专题 23.8 一次函数复习专题——一次函数与面积综合（方法梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 23.8 一次函数复习专题——一次函数与面积综合（方法梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识储备 1 【知识点一】直线交点坐标： 1 【知识点二】铅垂法求面积： 2 【知识点三】解题通用步骤 2 二.题型精析 2 【题型 1】求一条直线与坐标轴围成的面积 2 【题型 2】已知面积，求一次函数解析式 3 【题型 3】两条直线相交，求与坐标轴围成面积 3 【题型 4】平面内三点（含动点）三角形面积 5 【题型 5】一次函数与几何图形重叠面积（综合压轴题） 6 【题型 6】面积分割问题（综合压轴题） 8 三.同步检测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 12 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 14 一.知识储备 【知识点一】直线交点坐标： 1、 直线与坐标轴交点坐标：设直线解析式为，则与、轴交点坐标为，。 2、两直线交点坐标：设两直线解析式为和，则列一次方程组；求出解为，其交点坐标为 【知识点二】铅垂法求面积： 三角形面积等于铅直高乘以水平宽的一半求面积。 即：如图，过点作轴交于点，则，即 【知识点三】解题通用步骤 1、求直线与坐标轴交点或两直线交点； 2、判断用截距法还是铅垂高法； 3、带绝对值列式计算； 4、有多解时结合象限、题意舍去不合理解。 二.题型精析 【题型 1】求一条直线与坐标轴围成的面积 1、基本题型：已知一次函数解析式，求它与轴、轴围成三角形的面积； 2、解题思路：（1）求两截距，（2）代入面积公式直接计算。 【例题1】（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）已知一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，求的面积． 【变式1】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于（　　） A．8 B．6 C．4 D．16 【变式2】（25-26八年级下·河北石家庄·期中）已知是的一次函数，且当时，的值是2，当时，的值是3，求函数图像与坐标轴所围图形的面积______． 【变式3】（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，一次函数经过点和，分别交轴和轴于点和． （1）求直线的函数表达式； （2）求的面积． 【题型 2】已知面积，求一次函数解析式 1、基本题型：已知直线与坐标轴围成面积，求函数解析式（含参数）； 2、解题思路：（1）设；（2）求截距；（3）列面积方程；（4）解方程，注意绝对值两解。 【例题2】（24-25八年级下·河南驻马店·月考）直线分别交x轴、y轴于点A、B两点，O是原点． （1）求的面积； （2）若过点A的直线把分成两部分且面积之比为，求这条直线的函数表达式． 【变式1】（24-25八年级下·福建泉州·期末）已知直线的解析式是，直线的解析式是，两直线交于点A，直线交x轴于点B，若的面积为2，则k的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（24-25八年级下·上海·月考）如果直线与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则k的值为___________ 【变式3】（24-25八年级下·北京顺义·月考）已知直线，求为何值时与坐标轴所围成的三角形的面积等于1． 【题型 3】两条直线相交，求与坐标轴围成面积 1、基本题型：两条直线相交，求两直线和坐标轴围成图形的面积。 2、解题思路：（1）求两直线交点坐标；（2）求两条直线与坐标轴交点；（3）用截距法或铅垂高法算面积。 【例题3】（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点、点，直线与相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点，点是轴上一动点． （1）求直线的函数表达式； （2）求的面积； （3）当的面积等于面积时，求点的坐标． 【变式1】（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于点．若动点在射线上运动，当的面积是面积的时，点的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，两条直线和相交于点，两直线与轴所围成的的面积是______． 【变式3】（2025·河北·一模）如图，直线交x轴于点A，直线l交x轴于点，且与直线交于点． （1）求直线l对应的函数解析式； （2）求的面积； （3）若P是直线上的点，当的面积与的面积的比为时，求点P的坐标． 【题型 4】平面内三点（含动点）三角形面积 1、基本题型：点在一次函数图象上运动，已知两定点，求三角形面积；或给定面积，求动点坐标。 2、解题思路：统一用铅垂高法或分类讨论方法，设动点坐标列方程求解。 【例题4】（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点，点P是直线上方第一象限内的动点． （1）求直线的表达式； （2）点P是直线上一动点，当的面积与的面积相等时，求点P的坐标； （3）当为等腰直角三角形时，请直接写出点P的坐标． 【变式1】（2025八年级下·河南·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于B、C两点，与正比例函数的图象交于点A．若动点M在射线上运动，当的面积是的面积的时，此时点M的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，一次函数的图象经过点，与轴相交于点一次函数的图象与直线相交于点，与轴相交于点，若点是直线上一动点，且满足的面积是面积的倍，则点的坐标为______． 【变式3】（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，直线与轴交于点，直线交轴于点，交直线于点． （1）求、和的值； （2）求的面积； （3）若动点是直线上一动点，当的面积是的面积的时，求点的坐标． 【题型 5】一次函数与几何图形重叠面积（综合压轴题） 1、 基本题型：直线平移、点动，求直线与三角形、矩形重叠部分的面积等等。 2、 解题思路：分区间讨论临界点，分段求解析式再算面积。 【例题5】（2025八年级下·上海·专题练习）如图1，四边形是矩形，点A、C的坐标分别为，，点D是线段上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线于点E． （1）当点E恰为中点时，求m的值； （2）当点E在线段上，记的面积为y，求y与m的函数关系式并写出定义域； （3）当点E在线段上时，若矩形关于直线的对称图形为四边形，试判断四边形与矩形的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，写出该重叠部分的面积；若改变，写出重叠部分面积S关于m的函数关系式． 【变式1】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）已知直线（k、b为常数，）经过点和点，将直线向右平移10个单位长度得到的直线与坐标轴围成的三角形的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（2025·辽宁沈阳·三模）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为． （1）如图1，当经过点时，求直线的函数表达式； （2）设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，用含有的式子表示　　；直接写出的取值范围 ； ②请直接写出满足的所有t的值 ． 【变式3】（25-26九年级上·吉林延边·期末）如图，在平面直角坐标系中，和均为等腰直角三角形，其中，，，且的顶点，．顶点C在第一象限，的顶点，顶点E在第二象限． （1）填空：点E的坐标为 ，点C的坐标为 ． （2）将沿水平方向向右平移，得到，点O，D，E的对应点分别为．设，和的重叠部分的面积为．用含有t的式子表示重叠部分的面积S，并写出t的取值范围． 【题型 6】面积分割问题（综合压轴题） 1、基本题型：过定点作直线，把已知三角形分成面积相等两部分。 2、解题思路：找线段中点，利用三角形中线平分面积求解。 【例题6】（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）如图1，直线分别交轴、轴于，两点． （1）求直线的解析式； （2）如图2，已知直线，无论取何值，它都经过第二象限内的一个定点，分别连接，求的面积； 【变式1】（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知函数（，为常数，），矩形的顶点坐标分别为，，，． （1）点在函数的图象上，则_______； （2）①如图1，若，且函数（，为常数，）图象与矩形交于，，，四点．请问函数图象是否经过定点？若经过，请求出定点坐标，若不经过，请说明理由； ②在①的条件下，若平分矩形的面积，求该函数的解析式； ③若且时，函数图象与矩形恰好有两个公共点，直接写出的取值范围． 【变式2】（24-25八年级上·江西上饶·期末）在平面直角坐标系内，一次函数与x轴，y轴交点分别为A、B，一次函数，x轴，y轴交点分别为C、D，且两一次函数的交点为M，四边形为正方形，，，，． （1）求一次函数经过的定点N，并求当时，三角形的面积． （2）当k为负数时，若一次函数与正方形恒有交点，求面积的取值范围（O为坐标原点）． 【变式3】（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图1，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点，与直线相交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）如图2，设点，且． ①求的面积；（用含t的代数式表示） ②如果和的面积相等，求t的值； ③已知直线（k为常数）经过一定点E，在②的条件下，在第一象限内，以为腰作等腰直角，请直接写出点Q的坐标． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于（） A．8 B．6 C．4 D．16 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如果直线与两坐标轴围成的三角形面积等于4，则的值是（ ） A．2 B． C．4 D． 3．（24-25八年级下·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点和顶点，直线以每秒1个单位长度向上移动，经过几秒该直线将平行四边形的面积分成相等的两部分（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 4．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）六个边长为的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，已知点是其中一个正方形的顶点，经过点的一条直线将这六个正方形分成面积相等的两部分，则直线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，平行四边形的一边在坐标轴上，点B的坐标为，直线：把平行四边形的面积分成相等的两部分，且与x轴交于点，则k值为（    ） A． B． C．3 D． 6．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，连接，直线分别交轴、轴于点、，交线段于点，连接，当直线将的面积分为相等的两部分时，的周长为（    ）    A． B． C．12 D．16 7．（24-25八年级上·江苏宿迁·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线绕点B按顺时针方向旋转，交x轴于点C，则的面积是（   ） A．22 B．20 C．18 D．16 8．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，是轴上方的一个动点．若的面积等于面积的，则当的值最小时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知平面直角坐标系中有三点，，，若过点C的直线将分成面积之比为两部分，则k的值是（   ） A．2 B．2或 C．2或 D．或 10．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，与直线交于点C，点P在直线上，且的面积被y轴平分，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·四川攀枝花·期中）与轴交点坐标__________，与轴交点坐标__________，与坐标轴围成的三角形的面积_____． 12．（24-25八年级下·上海·期中）如果直线与两坐标轴所围成的三角形面积是4，则的值为_____． 13．（24-25七年级下·山东泰安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，直线与y轴，x轴交于点B，点C，与，交于点，连接，已知的长为4．的面积是______． 14．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知，点P是y轴上的动点，当的周长最小时，的面积是______． 15．（24-25七年级下·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，点，轴于点，点是轴负半轴上一动点，连接交轴于点．若三角形的面积大于三角形的面积，则的取值范围是_______． 16．（24-25八年级下·上海·期中）如图，直线和x轴、y轴分别交于点A、点B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角，，如果在直角坐标平面内有一点，且的面积与的面积相等，则a的值为______． 17．（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是________； （2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为________． 18．（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是直线上方第一象限内的动点． （1）点是直线：上一动点，当的面积与的面积相等时，点的坐标为___________； （2）当是以为直角边的等腰直角三角形时，点的坐标为___________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·广东云浮·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B，C，与直线相交于点． （1）求点B的坐标． （2）求的面积． （3）在直线上是否存在一点M，使的面积是面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级上·江西抚州·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与轴、轴分别交于点，，与正比例函数图象交于点． （1）求点的坐标； （2）求的面积； （3）若直线与轴交于点，直线与直线交于点，且的面积与的面积相等，求点的坐标． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点． （1）求点A和点B的坐标； （2）求的面积； （3）若点P在y轴上，且满足的面积为面积的2倍，求点P坐标． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点沿路线运动． （1）求直线的解析式． （2）求的面积． （3）当的面积是的面积的时，求出这时点的坐标． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·内蒙古包头·月考）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线与直线交于点．已知直线与y轴交于点，与x轴交于点E． （1）求点A、B的坐标； （2）求直线的解析式； （3）求的面积； （4）在直线上有一点P，且满足的面积是面积的，求点P的坐标． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·山东青岛·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线相交于点． （1）求直线的解析式． （2）求的面积． （3）点为轴上一动点，当最小时，求点的坐标． （4）在直线上是否存在点，使的面积是的面积的？若存在求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 23.8 一次函数复习专题——一次函数与面积综合（方法梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识储备 1 【知识点一】直线交点坐标： 1 【知识点二】铅垂法求面积： 1 【知识点三】解题通用步骤 2 二.题型精析 2 【题型 1】求一条直线与坐标轴围成的面积 2 【题型 2】已知面积，求一次函数解析式 5 【题型 3】两条直线相交，求与坐标轴围成面积 8 【题型 4】平面内三点（含动点）三角形面积 14 【题型 5】一次函数与几何图形重叠面积（综合压轴题） 22 【题型 6】面积分割问题（综合压轴题） 32 三.同步检测 40 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 40 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 51 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 61 一.知识储备 【知识点一】直线交点坐标： 1、 直线与坐标轴交点坐标：设直线解析式为，则与、轴交点坐标为，。 2、两直线交点坐标：设两直线解析式为和，则列一次方程组；求出解为，其交点坐标为 【知识点二】铅垂法求面积： 三角形面积等于铅直高乘以水平宽的一半求面积。 即：如图，过点作轴交于点，则，即 【知识点三】解题通用步骤 1、求直线与坐标轴交点或两直线交点； 2、判断用截距法还是铅垂高法； 3、带绝对值列式计算； 4、有多解时结合象限、题意舍去不合理解。 二.题型精析 【题型 1】求一条直线与坐标轴围成的面积 1、基本题型：已知一次函数解析式，求它与轴、轴围成三角形的面积； 2、解题思路：（1）求两截距，（2）代入面积公式直接计算。 【例题1】（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）已知一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题．先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积公式进行计算． 解：对于一次函数， 令，得， 故点的坐标为； 令，得， 解得， 故点的坐标为； 故的面积． 【变式1】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于（　　） A．8 B．6 C．4 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，三角形面积公式，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键，先求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式计算即得． 解：令，则， 所以直线与y轴的交点为， 令，则， 解得， 所以直线与x轴的交点为， 所以直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于． 故选C． 【变式2】（25-26八年级下·河北石家庄·期中）已知是的一次函数，且当时，的值是2，当时，的值是3，求函数图像与坐标轴所围图形的面积______． 【答案】/ 【分析】先根据一次函数定义设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式，再求出函数图象与两条坐标轴的交点坐标，最后根据直角三角形的面积公式计算面积即可． 解：设该一次函数解析式为． ∵当时，的值是2，当时，的值是3， ∴， 解得， ∴该一次函数的解析式为， 令，得，解得， ∴函数图象与轴的交点为，交点到原点的距离为． 令，得， ∴函数图象与轴的交点为，交点到原点的距离为． 一次函数图象与坐标轴围成的图形是直角三角形， 根据三角形面积公式可得． 【变式3】（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，一次函数经过点和，分别交轴和轴于点和． （1）求直线的函数表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2）4 【分析】本题综合考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式以及三角形的面积．用待定系数法求函数的解析式：先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解即可得到函数解析式．当已知函数解析式时，求函数中字母的值就是求关于字母系数的方程的解． （1）将A、B两点的坐标代入一次函数解析式，运用待定系数法求解； （2）利用（1）中的一次函数的解析式求点C、D的坐标，再根据面积公式求解即可． 解：（1）解：设直线的解析式为， ∵直线的图象经过点和点， ∴， 解得， ∴该一次函数的解析式是； （2）解：由（1）知，该一次函数的解析式是， ∴当时，， 当时，， ∴，； ∴，， ∴． 【题型 2】已知面积，求一次函数解析式 1、基本题型：已知直线与坐标轴围成面积，求函数解析式（含参数）； 2、解题思路：（1）设；（2）求截距；（3）列面积方程；（4）解方程，注意绝对值两解。 【例题2】（24-25八年级下·河南驻马店·月考）直线分别交x轴、y轴于点A、B两点，O是原点． （1）求的面积； （2）若过点A的直线把分成两部分且面积之比为，求这条直线的函数表达式． 【答案】（1）；（2）这条直线的函数表达式为或． 【分析】（1）分别令直线表达式中求出相对于的y、x值，由此即可得出点A、B的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出结论； （2）分两种情况讨论，利用待定系数法即可求解． 解：（1）解：令中，则， ∴点； 令中，则， 解得：， ∴点． ∴； （2）解：∵过点A的直线把分成两部分且面积之比为， ∴分两种情况讨论， 当，即时，此时，    ∴点， 设直线的表达式为， 代入得， 解得， ∴直线的表达式为； 当，即时，此时，    ∴点， 同理，直线的表达式为； 综上，这条直线的函数表达式为或． 【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及待定系数法求出函数表达式，解题的关键是：（1）求出点A、B的坐标；（2）利用待定系数法求出函数表达式．解决该题型题目时，找出点的坐标，再利用待定系数法求出函数表达式是关键． 【变式1】（24-25八年级下·福建泉州·期末）已知直线的解析式是，直线的解析式是，两直线交于点A，直线交x轴于点B，若的面积为2，则k的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据可确定交点的坐标，进一步即可求解． 解：∵， ∴直线经过点， 且点也在直线: 上， 故点， ， ∴； 当点时，则， 解得：； 当点时，则， 解得：． 故选：D 【点拨】本题考查一次函数的交点问题．将适当变形是解题关键． 【变式2】（24-25八年级下·上海·月考）如果直线与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则k的值为___________ 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，先根据坐标轴上点的坐标特征确定直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，再根据三角形面积公式得到，然后解方程即可，掌握相关知识是解题的关键． 解：把代入，得， 把代入，得， 解得：， ∴直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为， ∴， 解得：， 故答案为：或． 【变式3】（24-25八年级下·北京顺义·月考）已知直线，求为何值时与坐标轴所围成的三角形的面积等于1． 【答案】 【分析】求出直线与坐标轴的交点坐标即可解决问题，本题考查一次函数的应用、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型． 解：∵ ∴令时，则， 解得； ∴令时，则， 即直线与坐标轴的交点为和， 依题意，， ∴， ∴当时，直线与坐标轴所围成的三角形的面积等于1． 【题型 3】两条直线相交，求与坐标轴围成面积 1、基本题型：两条直线相交，求两直线和坐标轴围成图形的面积。 2、解题思路：（1）求两直线交点坐标；（2）求两条直线与坐标轴交点；（3）用截距法或铅垂高法算面积。 【例题3】（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点、点，直线与相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点，点是轴上一动点． （1）求直线的函数表达式； （2）求的面积； （3）当的面积等于面积时，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）将点代入直线得，利用待定系数法即可求得直线的表达式； （2）首先求得直线与x轴的交点的坐标，直线与x轴的交点D的坐标，进而可求得的长，于是可求得的面积； （3）设点的坐标为，利用三角形的面积公式可列出方程，解方程即可求出点的坐标． 解：（1）解：把点代入直线中，得： ， ， 设直线的表达式为，把点和点代入得： ， 解得：， 直线的表达式为； （2）解：直线与x轴相交于点， 令，则， 解得：， ， 直线与x轴相交于点， ∴令，则， 解得：， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：点是y轴上一动点， 可设点的坐标为， 的面积等于的面积， ， ， 解得：或， 点的坐标为或． 【点拨】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，一次函数图象与坐标轴的交点问题，求一次函数的函数值，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式，解一元一次方程，绝对值方程等知识点，深刻理解并灵活运用数形结合思想是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于点．若动点在射线上运动，当的面积是面积的时，点的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先求出点A的坐标，再求出直线的解析式，再求出点B的坐标，得到，设点，由，解得或，即可求得点M的坐标． 解：∵函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴， ∵函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式是， 当时，， ∴，， 当的面积是面积的时， 即， ∵点M在射线上运动， ∴可设点， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点M的坐标是或， 故选：C 【点拨】此题考查了待定系数法求函数解析式、直线与坐标轴围成的三角形的面积等知识，熟练掌握直线与坐标轴围成的三角形的面积是是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，两条直线和相交于点，两直线与轴所围成的的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求两直线围成的三角形的面积，求直线与坐标轴的交点，求得直线解析式是解题的关键． 先根据交点坐标求得，进而求得点的坐标，的坐标，进而根据三角形面积公式求解即可 解：两条直线和相交于点， 解得 ， 令，解得 由，令，解得， ． 故答案为：． 【变式3】（2025·河北·一模）如图，直线交x轴于点A，直线l交x轴于点，且与直线交于点． （1）求直线l对应的函数解析式； （2）求的面积； （3）若P是直线上的点，当的面积与的面积的比为时，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题主要考查了一次函数的综合，求一次函数解析式，直线围成的三角形面积，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）先求出点C的坐标，再用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点，得出，再根据三角形面积公式进行求解即可； （3）先根据，，求出，从而得出或，代入中，求出点P的坐标． 解：（1）解：将点代入中，得， ∴点， 设直线l对应的函数解析式为， 将点，代入，得， 解得， ∴直线l对应的函数解析式为； （2）解：在中，令， 解得， ∴点， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴或， 将或代入中， 解得或， ∴点P的坐标为或． 【题型 4】平面内三点（含动点）三角形面积 1、基本题型：点在一次函数图象上运动，已知两定点，求三角形面积；或给定面积，求动点坐标。 2、解题思路：统一用铅垂高法或分类讨论方法，设动点坐标列方程求解。 【例题4】（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点，点P是直线上方第一象限内的动点． （1）求直线的表达式； （2）点P是直线上一动点，当的面积与的面积相等时，求点P的坐标； （3）当为等腰直角三角形时，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）或或 【分析】本题考查一次函数综合应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等解决问题． （1）把的坐标代入直线的解析式，即可求得的值； （2）过点作，垂足为，求得的长，即可求得和的面积，二者的和即可表示，在根据的面积与的面积相等列方程即可得答案； （3）分三种情况：当为直角顶点时，过作轴于，过作于，由，可得①，②，即得；当为直角顶点时，过作轴于，由，可得，当为直角顶点时，过作轴于，同理可得． 解：（1）解：直线交轴于点，交轴于点， ， ， 直线的解析式是； （2）解：如图1，过点作，垂足为，则有， 当时，， 点，则； 设， 时，， ， 在点的上方， ， ， 由点，可知点到直线的距离为1，即的边上的高长为1， ， ； 的面积与的面积相等， ， 解得， ； （3）解：当为直角顶点时，过作轴于，过作于， 如图2： 为等腰直角三角形， ，， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ，①， ②， 由①②解得，， ， ； 当为直角顶点时，过作轴于，如图： 为等腰直角三角形， ，， 而， ， ，， ， ， 当为直角顶点时，过作轴于，如图 同理可证， ，， ， 综上所述，点坐标为或或． 【变式1】（2025八年级下·河南·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于B、C两点，与正比例函数的图象交于点A．若动点M在射线上运动，当的面积是的面积的时，此时点M的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了直线与坐标轴的交点，直线与坐标轴围成的三角形的面积等知识，熟练掌握直线与坐标轴围成的三角形的面积是是解题的关键．首先联立求出，然后求出，，利用的面积是的面积的求出或，然后分别求解即可． 解：由得， ． 对于，令，解得，令，解得， ，． ， ． 由题意，得，即， ， 或． 当时，在中令，得， ， 当时，在中令，得， ， 综上所述，M的坐标为：或． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，一次函数的图象经过点，与轴相交于点一次函数的图象与直线相交于点，与轴相交于点，若点是直线上一动点，且满足的面积是面积的倍，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的性质、两条直线相交或平行问题、三角形的面积计算，熟练掌握以上知识点是关键． 先求出点的坐标，再求出，根据待定系数法求出直线的解析式，设点，利用三角形面积关系建立方程求出值，继而得到点的坐标． 解：在中，当时，， ， ∵ ∴， 由图象得：， ， 由条件可知：， 解得， 直线的解析式为， 设点， ， 解得或， 或． 故答案为：或． 【变式3】（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，直线与轴交于点，直线交轴于点，交直线于点． （1）求、和的值； （2）求的面积； （3）若动点是直线上一动点，当的面积是的面积的时，求点的坐标． 【答案】（1），，；（2）2；（3）或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积等知识． （1）先将点代入得到的值，在根据待定系数法可得，的值； （2）求出点的坐标后可得三角形的面积； （3）分情况讨论，具体见详解． 解：（1）∵点在直线上， ∴， 即， 把、的坐标代入可得， 解得 ， ∴，，； （2）∵直线交轴于点， ∴， ∵，， ∴； （3）由（2）可知 由题意可知点能在轴的左侧或右侧， 当点在轴的右侧时，过点作轴于点，如图 ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴点的横坐标为， ∴； 当点在线段的延长线上时，过点作轴于点，如图2， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴点的横坐标为， ∴， 综上可知的坐标为或． 【题型 5】一次函数与几何图形重叠面积（综合压轴题） 1、 基本题型：直线平移、点动，求直线与三角形、矩形重叠部分的面积等等。 2、 解题思路：分区间讨论临界点，分段求解析式再算面积。 【例题5】（2025八年级下·上海·专题练习）如图1，四边形是矩形，点A、C的坐标分别为，，点D是线段上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线于点E． （1）当点E恰为中点时，求m的值； （2）当点E在线段上，记的面积为y，求y与m的函数关系式并写出定义域； （3）当点E在线段上时，若矩形关于直线的对称图形为四边形，试判断四边形与矩形的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，写出该重叠部分的面积；若改变，写出重叠部分面积S关于m的函数关系式． 【答案】（1）；（2）；（3）不变， 【分析】（1）根据点A和点C的坐标，得出点B的坐标，再根据中点得出点E的坐标，最后将点E的坐标代入即可求解； （2）先求出点E的坐标，得出，再根据点C的坐标得出，最后根据三角形面积公式求解即可； （3）根据题意作出图形，易证重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化，据此即可解答． 解：（1）解：∵四边形是矩形，点A、C的坐标分别为，， ∴． 当点E恰为中点时，则， ∵点E在直线上， ∴代入E点坐标，，解得：； （2）解：当点E在线段上， 将代入得：， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：设与相交于点M，与相交于点N，则四边形与矩形的重叠部分的面积为四边形的面积． ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 过D作，垂足为H，设菱形的边长为a， 把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 在直角中，，即， 解得：， ∴菱形的面积为：． 【点拨】考查了一次函数综合题，本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，勾股定理，以及矩形和菱形的性质． 【变式1】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）已知直线（k、b为常数，）经过点和点，将直线向右平移10个单位长度得到的直线与坐标轴围成的三角形的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用、求一次函数的解析式、一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．先根据两点坐标求直线解析式，再根据平移规律得新直线解析式，然后求新直线与坐标轴的交点，最后计算三角形面积． 解：∵直线经过点和， ∴代入得， 解得， ∴直线解析式为， 向右平移10个单位，新直线为， 当时，，则与y轴交于点， 当时，，解得，则与x轴交于点， ∴三角形面积， 故选：D． 【变式2】（2025·辽宁沈阳·三模）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为． （1）如图1，当经过点时，求直线的函数表达式； （2）设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，用含有的式子表示　　；直接写出的取值范围 ； ②请直接写出满足的所有t的值 ． 【答案】（1）；（2）①，；②或5 【分析】（1）根据平移的性质可得是等腰直角三角形，根据矩形的性质可得，从而得到，最后用待定系数法即可求得答案； （2）①根据，即可求得，再结合题意列不等式组即可求得；②分五种情况讨论：当时，与矩形重叠部分为三角形；当时，与矩形重叠部分为四边形（梯形）；当时，重叠部分为梯形；当时，与矩形重叠部分为五边形；当时，重叠部分为矩形，分别画出图形，结合图形建立方程求解即可． 解：（1）解：如图①，当经过点时， 矩形的顶点， ， 由平移的性质可得：为等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为：； （2）解：①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时， 矩形中，， 四边形是矩形， 设，则， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； ②当时，与矩形重叠部分为三角形，如图， 重叠部分的面积为：， ， ，解得：， ， 不符合题意，此时重叠部分面积不可能为； 当时，与矩形重叠部分为四边形（梯形），如图④， 则， ， ， 解得：， ， 符合题意； 当时，重叠部分为梯形，为定值，不能等于； 当时，与矩形重叠部分为五边形， 由①知：， ， 解得：（舍去），； 当时，重叠部分为矩形，如图⑤， ， ， 当时，，不符合题意； 综上所述，满足的所有的值为或5． 【点拨】本题是矩形综合题，考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质，平移变换的性质，三角形、梯形、矩形面积，代定系数法求一次函数的解析式等知识，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想． 【变式3】（25-26九年级上·吉林延边·期末）如图，在平面直角坐标系中，和均为等腰直角三角形，其中，，，且的顶点，．顶点C在第一象限，的顶点，顶点E在第二象限． （1）填空：点E的坐标为 ，点C的坐标为 ． （2）将沿水平方向向右平移，得到，点O，D，E的对应点分别为．设，和的重叠部分的面积为．用含有t的式子表示重叠部分的面积S，并写出t的取值范围． 【答案】（1）；；（2） 【分析】本题考查了坐标与图形的综合、一次函数与几何综合和等腰直角三角形的判定和性质，学会分类讨论是解决本题的关键． （1）过点E作于F，过点C作于点G，根据等腰直角三角形的性质求解即可； （2）根据题意分为三种情况：当点没有过y轴时；当点过y轴时没有过y轴时；当点过直线时，进行讨论求解即可． 解：（1）解：过点E作于F，过点C作于点G，如图， ∵和均为等腰直角三角形，且，， ∴，， 由题意得，点，，， ∴，， ∴，， ∴点E的坐标为， ∵是边上的中线， ∴点C的纵坐标为， ∴点C的坐标为， 故答案为：，； （2）解：∵是向右平移个单位得到的， ∴顶点为、、， 当点没有过y轴时，如图，此时， ∴，且， 由平移得，， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴ ； 当点过y轴时没有过y轴时，如图，此时， 同理可得，为等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ； 设直线的解析式为， 将点B和点C的坐标代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时， 解得， 设该点为K，则其坐标为， ∴， ∴当时，点和点K重合，点和点O重合， ∴当点过直线时，如图，此时， ∴， ∵和为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ， 综上所述，． 【题型 6】面积分割问题（综合压轴题） 1、基本题型：过定点作直线，把已知三角形分成面积相等两部分。 2、解题思路：找线段中点，利用三角形中线平分面积求解。 【例题6】（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）如图1，直线分别交轴、轴于，两点． （1）求直线的解析式； （2）如图2，已知直线，无论取何值，它都经过第二象限内的一个定点，分别连接，求的面积； 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查一次函数综合题、三角形的面积等知识，解题的关键是确定一次函数解析式，确定直线与坐标轴的交点坐标． （1）用待定系数法求解即可； （2）当时，，即可知道直线过定点，求出直线解析式得到点的坐标，可求面积． 解：（1）解：设直线的解析式为， 将点，坐标代入得．， 解得， ∴一次函数解析式为：． （2）解：在中，当时，， ∴直线过定点， 设直线的解析式为：， ∵在函数图象上， ∴， 解得：， 直线的解析式为：， 令，则， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知函数（，为常数，），矩形的顶点坐标分别为，，，． （1）点在函数的图象上，则_______； （2）①如图1，若，且函数（，为常数，）图象与矩形交于，，，四点．请问函数图象是否经过定点？若经过，请求出定点坐标，若不经过，请说明理由； ②在①的条件下，若平分矩形的面积，求该函数的解析式； ③若且时，函数图象与矩形恰好有两个公共点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）①过定点，理由见分析；②函数不存在；③且或 【分析】（1）把代入函数解析式，进而得出结果； （2）当时，，故函数图象经过定点和；先求得矩形的对称中心是，从而得出函数图象过，将其坐标代入，进一步得出结果； ③根据图象观察得出结果． 本题考查了待定系数法求函数的解析式，数形结合的思想等知识，解决问题的关键是数形结合． 解：（1）解：由题意得， ， ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， 当时，， ∴函数图象经过定点和． ②， 矩形的对称中心是， 平分矩形的面积， 函数图象过， ， ∵， ， 当时， 函数图象与矩形只有三个公共点， 此时函数不存在； ③如图， 当时，函数图象与矩形恰好有两个公共点， 当函数图象经过点B时，， ， 当时，函数图象与矩形恰好有两个公共点， 综上所述：，且或． 【变式2】（24-25八年级上·江西上饶·期末）在平面直角坐标系内，一次函数与x轴，y轴交点分别为A、B，一次函数，x轴，y轴交点分别为C、D，且两一次函数的交点为M，四边形为正方形，，，，． （1）求一次函数经过的定点N，并求当时，三角形的面积． （2）当k为负数时，若一次函数与正方形恒有交点，求面积的取值范围（O为坐标原点）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查一次函数综合应用，两直线交点坐标，一次函数与面积问题； （1）由得到定点，当时，，联立求出，再根据铅锤法求三角形的面积． （2）先求出即， ，得到，再分别求出一次函数过和的，结合当k为负数时，一次函数与正方形恒有交点，有，得到． 解：（1）解：∵， ∴当，即时，固定不变， ∴一次函数经过的定点， 当时，， 联立，解得， ∴， ∵一次函数与x轴，轴交点分别为A、B， ∴当时，，即， 如图，过作轴交直线于， ∴当时，，即， ∴， ∴； （2）解：∵一次函数，x轴，y轴交点分别为C、D， ∴时，，即， 当时，，即， ∵当k为负数时，一次函数经过的定点， ∴，， ∴， 当一次函数过时，，解得，此时； 当一次函数过，时，，解得，此时； ∵当k为负数时，一次函数与正方形恒有交点， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图1，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点，与直线相交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）如图2，设点，且． ①求的面积；（用含t的代数式表示） ②如果和的面积相等，求t的值； ③已知直线（k为常数）经过一定点E，在②的条件下，在第一象限内，以为腰作等腰直角，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）；（2）①的面积；②；③或 【分析】该题考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质和判定． （1）先将点代入中，求出， 根据点利用待定系数法求出直线函数表达式． （2）①先求出，，根据点，，求解即可． ②先表示出，根据，列出方程求解即可． ③先得出直线（k为常数）经过一定点，，分为当时，当时，分别求解即可． 解：（1）解：将点代入中，得， ∴， 设直线函数表达式为， 将点代入中，得， 解得：， ∴直线函数表达式为． （2）解：①令，则， ∴， 令，则，解得：， ∴， ∵点，， ∴． ②∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． ③， 当时，， 故直线（k为常数）经过定点， 当时，， 当时，过点作轴交轴于点G，过点Q作， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，过点作轴交轴于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，在第一象限内，以为腰作等腰直角，点Q的坐标为或． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于（） A．8 B．6 C．4 D．16 【答案】C 【分析】根据题意易得此直线与坐标轴的两个交点坐标，该直线与坐标轴围成的三角形的面积等于直线与x轴交点的横坐标的绝对值×直线与y轴交点的纵坐标． 解：当时，， 当时，， 所求三角形的面积． 故选∶C 【点拨】本题考查了一次函数图象上的点坐标特征、三角形的面积．某条直线与x轴，y轴围成三角形的面积为：直线与x轴的交点坐标的横坐标的绝对值×直线与y轴的交点坐标的纵坐标的绝对值． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如果直线与两坐标轴围成的三角形面积等于4，则的值是（ ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、三角形面积公式，先求出直线与轴的交点坐标为，直线与轴的交点坐标为，再根据直线与两坐标轴围成的三角形面积等于4得出，求解即可，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 解：当时，， 直线与轴的交点坐标为； 当时，， 解得：， 直线与轴的交点坐标为， 直线与两坐标轴围成的三角形面积， 解得：， 经检验，是解题的关键，且符合题意． 故选：D． 3．（24-25八年级下·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点和顶点，直线以每秒1个单位长度向上移动，经过几秒该直线将平行四边形的面积分成相等的两部分（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接、交于点D，过点D任意作直线，交于点M，交于点N，证明直线将分成面积相等的两部分，说明当直线平移后过点D时，将分成面积相等的两部分，设直线平移的时间为t，则平移后的直线解析式为，根据中点坐标公式求出，把代入得，求出，即可得出答案． 解：连接、交于点D，过点D任意作直线，交于点M，交于点N，如图所示：    ∵四边形为平行四边形， ∴，，，，， ∴，， ∴， 同理得：，， ∴，，， ∴， ∴直线将分成面积相等的两部分， ∴当直线平移后过点D时，将分成面积相等的两部分， 设直线平移的时间为t，则平移后的直线解析式为， ∵，，点和顶点， ∵D为的中点， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴经过4秒该直线可将平行四边形的面积平分． 故选：B． 【点拨】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，一次函数平移，中点坐标公式，解题的关键是根据平行四边形的性质得出当直线平移后过点D时，将分成面积相等的两部分． 4．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）六个边长为的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，已知点是其中一个正方形的顶点，经过点的一条直线将这六个正方形分成面积相等的两部分，则直线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式、坐标与图形等内容，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 过点作轴，交轴于点，设直线与轴交于点，因为直线将这六个正方形分成面积相等的两部分，所以每一部分的面积是，根据求出，即，由题意得，根据、两点的坐标求出直线的函数表达式即可． 解：过点作轴，交轴于点，设直线与轴交于点， 直线将这六个正方形分成面积相等的两部分， 每一部分的面积是， ， ，， ，即， 由题意得， 设直线的函数表达式为，将，代入， 得， 解得， 直线的函数表达式为， 故选：A． 5．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，平行四边形的一边在坐标轴上，点B的坐标为，直线：把平行四边形的面积分成相等的两部分，且与x轴交于点，则k值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和二元一次方程，判断T为的中点是解题的关键． 连接交直线于点T，先根据直线把平行四边形的面积分成相等的两部分，得到T为的中点，进一步得到点T的坐标为，再根据直线与x轴交于点，列出方程组求解即可． 解：连接交直线于点T， ∵直线：把平行四边形的面积分成相等的两部分， ∴点T为中点， ∵点B的坐标为， ∴点T的坐标为， 又∵与x轴交于点， ∴， 解得， 故选：B． 6．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，连接，直线分别交轴、轴于点、，交线段于点，连接，当直线将的面积分为相等的两部分时，的周长为（    ）    A． B． C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理．根据题意点为的中点，利用中点坐标求得点的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，再求得点的坐标，据此求解即可． 解：∵直线将的面积分为相等的两部分， ∴点为的中点， ∴点， ∵， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 令，则， 解得， ∴点， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选：B． 7．（24-25八年级上·江苏宿迁·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线绕点B按顺时针方向旋转，交x轴于点C，则的面积是（   ） A．22 B．20 C．18 D．16 【答案】B 【分析】根据已知条件得到，，过A作交于F，过F作轴于E，得到是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到，求得，求得直线的函数表达式，据此求解可得到结论． 解：∵一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B， ∴令，得，令，则， ∴，， ∴， 过A作交于F，过F作轴于E， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为：， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为：， ∴， ∴， ∴的面积是， 故选：B． 【点拨】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，是轴上方的一个动点．若的面积等于面积的，则当的值最小时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最短路径问题、坐标与图形的性质，关键是利用坐标求解出和的面积，得到点的运动路径是在的直线上，然后，作点关于直线对称的点，连接，利用 “将军饮马” 模型即可得出结果． 解：∵点，的坐标分别为， ∴， 与同底边，且的面积等于面积的， ∴点P到的距离是3，即点的纵坐标为， 点在直线上运动， 作点关于直线对称的点，连接，则点， ． 当三点共线时，的值最小． 设直线的表达式为， 把点代入，得， 解得， ．令，则， 解得， 当的值最小时，点的坐标为． 故选：C． 9．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知平面直角坐标系中有三点，，，若过点C的直线将分成面积之比为两部分，则k的值是（   ） A．2 B．2或 C．2或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，求直线围成的图形面积等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 直线恒过点，与x轴交于点D，将分成两个小三角形，点D一定在线段上，分、两种情况求解，分别求出k的值． 解：设过点C的直线与x轴交于点D， ∵，， ∴， 当点为原点时，如图， ∵，， ∴，， ∴，符合要求， 此时直线过原点， ∴， 解得：； 当点在时，如图， 此时，， ∴，符合要求， 此时直线过和， ∴， ∴， 综上，k的值是或， 故选：D． 10．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，与直线交于点C，点P在直线上，且的面积被y轴平分，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用．先求出，再根据的面积被y轴平分，得出点P与点A的横坐标互为相反数，即可得出答案． 解：当时，， 解得， 则， 作点A关于y轴的对称点，则 ∵的面积被y轴平分， ∴点P的横坐标为，如图，Q为与y轴的交点，则Q为的中点， ∵点P在直线上， ∴点P的坐标为． 故选：D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·四川攀枝花·期中）与轴交点坐标__________，与轴交点坐标__________，与坐标轴围成的三角形的面积_____． 【答案】 9 【分析】本题考查一次函数的图象与性质．令和可得图象与轴，轴的交点，再由点的坐标可求面积． 解：令， 则， ∴， ∴直线与轴的交点坐标是 令，则， ∴直线与轴的交点坐标是； ∴直线与坐标轴围成的三角形的面积． 故答案为：，9． 12．（24-25八年级下·上海·期中）如果直线与两坐标轴所围成的三角形面积是4，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴围成图形的面积，掌握一次函数图象与坐标轴的交点的计算，图形面积的计算是关键．根据一次函数与坐标轴的交点得到当时，，当时，，结合图形面积的计算即可求解． 解：直线， 当时，，当时，， 直线与两坐标轴所围成的三角形面积是4， 当时，， 解得，， ∴， 当时，， 解得，， ∴， 综上所述，， 故答案为： ． 13．（24-25七年级下·山东泰安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，直线与y轴，x轴交于点B，点C，与，交于点，连接，已知的长为4．的面积是______． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数与轴交点，以及一次函数与几何综合，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据题意求出，再结合与，交于点，以及三角形面积公式求解，即可解题． 解：当时，， ， 与，交于点， 的面积是， 故答案为：． 14．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知，点P是y轴上的动点，当的周长最小时，的面积是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，坐标与图形性质，轴对称确定最短路线问题，熟记最短距离的确定方法是解题的关键．作点B关于y轴的对称点C，连接交y轴于点P，此时的周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，然后求解即可求出的坐标，再计算的面积即可． 解：作点关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，此时的周长最小， 设直线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P坐标为， ∴． 15．（24-25七年级下·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，点，轴于点，点是轴负半轴上一动点，连接交轴于点．若三角形的面积大于三角形的面积，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的面积，不等式的性质和应用．先用待定系数法求出直线的解析式，再求出点的坐标，然后分和两种情况，按照三角形的面积大于三角形的面积列出不等式，求解后可得的取值范围．解题的关键是求出直线的解析式． 解：设直线的解析式为，过点，， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，得：， ∴， 当时，如图， ∵点，轴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵三角形的面积大于三角形的面积， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； 当时，如图： ∵，， ∴， ∵三角形的面积大于三角形的面积， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 16．（24-25八年级下·上海·期中）如图，直线和x轴、y轴分别交于点A、点B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角，，如果在直角坐标平面内有一点，且的面积与的面积相等，则a的值为______． 【答案】或． 【分析】由已知求出A、B的坐标，求出三角形的面积，再利用建立含a的方程，把表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差，通过解方程求得答案． 解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴A（，0），B（0，1），AB==2， ， 连接OP， 当点在第二象限时， ， ， 解得或（舍）； 当点在第一象限且在直线左侧时， ， 解得（舍）或（舍）； 当点在第一象限且在直线右侧时， ， 解得或（舍）； 故答案为或． 【点拨】本题考查了一次函数的综合应用；解函数图象与面积结合的问题，要把相关三角形的面积用边落在坐标轴的其他三角形面积来表示，这样面积与坐标之间就建立了联系；把表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差是正确解答本题的关键． 17．（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是________； （2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为________． 【答案】 10 1或 【分析】本题考查一次函数解析式，三角形的面积，正确理解题意是解题的关键： （1）联立，求出，再求出，进而可求出面积； （2）求出，再得出的面积是，设，得出，即，求出或，再利用待定系数法求解即可． 解：（1）解：联立， 解得：， 所以， 令，则0， 解得， 所以， 所以的面积是； （2）因为点在直线上， 所以， 所以， 因为的面积是面积的， 所以的面积是， 设， 因为， 所以 ． 因为，即， 则或， 当时，解得，所以； 当时，解得，所以． 当时， 得出， 解得； 当时， 得出， 解得； 所以的值为1或， 故答案为：10；1或． 18．（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是直线上方第一象限内的动点． （1）点是直线：上一动点，当的面积与的面积相等时，点的坐标为___________； （2）当是以为直角边的等腰直角三角形时，点的坐标为___________． 【答案】 或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数与坐标轴的交点问题、全等三角形的判定与性质． （1）利用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式求出点的坐标，设，根据三角形的面积公式可得，解方程求出的值，即可得到点的坐标； （2）当是以为直角边的等腰直角三角形时，分和两种情况求点的坐标． 解：（1）解：直线交轴于点， ， ， ， 又令，则， ， ， ， 点是直线上一动点，点在上， 令，则， ， 设， ， 的面积与的面积相等， ， 或（不合题意，舍去） ； 故答案为：； （2）解：如下图所示，当，时，过点作轴， 是以为直角边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ，， ，， ， 点的坐标是； 如下图所示，当，时，过点作轴， 同理可证：， ，， ，， ， 点的坐标是． 综上所述，点的坐标为或． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·广东云浮·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B，C，与直线相交于点． （1）求点B的坐标． （2）求的面积． （3）在直线上是否存在一点M，使的面积是面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）点M的坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，根据一次函数解析式，求三角形的面积，解题的关键是数形结合． （1）把代入，求出点B的坐标即可； （2）先求出点，然后求出的面积即可； （3）设点M的坐标为，根据，得出，求出a的值，即可得出答案． 解：（1）解：在中，令，得：， 解得：， 点B的坐标为． （2）解：在中，令，则， 点， ． （3）解：存在．设点M的坐标为． ， ， ． 当时，点的坐标是； 当时，点的坐标是． 综上所述，点M的坐标为或． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级上·江西抚州·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与轴、轴分别交于点，，与正比例函数图象交于点． （1）求点的坐标； （2）求的面积； （3）若直线与轴交于点，直线与直线交于点，且的面积与的面积相等，求点的坐标． 【答案】（1）点C坐标为；（2）；（3）点的坐标为或． 【分析】本题考查一次函数的图象上点的坐标特征、三角形的面积等知识． （1）两函数解析式联立方程组求解即可； （2）先求出点A、B的坐标，利用三角形面积公式即可解答； （3）先求出点D坐标和，利用三角形的面积公式和坐标与图形的性质列式计算即可求解． 解：（1）解：解方程组，解得：， ∴点C坐标为； （2）解：对于，当时，，当时，由得：， ∴点A坐标为，点B坐标为，又点C坐标为， ∴， ∴； （3）解：∵与y轴交于点D， ∴点D坐标为，则， 设P的横坐标为a， 由得：， 将代入得：，则点的坐标为； 将代入得：，则点的坐标为， 综上，点的坐标为或． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点． （1）求点A和点B的坐标； （2）求的面积； （3）若点P在y轴上，且满足的面积为面积的2倍，求点P坐标． 【答案】（1），；（2）6；（3）或 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质、面积的计算等． （1）对于，令，即，解得，令，则，即可求解； （2）由点A、B的坐标得，，再根据求解即可； （3）设点P的坐标为，则，根据的面积为面积的2倍，列方程得，解方程即可求解． 解：（1）解：令，即， 解得， 令，则， 故点A、B的坐标分别为、； （2）解：∵点A、B的坐标分别为、， ∴，， ∴， 即的面积为6； （3）解：设点P的坐标为，则， ∵的面积为面积的2倍， ∴，即， 解得， 点P的坐标为或． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点沿路线运动． （1）求直线的解析式． （2）求的面积． （3）当的面积是的面积的时，求出这时点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【分析】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式、三角形的面积，熟练掌握解一次函数的解析式的方法和三角形的面积公式是解题关键． （1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）求得点的坐标，即的长，利用三角形的面积公式即可求解； （3）当的面积是的面积的时，先求出的面积和的面积，再分类讨论：①当点在直线上，先求出直线求解析，运用三角形公式代入求解即可；②当点在直线上，已知直线解析式，运用三角形公式代入求解即可． 解：（1）解：设直线的解析式是， 将点、点代入得：， 把①代入②中得：， ， ， 解得：， ∴直线的解析式是：； （2）解：∵在中，令，解得：， ∴点，． ∵点， ∴， ∴． （3）解：∵点、点， ∴，， ∴ ∵当的面积是的面积的时， ∴ ①当点在直线上， ∵设直线的解析式是， 代入点得， 解得：， ∴则直线的解析式是：， ∴设点， ∴ ∴，即， 把代入，得 ∴； ②当点在直线上， ∴设点， ∴ ∴，即， 把代入，得 ∴； 综上，点的坐标是：或． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·内蒙古包头·月考）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线与直线交于点．已知直线与y轴交于点，与x轴交于点E． （1）求点A、B的坐标； （2）求直线的解析式； （3）求的面积； （4）在直线上有一点P，且满足的面积是面积的，求点P的坐标． 【答案】（1），；（2）；（3）5；（4）和 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、三角形面积等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）分别求解即可； （2）先求出点D的坐标，再用待定系数法求直线解析式即可； （3）先求出的长，再根据求解即可； （4）先求得，即；再分两种情况：当点P在点D下方时，当点P在点D上方时，根据三角形的面积公式、列方程求解即可． 解：（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当时，，即； 当时，，即． （2）解：∵直线经过点， ， ， 设直线的解析式为， ∴，即， ∴直线的解析式为． （3）解：∵，， ∴， ∴． （4）解：∵直线的解析式为． ∴， ∴， ∴， ∴； ①如图，当点P在点D的上方， 设点P的坐标为， ∵， ∴，解得：， ∴； ②如图，当点P在点D的下方， 设点P的坐标为， ∵， ∴，解得：， ∴． 综上，点P的坐标为和． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·山东青岛·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线相交于点． （1）求直线的解析式． （2）求的面积． （3）点为轴上一动点，当最小时，求点的坐标． （4）在直线上是否存在点，使的面积是的面积的？若存在求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）存在，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法，将点代入直线的表达式，得到关于的方程，解方程求出的值，即可得到直线的解析式； （2）先求点的坐标，进而确定的底的长度，再确定的高，最后代入三角形面积公式计算； （3）先求出点的坐标，作关于轴的对称点，利用“轴对称性质”得，将转化为，当、、共线时，最小，求出直线的解析式，令，得到的值即为点的纵坐标； （4）先确定目标面积，设点的坐标，以为的底，点到轴的距离为高，代入面积公式列方程，解方程得的值，再代入直线解析式得到的纵坐标，进而确定的坐标． 解：（1）解：直线为，且位于直线上， ，解得， 直线的解析式为． 答：． （2）解：直线的解析式为， 当，，即直线与轴交点为， ， 点坐标为， 点到轴的距离为， ． 答：． （3）解：直线的解析式为， 令，则， 点的坐标为， 如图，作点关于轴对称点，连接，与轴交于点， ，， ， ， 可知当、、位于同一条直线上时，取得最小值， 设直线的解析式为，将，代入， 可得： ， 解得： ， 直线的解析式为， 令，则， 故的坐标为． 答：． （4）解：设存在点， 根据题意可知， 得，即， 解得， 则点的坐标为或． 答：存在，点的坐标为或． 【点拨】本题考查一次函数的解析式求解，平面直角坐标系中图形的面积计算，轴对称的应用，一次函数与图形面积的综合应用，通过作对称点，将“折线线段和”转化为“直线线段”是解题关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $