Px=小-号则D)-号-号引-号 10.(2026高二四)川绵阳期末)一批产品根据质量指标分为正品和次品，且次品率为 1 随机抽取1件， 1,抽到正品， 定义X= 则随机变量X的方差D(X)=() 0,抽到次品. 月 4 B. J 27 C. D. 【答案】D 【分析】先由两点分布求出随机变量的均值，然后求出方差即可 【】愿意到-0兮子所以0--到0到号 12 3 故选：D 11.(2026高二·福建福州期中)设随机变量X服从两点分布，若P(X=1-P(X=0)=0.6,则D(X)=() A.0.24 B.0.21 C.0.16 D.0.8 【答案】C 【分析】利用两点分布性质可得P(X=1=0.8,P(X=0)=0.2,再由方差计算公式可得结果 【详解】由两点分布可得P(X=1)+P(X=0)=1, 解得P(X=1=0.8,P(X=0)=0.2; 因此期望值为1×0.8+0×0.2=0.8， 10 【考点通关】20252026学年高二数学高频考点与解题策略（人教A版2019选择性必修第三册） 所以D(X)=(1-0.8×0.8+(0-0.8)2×0.2=0.16 故选：C 12.(2026高二江苏连云活期中)已知随机变量X服从0-1分布，则P叫X=刂-兮则0X- 【答1号 【分析】使用0-1分布的方差公式求解 【详解1o1-号号 13.(2026高二全国·课堂例题)某运动员投篮命中率p=0.6,求投篮一次时命中次数X的均值与方差； 【答案】0.6；0.24 【分析】写出分布列，然后根据期望和方差的定义计算即可 【详解】投篮一次命中次数X的分布列为 X 0 1 0.4 0.6 此为两点分布，其中p=0.6 EX）=p=0.6,DX=p1-p=0.6×0.4=0.24. 考点三离散型随机变量方差的性质 14.(2026高二安徽六安期中)已知随机变量X取所有的值1,2，.，n是等可能的，且E(X)=3,则 D(3X+1)= 【答案】18 【详解】由题意可得P(X==PX=2=P(X=3到==P(X=川=行 则E(X)=1+2+3++m=1”+_n+1=3,解得=5， n 2 2 所以DX)=1-3+2-3+3-3+4-3+5-3]=2, 所以D(3X+1)=32D(X)=18 15.(2026高二·广西崇左·期中)已知随机变量X的均值E(X)=3,方差D(X)=1.2,则 11 【考点通关】20252026学年高二数学高频考点与解题策略（人教A版2019选择性必修第三册） E(2X+1)+D(2X+1=() A.-1 B.-2 C.11.8 D.2 【答案】C 【详解】：E(X=3,.E2X+1=2E(X)+1=2×3+1=7; :D(X=1.2,D2X+1=22xDX=4×1.2=4.8; .E2X+1+D2X+1=7+4.8=11.8 16.(2026高二·湖南永州·期中)已知随机变量X服从两点分布，随机变量Y的分布列为 1 3 P 0.2 0.6 0.2 若P(X=0)=0.5,且X与Y相互独立，则D(X+)=() A.0.25 B.0.4 C.0.65 D.0.9 【答案】C 【分析】解法1：令Z=X+y,则Z的可能取值为1,2,3,4，求得相应的概率，结合期望和方差的公式，即 可求解； 解法2：由随机变量X服从两点分布，得到D(X)=0.25,再求得D(Y)=0.4,结合X与Y相互独立，即可 求解 【详解】解法1：令Z=X+y,则Z的可能取值为1,2,3,4。 P(Z=1)=0.5×0.2=0.1,P(Z=2)=0.5×0.6+0.5×0.2=0.4, P(Z=3)=0.5×0.2+0.5×0.6=0.4,P(Z=4)=0.5×0.2=0.1, 所以E(Z)=1×0.1+2×0.4+3×0.4+4×0.1=2.5, D(Z)=(2.5-1)2×0.1+(2.5-2)2×0.4+(2.5-3)2×0.4+(2.5-4)2×0.1=0.65 解法2：由随机变量X服从两点分布，得D(X)=0.5×0.5=0.25, 又由E(Y)=1×0.2+2×0.6+3×0.2=2 可得D(Y)=(2-1)2×0.2+(2-2)2×0.6+(2-3)2×0.2=0.4, 因为X与Y相互独立，所以D(X+Y)=0.25+0.4=0.65 17.(2026高二·广西南宁.期中)已知随机变量X的分布如下：若E(X)=0,则D(2X+5)=() 12 【考点通关】20252026学年高二数学高频考点与解题策略（人教A版2019选择性必修第三册） 0 2 1 m n 6 3 A B.7 c.28 D.22 3 【答案】C 【分析】先根据分布列的性质与E(X)=0确定m,的值，计算D(X),再根据D(2X+5)=4D(X)求值 1 【详解】由题意得，m+n+ +=1,即m+n27 因为E(X)=0,所以-2xm+0名+1写2x=0,即a-m=-名 6 6' 联立解得，n=石m分则D(X)=4 1 1 3+0x+1 1,1 17 +4 6 3 4×63’ 所以D(2X+5列=4D(X)=4x7=28 33 18.【多选】(2026高二·江苏宿迁期中)设离散型随机变量X的分布列如表，若离散型随机变量Y满足 y=X+1,则下列结果正确的是（) X 0 P 0.6 A.E(X=0.4B.D(X=0.36 C.E(Y）=1.2 D.DY)=0.12 【答案】AC 【分析】根据期望和方差的公式及线性运算性质，求解即可. 【详解】由分布列的性质得0.6+m=1,所以m=0.4 则离散型随机变量X的数学期望为E(X)=0×0.6+1×0.4=0.4,故A正确； 而)=r+小-x+1-12,c正 而方差为D(X)=(0-0.4)2×0.6+(1-0.4)×0.4=0.24,故B错误； 可得DY)=D}X+-4D(x)=006,故D错误 19. 【多选】(2026高二·江苏无锡期中)若随机变量X服从两点分布，其中PX=0)=3'E(X)和 D(X)分别为随机变量X的期望与方差，则() 13 【考点通关】20252026学年高二数学高频考点与解题策略（人教A版2019选择性必修第三册） A.P(X=1)= B.E(3X+2)=2 C.D(X)= 2 D.D(3X+2)=2 【答案】ACD 【分析】由两点分布的期望、方差计算公式和期望、方差的性质逐项判断即可. 【详解】选项A:由概率和为1，则P(X=)=1-P(X=0)=1-}-2, 33,A正确： 达项B(X=0-PX=0+1PX=子 限据期望性质E@X+b)=aEX0+b,得E3X+2=33+2=4≠2，B错灵 选项C:根据方差公式DX)=p0-Pp,得DX=3·3,C正确： 选项D:根据方差性质DaX+b)=aDX),得D3X+2)-号=2，D正碗 考点四由离散型随机变量的方差求参数 20. 【多选】(2026高二·辽宁朝阳·期中)已知随机变量X的概率分布表如下： -1 0 0 b 其中a,6,c省是正数，若随机变量X的数学期塑E(X)片，方差DX)<?则正确的是() 5 1 B561 C.0<a<24 1 1 13 D. 2<c<24 【答案】ACD 【分析】由概率分布表的性质及离散型随机变量的期望与方差公式，列出相应的数量关系解决问题 「1b a+b+c=1 d= 【详解】由概率分布表性质可知 1,解得 42 E(X)=-1×a+0+1×c= 2 3b' C= 42 又<分则Dx-（1日0-b+1〔- 14 【考点通关】20252026学年高二数学高频考点与解题策略（人教A版2019选择性必修第三册） 5 整理得4b>写所以6> 2 1 b a= >0 b< 又由概率的性质 42 2 1 3 所以b< 2’故 5<b< 3 b 12 2 C >0 D< 42 2 42,所以0<a 24'因为c 1 42所以)<c< 13 因为a= 2 24 5 1 11 13 综上2<h<20<a 24'2c< 24 21.(2026高二河北邢台·期末)已知随机变量X,Y满足Y=aX+b,且a,b为正数，若D(X)=2,D(Y)=8 ,则() A.b=2 B.a=4 C.a=2 D.b=4 【答案】C 【分析】根据题中条件，由方差的性质列出方程求解，即可得出结果 【详解】由方差的性质可得，D(Y)=D(aX+b)=aD(X), 因为D(X)=2,D(Y)=8,所以8=2a2, 又a为正数，所以a=2. 故选：C 【点晴】本题主要考查由方差的性质求参数，属于基础题型 22. (2026高二·福建三明·期中)若随机变量X的分布列为： 0 0.2 己知随机变量Y=aX+b(a,beR,a>0),且E(Y)=10,D(Y)=4,则a与b的值分别为() A.a=10,b=3 B.a=3,b=10 C.a=5,b=6 D.a=6,b=5 【答案】C 【分析】根据分布列概率的性质可计算出m,根据平均数和方差的计算即可计算α、b. 【详解】由随机变量X的分布列可知，m=1-0.2=0.8. .EX）=0×0.2+1×0.8=0.8,DX)=(0-0.8)2×0.2+(1-0.8)2×0.8=0.2×0.8=0.16. EY）=aEX）+b=10,D(Y）=a2DX)=4, 15 【考点通关】20252026学年高二数学高频考点与解题策略（人教A版2019选择性必修第三册） 0.8a+b=10,0.16a2=4,又a>0,解得a=5,b=6. 故选：C. 考点五离散型随机变量方差的最值（范围)问题 23.(2026·浙江·模拟预测)己知随机变量X的分布列如下表，则下列方差值最大的是() 0 m 2m A.D(X) B.D(2X-3) C.D(X]) D.D(2X-3 【答案】B 【分析】由已知可得加=子，即可根据方差公式分别计算求解 【详解】由分布列的性质得m++2m=1,得m=4' 1 可得E(=-x+0x1K 424 -1-0-0-对 则D(2x-3到=40(X)-片X刈=子 x=0好-×6p2-到=4ox划= 综上，D(2X-3)的值最大 故选：B 24.(2026高二广东清远月考)已知随机变量X有三个不同的取值，分别是0,1，x,其中x∈(0，)，又 PX=0)=方P(X=川=子随机变量X的方差的最小值为() A.1 1 B. D. 6 3 C. 3 【答案】A 【分析】先根据概率的性质求出P(X=x),再根据期望公式求出E(X),，然后根据方差公式得出D(X)关于 16 【考点通关】20252026学年高二数学高频考点与解题策略（人教A版2019选择性必修第三册） x的表达式，最后根据二次函数的性质求出方差的最小值 【详解】山PX=0)PX==子可得P(X=列=4 所以随机变量X的期望为E(X)=0×;+1× 1,11+x +xx- 4=4 则方差为D-(01-1生八好-生33 -16 所以当x=时，方差取得最小值，最小值为X)=君 3 故选：A 25.(2026·浙江模拟预测)设0<a<行随机变量X的分布列是： X -1 1 2 1 P 1,a 22 2 则当D(X)最大时的a的值是 A日 3 B.16 c D.25 【答案】D 【分折】先求得E(X)-号，E(X)=1+号，得到Dx)=xE(x=1+30-25C, ，结合二次函数 2 4 的性质，即可求解 【详解】根据随机变量的分布列和数学期望与方差的计算公式， 可将1X=-兮1+9+2x号-号 3 2 32 可得D(X)=EX2)-E2(X)=1+二a- 3.25a225a=32+109 三一 4 4(a、 100 因为0<a<行所以当DX最大时的a的值为 故选：D 【点晴】本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差的计算及应用，其中解答中熟记离散型随机变量的 分布列的期望与方差的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算求解能力，属于中档试题 26.(2026高二·江苏南通·月考)甲、乙两名选手参加羽毛球单打比赛，比赛采用三局两胜制，先赢得两 17 【考点通关】20252026学年高二数学高频考点与解题策略（人教A版2019选择性必修第三册 2 局的选手获胜。每局比赛没有平局，且甲选手每局获胜的概率都是（≤p<),记比赛结束时的局数为随 机变量X,则D(X)的取值范围为() 16 17 20 A. 0 B. 0, C. 81 0 D. 033 81 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出随机变量X的分布，再利用期望的定义及方差的期望表示列式，借助二次函 数求出范围 【详解】随机变量X的所有可能值为2,3， P(X=2)=p2+(1-p)2=2p2-2p+1,P(X=3)=C2p1-p)=-2p2+2p, 当号p<1时，令1=-2p+2n=-2p+0月. 则E(X)=2P(X=2)+3P(X=3)=21-)+31=1+2, E(X2)=4P(X=2)+9P(X=3)=4(1-t)+91=51+4, 因此D(X)=E(X2)-[E(X)]2=(51+4)-(1+2)2=-12+t, 二次函数y=-+0<1兮)的开口向下，对称轴为1弓 x- 4 当t=0时，y=0,当t= 4_20 9 所以-子+1E0》 即DX)的取值范围为O 27. (2026安徽淮南·模拟预测)设m∈(0,1)，随机变量X的分布列为 X 0 m -1m 2 则() A.D(X)在(0,1上单调递增 B.D(X)在(0,1上单调递减 C.DX的最小值为g D.D(X的最大值为 【答案】C 18 【考点通关】20252026学年高二数学高频考点与解题策略（人教A版2019选择性必修第三册） 【分析】根据方差公式，结合二次函数性质判断即可 【样解】E)=0x受+m+11”号 1 22 -号对- 结合二次函数的性质可知，D(在Q,)上单调递减，在上单调递塔，故AB错误 最小值为令，无最大值，故C正确，D错误 28.(2026高三广东深圳·月考)甲、乙两名选手参加羽毛球单打比赛，比赛采用三局两胜制，先赢得两 局的选于获胜。每局比赛没有平局，且甲选手每局获胜的概率都是（行≤P<),记比赛结束时的局数为随 机变量X,则D(X)的取值范围为 【答案】(02 1 【分析】根据给定条件，求出随机变量X的分布，再利用期望的定义及方差的期望表示列式，借助二次函 数求出范围 【详解】随机变量X的所有可能值为2,3， P(X=2)=p2+(1-p)2=2p2-2p+1,P(X=3)=C2p(1-p)=-2p2+2p, 当号≤p<1时，令1=-2p+2p=-2p+e0月， 则E(X)=2P(X=2)+3P(X=3)=2(1-t)+3t=t+2, E(X2)=4P(X=2)+9P(X=3)=4(1-t)+91=5t+4, 此D0=E0X)-[E0X=6+4-U+2y=-P+1E0 29. (2026高二·重庆期中)设0<a<2,随机变量X的分布列为 0 a 2 6 当随机变量X的方差D(X)取得最小值时，a=() A B. c D.4 【答案】B 19 【考点通关】20252026学年高二数学高频考点与解题策略（人教A版2019选择性必修第三册） 【分析】根据期望公式求出E(X),再将其代入方差公式得到关于的函数，最后通过求函数的最小值来确 定a的值 【详解】根据期望公式可得：E(X)=0x)+ax+2×-0生 6-3 张据方差公式D利=0-告兮口-告八兮2-a*名20g+5 则对称轴a=- 9 2 2× 9 所以当a=.时，方差D(X)取得最小值 2 故选：B 考点六方差的期望表示 30. 【多选】(2026高二广西桂林·开学考试)已知离散型随机变量的分布列如下表： 2 4 8 1 1 6 12 若Em=4,则() 月 B.E(2n+2)=8 C.x=-4 D.Dn=10 【答案】ACD 【分析】先根据分布列概率之和为1求出y,再利用En=4求出x,接着计算E(2n+2)和Dn,再逐项判断. 1 【详解】由分布列性质，得二+y+, 6 }1,解得y放选项A正确 124 由数学期望公式，得Em=2x+4×y+xx+8x}=4,解得x=-4,故选项C正确： 1 6 12 4 因E(2n+2)=2En+2=2×4+2=10≠8，故选项B错误； 因为网=）-(，=2合4+-4立+826， 4 20 【考点通关】20252026学年高二数学高频考点与解题策略（人教A版2019选择性必修第三册） 所以Dn=E(n2）-(En)=26-42=10,故选项D正确. 故选：ACD 31.(2026高二辽宁沈阳·月考)设X,Y为随机变量，Y=3X+2,D(Y=18,E(X）=2,则E(X)= () A.22 B.6 C.8 D.4 【答案】B 【分析】先根据变量的线性关系求出D(X)=2,再根据D(X)=E(X)-[E(X)]求解即可 【详解】因为随机变量X,Y满足D(Y)=18,E(X)=2,Y=3X+2, 所以，D(Y)=D(3X+2)=9DX),即18=9D(X),解得D(X)=2, 所以，由方差公式D(X)=E(X2）-[E(X)]得E(X2)=D(X)+[E(X)]=2+4=6 32.(2026高三·江西新余.专题练习)小郅和小豪同学玩纸牌游戏，小郅面前有标有点数分别为1、2、3、 4、5的纸牌各1张，小豪面前有标号为1、2、3、4、5的纸牌分别有5、4、3、2、1张（抽牌阶段抽到每 张牌的概率均等)，规定首先小豪同学从其面前纸堆中抽取一张牌点数记为X,然后放回牌堆，随后小郅 同学任意从其面前牌堆中抽取X张牌，记这X张纸牌的点数和为Y,则D()= ,E(Y)= 【答案】 14 7 9 【分析】先求出离散型随机变量的分布列，由离散型随机变量的数学期望与方差公式计算即可 【详解】X的分布列为： 3 4 5 1 4 1 3 15 15 15 183817 所以E(X)=。+ 315515 33 X2的分布列为： X 6 25 1 4 1 2 1 3 15 5 15 15 21 【考点通关】20252026学年高二数学高频考点与解题策略（人教A版2019选择性必修第三册） 同理：EX)=7,故：DX)=X)-[E(X-号 当X=1时，Y的分布列为： Y 1 2 3 4 5 1 1 1 1 P 5 5 5 所以E(Y)=3, 当X=5时，Y的分布列为： 15 所以E(Y)=15, 当X=2时：Y,的分布列为： 3 4 6 P 9 1 1 1 1 1 1 1 P 10 10 5 5 5 10 10 E(Y2)=6, 当X=3时：y的分布列为： 6 7 8 9 10 11 12 1 1 1 10 10 5 5 5 10 10 E(Y)=9, 当X=4时：Y,的分布列为： 10 11 12 13 14 1 1 1 1 P 5 5 5 5 5 E(Y4=12, 所以：-3+69+后2+515=7 故答案为： 7 22 【考点通关】20252026学年高二数学高频考点与解题策略（人教A版2019选择性必修第三册 【点晴】关键点点晴：方差可以用数学期望D(X)=E(X)-「E(X)门来计算，将离散型随机变量取值进行 分类求数学期望，最后求加权平均即可 33.(2026高二·山东临沂期中)某单位组织学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题日，随机抽取4道让 参赛者回答，己知小李只能答对其中的7道，试求： (1)抽到他能答对题目数X的分布列： (2)求X的期望和方差 【答案】(1)答案见解析 四片刘=号 【分析】(1)由题意可知，X=1,2,3,4,再根据随机变量表示的意义，利用古典概型概率公式求概率，再 写出分布列： (2)根据分布列求期望，再根据公式D(X)=E(X)-[E(X)门，求方差， 【详解】(1)由题意知：X所有可能的取值为1,2,3,4 P(X=1)= 瓷0mx小号 ΓCi。3010 P(X=3)=CC-15=1 2-02PX=4=06 :X的分布列为 2 3 30 10 6 (2)X的期望：E(X)=1× 又x=动4品+9+16活 142 10 x6=5 方差D-xr-[ax-号()兰 34.(2026高三江西鹰潭·月考)为了加强学生的交通安全意识，贵溪一中开展了“安全头盔守护生命”主题 教育活动.学校为此次活动准备了10道关于安全头盔重要性、正确佩戴方法及相关法律法规的题目在活动的 知识竞答环节中，会从这10道题目中随机抽取3道让学生回答已知该校学生小曾同学中午与家长一同认真 学习了相关知识，能够准确回答其中的6道题月 23 【考点通关】20252026学年高二数学高频考点与解题策略（人教A版2019选择性必修第三册） (1)求抽到的题目中他能答对的题目数X的分布列； (2)求X的期望和方差 【答案】()分布列见解析 aX-号0-28 【分析】(1)先求得X的取值，然后求得对应的概率，即可求出分布列； 2根据期望的定义求得E(X)-?,X)-号，然后利用方差的期望公式求得D)- 4即可 2 【详解】(1)由题意知：X所有可能的取值为0,1,2,3， P(X-0)-C- 4 C。1203 0PX=1)=c3C6-363 C3.12010 P(X=2= 2C=60= Cio 1202PX-3)= =20= Ci。1206 X的分布列为： 0 2 3 3 1 30 10 6 (2)期望E(x)=0x+1x3+2×+3x19 3010 2365 又xr)=0x0+1 3+4×)+9× 1 119 1 2 65 方盗x灯-(x9-xr-gg-是 考点七方差的实际应用 35.(2026高二江苏宿迁期中)高二(16)班参加青华中学红五月节目：猜歌名，班级只有一个名额， 结合平时观察积累，闫某峻，贾某轩两名学生进入最后选拔，申老师为此设计了如下选拔方案：挑选8首 歌进行测试，在这8首歌曲中，闫某峻能正确说出其中的6首歌名，贾某轩能正确说出每首歌名的概率均 爱、采轩两名学生说出每首歌名都相互独立、互不影响，现自桌在 中分别随机抽取4首进行竞猜 (1)求闫某峻、贾某轩共答对3首歌名的概率： 24 【考点通关】20252026学年高二数学高频考点与解题策略（人教A版2019选择性必修第三册 (②)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表高二(16)班参加红五月活动？ 【答案】①1山 896 (2)见解析 【分析】(1)利用超几何分布和二项分布求概率即可： (2)计算出两人答对歌名个数的期望和方差即可， 【详解】(1)设闫某峻、贾某轩答对的题数分别为X,Y, 则X可能为2,3,4， w21=C。2=,PX==C4二7PX=41=s3 Cg141 C C414 3 由题意知，贾某轩答对的题数满足Y~B4, 4 闫某峻、贾某轩共答对3首歌名，即闫某峻答对2道，贾某轩答对1道或者闫某峻答对3道，贾某轩答对0 道， 故共答对3首歌名的概率：P=3x3+4x1=山 14647256896 (2)由(1)可知，闫某峻答对的题数X的分布列如下： 2 14 14 74 43, 3 故期望E(X)=2× 4 +3 方差(x刘=2-×04(4-那×音-号 147 且Y~B4, 故-43,0们=4 E(X)=E(Y),D(X)<D(Y) 所以闫某峻、贾某轩答对的题数期望一样，但是闫某峻的方差更小，发挥更稳定， 故应选拔闫某峻代表高二(16)班参加红五月活动 36.(2026·上海宝山·模拟预测)在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投3次，每投进一 次得2分，否则得0分已知甲每次投进的概率为；，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为 25 【考点通关】20252026学年高二数学高频考点与解题策略（人教A版2019选择性必修第三册 ,从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为，若前一次没投进，则该次投进的概率为 3 2 5 (1)求甲投篮3次得2分的概率： (2)若乙投篮3次得分为X,求X的分布和期望； (3)比较甲、乙的比赛结果， 【答案】0 08 (2)分布列见解析，3 3)答案见解析 【分析】(1)甲3次投篮得2分即3次中1次，根据独立事件概率公式即可求解； (2)由题意得，X的所有可能取值为0,2,4,6，依次求出每种取值的概率，然后写出分布列，求出期 望： (3)分别求出甲、乙的期望和方差，然后进行比较大小，根据大小进行分析即可 ))甲投篮3次得2分，即只拉中1次，板率为P=C×1--} (2)由题意知X的所有可能取值为0,2,4,6， 则rx-0-0Px--*3 123+x2x2+5×2×2=8P叫X=6=2**亏0 1339 PX=4到=2×2写+2*55251 随机变量X的分布为， X 0 2 4 6 9 8 8 9 P 50 25 25 50 9 9 期望E(X)=0× +2× 8+4x8 +6× =3 50 2 25 50 (3)设甲三次投篮的得分Y,则Y=0,2,4,6, 可求得随机变量Y的分布为， 0 2 6 3 1 8 8 8 8 26 【考点通关】20252026学年高二数学高频考点与解题策略（人教A版2019选择性必修第三册） 所以E(y)=0x+2x3+ 1 3,6 8 4×g+6x83, 8 8 0=0+2g4g6=3, 8 8 又可算得D(X)=0×9+2×8+4×8+6×9-3-97 50 25 25 50 -25' 因为E(X)=E(Y),D(X)>D(Y), 所以甲最终的得分均值等于乙最终的得分均值，但乙赢得的分值不如甲稳定 37.(2026高二·北京·期中)某学校为了解学生的睡眠情况，从高一和高二年级中随机抽取各40名学生， 统计他们一周平均每天的睡眠时间作为样本，统计结果如图. 学生人数 学生人数 20 20 16 16 15 14 15 14 10 10 7.588.59睡眠时间（时） 7.588.59睡眠时间（时） 高一 高二 ()从该校高一年级学生中随机抽取1人，估计该生平均每天的睡眠时间不少8小时的概率； (②)从该校高二年级学生中随机抽取2人，这2人中平均每天的睡眠时间为8小时或8.5小时的人数记为X求 X的分布列和数学期望E(X); (3)从该校高一年级学生中任取1人，其平均每天的睡眠时间记为Y,从该校高二年级学生中任取1人，其 平均每天的睡眠时间记为y,,试比较方差D(Y)与D(Y,)的大小.（只需写出结论） 37 【答案】(1) 40 2分布列见解析，E(X)二， (3)D(Y)=D() 【分析】(1)根据古典概型概率计算公司号求得正确答案 (2)先求得高二学生平均每天的睡眠时间为8小时或8.5小时的概率，然后根据二项分布的知识求得X的分 布列和数学期望E(X) (3)通过观察条形图求得正确答案 【详解】(1)记事件A为“从该校高一学生中随机抽取1人， 该生平均每天的睡眠时间不少于8小时”， 27 【考点通关】20252026学年高二数学高频考点与解题策略（人教A版2019选择性必修第三册） 样本中高一学生人数为：3+16+14+7=40， 其中平均每天的睡眠时间不少于8小时的人数为37，则P(=3 40 (2)从高二年级学生中随机抽取1人， 其平均每天的睡眠时间为8小时或8.5小时的概率为P=16+14_3 404 X的可能取值为0,1,2， 故Px=o=c目=GPx==-c日-8g .9 PX=2)=c°-6 则X的分布列为： 0 1 2 1 9 16 16 E(X)=0x 1 +1 16 3+2×1 93 2*162 (3)通过观察条形图可知，高一年级和高二年级的统计数据有对称性， 根据方差的定义可知：D()=D(Y) 38.(2026高二·江苏单元复习)为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试.已知甲、乙两名 射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X,Y,甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于 6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3， 0.2 (I)求X,Y的概率分布； (②)求X,Y的数学期望与方差，以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人 【答案】()分布列见解析 (2)E(X)=9.2(环)；E(Y)=8.7(环)；D(X）=0.96;D(Y)=1.21,应选拔甲射手参加奥运会 【分析】(1)借助概率之和为1可计算出a的值及乙射中7环的概率，即可得其概率分布： (2)借助期望及方差的公式计算即可得 【详解】(1)依题意，0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1, :乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2， 28 【考点通关】20252026学年高二数学高频考点与解题策略（人教A版2019选择性必修第三册） :乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2， X的概率分布为： 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 Y的概率分布为： 10 P 7 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)由(1)可得 EX=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2(环)， EY)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7(环)， D(X)=(10-9.22×0.5+(9-9.22×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.22×0.1=0.96, D(Y)=(10-8.72×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21, 由于E(X>E(Y）,说明甲平均射中的环数比乙高， 又因为D(X)<D(Y),说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定， 所以，甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会 39.(2026高二·广东东莞期中)某公司计划在2023年年初将100万元用于投资，现有两个项目供选择. 项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种 情深发牛的概率分别为了和弓： 2 项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不 赚，且这三种情况发生的概率分别为亏35 311 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 【答案】选择项目一较好，理由见解析 【分析】设投资项目一、二获利分别为X、Y万元，求出E(X)、E(Y)、D(X)、D(Y),比较E(X)、 29 【考点通关】20252026学年高二数学高频考点与解题策略（人教A版2019选择性必修第三册） E(Y)的大小，以及D(X)、D(Y)的大小，即可得出结论 【详解】设投资项目一、二获利分别为X、Y万元， 则X的可能取值有30、-15，且PX=0-PX-15- 91 Y的可能取值有30、-30、0，且PY=50-号，PV=-30=号PY=0=5 所以，E0=30x号+(-15*号-20，Em=50g-30×写+0 1 5 =20, 所以，EX）=E(Y), D1=(30-205×g+-15-202×号-350 D10=50-20×3+-30-20°×+0-20×5-140.则DX<Dy. 这说明虽然项目一、项目二获得利润的期望相等，但项目一更稳妥，因此，选择项目一较好 40.(2026高三·河南洛阳·开学考试)某公司计划在2020年年初将100万元用于投资，现有两个项目供选 择 项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种 7 2 情况发生的概率分别为)和 项目二：通信设备，据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不 原，这三种情况发牛的标车分别为号子古 ()针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由： (2)若市场预期不变，该投资公司按照(1)中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资）， 问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番？ (参考数据lg2≈0.3010,1g3≈0.4771) 【答案】()建议该投资公司选择项目一进行投资，理由见解析 (2)大约在2023年年底总资产可以翻一番 【分析】(1)分别计算两种投资项目获利的期望和方差，比较大小，可得出结论；(2)依题意列出等式， 对数运算即可求解刀 【详解】(1)若投资项目一，设获利为5：万元， 则的分布列为 30 【考点通关】20252026学年高二数学高频考点与解题策略（人教A版2019选择性必修第三册） 30 -15 79 2 l=30×号(50号-20 若投资项目二，设获利为5万元， 则52的分布列为 50 0 -30 1 1 5 15 3 3 E52)=50×2+0× +(-30)×÷=20. 5 15 3 E(5=E(52) D(5)=30-20y2×7+-15-20y2×2=350, D(5)=(50-20y2×2+0-20y× 15+(-30-202×=1400, .D(5)<D(52), 这说明虽然项目一、项目二获利的均值相等，但项目一更稳妥， 综上所述，建议该投资公司选择项目一进行投资. (2)假设n年后总资产可以翻一番， 依题意，100×1+ 20 =200,即1.2”=2， 100 两边取对数，得nlg1.2=lg2, lg2 n= ≈3.8053. 2lg2+lg3-1 ·大约在2023年年底总资产可以翻一番. 31