热点命题04·场景建模与方程应用-2026年小升初数学典型例题系列·从热点情境到终极压轴（原卷版+解析版）通用版

2026年小升初数学典型例题系列·从热点情境到终极压轴 热点命题04·场景建模与方程应用 传统的列方程解应用题都是标准化的工程、行程类题型，学生可以直接套公式；而新课标下的新式命题，已经完全转向了真实的生活或科学场景，核心考察学生的建模能力，能不能自己从复杂场景里抽象出等量关系，而不是靠套题型。目前这类新式命题在列方程解应用题中的占比已经从15%提升到30%，失分率高达50%，是整个式与方程板块失分最高的题型，很多学生因为习惯了套题型、用算术法思维，很难适应这类新题。 一、不变量类 比如盐水稀释、容器转移，靠隐藏的不变量（如溶质质量、物体体积）找等量关系 二、分段计费类 比如打车费、水电费，分阶段分析不同区间的收费规则，列分段的等量关系 三、优化决策类 比如套餐选择、采购方案，找到不同方案的费用临界点，辅助决策 四、跨学科类 比如科学的电路、浓度实验，从其他学科的场景里提取数学等量关系 五、隐藏等量关系类 比如诗词古算题，自己从文字描述里分析出隐藏的数量变化关系 六、间接设未知数类 直接设未知数不好列方程时，通过设中间量简化建模过程 1．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）某机械厂加工车间有84名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或者小齿轮10个，已知1个大齿轮与2个小齿轮刚好配成一套，问分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 2．（2025·江苏南通·小升初真题）“City Walk”指的是城市行走或城市漫游，是当下比较流行的一种城市旅游方式。某“City Walk'”团队采购了4双徒步鞋和3个背包，一共付款1950元。已知1个背包的价钱与3双徒步鞋的价钱相等。每个背包多少元？ 3．（2025·河南洛阳·小升初真题）科学课上，老师带领同学们做种子发芽实验，同学们用5个小型培养皿和2个大型培养皿来装种子，一共装了72粒。已知大型培养皿的装种量是小型培养皿的2倍，那么1个大型培养皿和1个小型培养皿各能装多少粒种子呢？ 4．（2025·四川绵阳·小升初真题）妈妈给红红一些钱去买贺卡，有甲、乙、丙三种贺卡，甲种卡每张0.5元，丙种卡每张1.2元，用这些钱买甲种卡要比买乙种卡多买8张，买乙种卡要比买丙种卡多买6张，妈妈给红红多少钱？乙种卡每张多少钱？ 5．（2025·浙江温州·小升初真题）A、B两城相距580千米，两城之间有一个C城，客车从A城开往C城，货车从B城开往C城。客车行驶了90千米，货车行驶了B、C两城间的距离的60%，而且这时客车货车剩下的路程刚好相等。求A、C两城之间的距离。 6．（2025·河南郑州·小升初真题）为了鼓励节约用电，某市电力公司规定了一下的电费计算方法：每月的用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；每月用电超过100千瓦时，超过的部分按每千瓦时0.6元收费。小明家十月份64.6元，用电多少千瓦时？ 7．（2025·北京·小升初真题）小仓鼠的学校距家有800米。平时它放学后总是慢悠悠地滚着它的仓鼠球回家，每分钟滚40米。有一天，它路过香喷喷的瓜子铺时，实在忍不住钻进去狂嗑了3分钟瓜子！结果它突然想起——回家晚了会被仓鼠妈妈发现！于是它立刻开启“疯狂滚球模式”，以每分钟60米的速度冲刺回家，最终竟然和平常到家的时间一模一样！小仓鼠的学校离瓜子铺有多少米？ 8．（2025·湖南长沙·小升初真题）学校选拔合唱队队员，初选时男生是女生的，有7名男生因不适合合唱，被淘汰了，然后又加入了女生12人，这时男生是女生的，现在男生、女生各多少人？ 9．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一水果店主分两批购进某一种水果。第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元。由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少25%。 (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降a%销售，结果还是出现了20%的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值。 10．（2025·江苏淮安·小升初真题）2025年最受关注的“苏超”火爆全网，本次江苏省城市足球联赛采用“常规赛十淘汰赛”双阶段赛制，参赛队伍共计13支。常规赛实行主客场循环赛制，每轮比赛安排1支球队轮空。淘汰赛：采用单回合淘汰赛赛制，淘汰赛阶段每场比赛均决出胜负，负者为亚军，第3－8名根据淘汰赛成绩和常规赛排名综合确定名次。 （1）常规赛中积分前8名的球队才能进入淘汰赛，积分前8名的球队总共需要进行（    ）场淘汰赛。（在括号填写答案，不用列式） （2）常规赛中13支球队总共需要进行多少场比赛？ （3）常规赛中，每场比赛胜一场得3分，平一场得1分，淮安队将平3场，淮安在常规赛中想要进入淘汰赛至少需要取得积分21分。按照AI的预测结果，淮安队至少获胜（    ）场才能进入淘汰赛。 1．《三国志》由西晋史学家陈寿所著。通过记载魏、蜀、吴三国鼎立时期的历史，来反映东汉末至晋初整个中国社会的全貌。《三国志》全书共65卷，由《魏书》《蜀书》《吴书》三部分组成。其中，《魏书》的卷数占《蜀书》和《吴书》的卷数之和的。《蜀书》和《吴书》的卷数之和是多少？（先画出线段图分析题意，再列方程解答。） 2．李师傅以每只24元的价格购进了一批玩具狗，然后以每只36元的价格卖出。当卖到总数的时，不但收回了全部成本，还有720元盈利，李师傅一共购进了多少只玩具狗？ 3．如果小东买了这个文具盒（如图），小东与小鹏的钱数之比为；如果小鹏买了这个文具盒，则小东与小鹏的钱数之比为，小东原有多少钱？ 4．如图是两个相互啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是相同的。大齿轮有34个齿，小齿轮有24个齿。当大齿轮每分转60圈时，小齿轮每分转多少圈？（用比例的知识解答） 5．某游泳馆推出两种付费方式。方式一：单次卡，每次收费25元；方式二：办理会员年卡，一次性缴纳200元会员费，每次游泳另外收费15元（一年内有效）。 （1）李叔叔制定了一个为期一年的游泳计划，每月游3次，请你帮李叔叔算一算，哪种付费方式更加划算？ （2）一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？ 6．江伯伯看中了一间长方形商铺（如下图），准备租下开一间咖啡书吧。签约那天，销售经理说：“很抱歉！已经有人提前交了租金，我们可以给你调换一间。给你换的这间也很好，虽然宽减少了3米，但是长增加了3米，租金不变，很公道。” （1）调换后的商铺与原来看中的商铺相比，面积（    ）。（填“增加”、“减少”或“相等”） （2）请在图中画一画，并说明你的想法。面积如果有变化，与原来相差（    ）平方米。 7．2023年，某地开始实施农村义务教育学校营养计划。“蛋奶工程”该地农村小学每份营养餐的标准是质量为300克，蛋白质含量为，包括一盒牛奶、一包饼干和一个鸡蛋，已知牛奶的蛋白质含量为，饼干的蛋白质含量为，鸡蛋的蛋白质含量为，一个鸡蛋的质量为60克。 （1）一个鸡蛋中含蛋白质的质量为多少克？ （2）每份营养餐中牛奶和饼干的质量分别为多少克？ 8．某中学六年级1班计划买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两种品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价100元，乒乓球每盒定价25元。经洽谈后，甲店每买一副球拍赠送一盒乒乓球，乙店全部按定价的九折优惠，该班需球拍5副，乒乓球盒（≥5）。 （1）请问在甲店购买应付多少元？在乙店购买应付多少元？（用含有的代数式表示） （2）若＝20，去哪家购买更划算？请说明理由。 9．红叶服装厂生产一批校服，前5天完成的套数与这批校服总套数的比是1∶3，如果再生产150套，则正好完成这批校服的40%。这批校服共有多少套？ 10．材料 在物理学的电学中，导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比（即电流＝电压÷电阻）。这就是欧姆定律（Ohm’slaw）。其中，电流的表示字母是I（单位：安培），电阻的表示字母是（单位：欧姆），电压的表示字母是（单位：伏特）。由此，我们可以得出欧姆定律用字母表示为 （1）已知有一个导体，其电阻为20欧姆。 ①当两端电压为10伏特，求通过它的电流大小； ②当电流大小为0.4安培，已知人体能接受的安全电压伏特，若有人接触了一根通电的铜丝，铜丝的电压大小与这个导体两端电压相同，那么这个人是安全的吗？并说明理由； （2）现在有另一个电阻当通过它的电流为2安培时，其两端的电压大小为10伏特，当通过它的电流大小由2安培变为6安培时，求它两端的电压大小增加了多少伏特。 （3）请你提出一个有关欧姆定律的数学题并解答。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 我听闻， 周杰伦《烟花易冷》 石板上回荡的是，再等！。 斑驳的城门，盘粥着老树根。 你始终一个人。 雨纷纷，旧故里草木深。 第1页共9页 品学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 2026年小升初数学典型例题系列•从热点情境到终极压轴 热点命题04·场景建模与方程应用 第一部分 热点概述 传统的列方程解应用题都是标准化的工程、行程类题型，学生可以直接套公式：而新课标 下的新式命题，已经完全转向了真实的生活或科学场景，核心考察学生的建模能力，能不能自 己从复杂场景里抽象出等量关系，而不是靠套题型。目前这类新式命题在列方程解应用题中的 占比已经从15%提升到30%，失分率高达50%，是整个式与方程板块失分最高的题型，很多 学生因为习惯了套题型、用算术法思维，很难适应这类新题。 第二部分 考向预测 一、不变量类 比如盐水稀释、容器转移，靠隐藏的不变量（如溶质质量、物体体积）找等量关系 二、分段计费类 比如打车费、水电费，分阶段分析不同区间的收费规则，列分段的等量关系 三、优化决策类 比如套餐选择、采购方案，找到不同方案的费用临界点，辅助决策 四、跨学科类 比如科学的电路、浓度实验，从其他学科的场景里提取数学等量关系 五、隐藏等呈关系类 比如诗词古算题，自己从文字描述里分析出隐藏的数量变化关系 六、间接设未知数类 直接设未知数不好列方程时，通过设中间量简化建模过程 第2页共9页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 第三部分 真题回眸 1.(2025重庆沙坪坝·小升初真题)某机械厂加工车间有84名工人，平均每人每天加工大齿 轮16个或者小齿轮10个，已知1个大齿轮与2个小齿轮刚好配成一套，问分别安排多少名工 人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 2.(2025·江苏南通·小升初真题)City Walk'指的是城市行走或城市漫游，是当下比较流行 的一种城市旅游方式。某City Walk'团队采购了4双徒步鞋和3个背包，一共付款1950元。 己知1个背包的价钱与3双徒步鞋的价钱相等。每个背包多少元？ 3.(2025·河南洛阳·小升初真题)科学课上，老师带领同学们做种子发芽实验，同学们用5 个小型培养皿和2个大型培养皿来装种子，一共装了72粒。已知大型培养皿的装种量是小型 培养皿的2倍，那么1个大型培养皿和1个小型培养皿各能装多少粒种子呢？ 4.(2025·四川绵阳·小升初真题)妈妈给红红一些钱去买贺卡，有甲、乙、丙三种贺卡，甲 种卡每张0.5元，丙种卡每张1.2元，用这些钱买甲种卡要比买乙种卡多买8张，买乙种卡要 比买丙种卡多买6张，妈妈给红红多少钱？乙种卡每张多少钱？ 第3页共9页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(2025·浙江温州小升初真题)A、B两城相距580千米，两城之间有一个C城，客车从A 城开往C城，货车从B城开往C城。客车行驶了90千米，货车行驶了B、C两城间的距离的 60%,而且这时客车货车剩下的路程刚好相等。求A、C两城之间的距离。 6.(2025·河南郑州·小升初真题)为了鼓励节约用电，某市电力公司规定了一下的电费计算 方法：每月的用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；每月用电超过100千瓦时， 超过的部分按每千瓦时0.6元收费。小明家十月份64.6元，用电多少千瓦时？ 7.(2025·北京·小升初真题)小仓鼠的学校距家有800米。平时它放学后总是慢悠悠地滚着 它的仓鼠球回家，每分钟滚40米。有一天，它路过香喷喷的瓜子铺时，实在忍不住钻进去狂 嗑了3分钟瓜子！结果它突然想起一回家晚了会被仓鼠妈妈发现！于是它立刻开启“疯狂滚 球模式”，以每分钟60米的速度冲刺回家，最终竟然和平常到家的时间一模一样！小仓鼠的学 校离瓜子铺有多少米？ 8.(2025湖南长沙小升初真题)学校选拔合唱队队员，初选时男生是女生的三，有7名男 生因不适合合唱，被淘达了，然后又加入了女生12人，这时男生是女生的吕，现在男生、女 生各多少人？ 第4页共9页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 9.(2025·重庆沙坪坝·小升初真题)一水果店主分两批购进某一种水果。第一批所用资金为 2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元。由于第二批每箱单价比第一批单 价多10元，以致购买的数量比第一批少25%。 ()该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (②)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后， 发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降a%销售，结果还是出现了20%的损 耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值。 10.（2025·江苏淮安·小升初真题)2025年最受关注的苏超”火爆全网，本次江苏省城市足球 联赛采用常规赛十淘汰赛”双阶段赛制，参赛队伍共计13支。常规赛实行主客场循环赛制， 每轮比赛安排1支球队轮空。淘汰赛：采用单回合淘汰赛赛制，淘汰赛阶段每场比赛均决出胜 负，负者为亚军，第3一8名根据淘汰赛成绩和常规赛排名综合确定名次。 (1)常规赛中积分前8名的球队才能进入淘汰赛，积分前8名的球队总共需要进行()场 淘汰赛。（在括号填写答案，不用列式） (2)常规赛中13支球队总共需要进行多少场比赛？ (3)常规赛中，每场比赛胜一场得3分，平一场得1分，准安队将平3场，准安在常规赛中 想要进入淘汰赛至少需要取得积分21分。按照AI的预测结果，淮安队至少获胜()场才能 进入淘汰赛。 第5页共9页 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 第四部分 押题预测 1.《三国志》由西晋史学家陈寿所著。通过记载魏、蜀、吴三国鼎立时期的历史，来反映东 汉末至晋初整个中国社会的全貌。《三国志》全书共65卷，由《魏书》《蜀书》《吴书》三 部分组成。其中，《魏书》的卷数占《蜀书》和《吴书》的卷数之和的。《蜀书》和《吴书》 的卷数之和是多少？（先画出线段图分析题意，再列方程解答。） 《蜀书》和《吴书》的卷数之和：上上上上上一 《魏书》的卷数： 2.李师傅以每只24元的价格购进了一批玩具狗，然后以每只36元的价格卖出。当卖到总数 的。时，不但收回了全部成本，还有720元盈利，李师傅一共购进了多少只玩具狗？ 3.如果小东买了这个文具盒（如图)，小东与小鹏的钱数之比为2：5；如果小鹏买了这个文 具盒，则小东与小鹏的钱数之比为8：13，小东原有多少钱？ 5元一个 第6页共9页 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 4.如图是两个相互啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是 相同的。大齿轮有34个齿，小齿轮有24个齿。当大齿轮每分转60圈时，小齿轮每分转多少 圈？（用比例的知识解答） 5.某游泳馆推出两种付费方式。方式一：单次卡，每次收费25元：方式二：办理会员年卡， 一次性缴纳200元会员费，每次游泳另外收费15元（一年内有效）。 (1)李叔叔制定了一个为期一年的游泳计划，每月游3次，请你帮李叔叔算一算，哪种付费 方式更加划算？ (2)一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？ 6.江伯伯看中了一间长方形商铺（如下图），准备租下开一间咖啡书吧。签约那天，销售经 理说：很抱歉！已经有人提前交了租金，我们可以给你调换一间。给你换的这间也很好，虽 然宽减少了3米，但是长增加了3米，租金不变，很公道。” 6 (1)调换后的商铺与原来看中的商铺相比，面积（)。（填增加、减少”或“相等） (2)请在图中画一画，并说明你的想法。面积如果有变化，与原来相差()平方米。 第7页共9页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 7.2023年，某地开始实施农村义务教育学校营养计划。“蛋奶工程”该地农村小学每份营养餐 的标准是质量为300克，蛋白质含量为8%，包括一盒牛奶、一包饼干和一个鸡蛋，已知牛奶 的蛋白质含量为5%，饼干的蛋白质含量为12.5%，鸡蛋的蛋白质含量为15%，一个鸡蛋的质量 为60克。 (1)一个鸡蛋中含蛋白质的质量为多少克？ (2)每份营养餐中牛奶和饼干的质量分别为多少克？ 8.某中学六年级1班计划买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两种品牌的乒 乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价100元，乒乓球每盒定价25元。经洽谈后，甲店每买一 副球拍赠送一盒乒乓球，乙店全部按定价的九折优惠，该班需球拍5副，乒乓球x盒(x≥5)。 (1)请问在甲店购买应付多少元？在乙店购买应付多少元？（用含有x的代数式表示） (2)若x=20,去哪家购买更划算？请说明理由。 9.红叶服装厂生产一批校服，前5天完成的套数与这批校服总套数的比是1：3，如果再生产 150套，则正好完成这批校服的40%。这批校服共有多少套？ 第8页共9页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 10.材料 在物理学的电学中，导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比（即电流 =电压÷电阻)。这就是欧姆定律(Ohm'slaw)。其中，电流的表示字母是I(单位：安培)， 电阻的表示字母是R(单位：欧姆)，电压的表示字母是U(单位：伏特)。由此，我们可以 得出欧姆定律用字母表示为 1 R (1)已知有一个导体，其电阻为20欧姆。 ①当两端电压为10伏特，求通过它的电流大小： ②当电流大小为0.4安培，已知人体能接受的安全电压≤36伏特，若有人接触了一根通电的铜 丝，铜丝的电压大小与这个导体两端电压相同，那么这个人是安全的吗？并说明理由： (2)现在有另一个电阻当通过它的电流为2安培时，其两端的电压大小为10伏特，当通过它 的电流大小由2安培变为6安培时，求它两端的电压大小增加了多少伏特。 (3)请你提出一个有关欧姆定律的数学题并解答。 第9页共9页可学科网 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 我听闻， 周杰伦《烟花易冷》 石板上回荡的是，再等！。 斑驳的城门，盘粥着老树根。 你始终一个人。 雨纷纷，旧故里草木深。 第1页共21页 www.zxxk.com 让教与学更高效 我听闻， 周杰伦《烟花易冷》 石板上回荡的是，再等！。 斑驳的城门，盘粥着老树根。 你始终一个人。 雨纷纷，旧故里草木深。 第1页共21页 品学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 2026年小升初数学典型例题系列•从热点情境到终极压轴 热点命题04·场景建模与方程应用 第一部分 热点概述 传统的列方程解应用题都是标准化的工程、行程类题型，学生可以直接套公式：而新课标 下的新式命题，已经完全转向了真实的生活或科学场景，核心考察学生的建模能力，能不能自 己从复杂场景里抽象出等量关系，而不是靠套题型。目前这类新式命题在列方程解应用题中的 占比已经从15%提升到30%，失分率高达50%，是整个式与方程板块失分最高的题型，很多 学生因为习惯了套题型、用算术法思维，很难适应这类新题。 第二部分 考向预测 一、不变量类 比如盐水稀释、容器转移，靠隐藏的不变量（如溶质质量、物体体积）找等量关系 二、分段计费类 比如打车费、水电费，分阶段分析不同区间的收费规则，列分段的等量关系 三、优化决策类 比如套餐选择、采购方案，找到不同方案的费用临界点，辅助决策 四、跨学科类 比如科学的电路、浓度实验，从其他学科的场景里提取数学等量关系 五、隐藏等呈关系类 比如诗词古算题，自己从文字描述里分析出隐藏的数量变化关系 六、间接设未知数类 直接设未知数不好列方程时，通过设中间量简化建模过程 第2页共21页 品学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 2026年小升初数学典型例题系列•从热点情境到终极压轴 热点命题04·场景建模与方程应用 第一部分 热点概述 传统的列方程解应用题都是标准化的工程、行程类题型，学生可以直接套公式：而新课标 下的新式命题，已经完全转向了真实的生活或科学场景，核心考察学生的建模能力，能不能自 己从复杂场景里抽象出等量关系，而不是靠套题型。目前这类新式命题在列方程解应用题中的 占比已经从15%提升到30%，失分率高达50%，是整个式与方程板块失分最高的题型，很多 学生因为习惯了套题型、用算术法思维，很难适应这类新题。 第二部分 考向预测 一、不变量类 比如盐水稀释、容器转移，靠隐藏的不变量（如溶质质量、物体体积）找等量关系 二、分段计费类 比如打车费、水电费，分阶段分析不同区间的收费规则，列分段的等量关系 三、优化决策类 比如套餐选择、采购方案，找到不同方案的费用临界点，辅助决策 四、跨学科类 比如科学的电路、浓度实验，从其他学科的场景里提取数学等量关系 五、隐藏等呈关系类 比如诗词古算题，自己从文字描述里分析出隐藏的数量变化关系 六、间接设未知数类 直接设未知数不好列方程时，通过设中间量简化建模过程 第2页共21页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 第三部分 真题回眸 1. (2025·重庆沙坪坝·小升初真题)某机械厂加工车间有84名工人，平均每人每天加工大齿 轮16个或者小齿轮10个，已知1个大齿轮与2个小齿轮刚好配成一套，问分别安排多少名工 人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 【答案】20名；64名 【分析】设安排x名工人加工大齿轮，则(84一x)名工人加工小齿轮，根据“小齿轮总数=2× 大齿轮总数的配套关系，列出方程10(84一x)=2×16x,解方程求出加工大齿轮的工人数， 进而求出加工小齿轮的工人数 【详解】解：设安排x名工人加工大齿轮，则(84一x)名工人加工小齿轮。 10(84-x)=2×16x 840-10x=32x 840-10x+10x=32x+10x 840=42x 42x=840 42x÷42=840÷42 X=20 84-20=64（人) 答：安排20名工人加工大齿轮，64名工人加工小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套。 2.（2025·江苏南通·小升初真题)℃ity Walk指的是城市行走或城市漫游，是当下比较流行 的一种城市旅游方式。某City Walk'团队采购了4双徒步鞋和3个背包，一共付款1950元。 已知1个背包的价钱与3双徒步鞋的价钱相等。每个背包多少元？ 【答案】450元 【分析】根据题意，可得数量关系：①4双徒步鞋的价钱+3个背包的价钱=1950元②1个背 包的价钱=3双徒步鞋的价钱，假设团队买的全是徒步鞋，根据关系②，买1个背包相当于买 3双徒步鞋，买3个背包相当于买3×3双徒步鞋，那么根据关系①，1950元一共能买(4+3×3) 双徒步鞋，用1950除以徒步鞋数量，求得每双徒步鞋的价钱，再乘3求得每个背包的价钱。 【详解】假设团队买的全是徒步鞋，每双徒步鞋的价钱： 1950÷(4+3×3) 第3页共21页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 第三部分 真题回眸 1. (2025·重庆沙坪坝·小升初真题)某机械厂加工车间有84名工人，平均每人每天加工大齿 轮16个或者小齿轮10个，已知1个大齿轮与2个小齿轮刚好配成一套，问分别安排多少名工 人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 【答案】20名；64名 【分析】设安排x名工人加工大齿轮，则(84一x)名工人加工小齿轮，根据“小齿轮总数=2× 大齿轮总数的配套关系，列出方程10(84一x)=2×16x,解方程求出加工大齿轮的工人数， 进而求出加工小齿轮的工人数 【详解】解：设安排x名工人加工大齿轮，则(84一x)名工人加工小齿轮。 10(84-x)=2×16x 840-10x=32x 840-10x+10x=32x+10x 840=42x 42x=840 42x÷42=840÷42 X=20 84-20=64（人) 答：安排20名工人加工大齿轮，64名工人加工小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套。 2.（2025·江苏南通·小升初真题)℃ity Walk指的是城市行走或城市漫游，是当下比较流行 的一种城市旅游方式。某City Walk'团队采购了4双徒步鞋和3个背包，一共付款1950元。 已知1个背包的价钱与3双徒步鞋的价钱相等。每个背包多少元？ 【答案】450元 【分析】根据题意，可得数量关系：①4双徒步鞋的价钱+3个背包的价钱=1950元②1个背 包的价钱=3双徒步鞋的价钱，假设团队买的全是徒步鞋，根据关系②，买1个背包相当于买 3双徒步鞋，买3个背包相当于买3×3双徒步鞋，那么根据关系①，1950元一共能买(4+3×3) 双徒步鞋，用1950除以徒步鞋数量，求得每双徒步鞋的价钱，再乘3求得每个背包的价钱。 【详解】假设团队买的全是徒步鞋，每双徒步鞋的价钱： 1950÷(4+3×3) 第3页共21页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =1950÷(4+9) =1950÷13 =150（元) 每个背包的价钱： 150×3=450(元) 答：每个背包450元。 【点睛】本题考查假设法解决问题的策略，学生能根据题目中的数量关系提出假设，再根据假 设后的关系列式计算。 3.(2025河南洛阳·小升初真题)科学课上，老师带领同学们做种子发芽实验，同学们用5 个小型培养皿和2个大型培养皿来装种子，一共装了72粒。已知大型培养皿的装种量是小型 培养皿的2倍，那么1个大型培养皿和1个小型培养皿各能装多少粒种子呢？ 【答案】小型培养皿装8粒；大型培养皿装16粒 【分析】已知大型培养皿的装种量是小型培养皿的2倍，那么1个大型培养皿的装种量相当于 2个小型培养皿的装种量，则2个大型培养皿的装种量相当于小型培养皿的数量为：2×2=4（个）： 用了5个小型培养皿和2个大型培养皿，相当于用了小型培养皿的数量为：5+4=9（个）； 已知一共装了72粒种子，那么1个小型培养皿能装的种子数为：72-9=8（粒），再根据一 个数的几倍是多少，用乘法”，求出1个大型培养皿能装的种子数为：8×2=16（粒）。 【详解】2×2=4（个） 5+4=9(个) 72÷9=8(粒) 8×2=16（粒) 答：1个小型培养皿能装8粒，1个大型培养皿能装16粒。 4.(2025·四川绵阳·小升初真题)妈妈给红红一些钱去买贺卡，有甲、乙、丙三种贺卡，甲 种卡每张0.5元，丙种卡每张1.2元，用这些钱买甲种卡要比买乙种卡多买8张，买乙种卡要 比买丙种卡多买6张，妈妈给红红多少钱？乙种卡每张多少钱？ 【答案】12元；0.75元 【分析】把用这些钱可以买丙种卡的数量设为未知数，用含有字母的式子分别表示出用这些钱 可以买甲种卡和乙种卡的数量，妈妈给红红的总钱数不变，等量关系式：甲种卡的数量×甲种 卡的单价=丙种卡的数量×丙种卡的单价，列方程求出用这些钱可以买丙种卡的数量，妈妈给 第4页共21页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =1950÷(4+9) =1950÷13 =150（元) 每个背包的价钱： 150×3=450(元) 答：每个背包450元。 【点睛】本题考查假设法解决问题的策略，学生能根据题目中的数量关系提出假设，再根据假 设后的关系列式计算。 3.(2025河南洛阳·小升初真题)科学课上，老师带领同学们做种子发芽实验，同学们用5 个小型培养皿和2个大型培养皿来装种子，一共装了72粒。已知大型培养皿的装种量是小型 培养皿的2倍，那么1个大型培养皿和1个小型培养皿各能装多少粒种子呢？ 【答案】小型培养皿装8粒；大型培养皿装16粒 【分析】已知大型培养皿的装种量是小型培养皿的2倍，那么1个大型培养皿的装种量相当于 2个小型培养皿的装种量，则2个大型培养皿的装种量相当于小型培养皿的数量为：2×2=4（个）： 用了5个小型培养皿和2个大型培养皿，相当于用了小型培养皿的数量为：5+4=9（个）； 已知一共装了72粒种子，那么1个小型培养皿能装的种子数为：72-9=8（粒），再根据一 个数的几倍是多少，用乘法”，求出1个大型培养皿能装的种子数为：8×2=16（粒）。 【详解】2×2=4（个） 5+4=9(个) 72÷9=8(粒) 8×2=16（粒) 答：1个小型培养皿能装8粒，1个大型培养皿能装16粒。 4.(2025·四川绵阳·小升初真题)妈妈给红红一些钱去买贺卡，有甲、乙、丙三种贺卡，甲 种卡每张0.5元，丙种卡每张1.2元，用这些钱买甲种卡要比买乙种卡多买8张，买乙种卡要 比买丙种卡多买6张，妈妈给红红多少钱？乙种卡每张多少钱？ 【答案】12元；0.75元 【分析】把用这些钱可以买丙种卡的数量设为未知数，用含有字母的式子分别表示出用这些钱 可以买甲种卡和乙种卡的数量，妈妈给红红的总钱数不变，等量关系式：甲种卡的数量×甲种 卡的单价=丙种卡的数量×丙种卡的单价，列方程求出用这些钱可以买丙种卡的数量，妈妈给 第4页共21页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 红红的总钱数=丙种卡的数量×丙种卡的单价，乙种卡的单价=妈妈给红红的总钱数÷乙种卡 的数量，据此解答。 【详解】解：设用这些钱可以买x张丙种卡，则可以买(x+6)张乙种卡，可以买(x+6+8)张甲 种卡。 (x+6+8)×0.5=1.2x (x+14)×0.5=1.2x 0.5x+14×0.5=1.2x 0.5.x+7=1.2x 0.5x+7-0.5x=1.2x-0.5x 7=0.7x 0.7x=7 0.7x÷0.7=7÷0.7 x=10 10+6=16(张) 1.2×10=12（元) 12÷16=0.75(元) 答：妈妈给红红12元，乙种卡每张0.75元。 【点睛】分析题意准确设出未知数并抓住题目中的不变量列出方程是解答题目的关键。 5.(2025浙江温州·小升初真题)A、B两城相距580千米，两城之间有一个C城，客车从A 城开往C城，货车从B城开往C城。客车行驶了90千米，货车行驶了B、C两城间的距离的 60%,而且这时客车货车剩下的路程刚好相等。求A、C两城之间的距离。 【答案】230千米 【分析】根据题意，设A、C两城间的距离为x千米，那么B、C两城间的距离为(580一x) 千米。再分别表示出客车剩余路程为x一90千米，货车剩余路程为(580一x)×(1一60%)千 米：最后根据客车剩余路程=货车剩余路程”列出方程求解，从而得到A、C两城之间的距离。 【详解】解：设A、C两城间的距离为x千米，那么B、C两城间的距离为(580一x)千米。 x-90=（1一60%)×(580-x) x-90=0.4×(580-x) 第5页共21页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 红红的总钱数=丙种卡的数量×丙种卡的单价，乙种卡的单价=妈妈给红红的总钱数÷乙种卡 的数量，据此解答。 【详解】解：设用这些钱可以买x张丙种卡，则可以买(x+6)张乙种卡，可以买(x+6+8)张甲 种卡。 (x+6+8)×0.5=1.2x (x+14)×0.5=1.2x 0.5x+14×0.5=1.2x 0.5.x+7=1.2x 0.5x+7-0.5x=1.2x-0.5x 7=0.7x 0.7x=7 0.7x÷0.7=7÷0.7 x=10 10+6=16(张) 1.2×10=12（元) 12÷16=0.75(元) 答：妈妈给红红12元，乙种卡每张0.75元。 【点睛】分析题意准确设出未知数并抓住题目中的不变量列出方程是解答题目的关键。 5.(2025浙江温州·小升初真题)A、B两城相距580千米，两城之间有一个C城，客车从A 城开往C城，货车从B城开往C城。客车行驶了90千米，货车行驶了B、C两城间的距离的 60%,而且这时客车货车剩下的路程刚好相等。求A、C两城之间的距离。 【答案】230千米 【分析】根据题意，设A、C两城间的距离为x千米，那么B、C两城间的距离为(580一x) 千米。再分别表示出客车剩余路程为x一90千米，货车剩余路程为(580一x)×(1一60%)千 米：最后根据客车剩余路程=货车剩余路程”列出方程求解，从而得到A、C两城之间的距离。 【详解】解：设A、C两城间的距离为x千米，那么B、C两城间的距离为(580一x)千米。 x-90=（1一60%)×(580-x) x-90=0.4×(580-x) 第5页共21页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x-90=232-0.4x x-90+0.4x=232-0.4x+0.4x 1.4x-90=232 1.4x-90+90=232+90 1.4x=322 1.4x÷1.4=322÷1.4 x=230 答：A、C两城之间的距离是230千米。 【点睛】本题的关键是抓住客车剩余路程=货车剩余路程”的等量关系，设A、C距离为x千 米，用x表示出B、C距离和两车剩余路程，再列方程求解。 6.(2025河南郑州小升初真题)为了鼓励节约用电，某市电力公司规定了一下的电费计算 方法：每月的用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；每月用电超过100千瓦时， 超过的部分按每千瓦时0.6元收费。小明家十月份64.6元，用电多少千瓦时？ 【答案】121千瓦时 【分析】首先计算用电100千瓦时的费用为0.52×100=52元。小明家电费64.6元超过52元， 说明用电量超过100千瓦时。设用电量为x千瓦时，超过部分为(x一100)千瓦时，总电费由 两部分组成：前100千瓦时的52元和超过部分的0.6(x一100)元。据此列方程求解。 【详解】解：设小明家十月份用电x千瓦时。 0.52×100+0.6(x-100)=64.6 52+0.6x-60=64.6 0.6x-8=64.6 0.6x-8+8=64.6+8 0.6x=72.6 0.6x÷0.6=72.6÷0.6 x=121 答：用电121千瓦时。 7.(2025·北京·小升初真题)小仓鼠的学校距家有800米。平时它放学后总是慢悠悠地滚着 它的仓鼠球回家，每分钟滚40米。有一天，它路过香喷喷的瓜子铺时，实在忍不住钻进去狂 嗑了3分钟瓜子！结果它突然想起一回家晚了会被仓鼠妈妈发现！于是它立刻开启“疯狂滚 第6页共21页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x-90=232-0.4x x-90+0.4x=232-0.4x+0.4x 1.4x-90=232 1.4x-90+90=232+90 1.4x=322 1.4x÷1.4=322÷1.4 x=230 答：A、C两城之间的距离是230千米。 【点睛】本题的关键是抓住客车剩余路程=货车剩余路程”的等量关系，设A、C距离为x千 米，用x表示出B、C距离和两车剩余路程，再列方程求解。 6.(2025河南郑州小升初真题)为了鼓励节约用电，某市电力公司规定了一下的电费计算 方法：每月的用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；每月用电超过100千瓦时， 超过的部分按每千瓦时0.6元收费。小明家十月份64.6元，用电多少千瓦时？ 【答案】121千瓦时 【分析】首先计算用电100千瓦时的费用为0.52×100=52元。小明家电费64.6元超过52元， 说明用电量超过100千瓦时。设用电量为x千瓦时，超过部分为(x一100)千瓦时，总电费由 两部分组成：前100千瓦时的52元和超过部分的0.6(x一100)元。据此列方程求解。 【详解】解：设小明家十月份用电x千瓦时。 0.52×100+0.6(x-100)=64.6 52+0.6x-60=64.6 0.6x-8=64.6 0.6x-8+8=64.6+8 0.6x=72.6 0.6x÷0.6=72.6÷0.6 x=121 答：用电121千瓦时。 7.(2025·北京·小升初真题)小仓鼠的学校距家有800米。平时它放学后总是慢悠悠地滚着 它的仓鼠球回家，每分钟滚40米。有一天，它路过香喷喷的瓜子铺时，实在忍不住钻进去狂 嗑了3分钟瓜子！结果它突然想起一回家晚了会被仓鼠妈妈发现！于是它立刻开启“疯狂滚 第6页共21页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 球模式”，以每分钟60米的速度冲刺回家，最终竞然和平常到家的时间一模一样！小仓鼠的学 校离瓜子铺有多少米？ 【答案】440米 【分析】根据时间=路程：速度”，按照正常每分钟滚40米的速度，小仓鼠回家需要800÷40 =20分钟：而如果嗑了3分钟瓜子后还和平常到家的时间一模一样，则路上共花了20一3=17 分钟；可设小仓鼠的学校离瓜子铺有x米，则瓜子铺离小仓鼠家有(800一x)米，小仓鼠从学 校到瓜子铺的速度是每分钟40米，用时0分钟，而小仓鼠从瓜子铺到家的速度是每分钟60 米，用时80分钟，可列方程为言+0产=17，解方程即可解答。 60 【详解】解：设小仓鼠的学校离瓜子铺有x米，则瓜子铺离小仓鼠家有(800一x)米。 800÷40-3 =20-3 =17(分钟) +80x=17 40 60 x 40×120+800-x×120=17×120 60 3x+2×(800-x)=2040 3x+1600-2x=2040 x+1600=2040 x+1600-1600=2040-1600 x=440 答：小仓鼠的学校离瓜子铺有440米。 【点睛】本题考查行程问题，解题关键在于理解提速节省的时间=吃瓜子的时间。 8。(2025湖南长沙·小升初真题)学校选拔合唱队队员，初选时男生是女生的行，有7名男 生因不适合合唱，被询汰了，然后又加入了女生12人，这时男生是女生的合现在男生、女 生各多少人？ 【答案】男生25人：女生60人 【分析】初选时男生是女生的子，即男生=女生×子，人数变动后，男生是女生的)，男生一 女生×司，可以利用方程解题，设原来女生有x人，然后根据前后男生人数差7人列方程，然 5 第7页共21页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 球模式”，以每分钟60米的速度冲刺回家，最终竞然和平常到家的时间一模一样！小仓鼠的学 校离瓜子铺有多少米？ 【答案】440米 【分析】根据时间=路程：速度”，按照正常每分钟滚40米的速度，小仓鼠回家需要800÷40 =20分钟：而如果嗑了3分钟瓜子后还和平常到家的时间一模一样，则路上共花了20一3=17 分钟；可设小仓鼠的学校离瓜子铺有x米，则瓜子铺离小仓鼠家有(800一x)米，小仓鼠从学 校到瓜子铺的速度是每分钟40米，用时0分钟，而小仓鼠从瓜子铺到家的速度是每分钟60 米，用时80分钟，可列方程为言+0产=17，解方程即可解答。 60 【详解】解：设小仓鼠的学校离瓜子铺有x米，则瓜子铺离小仓鼠家有(800一x)米。 800÷40-3 =20-3 =17(分钟) +80x=17 40 60 x 40×120+800-x×120=17×120 60 3x+2×(800-x)=2040 3x+1600-2x=2040 x+1600=2040 x+1600-1600=2040-1600 x=440 答：小仓鼠的学校离瓜子铺有440米。 【点睛】本题考查行程问题，解题关键在于理解提速节省的时间=吃瓜子的时间。 8。(2025湖南长沙·小升初真题)学校选拔合唱队队员，初选时男生是女生的行，有7名男 生因不适合合唱，被询汰了，然后又加入了女生12人，这时男生是女生的合现在男生、女 生各多少人？ 【答案】男生25人：女生60人 【分析】初选时男生是女生的子，即男生=女生×子，人数变动后，男生是女生的)，男生一 女生×司，可以利用方程解题，设原来女生有x人，然后根据前后男生人数差7人列方程，然 5 第7页共21页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ▣求出女生人数，然后再加12人计算出形 求现在男生人数。 【详解】设原来女生有x人。 }x=7=(x+12) 3x-7=5、 2 5 =立x+12×2 2 3x-7=12x+5 x-1- 2 5 一×—5一 6X= 85 12X-12X-7=5 3 x-7=5 12x-7+7=5+7 12x=12 3xx2=12 12x3 3 x=48 48+12=60(人) 5 60x12=25（人) 答：现在男生25人，女生60人。 9.(2025·重庆沙坪坝·小升初真题)一水果店主分两批购进某一种水果。第一批所用资金为 2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元。由于第二批每箱单价比第一批单 价多10元，以致购买的数量比第一批少25%。 (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后， 发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降a%销售，结果还是出现了20%的损 耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值。 【答案】(1) 第一批水果的单价是20元，第二批水果的单价是30元。 (2) 第8页共21页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ▣求出女生人数，然后再加12人计算出形 求现在男生人数。 【详解】设原来女生有x人。 }x=7=(x+12) 3x-7=5、 2 5 =立x+12×2 2 3x-7=12x+5 x-1- 2 5 一×—5一 6X= 85 12X-12X-7=5 3 x-7=5 12x-7+7=5+7 12x=12 3xx2=12 12x3 3 x=48 48+12=60(人) 5 60x12=25（人) 答：现在男生25人，女生60人。 9.(2025·重庆沙坪坝·小升初真题)一水果店主分两批购进某一种水果。第一批所用资金为 2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元。由于第二批每箱单价比第一批单 价多10元，以致购买的数量比第一批少25%。 (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后， 发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降a%销售，结果还是出现了20%的损 耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值。 【答案】(1) 第一批水果的单价是20元，第二批水果的单价是30元。 (2) 第8页共21页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 30 【分析】(1)设第一批购进每箱单价为x元，则第二批每箱单价为(x+10)元。 根据总价单价=数量，第一批数量为240”箱，第二批数量为0箱。第二批数量比第一批 2700 少25%，以第一批的数量为单位1”，则第二批数量等于第一批数量的1-25%。据此列方程 求解。 (2)先根据(1)中的单价得出第一批的数量是120箱，且第一批无损耗则收入是4800元； 第二批的数量90箱，但是出现了20%的损耗，即售出数量为购进数量的1-20%)，则只能卖 出72箱。售价下降a%,即售价为40×1-%元。总收入减去总成本(2400+2700)等于利润 1716元，列方程求解a。 【详解】(1)解：设第一批购进每箱单价为x元，则第二批每箱单价为(x+10)元。： 2700_2400×1-25%) x+10 2700×x=2400×0.75×(x+10) 2700x=1800×(x+10) 2700x=1800x+18000 2700x-1800x=18000 900x=18000 x=18000÷900 x=20 第二批单价：20+10=30（元) 答：第一批水果的单价是20元，第二批水果的单价是30元。 (2)2400÷20=120（箱) 40×120=4800(元) 2700÷30=90(箱) 90×(1-20%) =90x0.8 =72(箱) 2400+2700=5100（元) 4800+72×40×(1-a%)-5100=1716 第9页共21页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 30 【分析】(1)设第一批购进每箱单价为x元，则第二批每箱单价为(x+10)元。 根据总价单价=数量，第一批数量为240”箱，第二批数量为0箱。第二批数量比第一批 2700 少25%，以第一批的数量为单位1”，则第二批数量等于第一批数量的1-25%。据此列方程 求解。 (2)先根据(1)中的单价得出第一批的数量是120箱，且第一批无损耗则收入是4800元； 第二批的数量90箱，但是出现了20%的损耗，即售出数量为购进数量的1-20%)，则只能卖 出72箱。售价下降a%,即售价为40×1-%元。总收入减去总成本(2400+2700)等于利润 1716元，列方程求解a。 【详解】(1)解：设第一批购进每箱单价为x元，则第二批每箱单价为(x+10)元。： 2700_2400×1-25%) x+10 2700×x=2400×0.75×(x+10) 2700x=1800×(x+10) 2700x=1800x+18000 2700x-1800x=18000 900x=18000 x=18000÷900 x=20 第二批单价：20+10=30（元) 答：第一批水果的单价是20元，第二批水果的单价是30元。 (2)2400÷20=120（箱) 40×120=4800(元) 2700÷30=90(箱) 90×(1-20%) =90x0.8 =72(箱) 2400+2700=5100（元) 4800+72×40×(1-a%)-5100=1716 第9页共21页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4800+2880x(1-a%)-5100=1716 2880×(1-a%)=1716+5100-4800 2880×(1-a%)=1716+300 2880×(1-a%)=2016 1-a%=2016÷2880 1-a%=0.7 a%=1-0.7 a%=0.3 a%=30% a=30 答：a的值是30。 10.(2025·江苏淮安·小升初真题)2025年最受关注的苏超火爆全网，本次江苏省城市足球 联赛采用常规赛十淘汰赛”双阶段赛制，参赛队伍共计13支。常规赛实行主客场循环赛制， 每轮比赛安排1支球队轮空。淘汰赛：采用单回合淘汰赛赛制，淘汰赛阶段每场比赛均决出胜 负，负者为亚军，第3一8名根据淘汰赛成绩和常规赛排名综合确定名次。 (1)常规赛中积分前8名的球队才能进入淘汰赛，积分前8名的球队总共需要进行()场 淘汰赛。（在括号填写答案，不用列式） (2)常规赛中13支球队总共需要进行多少场比赛？ (3)常规赛中，每场比赛胜一场得3分，平一场得1分，准安队将平3场，淮安在常规赛中 想要进入淘汰赛至少需要取得积分21分。按照AI的预测结果，淮安队至少获胜()场才能 进入淘汰赛。 【答案】(1)7： (2)156场： (3)6 【分析】(1)淘汰赛每比赛一场淘汰一支队伍，决出冠军需要淘汰8一1=7（支）队伍，所 以需要进行7场比赛。 (2)13支球队进行主客场循环赛，一个完整的主客场循环赛，每支球队都要作为主场和其余 (13一1)支球队比赛一次，即每个球队作为主场的比赛有(13一1)次，总共13支球队，所 第10页共21页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4800+2880x(1-a%)-5100=1716 2880×(1-a%)=1716+5100-4800 2880×(1-a%)=1716+300 2880×(1-a%)=2016 1-a%=2016÷2880 1-a%=0.7 a%=1-0.7 a%=0.3 a%=30% a=30 答：a的值是30。 10.(2025·江苏淮安·小升初真题)2025年最受关注的苏超火爆全网，本次江苏省城市足球 联赛采用常规赛十淘汰赛”双阶段赛制，参赛队伍共计13支。常规赛实行主客场循环赛制， 每轮比赛安排1支球队轮空。淘汰赛：采用单回合淘汰赛赛制，淘汰赛阶段每场比赛均决出胜 负，负者为亚军，第3一8名根据淘汰赛成绩和常规赛排名综合确定名次。 (1)常规赛中积分前8名的球队才能进入淘汰赛，积分前8名的球队总共需要进行()场 淘汰赛。（在括号填写答案，不用列式） (2)常规赛中13支球队总共需要进行多少场比赛？ (3)常规赛中，每场比赛胜一场得3分，平一场得1分，准安队将平3场，淮安在常规赛中 想要进入淘汰赛至少需要取得积分21分。按照AI的预测结果，淮安队至少获胜()场才能 进入淘汰赛。 【答案】(1)7： (2)156场： (3)6 【分析】(1)淘汰赛每比赛一场淘汰一支队伍，决出冠军需要淘汰8一1=7（支）队伍，所 以需要进行7场比赛。 (2)13支球队进行主客场循环赛，一个完整的主客场循环赛，每支球队都要作为主场和其余 (13一1)支球队比赛一次，即每个球队作为主场的比赛有(13一1)次，总共13支球队，所 第10页共21页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 以比赛总场数为13×（13一1)，计算即可得常规赛一共比赛多少场次。 (3)设准安队至少获胜x场才能进入淘汰赛，已知平3场，总积分至少21分，可列方程 3x+1x3=21,解这个方程求出x的最小值。 【详解】(1)8一1=7（场） 常规赛中积分前8名的球队才能进入淘汰赛，积分前8名的球队总共需要进行7场淘汰赛。（在 括号填写答案，不用列式) (2)13×(13-1) =13×12 =156(场) 答：常规赛中13支球队总共需要进行156场比赛。 (3)解：设准安队至少获胜x场才能进入淘汰赛。 3x+1x3=21 3x+3=21 3x=21-3 3x=18 x=18÷3 x=6 常规赛中，每场比赛胜一场得3分，平一场得1分，准安队将平3场，淮安在常规赛中想要进 入淘汰赛至少需要取得积分21分。按照AI的预测结果，淮安队至少获胜6场才能进入淘汰赛。 【点睛】解题关键：第一问：关键在于理解淘汰赛赛制，即每场淘汰一支队伍，要决出冠军需 淘汰8-1支队伍，从而确定比赛场数。第二问：明确主客场循环赛制规则，先算出每个球队都 要作为主场比赛多少次，再依据球队总数算出总场数。第三问：根据积分规则设获胜场数为未 知数，通过建立方程求解出满足进入淘汰赛积分要求的最少获胜场数。 第四部分 押题预测 1.《三国志》由西晋史学家陈寿所著。通过记载魏、蜀、吴三国鼎立时期的历史，来反映东 汉末至晋初整个中国社会的全貌。《三国志》全书共65卷，由《魏书》《蜀书》《吴书》三 部分组成。其中，《魏书》的卷数占《蜀书》和《吴书》的卷数之和的。《蜀书》和《吴书》 的卷数之和是多少？（先画出线段图分析题意，再列方程解答。） 第11页共21页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 以比赛总场数为13×（13一1)，计算即可得常规赛一共比赛多少场次。 (3)设准安队至少获胜x场才能进入淘汰赛，已知平3场，总积分至少21分，可列方程 3x+1x3=21,解这个方程求出x的最小值。 【详解】(1)8一1=7（场） 常规赛中积分前8名的球队才能进入淘汰赛，积分前8名的球队总共需要进行7场淘汰赛。（在 括号填写答案，不用列式) (2)13×(13-1) =13×12 =156(场) 答：常规赛中13支球队总共需要进行156场比赛。 (3)解：设准安队至少获胜x场才能进入淘汰赛。 3x+1x3=21 3x+3=21 3x=21-3 3x=18 x=18÷3 x=6 常规赛中，每场比赛胜一场得3分，平一场得1分，准安队将平3场，淮安在常规赛中想要进 入淘汰赛至少需要取得积分21分。按照AI的预测结果，淮安队至少获胜6场才能进入淘汰赛。 【点睛】解题关键：第一问：关键在于理解淘汰赛赛制，即每场淘汰一支队伍，要决出冠军需 淘汰8-1支队伍，从而确定比赛场数。第二问：明确主客场循环赛制规则，先算出每个球队都 要作为主场比赛多少次，再依据球队总数算出总场数。第三问：根据积分规则设获胜场数为未 知数，通过建立方程求解出满足进入淘汰赛积分要求的最少获胜场数。 第四部分 押题预测 1.《三国志》由西晋史学家陈寿所著。通过记载魏、蜀、吴三国鼎立时期的历史，来反映东 汉末至晋初整个中国社会的全貌。《三国志》全书共65卷，由《魏书》《蜀书》《吴书》三 部分组成。其中，《魏书》的卷数占《蜀书》和《吴书》的卷数之和的。《蜀书》和《吴书》 的卷数之和是多少？（先画出线段图分析题意，再列方程解答。） 第11页共21页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 《蜀书》和《吴书》的卷数之和：1上1 《魏书》的卷数： 【答案】见详解：35卷 【分析】把《蜀书》和《吴书》的卷数之和看作单位1”，在图中把线段用大括号括起来并标 注1。《魏书》的卷数占《蜀书》和《吴书》的卷数之和的，则把《蜀书》和《吴书》的 卷数之和平均分成7份，《魏书》的卷数有这样的6份，另画一条线段表示《魏书》的卷数， 长度画这样的6份，标注。另在图中表达出《三国志》全书共65卷即可。 设《蜀书》和《吴书》的卷数之和为x卷，则《魏书》有x卷，相加共有65卷，据此列方 程：x+x=65,解答即可得《蜀书》和《吴》的卷数之和。 【详解】作图如下： “1” 《蜀书》和《吴书》的卷数之和： 6 65卷 《魏书》的卷数：工 解：设《蜀书》和《吴书》的卷数之和为x卷。 x+9x=6的 13 7X=65 =65号 x=65×13 X=35 答：《蜀书》和《吴书》的卷数之和是35卷。 2.李师傅以每只24元的价格购进了一批玩具狗，然后以每只36元的价格卖出。当卖到总数 的亏时，不但收回了全部成本，还有720元盈利，李师傅一共购进了多少只玩具狗？ 【答案】120只 【分析】把李师傅购进玩具狗的总数量设为末知数，当卖到总数的。时，不但收回了全部成本， 还有720元盈利，等量关系式：售价×总数量×一进价×总数量=盈利的钱数，据此列方程解 6 第12页共21页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 《蜀书》和《吴书》的卷数之和：1上1 《魏书》的卷数： 【答案】见详解：35卷 【分析】把《蜀书》和《吴书》的卷数之和看作单位1”，在图中把线段用大括号括起来并标 注1。《魏书》的卷数占《蜀书》和《吴书》的卷数之和的，则把《蜀书》和《吴书》的 卷数之和平均分成7份，《魏书》的卷数有这样的6份，另画一条线段表示《魏书》的卷数， 长度画这样的6份，标注。另在图中表达出《三国志》全书共65卷即可。 设《蜀书》和《吴书》的卷数之和为x卷，则《魏书》有x卷，相加共有65卷，据此列方 程：x+x=65,解答即可得《蜀书》和《吴》的卷数之和。 【详解】作图如下： “1” 《蜀书》和《吴书》的卷数之和： 6 65卷 《魏书》的卷数：工 解：设《蜀书》和《吴书》的卷数之和为x卷。 x+9x=6的 13 7X=65 =65号 x=65×13 X=35 答：《蜀书》和《吴书》的卷数之和是35卷。 2.李师傅以每只24元的价格购进了一批玩具狗，然后以每只36元的价格卖出。当卖到总数 的亏时，不但收回了全部成本，还有720元盈利，李师傅一共购进了多少只玩具狗？ 【答案】120只 【分析】把李师傅购进玩具狗的总数量设为末知数，当卖到总数的。时，不但收回了全部成本， 还有720元盈利，等量关系式：售价×总数量×一进价×总数量=盈利的钱数，据此列方程解 6 第12页共21页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 答。 【详解】解：设李师傅一共购进了x只玩具狗。 36×c-24x=720 30x-24x=720 6x=720 x=720÷6 x=120 答：李师傅一共购进了120只玩具狗。 3.如果小东买了这个文具盒（如图），小东与小鹏的钱数之比为2：5；如果小鹏买了这个文 具盒，则小东与小鹏的钱数之比为8：13，小东原有多少钱？ 5元一个 【答案】20元 【分析】设小东买完文具盒后的钱数为2x元，即小东原有的钱数为(2x+5)元，则小鹏的钱数 为5x元，即小鹏原有的钱数为5x元： 若小鹏买完文具盒的后小鹏的钱数为(5x-5)元，利用小东与小鹏的钱数之比为8：13，列出方程， 利用比的外项之积等于内项之积即可求解。 【详解】解：设小东买完文具盒后小东的钱数为2x,小鹏的钱数为5x;则小鹏买完文具盒后 小东的钱数即原有的钱数为(2x+5),小鹏的钱数为(5x-5)。 (2x+5):(5x-5)=8:13 (2x+5)x13=(5x-5)x8 26x+5×13=40x-5×8 26x+65=40x-40 40x-26x=65+40 14x=105 x=105÷14 第13页共21页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 答。 【详解】解：设李师傅一共购进了x只玩具狗。 36×c-24x=720 30x-24x=720 6x=720 x=720÷6 x=120 答：李师傅一共购进了120只玩具狗。 3.如果小东买了这个文具盒（如图），小东与小鹏的钱数之比为2：5；如果小鹏买了这个文 具盒，则小东与小鹏的钱数之比为8：13，小东原有多少钱？ 5元一个 【答案】20元 【分析】设小东买完文具盒后的钱数为2x元，即小东原有的钱数为(2x+5)元，则小鹏的钱数 为5x元，即小鹏原有的钱数为5x元： 若小鹏买完文具盒的后小鹏的钱数为(5x-5)元，利用小东与小鹏的钱数之比为8：13，列出方程， 利用比的外项之积等于内项之积即可求解。 【详解】解：设小东买完文具盒后小东的钱数为2x,小鹏的钱数为5x;则小鹏买完文具盒后 小东的钱数即原有的钱数为(2x+5),小鹏的钱数为(5x-5)。 (2x+5):(5x-5)=8:13 (2x+5)x13=(5x-5)x8 26x+5×13=40x-5×8 26x+65=40x-40 40x-26x=65+40 14x=105 x=105÷14 第13页共21页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 15 则2x+5=2×2+5=15+5=20（元) 答：小东原有20元钱。 【点睛】比例应用题核心就是通过设未知数→根据比例关系列方程→解方程”来求解。 4.如图是两个相互啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是 相同的。大齿轮有34个齿，小齿轮有24个齿。当大齿轮每分转60圈时，小齿轮每分转多少 圈？（用比例的知识解答） 【答案】85圈 【分析】根据“在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是相同的”，即齿数×齿轮 转的圈数=总齿数（一定），积一定，则齿数与齿轮转的圈数成反比例关系，据此列出反比例 方程，并求解即可。 【详解】解：设小齿轮每分钟转x圈。 24'x=34'60 24x=2040 24x,24=2040,24 x=85 答：小齿轮每分钟转85圈。 5.某游泳馆推出两种付费方式。方式一：单次卡，每次收费25元；方式二：办理会员年卡， 一次性缴纳200元会员费，每次游泳另外收费15元（一年内有效）。 (1)李叔叔制定了一个为期一年的游泳计划，每月游3次，请你帮李叔叔算一算，哪种付费 方式更加划算？ (2)一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？ 【答案】(1)方式二 (2)20次 【分析】（1)首先计算李叔叔一年游泳的次数：一年有12个月，每月游3次，所以一年游泳 第14页共21页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 15 则2x+5=2×2+5=15+5=20（元) 答：小东原有20元钱。 【点睛】比例应用题核心就是通过设未知数→根据比例关系列方程→解方程”来求解。 4.如图是两个相互啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是 相同的。大齿轮有34个齿，小齿轮有24个齿。当大齿轮每分转60圈时，小齿轮每分转多少 圈？（用比例的知识解答） 【答案】85圈 【分析】根据“在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是相同的”，即齿数×齿轮 转的圈数=总齿数（一定），积一定，则齿数与齿轮转的圈数成反比例关系，据此列出反比例 方程，并求解即可。 【详解】解：设小齿轮每分钟转x圈。 24'x=34'60 24x=2040 24x,24=2040,24 x=85 答：小齿轮每分钟转85圈。 5.某游泳馆推出两种付费方式。方式一：单次卡，每次收费25元；方式二：办理会员年卡， 一次性缴纳200元会员费，每次游泳另外收费15元（一年内有效）。 (1)李叔叔制定了一个为期一年的游泳计划，每月游3次，请你帮李叔叔算一算，哪种付费 方式更加划算？ (2)一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？ 【答案】(1)方式二 (2)20次 【分析】（1)首先计算李叔叔一年游泳的次数：一年有12个月，每月游3次，所以一年游泳 第14页共21页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3×12=36次。计算方式一的费用：单次卡每次25元，游36次的费用是25×36=900元：计算 方式二的费用：办理会员年卡需缴纳200元会员费，每次游泳另外收费15元，则游36次的费 用是200+15×36=740元。因为900>740，所以方式二付费更加划算。 (2)设一年内游泳达到x次时，两种付费方式所用钱数相等。方式一的费用为25x元，方式 二的费用为(200+15x)元；根据两种方式费用相等，可列方程：25x=200+15x;根据等式 的性质，方程两边同时减去15x,再同时除以10求解出x,即两种付费方式所用钱数相等时的 游泳次数。 【详解】(1)3×12=36（次） 方式一：25×36=900（元） 方式二：200+15×36 =200+540 =740(元) 900>740 答：方式二付费更加划算。 (2)解：设一年内游泳达到x次时，两种付费方式所用钱数相等。 25x=200+15x 25x-15x=200+15x-15x 10x=200 10x÷10=200÷10 x=20 答：一年内游泳达到20次时，两种付费方式所用钱数相等。 6.江伯伯看中了一间长方形商铺（如下图)，准备租下开一间咖啡书吧。签约那天，销售经 理说：“很抱歉！已经有人提前交了租金，我们可以给你调换一间。给你换的这间也很好，虽 然宽减少了3米，但是长增加了3米，租金不变，很公道。” (1)调换后的商铺与原来看中的商铺相比，面积（)。（填增加”、减少”或相等） (2)请在图中画一画，并说明你的想法。面积如果有变化，与原来相差()平方米。 第15页共21页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3×12=36次。计算方式一的费用：单次卡每次25元，游36次的费用是25×36=900元：计算 方式二的费用：办理会员年卡需缴纳200元会员费，每次游泳另外收费15元，则游36次的费 用是200+15×36=740元。因为900>740，所以方式二付费更加划算。 (2)设一年内游泳达到x次时，两种付费方式所用钱数相等。方式一的费用为25x元，方式 二的费用为(200+15x)元；根据两种方式费用相等，可列方程：25x=200+15x;根据等式 的性质，方程两边同时减去15x,再同时除以10求解出x,即两种付费方式所用钱数相等时的 游泳次数。 【详解】(1)3×12=36（次） 方式一：25×36=900（元） 方式二：200+15×36 =200+540 =740(元) 900>740 答：方式二付费更加划算。 (2)解：设一年内游泳达到x次时，两种付费方式所用钱数相等。 25x=200+15x 25x-15x=200+15x-15x 10x=200 10x÷10=200÷10 x=20 答：一年内游泳达到20次时，两种付费方式所用钱数相等。 6.江伯伯看中了一间长方形商铺（如下图)，准备租下开一间咖啡书吧。签约那天，销售经 理说：“很抱歉！已经有人提前交了租金，我们可以给你调换一间。给你换的这间也很好，虽 然宽减少了3米，但是长增加了3米，租金不变，很公道。” (1)调换后的商铺与原来看中的商铺相比，面积（)。（填增加”、减少”或相等） (2)请在图中画一画，并说明你的想法。面积如果有变化，与原来相差()平方米。 第15页共21页 丽学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)减少 (2)作图和想法见详解：(3a一3b+9) 【分析】 a (1)如图， b 红色部分是减少的面积，绿色部分是增加的面积，根 据长方形面积=长×宽，分别计算出减少和增加的面积，比较即可。 (2)作图和想法如上分析，如图6 b-3 将第(1)题中的绿色部分通过旋转 和平移，覆盖到红色部分，现在露出来的红色部分就是与原来相差的面积，红色部分的长= 一 (b一3)，宽=3，根据长方形面积=长×宽，求出现在露出来的红色部分的面积即可。 【详解】(1)减少的面积：a×3=3a(平方米) 增加的面积：(b一3)×3=3(b一3)（平方米） 因为a>b一3，所以3a>3(b一3)，调换后的商铺与原来看中的商铺相比，面积减少。 a (2)b b-3 一3 面积减少的多，增加的少，因此面积减少。 a-(b-3)=(a-b+3)米 (a-b+3)×3=(3a-3b+9)平方米 与原来相差(3a一3b+9)平方米。 7.2023年，某地开始实施农村义务教育学校营养计划。“蛋奶工程该地农村小学每份营养餐 的标准是质量为300克，蛋白质含量为8%，包括一盒牛奶、一包饼干和一个鸡蛋，已知牛奶 的蛋白质含量为5%，饼干的蛋白质含量为12.5%，鸡蛋的蛋白质含量为15%，一个鸡蛋的质量 为60克。 (1)一个鸡蛋中含蛋白质的质量为多少克？ (2)每份营养餐中牛奶和饼干的质量分别为多少克？ 第16页共21页 丽学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)减少 (2)作图和想法见详解：(3a一3b+9) 【分析】 a (1)如图， b 红色部分是减少的面积，绿色部分是增加的面积，根 据长方形面积=长×宽，分别计算出减少和增加的面积，比较即可。 (2)作图和想法如上分析，如图6 b-3 将第(1)题中的绿色部分通过旋转 和平移，覆盖到红色部分，现在露出来的红色部分就是与原来相差的面积，红色部分的长= 一 (b一3)，宽=3，根据长方形面积=长×宽，求出现在露出来的红色部分的面积即可。 【详解】(1)减少的面积：a×3=3a(平方米) 增加的面积：(b一3)×3=3(b一3)（平方米） 因为a>b一3，所以3a>3(b一3)，调换后的商铺与原来看中的商铺相比，面积减少。 a (2)b b-3 一3 面积减少的多，增加的少，因此面积减少。 a-(b-3)=(a-b+3)米 (a-b+3)×3=(3a-3b+9)平方米 与原来相差(3a一3b+9)平方米。 7.2023年，某地开始实施农村义务教育学校营养计划。“蛋奶工程该地农村小学每份营养餐 的标准是质量为300克，蛋白质含量为8%，包括一盒牛奶、一包饼干和一个鸡蛋，已知牛奶 的蛋白质含量为5%，饼干的蛋白质含量为12.5%，鸡蛋的蛋白质含量为15%，一个鸡蛋的质量 为60克。 (1)一个鸡蛋中含蛋白质的质量为多少克？ (2)每份营养餐中牛奶和饼干的质量分别为多少克？ 第16页共21页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)9克 (2)200克；40克 【分析】(1)己知一个鸡蛋的质量为60克，鸡蛋的蛋白质含量为15%，用60乘15%就是 个鸡蛋中含蛋白质的质量。 (2)每份营养餐总质量：300克（含牛奶、饼干、鸡蛋），鸡蛋质量60克，因此牛奶+饼干 的总质量为(300一60)240克。每份营养餐蛋白质总含量：(300×8%)=24克。鸡蛋已提供 蛋白质(60×15%)克，因此牛奶+饼干需提供的蛋白质质量为(300×8%一60×15%)克。设 每份营养餐中牛奶的质量为x克，则饼干的质量为(300一60一x)克。根据牛奶蛋白质+饼 干蛋白质=牛奶+饼干需提供的蛋白质质量”列出方程为：5%x+12.5%×（300一60一x)= 300×8%一60×15%，然后解方程即可。 【详解】(1)60×15% =60×0.15 =9（克) 答：一个鸡蛋中含蛋白质的质量为9克。 (2)解：设每份营养餐中牛奶的质量是x克。 5%x+12.5%×(300-60-x)=300×8%-60×15% 0.05x+0.125×(300-60-x)=300×0.08-60×0.15 0.05x+0.125×(240-x)=24-9 0.05x+30-0.125x=15 0.05x+30=15+0.125x 0.05x+30-15=0.125x 0.05x+15=0.125x 15=0.125x-0.05x 0.075x=15 x=15÷0.075 x=200 300-60-200=40(克) 答：每份营养餐中牛奶的质量是200克，饼干的质量是40克。 8.某中学六年级1班计划买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两种品牌的乒 第17页共21页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)9克 (2)200克；40克 【分析】(1)己知一个鸡蛋的质量为60克，鸡蛋的蛋白质含量为15%，用60乘15%就是 个鸡蛋中含蛋白质的质量。 (2)每份营养餐总质量：300克（含牛奶、饼干、鸡蛋），鸡蛋质量60克，因此牛奶+饼干 的总质量为(300一60)240克。每份营养餐蛋白质总含量：(300×8%)=24克。鸡蛋已提供 蛋白质(60×15%)克，因此牛奶+饼干需提供的蛋白质质量为(300×8%一60×15%)克。设 每份营养餐中牛奶的质量为x克，则饼干的质量为(300一60一x)克。根据牛奶蛋白质+饼 干蛋白质=牛奶+饼干需提供的蛋白质质量”列出方程为：5%x+12.5%×（300一60一x)= 300×8%一60×15%，然后解方程即可。 【详解】(1)60×15% =60×0.15 =9（克) 答：一个鸡蛋中含蛋白质的质量为9克。 (2)解：设每份营养餐中牛奶的质量是x克。 5%x+12.5%×(300-60-x)=300×8%-60×15% 0.05x+0.125×(300-60-x)=300×0.08-60×0.15 0.05x+0.125×(240-x)=24-9 0.05x+30-0.125x=15 0.05x+30=15+0.125x 0.05x+30-15=0.125x 0.05x+15=0.125x 15=0.125x-0.05x 0.075x=15 x=15÷0.075 x=200 300-60-200=40(克) 答：每份营养餐中牛奶的质量是200克，饼干的质量是40克。 8.某中学六年级1班计划买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两种品牌的乒 第17页共21页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价100元，乒乓球每盒定价25元。经洽谈后，甲店每买一 副球拍赠送一盒乒乓球，乙店全部按定价的九折优惠，该班需球拍5副，乒乓球x盒(x≥5)。 (1)请问在甲店购买应付多少元？在乙店购买应付多少元？（用含有x的代数式表示） (2)若x=20,去哪家购买更划算？请说明理由。 【答案】(1)甲店：(375+25x)元：乙店：(450+22.5x)元 (2)甲店；理由见详解 【分析】(1)甲店：每买一副球拍赠送一盒乒乓球，购买5副球拍赠送5盒乒乓球，还需额 外购买(x一5)盒乒乓球，则在甲店购买应付钱数=每副球拍的定价×球拍数量十每盒乒乓球 定价×还需购买的盒数，据此用含字母的式子表示数量关系。 乙店：全部按定价的九折优惠，即总费用为球拍和乒乓球的总金额乘90%：则在乙店购买应付 钱数=（每副球拍的定价×5+每盒乒乓球定价×盒数）×90%，据此用含字母的式子表示数量关 系。 (2)把若x=20代入上一题在甲店、乙店购买应付钱数的式子中，分别计算出得数，再比较， 得出去哪家购买更划算。 【详解】(1)甲店：100×5+25(x-5)=500+25x一125=(375+25x)元 乙店：(100×5+25x)×90%=（500+25x)×0.9=(450+22.5x)元 答：在甲店购买应付(375+25x)元，在乙店购买应付(450+22.5x)元。 (2)当x=20时 375+25x =375+25×20 =375+500 =875（元) 450+22.5x =450+22.5×20 =450+450 =900(元) 875<900 答：去甲店购买更划算。因为在甲店购买需875元，在乙店购买需900元，甲店的费用更低。 9.红叶服装厂生产一批校服，前5天完成的套数与这批校服总套数的比是1：3，如果再生产 第18页共21页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价100元，乒乓球每盒定价25元。经洽谈后，甲店每买一 副球拍赠送一盒乒乓球，乙店全部按定价的九折优惠，该班需球拍5副，乒乓球x盒(x≥5)。 (1)请问在甲店购买应付多少元？在乙店购买应付多少元？（用含有x的代数式表示） (2)若x=20,去哪家购买更划算？请说明理由。 【答案】(1)甲店：(375+25x)元：乙店：(450+22.5x)元 (2)甲店；理由见详解 【分析】(1)甲店：每买一副球拍赠送一盒乒乓球，购买5副球拍赠送5盒乒乓球，还需额 外购买(x一5)盒乒乓球，则在甲店购买应付钱数=每副球拍的定价×球拍数量十每盒乒乓球 定价×还需购买的盒数，据此用含字母的式子表示数量关系。 乙店：全部按定价的九折优惠，即总费用为球拍和乒乓球的总金额乘90%：则在乙店购买应付 钱数=（每副球拍的定价×5+每盒乒乓球定价×盒数）×90%，据此用含字母的式子表示数量关 系。 (2)把若x=20代入上一题在甲店、乙店购买应付钱数的式子中，分别计算出得数，再比较， 得出去哪家购买更划算。 【详解】(1)甲店：100×5+25(x-5)=500+25x一125=(375+25x)元 乙店：(100×5+25x)×90%=（500+25x)×0.9=(450+22.5x)元 答：在甲店购买应付(375+25x)元，在乙店购买应付(450+22.5x)元。 (2)当x=20时 375+25x =375+25×20 =375+500 =875（元) 450+22.5x =450+22.5×20 =450+450 =900(元) 875<900 答：去甲店购买更划算。因为在甲店购买需875元，在乙店购买需900元，甲店的费用更低。 9.红叶服装厂生产一批校服，前5天完成的套数与这批校服总套数的比是1：3，如果再生产 第18页共21页 而学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 150套，则正好完成这批校服的40%。这批校服共有多少套？ 【答案】 2250套 【分析】已知前5天完成的套数与这批校服总套数的比是1：3，所以前5天完成的校服占总 套数的}，设这批校服共有x套，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，则前5天完成}x 套； 已知再生产150套，正好完成这批校服的40%，求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，则 总共完成40%x套； 根据数量关系可列方程为40%x一 x=150,将4096化为号，先计算出号xx,然后根据等式 的性质，方程两边同时乘15求解出x,即这批校服的总套数。 【详解】解：设这批校服共有x套。 406-}x=150 21 5x-3x=150 6 5 15x-15x=150 15x=150 15Xx15=150×15 x=2250 答：这批校服共有2250套。 10.材料 在物理学的电学中，导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比（即电流 =电压÷电阻)。这就是欧姆定律(Om'law)。其中，电流的表示字母是I(单位：安培)， 电阻的表示字母是R(单位：欧姆)，电压的表示字母是U(单位：伏特)。由此，我们可以 得出欧姆定律用字母表示为 (1)已知有一个导体，其电阻为20欧姆。 ①当两端电压为10伏特，求通过它的电流大小： ②当电流大小为0.4安培，已知人体能接受的安全电压≤36伏特，若有人接触了一根通电的铜 第19页共21页 而学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 150套，则正好完成这批校服的40%。这批校服共有多少套？ 【答案】 2250套 【分析】已知前5天完成的套数与这批校服总套数的比是1：3，所以前5天完成的校服占总 套数的}，设这批校服共有x套，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，则前5天完成}x 套； 已知再生产150套，正好完成这批校服的40%，求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，则 总共完成40%x套； 根据数量关系可列方程为40%x一 x=150,将4096化为号，先计算出号xx,然后根据等式 的性质，方程两边同时乘15求解出x,即这批校服的总套数。 【详解】解：设这批校服共有x套。 406-}x=150 21 5x-3x=150 6 5 15x-15x=150 15x=150 15Xx15=150×15 x=2250 答：这批校服共有2250套。 10.材料 在物理学的电学中，导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比（即电流 =电压÷电阻)。这就是欧姆定律(Om'law)。其中，电流的表示字母是I(单位：安培)， 电阻的表示字母是R(单位：欧姆)，电压的表示字母是U(单位：伏特)。由此，我们可以 得出欧姆定律用字母表示为 (1)已知有一个导体，其电阻为20欧姆。 ①当两端电压为10伏特，求通过它的电流大小： ②当电流大小为0.4安培，已知人体能接受的安全电压≤36伏特，若有人接触了一根通电的铜 第19页共21页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 丝，铜丝的电压大小与这个导体两端电压相同，那么这个人是安全的吗？并说明理由： (2)现在有另一个电阻当通过它的电流为2安培时，其两端的电压大小为10伏特，当通过它 的电流大小由2安培变为6安培时，求它两端的电压大小增加了多少伏特。 (3)请你提出一个有关欧姆定律的数学题并解答。 【答案】(1)①0.5安培；②安全：理由见详解：(2)20伏特：(3)提问和解答见详解 【分析】(1)①由愿目可知欧姆定律是电流=电压~电阻，也就是1一只，现在知道电阻R= 20欧姆，电压U=10伏特，要求电流I,直接把数值代入公式算即可。 ②根据欧姆定律算出此时导体两端的电压，再和人体安全电压(<36伏特)比较。己知电阻R =20欧姆，电流1=04安培，用U=1R(因为1-只，变形后流是U=1R)来算电压，然后 看这个电压是否在安全范围。 (2)根据已知的电流和电压，用R=号算出电阻（电阻是导体本身的性质，一般不变），再 用变化后的电流和这个电阻，通过U=I×算出变化后的电压，最后用变化后的电压减去原来 的电压，得到增加的电压。 (3)问题：一个导体电阻是10欧姆，通过它的电流是0.3安培，求它两端的电压是多少伏特？ 已知电阻是10欧姆（用R表示），电流是0.3安培（用I表示），然后根据U=I×R,把数据 代入计算即可得到电压。（答案不唯一） 【详解】(1)①10÷20=0.5（安培) 答：当两端电压为10伏特，通过它的电流是0.5安培。 ②0.4×20=8(（伏特) 8伏特<36伏特 答：因为8伏特小于36伏特，所以这个人是安全的，接触铜丝时的电压8伏特在人体能接受 的安全电压范围内。 (2)10÷2=5(欧姆) 6×5=30(伏特) 30-10=20(伏特) 答：两端的电压大小增加了20伏特。 (3)问题：一个导体电阻是10欧姆，通过它的电流是0.3安培，求它两端的电压是多少伏特？ (答案不唯一) 第20页共21页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 丝，铜丝的电压大小与这个导体两端电压相同，那么这个人是安全的吗？并说明理由： (2)现在有另一个电阻当通过它的电流为2安培时，其两端的电压大小为10伏特，当通过它 的电流大小由2安培变为6安培时，求它两端的电压大小增加了多少伏特。 (3)请你提出一个有关欧姆定律的数学题并解答。 【答案】(1)①0.5安培；②安全：理由见详解：(2)20伏特：(3)提问和解答见详解 【分析】(1)①由愿目可知欧姆定律是电流=电压~电阻，也就是1一只，现在知道电阻R= 20欧姆，电压U=10伏特，要求电流I,直接把数值代入公式算即可。 ②根据欧姆定律算出此时导体两端的电压，再和人体安全电压(<36伏特)比较。己知电阻R =20欧姆，电流1=04安培，用U=1R(因为1-只，变形后流是U=1R)来算电压，然后 看这个电压是否在安全范围。 (2)根据已知的电流和电压，用R=号算出电阻（电阻是导体本身的性质，一般不变），再 用变化后的电流和这个电阻，通过U=I×算出变化后的电压，最后用变化后的电压减去原来 的电压，得到增加的电压。 (3)问题：一个导体电阻是10欧姆，通过它的电流是0.3安培，求它两端的电压是多少伏特？ 已知电阻是10欧姆（用R表示），电流是0.3安培（用I表示），然后根据U=I×R,把数据 代入计算即可得到电压。（答案不唯一） 【详解】(1)①10÷20=0.5（安培) 答：当两端电压为10伏特，通过它的电流是0.5安培。 ②0.4×20=8(（伏特) 8伏特<36伏特 答：因为8伏特小于36伏特，所以这个人是安全的，接触铜丝时的电压8伏特在人体能接受 的安全电压范围内。 (2)10÷2=5(欧姆) 6×5=30(伏特) 30-10=20(伏特) 答：两端的电压大小增加了20伏特。 (3)问题：一个导体电阻是10欧姆，通过它的电流是0.3安培，求它两端的电压是多少伏特？ (答案不唯一) 第20页共21页 品学科网 0.3×10=3(伏特) 答：它两端的电压是3伏特。 【点睛】本题主要结合欧姆定律I 量，就能算出第三个量来计算。 品学科网 0.3×10=3(伏特) 答：它两端的电压是3伏特。 【点睛】本题主要结合欧姆定律I 量，就能算出第三个量来计算。 www.zxxk.com 只，然后利用数学知识对其变形 第21页共21页 www.zxxk.com 只，然后利用数学知识对其变形 第21页共21页 让教与学更高效 然后根据己知其中两个 让教与学更高效 然后根据己知其中两个 2026年小升初数学典型例题系列·从热点情境到终极压轴 热点命题04·场景建模与方程应用 传统的列方程解应用题都是标准化的工程、行程类题型，学生可以直接套公式；而新课标下的新式命题，已经完全转向了真实的生活或科学场景，核心考察学生的建模能力，能不能自己从复杂场景里抽象出等量关系，而不是靠套题型。目前这类新式命题在列方程解应用题中的占比已经从15%提升到30%，失分率高达50%，是整个式与方程板块失分最高的题型，很多学生因为习惯了套题型、用算术法思维，很难适应这类新题。 一、不变量类 比如盐水稀释、容器转移，靠隐藏的不变量（如溶质质量、物体体积）找等量关系 二、分段计费类 比如打车费、水电费，分阶段分析不同区间的收费规则，列分段的等量关系 三、优化决策类 比如套餐选择、采购方案，找到不同方案的费用临界点，辅助决策 四、跨学科类 比如科学的电路、浓度实验，从其他学科的场景里提取数学等量关系 五、隐藏等量关系类 比如诗词古算题，自己从文字描述里分析出隐藏的数量变化关系 六、间接设未知数类 直接设未知数不好列方程时，通过设中间量简化建模过程 1．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）某机械厂加工车间有84名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或者小齿轮10个，已知1个大齿轮与2个小齿轮刚好配成一套，问分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 【答案】20名；64名 【分析】设安排x名工人加工大齿轮，则（84－x）名工人加工小齿轮，根据“小齿轮总数＝2×大齿轮总数”的配套关系，列出方程10（84－x）＝2×16x，解方程求出加工大齿轮的工人数，进而求出加工小齿轮的工人数。 【详解】解：设安排x名工人加工大齿轮，则（84－x）名工人加工小齿轮。 10（84－x）＝2×16x 840－10x＝32x 840－10x＋10x＝32x＋10x 840＝42x 42x＝840 42x÷42＝840÷42 x＝20 84－20＝64（人） 答：安排20名工人加工大齿轮，64名工人加工小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套。 2．（2025·江苏南通·小升初真题）“City Walk”指的是城市行走或城市漫游，是当下比较流行的一种城市旅游方式。某“City Walk'”团队采购了4双徒步鞋和3个背包，一共付款1950元。已知1个背包的价钱与3双徒步鞋的价钱相等。每个背包多少元？ 【答案】450元 【分析】根据题意，可得数量关系：①4双徒步鞋的价钱＋3个背包的价钱＝1950元②1个背包的价钱＝3双徒步鞋的价钱，假设团队买的全是徒步鞋，根据关系②，买1个背包相当于买3双徒步鞋，买3个背包相当于买3×3双徒步鞋，那么根据关系①，1950元一共能买（4＋3×3）双徒步鞋，用1950除以徒步鞋数量，求得每双徒步鞋的价钱，再乘3求得每个背包的价钱。 【详解】假设团队买的全是徒步鞋，每双徒步鞋的价钱： 1950÷（4＋3×3） ＝1950÷（4＋9） ＝1950÷13 ＝150（元） 每个背包的价钱： 150×3＝450（元） 答：每个背包450元。 【点睛】本题考查假设法解决问题的策略，学生能根据题目中的数量关系提出假设，再根据假设后的关系列式计算。 3．（2025·河南洛阳·小升初真题）科学课上，老师带领同学们做种子发芽实验，同学们用5个小型培养皿和2个大型培养皿来装种子，一共装了72粒。已知大型培养皿的装种量是小型培养皿的2倍，那么1个大型培养皿和1个小型培养皿各能装多少粒种子呢？ 【答案】小型培养皿装8粒；大型培养皿装16粒 【分析】已知大型培养皿的装种量是小型培养皿的2倍，那么1个大型培养皿的装种量相当于2个小型培养皿的装种量，则2个大型培养皿的装种量相当于小型培养皿的数量为：2×2＝4（个）；用了5个小型培养皿和2个大型培养皿，相当于用了小型培养皿的数量为：5＋4＝9（个）；已知一共装了72粒种子，那么1个小型培养皿能装的种子数为：72÷9＝8（粒），再根据“一个数的几倍是多少，用乘法”，求出1个大型培养皿能装的种子数为：8×2＝16（粒）。 【详解】2×2＝4（个） 5＋4＝9（个） 72÷9＝8（粒） 8×2＝16（粒） 答：1个小型培养皿能装8粒，1个大型培养皿能装16粒。 4．（2025·四川绵阳·小升初真题）妈妈给红红一些钱去买贺卡，有甲、乙、丙三种贺卡，甲种卡每张0.5元，丙种卡每张1.2元，用这些钱买甲种卡要比买乙种卡多买8张，买乙种卡要比买丙种卡多买6张，妈妈给红红多少钱？乙种卡每张多少钱？ 【答案】12元；0.75元 【分析】把用这些钱可以买丙种卡的数量设为未知数，用含有字母的式子分别表示出用这些钱可以买甲种卡和乙种卡的数量，妈妈给红红的总钱数不变，等量关系式：甲种卡的数量×甲种卡的单价＝丙种卡的数量×丙种卡的单价，列方程求出用这些钱可以买丙种卡的数量，妈妈给红红的总钱数＝丙种卡的数量×丙种卡的单价，乙种卡的单价＝妈妈给红红的总钱数÷乙种卡的数量，据此解答。 【详解】解：设用这些钱可以买张丙种卡，则可以买张乙种卡，可以买张甲种卡。 10＋6＝16（张） 1.2×10＝12（元） 12÷16＝0.75（元） 答：妈妈给红红12元，乙种卡每张0.75元。 【点睛】分析题意准确设出未知数并抓住题目中的不变量列出方程是解答题目的关键。 5．（2025·浙江温州·小升初真题）A、B两城相距580千米，两城之间有一个C城，客车从A城开往C城，货车从B城开往C城。客车行驶了90千米，货车行驶了B、C两城间的距离的60%，而且这时客车货车剩下的路程刚好相等。求A、C两城之间的距离。 【答案】230千米 【分析】根据题意，设A、C两城间的距离为x千米，那么B、C两城间的距离为（580－x）千米。再分别表示出客车剩余路程为x－90千米，货车剩余路程为（580－x）×（1－60%）千米；最后根据“客车剩余路程＝货车剩余路程”列出方程求解，从而得到A、C两城之间的距离。 【详解】解：设A、C两城间的距离为x千米，那么B、C两城间的距离为（580－x）千米。 x－90＝（1－60%）×（580－x） x－90＝0.4×（580－x） x－90＝232－0.4x x－90＋0.4x＝232－0.4x＋0.4x 1.4x－90＝232 1.4x－90＋90＝232＋90 1.4x＝322 1.4x÷1.4＝322÷1.4 x＝230 答：A、C两城之间的距离是230千米。 【点睛】本题的关键是抓住“客车剩余路程=货车剩余路程”的等量关系，设A、C距离为x千米，用x表示出B、C距离和两车剩余路程，再列方程求解。 6．（2025·河南郑州·小升初真题）为了鼓励节约用电，某市电力公司规定了一下的电费计算方法：每月的用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；每月用电超过100千瓦时，超过的部分按每千瓦时0.6元收费。小明家十月份64.6元，用电多少千瓦时？ 【答案】121千瓦时 【分析】首先计算用电100千瓦时的费用为0.52×100＝52元。小明家电费64.6元超过52元，说明用电量超过100千瓦时。设用电量为x千瓦时，超过部分为（x－100）千瓦时，总电费由两部分组成：前100千瓦时的52元和超过部分的0.6（x－100）元。据此列方程求解。 【详解】解：设小明家十月份用电x千瓦时。 0.52×100＋0.6（x－100）＝64.6 52＋0.6x－60＝64.6 0.6x－8＝64.6 0.6x－8＋8＝64.6＋8 0.6x＝72.6 0.6x÷0.6＝72.6÷0.6 x＝121 答：用电121千瓦时。 7．（2025·北京·小升初真题）小仓鼠的学校距家有800米。平时它放学后总是慢悠悠地滚着它的仓鼠球回家，每分钟滚40米。有一天，它路过香喷喷的瓜子铺时，实在忍不住钻进去狂嗑了3分钟瓜子！结果它突然想起——回家晚了会被仓鼠妈妈发现！于是它立刻开启“疯狂滚球模式”，以每分钟60米的速度冲刺回家，最终竟然和平常到家的时间一模一样！小仓鼠的学校离瓜子铺有多少米？ 【答案】440米 【分析】根据“时间＝路程÷速度”，按照正常每分钟滚40米的速度，小仓鼠回家需要800÷40＝20分钟；而如果嗑了3分钟瓜子后还和平常到家的时间一模一样，则路上共花了20－3＝17分钟；可设小仓鼠的学校离瓜子铺有x米，则瓜子铺离小仓鼠家有（800－x）米，小仓鼠从学校到瓜子铺的速度是每分钟40米，用时分钟，而小仓鼠从瓜子铺到家的速度是每分钟60米，用时分钟，可列方程为＋＝17，解方程即可解答。 【详解】解：设小仓鼠的学校离瓜子铺有x米，则瓜子铺离小仓鼠家有（800－x）米。 800÷40－3 ＝20－3 ＝17（分钟） ＋＝17 ×120＋×120＝17×120 3x＋2×（800－x）＝2040 3x＋1600－2x＝2040 x＋1600＝2040 x＋1600－1600＝2040－1600 x＝440 答：小仓鼠的学校离瓜子铺有440米。 【点睛】本题考查行程问题，解题关键在于理解提速节省的时间＝吃瓜子的时间。 8．（2025·湖南长沙·小升初真题）学校选拔合唱队队员，初选时男生是女生的，有7名男生因不适合合唱，被淘汰了，然后又加入了女生12人，这时男生是女生的，现在男生、女生各多少人？ 【答案】男生25人；女生60人 【分析】初选时男生是女生的，即男生＝女生×，人数变动后，男生是女生的，男生＝女生×，可以利用方程解题，设原来女生有x人，然后根据前后男生人数差7人列方程，然后利用等式的性质解方程即可求出女生人数，然后再加12人计算出现在女生人数，然后再乘求现在男生人数。 【详解】设原来女生有x人。 x－7＝（x＋12）× x－7＝x＋12× x－7＝ x＋5 x－7－ x＝x＋5－x x－x－7＝5 x－7＝5 x－7＋7＝5＋7 x＝12 x×＝12× x＝48 48＋12＝60（人） 60×＝25（人） 答：现在男生25人，女生60人。 9．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一水果店主分两批购进某一种水果。第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元。由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少25%。 (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降a%销售，结果还是出现了20%的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值。 【答案】(1) 第一批水果的单价是 20 元，第二批水果的单价是 30 元。 (2) 30 【分析】（1）设第一批购进每箱单价为元，则第二批每箱单价为 元。 根据总价÷单价＝数量，第一批数量为箱，第二批数量为箱。第二批数量比第一批少 25%，以第一批的数量为单位“1”，则第二批数量等于第一批数量的 。据此列方程求解。 （2）先根据（1）中的单价得出第一批的数量是120箱，且第一批无损耗则收入是4800元； 第二批的数量90箱，但是出现了20%的损耗，即售出数量为购进数量的 ，则只能卖出72箱。售价下降 ，即售价为元。总收入减去总成本 等于利润 1716 元，列方程求解 。 【详解】（1）解：设第一批购进每箱单价为 元，则第二批每箱单价为 元。： 第二批单价：（元） 答：第一批水果的单价是 20 元，第二批水果的单价是 30 元。 （2） （箱） （元） （箱） （箱） 2400＋2700＝5100（元） a=30 答： 的值是 30。 10．（2025·江苏淮安·小升初真题）2025年最受关注的“苏超”火爆全网，本次江苏省城市足球联赛采用“常规赛十淘汰赛”双阶段赛制，参赛队伍共计13支。常规赛实行主客场循环赛制，每轮比赛安排1支球队轮空。淘汰赛：采用单回合淘汰赛赛制，淘汰赛阶段每场比赛均决出胜负，负者为亚军，第3－8名根据淘汰赛成绩和常规赛排名综合确定名次。 （1）常规赛中积分前8名的球队才能进入淘汰赛，积分前8名的球队总共需要进行（    ）场淘汰赛。（在括号填写答案，不用列式） （2）常规赛中13支球队总共需要进行多少场比赛？ （3）常规赛中，每场比赛胜一场得3分，平一场得1分，淮安队将平3场，淮安在常规赛中想要进入淘汰赛至少需要取得积分21分。按照AI的预测结果，淮安队至少获胜（    ）场才能进入淘汰赛。 【答案】（1）7； （2）156场； （3）6 【分析】（1）淘汰赛每比赛一场淘汰一支队伍，决出冠军需要淘汰8－1＝7（支）队伍，所以需要进行7场比赛。 （2）13支球队进行主客场循环赛，一个完整的主客场循环赛，每支球队都要作为主场和其余（13－1）支球队比赛一次，即每个球队作为主场的比赛有（13－1）次，总共13支球队，所以比赛总场数为13×（13－1），计算即可得常规赛一共比赛多少场次。 （3）设淮安队至少获胜场才能进入淘汰赛，已知平3场，总积分至少21分，可列方程，解这个方程求出的最小值。 【详解】（1）8－1＝7（场） 常规赛中积分前8名的球队才能进入淘汰赛，积分前8名的球队总共需要进行7场淘汰赛。（在括号填写答案，不用列式） （2）13×（13－1） ＝13×12 ＝156（场） 答：常规赛中13支球队总共需要进行156场比赛。 （3）解：设淮安队至少获胜场才能进入淘汰赛。 常规赛中，每场比赛胜一场得3分，平一场得1分，淮安队将平3场，淮安在常规赛中想要进入淘汰赛至少需要取得积分21分。按照AI的预测结果，淮安队至少获胜6场才能进入淘汰赛。 【点睛】解题关键：第一问：关键在于理解淘汰赛赛制，即每场淘汰一支队伍，要决出冠军需淘汰8−1支队伍，从而确定比赛场数。第二问：明确主客场循环赛制规则，先算出每个球队都要作为主场比赛多少次，再依据球队总数算出总场数。第三问：根据积分规则设获胜场数为未知数，通过建立方程求解出满足进入淘汰赛积分要求的最少获胜场数。 1．《三国志》由西晋史学家陈寿所著。通过记载魏、蜀、吴三国鼎立时期的历史，来反映东汉末至晋初整个中国社会的全貌。《三国志》全书共65卷，由《魏书》《蜀书》《吴书》三部分组成。其中，《魏书》的卷数占《蜀书》和《吴书》的卷数之和的。《蜀书》和《吴书》的卷数之和是多少？（先画出线段图分析题意，再列方程解答。） 【答案】见详解；35卷 【分析】把《蜀书》和《吴书》的卷数之和看作单位“1”，在图中把线段用大括号括起来并标注“1”。《魏书》的卷数占《蜀书》和《吴书》的卷数之和的，则把《蜀书》和《吴书》的卷数之和平均分成7份，《魏书》的卷数有这样的6份，另画一条线段表示《魏书》的卷数，长度画这样的6份，标注。另在图中表达出《三国志》全书共65卷即可。 设《蜀书》和《吴书》的卷数之和为x卷，则《魏书》有x卷，相加共有65卷，据此列方程：x＋x＝65，解答即可得《蜀书》和《吴书》的卷数之和。 【详解】作图如下： 解：设《蜀书》和《吴书》的卷数之和为x卷。 x＋x＝65 x＝65 x＝65÷ x＝65× x＝35 答：《蜀书》和《吴书》的卷数之和是35卷。 2．李师傅以每只24元的价格购进了一批玩具狗，然后以每只36元的价格卖出。当卖到总数的时，不但收回了全部成本，还有720元盈利，李师傅一共购进了多少只玩具狗？ 【答案】120只 【分析】把李师傅购进玩具狗的总数量设为未知数，当卖到总数的时，不但收回了全部成本，还有720元盈利，等量关系式：售价×总数量×－进价×总数量＝盈利的钱数，据此列方程解答。 【详解】解：设李师傅一共购进了只玩具狗。 答：李师傅一共购进了120只玩具狗。 3．如果小东买了这个文具盒（如图），小东与小鹏的钱数之比为；如果小鹏买了这个文具盒，则小东与小鹏的钱数之比为，小东原有多少钱？ 【答案】20元 【分析】设小东买完文具盒后的钱数为元，即小东原有的钱数为元，则小鹏的钱数为元，即小鹏原有的钱数为元； 若小鹏买完文具盒的后小鹏的钱数为元，利用小东与小鹏的钱数之比为，列出方程，利用比的外项之积等于内项之积即可求解。 【详解】解：设小东买完文具盒后小东的钱数为，小鹏的钱数为；则小鹏买完文具盒后小东的钱数即原有的钱数为，小鹏的钱数为。 则（元） 答：小东原有20元钱。 【点睛】比例应用题核心就是通过“设未知数→根据比例关系列方程→解方程”来求解。 4．如图是两个相互啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是相同的。大齿轮有34个齿，小齿轮有24个齿。当大齿轮每分转60圈时，小齿轮每分转多少圈？（用比例的知识解答） 【答案】85圈 【分析】根据“在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是相同的”，即齿数×齿轮转的圈数＝总齿数（一定），积一定，则齿数与齿轮转的圈数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解即可。 【详解】解：设小齿轮每分钟转圈。 答：小齿轮每分钟转85圈。 5．某游泳馆推出两种付费方式。方式一：单次卡，每次收费25元；方式二：办理会员年卡，一次性缴纳200元会员费，每次游泳另外收费15元（一年内有效）。 （1）李叔叔制定了一个为期一年的游泳计划，每月游3次，请你帮李叔叔算一算，哪种付费方式更加划算？ （2）一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？ 【答案】（1）方式二 （2）20次 【分析】（1）首先计算李叔叔一年游泳的次数：一年有12个月，每月游3次，所以一年游泳3×12＝36次。计算方式一的费用：单次卡每次25元，游36次的费用是25×36＝900元；计算方式二的费用：办理会员年卡需缴纳200元会员费，每次游泳另外收费15元，则游36次的费用是200＋15×36＝740元。因为900＞740，所以方式二付费更加划算。 （2）设一年内游泳达到x次时，两种付费方式所用钱数相等。方式一的费用为25x元，方式二的费用为（200＋15x）元；根据两种方式费用相等，可列方程：25x＝200＋15x；根据等式的性质，方程两边同时减去15x，再同时除以10求解出x，即两种付费方式所用钱数相等时的游泳次数。 【详解】（1）3×12＝36（次） 方式一：25×36＝900（元） 方式二：200＋15×36 ＝200＋540 ＝740（元） 900＞740 答：方式二付费更加划算。 （2）解：设一年内游泳达到x次时，两种付费方式所用钱数相等。 25x＝200＋15x 25x－15x＝200＋15x－15x 10x＝200 10x÷10＝200÷10 x＝20 答：一年内游泳达到20次时，两种付费方式所用钱数相等。 6．江伯伯看中了一间长方形商铺（如下图），准备租下开一间咖啡书吧。签约那天，销售经理说：“很抱歉！已经有人提前交了租金，我们可以给你调换一间。给你换的这间也很好，虽然宽减少了3米，但是长增加了3米，租金不变，很公道。” （1）调换后的商铺与原来看中的商铺相比，面积（    ）。（填“增加”、“减少”或“相等”） （2）请在图中画一画，并说明你的想法。面积如果有变化，与原来相差（    ）平方米。 【答案】（1）减少 （2）作图和想法见详解；（3a－3b＋9） 【分析】 （1）如图，，红色部分是减少的面积，绿色部分是增加的面积，根据长方形面积＝长×宽，分别计算出减少和增加的面积，比较即可。 （2）作图和想法如上分析，如图，将第（1）题中的绿色部分通过旋转和平移，覆盖到红色部分，现在露出来的红色部分就是与原来相差的面积，红色部分的长＝a－（b－3），宽＝3，根据长方形面积＝长×宽，求出现在露出来的红色部分的面积即可。 【详解】（1）减少的面积：a×3＝3a（平方米） 增加的面积：（b－3）×3＝3（b－3）（平方米） 因为a＞b－3，所以3a＞3（b－3），调换后的商铺与原来看中的商铺相比，面积减少。 （2） 面积减少的多，增加的少，因此面积减少。 a－（b－3）＝（a－b＋3）米 （a－b＋3）×3＝（3a－3b＋9）平方米 与原来相差（3a－3b＋9）平方米。 7．2023年，某地开始实施农村义务教育学校营养计划。“蛋奶工程”该地农村小学每份营养餐的标准是质量为300克，蛋白质含量为，包括一盒牛奶、一包饼干和一个鸡蛋，已知牛奶的蛋白质含量为，饼干的蛋白质含量为，鸡蛋的蛋白质含量为，一个鸡蛋的质量为60克。 （1）一个鸡蛋中含蛋白质的质量为多少克？ （2）每份营养餐中牛奶和饼干的质量分别为多少克？ 【答案】（1）9克 （2）200克；40克 【分析】（1）已知一个鸡蛋的质量为60克，鸡蛋的蛋白质含量为，用60乘就是一个鸡蛋中含蛋白质的质量。 （2）每份营养餐总质量：300克（含牛奶、饼干、鸡蛋），鸡蛋质量60克，因此牛奶＋饼干的总质量为（300－60）240克。每份营养餐蛋白质总含量：（300×8%）＝24克。鸡蛋已提供蛋白质（60×15%）克，因此牛奶＋饼干需提供的蛋白质质量为（300×8%－60×15%）克。设每份营养餐中牛奶的质量为x克，则饼干的质量为（300－60－x）克。根据“牛奶蛋白质＋饼干蛋白质＝牛奶＋饼干需提供的蛋白质质量”列出方程为：5%x＋12.5%×（300－60－x）＝300×8%－60×15%，然后解方程即可。 【详解】（1）60×15% ＝60×0.15 ＝9（克） 答：一个鸡蛋中含蛋白质的质量为9克。 （2）解：设每份营养餐中牛奶的质量是克。 5%x＋12.5%×（300－60－x）＝300×8%－60×15% 0.05x＋0.125×（300－60－x）＝300×0.08－60×0.15 0.05x＋0.125×（240－x）＝24－9 0.05x＋30－0.125x＝15 0.05x＋30＝15＋0.125x 0.05x＋30－15＝0.125x 0.05x＋15＝0.125x 15＝0.125x－0.05x 0.075x＝15 x＝15÷0.075 x＝200 300－60－200＝40（克） 答：每份营养餐中牛奶的质量是200克，饼干的质量是40克。 8．某中学六年级1班计划买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两种品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价100元，乒乓球每盒定价25元。经洽谈后，甲店每买一副球拍赠送一盒乒乓球，乙店全部按定价的九折优惠，该班需球拍5副，乒乓球盒（≥5）。 （1）请问在甲店购买应付多少元？在乙店购买应付多少元？（用含有的代数式表示） （2）若＝20，去哪家购买更划算？请说明理由。 【答案】（1）甲店：（375＋25）元；乙店：（450＋22.5）元 （2）甲店；理由见详解 【分析】（1）甲店：每买一副球拍赠送一盒乒乓球，购买5副球拍赠送5盒乒乓球，还需额外购买（－5）盒乒乓球，则在甲店购买应付钱数＝每副球拍的定价×球拍数量＋每盒乒乓球定价×还需购买的盒数，据此用含字母的式子表示数量关系。 乙店：全部按定价的九折优惠，即总费用为球拍和乒乓球的总金额乘90%；则在乙店购买应付钱数＝（每副球拍的定价×5＋每盒乒乓球定价×盒数）×90%，据此用含字母的式子表示数量关系。 （2）把若＝20代入上一题在甲店、乙店购买应付钱数的式子中，分别计算出得数，再比较，得出去哪家购买更划算。 【详解】（1）甲店：100×5＋25（－5）＝500＋25－125＝（375＋25）元 乙店：（100×5＋25）×90%＝（500＋25）×0.9＝（450＋22.5）元 答：在甲店购买应付（375＋25）元，在乙店购买应付（450＋22.5）元。 （2）当＝20时 375＋25 ＝375＋25×20 ＝375＋500 ＝875（元） 450＋22.5 ＝450＋22.5×20 ＝450＋450 ＝900（元） 875＜900 答：去甲店购买更划算。因为在甲店购买需875元，在乙店购买需900元，甲店的费用更低。 9．红叶服装厂生产一批校服，前5天完成的套数与这批校服总套数的比是1∶3，如果再生产150套，则正好完成这批校服的40%。这批校服共有多少套？ 【答案】 2250套 【分析】已知前5天完成的套数与这批校服总套数的比是1∶3，所以前5天完成的校服占总套数的，设这批校服共有x套，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，则前5天完成x套； 已知再生产150套，正好完成这批校服的40%，求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，则总共完成40%x套； 根据数量关系可列方程为40%x－x＝150，将40%化为，先计算出x－x，然后根据等式的性质，方程两边同时乘15求解出x，即这批校服的总套数。 【详解】解：设这批校服共有x套。 40%x－x＝150 x－x＝150 x－x＝150 x＝150 x×15＝150×15 x＝2250 答：这批校服共有2250套。 10．材料 在物理学的电学中，导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比（即电流＝电压÷电阻）。这就是欧姆定律（Ohm’slaw）。其中，电流的表示字母是I（单位：安培），电阻的表示字母是（单位：欧姆），电压的表示字母是（单位：伏特）。由此，我们可以得出欧姆定律用字母表示为 （1）已知有一个导体，其电阻为20欧姆。 ①当两端电压为10伏特，求通过它的电流大小； ②当电流大小为0.4安培，已知人体能接受的安全电压伏特，若有人接触了一根通电的铜丝，铜丝的电压大小与这个导体两端电压相同，那么这个人是安全的吗？并说明理由； （2）现在有另一个电阻当通过它的电流为2安培时，其两端的电压大小为10伏特，当通过它的电流大小由2安培变为6安培时，求它两端的电压大小增加了多少伏特。 （3）请你提出一个有关欧姆定律的数学题并解答。 【答案】（1）①0.5安培；②安全；理由见详解；（2）20伏特；（3）提问和解答见详解 【分析】（1）①由题目可知欧姆定律是电流＝电压÷电阻，也就是，现在知道电阻R＝20欧姆，电压U＝10伏特，要求电流I，直接把数值代入公式算即可。 ②根据欧姆定律算出此时导体两端的电压，再和人体安全电压（≤36伏特）比较。已知电阻R＝20欧姆，电流I＝0.4安培，用U＝I×R（因为，变形后就是U＝I×R）来算电压，然后看这个电压是否在安全范围。 （2）根据已知的电流和电压，用R＝算出电阻（电阻是导体本身的性质，一般不变），再用变化后的电流和这个电阻，通过U＝I×R算出变化后的电压，最后用变化后的电压减去原来的电压，得到增加的电压。 （3）问题：一个导体电阻是10欧姆，通过它的电流是0.3安培，求它两端的电压是多少伏特？ 已知电阻是10欧姆（用R表示），电流是0.3安培（用I表示），然后根据U＝I×R，把数据代入计算即可得到电压。（答案不唯一） 【详解】（1）①10÷20＝0.5（安培） 答：当两端电压为10伏特，通过它的电流是0.5安培。 ②0.4×20＝8（伏特） 8伏特＜36伏特 答：因为8伏特小于36伏特，所以这个人是安全的，接触铜丝时的电压8伏特在人体能接受的安全电压范围内。 （2）10÷2＝5（欧姆） 6×5＝30（伏特） 30－10＝20（伏特） 答：两端的电压大小增加了20伏特。 （3）问题：一个导体电阻是10欧姆，通过它的电流是0.3安培，求它两端的电压是多少伏特？（答案不唯一） 0.3×10＝3（伏特） 答：它两端的电压是3伏特。 【点睛】本题主要结合欧姆定律，然后利用数学知识对其变形，然后根据已知其中两个量，就能算出第三个量来计算。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $