专题 23.11 一次函数复习专题——一次函数与几何变换综合（方法梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 23.11 一次函数复习专题——一次函数与几何变换综合（方法梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点 1】平移变换 1 【知识点 2】一次函数直线变换核心性质 2 【知识点 3】直线平移解析式变换规则 2 【知识点 4】直线与轴夹角对应的斜率 2 二.题型精析 2 【题型 1】一次函数直线平移求解析式 2 【题型 2】一次函数轴对称（翻折）求解析式 8 【题型 3】一次函数绕点旋转综合 14 【题型 4】几何图形变换+一次函数综合 20 【题型 5】动点几何变换与一次函数结合 29 【题型 6】变换后面积、周长计算 40 三.同步检测 49 （一）选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分) 49 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 58 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 68 一.知识梳理 【知识点 1】平移变换 （1）平移变换：左右平移：横坐标左加右减；上下平移：纵坐标上加下减 【要点提标】直线平移，k 不变，只变 b （2）轴对称变换：关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标取相反数；关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标取相反数；关于原点对称：横、纵坐标都取相反数。 （3）旋转变换：180°旋转（中心对称）：同原点对称；90°旋转：利用垂直k乘积为-1或构造直角三角形通过一线三直角全等求坐标 （4）翻折变换：本质就是轴对称，对应点连线被对称轴垂直平分。 【知识点 2】一次函数直线变换核心性质 （1）平移：斜率k保持不变，只有截距b改变； （2）对称、翻折、旋转：k会改变，需先求对称点坐标，再重新求解析式； （3）直线变换本质：先求关键点变换后的坐标，再用待定系数法求新解析式。 【知识点 3】直线平移解析式变换规则 设解析式：， （1） 当直线沿轴向上平移个单位解析式为：；向下平移个单位解析式为：； （2）当直线沿轴向左平移个单位解析式为：；向右平移个单位解析式为：. 【知识点 4】直线与轴夹角对应的斜率 直线与轴正方向夹角为特殊角对应的斜率关系： 角度 30º 45º 60º 120º 135º 150º 斜率 二.题型精析 【题型 1】一次函数直线平移求解析式 【例题1】（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，在平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，B的坐标为，点C在y轴的正半轴上，，将向右平移得到． （1）若直线经过点C，求平移的距离； （2）继续向右平移，当点A平移到了原点O，画出此时平移后的，连接，，直接写出和平行且相等的线段． 【答案】（1）；（2）图见分析，， 【分析】本题考查平移作图，勾股定理，一次函数图象和性质，掌握平移的性质是解题的关键． （1）先求出直线的解析式，再根据平移求出直线的解析式，进而求出直线与x轴的交点坐标，即可求解； （2）根据平移的性质即可求解． 解：（1）解：过点B作，垂足为M， ∵，，， ∴，，，， ∵， ∴， 当直线经过点C，∵， ∴， ∴， 设， 把，代入，得， 解得， ∴， ∵平移， ∴设， 把代入得：， ∴， 令，解得， ∴点， ∴， ∴平移的距离为的长． （2）解：如图所示，和平行且相等的线段为，． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将直线平移后，得到直线，则下列平移方法正确的是（    ） A．将直线b向左平移3个单位长度得到直线a B．将直线b向右平移6个单位长度得到直线a C．将直线b向上平移1个单位长度得到直线a D．将直线b向下平移6个单位长度得到直线a 【答案】D 【分析】用到一次函数平移规律“左加右减，上加下减”，计算不同平移方式得到的解析式，和目标直线对比即可得到正确结果 解：∵一次函数图象平移规律为“左加右减，上加下减”，原直线，目标直线， 若沿x轴平移， 设平移个单位，得平移后解析式为， 令， 解得，即直线向右平移3个单位得到直线，选项A、 B均不符合； 若沿y轴平移，设平移个单位，得平移后解析式为 令， 解得，即直线向下平移6个单位得到直线，符合选项D 【变式2】（24-25八年级下·广东云浮·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，在直线上取，过点作轴，垂足为，将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得，则第次平移后，点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质、规律型：点的坐标及坐标与图形变化平移，能根据题意得出点的坐标可表示为是解题的关键．根据题意，依次求出点的坐标，发现规律即可解决问题． 解：令，则， 在中，， 解得舍负， 则， 所以点坐标为， 因为由沿射线方向平移个单位长度得到， 即向上平移个单位长度，再向右平移一个单位长度， 所以点的坐标为， 同理可得，点的坐标为， 点的坐标为， ， 所以点的坐标可表示为， 当时，点的坐标为 故答案为： 【变式3】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，点Q在射线上，的面积为9． （1）求点Q的坐标； （2）将线段沿轴正方向平移，点A、B的对应点分别为M、N．若，求线段平移的距离； （3）将线段沿轴正方向平移，点A、B的对应点分别为M、N．若点M在第一象限时，求点M的坐标． 【答案】（1）；（2）平移的距离为2或7；（3）或 【分析】（1）设，根据点坐标，可求得的长度为，从而根据的面积为9列出方程解得，故而求得点坐标； （2）利用待定系数法可求出直线的解析式，设向右平移个单位，由此可表达点的坐标，设出直线的解析式，将点的坐标代入，可求得直线的解析式，设直线与轴交于点，利用铅锤法可表达的面积，列出方程，求出的值即可； （3）根据在第一象限以及，设，则，根据列方程，解得的值，即可得出点的坐标． 解：（1）解：设，且， ∵，， ∴，， ∵的面积为9， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； （2）解：设的解析式为：， ∵，， ∴， ∴， ∴的解析式为：， 设线段平移的距离为， 则，， ∵， ∴的解析式为：， ∴直线与轴的交点， ∴， 解得：或7， ∴平移的距离为2或7； （3）解：设，则， ∵， ∴ 解得：或， ∴或 【点拨】本题考查一次函数的图象与性质，平移的性质，待定系数法，三角形的面积等知识点，根据平移进行正确的分类讨论，正确利用坐标表示线段长是解题的关键． 【题型 2】一次函数轴对称（翻折）求解析式 【例题2】（24-25八年级下·河南商丘·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，C，，过点A作轴，垂足为A，过点C作轴，垂足为C，两条垂线相交于点 （1）求线段AC的长； （2）如图2，将图1中的折叠，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕交于点D，交于点E，连接，求点D的坐标； （3）是射线上的一个动点，过点M的另一条直线与y轴相交于点请直接写出与全等时，点M的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）M点坐标为或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，勾股定理，三角形全等的性质是解题的关键 （1）根据点A与点C是一次函数与x轴，y轴的交点，求出A、C点坐标，即可求AC的长； （2）由折叠可知，，在中，，解得，即可求D点坐标； （3）设，当≌时，，可求；当≌时，，可求 解：（1）解：当时，， ，即， 当时，， ，即， ； （2）解：由折叠可知，，， ， ， 在中，， 解得， ； （3）解：设直线AC的解析式为， ， 解得， ， 设， 当≌时，， ， 解得或舍， ； 当≌时，， ， 解得或舍； ； 综上所述：M点坐标为或 【变式1】（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的边在x轴正半轴上，D为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点O落在点E处，于点F．若点F的坐标为，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出A坐标，再表示出D点坐标，根据列方程求解． 解：如图，过D作轴于G ， 由题意可知菱形边长为5，故 ，， ， 由勾股定理得，故， ， 设直线的解析式为， 把代入，解得, 直线解析式为， 设， 由折叠性质和知 ， 又轴， 是等腰直角三角形， ， ， 解得， ． 【变式2】（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠． （Ⅰ）在x轴上是否存在C点，使折叠后点A对应的点恰好落在y轴上？______（请填写“是”或“否”）． （Ⅱ）如果存在满足（Ⅰ）中条件的点C，请直接写出它的坐标．______． 【答案】 是 ， 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，翻折变换，勾股定理； （Ⅰ）折叠以后可以发现存在两个C点使折叠后点A对应的点恰好落在y轴上； （Ⅱ）根据勾股定理得到，分两种情况：当点A落在y轴的正半轴上时，当点A落在y轴的负半轴上时，根据勾股定理即可得到结论． 解：（Ⅰ）折叠以后可以发现存在两个C点使折叠后点A对应的点恰好落在y轴上； 故答案为：是； （Ⅱ）∵一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴， ∴， ∴， 如图，当点A落在y轴的正半轴上时，过作于， 设点C的坐标为， ∵折叠后点A对应的点恰好落在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 同理，当点A落在y轴的负半轴上时，过作于， ∴ ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 故答案为：，． 【变式3】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，C是x轴上一点，将沿着过点B、C的直线折叠，使点A落在y轴上的点D处． （1）求点D的坐标； （2）求直线的函数表达式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，折叠的性质，求一次函数解析式． （1）先求出，，得到，，根据勾股定理求出，根据折叠的性质得到，求出，即可求出点D的坐标； （2）根据折叠的性质得到，设，根据勾股定理求出，即，可知，根据待定系数法求解即可． 解：（1）解：当时，，即； 当时，解得：，即； ∴，， ∴， ∵将沿着过点B、C的直线折叠，使点A落在y轴上的点D处， ∴， ∴， 即； （2）解：∵将沿着过点B、C的直线折叠，使点A落在y轴上的点D处， ∴， 设， 则， ∴， 解得：， 则， 即， 设直线的函数表达式为， 则， 解得：， 即． 【题型 3】一次函数绕点旋转综合 【例题3】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，平面直角坐标系中，，，A、C分别在x轴的正、负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段于点E． （1）直接写出A、C的坐标； （2）写出直线的解析式； （3）若与的面积相等，求点E的坐标． 【答案】（1）、；（2）；（3） 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形的性质，三角形的面积等知识点，数形结合是解此题的关键． （1）根据，求解即可； （2）用待定系数法即可求出直线的解析式； （3）推出和的面积相等，根据面积公式求出E的纵坐标． 解：（1）解：∵，， ∴， ∴，； （2）解：设直线的解析式为． ∴ 解得 ∴直线的解析式为； （3）解：∵， ∴， 即， ∵点E在线段上， ∴点E在第一象限，且， ∴ ∴ 把代入直线的解析式得：   ∴ ∴． 【变式1】（2025·福建泉州·三模）已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据题意得出旋转后的函数解析式为 然后根据解析式求得与 x轴的交点坐标，结合点的坐标即可得出结论． 本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是求出旋转后的函数解析式． 本题属于基础题，难度不大． 解：∵ ∴函数的图象与坐标轴的交点坐标为， ， 故图象绕x轴上一点 旋转后的新坐标，， 设新解析式为， 根据题意，得， 解得， 故函数的解析式为， 又图象经过， ∴ 解得． 【变式2】（24-25八年级上·安徽·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于A，两点，且，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是______． 【答案】 【分析】根据已知条件得到，，因为求得，所以，，过A作交于F，过F作轴于E，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，设直线的函数表达式为：解方程组于是得到结论． 解：一次函数的图象分别交轴，轴于，两点， ，， ， ，， ，， 过作交于，过作轴于， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ， 设直线的函数表达式为：， ， 解得 直线的函数表达式为：， 故答案为：． 【点拨】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 【变式3】（25-26八年级下·四川成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，． （1）求直线的解析式： （2）直线与x轴交于点N，点N关于原点的对称点为点M，点P是坐标平面内任意一点，若A、B、M、P四点能构成平行四边形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标： （3）如图，以点A为直角顶点作，射线交x轴的负半轴于点C，射线交y轴的负半轴于点D．当绕着点A旋转（点C始终在x轴负半轴，点D始终在y轴负半轴），的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，求出它的变化范围． 【答案】（1）；（2）点P的坐标为或或；（3）不变， 【分析】（1）待定系数法求出直线的解析式即可； （2）先求出点N的坐标，再根据关于y轴对称点的特点，求出点M的纵坐标，分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，根据中点坐标公式分别求出点P的坐标即可； （3）过分别作轴和轴的垂线，垂足分别为， 可证明可得到，从再利用线段的和差可求得． 解：（1）解：设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：把代入得：， 解得：， ∴点N的坐标为， ∵点N关于原点的对称点为点M， ∴点M的坐标为， 设点P的坐标为，，， 当为对角线时，根据中点坐标公式得：， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 当为对角线时，根据中点坐标公式得：， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 当为对角线时，根据中点坐标公式得：， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 综上，点P的坐标为：或或． （3）解：不变，理由如下： 过点作轴于点G、轴于点，如图所示： 则， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故的值不发生变化，值为． 【题型 4】几何图形变换+一次函数综合 【例题4】（25-26八年级下·四川成都·月考）平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点B，C，且a．b满足．不论k为何值，直线l：都经过x轴上一定点A． （1）_______，_______；点A的坐标为_______； （2）如图1，当时，将线段沿某个方向平移，使得与点B对应的点M恰好在直线l上，与点C对应的点N恰好在直线上，请你判断四边形的形状，并求出M点坐标； （3）如图2，当k的取值发生变化时，直线l：绕着点A旋转，当它与直线相交的夹角为时，求出相应的k的值． 【答案】（1）2，4，；（2）平行四边形，；（3）或 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求出的值，进而求出的值；将直线的解析式变形为，即可求出定点的坐标； （2）根据平移的性质可知四边形是平行四边形；设出点的坐标，利用平移规律表示出点的坐标，代入直线求出的值，即可得到点的坐标； （3）过点作于点，过点O作于点D，求出， 得，可得直线的解析式为．求得，得直线的解析式为．在直线上取点使得，构造等腰直角三角形，利用“一线三垂直”模型（K字模型）构造全等三角形求出点的坐标，进而求出直线的解析式及的值． 解：（1）解：， ， ， ． 直线的解析式为， ， 当时，， 即直线经过定点． （2）解：四边形是平行四边形理由如下： 由平移的性质可知，且， 四边形是平行四边形， 对，令，则， 解得， ， 令，得， ， 当时，直线的解析式为， 设点的坐标为， 点平移得到点， 平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， 点平移得到点， 点的坐标为，即， 点在直线上， ， 解得， 点的坐标为， 故四边形是平行四边形， 点的坐标为； （3）解：过点作于点．过点O作于点D，则， 由（2）知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 解得， ∴， 设解析式为，则， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得， ， 过点作轴于点，则， ， 在直线上取点，使得，连接， ， 是等腰直角三角形， ， 即直线与直线的夹角为，此时直线即为直线， 过点作交的延长线于点（当在左下方时）或交的延长线于点（当在右上时）， ， ， 在和中， ， ， ， 当点在点左下方时（记为）， ，， ， ∴， ∴， 当点在点右上方时（记为）， ，， ， ∴， ∴， 综上所述，的值为或． 【变式1】（24-25八年级下·贵州黔东南·期末）如图1，将正方形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线沿轴的负方向以每秒1个单位长度的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形的边所截得的线段长为，平移的时间为（秒），与的函数图象如图2所示，则图2中的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的实际应用，勾股定理，正方形的性质，从函数图象获取信息，根据题意求出的长是解题的关键．从函数图象和运动情况结合来看的值为正方形对角线的长，利用函数图象得到直线从进入正方形到离开正方形所用时间，进而得到直线从运动所用时间，即可得到的长，再利用勾股定理求解，即可解题． 解：由题知，的值为正方形对角线的长， 连接，    直线从进入正方形到离开正方形所用时间为（秒）， 即直线从运动所用时间为秒， 直线沿轴的负方向以每秒1个单位长度的速度平移， ， 四边形为正方形， ，， ． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）点在一次函数的图象上，一次函数与轴相交于点，、两点关于轴对称．将沿轴左右平移到，在平移过程中，将该角绕点旋转，使它的一边始终经过点，另一边与直线交于点．若为等腰直角三角形，且，则点的坐标为________． 【答案】或 【分析】分别过A、B和C作y轴、x轴的垂线并相交于M、N点，则由题意可得△B'MA≌△ANC'，再由全等的性质和已知条件可以得到B'坐标． 解：由题意可得：AB'=AC'，∠B'AC'= 90°， Ⅰ．当'在下方时，， 将代入 Ⅱ．当在上方时， 此时，与关于点对称， ∴B''为[-2×2-（-8），6×2-（-12）]即（4，24）， 故答案为：或 ． 【点拨】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象与性质、直角三角形全等的判定是解题关键． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）平移时k的值不变，只有b发生变化．可以先确定平移后与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得； （2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案； （3）在直线取两点，，根据旋转性质求得旋转后对应点，，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可． 解：（1）将函数的图象沿x轴向右平移3个单位长度， 平移后与x轴的交点为，将代入中，得 ， 解得， 所以平移后的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：在函数的图象上取两个点、， 关于x轴对称的点的坐标、， 设直线的解析式为， 把代入，得 ， ∴一次函数的表达式为； （3）解：如图，在直线上取两点，， 一次函数的图象绕点逆时针方向旋转， 点、绕点逆时针方向旋转后对应点为点、， 过点作轴于，过点作轴于，过点作于， ， ，， 由旋转可得，， ， ，， ， ， ， ， ，， 轴， 四边形是矩形， ，， ， ， 同理可求得点， 设直线解析式为， 把、代入，得 ， 解得：， ∴旋转后得到函数解析式为：． 故答案为：． 【题型 5】动点几何变换与一次函数结合 【例题3】（24-25八年级下·重庆九龙坡·开学考试）已知直线l1：y＝﹣x+b与x轴交于点A，直线l2：y＝x﹣与x轴交于点B，直线l1、l2交于点C，且C点的横坐标为1． （1）求直线l1的解析式和点A的坐标． （2）直线l1与y轴交于点D，将l1向上平移9个单位得l3，l3与x轴、y轴分别交于点E、F，点P为l3上一动点，连接AP、BP，当△ABP的周长最小时，求△ABP的周长和点P的坐标． （3）将l1绕点C逆时针旋转，使旋转后的直线l4过点G（﹣2，0），过点C作l5平行于x轴，点M、N分别为直线l4、l5上两个动点，是否存在点M、点N，使△BMN是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x﹣3，点A的坐标为（﹣3，0）；（2），P点坐标为（，）；（3）存在，点M的坐标为（﹣8，8）或（，﹣）． 【分析】（1）利用点C是两条直线的交点，求出C点坐标，代入直线l1，可求出直线l1的解析式，进而求出点A的坐标； （2）利用平移求出l3的解析式，构造点B关于l3的对称点Q，利用两点之间线段最短找到点P的坐标，利用两点间距离公式，求出△ABP的周长； （3）构造全等三角形，利用全等边相等，列出关系式，进而求出M的坐标． 解：（1）将x=1代入直线y=x-，得y=×1-=-4， 故点C的坐标为（1，-4）， 将C的坐标（1，-4）代入直线y=-x+b得， -4=-1+b， 解得b=-3， ∴直线l1：y=-x-3， 令y=0，则-x-3=0，解得x=-3， 故点A的坐标为（-3，0）； （2）直线l3为l1向上平移9个单位所得，故直线l3的解析式为：y=-x+6， 令x=0，得y=6，令y=0，得x=6， 故点E，点F的坐标分别为（6，0），（0，6）， 直线l2：y=x-与x轴交于点B， 令y=0，得x=4，故B点的坐标为（4，0）， 取点B关于l3的对称点Q，设点Q的坐标为（a，b）， 则线段BQ的中点坐标为（，）在直线l3， ∴① 且即② 联立①②得 ， 解得：， ∴Q（6，2）， 直线AQ的解析式：， 当△ABP的周长最小时，即AP+BP最小， 连接AQ，交直线l3于点P， 此时AP+BP最小， 最小值为， ∵AB=7， 此时△ABP的周长为7+， 由解得， ∴P点坐标为， （3）设l4的解析式：y=mx+n， 将C（1，-4），G（-2，0），代入y=mx+n得， ，解得， ∴l4的解析式为：， 1°：当点M在直线l4的上方时， 设点N（n，-4），点M（s，）， 过点N，B分别作y轴的平行线，过点M作x轴的平行线，三条直线分别交于R，S两点，如图 则R，S的坐标分别为， ∴RM=s-n，RN=，MS=4-s，SB=， ∵∠NMB=90°， ∴∠NMR+∠SMB=90°， ∵∠BMS+∠MBS=90°， ∴∠NMR=∠MBS， ∵∠S=∠R=90°，MB=MN， ∴△MNR≌△BMS（AAS）， ∴RM=SB，RN=SM， 即s-n=，， 解得s=-8，n=-16， ∴点M的坐标为（-8，8）， 2°：当点M在直线l4的下方时， 设点N（n，-4），点M（s，）， 过点N，B分别作y轴的平行线，过点M作x轴的平行线，三条直线分别交于R，S两点，如图 则R，S的坐标分别为（n，），（4，）， ∴RM=s-n，RN=，MS=4-s，SB=， ∵∠NMB=90°， ∴∠NMR+∠SMB=90°， ∵∠BMS+∠MBS=90°， ∴∠NMR=∠MBS， ∵∠S=∠R=90°，MB=MN， ∴△MNR≌△BMS（AAS）， ∴RM=SB，RN=SM， 即s-n=，， 解得s=，n=， ∴点M的坐标为（，）， 综上点M的坐标为（-8，8）或（，）． 【点拨】本题是一道一次函数综合问题，考查了求一次函数的解析式；已知点在直线上的，求点的坐标；利用对称点，求周长最小值；两点之间距离公式等，需要有解决一次函数的综合能力． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，，动点从点出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向右移动，且过点的直线也随之平移．设移动时间为秒，若直线与线段有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，求出直线经过点和点时，点的位置，进而求出的取值范围即可． 解：由题意，当点移动到点开始，到直线经过点时，符合题意， ∵， ∴， 即当时，直线和线段开始有公共点， 把代入，得，解得， ∴， ∴当时，， ∴当时，符合题意，此时， 故当时，直线与线段有公共点， 故选B． 【变式2】（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，D为的中点，E是上一动点，将四边形沿折叠，使点A落在点F处，点O落在点G处，当线段的延长线恰好经过的中点H时，点F的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形与翻折问题，一次函数的应用，利用一次函数求解是解题关键． 连接交于M，连接，根据矩形的性质得出A、C的坐标，从而得到D、H的坐标，求出的解析式，根据求出G点坐标，然后求出的中点坐标，从而得到的解析式，求出E点坐标，根据，，求出、的解析式，联立即可求得F点坐标． 解：连接交于M，连接，如图： 四边形为矩形，， ，， 是中点，H是中点， ，， 设直线DH的解析式为：， ， ，， 直线的解析式为：， 设， 由翻折的性质可知，， M是的中点， ， 解得：或舍， ， ， 设直线的解析式为：， ， 解得：，， 直线的解析式为：， 为和交点， 的纵坐标为，且满足， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 则，解得：， 直线的解析式为：， ， 设直线的解析式为， 将点代入得， 直线的解析式为：， 联立，解得：， ， 故答案为：． 【变式3】（2026·天津红桥·一模）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B，C在第一象限，且，． （1）填空：如图①，点C的坐标为________，点B的坐标为________； （2）若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点落在x轴的正半轴上．设． ①如图②，若直线l与边相交于点D，与边相交于点E，点A的对应点为，点C的对应点为，当折叠后五边形与重叠部分为四边形时，与相交于点F．试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1），；（2）①；② 【分析】（1）过点C作轴于D，可通过解直角三角形求出点的横、纵坐标；根据平行四边形对边平行且相等的性质，可由点的坐标推出点的坐标． （2）①因为，所以先确定的坐标；再求出直线和直线的解析式，联立解析式得到交点的坐标，再结合点的坐标计算；因为重叠部分为四边形，所以根据图形位置确定的取值范围．②先分析该范围内重叠部分图形的形状，结合（2）①的结论，利用面积公式表示出关于的函数；再根据函数的性质，求出在给定范围内的最值． 解：（1）过点C作轴于D， ，， ， ∵， ∴点D与点A重合， ∴， 。 ∵四边形是平行四边形， ，的纵坐标和相等，横坐标为 ， ． （2）① 由折叠性质得 ，， ， ∴ ， ， 设直线的解析式为，把 ， ，代入得，解得， ∴直线的解析式为 ， 同理可得直线的解析式为， 联立和的方程得交点 ， ∴ ． 直线与、相交，且重叠部分为四边形时，（，且l在右侧、左侧）． （2） ② 当 时，过点F作 ， ∵直线与直线平行且经过原点， ∴直线解析式为， 由题意可得 ， ， ， ∴可得直线的解析式为， 联立和的方程得交点 ， ∴ ， ∴面积 ， 此时开口向下，对称轴是直线，此时S随着t的增大而增大， 故最大值在处，；最小值在端点处，； 当 时，重叠部分是四边形，过点F作 ， 同理可知 ， ， ， ， ， 面积 ， 此时开口向下，对称轴是直线，此时S随着t的增大而减小， 时，； 时，； 故此时，； 当时，重叠部分是三角形， 同理可知 ， ， ， ​，最小值在时为； ∴的范围是． 【题型 6】变换后面积、周长计算 【例题6】（24-25八年级下·四川南充·期末）在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C是直线与x轴、y轴的交点，D是x轴上一点，将矩形沿折叠，点O恰好落在上． （1）求点D的坐标； （2）点M在第一象限，若是等腰直角三角形，直接写出点M的坐标； （3）若是（2）中以为斜边的等腰直角三角形，点N在第一象限，的面积为3，求的周长最小时，点N的坐标和的面积． 【答案】（1）；（2）或或；；（3）， 【分析】（1）求出，再得到，设，根据勾股定理求出，即可得到答案； （2）分三种情况进行解答即可； （3）设，根据的面积为3得，作点D关于直线的对称点，则，连接交直线于点，则，则，此时的周长最小，即为，求出直线的解析式为，即可得到，根据的面积即可求出答案． 解：（1）解： 当时，， 当时，，解得， ∴, ∴ ∵， ∴ 设， 则，则， ∴ 解得， ∴ （2）是等腰直角三角形，分三种情况： ①当，时，过点M作轴于点， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ②当，时，过点M作轴于点， 同理可得， 则 ∴， ∴， ③当，时，设， ∴ 解得， ∴， 综上可知，点M的坐标为或或； （3）是（2）中以为斜边的等腰直角三角形， ∴, 设， ∵的面积为3， ∴， 解得 作点D关于直线的对称点，则， 连接交直线于点，则， 则， 此时的周长最小，即为， 设直线的解析式为，把，代入得到， 解得， 即直线的解析式为， 当时，， ∴， 的面积 【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、一次函数的图象和性质、坐标与轴对称等知识，分类讨论是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级下·北京西城·月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐A标为，点Q是直线上的一个动点，以A为旋转中心，将点Q顺时针旋转60°得等边三角形，连接．记点P的横坐标为x，点P的纵坐标为y，的周长为C，面积为S，则下列说法正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．当时，y有最小值 C．当时，周长C有最小值 D．面积S是关于x的二次函数 【答案】C 【分析】如图所示，在直线上取点，连接，证明是等边三角形，得到，再证明，推出，则，从而得到点P在直线上运动，由此即可判断A、B、D；作点O关于直线的对称点C，连接，则，则当三点共线时，的周长有最小值，求出直线的解析式为，在中，当时，，则当时，周长C有最小值，即可判断C． 解：如图所示，在直线上取点，连接， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P在直线上运动， ∴在Q运动过程中，不一定满足y随x的增大而增大，，故A、B、D不符合题意； 作点O关于直线的对称点C，连接，则， ∴， ∴的周长， ∴当三点共线时，的周长有最小值， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴当时，周长C有最小值，故C符合题意； 故选C． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，轴对称最短路径问题，一次函数与几何综合等等，正确作出辅助线确定点P的运动轨迹是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、，点在轴上运动，点在直线上运动，则四边形的周长最小时，点坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理、一次函数的应用等知识，熟练掌握一次函数的应用是解题关键．先求出，再作点关于直线的对称点，交直线于点，作点关于轴的对称点，连接，根据轴对称的性质和两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，四边形的周长最小，则可得此时直线与直线的交点即为所求的点，然后利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，与直线联立，解方程组即可得． 解：∵点、， ∴， ∴四边形的周长为， 如图，作点关于直线的对称点，交直线于点，作点关于轴的对称点，连接， 则，，点是的中点， ∴四边形的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为的长，则此时四边形的周长最小， ∴此时直线与直线的交点即为所求的点， 设直线的解析式为， 将点、代入得：，解得， ∴直线的解析式为，垂直于直线， 联立，解得， ∴， 设点的坐标为， 则，解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴当四边形的周长最小时，点的坐标为， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使分别落在x、y轴的正半轴上，其中，对角线所在直线解析式为将矩形沿着折叠，使点A落在边上的点D处． （1）求点A的坐标； （2）求的长度； （3）点P是y轴上一动点，是否存在点P使得的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）5；（3）存在，，理由见分析 【分析】本题考查了矩形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图像上点的坐标特征、折叠的性质、勾股定理以及轴对称−最短路径问题，解题的关键是：（1）利用一次函数图像上点的坐标特征结合矩形的性质，找出点B的坐标；（2）利用折叠的性质结合勾股定理，求出的长度；（3）利用两点之间线段最短确定点P的位置． （1）由矩形的性质结合的长度可得出点C的坐标，由点C的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，由直线的解析式，利用一次函数的图像上点的坐标特征可得出点A的坐标； （2）在中，利用勾股定理可求出的长，进而可求出的长，设，则，在中，利用勾股定理可求出（的长）的值； （3）作点E关于y轴的对称点，连接交y轴于P，此时的周长最小，由点E的坐标可得出点的坐标，由点B，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图像上点的坐标特征可求出点P的坐标． 解：（1） 解：∵，四边形是矩形， ∴， ∴，代入得到， ∴直线的解析式为， 令，得到， ∴； （2）解：在中，，， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴； （3）解：如图作点E关于y轴的对称点，连接交y轴于P，    此时的周长最小． ∵，， ∴ ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则 解得 则的解析试为， 当时， ∴． 三.同步检测 （一）选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分) 1．（24-25八年级下·全国·暑假作业）已知直线：平移之后的直线为：，则下面平移方式正确的是（    ） A．向上平移4个单位 B．向下平移2个单位 C．向右平移单位 D．向左平移单位 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．根据“左加右减，上加下减”的法则解答即可． 解：∵直线：平移之后的直线为：， ∴设直线平移a个单位后得到直线， ∴， 解得． ∴向右平移单位， ∴C符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级下·广西南宁·期中）要得到一次函数的图象，可把直线（    ） A．向下平移5个单位长度 B．向上平移5个单位长度 C．向左平移5个单位长度 D．向右平移5个单位长度 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象平移变换，解题的关键是根据“左加右减、上加下减”的函数图象平移规律解答即可． 解：将直线的图象向下平移5个单位即可得到直线的图象． 故选：A． 3．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴，y轴交于A，B两点，以为底边在y轴的右侧作等腰，将沿y轴折叠，使点C恰好落在直线上，则C点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求点的坐标，根据“以为底边在y轴的右侧作等腰”可求C点的纵坐标，进而可求C点的对应点坐标为，即可求解． 解：由题意得：点的坐标为： ∵以为底边在y轴的右侧作等腰 ∴C点的纵坐标为 将沿y轴折叠后，C点的对应点纵坐标也为 ∵点C恰好落在直线上 ∴， 即C点的对应点坐标为 则C点的坐标为 故选：A 【点拨】本题考查一次函数与坐标轴的交点、等腰三角形的性质等．掌握相关结论即可． 4．（2025·陕西宝鸡·一模）将直线绕原点旋转后，所得直线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线与y轴的交点坐标，然后根据旋转的性质可知得到的直线与该直线平行，且与y轴的交点为，从而求出结论． 解：当时，， ∴直线与y轴的交点为， 将直线绕着原点旋转得到的直线与该直线平行，且与y轴的交点为， ∴得到的直线解析式为 故选A． 【点拨】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，涉及了绕原点旋转后点的坐标特点，直线与坐标轴的交点等知识，熟练掌握一次函数图象及性质是解题的关键． 5．（2026八年级下·全国·专题练习）将直线平移，若平移后的直线与一次函数的图象的交点在y轴上，则平移后直线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题先利用y轴上点的横坐标为0求出交点坐标，再根据一次函数平移的性质设出平移后直线的解析式，最后将交点坐标代入求解即可． 解：∵y轴上的点横坐标为0 ∴把代入，得， ∴两直线的交点为， 设平移后的解析式为． 将代入 ： ， ， ∴平移后直线的函数解析式为． 6．（24-25八年级上·广东梅州·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、，是线段上一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，待定系数法求一次函数解析式等，先根据一次函数解析式求出点的坐标，进而由勾股定理和折叠的性质求出，再利用勾股定理求出点的坐标，最后利用待定系数法解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：把代入，得， ∴， 把代入，得， 解得， ∴， ∴，， ∴， 由折叠可得，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 设直线的函数解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式是， 故选：． 7．（24-25八年级上·陕西西安·月考）在平面直角坐标系中有两条直线、，直线所对应的函数关系式为，如果将坐标纸折叠，使与重合，此时点与点也重合，则直线所对应的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线的平行，待定系数法，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 根据坐标纸折叠，使与重合，得到，设的解析式为，显然是直线上的点，故点是直线上的点，代入解析式解答即可． 解：∵是直线上的点， ∴点是直线上的点， 根据坐标纸折叠，使与重合，故， 设的解析式为， ∴， 解得， 故的解析式为． 故选：C． 8．（2026·江苏南京·一模）将一次函数的图像绕原点旋转一周，在这个过程中不会经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先画出函数图象，然后得到原点到直线的距离最小，进而根据两点距离公式计算两点之间距离，最后问题可求解． 解：画出函数的图象，如下所示： 当时，则有，解得：；当时，则有， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 过点O作于点C， ∴， 由将一次函数的图像绕原点旋转一周，可知：只要满足旋转后直线经过的点到原点的距离大于或等于即可； ∴A、，故不符合题意； B、，故符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意． 9．（2026·山西晋城·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴正半轴上，D为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点O落在点E处，于点F．若点F的坐标为，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点F的坐标得，求出点，运用待定系数法求出直线的解析式为，求得，设，则，由两点间距离公式得，解得,进而可得点D的坐标． 解：∵四边形是菱形，边在x轴正半轴上， ∴轴， ∵于点，且点F的坐标为， ∴轴， ∴，， ∴， 过点作轴于点，则， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， ∴, ∴直线的解析式为， 由折叠得，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得：, ∴, ∴． 10．（2026·湖南怀化·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图象翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图象经过一种变换后过点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】逐一分析每种变换后，函数的图象是否经过点． 解：①函数沿轴翻折后的解析式为， ∴， 当时，代入得，， ∴函数的图象沿x轴翻折后不过点； ②对于，当时，， ∴直线与轴的交点的坐标为； 设点关于直线的对称点Q为，则线段的中点坐标为， ∴， ∴ ∴， ∵点关于直线对称， ∴， ∴， 解得或（舍去） ∴, 当时，， ∴点在函数的图象， ∴函数的图象沿函数的图象翻折后过点； ③∵点 ∴ ∴将点绕原点按逆时针方向旋转得到， 当时，， ∴函数的图象绕原点按顺时针方向旋转后不过点P（2,2）； ④如图，将点绕点按逆时针方向旋转得到， 当时，， ∴函数的图象绕点按顺时针方向旋转过点 所以，正确的结论有2个． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·山东青岛·期末）在平面直角坐标系中，将直线向上平移4个单位，将直线向左平移6个单位，平移后的两条直线相交于点，则点的坐标为_________； 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，两条直线相交或平行问题．根据平移的规律顶点平移后两直线的解析式，进一步即可求得交点坐标． 解：将直线向向上平移4个单位，得到直线， 将直线向左平移6个单位得到直线，即， 联立得， 解得， ， ∴点A的坐标为． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·河南南阳·期中）直线与轴、轴分别交于点和点，点是轴上的一个动点，将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理，折叠的性质，能够根据题意作图和分类讨论思想是解题的关键； 先求出，两点的坐标，进而利用勾股定理求出的长，点是轴上的一个动点，可分情况讨论，①点在轴负半轴上，②点在轴正半轴上，根据折叠的性质，得到，进而求出的长度，即可得解． 解：在，当时，，当时，， ，， 当点在轴负半轴上时， ，， 将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上的点处， ， ， ； 当点在轴正半轴上时， ，， 将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上的点处， ， ， ， 综上可知，点的坐标为或， 故答案为：或． 13．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，将直线绕点A顺时针旋转，则旋转后的直线的函数表达式为______． 【答案】 【分析】先求出点A、B的坐标，作轴，交x轴于点D，然后由全等三角形的判定和性质，求出点C的坐标，再利用待定系数法，即可求出答案． 解：将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴，， 过点C作轴，交x轴于点D， ∵一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题． 14．（25-26八年级下·全国·周测）将一次函数的图象向下平移3个单位，若平移后的函数图象与一次函数的图象重合，则____________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的平移规律，根据“函数图象上下平移时，斜率不变，截距相应变化”，结合平移后图象重合的条件，列方程求解参数、． 解：一次函数图象向下平移个单位，平移后的函数解析式为： ． ∵平移后的函数图象与一次函数 的图象重合， ∴对应项系数相等，即 且 ． 解得 ：，． ∴ ． 故答案为：． 【点拨】本题考查了一次函数的平移规律，解题关键是掌握“上下平移时，斜率不变，截距随平移方向加减相应单位”，再通过图象重合的条件列方程求解参数． 15．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，将矩形沿直线折叠（点在边上），折叠后点恰好落在边上的点处．若点的坐标为，则直线的解析式为______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得到，所以在直角中，利用勾股定理求得，然后设，则，，根据勾股定理列方程求出可得点E的坐标，再利用待定系数法求解的解析式即可． 解：∵四边形为矩形，D的坐标为， ∴，， ∵矩形沿折叠，使D落在上的点F处， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得，即EC的长为， ∴点E的坐标为． 设直线为：， ∴，解得：， ∴直线为：， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理，利用待定系数法求解一次函数的解析式，根据题意求出EC的长为，是解题的关键． 16．（25-26八年级上·辽宁辽阳·期末）已知直线与轴，轴分别交于点和点，点是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数表达式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法确定一次函数解析式、勾股定理、轴对称折叠的性质等知识点，根据勾股定理构建方程求解线段长是解题的关键． 根据直线解析式得出，，，，利用勾股定理得出，根据折叠性质得出，，，设，利用勾股定理求出的值，得出，利用待定系数法即可求出直线的函数表达式． 解：∵直线与轴，轴分别交于点和点， ∴当时，，当时，， ∴，，，， ∴， ∵将沿折叠，点恰好落在轴上的点处， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得：， ∵点是上的一点，， ∴， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为． 故答案为： 17．（25-26八年级上·全国·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点，，是轴上一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数与几何综合、勾股定理的折叠问题、等腰三角形的性质和判定等知识点，将图形与数学知识相结合是解题的关键．设沿直线将折叠，点正好落在轴上的点，则有，而的长度根据已知可以求出，所以点的坐标由此求出又由于折叠得到，在直角中根据勾股定理可以求出，从而求出的坐标． 解：∵与轴、轴分别交于点，， ∴令，则，解得；令，则， ∴，， ∴，， ∴， 设沿直线将折叠，点正好落在轴上的点处，点的坐标为，则 ∴，． 当点在直线的左侧时，如图1， ∴， ∴点的坐标为． ∵， ∴， 解得， ∴． 当点在直线的右侧时，如图2， ∴， ∴点的坐标为． ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：或． 18．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，现将直线绕点按逆时针方向旋转交轴于点，则点的坐标是 ____．    【答案】 【分析】过作轴于，过作，证明是等腰直角三角形，则有，再通过角度的和差，证明，根据性质得出点，最后通过待定求出直线的函数表达式即可． 解：如图，过作轴于，过作，交直线于D，作轴于，      ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为：， 把，代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为：， 令，则， ∴， 故答案为：． 【点拨】此题考查了一次函数与几何变换，待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，线段两个端点的坐标分别为，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点． （1）求一次函数的解析式． （2）将直线向上平移a个单位长度，使平移后的直线与线段有交点，求a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与几何变换，一次函数的性质，灵活运用所学知识解决问题并认真计算是解题的关键． （1）把和代入可求得解析式； （2）设平移后的直线的解析式为ya，把分别代入，求出a的值，进一步即可求得a的取值范围． 解：（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点． ∴把和代入可得， ， 解得， ∴这个一次函数的解析式为：； （2）解：将直线向上平移a个单位长度，得直线的解析式为：， 把分别代入， 得，解得， 得，解得， ∴a的取值范围是． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级上·江苏南京·月考）一次函数的图像与轴、轴分别相交于点和点．点在线段上，如图，将沿折叠后，点恰好落在边上点D处． （1）求直线的表达式； （2）求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了折叠与勾股定理，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行列式计算，得出直线的表达式为， （2）先得出，再结合折叠性质得，，运用勾股定理列式计算，得，即可得的长． 解：（1）解：∵一次函数的图像与轴、轴分别相交于点和点． ∴， 解得， ∴直线的表达式：． （2）解：∵点和点． ∴， 则， ∵将沿折叠后，点恰好落在边上点D处． ∴，，， 则，， ∴， 故在中，， ∴， 解得， 则． 21．（本小题满分10分）（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，将绕点O逆时针方向旋转后得到． （1）填空：点C的坐标是（ ___________，___________），点D的坐标是（ ___________，___________）； （2）设直线与交于点M，求点M坐标； （3）在y轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）0，1；，0；（2）；（3）、、、 【分析】根据已知求得点A和B，结合旋转得点C和D的坐标； 结合点C和点D的坐标利用待定系数法求得直线的解析式，联立即可求得点M； 分两种情况讨论：①以为腰时，②以为底时，分别对应求得点P即可． 解：（1）解：， 当时，， 当时， ∴，， ∵将绕点O逆时针方向旋转后得到， ∴，， ∴点C的坐标是，点D的坐标是； 故答案为：0，1；，0； （2）设直线的解析式为，把点C的坐标是，点D的坐标是代入解析式得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立方程得：，解得， ∴； （3）存在，分两种情况讨论： ①以为腰时， ∵，又点P在y轴上，且， 此时满足条件的点P有两个，如图， 它们是、， 过点M作轴于点E，如图， ∵，， ∴， ∴， 此时满足条件的点P有一个，它是； ②以为底时，作的垂直平分线，分别交y轴、于点P、F，如图， 设点， ∵， ∴，解得， 则． 此时满足条件的点P有一个，它是， 综上所述，符合条件的点P有四个， 它们是：、、、． 答：存在，所有满足条件的点P的坐标是、、、． 【点拨】本题主要考查一次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、解二元一次方程组、旋转的性质、平行线所截线段成比例、解一元一次方程、勾股定理和等腰三角形的性质，解题的关键是分类讨论的应用． 22．（本小题满分10分）（2025·天津河东·二模）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点．P是边上的一点（点P不与点A，O重合），沿着折叠该纸片，得点O的对应点C． （1）填空：如图①，当点C在边上时，点P的坐标为________，的面积为________； （2）如图②，当轴时，与交于点D，求点D的坐标； （3）设点A到直线的距离为d，在折叠过程中，当时，求的长（直接写出结果即可）． 【答案】（1），；（2）；（3）或8 【分析】（1）根据折叠的性质，得，，设，则，结合，得到，得到，解答即可． （2）根据折叠的性质，结合轴，证明四边形是正方形，再利用三角形的中位线定理，解答即可． （3）解答时，分轴和不平行x轴两种情况解答即可． 解：（1）解：∵点，点， ∴， 根据折叠的性质，得， 设， 则 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点， 故答案为：； ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：∵点，点， ∴， 根据折叠的性质，得， 设， 则， ∵轴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：当轴时， ∵点，点， ∴， 根据折叠的性质，得， 设， 则， ∵轴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，此时； ∴； 当不平行x轴时，如图所示， 过点A作于点G，根据题意，得， 设的交点为M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， 此时， 故或8． 【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使，分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接， ． （1）求A、C两点的坐标； （2）将纸片折叠， 使点A与点C重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积； （3）求所在直线的函数表达式． 【答案】（1）；（2）折叠后纸片重叠部分的面积为10；（3） 【分析】本题考查了一次函数的面积问题，求一次函数解析，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握待定系数法，求出重叠部分三角形的底和高是解题的关键． （1）根据得出，根据勾股定理得出，列出方程求解即可； （2）设，则，在中，根据勾股定理可得，列出方程求出，根据，即可解答； （3）由（2）可得，设，则，在中，根据勾股定理可得：，列出方程求出，则，在用待定系数法即可求出所在直线的函数表达式． 解：（1）解：∵， ∴， ∵四边形为长方形， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为长方形， ∴， ， 由折叠可得：， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∴， ∴折叠后纸片重叠部分的面积为10； （3）解：由（2）可得， ∴， 由折叠可得：， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∴， 设所在直线的函数表达式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴所在直线的函数表达式为． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．设，将直线绕点A按某一方向旋转后交y轴于点． （1）分别求出点A和点B的坐标； （2）若，当点C在点B的上方时，求此时点C的坐标； （3）若，则y轴上是否存在点C？若存在，请求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）存在， 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴交点问题、勾股定理、旋转的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）分别令直线解析式，即可求解； （2）证得，即可得解； （3）分两种情况讨论：直线绕点A沿顺时针旋转β或逆时针旋转β，分别画出图形求解即可． 解：（1）解：对于， 当时，， ， 当时，， ， ； （2）解：，， ，； 在中，， ， 直线绕点A沿顺时针旋转后交y轴于点C， ， ， ， ， ， . （3）解：存在， 证明：情况1：若直线绕点A按逆时针方向旋转， 当时，直线平行于y轴， 此情况不成立. 情况2：若直线绕点A按顺时针方向旋转后交y轴于点C， 当， ， ， ， 设，则，由于点C在y轴负半轴，故， 在中，， ， ∴， 解得， . 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 23.11 一次函数复习专题——一次函数与几何变换综合（方法梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点 1】平移变换 1 【知识点 2】一次函数直线变换核心性质 1 【知识点 3】直线平移解析式变换规则 2 【知识点 4】直线与轴夹角对应的斜率 2 二.题型精析 2 【题型 1】一次函数直线平移求解析式 2 【题型 2】一次函数轴对称（翻折）求解析式 4 【题型 3】一次函数绕点旋转综合 5 【题型 4】几何图形变换+一次函数综合 6 【题型 5】动点几何变换与一次函数结合 8 【题型 6】变换后面积、周长计算 10 三.同步检测 11 （一）选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分) 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 15 一.知识梳理 【知识点 1】平移变换 （1）平移变换：左右平移：横坐标左加右减；上下平移：纵坐标上加下减 【要点提标】直线平移，k 不变，只变 b （2）轴对称变换：关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标取相反数；关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标取相反数；关于原点对称：横、纵坐标都取相反数。 （3）旋转变换：180°旋转（中心对称）：同原点对称；90°旋转：利用垂直k乘积为-1或构造直角三角形通过一线三直角全等求坐标 （4）翻折变换：本质就是轴对称，对应点连线被对称轴垂直平分。 【知识点 2】一次函数直线变换核心性质 （1）平移：斜率k保持不变，只有截距b改变； （2）对称、翻折、旋转：k会改变，需先求对称点坐标，再重新求解析式； （3）直线变换本质：先求关键点变换后的坐标，再用待定系数法求新解析式。 【知识点 3】直线平移解析式变换规则 设解析式：， （1） 当直线沿轴向上平移个单位解析式为：；向下平移个单位解析式为：； （2）当直线沿轴向左平移个单位解析式为：；向右平移个单位解析式为：. 【知识点 4】直线与轴夹角对应的斜率 直线与轴正方向夹角为特殊角对应的斜率关系： 角度 30º 45º 60º 120º 135º 150º 斜率 二.题型精析 【题型 1】一次函数直线平移求解析式 【例题1】（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，在平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，B的坐标为，点C在y轴的正半轴上，，将向右平移得到． （1）若直线经过点C，求平移的距离； （2）继续向右平移，当点A平移到了原点O，画出此时平移后的，连接，，直接写出和平行且相等的线段． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将直线平移后，得到直线，则下列平移方法正确的是（    ） A．将直线b向左平移3个单位长度得到直线a B．将直线b向右平移6个单位长度得到直线a C．将直线b向上平移1个单位长度得到直线a D．将直线b向下平移6个单位长度得到直线a 【变式2】（24-25八年级下·广东云浮·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，在直线上取，过点作轴，垂足为，将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得，则第次平移后，点的坐标为______． 【变式3】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，点Q在射线上，的面积为9． （1）求点Q的坐标； （2）将线段沿轴正方向平移，点A、B的对应点分别为M、N．若，求线段平移的距离； （3）将线段沿轴正方向平移，点A、B的对应点分别为M、N．若点M在第一象限时，求点M的坐标． 【题型 2】一次函数轴对称（翻折）求解析式 【例题2】（24-25八年级下·河南商丘·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，C，，过点A作轴，垂足为A，过点C作轴，垂足为C，两条垂线相交于点 （1）求线段AC的长； （2）如图2，将图1中的折叠，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕交于点D，交于点E，连接，求点D的坐标； （3）是射线上的一个动点，过点M的另一条直线与y轴相交于点请直接写出与全等时，点M的坐标． 【变式1】（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的边在x轴正半轴上，D为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点O落在点E处，于点F．若点F的坐标为，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠． （Ⅰ）在x轴上是否存在C点，使折叠后点A对应的点恰好落在y轴上？______（请填写“是”或“否”）． （Ⅱ）如果存在满足（Ⅰ）中条件的点C，请直接写出它的坐标．______． 【变式3】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，C是x轴上一点，将沿着过点B、C的直线折叠，使点A落在y轴上的点D处． （1）求点D的坐标； （2）求直线的函数表达式． 【题型 3】一次函数绕点旋转综合 【例题3】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，平面直角坐标系中，，，A、C分别在x轴的正、负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段于点E． （1）直接写出A、C的坐标； （2）写出直线的解析式； （3）若与的面积相等，求点E的坐标． 【变式1】（2025·福建泉州·三模）已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2】（24-25八年级上·安徽·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于A，两点，且，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是______． 【变式3】（25-26八年级下·四川成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，． （1）求直线的解析式： （2）直线与x轴交于点N，点N关于原点的对称点为点M，点P是坐标平面内任意一点，若A、B、M、P四点能构成平行四边形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标： （3）如图，以点A为直角顶点作，射线交x轴的负半轴于点C，射线交y轴的负半轴于点D．当绕着点A旋转（点C始终在x轴负半轴，点D始终在y轴负半轴），的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，求出它的变化范围． 【题型 4】几何图形变换+一次函数综合 【例题4】（25-26八年级下·四川成都·月考）平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点B，C，且a．b满足．不论k为何值，直线l：都经过x轴上一定点A． （1）_______，_______；点A的坐标为_______； （2）如图1，当时，将线段沿某个方向平移，使得与点B对应的点M恰好在直线l上，与点C对应的点N恰好在直线上，请你判断四边形的形状，并求出M点坐标； （3）如图2，当k的取值发生变化时，直线l：绕着点A旋转，当它与直线相交的夹角为时，求出相应的k的值． 【变式1】（24-25八年级下·贵州黔东南·期末）如图1，将正方形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线沿轴的负方向以每秒1个单位长度的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形的边所截得的线段长为，平移的时间为（秒），与的函数图象如图2所示，则图2中的值为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）点在一次函数的图象上，一次函数与轴相交于点，、两点关于轴对称．将沿轴左右平移到，在平移过程中，将该角绕点旋转，使它的一边始终经过点，另一边与直线交于点．若为等腰直角三角形，且，则点的坐标为________． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 【题型 5】动点几何变换与一次函数结合 【例题3】（24-25八年级下·重庆九龙坡·开学考试）已知直线l1：y＝﹣x+b与x轴交于点A，直线l2：y＝x﹣与x轴交于点B，直线l1、l2交于点C，且C点的横坐标为1． （1）求直线l1的解析式和点A的坐标． （2）直线l1与y轴交于点D，将l1向上平移9个单位得l3，l3与x轴、y轴分别交于点E、F，点P为l3上一动点，连接AP、BP，当△ABP的周长最小时，求△ABP的周长和点P的坐标． （3）将l1绕点C逆时针旋转，使旋转后的直线l4过点G（﹣2，0），过点C作l5平行于x轴，点M、N分别为直线l4、l5上两个动点，是否存在点M、点N，使△BMN是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，，动点从点出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向右移动，且过点的直线也随之平移．设移动时间为秒，若直线与线段有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，D为的中点，E是上一动点，将四边形沿折叠，使点A落在点F处，点O落在点G处，当线段的延长线恰好经过的中点H时，点F的坐标为______． 【变式3】（2026·天津红桥·一模）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B，C在第一象限，且，． （1）填空：如图①，点C的坐标为________，点B的坐标为________； （2）若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点落在x轴的正半轴上．设． ①如图②，若直线l与边相交于点D，与边相交于点E，点A的对应点为，点C的对应点为，当折叠后五边形与重叠部分为四边形时，与相交于点F．试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【题型 6】变换后面积、周长计算 【例题6】（24-25八年级下·四川南充·期末）在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C是直线与x轴、y轴的交点，D是x轴上一点，将矩形沿折叠，点O恰好落在上． （1）求点D的坐标； （2）点M在第一象限，若是等腰直角三角形，直接写出点M的坐标； （3）若是（2）中以为斜边的等腰直角三角形，点N在第一象限，的面积为3，求的周长最小时，点N的坐标和的面积． 【变式1】（24-25九年级下·北京西城·月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐A标为，点Q是直线上的一个动点，以A为旋转中心，将点Q顺时针旋转60°得等边三角形，连接．记点P的横坐标为x，点P的纵坐标为y，的周长为C，面积为S，则下列说法正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．当时，y有最小值 C．当时，周长C有最小值 D．面积S是关于x的二次函数 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、，点在轴上运动，点在直线上运动，则四边形的周长最小时，点坐标为_____． 【变式3】（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使分别落在x、y轴的正半轴上，其中，对角线所在直线解析式为将矩形沿着折叠，使点A落在边上的点D处． （1）求点A的坐标； （2）求的长度； （3）点P是y轴上一动点，是否存在点P使得的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 三.同步检测 （一）选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分) 1．（24-25八年级下·全国·暑假作业）已知直线：平移之后的直线为：，则下面平移方式正确的是（    ） A．向上平移4个单位 B．向下平移2个单位 C．向右平移单位 D．向左平移单位 2．（24-25八年级下·广西南宁·期中）要得到一次函数的图象，可把直线（    ） A．向下平移5个单位长度 B．向上平移5个单位长度 C．向左平移5个单位长度 D．向右平移5个单位长度 3．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴，y轴交于A，B两点，以为底边在y轴的右侧作等腰，将沿y轴折叠，使点C恰好落在直线上，则C点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 4．（2025·陕西宝鸡·一模）将直线绕原点旋转后，所得直线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 5．（2026八年级下·全国·专题练习）将直线平移，若平移后的直线与一次函数的图象的交点在y轴上，则平移后直线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·广东梅州·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、，是线段上一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·陕西西安·月考）在平面直角坐标系中有两条直线、，直线所对应的函数关系式为，如果将坐标纸折叠，使与重合，此时点与点也重合，则直线所对应的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·江苏南京·一模）将一次函数的图像绕原点旋转一周，在这个过程中不会经过的点是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·山西晋城·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴正半轴上，D为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点O落在点E处，于点F．若点F的坐标为，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·湖南怀化·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图象翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图象经过一种变换后过点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·山东青岛·期末）在平面直角坐标系中，将直线向上平移4个单位，将直线向左平移6个单位，平移后的两条直线相交于点，则点的坐标为_________； 12．（24-25八年级下·河南南阳·期中）直线与轴、轴分别交于点和点，点是轴上的一个动点，将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为_______． 13．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，将直线绕点A顺时针旋转，则旋转后的直线的函数表达式为______． 14．（25-26八年级下·全国·周测）将一次函数的图象向下平移3个单位，若平移后的函数图象与一次函数的图象重合，则____________． 15．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，将矩形沿直线折叠（点在边上），折叠后点恰好落在边上的点处．若点的坐标为，则直线的解析式为______． 16．（25-26八年级上·辽宁辽阳·期末）已知直线与轴，轴分别交于点和点，点是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数表达式为______． 17．（25-26八年级上·全国·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点，，是轴上一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上，则点的坐标为______． 18．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，现将直线绕点按逆时针方向旋转交轴于点，则点的坐标是 ____．    （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，线段两个端点的坐标分别为，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点． （1）求一次函数的解析式． （2）将直线向上平移a个单位长度，使平移后的直线与线段有交点，求a的取值范围． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级上·江苏南京·月考）一次函数的图像与轴、轴分别相交于点和点．点在线段上，如图，将沿折叠后，点恰好落在边上点D处． （1）求直线的表达式； （2）求的长． 21．（本小题满分10分）（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，将绕点O逆时针方向旋转后得到． （1）填空：点C的坐标是（ ___________，___________），点D的坐标是（ ___________，___________）； （2）设直线与交于点M，求点M坐标； （3）在y轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（本小题满分10分）（2025·天津河东·二模）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点．P是边上的一点（点P不与点A，O重合），沿着折叠该纸片，得点O的对应点C． （1）填空：如图①，当点C在边上时，点P的坐标为________，的面积为________； （2）如图②，当轴时，与交于点D，求点D的坐标； （3）设点A到直线的距离为d，在折叠过程中，当时，求的长（直接写出结果即可）． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使，分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接， ． （1）求A、C两点的坐标； （2）将纸片折叠， 使点A与点C重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积； （3）求所在直线的函数表达式． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．设，将直线绕点A按某一方向旋转后交y轴于点． （1）分别求出点A和点B的坐标； （2）若，当点C在点B的上方时，求此时点C的坐标； （3）若，则y轴上是否存在点C？若存在，请求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $