第05讲 离散型随机变量及其分布列（知识清单+4题型讲解举三反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册重难点讲义与测试

第05讲 离散型随机变量及其分布列 知识清单 知识点01：离散型随机变量 知识点02：离散型随机变量的分布列 题型讲解 （举三反三） 题型1：写出简单离散型随机变量分布列 题型2：利用随机变量分布列的性质解题 题型3：由随机变量的分布列求概率 题型4：两点分布 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1.离散型随机变量 一、　随机变量的概念、表示及特征 1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． 2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x，y，z. 3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征： (1)取值依赖于样本点． (2)所有可能取值是明确的． 二、离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量． 知识点2.离散型随机变量的分布列 离散型随机变量的分布列及其性质 1．定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 2．分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1,2，…，n. (2)p1＋p2＋…＋pn＝1. 　两点分布 如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列为 X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布． 题型1：写出简单离散型随机变量分布列 【例1-1】（24-25高二下·河南周口·期中）已知盒中装有9个除颜色外其他完全相同的小球，其中有3个白球，6个红球，每次从盒中随机抽取1个小球，观察颜色后再放回盒中，直到两种颜色的球都取到，且取到的一种颜色的球比另一种颜色的球恰好多2个时停止取球，则停止取球时取球的次数为6的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分四种情况讨论，结合离散型随机变量的概率计算后再两种概率相加即可. 【详解】一共四种情况： （1）前四次，可能是白2红2（顺序任意），然后(i)抽2红或者(ii)抽2白结束. （2）前四次也可能是白4，然后抽2红结束. （3）前四次还可能是红4，然后抽2白结束. 取到白球的概率为，取到红球的概率为， （1）的两种情况的概率分别为 （i）， (ii)， （2）（3）前4红后2白或者前4白后2红的概率和为： ， 所以共有总概率为. 故选：D 【例1-2】（2024高三·全国·专题练习）某次乒乓球比赛的规则为：双方轮流发球，每人发一个球后交换发球权，先得11分的一方获胜，同时规定，双方比分达到（未达到时）后，先多得2分的一方获胜，双方比分达到后，先多得1分的一方获胜.甲、乙两人进行比赛，比分达到，下一次由甲发球，用表示结束比赛还需要发球的次数，已知甲、乙两人比赛时发球方得分的概率均为，则______. 【答案】 【分析】根据题意先列出的所有可能取值，再分析各个取值的情况，求得和的值，由随机变量的分布列的概率和为1求得. 【详解】由题意知的所有可能取值为. 当时，甲的胜负情况为“胜胜”或“负负”，故. 当时，甲的胜负情况为“胜负胜胜”“胜负负负”“负胜胜胜”或“负胜负负”， 故. 则. 故答案为：. 【例1-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）从集合的所有非空子集中，等可能地取出一个.记所取出的非空子集的元素个数为，求的分布列. 【答案】分布列见解析 【分析】的所有可能值为1，2，3，4，5，进而利用古典概型概率公式求得的分布列. 【详解】依据题意，的所有可能值为1，2，3，4，5. 集合的所有非空子集有， 又，，，，. 故的分布列为 1 2 3 4 5 【变式1-1】（24-25高二下·全国·课后作业）甲、乙两人下象棋，甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用表示甲的得分，则表示（    ） A．甲赢三局 B．甲赢一局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局或甲、乙平局三次 【答案】D 【分析】根据题意，分两种情况，即甲赢一局或甲、乙平局三次. 【详解】由于甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故分成两种情况， 即或者，即甲赢一局或甲、乙平局三次. 故选：D 【变式1-2】（2026高三·全国·专题练习）某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.3 a 0.45 则a＝________． 【答案】/ 【分析】根据概率之和等于1列式计算即得. 【详解】由分布列性质，得，解得. 故答案为：. 【变式1-3】（25-26高二上·江西宜春·月考）不透明的盒中有五个大小形状相同的小球．它们分别标有数字，0，1，1，2，现从中随机取出2个小球． (1)求取出的2个小球上的数字不同的概率； (2)记取出的2个小球上的数字之积为，求的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用古典概型计算公式计算即可； （2）分析随机变量的取值，并利用古典概型分别计算随机变量取值对应的概率即可. 【详解】（1）从5个小球中随机取出2个，对5个小球进行编号，分别为， 样本空间为，共计10个样本点， 其中数字相同的情况只有一种（取出两个标有数字1的小球）， 因此数字不同的情况有 种，故取出的2个小球上的数字不同的概率为 ； （2）随机变量的取值分别为：， 当时：取出数字 和 2，取法数 1 种， ； 当时：取出数字 和 1，取法数 2 种， ； 当时：取出数字 和 0（1 种）、0 和 1（2 种）、0 和 2（1 种）， 总取法数 4 种， ； 当时：取出两个数字 1，取法数 1 种， ； 当时：取出数字 1 和 2，取法数 2 种，概率 ； 故 的分布列为：                                                             题型2：利用随机变量分布列的性质解题 【例2-1】（25-26高二下·全国·课堂例题）下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是（    ） A． 1 0 1 B． 0 1 2 C． 0 1 2 D． 0 1 【答案】D 【分析】利用分布列的概念及性质，即的取值应互不相同且逐项判断即可. 【详解】对于A，的取值出现了重复性，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，的取值互不相同，且，故D正确. 故选：D. 【例2-2】（24-25高二下·全国·课后作业）若离散型随机变量的分布列为： 0 1 则实数的值为______． 【答案】/ 【分析】根据分布列中概率和为1列方程求参数值，注意验证. 【详解】由题设，可得，所以或， 当时，，，显然不符； 当时，，，满足. 所以. 故答案为： 【例2-3】设随机变量X的分布列为，k=1，2，3，4，其中c为常数，求的值． 【答案】 【分析】利用离散型随机变量分布列的性质求得c，再利用求解. 【详解】解  由离散型随机变量分布列的性质可知 ， 所以． 解得． 所以， ． 【变式2-1】（25-26高二上·陕西渭南·月考）设随机变量的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由随机变量的分布列的性质得到答案. 【详解】由题意知，解得. 故选：B. 【变式2-2】（2025高二·全国·专题练习）已知随机变量X的概率分布规律为，其中a为常数，则_______． 【答案】 【分析】利用概率和为1可构造方程求得a的值，由可求得结果. 【详解】因为， 所以，故， 所以. 故答案为：. 【变式2-3】甲､乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量，已知甲､乙两名射手在每次射击中射中的环数分别为，且甲射中环的概率分别为，乙射中环的概率分别为，求的分布列. 【答案】分布列见解析 【分析】先应用分布列性质求参，再分别写出分布列即可. 【详解】由题意得，解得， ，解得， 所以的分布列为 10 9 8 7 0.4 0.2 0.2 0.2 的分布列为 10 9 8 7 0.3 0.3 0.2 0.2 题型3：由随机变量的分布列求概率 【例3-1】（24-25高二下·甘肃临夏·期末）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 若随机变量，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【答案】A 【分析】由题意得计算求解即可. 【详解】由题可得. 故选：A 【例3-2】（24-25高二下·山西吕梁·期中）设离散型随机变量的分布列如右表，若随机变量，则______． X 0 1 2 3 4 P 【答案】/ 【分析】利用分布列性质计算可得，再由和事件即可求得其概率. 【详解】易知，解得； 由可得或， 所以. 【例3-3】甲､乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量，已知甲､乙两名射手在每次射击中射中的环数分别为，且甲射中环的概率分别为，乙射中环的概率分别为，求的分布列. 【答案】分布列见解析 【分析】先应用分布列性质求参，再分别写出分布列即可. 【详解】由题意得，解得， ，解得， 所以的分布列为 10 9 8 7 0.4 0.2 0.2 0.2 的分布列为 10 9 8 7 0.3 0.3 0.2 0.2 【变式3-1】（24-25高二下·青海西宁·期末）某位射箭运动员命中目标的环数的分布列为： 6 7 8 9 10 0.05 0.15 0.25 0.35 0.20 如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是（    ） A．0.55 B．0.45 C．0.35 D．0.20 【答案】A 【分析】利用分布列的性质，将射中环数为9、10环对应的概率相加即可得解． 【详解】若射手射击一次为优秀，则他射中的环数为9，10环，其概率为， 故他射击一次为优秀的概率是0.55. 故选：A. 【变式3-2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）设离散型随机变量的分布列如下表，若随机变量，则__________. 【答案】/ 【分析】根据离散型随机变量分布列的性质可知各概率，再根据概率的加法可得解. 【详解】由已知可得， 解得， 则， 故答案为：. 【变式3-3】（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）设离散型随机变量的分布列为，，其中为常数. (1)求的值； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用离散型随机变量分布列的性质可求得的值； （2）由计算可得结果. 【详解】（1）根据分布列的性质，所有概率之和等于1，即：， 将题目给出的概率公式代入，得：， 化简计算：，通分得到：，解得：. （2）， 将的值代入概率公式，得： ，所以. 题型4：两点分布 【例4-1】（25-26高二上·江西宜春·期末）已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.1 【答案】C 【分析】根据两点分布的性质求解即可. 【详解】因为随机变量服从两点分布，且， 则. 故选：C 【例4-2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知随机变量服从两点分布，且，令，则______． 【答案】0.6/ 【分析】由两点分布可得答案. 【详解】由得， 所以． 故答案为：. 【例4-3】（24-25高二·全国·课堂例题）如果随机变量X只取两个不同的值，那么X一定服从两点分布吗？ 【答案】答案见解析 【详解】只取两个不同的值的随机变量并不一定服从两点分布．如随机变量X的分布列为 X 2 3 P 0.3 0.7 则X不服从两点分布，因为X的取值不是0和1，但我们可以通过适当的变换把它变成两点分布． 如令，则Y服从两点分布． 【变式4-1】（24-25高二下·新疆·期末）已知随机变量服从两点分布，且，设，则＝（    ） A．0.72 B．0.28 C．0.16 D．0.84 【答案】A 【分析】根据两点分布概率公式求解即可. 【详解】由题意可得， 故选：A. 【变式4-2】（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知随机变量服从两点分布，且，若，则___________. 【答案】0.6/ 【分析】根据两点分布的性质可求得，进而由得出结果. 【详解】随机变量服从两点分布，且，则， 若，可知，则. 故答案为：0.6. 【变式4-3】（25-26高二下·全国·课后作业）分布列： 2 5 0.3 0.7 是两点分布吗？ 【答案】不是两点分布 【分析】由两点分布的概念判断即可． 【详解】因为的取值不是0和1， 所以不是两点分布． 一、单选题 1．（24-25高二下·河北承德·期末）已知随机变量服从分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，结合题目条件得到方程，求出答案. 【详解】且，解得. 故选：D 2．（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 0.2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量分布列求概率即可. 【详解】由题得，则， 故． 故选：C. 3．（25-26高二上·全国·单元测试）设离散型随机变量的分布列为下表，若随机变量，则（    ） 0 1 2 3 0.1 0.6 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【分析】根据离散型随机变量取各个值的概率和为1求得，由求出结果． 【详解】由分布列的性质知，所以． 因为，所以． 故选：A． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知离散型随机变量的分布列如表所示，则常数为（    ） 0 1 A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】由离散型随机变量的分布列的性质进行求解． 【详解】由题意可得，解得． 故选：A． 5．（2025高三·全国·专题练习）甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（   ） A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 【答案】D 【详解】解析  甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，所以有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．故选D． 6．（24-25高二下·山东聊城·期中）已知随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据两点分布的性质以及概率的取值范围来确定实数的值. 【详解】因为随机变量服从两点分布，所以. . 整理得，解得，. 当时，，； 当时，，故不合题意. 综上，可得. 故选：A. 7．（24-25高二下·江苏淮安·期中）为迎接五一假期，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的5个红球和4个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到一红球一白球，可获得价值a百元代金券；摸到两红球，可获得价值b百元代金券；摸到两白球，可获得价值ab百元代金券（a，b均为整数）．已知每位员工平均可得6百元代金券，则运气最好者获得至多（   ）百元代金券 A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】根据题意可知代金券的取值，再根据随机变量的意义求概率，即可求分布列，再求期望可知，根据条件，结合基本不等式求的最大值，即可求解. 【详解】若摸到一红球一白球的概率， 若摸到2白球的概率，若摸到2红球的概率， 设可获得百元代金券为变量分布列如下， a b ab P ， 手气最好者获得百元代金券 即，， 又a，b均为正整数， 所以当时，有，即舍去； 当时，有，即， 此时运气最好者获得至多百元代金券； 当时，有，即舍去； 当时，有，即，此时运气最好者获得至多百元代金券； 当时，有，即舍去； 当时，有，即舍去； 当时，有，即舍去； 当时，有，即舍去； 当时，可得舍去； 综上，运气最好者获得至多16百元代金券. 故选：B. 8．一校园公用电话在某时刻恰有个学生正在使用或等待使用该电话的概率为，根据统计得到，其中为常数，则在该时刻没有学生正在使用或等待使用该电话的概率为（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 【答案】B 【分析】利用概率之和为1求出，然后令，即可求解. 【详解】， ，即. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高二下·全国·课后作业）将一个骰子掷两次，能作为随机变量的是（    ） A．两次掷出的点数之和 B．两次掷出的最大点数 C．第一次与第二次掷出的点数之差 D．两次掷出的点数 【答案】ABC 【分析】由随机变量的概念逐项判断即可； 【详解】将一个骰子掷两次，两次掷出的点数之和是一个变量，且随试验结果的变化而变化，所以是一个随机变量，A正确； 两次掷出的最大点数，为随机变量，B正确； 第一次与第二次掷出的点数之差也都是随机变量， C正确； 两次掷出的点数不是一个变量，是一个数对，D错； 故选：ABC 10．（2025高三·全国·专题练习）（多选）若离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列说法错误的是（    ） 0 1 A．常数的值为或 B．常数的值为 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据分布列的性质求解. 【详解】由题意知，解得或， 当时，，所以舍去， 故，AB错误， 计算可得，C错误，D正确， 故选:ABC． 11．（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）下列随机变量是离散型随机变量的是（   ） A．连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数 B．南京长江大桥一天经过的车辆数 C．某型号彩电的寿命 D．连续抛掷两个质地均匀的骰子，所得点数之和 【答案】ABD 【分析】由随机变量的特点逐一判断即可. 【详解】因为B,D中的取值有限，且可以一一列举出来， 故B,D中的均为离散型随机变量． 因为中的取值依次为1，2，3，…，虽然无限，但可一一列举出来， 故为离散型随机变量． 而C中的取值不能一一列举出来， 所以中的不是离散型随机变量． 故选：ABD 三、填空题 12．（24-25高二下·全国·课堂例题）已知离散型随机变量X的分布列服从参数为p的两点分布，且，则______. 【答案】 【分析】利用两点分布的概率和性质结合给定条件求解即可. 【详解】因为X的分布列服从参数为p的两点分布，所以，且， 所以即，∴. 故答案为： 13．（2025高三·全国·专题练习）某种儿童游戏每局的规则是：儿童先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其资金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量和分别表示儿童在一局游戏中的资金和奖金，则_________． 【答案】/ 【分析】由已知分别得出资金和奖金的分布列，得出所需概率求解即可. 【详解】资金的分布列为 1 2 3 4 5 P 奖金的分布列为 1.4 2.8 4.2 5.6 P 则. 故答案为：. 14．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a是常数，则______． 1 2 3 … 50 … 【答案】/0.28 【分析】由分布列的性质求得，进而可求解. 【详解】由题意，， 解得， 所以 ． 故答案为： 四、解答题 15．（2025高二·全国·专题练习）一袋子中有大小相同的10个小球，其中有3个白球，7个黑球．现从中依次摸出2个球，记摸到白球的个数为X．若采用不放回摸球，求X的分布列． 【答案】分布列见解析 【分析】先求出的可能值及各个值对应的概率，再列出分布列即可． 【详解】依题意，的所有可能取值为，，， 则， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 16．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知随机变量的分布列： 1 2 3 4 5 (1)求a； (2)求，. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由概率之和为1，求解即可； （2）由，求解即可. 【详解】（1）由，得. （2）， . 17．（2025高二·全国·专题练习）设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取2条，当它们相交时，；当它们平行时，的值为它们之间的距离；当它们异面时，.求随机变量的分布列. 【答案】 0 1 【分析】首先根据题意写出的可能取值，然后结合正方体的性质计算出每个可能取值对应的概率，即可得到分布列. 【详解】的可能取值为， 若2条棱相交，则交点必在正方体的顶点处，过任意1个顶点的棱有3条，所以； 若2条棱平行，则它们的距离为1或，而正方体中距离为的棱共有6对，则； . 所以随机变量的分布列如下： 0 1 18．（24-25高一下·安徽·开学考试）设随机变量相互独立并且分布列相同，的分布列是否可能为，证明你的结论. 【答案】不可能，证明见解析 【分析】假设成立，由题可知，再根据概率公式得到，最后由可推出矛盾. 【详解】不可能，理由如下：假设． 因， 令，由， 有，，， ； ； ， 检验，矛盾． 因此，不存在给定形式的分布列 19．（25-26高三上·四川内江·月考）已知一个大盒子内装有6个黄乒乓球，个白乒乓球． (1)甲乙两人从盒中进行随机摸球游戏：甲，乙两人轮流交替摸球，每次摸取一球，甲先摸球，直到两人中有一人摸到白乒乓球时游戏结束，每次摸出的小球均不再放回．当时， （ⅰ）求乙在第1次恰好摸到白乒乓球的概率； （ⅱ）记表示游戏结束时甲摸球的次数，求的分布列． (2)整理盒中小球时，需将所有乒乓球排成一排，要求每个黄乒乓球至少与另一个黄乒乓球相邻．记不超过3个黄乒乓球排在一起的概率为p，若，求x的最小值． 【答案】(1)（ⅰ）（ⅱ）答案见解析 (2)6 【分析】（1）（i）根据甲第一次摸到黄乒乓球，接下来乙在第1次恰好摸到白乒乓球求概率即可；（ii）根据分布列的步骤求解即可； （2）先将黄球分组，再利用插空法即可得出事件总数，进而求出概率即可得解. 【详解】（1）（i）由题意，乙第一次恰好摸到白球的概率为. （ii）根据游戏规则，的取值可能为1，2，3，4， ； ； ； ； 所以的分布列为 1 2 3 4 （2）整理乒乓球时，要使得至少2个黄球相邻，则有“黄黄—黄黄—黄黄”，“黄黄黄—黄黄黄”，“黄黄—黄黄黄黄”，“黄黄黄黄—黄黄”，“黄黄黄黄黄黄”5种情况. 可以先排列白球，通过插空法，让黄球排列在白球与白球之间的空位上. 所以“黄黄—黄黄—黄黄”有种排法； “黄黄黄—黄黄黄”，“黄黄—黄黄黄黄”，“黄黄黄黄—黄黄”均有种排法，总共种； “黄黄黄黄黄黄”有种排法. 不超过3个黄球排在一起的情况只能为“黄黄—黄黄—黄黄”与“黄黄黄—黄黄黄”两种情况， 所以，即有， 解得或（舍去），所以x的最小值为6. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 离散型随机变量及其分布列 知识清单 知识点01：离散型随机变量 知识点02：离散型随机变量的分布列 题型讲解 （举三反三） 题型1：写出简单离散型随机变量分布列 题型2：利用随机变量分布列的性质解题 题型3：由随机变量的分布列求概率 题型4：两点分布 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1.离散型随机变量 一、　随机变量的概念、表示及特征 1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． 2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x，y，z. 3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征： (1)取值依赖于样本点． (2)所有可能取值是明确的． 二、离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量． 知识点2.离散型随机变量的分布列 离散型随机变量的分布列及其性质 1．定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 2．分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1,2，…，n. (2)p1＋p2＋…＋pn＝1. 　两点分布 如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列为 X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布． 题型1：写出简单离散型随机变量分布列 【例1-1】（24-25高二下·河南周口·期中）已知盒中装有9个除颜色外其他完全相同的小球，其中有3个白球，6个红球，每次从盒中随机抽取1个小球，观察颜色后再放回盒中，直到两种颜色的球都取到，且取到的一种颜色的球比另一种颜色的球恰好多2个时停止取球，则停止取球时取球的次数为6的概率为（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（2024高三·全国·专题练习）某次乒乓球比赛的规则为：双方轮流发球，每人发一个球后交换发球权，先得11分的一方获胜，同时规定，双方比分达到（未达到时）后，先多得2分的一方获胜，双方比分达到后，先多得1分的一方获胜.甲、乙两人进行比赛，比分达到，下一次由甲发球，用表示结束比赛还需要发球的次数，已知甲、乙两人比赛时发球方得分的概率均为，则______. 【例1-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）从集合的所有非空子集中，等可能地取出一个.记所取出的非空子集的元素个数为，求的分布列. 【变式1-1】（24-25高二下·全国·课后作业）甲、乙两人下象棋，甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用表示甲的得分，则表示（    ） A．甲赢三局 B．甲赢一局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局或甲、乙平局三次 【变式1-2】（2026高三·全国·专题练习）某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.3 a 0.45 则a＝________． 【变式1-3】（25-26高二上·江西宜春·月考）不透明的盒中有五个大小形状相同的小球．它们分别标有数字，0，1，1，2，现从中随机取出2个小球． (1)求取出的2个小球上的数字不同的概率； (2)记取出的2个小球上的数字之积为，求的分布列． 题型2：利用随机变量分布列的性质解题 【例2-1】（25-26高二下·全国·课堂例题）下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是（    ） A． 1 0 1 B． 0 1 2 C． 0 1 2 D． 0 1 【例2-2】（24-25高二下·全国·课后作业）若离散型随机变量的分布列为： 0 1 则实数的值为______． 【例2-3】设随机变量X的分布列为，k=1，2，3，4，其中c为常数，求的值． 【变式2-1】（25-26高二上·陕西渭南·月考）设随机变量的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025高二·全国·专题练习）已知随机变量X的概率分布规律为，其中a为常数，则_______． 【变式2-3】甲､乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量，已知甲､乙两名射手在每次射击中射中的环数分别为，且甲射中环的概率分别为，乙射中环的概率分别为，求的分布列. 题型3：由随机变量的分布列求概率 【例3-1】（24-25高二下·甘肃临夏·期末）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 若随机变量，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【例3-2】（24-25高二下·山西吕梁·期中）设离散型随机变量的分布列如右表，若随机变量，则______． X 0 1 2 3 4 P 【例3-3】甲､乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量，已知甲､乙两名射手在每次射击中射中的环数分别为，且甲射中环的概率分别为，乙射中环的概率分别为，求的分布列. 【变式3-1】（24-25高二下·青海西宁·期末）某位射箭运动员命中目标的环数的分布列为： 6 7 8 9 10 0.05 0.15 0.25 0.35 0.20 如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是（    ） A．0.55 B．0.45 C．0.35 D．0.20 【变式3-2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）设离散型随机变量的分布列如下表，若随机变量，则__________. 【变式3-3】（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）设离散型随机变量的分布列为，，其中为常数. (1)求的值； (2). 题型4：两点分布 【例4-1】（25-26高二上·江西宜春·期末）已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.1 【例4-2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知随机变量服从两点分布，且，令，则______． 【例4-3】（24-25高二·全国·课堂例题）如果随机变量X只取两个不同的值，那么X一定服从两点分布吗？ 【变式4-1】（24-25高二下·新疆·期末）已知随机变量服从两点分布，且，设，则＝（    ） A．0.72 B．0.28 C．0.16 D．0.84 【变式4-2】（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知随机变量服从两点分布，且，若，则___________. 【变式4-3】（25-26高二下·全国·课后作业）分布列： 2 5 0.3 0.7 是两点分布吗？ 一、单选题 1．（24-25高二下·河北承德·期末）已知随机变量服从分布，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 0.2 A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·单元测试）设离散型随机变量的分布列为下表，若随机变量，则（    ） 0 1 2 3 0.1 0.6 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 4．（2025高三·全国·专题练习）已知离散型随机变量的分布列如表所示，则常数为（    ） 0 1 A． B． C．或 D． 5．（2025高三·全国·专题练习）甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（   ） A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 6．（24-25高二下·山东聊城·期中）已知随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．或 7．（24-25高二下·江苏淮安·期中）为迎接五一假期，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的5个红球和4个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到一红球一白球，可获得价值a百元代金券；摸到两红球，可获得价值b百元代金券；摸到两白球，可获得价值ab百元代金券（a，b均为整数）．已知每位员工平均可得6百元代金券，则运气最好者获得至多（   ）百元代金券 A．12 B．16 C．18 D．20 8．一校园公用电话在某时刻恰有个学生正在使用或等待使用该电话的概率为，根据统计得到，其中为常数，则在该时刻没有学生正在使用或等待使用该电话的概率为（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 二、多选题 9．（24-25高二下·全国·课后作业）将一个骰子掷两次，能作为随机变量的是（    ） A．两次掷出的点数之和 B．两次掷出的最大点数 C．第一次与第二次掷出的点数之差 D．两次掷出的点数 10．（2025高三·全国·专题练习）（多选）若离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列说法错误的是（    ） 0 1 A．常数的值为或 B．常数的值为 C． D． 11．（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）下列随机变量是离散型随机变量的是（   ） A．连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数 B．南京长江大桥一天经过的车辆数 C．某型号彩电的寿命 D．连续抛掷两个质地均匀的骰子，所得点数之和 三、填空题 12．（24-25高二下·全国·课堂例题）已知离散型随机变量X的分布列服从参数为p的两点分布，且，则______. 13．（2025高三·全国·专题练习）某种儿童游戏每局的规则是：儿童先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其资金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量和分别表示儿童在一局游戏中的资金和奖金，则_________． 14．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a是常数，则______． 1 2 3 … 50 … 四、解答题 15．（2025高二·全国·专题练习）一袋子中有大小相同的10个小球，其中有3个白球，7个黑球．现从中依次摸出2个球，记摸到白球的个数为X．若采用不放回摸球，求X的分布列． 16．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知随机变量的分布列： 1 2 3 4 5 (1)求a； (2)求，. 17．（2025高二·全国·专题练习）设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取2条，当它们相交时，；当它们平行时，的值为它们之间的距离；当它们异面时，.求随机变量的分布列. 18．（24-25高一下·安徽·开学考试）设随机变量相互独立并且分布列相同，的分布列是否可能为，证明你的结论. 19．（25-26高三上·四川内江·月考）已知一个大盒子内装有6个黄乒乓球，个白乒乓球． (1)甲乙两人从盒中进行随机摸球游戏：甲，乙两人轮流交替摸球，每次摸取一球，甲先摸球，直到两人中有一人摸到白乒乓球时游戏结束，每次摸出的小球均不再放回．当时， （ⅰ）求乙在第1次恰好摸到白乒乓球的概率； （ⅱ）记表示游戏结束时甲摸球的次数，求的分布列． (2)整理盒中小球时，需将所有乒乓球排成一排，要求每个黄乒乓球至少与另一个黄乒乓球相邻．记不超过3个黄乒乓球排在一起的概率为p，若，求x的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $