第06讲 离散型随机变量的数字特征（知识清单+7题型讲解举三反三+强化训练）讲义【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册重难点讲义与测试

第06讲离散型随机变量的数字特征 知识清单 知识点01：离散型随机变量的均值 知识点02：离散型随机变量的方差 题型讲解 （举三反三） 题型1：求离散型随机变量的均值 题型2：离散型随机变量均值的性质 题型3：离散型随机变量均值的应用 题型4：超几何分布、两点分布的均值 题型5：离散型随机变量的方差 题型6：离散型随机变量方差的性质 题型7：离散型随机变量的方差的应用 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1.离散型随机变量的均值 一　离散型随机变量的均值 1．离散型随机变量的均值的概念 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝为随机变量X的均值或数学期望． 2．离散型随机变量的均值的意义 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 3．离散型随机变量的均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为 Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 二、　两点分布的均值 如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.: 知识点2.离散型随机变量的方差 一、离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X的分布列如表所示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 我们用X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度．我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差(variance)，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差(standard deviation)，记为σ(X)． 二、　离散型随机变量方差的性质 1．设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)． 2．D(c)＝0(其中c为常数)． 题型1：求离散型随机变量的均值 【例1-1】整数调值编码在信息学中具有重要应用.规定B～编码：当输入一个奇数时，其编码为0，1的概率分别为，；当输入一个偶数时，其编码为0，1的概率分别为，.现输入1，1，2，3后进行B～编码，记编码为0的数字个数为X，则（   ） A．1 B． C． D．2 【例1-2】（25-26高二下·辽宁朝阳·月考）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，用表示所选3人中男生的人数，则________． 【例1-3】（25-26高二下·天津·月考）设是一个离散型随机变量，其分布列为： 1 2 3 0.4 0.2 0.4 则的均值为__________. 【变式1-1】已知甲盒子有6个相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从甲盒子中取出一个小球，记随机变量是取出小球的编号，则数学期望（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二下·江西·期末）一个盒子中有4个球，分别标记为号，若每次取1个，有放回地取4次，记至少取出2次的球的个数为，则__________. 【变式1-3】将3种不同的蔬菜随机地种植到4块不同的实验田中去，每种蔬菜都要种植且只能种植到一块实验田中，每块实验田可以种植多种蔬菜．设每块实验田中种植的蔬菜种数的最大值为，则______． 题型2：离散型随机变量均值的性质 【例2-1】（24-25高二下·内蒙古呼和浩特·月考）已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高二下·福建泉州·月考）随机变量的分布列为，，，则（    ） A． B． C． D． 【例2-3】（24-25高二下·河南·期中）已知，是两个离散型随机变量，且，若，则______. 【变式2-1】（24-25高二下·四川成都·期末）若随机变量X的期望，则（   ） A．3 B．9 C．11 D．27 【变式2-2】从一批含有8件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为，则（    ） A．2 B．1 C．3 D．4 【变式2-3】（24-25高二下·广东珠海·月考）已知随机变量的分布列如下：若，则__________. 1 2 3 0.3 0.3 题型3：离散型随机变量均值的应用 【例3-1】若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为，制作次数为，若的数学期望，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例3-2】据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被盗的概率为0.01.保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费100元，若在一年以内，万元以上的财产被盗，保险公司赔偿a元（）．问a如何确定，可使保险公司期望获利？ 【例3-3】某（应用软件）举行推广活动，新用户注册前7天内，每天登录可获得1元红包，前7天连续登录的新用户，还可进入抽奖活动页面领取红包，每位用户随机点击4个红包中的1个领取（领取前不知道红包金额），领取后看1分钟广告，可再次从剩余3个红包中领取1个，4个红包的金额分别为元、元、元、元. (1)若前7天连续登录且抽奖活动页面看1分钟广告的新用户获得的所有红包金额之和（单位：元）的期望值为70元，求的值； (2)该推广活动进行一个月后，对新用户登录方案进行了调整，调整为：新用户注册前7天内，连续登录第天，当天可获得元红包，中间中断再登录重新计算连续天数，若新注册用户甲前4天已经连续登录该，后3天每天登录的概率均为，求该用户前7天内通过登录获得红包金额之和（单位：元）的分布列. 【变式3-1】某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为，已知他比赛两局得分的数学期望为2，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】袋子中装有形状，大小完全相同的小球若干，其中红球个，黄球个，蓝球1个.现从中随机取球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.若从该袋子中任取一个球，所得分数的数学期望为. (1)求正整数的值； (2)从该袋中一次性任取3个球，求所得分数之和等于5的概率. 【变式3-3】（24-25高二下·广西梧州·月考）某商家搞会员积分活动，活动规定：参与活动的顾客一次性投掷2个质地均匀的骰子，记这2个骰子的点数之和为.若，则积10分；若，则积20分；若，则积30分.按照该规则，记参与该活动一次获得的积分为. (1)求的分布列与期望. (2)为了让顾客获得更多积分，商家决定，当（）时，商家再额外赠送积分；当时，不额外赠送积分.记参与该活动一次最终获得的积分为，若，求的取值范围. 题型4： 超几何分布、两点分布的均值 【例4-1】（24-25高二下·河北衡水·期中）一批产品中次品率为10%，随机抽取1件，定义，则（   ） A．0.05 B．0.1 C．0.8 D．0.9 【例4-2】为了解高三学生复习的效果，某学校进行了预测考试，随机抽查了5名学生的语文成绩与数学成绩，得到如下数据： 学生 甲 乙 丙 丁 戊 语文 76 89 110 128 132 数学 82 94 135 115 124 现从这5人中任选3人进行学习方法的分享，用X表示其中语文分数大于数学分数的人数，则E（X） =________. 【例4-3】学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动. (1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； (2)记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望； (3)若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望. 【变式4-1】（24-25高二下·吉林·期中）篮球比赛中每次发球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中率为0.7，则他一次罚球得分的期望为（   ） A．0.3 B．0.7 C．0.49 D．0.21 【变式4-2】（24-25高二下·山东东营·期末）一个箱子里有10个除颜色外完全相同的小球，其中红色小球4个，黄色小球3个，蓝色小球2个，绿色小球1个，现从中有放回地抽取三次，记取出球的颜色种数为X，则________，数学期望________. 【变式4-3】已知某校篮球队共有9名队员，其中5名主力队员，4名替补队员.在某次训练中，该校篮球队教练从中随机地挑选3名队员进行投篮训练，每名队员至多投篮5次，一旦连续命中2次或者投完5次，都停止投篮. (1)记选出的3名队员中主力队员的人数为随机变量，求的概率分布和数学期望； (2)已知队员甲被选中参加投篮训练，假定队员甲每次投篮命中率均为，记队员甲投篮次数为随机变量，求的概率分布和数学期望. 题型5： 离散型随机变量的方差 【例5-1】已知随机变量的分布列如下表： 0 1 则随机变量的方差为（   ） A． B． C． D． 【例5-2】有10张卡片，其中8张标有数字张标有数字5，若从中随机抽出3张，设这3张卡片上的数字和为X，则________． 【例5-3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知某随机变量的概率分布为 1 2 3 其中，随机变量的方差，求的值 【变式5-1】（24-25高二下·山东东营·期末）袋中有2个白球，3个红球，从中随机连续抽取4次，每次取一个球.若每次抽取后都不放回，设取到红球的个数为X，则X的方差为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】设，且随机变量的分布列是 0 1 则的最小值为______． 【变式5-3】甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下： 射手甲： 击中环数 8 9 10 概率 0.2 0.6 0.2 射手乙： 击中环数 8 9 10 概率 0.4 0.2 0.4 试用击中环数的数学期望与方差分析比较两名射手的射击水平． 题型6：离散型随机变量方差的性质 【例6-1】（25-26高二下·福建厦门·月考）已知离散型随机变量X的分布列如表所示，若，则(          ) X 0 1 P A． B． C． D． 【例6-2】已知随机变量，则______. 【例6-3】已知随机变量X的分布列如表所示，且． X 0 1 x P p (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【变式6-1】已知随机变量X有三个不同的取值，分别是，其中，又，，随机变量X的方差的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二下·福建福州·期中）已知随机变量X的方差，则__________． 【变式6-3】已知离散型随机变量的分布列如下表，且． 0 2 (1)求的值； (2)求的值； (3)若，求的值． 题型7：离散型随机变量的方差的应用 【例7-1】（24-25高二下·安徽淮南·期中）设随机变量的分布列如下（其中），表示的方差，则（    ） 0 1 2 A．有最大值也有最小值 B．有最大值但无最小值 C．无最大值但有最小值 D．无最大值也无最小值 【例7-2】（24-25高二下·山东临沂·月考）已知为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变量，则________． 【例7-3】（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）甲、乙两个班级的同学进行目测数学教科书长度的游戏，令甲班同学目测的误差为（单位：），乙班同学目测的误差为（单位：）．根据游戏记录，统计结果为，，，，；，，，， (1)分别列出随机变量、的分布列； (2)哪个班目测的数据更接近教科书的真实长度？解释你的理由（可以通过观察给出答案，但必需包含必要的计算过程）． 【变式7-1】（24-25高二下·山东青岛·期中）投资A，B两种股票，每股收益的分布列如下表： 股票A收益分布列 收益X 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 股票B收益分布列 收益Y 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 下列说法正确的是（   ） A．投资股票A的期望收益较小 B．投资股票B的期望收益较小 C．投资股票A的风险比投资股票B的风险小 D．投资股票B的风险比投资股票A的风险小 【变式7-2】（24-25高二下·全国·课后作业）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量（单位：）对工期的影响如下表所示. 降水量 工期延误天数 0 2 6 10 若历史气象资料表明，该工程施工期间降水量小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数的数学期望是___________，工期延误天数的方差为___________. 【变式7-3】（25-26高二下·福建厦门·月考）某班级联欢会设置抽奖环节，在一个不透明的盒子中装有9个大小相同的小球，其中6个红球，3个白球．规定：每位同学从中一次性随机摸出3个球． (1)求某位同学摸出的红球个数多于白球个数的概率； (2)设随机变量表示该同学摸出的3个球中白球的个数，求的分布列； (3)求（2）中X的均值与方差． 一、单选题 1．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）若随机变量满足，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·新疆·期末）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X a a＋1 P x A． B． C． D． 3．若随机变量服从两点分布，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 4．已知随机变量X的分布列如下，若，则（    ） X 0 1 2 P m n A． B．7 C．21 D．22 5．（25-26高二下·全国·单元测试）若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2026高二下·全国·专题练习）一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为的函数：，，，，，，现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数的数学期望为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·辽宁朝阳·月考）已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则（   ） A． B．7 C．21 D．22 8．（25-26高二下·宁夏银川·月考）设离散型随机变量X的分布列如下表，若离散型随机变量Y满足，则下列结果错误的是（    ） X 0 1 0.6 m A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知，均为正数，随机变量的分布列如下表，则下列结论一定成立的是（   ） 0 1 2 A． B． C． D． 10．设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 4 P a 0.3 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·全国·单元测试）已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 2 则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 2 5 则______. 13．（24-25高二下·江苏徐州·期中）盒中装有3个黄球和1个红球，现从盒中每次随机取出1个球且不放回，直至取出红球.设在此过程中，取到黄球的个数为，则________ 14．（24-25高二下·山西·期末）已知一个袋中装有（除颜色外完全相同）5个红球，个黑球.现从袋中随机摸出3个球，设表示摸出红球的个数，若，则__________. 四、解答题 15．随机变量的分布列如下表，随机变量． 0 1 (1)求； (2)求． 16．（25-26高二下·全国·课堂例题）甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为 X 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 Y 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 你能评定这两个保护区的管理水平吗？ 17．（25-26高二下·宁夏银川·月考）袋中有除颜色外均相同的6个红球，4个黑球，若从中任取2个. (1)求至多有1个红球的概率； (2)设2个球中，黑球的个数为X，求X 的分布列及数学期望E(X).(用数字作答) 18．DeepSeek是北京一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为；如果出现语法错误，它回答正确的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答．已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个． (1)求小张能全部回答正确的概率； (2)求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率； (3)设小张答对的题数为，求的分布列，并求出的期望和方差． 19．（24-25高二下·福建福州·期末）联欢晚会上，有一个抽奖游戏．主持人从编号为1，2，3，⋯，n，的n个外观相同的箱子中随机选择两个不同的箱子分别放入一件奖品（共两件奖品），再将箱子关闭．主持人知道奖品在哪些箱子里．游戏规则如下： ①抽奖人首先选择一个箱子（记作k号箱）． ②主持人会从剩下的个箱子中打开一个空箱子（即没有奖品的箱子），且该箱子不是抽奖人选择的k号箱．如果有多个空箱子可选，主持人会随机选择一个打开． ③此时，抽奖人可以选择是否更换自己的选择． (1)设，，且主持人打开了3号箱．现在给你一次重新选择的机会： ①策略一：若你仍然选择1号箱，中奖的条件是什么？中奖概率是多少？ ②策略二：若你改选其他箱子（只能改选一次），应该选择哪个箱子？中奖概率是多少？试通过条件概率分析并说明哪种策略更优． (2)设，，且主持人打开了5号箱．定义随机变量X为另一个未被打开且未被选择的箱子中奖的箱子的最小编号（若另一个奖品在已打开的箱子中，则．求X的分布列及期望． (3)切比雪夫不等式指出：对于任意随机变量和，有，设，，主持人打开的箱子号码为随机变量Y．已知Y的方差．验证Y是否满足切比雪夫不等式对于的情况． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲离散型随机变量的数字特征 知识清单 知识点01：离散型随机变量的均值 知识点02：离散型随机变量的方差 题型讲解 （举三反三） 题型1：求离散型随机变量的均值 题型2：离散型随机变量均值的性质 题型3：离散型随机变量均值的应用 题型4：超几何分布、两点分布的均值 题型5：离散型随机变量的方差 题型6：离散型随机变量方差的性质 题型7：离散型随机变量的方差的应用 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1.离散型随机变量的均值 一　离散型随机变量的均值 1．离散型随机变量的均值的概念 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝为随机变量X的均值或数学期望． 2．离散型随机变量的均值的意义 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 3．离散型随机变量的均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为 Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 二、　两点分布的均值 如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.: 知识点2.离散型随机变量的方差 一、离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X的分布列如表所示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 我们用X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度．我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差(variance)，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差(standard deviation)，记为σ(X)． 二、　离散型随机变量方差的性质 1．设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)． 2．D(c)＝0(其中c为常数)． 题型1：求离散型随机变量的均值 【例1-1】整数调值编码在信息学中具有重要应用.规定B～编码：当输入一个奇数时，其编码为0，1的概率分别为，；当输入一个偶数时，其编码为0，1的概率分别为，.现输入1，1，2，3后进行B～编码，记编码为0的数字个数为X，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】分别求出输入的每个数字进行编码后为0的概率，再求出期望值即可得结果. 【详解】因为输入的数字为1，1，2，3，记第个数字进行编码后为0的概率为， 第一个数字为1（奇数），编码后为0的概率为； 第二个数字为1（奇数），编码后为0的概率为； 第三个数字为2（偶数），编码后为0的概率为； 第四个数字为3（奇数），编码后为0的概率为； 因此可得. 故选：C 【例1-2】（25-26高二下·辽宁朝阳·月考）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，用表示所选3人中男生的人数，则________． 【答案】2 【详解】的所有可能值为， ， 所以. 【例1-3】（25-26高二下·天津·月考）设是一个离散型随机变量，其分布列为： 1 2 3 0.4 0.2 0.4 则的均值为__________. 【答案】2 【详解】 【变式1-1】已知甲盒子有6个相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从甲盒子中取出一个小球，记随机变量是取出小球的编号，则数学期望（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的数学期望公式计算即可． 【详解】由题可得， ． 故选：C． 【变式1-2】（24-25高二下·江西·期末）一个盒子中有4个球，分别标记为号，若每次取1个，有放回地取4次，记至少取出2次的球的个数为，则__________. 【答案】/ 【分析】根据排列组合知识求出分布列，再根据期望公式计算即可. 【详解】由题意可知，的可能取值为， 则， 时，分三种情况：有个取出2次的球，再选个不同的球，再排序有种； 有个取出3次的球，再选个不同的球，再排序有种； 有个取出4次的球，有种； 则， 时，有个取出2次的球，再排序有种， 则， 则. 故答案为： 【变式1-3】将3种不同的蔬菜随机地种植到4块不同的实验田中去，每种蔬菜都要种植且只能种植到一块实验田中，每块实验田可以种植多种蔬菜．设每块实验田中种植的蔬菜种数的最大值为，则______． 【答案】 【分析】根据题意，的可能取值为1，2，3，分别求出，再由这些概率利用期望计算公式求得. 【详解】由题意可知，3种不同的蔬菜种植在4块不同的实验田有三种不同的情况： 情况一：1块种3种蔬菜，其余3块都种0种蔬菜； 情况二：1块种2种蔬菜，1块种1种蔬菜，其余2块都种0种蔬菜； 情况三：其中3块各种1种蔬菜，剩下1块种0种蔬菜. 故的可能取值为1，2，3， , , , 所以. 故答案为：. 题型2：离散型随机变量均值的性质 【例2-1】（24-25高二下·内蒙古呼和浩特·月考）已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分布列求，再应用期望的性质求即可. 【详解】由题设， 所以. 故选：C 【例2-2】（24-25高二下·福建泉州·月考）随机变量的分布列为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由均值的计算公式和均值的性质求解即可得出答案. 【详解】由题意可得，， 则. 故选：C. 【例2-3】（24-25高二下·河南·期中）已知，是两个离散型随机变量，且，若，则______. 【答案】1009. 【分析】根据离散型变量均值的相关性质，时，有. 【详解】，是两个离散型随机变量，且，若， 因为，所以. 故答案为：1009. 【变式2-1】（24-25高二下·四川成都·期末）若随机变量X的期望，则（   ） A．3 B．9 C．11 D．27 【答案】C 【分析】由数学期望的性质即可求解． 【详解】， 故选：C． 【变式2-2】从一批含有8件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为，则（    ） A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，得到变量的取值分别为，求得相应的概率，得到,再结合，即可求解. 【详解】由题意，随机变量的取值分别为， 可得； ， 所以,可得. 故选：D. 【变式2-3】（24-25高二下·广东珠海·月考）已知随机变量的分布列如下：若，则__________. 1 2 3 0.3 0.3 【答案】 【分析】根据分布列的性质，结合期望的公式和性质进行求解即可. 【详解】根据分布列的性质可知， 于是有， 又因为， 所以， 故答案为： 题型3：离散型随机变量均值的应用 【例3-1】若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为，制作次数为，若的数学期望，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意计算的概率，再由期望列出不等式求解即可. 【详解】由题意，的取值可能为1，2，3， 则，，， 则， 解得或，又，所以 故选：C 【例3-2】据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被盗的概率为0.01.保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费100元，若在一年以内，万元以上的财产被盗，保险公司赔偿a元（）．问a如何确定，可使保险公司期望获利？ 【答案】当a在100和10000之间取值时保险公司可望获利． 【分析】设X表示“保险公司在参加保险人身上的收益”，求出X的可能值及对应概率，再求出期望求解即可. 【详解】设X表示“保险公司在参加保险人身上的收益”， 则X的取值为和，，， 所以，解得， 又，因此， 即当a在100和10000之间取值时保险公司可望获利． 【例3-3】某（应用软件）举行推广活动，新用户注册前7天内，每天登录可获得1元红包，前7天连续登录的新用户，还可进入抽奖活动页面领取红包，每位用户随机点击4个红包中的1个领取（领取前不知道红包金额），领取后看1分钟广告，可再次从剩余3个红包中领取1个，4个红包的金额分别为元、元、元、元. (1)若前7天连续登录且抽奖活动页面看1分钟广告的新用户获得的所有红包金额之和（单位：元）的期望值为70元，求的值； (2)该推广活动进行一个月后，对新用户登录方案进行了调整，调整为：新用户注册前7天内，连续登录第天，当天可获得元红包，中间中断再登录重新计算连续天数，若新注册用户甲前4天已经连续登录该，后3天每天登录的概率均为，求该用户前7天内通过登录获得红包金额之和（单位：元）的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）求出X的所有可能取值，然后利用古典概型概率公式求解概率，再利用期望公式即可得到答案； （2）由题意求出Y的所有可能取值，利用独立事件乘法概率公式求出对应的概率，即可求出分布列. 【详解】（1）该试验为不放回抓取红包两次，从事件数考虑作答，由题意，总事件数， 由题意，所以，， ，， 所以，解得. （2）易知该用户前4天的红包金额之和为（元）， 由题意， 则， ，，，，，， 所以的分布列为 10 11 13 15 16 21 28 【变式3-1】某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为，已知他比赛两局得分的数学期望为2，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析两局得分的可能取值，求出相应的概率，由数学期望公式和已知数学期望得，通过基本不等式求的最大值. 【详解】比赛两局的得分可能的取值为0，1，2，3，4，6， ，，，，，， 则， 则有，得，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故选：B. 【变式3-2】袋子中装有形状，大小完全相同的小球若干，其中红球个，黄球个，蓝球1个.现从中随机取球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.若从该袋子中任取一个球，所得分数的数学期望为. (1)求正整数的值； (2)从该袋中一次性任取3个球，求所得分数之和等于5的概率. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由分数的取值，求相应的概率，根据数学期望的公式求正整数的值； （2）从该袋中一次性任取3个球，得分之和为5，包括一个红球两个黄球和两个红球一个蓝球两种情况，利用古典概型结合组合数公式计算即可. 【详解】（1）由题意有，，， 有 解得； （2）结合（1）知，袋子中红、黄、蓝球的个数分别是3，2，1， 共6个球，从中任取3个，得分之和为5，包括如下两种情况： ①一个红球，两个黄球，所求概率为； ②两个红球，一个蓝球，所求概率为， 故从该袋中一次性任取3个球，所得分数之和等于5的概率为. 【变式3-3】（24-25高二下·广西梧州·月考）某商家搞会员积分活动，活动规定：参与活动的顾客一次性投掷2个质地均匀的骰子，记这2个骰子的点数之和为.若，则积10分；若，则积20分；若，则积30分.按照该规则，记参与该活动一次获得的积分为. (1)求的分布列与期望. (2)为了让顾客获得更多积分，商家决定，当（）时，商家再额外赠送积分；当时，不额外赠送积分.记参与该活动一次最终获得的积分为，若，求的取值范围. 【答案】(1)分布列见解析，20 (2)，且. 【分析】（1）利用古典概型，计算得到对应概率，构建分布列，再计算可得 （2）先算出，再根据的定义，分与、、的大小关系讨论，计算并解不等式，确定范围. 【详解】（1）， ， ， 所以的分布列为 10 20 30 . （2）. 当时， . 当时， . 当时，， 令，解得，即当时，. 当时，. 综上，的取值范围为，且. 题型4： 超几何分布、两点分布的均值 【例4-1】（24-25高二下·河北衡水·期中）一批产品中次品率为10%，随机抽取1件，定义，则（   ） A．0.05 B．0.1 C．0.8 D．0.9 【答案】B 【分析】由均值的性质即可求解. 【详解】. 故选：B. 【例4-2】为了解高三学生复习的效果，某学校进行了预测考试，随机抽查了5名学生的语文成绩与数学成绩，得到如下数据： 学生 甲 乙 丙 丁 戊 语文 76 89 110 128 132 数学 82 94 135 115 124 现从这5人中任选3人进行学习方法的分享，用X表示其中语文分数大于数学分数的人数，则E（X） =________. 【答案】/ 【分析】随机抽查的名学生中，语文分数大于数学分数的人有人，则语文分数不大于数学分数的人有人，分别利用古典概型计算出概率，由期望公式可得答案． 【详解】随机抽查的名学生中，语文分数大于数学分数的人有人，则语文分数不大于数学分数的人有人， ， ， ， 则. 故答案为： 【例4-3】学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动. (1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； (2)记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望； (3)若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)13个工时 【分析】（1）根据条件概率公式，结合组合的定义、古典概型公式进行求解即可； （2）根据超几何分布的概率公式，结合数学期望公式进行求解即可； （3）根据数学期望公式和性质进行求解即可. 【详解】（1）设“有女生参加活动”为事件A，”恰有一名女生参加活动“为事件. 则， 所以. （2）依题意知服从超几何分布，且， ， 所以的分布列为： 0 1 2 ； （3）设一名女生参加活动可获得工时数为，一名男生参加活动可获得工时数为， 则的所有可能取值为，的所有可能取值为， ，， ，， 有名女生参加活动，则男生有名参加活动.， 所以. 即两人工时之和的期望为13个工时. 【变式4-1】（24-25高二下·吉林·期中）篮球比赛中每次发球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中率为0.7，则他一次罚球得分的期望为（   ） A．0.3 B．0.7 C．0.49 D．0.21 【答案】B 【分析】要求罚球1次得分的期望，需要先确定得分的所有可能取值以及对应的概率，然后根据期望的计算公式来求解. 【详解】设该运动员一次罚球的得分为随机变量，的取值为1和0， 已知罚球命中得分，命中概率为0.7，所以时的概率. 罚球命不中得分，那么命不中的概率就是，即时的概率. 根据期望的计算公式（这里是随机变量的取值，是对应取值的概率）. 对于本题，只有和两个取值，所以. 故他罚球次得分的期望为0.7. 故选：B. 【变式4-2】（24-25高二下·山东东营·期末）一个箱子里有10个除颜色外完全相同的小球，其中红色小球4个，黄色小球3个，蓝色小球2个，绿色小球1个，现从中有放回地抽取三次，记取出球的颜色种数为X，则________，数学期望________. 【答案】 / / 【分析】①把四种情况对应概率相加即可 ②（方法一）用表示红色，黄色，蓝色，绿色小球被取到，分别求出各自对应概率及数学期望，最后相加即可 （方法二）分别列出的所有可能取值，分别计算出，，，再计算期望即可. 【详解】①：. ②：（方法一） 设，则服从两点分布，，，, 设，则也从两点分布，，，, 设，则也从两点分布，，， 设，则也从两点分布，，， ， （方法二）， ， ， . 故答案为： ； 【变式4-3】已知某校篮球队共有9名队员，其中5名主力队员，4名替补队员.在某次训练中，该校篮球队教练从中随机地挑选3名队员进行投篮训练，每名队员至多投篮5次，一旦连续命中2次或者投完5次，都停止投篮. (1)记选出的3名队员中主力队员的人数为随机变量，求的概率分布和数学期望； (2)已知队员甲被选中参加投篮训练，假定队员甲每次投篮命中率均为，记队员甲投篮次数为随机变量，求的概率分布和数学期望. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选出名队员中主力队员，求解概率分布和数学期望； （2）根据每名队员至多投篮5次，一旦连续命中2次或投完5次，可得，求出期分布和期望. 【详解】（1）根据题意可得， 则,, ,, 则的分布列为： 所以 （2）根据每名队员至多投篮5次，一旦连续命中2次或投完5次，可得，则 则的分布列， . 题型5： 离散型随机变量的方差 【例5-1】已知随机变量的分布列如下表： 0 1 则随机变量的方差为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据随机变量方差公式求解即可. 【详解】由，解得：， 所以， 则， 故选：A 【例5-2】有10张卡片，其中8张标有数字张标有数字5，若从中随机抽出3张，设这3张卡片上的数字和为X，则________． 【答案】3.36 【分析】由题意得，随机变量的可能取值为6、9、12，求出三种情况下对应的概率，再直接利用方差公式求解即可． 【详解】，，， 则， ． 故答案为：3.36． 【例5-3】已知某随机变量的概率分布为 1 2 3 其中，随机变量的方差，求的值 【答案】/ 【分析】利用离散型随机变量的期望与方差公式列式计算，即可得解. 【详解】由题，，， 由，则， 解得，从而， 所以. 【变式5-1】（24-25高二下·山东东营·期末）袋中有2个白球，3个红球，从中随机连续抽取4次，每次取一个球.若每次抽取后都不放回，设取到红球的个数为X，则X的方差为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出X的可能取值和对应的概率，先计算出期望，再利用公式计算出方差. 【详解】X的可能取值为2，3， ，， 故，. 故选：A 【变式5-2】设，且随机变量的分布列是 0 1 则的最小值为______． 【答案】 【分析】据所给的分布列计算随机变量的期望和方差公式进行计算得，再根据二次函数的性质求出最小值. 【详解】由分布列得， 则， 当时，取得最小值． 故答案为：. 【变式5-3】甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下： 射手甲： 击中环数 8 9 10 概率 0.2 0.6 0.2 射手乙： 击中环数 8 9 10 概率 0.4 0.2 0.4 试用击中环数的数学期望与方差分析比较两名射手的射击水平． 【答案】答案见解析 【分析】根据数学期望及方差分析即可. 【详解】由题中数据得， ， ， ． 由此可知，，， 从而两名射手射击的环数平均值都是9环，但乙射手射击环数的集中度（稳定性）不如甲射手. 题型6：离散型随机变量方差的性质 【例6-1】（25-26高二下·福建厦门·月考）已知离散型随机变量X的分布列如表所示，若，则(          ) X 0 1 P A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由离散型随机变量X的分布列求得，根据方差的性质求得. 【详解】由离散型随机变量X的分布列，得， 所以， 所以. 【例6-2】已知随机变量，则______. 【答案】8 【分析】根据方差的性质直接求解即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：8 【例6-3】已知随机变量X的分布列如表所示，且． X 0 1 x P p (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】（1）利用离散型随机变量的分布列的性质以及期望和方差的计算公式即可求解； （2）利用方差的性质求解即可； （3）利用方差的性质求解即可. 【详解】（1）由题意可知，解得， 又∵，解得． ∴． （2）∵， ∴． （3）∵， ∴． 【变式6-1】已知随机变量X有三个不同的取值，分别是，其中，又，，随机变量X的方差的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据概率的性质求出，再根据期望公式求出，然后根据方差公式得出关于的表达式，最后根据二次函数的性质求出方差的最小值. 【详解】由，可得， 所以随机变量的期望为， 则方差为， 所以当时，方差取得最小值，最小值为. 故选：A. 【变式6-2】（24-25高二下·福建福州·期中）已知随机变量X的方差，则__________． 【答案】12 【分析】根据方差的性质即可求解． 【详解】， 故答案为：12． 【变式6-3】已知离散型随机变量的分布列如下表，且． 0 2 (1)求的值； (2)求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据概率和为1，先求得，再由，可得，再由期望公式即可求得. （2）方法一、由求解；方法二、根据求解即可； （3）由求解即可. 【详解】（1）由题意知，解得， 因为，所以， 则，解得． （2）方法一： ． 方法二：， ． （3）因为， 所以． 题型7：离散型随机变量的方差的应用 【例7-1】（24-25高二下·安徽淮南·期中）设随机变量的分布列如下（其中），表示的方差，则（    ） 0 1 2 A．有最大值也有最小值 B．有最大值但无最小值 C．无最大值但有最小值 D．无最大值也无最小值 【答案】B 【分析】根据给定的分布列求出期望，再由方差定义求出，结合二次函数性质求解即可. 【详解】由分布列，得随机变量的期望， 则， 由，得当时，取得最大值，无最小值. 故选：B. 【例7-2】（24-25高二下·山东临沂·月考）已知为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变量，则________． 【答案】/0.1875 【分析】首先列出随机变量，再求解分布列，最后求数学期望和方差. 【详解】由条可知，，，， 则， . 故答案为： 【例7-3】（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）甲、乙两个班级的同学进行目测数学教科书长度的游戏，令甲班同学目测的误差为（单位：），乙班同学目测的误差为（单位：）．根据游戏记录，统计结果为，，，，；，，，， (1)分别列出随机变量、的分布列； (2)哪个班目测的数据更接近教科书的真实长度？解释你的理由（可以通过观察给出答案，但必需包含必要的计算过程）． 【答案】(1)分布列见解析 (2)乙班目测的数据更接近教科书的真实长度，理由见解析 【分析】（1）通过题干已知概率即可列出随机变量、的分布列； （2）先计算两个班的期望，可反应平均误差，如果期望一样，再计算方差比较大小即可. 【详解】（1）根据已知条件，的分布列是： 0 1 2 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 的分布列是： 0 1 2 0.05 0.15 0.6 0.15 0.05 （2）直观观察的分布离散程度较大，所以乙班目测的数据更接近教科书的真实长度． 由（1）知，，， ，， 即要通过两个班数据的方差比较，说明哪个班更接近教科书的真实长度． 所以，， ， 则，故乙班的情况波动情况小， 所以，乙班目测的数据更接近教科书的真实长度． 【变式7-1】（24-25高二下·山东青岛·期中）投资A，B两种股票，每股收益的分布列如下表： 股票A收益分布列 收益X 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 股票B收益分布列 收益Y 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 下列说法正确的是（   ） A．投资股票A的期望收益较小 B．投资股票B的期望收益较小 C．投资股票A的风险比投资股票B的风险小 D．投资股票B的风险比投资股票A的风险小 【答案】D 【分析】根据表格求出两者的期望和方差，进而得到答案. 【详解】股票A收益X的期望为， 方差为， 股票B收益Y的期望为， 方差为， 所以, 投资股票A的期望收益等于投资股票B的期望收益， 投资股票B的风险比投资股票A的风险小. 故选：D. 【变式7-2】（24-25高二下·全国·课后作业）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量（单位：）对工期的影响如下表所示. 降水量 工期延误天数 0 2 6 10 若历史气象资料表明，该工程施工期间降水量小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数的数学期望是___________，工期延误天数的方差为___________. 【答案】 3 9.8 【分析】根据题意可得的可能取值为0，2，6，10，然后求出相应的概率，从而可求出的数学期望和方差. 【详解】由已知条件和概率的加法公式知，， ， ， . 所以随机变量的分布列为 0 2 6 10 0.3 0.4 0.2 0.1 故； . 故工期延误天数的方差为9.8. 故答案为：3，9.8. 【变式7-3】（25-26高二下·福建厦门·月考）某班级联欢会设置抽奖环节，在一个不透明的盒子中装有9个大小相同的小球，其中6个红球，3个白球．规定：每位同学从中一次性随机摸出3个球． (1)求某位同学摸出的红球个数多于白球个数的概率； (2)设随机变量表示该同学摸出的3个球中白球的个数，求的分布列； (3)求（2）中X的均值与方差． 【答案】(1)； (2)分布列见解析； (3)， 【分析】（1）先求出总的情况，再求出红球个数多于白球个数的情况，即可得答案; （2）由题意可得，求出每一种情况所对应的概率，即可列出分布列; （3）根据均值公式、方差公式求解即可. 【详解】（1）从9个球中摸出3个球，共有种， 其中红球个数多于白球个数的情况有：3红0白，2红1白两种情况， 所以一共有种可能， 所以摸出的红球个数多于白球个数的概率为 （2）由题意可得， 且，， ，， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 （3）由题意可得， 一、单选题 1．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）若随机变量满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方差的性质求出，再根据标准差与方差的关系求出. 【详解】因为，所以， 故. 故选：C. 2．（24-25高二下·新疆·期末）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X a a＋1 P x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用离散型随机变量的方差的计算公式进行求解即可. 【详解】因为，所以， 由题意得，， 所以． 故选：C. 3．若随机变量服从两点分布，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点分布期望和方差公式可将所求式子化为，利用基本不等式可求得结果. 【详解】服从两点分布，设成功的概率为，则可得，，其中， （当且仅当，即时取等号）， 的最大值为． 故选：D. 4．（25-26高二上·全国·期末）已知随机变量X的分布列如下，若，则（    ） X 0 1 2 P m n A． B．7 C．21 D．22 【答案】C 【分析】先根据分布列性质计算求参数，再根据方差定义计算方差，最后应用方差性质计算求解. 【详解】由题意可得：，解得， 则， 所以． 故选：C． 5．（25-26高二下·全国·单元测试）若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先写出两点分布，再根据期望和方差公式求，判断A，C；再根据期望和方差的性质，计算，判断B，D. 【详解】随机变量服从两点分布，其中，所以. 所以，故A选项结论正确； ，故C选项结论正确； ，故B选项结论正确； ，故D选项结论错误． 故选：D. 6．（2026高二下·全国·专题练习）一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为的函数：，，，，，，现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数的数学期望为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到随机变量可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【详解】由题意得，函数为偶函数，为奇函数， 所以随机变量可能取值为， 则，， ，， 所以的分布列为 1 2 3 4 所以期望为． 故选：A. 7．（25-26高二下·辽宁朝阳·月考）已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则（   ） A． B．7 C．21 D．22 【答案】C 【详解】易知，可得； 又，可知，所以，解得， 因此； 所以. 8．（25-26高二下·宁夏银川·月考）设离散型随机变量X的分布列如下表，若离散型随机变量Y满足，则下列结果错误的是（    ） X 0 1 0.6 m A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据期望和方差的公式及线性运算性质，求解即可. 【详解】由分布列的性质得，所以. 所以离散型随机变量X的数学期望为，所以A正确； 方差为，所以B正确； 所以，所以C正确； ，所以D错误. 二、多选题 9．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知，均为正数，随机变量的分布列如下表，则下列结论一定成立的是（   ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】AB，根据概率之和为1得到，且，进而判断AB选项，C，根据期望公式计算即可；D选项，利用方差的性质计算得到，故D错误. 【详解】AB选项，由题意，且， 而，大小不确定，故A正确，B错误； C选项，，故C正确； D选项，由， 所以， 与的大小有关，不一定小于1，故D错误； 故选：AC 10．设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 4 P a 0.3 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意，利用期望和方差的公式求得，结合期望与方差的性质，分别求得的值，即可求解. 【详解】由分布列的性质，可得，解得， 则， 因为，所以 . 故选：ABC. 11．（25-26高二下·全国·单元测试）已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 2 则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据分布列的性质、数学期望公式、方差公式计算可得答案. 【详解】由离散型随机变量分布列的性质知，故A正确； 由知，，，， 均值，C正确； 方差，故B错误，D正确． 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 2 5 则______. 【答案】10.4 【分析】根据分布列的性质即概率之和为1，可求得a，运用期望方差公式计算期望和方差，最后用方差性质计算即可答案. 【详解】由分布列的基本性质知，解得 故， 由离散型随机变量方差的性质可得， 故答案为：. 13．（24-25高二下·江苏徐州·期中）盒中装有3个黄球和1个红球，现从盒中每次随机取出1个球且不放回，直至取出红球.设在此过程中，取到黄球的个数为，则________ 【答案】 【分析】先写出随机变量的概率分布，然后代入期望和方差公式即可求解. 【详解】随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以， . 故答案为：. 14．（24-25高二下·山西·期末）已知一个袋中装有（除颜色外完全相同）5个红球，个黑球.现从袋中随机摸出3个球，设表示摸出红球的个数，若，则__________. 【答案】 【分析】根据给定的概率求出，进而求出的期望和方差. 【详解】依题意，， 整理得，而，解得， 的可能值为，，，， ，， 所以. 故答案为： 四、解答题 15．随机变量的分布列如下表，随机变量． 0 1 (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分布列求出的均值，利用均值的性质即可求解； （2）根据公式求出，利用方差的性质求解． 【详解】（1）， ． （2）， ． 16．（25-26高二下·全国·课堂例题）甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为 X 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 Y 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 你能评定这两个保护区的管理水平吗？ 【答案】两个保护区内每个季度发生的违反保护条例的事件的平均次数相同，但甲保护区的违反保护条例的事件次数相对分散和波动性大，乙保护区内违反保护条例的事件次数更集中和稳定． 【分析】求出，比较均值、方差的大小即可求解. 【详解】甲保护区违反保护条例的事件次数的数学期望和方差分别为： 乙保护区违反保护条例的事件次数的数学期望和方差分别为： 因为 所以两个保护区内每个季度发生的违反保护条例的事件的平均次数相同，但甲保护区的违反保护条例的事件次数相对分散和波动性大，乙保护区内违反保护条例的事件次数更集中和稳定． 17．（25-26高二下·宁夏银川·月考）袋中有除颜色外均相同的6个红球，4个黑球，若从中任取2个. (1)求至多有1个红球的概率； (2)设2个球中，黑球的个数为X，求X 的分布列及数学期望E(X).(用数字作答) 【答案】(1) (2) X 0 1 2 P 【详解】（1）记“至多有1个红球”为事件A，“恰有1个红球”为事件B，“没有红球”为事件C， 则，， . （2）X的可能取值为0，1，2，则 ， ， ， 则X的分布列为 X 0 1 2 P 所以X的数学期望． 18．DeepSeek是北京一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为；如果出现语法错误，它回答正确的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答．已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个． (1)求小张能全部回答正确的概率； (2)求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率； (3)设小张答对的题数为，求的分布列，并求出的期望和方差． 【答案】(1) (2)0.9 (3)答案见解析 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得； （2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”，将所求事件表示为，再利用全概率公式计算可得； （3）X的可能取值是，求出所对应的概率，即可求出分布列、期望和方差． 【详解】（1）由题意，小张能全部回答正确当且仅当抽到的9个问题均来自他能正确回答的9个问题. 则由古典概型的概率公式可得， 小张能全部回答正确的概率， 故小张能全部回答正确的概率为； （2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”， 则，且事件与互斥， 由题意知， 则， 由全概率公式可得， ． 故一个问题能被DeepSeek回答正确的概率为； （3）已知小张答对的题数为X，则X的可能取值是， 且， 所以X的分布列为： 8 9 则， . 故的期望为，方差为. 19．（24-25高二下·福建福州·期末）联欢晚会上，有一个抽奖游戏．主持人从编号为1，2，3，⋯，n，的n个外观相同的箱子中随机选择两个不同的箱子分别放入一件奖品（共两件奖品），再将箱子关闭．主持人知道奖品在哪些箱子里．游戏规则如下： ①抽奖人首先选择一个箱子（记作k号箱）． ②主持人会从剩下的个箱子中打开一个空箱子（即没有奖品的箱子），且该箱子不是抽奖人选择的k号箱．如果有多个空箱子可选，主持人会随机选择一个打开． ③此时，抽奖人可以选择是否更换自己的选择． (1)设，，且主持人打开了3号箱．现在给你一次重新选择的机会： ①策略一：若你仍然选择1号箱，中奖的条件是什么？中奖概率是多少？ ②策略二：若你改选其他箱子（只能改选一次），应该选择哪个箱子？中奖概率是多少？试通过条件概率分析并说明哪种策略更优． (2)设，，且主持人打开了5号箱．定义随机变量X为另一个未被打开且未被选择的箱子中奖的箱子的最小编号（若另一个奖品在已打开的箱子中，则．求X的分布列及期望． (3)切比雪夫不等式指出：对于任意随机变量和，有，设，，主持人打开的箱子号码为随机变量Y．已知Y的方差．验证Y是否满足切比雪夫不等式对于的情况． 【答案】(1)①中奖条件是1号箱有奖，；②选择2或4号箱均可，中奖概率为.策略1更优. (2)分布列见解析；期望为 (3)Y满足切比雪夫不等式对于的情况 【分析】（1）利用古典概型计算策略1的概率，结合列举法求对应事件的概率. （2）明确的取值，利用列举法求出对应值的概率，可得的分布列，再根据期望公式求期望. （3）先求，代入公式，计算验证即可. 【详解】（1）分析，主持人打开3号箱的情况 策略一：仍然选择1号箱 已知，两个奖品放在两个箱子里，抽奖人先选1号箱，主持人打开3号箱（空箱）。 若仍然选择1号箱，中奖条件是奖品在1号箱中。 最初主持人从4个箱子选2个放奖品，总共有种放法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)。 因为主持人打开了3号箱（空箱），所以奖品不可能在(1,3)，(2,3)，(3,4)中，剩下可能的放法为(1,2)，(1,4)，(2,4)，共3种。 其中奖品在1号箱的情况有(1,2)，(1,4)，共2种。所以仍然选择1号箱中奖概率。 策略二：改选其他箱子 剩下未被选（1号）和未被打开（3号已打开 ）的箱子是2号和4号。 由上面分析，奖品分布剩下(1,2)，(1,4)，(2,4)这3种情况。 若改选，要中奖则奖品不能在1号箱，即奖品在(2,4)时中奖，此时应选2号或4号箱（因为(2,4)表示奖品在2和4号箱 ）。 奖品在(2,4)这1种情况满足改选后中奖，所以改选后中奖概率（选2号或4号其中一个，这里以整体看改选后的中奖情况 ）。 对比，，策略一更优 （2）分析，，主持人打开5号箱的情况 首先，，抽奖人选2号箱，主持人打开5号箱（空箱）． 最初放奖品的总情况有种：，，，，，，，，，． 因为主持人打开5号箱（空箱），所以排除，，，，剩下6种情况：，，，，，． 求X的分布列 X为另一个未被打开且未被选择（2号被选，5号被打开）的箱子中中奖的箱子的最小编号， 若奖品在已打开箱子（这里已打开5号，若奖品有5号才会，但已排除含5号的情况，所以X取值为1，3，4． 当时：奖品分布为，，，共3种情况，概率． 当时：奖品分布为，（此时最小编号是3），共2种情况，概率． 当时：奖品分布为，共1种情况，概率． X的分布列： X 1 3 4 P ． （3）验证，时Y是否满足切比雪夫不等式 首先，，抽奖人选1号箱，主持人从2，3，4，5，6号箱中打开一个空箱，Y表示打开的箱子号码． 先求：Y可能取值为2，3，4，5，6．计算． 切比雪夫不等式要求验证，这里，， 则． 计算，即，． 因为，所以Y满足切比雪夫不等式对于的情况． 1 学科网（北京）股份有限公司 $