专题7.3 离散型随机变量的均值与方差（7类必考点）讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

专题7.3 离散型随机变量的均值与方差 【知识梳理】 1 【考点1：求离散型随机变量的均值】 2 【考点2：均值的性质】 6 【考点3：由离散型随机变量的均值求参数】 7 【考点4：两点分布的均值】 9 【考点5：离散型随机变量的方差与标准差】 9 【考点6：方差的性质】 12 【考点7： 方差的期望表示】 12 【知识梳理】 1．离散型随机变量的均值 (1)定义 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示： X x1 x2 xn P p1 p2 pn 则称E(X)=x1p1+x2p2++xipi++xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称 期望，它反映了随机变量取值的平均水平. (2)对均值(期望)的理解 求离散型随机变量的期望应注意： ①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均. ②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是 不变的，它描述X取值的平均状态. ③均值与随机变量有相同的单位. 2．均值的性质 若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且 E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b. 特别地，当a=0时，E(b)=b； 当a=1时，E(X+b)=E(X)+b； 当b=0时，E(aX)=aE(X). 3．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则称为随机变 量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为. (2)意义 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程 度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 4．方差的有关性质 当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=. 特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1时，D(X+b)=D(X)； 当b=0时，D(aX)=. 5．两点分布的均值与方差 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p. 6．求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值. (2)求ξ取每个值的概率. (3)写出ξ的分布列. (4)由均值的定义求E(ξ). (5)由方差的定义求D(ξ). [方法技巧] 求离散型随机变量的均值与方差的步骤 (1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2，3，…，n)； (2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi； (3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确； (4)利用公式求均值或方差. 【考点1：求离散型随机变量的均值】 1．（2026·安徽池州·二模）现有1个白球、3个黑球，将它们随机放入如图所示的编号为1～6的抽屉内，每个抽屉至多放一个球，且所有黑球均放在白球的左侧.设白球所在抽屉的编号为X，则（   ） 1 2 3 4 5 6 A． B． C． D． 2．（2026·福建福州·模拟预测）甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字2，3，5，乙的卡片上分别标有数字4，6，10.两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，若两个数字互质，则甲得1分，否则乙得1分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.记三轮比赛后甲的总得分为X，则（   ） A．1 B． C． D．2 3．（2026·湖北黄石·一模）袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个红球，2个黑球，2个白球.现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量. (1)求第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率； (2)求的分布列和期望. 4．（2026高三·全国·专题练习）某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下：若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，选2个且都为正确选项得6分，否则得0分；若正确选项有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分，否则得0分.学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为（），记为甲随机选择1个选项的得分. (1)若，求； (2)求的概率分布列和数学期望； 5．（25-26高三下·海南·月考）黎锦织造技艺是海南国家级非物质文化遗产，一幅黎锦作品的完成需经过“纺线设计”和“织锦制作”两大独立环节，只有纺线设计通过后才能进行织锦制作，且只有同时通过两个环节才能成为成品．某黎锦工坊准备制作甲、乙、丙三幅不同的黎锦作品，已知甲、乙、丙通过纺线设计环节的概率依次为通过织锦制作环节的概率依次为． (1)求甲、乙、丙三幅中恰有一幅作品通过纺线设计环节的概率； (2)若已知甲、乙、丙三幅中恰有一幅作品通过纺线设计环节，求通过的作品为甲的概率； (3)经过纺线设计和织锦制作两个环节后，甲、乙、丙三幅作品成为成品的件数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 【考点2：均值的性质】 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知随机变量的分布列为 1 2 3 且，若，则________，________． 2．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知随机变量的概率分布如表且，则______. 1 2 4 3．（25-26高三下·山东菏泽·月考）投掷一枚均匀的骰子（六面分别标有点）．规则如下：若某人投出点，则本轮得分；若投出其他点数，则本轮得分为该点数．投掷一次为一轮，共进行三轮．记此人的总得分为随机变量，则_____． 4．（2026·湖南怀化·一模）如图，要用个元件组成一个电路系统，当且仅当从到的电路为通路状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为，则__________. 5．（多选）（2026·湖北宜昌·模拟预测）某人进行投篮游戏，每次投篮的命中率为，且投篮结果互不影响，如果出现连续次命中，那么停止投篮，游戏结束．则（    ） A．当时，投篮2次游戏结束的概率为 B．当时，投篮3次游戏结束的概率大于投篮4次游戏结束的概率 C．当时，游戏结束时投篮总次数的数学期望为 D．设游戏结束时投篮总次数的数学期望为，则（） 【考点3：由离散型随机变量的均值求参数】 1．（25-26高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则＝（   ） X －1 0 a 2 P b A． B．1 C． D． 2．（25-26高二·全国·假期作业）设随机变量的分布列如表所示，且，则（   ） 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A．0.2 B．0.1 C．0.15 D．0.4 3．（2025·四川·高考真题）设离散型随机变量X可能取的值为1、2、3、4. ．又X的均值，则＝__. 4．（25-26高二下·广西梧州·月考）某商家搞会员积分活动，活动规定：参与活动的顾客一次性投掷2个质地均匀的骰子，记这2个骰子的点数之和为.若，则积10分；若，则积20分；若，则积30分.按照该规则，记参与该活动一次获得的积分为. (1)求的分布列与期望. (2)为了让顾客获得更多积分，商家决定，当（）时，商家再额外赠送积分；当时，不额外赠送积分.记参与该活动一次最终获得的积分为，若，求的取值范围. 5．（24-25高二下·陕西榆林·期末）甲、乙两人进行套圈比赛，要求他们站在定点，两点处进行套圈，已知甲在，两点的命中率均为，乙在点的命中率为，在点的命中率为，且他们每次套圈互不影响． (1)若甲在处套圈3次，求甲至多命中1次的概率； (2)若甲和乙每人在，两点各套圈一次，且在点命中计2分，在点命中计3分，未命中则计0分，设甲的得分为，乙的得分为，写出和的分布列和期望； (3)在（2）的条件下，若，求的取值范围． 【考点4：两点分布的均值】 1．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知随机变量服从参数为的两点分布，且，则（     ） A．0.25 B．0.75 C．0.35 D．0.65 2．（24-25高二下·吉林·期中）篮球比赛中每次发球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中率为0.7，则他一次罚球得分的期望为（   ） A．0.3 B．0.7 C．0.49 D．0.21 3．（24-25高二下·广东惠州·月考）若离散型随机变量X服从分布，且，则_________． 4．（24-25高二下·湖南娄底·期中）已知随机变量X服从两点分布，且，设，那么________. 5．（25-26高二下·全国·课后作业）某医生在一次模拟手术中，成功率是失败率的9倍，记表示该医生在一次模拟手术中的得分，且有则______． 【考点5：离散型随机变量的方差与标准差】 1．（25-26高二上·北京·期中）已知随机变量X的分布列如图：则________；________． X 0 1 2 P 0.4 p 0.4 2．（2026·福建泉州·一模）为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展应用培训活动.现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为，若，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 3．（多选）（2026·四川成都·二模）设随机变量X的分布列为 X 1 2 P p 其中．若，则一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·全国·课堂例题）甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为 X 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 Y 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 你能评定这两个保护区的管理水平吗？ 5．（25-26高二下·全国·课堂例题）膨胀仪是测量金属膨胀系数的一种精密仪器，测量结果通过感光设备在照相底片上显示出来，现用一台膨胀仪上两种底片多次测量某种合金的膨胀系数，结果如下表1，表2． 表1  玻璃底片测量结果 测量结果X 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 概率P 0.05 0.15 0.60 0.15 0.05 表2  软片底片测量结果 测量结果Y 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 概率P 0.05 0.05 0.15 0.50 0.15 0.05 0.05 用数学期望与方差分析比较两种底片哪一种测量结果较好？ 【考点6：方差的性质】 1．（25-26高三下·江苏南通·开学考试）若的方差为4，则的方差为_______． 2．（25-26高二上·辽宁鞍山·期末）已知随机变量X，Y满足，且随机变量X的分布列如下：则随机变量Y的方差等于_____. 0 1 2 3．（25-26高二下·辽宁朝阳·月考）已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则（   ） A． B．7 C．21 D．22 4．（25-26高二下·全国·单元测试）若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高二上·江西·期末）设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 4 P a 0.3 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 【考点7： 方差的期望表示】 1．（多选）（24-25高二下·广西桂林·开学考试）已知离散型随机变量的分布列如下表： 2 4 8 若，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2026·福建福州·模拟预测）已知离散型随机变量X的分布列如下，则下列选项中正确的是（    ） X 0 1 2 P 0.36 A． B． C． D． 3．（24-25高二下·北京·期中）已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 0.6 若，则______；当______时，最大． 4．（25-26高三下·广东深圳·月考）甲、乙两名选手参加羽毛球单打比赛，比赛采用三局两胜制，先赢得两局的选手获胜．每局比赛没有平局，且甲选手每局获胜的概率都是，记比赛结束时的局数为随机变量，则的取值范围为________． 5．（24-25高二下·山东临沂·期中）某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取4道让参赛者回答，已知小李只能答对其中的7道，试求： (1)抽到他能答对题目数的分布列； (2)求的期望和方差. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.3 离散型随机变量的均值与方差 【知识梳理】 1 【考点1：求离散型随机变量的均值】 2 【考点2：均值的性质】 7 【考点3：由离散型随机变量的均值求参数】 11 【考点4：两点分布的均值】 15 【考点5：离散型随机变量的方差与标准差】 17 【考点6：方差的性质】 20 【考点7： 方差的期望表示】 22 【知识梳理】 1．离散型随机变量的均值 (1)定义 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示： X x1 x2 xn P p1 p2 pn 则称E(X)=x1p1+x2p2++xipi++xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称 期望，它反映了随机变量取值的平均水平. (2)对均值(期望)的理解 求离散型随机变量的期望应注意： ①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均. ②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是 不变的，它描述X取值的平均状态. ③均值与随机变量有相同的单位. 2．均值的性质 若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且 E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b. 特别地，当a=0时，E(b)=b； 当a=1时，E(X+b)=E(X)+b； 当b=0时，E(aX)=aE(X). 3．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则称为随机变 量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为. (2)意义 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程 度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 4．方差的有关性质 当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=. 特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1时，D(X+b)=D(X)； 当b=0时，D(aX)=. 5．两点分布的均值与方差 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p. 6．求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值. (2)求ξ取每个值的概率. (3)写出ξ的分布列. (4)由均值的定义求E(ξ). (5)由方差的定义求D(ξ). [方法技巧] 求离散型随机变量的均值与方差的步骤 (1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2，3，…，n)； (2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi； (3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确； (4)利用公式求均值或方差. 【考点1：求离散型随机变量的均值】 1．（2026·安徽池州·二模）现有1个白球、3个黑球，将它们随机放入如图所示的编号为1～6的抽屉内，每个抽屉至多放一个球，且所有黑球均放在白球的左侧.设白球所在抽屉的编号为X，则（   ） 1 2 3 4 5 6 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知白球编号的可能取值为， （白球在4号，3个黑球从左侧3个抽屉选） （白球在5号，3个黑球从左侧4个抽屉选） （白球在6号，3个黑球从左侧5个抽屉选） 所以. 2．（2026·福建福州·模拟预测）甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字2，3，5，乙的卡片上分别标有数字4，6，10.两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，若两个数字互质，则甲得1分，否则乙得1分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.记三轮比赛后甲的总得分为X，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】设甲总得分为，则的可能取值为， 在不考虑出牌顺序的前提下，甲、乙两人出牌共有种， 第一行为甲出牌，其余为乙出牌，如下表， 甲得分 2 3 5 0分 4 6 10 2分 4 10 6 1分 6 4 10 2分 6 10 4 2分 10 4 6 1分 10 6 4 则， 则. 3．（2026·湖北黄石·一模）袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个红球，2个黑球，2个白球.现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量. (1)求第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率； (2)求的分布列和期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用条件概率公式求解即可； （2）求出随机变量可能的取值及对应的概率，即可求解分布列，进而利用数学期望公式求解即可. 【详解】（1）记事件“第二次取出的是黑球”，事件“第三次取出的是红球”， 事件可分为“第一次取出的是黑球”和“第一次取出的不是黑球”两种情况， 故， 事件“第二次取出的是黑球，第三次取出的是红球“， 可分为”第一次取出的是黑球“和”第一次取出的是白球"两种情况， 故， 故所求. （2）易知随机变量可能的取值为， 当时，前三次分别取出1个红球､1个黑球和1个白球， ， 当时，前四次分别取出2个黑球和2个白球， ， 当时，， 故随机变量的分布列为： 3 4 5 期望为. 4．（2026高三·全国·专题练习）某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下：若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，选2个且都为正确选项得6分，否则得0分；若正确选项有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分，否则得0分.学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为（），记为甲随机选择1个选项的得分. (1)若，求； (2)求的概率分布列和数学期望； 【答案】(1) (2)分布列为： 【分析】（1）得2分以上可能是随机选一个选项时，当有三个正确选项时选对1个，或者两个正确选项时选对1个，由互斥事件的加法公式得解； （2）可能的取值为，得0分为三个正确选项或两个正确选项的均选到错误选项，得2分只可能是三个正确选项的选对1个，得3分为两个正确选项的选对一个，分别由互斥事件的加法公式求解. 【详解】（1）（1）恰有2个正确选项的概率为，则恰有3个正确选项的概率为， 正确选项是2个时，随机选一个正确可得3分，概率为； 正确选项是3个时，随机选一个正确可得2分，概率为， 因此. （2）由题知，可能的取值为， ， ， ， 分布列为： . 5．（25-26高三下·海南·月考）黎锦织造技艺是海南国家级非物质文化遗产，一幅黎锦作品的完成需经过“纺线设计”和“织锦制作”两大独立环节，只有纺线设计通过后才能进行织锦制作，且只有同时通过两个环节才能成为成品．某黎锦工坊准备制作甲、乙、丙三幅不同的黎锦作品，已知甲、乙、丙通过纺线设计环节的概率依次为通过织锦制作环节的概率依次为． (1)求甲、乙、丙三幅中恰有一幅作品通过纺线设计环节的概率； (2)若已知甲、乙、丙三幅中恰有一幅作品通过纺线设计环节，求通过的作品为甲的概率； (3)经过纺线设计和织锦制作两个环节后，甲、乙、丙三幅作品成为成品的件数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【分析】（1）根据题意结合互斥事件和独立事件的概率公式进行求解； （2）由条件概率公式求解； （3）记三幅作品成为成品的事件分别为，则，由可取，求出对应的概率，列出分布列即可求解数学期望． 【详解】（1）记甲，乙，丙三幅作品通过设计图案环节分别为事件，记甲，乙，丙三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节为事件， 则． （2）． （3）记甲，乙，丙三幅作品成为成品的事件分别为， 则， 由可取，             则， ， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 则数学期望． 【考点2：均值的性质】 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知随机变量的分布列为 1 2 3 且，若，则________，________． 【答案】 【分析】利用均值公式求解第一空，利用均值的性质求解第二空即可. 【详解】由均值公式得， 因为，所以．解得． 故答案为：； 2．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知随机变量的概率分布如表且，则______. 1 2 4 【答案】16 【分析】利用概率分布的性质以及条件解方程可得答案. 【详解】由概率分布的性质，有，即， 又由 ，得， 又， 所以， 所以. 故答案为：. 3．（25-26高三下·山东菏泽·月考）投掷一枚均匀的骰子（六面分别标有点）．规则如下：若某人投出点，则本轮得分；若投出其他点数，则本轮得分为该点数．投掷一次为一轮，共进行三轮．记此人的总得分为随机变量，则_____． 【答案】 【分析】假设某人在第轮投掷的得分为随机变量，先求出某人第一轮投掷的得分期望，分析可知、、相互独立，且，再利用期望的可加性可求得结果. 【详解】假设某人在第轮投掷的得分为随机变量， 先求某人第一轮投掷的得分期望， 投掷一枚均匀骰子，结果为点的概率为，得分； 结果为、、、、点的概率均为，分别得对应分数． 由离散型随机变量的期望公式得， 共进行三轮，此人总得分， 且、、相互独立，且， 由期望的可加性可得. 4．（2026·湖南怀化·一模）如图，要用个元件组成一个电路系统，当且仅当从到的电路为通路状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为，则__________. 【答案】 【分析】设由2个并联元件组成的整体依次为系统，其损坏的元件个数为，，可得，结合两点分布可得，即可得结果. 【详解】设由2个并联元件组成的整体依次为系统，其损坏的元件个数为，， 则，可得， 在电路系统正常工作的条件下，可知系统均正常工作，对应概率为， 则，可得，， 则，所以. 5．（多选）（2026·湖北宜昌·模拟预测）某人进行投篮游戏，每次投篮的命中率为，且投篮结果互不影响，如果出现连续次命中，那么停止投篮，游戏结束．则（    ） A．当时，投篮2次游戏结束的概率为 B．当时，投篮3次游戏结束的概率大于投篮4次游戏结束的概率 C．当时，游戏结束时投篮总次数的数学期望为 D．设游戏结束时投篮总次数的数学期望为，则（） 【答案】ACD 【分析】利用相互独立事件同时发生的概率公式可求AB；假定状态再分类讨论，利用递推法可求CD. 【详解】对于A， 由相互独立事件同时发生的概率公式可得， 投篮2次后游戏结束的概率为，故A正确； 对于B，当时，即出现连续次命中，那么停止投篮，游戏结束. 故投篮3次游戏结束的事件为“次投篮结果依次为：不中、命中、命中”， 则由相互独立事件同时发生的概率公式可得， 投篮3次游戏结束的概率； 投篮4次游戏结束，则第3、4次必须命中，且第2次必须不中（否则游戏在第3次或第2次就已结束），第1次投篮结果不影响， 故投篮4次游戏结束的概率为， 两者概率相等，故B错误； 对于C，当时，即出现连续次命中，那么停止投篮，游戏结束. 设投篮的总次数的数学期望，考虑第一次投篮的结果： ①第一次命中， 若第一次命中，第二次也命中（概率为），则投篮总次数为； 若第一次命中，第二次未命中（概率为），则游戏重置，投篮的总次数可看作； ②第一次未命中（概率为），则游戏重置，投篮的总次数可看作； 则，解得，故C正确； 对于D，由题意，为出现连续次命中停止投篮游戏结束时投篮总次数的数学期望. 在连续次命中停止的游戏中，考虑首次达到出现连续命中（）次的时刻， 此时当前投篮的总次数期望为，且最后次都投篮命中. 现在从此状态开始，游戏还需要进行直至停止（即连续次命中），考虑下一次投篮的结果： 若下一次投篮命中（概率为）， 则出现连续次命中停止投篮游戏结束，即投篮的总次数可看作次； 若下一次投篮命不中（概率为）， 则游戏重置，需再进行次投篮游戏才能结束，即投篮的总次数可看作； 故， 整理得（），故D正确． 故选：ACD. 【考点3：由离散型随机变量的均值求参数】 1．（25-26高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则＝（   ） X －1 0 a 2 P b A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据概率之和等于建立等式求解出，再利用期望的性质及算法建立等式求解，即可求解． 【详解】由题意知， 解得， 因为，所以，即， 则， 解得，所以， 故选：C． 2．（25-26高二·全国·假期作业）设随机变量的分布列如表所示，且，则（   ） 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A．0.2 B．0.1 C．0.15 D．0.4 【答案】C 【分析】根据概率和为1以及列方程组求解a、b即可． 【详解】由分布列的性质得，①， 又由，得②， 由①②解得， ． 故选：C． 3．（2025·四川·高考真题）设离散型随机变量X可能取的值为1、2、3、4. ．又X的均值，则＝__. 【答案】 【分析】根据概率和为1和均值的定义列出关于的方程组，解出即可. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以， 解得，，所以， 故答案为：. 4．（25-26高二下·广西梧州·月考）某商家搞会员积分活动，活动规定：参与活动的顾客一次性投掷2个质地均匀的骰子，记这2个骰子的点数之和为.若，则积10分；若，则积20分；若，则积30分.按照该规则，记参与该活动一次获得的积分为. (1)求的分布列与期望. (2)为了让顾客获得更多积分，商家决定，当（）时，商家再额外赠送积分；当时，不额外赠送积分.记参与该活动一次最终获得的积分为，若，求的取值范围. 【答案】(1)分布列见解析，20 (2)，且. 【分析】（1）利用古典概型，计算得到对应概率，构建分布列，再计算可得 （2）先算出，再根据的定义，分与、、的大小关系讨论，计算并解不等式，确定范围. 【详解】（1）， ， ， 所以的分布列为 10 20 30 . （2）. 当时， . 当时， . 当时，， 令，解得，即当时，. 当时，. 综上，的取值范围为，且. 5．（24-25高二下·陕西榆林·期末）甲、乙两人进行套圈比赛，要求他们站在定点，两点处进行套圈，已知甲在，两点的命中率均为，乙在点的命中率为，在点的命中率为，且他们每次套圈互不影响． (1)若甲在处套圈3次，求甲至多命中1次的概率； (2)若甲和乙每人在，两点各套圈一次，且在点命中计2分，在点命中计3分，未命中则计0分，设甲的得分为，乙的得分为，写出和的分布列和期望； (3)在（2）的条件下，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据独立重复试验求解概率即可； （2）由题意知，；，分别求解概率可得分布列，从而可求数学期望； （3）根据列不等式即可得的取值范围． 【详解】（1）设“甲至多命中1次”为事件，则． 故甲至多命中1次的概率为． （2）由题意知，；． ，， ，， ，， ， 所以的分布列为： 0 2 3 5 的分布列为： 0 2 3 5 所以， ． （3）因为， 所以，即， 所以的取值范围是． 【考点4：两点分布的均值】 1．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知随机变量服从参数为的两点分布，且，则（     ） A．0.25 B．0.75 C．0.35 D．0.65 【答案】C 【分析】根据两点分布的期望公式即可求解. 【详解】因为随机变量服从参数为的两点分布， 所以， 又，所以. 故选：C. 2．（24-25高二下·吉林·期中）篮球比赛中每次发球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中率为0.7，则他一次罚球得分的期望为（   ） A．0.3 B．0.7 C．0.49 D．0.21 【答案】B 【分析】要求罚球1次得分的期望，需要先确定得分的所有可能取值以及对应的概率，然后根据期望的计算公式来求解. 【详解】设该运动员一次罚球的得分为随机变量，的取值为1和0， 已知罚球命中得分，命中概率为0.7，所以时的概率. 罚球命不中得分，那么命不中的概率就是，即时的概率. 根据期望的计算公式（这里是随机变量的取值，是对应取值的概率）. 对于本题，只有和两个取值，所以. 故他罚球次得分的期望为0.7. 故选：B. 3．（24-25高二下·广东惠州·月考）若离散型随机变量X服从分布，且，则_________． 【答案】/ 【分析】根据两点分布可得，再结合已知可得，进而可求. 【详解】∵随机变量X服从分布，且， ∴， ∴， 所以 故答案为： 4．（24-25高二下·湖南娄底·期中）已知随机变量X服从两点分布，且，设，那么________. 【答案】0 【分析】根据两点分布确定X的期望，再由随机变量的线性关系的期望性质，即可求解. 【详解】因为随机变量X服从两点分布，， 所以， 所以， 因为，所以 故答案为：0. 5．（25-26高二下·全国·课后作业）某医生在一次模拟手术中，成功率是失败率的9倍，记表示该医生在一次模拟手术中的得分，且有则______． 【答案】/ 【分析】根据题意，利用分布列的性质，求得，结合期望的计算公式，即可求解. 【详解】设模拟手术失败的概率为，即，则成功的概率为， 因为，解得， 则． 故答案为：. 【考点5：离散型随机变量的方差与标准差】 1．（25-26高二上·北京·期中）已知随机变量X的分布列如图：则________；________． X 0 1 2 P 0.4 p 0.4 【答案】 / 【详解】由，解得， ， ． 2．（2026·福建泉州·一模）为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展应用培训活动.现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为，若，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【分析】先求出每个取值所对应的概率，再求方差. 【详解】由题可设，则，， 所以，解得. 所以. 3．（多选）（2026·四川成都·二模）设随机变量X的分布列为 X 1 2 P p 其中．若，则一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先通过求出未知参数，再依次计算和，最后验证选项. 【详解】依题意，， 已知，代入得：，故A错误，B正确； ， 代入得：，C正确； ，D错误. 4．（25-26高二下·全国·课堂例题）甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为 X 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 Y 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 你能评定这两个保护区的管理水平吗？ 【答案】两个保护区内每个季度发生的违反保护条例的事件的平均次数相同，但甲保护区的违反保护条例的事件次数相对分散和波动性大，乙保护区内违反保护条例的事件次数更集中和稳定． 【分析】求出，比较均值、方差的大小即可求解. 【详解】甲保护区违反保护条例的事件次数的数学期望和方差分别为： 乙保护区违反保护条例的事件次数的数学期望和方差分别为： 因为 所以两个保护区内每个季度发生的违反保护条例的事件的平均次数相同，但甲保护区的违反保护条例的事件次数相对分散和波动性大，乙保护区内违反保护条例的事件次数更集中和稳定． 5．（25-26高二下·全国·课堂例题）膨胀仪是测量金属膨胀系数的一种精密仪器，测量结果通过感光设备在照相底片上显示出来，现用一台膨胀仪上两种底片多次测量某种合金的膨胀系数，结果如下表1，表2． 表1  玻璃底片测量结果 测量结果X 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 概率P 0.05 0.15 0.60 0.15 0.05 表2  软片底片测量结果 测量结果Y 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 概率P 0.05 0.05 0.15 0.50 0.15 0.05 0.05 用数学期望与方差分析比较两种底片哪一种测量结果较好？ 【答案】玻璃底片测量的结果比较好 【分析】分别计算玻璃底片及软片底片测量结果的均值与方差，再结合均值及方差的定义判断求解. 【详解】玻璃底片测量结果的均值与方差为： ， ． 软片底片测量结果的均值和方差为： ， ． ∵，， 玻璃底片测量的结果比较好． 【考点6：方差的性质】 1．（25-26高三下·江苏南通·开学考试）若的方差为4，则的方差为_______． 【答案】16 【分析】根据方差的线性变化公式，即即可求解. 【详解】由题意得，则. 2．（25-26高二上·辽宁鞍山·期末）已知随机变量X，Y满足，且随机变量X的分布列如下：则随机变量Y的方差等于_____. 0 1 2 【答案】 【分析】先根据分布列的性质可得，再计算随机变量X的期望及方差，最后再根据方差的性质可得结果. 【详解】由随机变量的分布列的性质，得，即. 再由期望公式， 所以， 由方差的性质得. 故答案为： 3．（25-26高二下·辽宁朝阳·月考）已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则（   ） A． B．7 C．21 D．22 【答案】C 【详解】易知，可得； 又，可知，所以，解得， 因此； 所以. 4．（25-26高二下·全国·单元测试）若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先写出两点分布，再根据期望和方差公式求，判断A，C；再根据期望和方差的性质，计算，判断B，D. 【详解】随机变量服从两点分布，其中，所以. 所以，故A选项结论正确； ，故C选项结论正确； ，故B选项结论正确； ，故D选项结论错误． 故选：D. 5．（多选）（25-26高二上·江西·期末）设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 4 P a 0.3 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意，利用期望和方差的公式求得，结合期望与方差的性质，分别求得的值，即可求解. 【详解】由分布列的性质，可得，解得， 则， 因为，所以 . 故选：ABC. 【考点7： 方差的期望表示】 1．（多选）（24-25高二下·广西桂林·开学考试）已知离散型随机变量的分布列如下表： 2 4 8 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先根据分布列概率之和为求出，再利用求出，接着计算和，再逐项判断． 【详解】由分布列性质，得，解得，故选项A正确； 由数学期望公式，得，解得，故选项C正确； 因，故选项B错误； 因为，， 所以，故选项D正确． 故选：ACD． 2．（多选）（2026·福建福州·模拟预测）已知离散型随机变量X的分布列如下，则下列选项中正确的是（    ） X 0 1 2 P 0.36 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由分布列的性质可得，再由期望的求法及方差与期望的关系判断各项的正误. 【详解】A，由可得，正确； B，因为，正确； C，因为，错误； D，因为，正确． 故选：ABD 3．（24-25高二下·北京·期中）已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 0.6 若，则______；当______时，最大． 【答案】 0.1/ 0.2/ 【分析】根据给定条件，利用分布列的性质，期望公式计算得值；利用方差与期望的关系建立关于的函数，探讨函数的最大值即可. 【详解】由，得，因此； 依题意，，， 因此， 则当时，取得最大值. 故答案为：0.1；0.2 4．（25-26高三下·广东深圳·月考）甲、乙两名选手参加羽毛球单打比赛，比赛采用三局两胜制，先赢得两局的选手获胜．每局比赛没有平局，且甲选手每局获胜的概率都是，记比赛结束时的局数为随机变量，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出随机变量的分布，再利用期望的定义及方差的期望表示列式，借助二次函数求出范围. 【详解】随机变量的所有可能值为2，3， ，， 当时，令， 则， ， 因此. 5．（24-25高二下·山东临沂·期中）某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取4道让参赛者回答，已知小李只能答对其中的7道，试求： (1)抽到他能答对题目数的分布列； (2)求的期望和方差. 【答案】(1)答案见解析 (2). 【分析】（1）由题意可知，，再根据随机变量表示的意义，利用古典概型概率公式求概率，再写出分布列； （2）根据分布列求期望，再根据公式，求方差. 【详解】（1）由题意知：所有可能的取值为1，2，3，4. ；； ；. ∴的分布列为 1 2 3 4 （2）的期望：， 又， ∴方差. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $