专题 23.10 一次函数复习专题——一次函数与定点定值问题（方法梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 23.10 一次函数复习专题——一次函数与定点定值问题（方法梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.方法梳理与题型精析 1 【题型 1】含参一次函数恒过定点（基础） 1 【题型 2】已知直线过定点，求参数关系式或取值范围 2 【题型 3】 双直线相交定点问题 3 【题型 4】一次函数动点型线段定值 4 【题型 5】一次函数几何面积定值 6 【题型 6】定点定值综合探究题 8 二.同步检测 10 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 12 （三） 解答题（本大题共8小题，每小题9分，共36分） 13 一.方法梳理与题型精析 【基本方法梳理】含参数的一次函数恒过定点，方法是化为的形式。 例如：一次函数恒过定点，求定点坐标，则化成，这样就得到从而求出定点坐标。 【题型 1】含参一次函数恒过定点（基础） 题型：给出含的一次函数解析式，求证或求直线必过定点；考法：分离参数法、特值法求定点坐标。 【例题1】（24-25八年级上·上海·月考）若k为任意实数，直线．必过一定点，此定点坐标为______． 【变式1】（2025·陕西·模拟预测）在平面直角坐标系中，有直线，则该直线过定点（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏南京·模拟预测）一次函数经过定点______． 【变式3】（25-26八年级下·福建泉州·期中）一次函数无论k取何值，它的图象总是过一个定点，此点坐标为_________． 【题型 2】已知直线过定点，求参数关系式或取值范围 题型：已知含参一次函数经过某固定点，代入坐标，求参数之间的等式关系或参数取值范围。 【例题2】（25-26八年级下·河北衡水·期中）如图，直线经过，两点，已知，点是线段上一动点（可与点，重合）；直线（为常数）经过点，交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）无论为何值时直线过定点，直接写出定点坐标________； （3）在点的移动过程中，直接写出的取值范围________． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）已知直线始终过定点，直线经过点和点，则直线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，有两点、和一条直线， （1）直线恒过的定点坐标是___________； （2）若直线与线段有且只有一个交点，则的取值范围是______________． 【变式3】（2026·河北张家口·一模）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为和，直线：恒过定点． （1）求定点的坐标； （2）当直线和线段有交点时，求的取值范围； （3）若直线和线段所在直线交于点，点的横坐标为，请用含的代数式表示，并求出当是正整数时，整数k的所有值． 【题型 3】 双直线相交定点问题 题型：两条直线解析式都含参数，且参数满足关系式，证明两直线交点为定点。 【例题3】（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点，与x轴交于点C． （1）求m的值及直线的解析式： （2）求的面积； （3）已知经过某一定点，且与x轴交于点E，当时，直接写出该定点与点E的距离． 【变式1】（25-26八年级上·浙江台州·期末）一次函数（为常数，）的图象记作，一次函数的图象记作，对于这两个图象，有以下几种说法： ①：经过定点； ②当与有公共点时，的取值范围是； ③当时，与所在的直线平行，且平行线之间的距离为； 以上说法中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式2】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，已知正比例函数的图象与x轴相交所成的锐角为，定点A的坐标为，P为y轴上的一个动点，M、N为函数的图象上的两个动点，则的最小值为______． 【变式3】（24-25八年级上·江苏盐城·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的正半轴交于点，与轴交于点，的面积为4，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度在射线上运动，动点从出发，沿轴的正半轴与点同时以相同的速度运动，过作轴交直线于． （1）求直线的解析式； （2）当点在线段上运动时，设的面积为，点运动的时间为秒，求与的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）； （3）过点作轴交直线于，在运动过程中（点不与点重合），是否存在某一时刻（秒），使是以为顶点的等腰三角形？若存在，求出时间的值； （4）无论取何值，直线是否过定点，若该定点存在，求的值．若不存在，请说明理由． 【题型 4】一次函数动点型线段定值 题型：点在定直线上运动，某条线段长、两条线段和或差始终不变，求这个定值。 【例题4】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，点是一次函数图象上一点．过点P分别作x轴，y轴的垂线段，垂足为点A，B． （1）矩形的周长是否为定值？若是请求出此定值，若不是，请说明理由； （2）连接，的周长是否为定值？若是请求出此定值，如不是，请求出其最小值． 【变式1】（2024·江苏常州·一模）直线与直线（为常数，且）交于点，当的值发生变化时，点到直线的距离总是一个定值，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·江苏扬州·月考）直线与直线（是常数，且）交于点A，当的值发生变化时，点A到直线的距离总是一个定值，则的值是________． 【变式3】（24-25八年级下·四川·期末）如图，直线和直线交于点，与轴的交点分别为．点为直线上一动点（不与点重合），过点分别作轴和直线的垂线，垂足分别是点． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）若点在的边上移动，问线段与线段的和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由； （3）若，请直接写出点的坐标． 【题型 5】一次函数几何面积定值 题型：一次函数与坐标轴围成三角形，或直线上动点构成三角形或四边形，面积恒为定值，求值或证明。 【例题5】（24-25七年级下·湖北孝感·期末）如图，已经为轴上的两点，且满足，将线段平移得到线段，其中点的对应点恰好落在轴正半轴上，三角形的面积为4． （1）求D，C两点的坐标； （2）连接与轴交于点，求点的坐标； （3）若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向上平移运动，同时点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，当点到达点后两点停止运动，若射线交轴于点，设三角形与三角形的面积差为，问：是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·湖北武汉·月考）已知直线a：与x轴交于点P、与y轴交于点Q （1）直线a经过定点A，则点A的坐标为：　 　（直接写出结果） （2）直线b：与y轴交于点M，与直线a交于点B，判断的面积是否为定值，若是定值，求的面积；若不是，说明理由． （3）如图，过点Q在第二象限内作线段，且，连接，取的中点D．当k满足时，求点D运动的路径长． 【变式2】（25-26八年级上·四川达州·月考）如图1，已知在中，，边在x轴上，点C在y轴上，，B的坐标为，点K是y轴上一个动点，它的坐标是，直线交直线于点P． （1）求直线的表达式； （2）若，点Q为直线上一点，且平分，求Q的坐标； （3）如图2，连接，以为直角边作等腰直角（O、P、M三点按照逆时针顺序排列），使得，． ①试说明在点K的运动过程中，的面积是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由； ②点K从C运动到O的过程中，点M的运动路径长为 ． 【变式3】（24-25八年级下·浙江金华·开学考试）如图1，已知在中，，边在轴上，点在轴上，，的坐标为，点是轴上一个动点，它的坐标是，直线交直线于点． （1）求直线的表达式； （2）若，点为直线上一点，且平分，求的坐标； （3）如图2，连接，以为直角边作等腰直角（、、三点按照逆时针顺序排列），使得，． ①试说明在点的运动过程中，的面积是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由； ②点从运动到的过程中，点的运动路径长为___________． 【题型 6】定点定值综合探究题 题型：一次函数结合几何图形、轴对称、平移，先求定点，再利用定点求解线段、面积定值。 【例题6】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线过定点A．与y轴交于点B，过点A作轴于点C． （1）直接写出定点A的坐标为______； （2）如图1，点，连接，当时，连接，若，且在左侧存在点使得，求点B和点E的坐标； （3）如图2，当时，直线交x轴于点F，平移直线交x轴正半轴于点G，交y轴负半轴于点H，连接，交y轴正半轴于点M．当时，求证：为定值． 【变式1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，如下是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程. 问题呈现：过点的直线（k、c为常数且）分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A和B，探究并说明是定值 （1）特例探究，如图1，过点的直线（k、c为常数且）分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A和B，则点A的坐标为______，点B的坐标为______，的值为______； （2）一般证明： ①时，直接写出______； ②求出的值； （3）如图2，已知，，点M在x轴的正半轴上，过点M且不与y轴平行的直线l交直线于第一象限点N，若总有，请探究：直线l是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果否，请说明理由． 【变式2】（2024·广东·模拟预测）如图，正方形的边、在坐标轴上，点B的坐标为．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接，过点P作的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．与y轴交于点E，连接．设点P运动的时间为． （1）的度数为 ，点D的坐标为 （用t表示）． （2）在P，Q的运动过程中，直线的解析式发生变化吗?如果变化，请说明理由；如果不变，请直接写出直线的解析式． （3）探索的周长是否随时间t的变化而变化，若变化，说明理由；若不变，试求这个定值． 【变式3】（24-25八年级下·四川成都·月考）在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，如下是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程． 问题呈现过点的直线为常数且分别交轴的正半轴和轴的正半轴于点和，探究并说明是定值． （1）特例探究如图1，过点的直线分别交轴和轴于点和，求的值； （2）一般证明 ①时，直接写出_____； ②求出的值； （3）类比推广如图2，已知，点在轴的正半轴上，过且不与轴平行的直线交直线于第一象限点，若总有，请探究：直线是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果否，请说明理由． 二.同步检测 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 1．（24-25八年级下·河北承德·期末）已知函数，则此函数图像过定点（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）在一次函数的研究过程中，甲、乙同学得到如下结论：甲认为当时，随的增大而增大；乙认为无论取何值，函数必定经过定点则下列判断正确的是（   ） A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确 C．甲乙都正确 D．甲乙都错误 3．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，一次函数与的图象，下列说法正确的有几个（    ） ①；②的图象，随自变量的增大而减少；③不论为何值，一次函数的图象总过定点；④方程组的解是． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25八年级上·四川达州·期中）关于直线l： ，下列说法不正确的是（      ） A．点在l上 B．l经过第二、三、四象限 C．l经过定点 D．当时，y随x 的增大而减小 5．（24-25八年级上·四川成都·期末）关于一次函数，下列结论错误的是（　　） A．y的值随x值的增大而减小 B．图象过定点 C．函数图象经过第二、三、四象限 D．当时， 6．（24-25八年级下·江苏南通·期中）直线与直线（是常数，且）交于点，当的值发生变化时，点到直线的距离总是一个定值，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·四川内江·月考）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点是线段上一定点，点分别为直线和轴上的两个动点，当周长的最小值为6时，点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 8．（2026·贵州·一模）如图，小红利用人工智能设计了一个小游戏：计算机屏幕上会随机地出现一些图形，过定点沿直线向图形射去，如果某时刻屏幕上出现的图形为矩形，其中，，，那么为了击中矩形，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9．（25-26八年级上·四川成都·月考）一次函数 图象过定点，定点坐标为_________． 10．（24-25八年级上·安徽合肥·月考）（1）无论为何值，一次函数的图象必过一定点，此定点坐标为：______； （2）函数的图象如图所示，若一次函数的图象和它有两个交点，则的取值范围是：______． 11．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）直线．无论k取除1外的任何数，都经过一个定点，定点坐标为____________． 12．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数（为常数，） （1）（为常数，）的图像恒经过一个定点，这个定点坐标是______； （2）平面直角坐标系中有三个点，，，若该直线将分成左右面积之比为的两部分，则的值为______． 13．（24-25八年级下·北京海淀·期中）已知一次函数，当系数k取不同的值时，会得到不同的直线，这些直线都经过一个定点C，此定点C的坐标为 __________；若坐标系中两点，，一次函数的图象与线段有交点，则k的取值范围是 ____________________． 14．（24-25八年级上·安徽合肥·月考）无论 m 取任何实数，一次函数必过一定点，此定点坐标为____ ；线段 AB 的端点分别为 A（1，3），B（3，0），一次函数图像与线段 AB 相交，则m 的取值范围是____． 15．（25-26八年级上·四川成都·月考）无论k为何值，一次函数的图像恒过定点_______． 16．（25-26八年级上·安徽蚌埠·月考）在平面直角坐标系中，线段的端点是，，直线． （1）直线恒过一定点，该点的坐标为________． （2）若直线与线段有交点，则k的取值范围为________． （3） 解答题（本大题共8小题，每小题9分，共36分） 17．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数． （1）为何值时，函数图象经过点？ （2）若一次函数的函数值随的增大而减小，求的取值范围； （3）直接写出一次函数的图象经过定点坐标． 18．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）已知一次函数，其系数满足； （1）若该函数的图像经过点，请求出函数的表达式； （2）已知这个函数图像经过一个定点，请求出这个定点的坐标． 19．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，如下是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程． 问题呈现：过点的直线（k，c为常数且）分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A和B．探究并说明是定值． （1）特例探究：如图1，过点的直线分别交x轴和y轴于点A和B，求的值； （2）一般证明： ①时，直接写出______；，时，直接写出______； ②求出的值； （3）类比推广：如图2，已知，，点M在x轴的正半轴上，过M且不与y轴平行的直线l交直线于第一象限点N，若总有，请探究：直线l是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果否，请说明理由． 20．（24-25八年级上·四川成都·期中）给出如下定义：在平面直角坐标系中，已知平面内一定点，若对于一点，有点与点关于点对称，即为线段的中点，则称点为点关于点的完美对称点．例如：若已知定点，则对于点，有，因为点与点关于点对称，则可得关于的完美对称点． （1）若定点，点，则关于点的完美对称点的坐标为______； （2）在（）的条件下，若点，在直线上有一点使得，求点的坐标； （3）已知定点，对任意的点关于定点的完美对称点为． ①的坐标为______， ②连接，若的最小值为，则的值为______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 23.10 一次函数复习专题——一次函数与定点定值问题（方法梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.方法梳理与题型精析 1 【题型 1】含参一次函数恒过定点（基础） 1 【题型 2】已知直线过定点，求参数关系式或取值范围 3 【题型 3】 双直线相交定点问题 7 【题型 4】一次函数动点型线段定值 14 【题型 5】一次函数几何面积定值 20 【题型 6】定点定值综合探究题 33 二.同步检测 43 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 44 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 49 （三）解答题（本大题共8小题，每小题9分，共36分） 56 一.方法梳理与题型精析 【基本方法梳理】含参数的一次函数恒过定点，方法是化为的形式。 例如：一次函数恒过定点，求定点坐标，则化成，这样就得到从而求出定点坐标。 【题型 1】含参一次函数恒过定点（基础） 题型：给出含的一次函数解析式，求证或求直线必过定点；考法：分离参数法、特值法求定点坐标。 【例题1】（24-25八年级上·上海·月考）若k为任意实数，直线．必过一定点，此定点坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．由变形为，则当时无论取什么值，都等于，所以对任意实数，直线必过一定点． 解： 当时，， 此定点坐标为， 故答案为． 【变式1】（2025·陕西·模拟预测）在平面直角坐标系中，有直线，则该直线过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征等知识点，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 将变形为，则可得出该点的坐标； 解：∵， ∴直线必经过定点， ∴直线恒过一点，则该点的坐标是， 故选：A． 【变式2】（2026·江苏南京·模拟预测）一次函数经过定点______． 【答案】 【分析】将一次函数解析式整理为关于参数的多项式形式，根据定点的定义，无论参数取何值，点的坐标都满足解析式，因此令含项的系数为，即可求解得到定点坐标． 解：将给定一次函数解析式变形得， 因为一次函数经过定点，即无论取任意实数，等式恒成立， 所以令的系数为，即：， 解得 ， 将代入解析式，得 ， 因此该一次函数恒过定点． 【变式3】（25-26八年级下·福建泉州·期中）一次函数无论k取何值，它的图象总是过一个定点，此点坐标为_________． 【答案】 【分析】将一次函数解析式整理为关于的等式，根据无论取何值等式恒成立，令的系数为零，即可求解得到定点坐标． 解：对进行整理得， ∵无论取何值，等式恒成立， ∴令， 解得， 将代入解析式，得 因此该定点坐标为． 故答案为：． 【题型 2】已知直线过定点，求参数关系式或取值范围 题型：已知含参一次函数经过某固定点，代入坐标，求参数之间的等式关系或参数取值范围。 【例题2】（25-26八年级下·河北衡水·期中）如图，直线经过，两点，已知，点是线段上一动点（可与点，重合）；直线（为常数）经过点，交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）无论为何值时直线过定点，直接写出定点坐标________； （3）在点的移动过程中，直接写出的取值范围________． 【答案】（1）；（2）；（3）或且 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据时，可得答案； （3）求出直线经过点B和经过点D时k的值，以及直线与直线平行时k的值，结合函数图象可得答案． 解：（1）解：设直线的函数表达式为， 由题意得，， ∴， ∴直线的函数表达式为； （2）解：在中，当时，， ∴直线过定点； （3）解：当直线恰好经过点B时，则，解得， 当直线与直线平行时，则， 当直线恰好经过点D时，则，解得， ∴由函数图象可知，或且． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）已知直线始终过定点，直线经过点和点，则直线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 先求出点的坐标，然后用待定系数法即可求解． 解：∵直线始终过定点， 当时，， 即直线始终过点， ∴， 将和代入直线中，有： ， 解得：， ∴直线的表达式为． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，有两点、和一条直线， （1）直线恒过的定点坐标是___________； （2）若直线与线段有且只有一个交点，则的取值范围是______________． 【答案】 ； 【分析】本题考查一次函数的定点问题以及一次函数与线段的交点问题，关键在于掌握恒过定点的求法，以及通过计算直线经过线段端点时的值来确定的取值范围． （1）对于直线，令含的项的系数为0，即可求出恒过的定点坐标； （2）先分别求出直线经过线段的两个端点、时的值，再结合定点与线段的位置关系，确定直线与线段有且只有一个交点时的取值范围． 解：（1）解：对于直线，当时，无论取何值，， ∴直线恒过的定点坐标是； 故答案为：． （2）解：当直线经过点时，将，代入， 得，解得； 当直线经过点时，将，代入， 得，解得； ∵直线恒过定点， ∴结合线段的位置可知，当直线的系数满足时，直线与线段有且只有一个交点． 故答案为：． 【变式3】（2026·河北张家口·一模）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为和，直线：恒过定点． （1）求定点的坐标； （2）当直线和线段有交点时，求的取值范围； （3）若直线和线段所在直线交于点，点的横坐标为，请用含的代数式表示，并求出当是正整数时，整数k的所有值． 【答案】（1）；（2）的取值范围是且；（3），整数k的值为， 【分析】（1）将函数解析式变形为，可得当时，，不管取任何不为0的值，均成立，即可得到定点的坐标； （2）将，分别代入直线，解得，，即可得到的取值范围是且； （3）先利用待定系数法求出线段所在直线的函数解析式为，再由点是直线和直线的交点，得到，整理得到，进而推出当是正整数时，的值可以是1，5，即可求解整数k的所有值． 解：（1）解：∵， 当时，，不管取任何不为0的值，均成立， ∴定点的坐标为； （2）解：当直线经过点时，将代入，得，解得， 当直线经过点时，将代入，得，解得， ∴的取值范围是且； （3）解：设所在直线的函数解析式为， 将，代入，得，解得， ∴线段所在直线的函数解析式为， ∵点是直线和直线的交点， ∴， ∴， 当是正整数时，的值可以是1，5， ∴整数k的值为，． 【题型 3】 双直线相交定点问题 题型：两条直线解析式都含参数，且参数满足关系式，证明两直线交点为定点。 【例题3】（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点，与x轴交于点C． （1）求m的值及直线的解析式： （2）求的面积； （3）已知经过某一定点，且与x轴交于点E，当时，直接写出该定点与点E的距离． 【答案】（1），；（2）8；（3）或 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象和性质、勾股定理求两点坐标距离，分类讨论和数形结合是解题的关键． （1）把代入中求出m的值，得到点B的坐标，再利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）求出点的坐标为，根据三角形面积公式即可得到答案； （3）根据一次函数解析式可得过定点，根据x轴上的点E， ，则，进而根据勾股定理，即可求解． 解：（1）解：把代入中，解得， ∴， 将，代入中， 得 解得， ∴直线的解析式为； （2）令，解得， ∴点的坐标为， ∴； （3） ∴当时，， ∴该定点为， ∵ ∴ 当时，该定点与点E的距离为： 当时，该定点与点E的距离为： 综上所述，该定点与点E的距离为或 【变式1】（25-26八年级上·浙江台州·期末）一次函数（为常数，）的图象记作，一次函数的图象记作，对于这两个图象，有以下几种说法： ①：经过定点； ②当与有公共点时，的取值范围是； ③当时，与所在的直线平行，且平行线之间的距离为； 以上说法中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，勾股定理，等面积法，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质．说法①通过代入定点验证；说法②通过联立方程求范围；说法③利用勾股定理和等面积法验证． 解：① 将点代入，得，即，故①正确； ② 当时，得，整理得， 解得， ， 当时，，当时，， ，故②正确； ③ 当时，， ， 与所在的直线平行， 如图，设与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点，过点作于点，交于点， 与所在的直线平行， ， 在，令，则，令，则， 在中，令，则，令，则， ，，，， ，，，， ，， ，， ，， ，， ， 即与所在的直线平行，且平行线之间的距离为，故③正确； 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，已知正比例函数的图象与x轴相交所成的锐角为，定点A的坐标为，P为y轴上的一个动点，M、N为函数的图象上的两个动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称，最短问题，垂线段最短，直角三角形角的性质，勾股定理，利用轴对称性，找到正确的的位置是解答本题的关键． 作直线与轴关于直线对称，直线与直线关于轴对称，点是点关于直线的对称点，作，作，此时最小，即，在中，利用勾股定理得到答案． 解：如图，直线与轴关于直线对称，直线与直线关于轴对称，    点是点关于直线的对称点， 作，垂足为，交轴于点，交直线于点，作， ∴，， ， 此时最小， 在中， ，，， ∴， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·江苏盐城·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的正半轴交于点，与轴交于点，的面积为4，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度在射线上运动，动点从出发，沿轴的正半轴与点同时以相同的速度运动，过作轴交直线于． （1）求直线的解析式； （2）当点在线段上运动时，设的面积为，点运动的时间为秒，求与的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）； （3）过点作轴交直线于，在运动过程中（点不与点重合），是否存在某一时刻（秒），使是以为顶点的等腰三角形？若存在，求出时间的值； （4）无论取何值，直线是否过定点，若该定点存在，求的值．若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，；（4）过定点， 【分析】（1）根据三角形的面积公式求出，确定A的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先表示出点P、Q，再表示出，求出，然后利用直角三角形的面积公式解答即可； （3）先求出，再根据是以为顶点的等腰三角形，得出，列出关于t的方程，解方程即可． （4）变形，得出当时，，说明直线过定点，根据，求出结果即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， 则， ∴点， 将点、的坐标代入一次函数表达式：得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：； （2）解：∵动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度在射线上运动，动点从出发，沿轴的正半轴与点同时以相同的速度运动， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 把代入得：， ∴， ∴； （3）解：存在；把代入得：， ∴， ∵是以为顶点的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； （4）解：∵， ∴当时，， ∴直线过定点， 根据解析（2）可知， ． 【点拨】本题主要考查了一次函数综合题型，主要利用了三角形的面积、待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的定义，两点之间距离公式，利用平方根解方程，解题的关键在数形结合． 【题型 4】一次函数动点型线段定值 题型：点在定直线上运动，某条线段长、两条线段和或差始终不变，求这个定值。 【例题4】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，点是一次函数图象上一点．过点P分别作x轴，y轴的垂线段，垂足为点A，B． （1）矩形的周长是否为定值？若是请求出此定值，若不是，请说明理由； （2）连接，的周长是否为定值？若是请求出此定值，如不是，请求出其最小值． 【答案】（1）矩形的周长是定值，为20，理由如下；（2）不是定值，有最小值为． 【分析】（1）根据一次函数图象上的点的坐标特点得到，再根据矩形周长公式进行求解即可； （2）根据题意可得当最小即时的周长最小，利用等面积法求出最小值即可得到答案． 解：（1）解：矩形的周长是定值，为20，理由如下： ∵点是一次函数图象上一点， ∴， ∴， ∴矩形的周长， ∴矩形的周长是定值，为20． （2）解：不是定值， ∵， ∴当最小即时的周长最小， 设一次函数与x轴，y轴分别交于D、C， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的周长的最小值为， ∴的周长不是定值，有最小值为．    【点拨】本题主要考查了一次函数与几何综合，熟知一次函数图象上的点一定满足一次函数解析式是解题的关键． 【变式1】（2024·江苏常州·一模）直线与直线（为常数，且）交于点，当的值发生变化时，点到直线的距离总是一个定值，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，平行线的知识．根据题意，先求出交点的坐标，得出点的轨迹，再判断出直线与直线平行即可． 解：由得 为常数 点在直线上 点到直线的距离总是一个定值 直线与直线平行 ． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·江苏扬州·月考）直线与直线（是常数，且）交于点A，当的值发生变化时，点A到直线的距离总是一个定值，则的值是________． 【答案】3 【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，平行线的判定，得出点A的轨迹，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．先求得交点A的坐标，即可求出点A的轨迹，进而判断出直线直线与直线平行，即可求出m的值． 解：∵直线与直线（是常数，且）交于点A， 解析式联立 解得，，， ∴ ∴， 当m为一个的确定的值时，是的正比例函数， 即：点A在直线上， ∵点A到直线的距离总是一个定值， ∴直线与直线平行， ∴， ∴ 故选：C． 【变式3】（24-25八年级下·四川·期末）如图，直线和直线交于点，与轴的交点分别为．点为直线上一动点（不与点重合），过点分别作轴和直线的垂线，垂足分别是点． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）若点在的边上移动，问线段与线段的和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由； （3）若，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）是等腰三角形，理由见分析；（2）线段与线段的和为定值，为，理由见分析；（3）点的坐标为或 【分析】（1）求出直线和直线交点，与轴的交点分别为，利用两点之间距离公式求出三边长即可得到答案； （2）连接，如图所示，从而，再由（1）中，解方程即可得到答案； （3）分三种情况：当点P在线段上时，由（2）中，当时，得到，从而确定直线上点的纵坐标为时，解方程即可得到点的坐标；当点P在线段延长线上时，则可得，从而可求得此时点P的坐标；当点P在线段反向延长线上时，则可得，此种情况不存在． 解：（1）解：是等腰三角形． 理由如下： 直线和直线交点， ，即，解得，则， ， 直线和直线与轴的交点分别为， 当时，，解得，即；当时，，解得，即； ；；， ，即是等腰三角形； （2）解：线段与线段的和为定值，为． 理由如下： 连接，如图所示：    、、， ， 过点分别作轴和直线的垂线，垂足分别是点， ， 由（1）知，则，解得； （3）解：当点P在线段上时，由（2）中知，当时，得到， 直线上点的纵坐标为时，，解得， 点的坐标为． 当点P在线段延长线上时，如图，连接， ∵， ∴， ∴， 直线上点的纵坐标为时，，解得， 点的坐标为； 当点P在线段反向延长线上时，则可得，则，此种情况不存在． 综上，点的坐标为或． 【点拨】本题考查一次函数综合，涉及求直线与坐标轴交点、求直线的交点、三角形形状的判断、两点之间距离公式、等面积法、求直线上点的坐标等知识，熟练掌握一次函数图像与性质，掌握常见题型的解法是解决问题的关键．注意分类讨论． 【题型 5】一次函数几何面积定值 题型：一次函数与坐标轴围成三角形，或直线上动点构成三角形或四边形，面积恒为定值，求值或证明。 【例题5】（24-25七年级下·湖北孝感·期末）如图，已经为轴上的两点，且满足，将线段平移得到线段，其中点的对应点恰好落在轴正半轴上，三角形的面积为4． （1）求D，C两点的坐标； （2）连接与轴交于点，求点的坐标； （3）若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向上平移运动，同时点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，当点到达点后两点停止运动，若射线交轴于点，设三角形与三角形的面积差为，问：是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由． 【答案】（1）；；（2）；（3）是定值；3 【分析】本题考查了实数的非负性，平移的性质，待定系数法求解析式，解析式求与坐标轴的交点，分割法求面积，熟练掌握待定系数法，平移性质是解题的关键． （1）根据，确定A，B两点的坐标，根据三角形的面积，确定点D的坐标，继而确定平移方式，解得点C的坐标即可； （2）待定系数法求得的解析式，根据解析式与坐标轴的交点问题解答即可； （3）利用分类思想，结合图形的面积分割法表示，建立等式解答即可． 解：（1）解：， ， 解得：， ， ， 点D的坐标为， 由平移性质可知，， 点C的坐标为； （2）解：设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， 故直线的解析式为， ∴． （3）解：结论：S的值是定值3，理由如下： ①如图，当点在线段上时，连接． 设运动时间为t秒， 由题意：， ， ， ， ， ； ②如图，当点在上时，连接． 由①可知， ， 综上所述，S的值是定值3． 【变式1】（24-25九年级上·湖北武汉·月考）已知直线a：与x轴交于点P、与y轴交于点Q （1）直线a经过定点A，则点A的坐标为：　 　（直接写出结果） （2）直线b：与y轴交于点M，与直线a交于点B，判断的面积是否为定值，若是定值，求的面积；若不是，说明理由． （3）如图，过点Q在第二象限内作线段，且，连接，取的中点D．当k满足时，求点D运动的路径长． 【答案】（1）；（2）的面积为定值，面积为；（3） 【分析】（1）对于，令，求出y的值，即可解答； （2）分别求出，，，从而得出，再结合三角形面积公式求解即可； （3）过A作轴于M，连接，过D作交的延长线于点N．先证明点D的运动轨迹为直线，再求出，进而即可求解． 解：（1）解：对于，令，则， ∴直线a经过定点，即点A的坐标为． 故答案为：； （2）解：对于，令，则， ∴． 联立，解得：， ∴． 对于，令，则， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为定值，且面积为； （3）解：如图，过A作轴于M，连接，过D作交的延长线于点N．    ∵，点D为中点， ∴． 又∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴，   ∴，，，， ∴点D的运动轨迹为直线． ∵为等腰直角三角形，轴， ∴． 当时，； 当时，， ∴点D运动的路径长为． 【点拨】本题属于一次函数综合题．考查一次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，两点的距离公式等知识．解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质．在解（3）时正确作出辅助线也是解题关键． 【变式2】（25-26八年级上·四川达州·月考）如图1，已知在中，，边在x轴上，点C在y轴上，，B的坐标为，点K是y轴上一个动点，它的坐标是，直线交直线于点P． （1）求直线的表达式； （2）若，点Q为直线上一点，且平分，求Q的坐标； （3）如图2，连接，以为直角边作等腰直角（O、P、M三点按照逆时针顺序排列），使得，． ①试说明在点K的运动过程中，的面积是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由； ②点K从C运动到O的过程中，点M的运动路径长为 ． 【答案】（1）；（2）；（3）6 【分析】（1）先分别求出、两点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）证明得，再求出直线、的解析式，联立求得，根据中点即可求解； （3）①作，，垂足为、，分点在上方和点在下方两种情况证明在经过点且平行于轴的直线上运动，从而可得，即可得解；②当与点重合时，点与点重合，点与点重合，证四边形是平行四边形，得，当与点重合时，、、三点重合，由①得，利用全等三角形的性质即可得解． 解：（1）解：∵，的坐标为，， ∴，， ∴，， ∴的坐标为，的坐标为， 设直线的表达式为：， ∵直线过点和， ∴， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解： 又 ， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， 是的中点， 设直线的解析式为：， ∵直线过和， ∴， 解得， ∴表达式为：， 设直线为：， ∵直线过和， ∴， 解得， ∴表达式为： 联立 解得， ， 设 ， 解得， ∴； （3）解：①作，，垂足为、， （Ⅰ）当在上方时， ∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ，， ，， ∴， ， 轴， （Ⅱ）当在下方 同理证得 ∴轴， ∴在经过点且平行于轴的直线上运动 ∴； ②当与点重合时，点与点重合，点与点重合， 由①得，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当与点重合时，、、三点重合， 由①得， ∴， ∴点M的运动路径长为． 【点拨】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的交点，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，坐标与图形，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握一次函数的解析式，一次函数的交点，全等三角形的判定及性质以及平行四边形的判定及性质是解题的关键． 【变式3】（24-25八年级下·浙江金华·开学考试）如图1，已知在中，，边在轴上，点在轴上，，的坐标为，点是轴上一个动点，它的坐标是，直线交直线于点． （1）求直线的表达式； （2）若，点为直线上一点，且平分，求的坐标； （3）如图2，连接，以为直角边作等腰直角（、、三点按照逆时针顺序排列），使得，． ①试说明在点的运动过程中，的面积是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由； ②点从运动到的过程中，点的运动路径长为___________． 【答案】（1）；（2）；（3）①24；②12 【分析】（1）根据坐标与图形性质，结合等腰直角三角形的判定与性质求得，，然后利用待定系数法求解表达式即可； （2）证明得到，故只需求得点P坐标即可，分别求得直线、的表达式，联立方程组即可求得点P坐标，进而利用中点坐标公式求解即可； （3）①作，，垂足为、，分在上方和在下方两种情况，利用全等三角形的判定与性质和平行线的判定和性质证明轴，然后利用等底等高的三角形的面积相等求解即可； ②分与点重合时和与点重合时的的长，进而可求解． 解：（1）解：∵的坐标为， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∵， ∴，则， 设直线的表达式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的表达式为； （2）解：如图， ∵， ∴， ∴，又， ∴是等腰直角三角形， ∴，又， ∴，则， ∵平分， ∴，又， ∴， ∴； 设直线的表达式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的表达式为； 同理，求得直线的表达式为， 联立方程组，解得， ∴， 设， ∵，， ∴，则， ∴； （3）解：①作，，垂足为、， （I）当在上方时， ，，， ， 则，， ， ， ， ，， ∵，， ， ， ， ， 轴， （II）当在下方时， 同理证明得到，轴， 在经过点且平行于轴的直线上运动， ； ②当与点重合时，点与点重合，点与点重合，则， ∵，， ∴，又轴， ； 当与点重合时，、、三点重合， 由①得， ， 点的运动路径长为， 故答案为：12． 【点拨】本题考查待定系数法求函数解析式、坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加合适辅助线，利用数形结合与分类讨论思想求解是解答的关键． 【题型 6】定点定值综合探究题 题型：一次函数结合几何图形、轴对称、平移，先求定点，再利用定点求解线段、面积定值。 【例题6】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线过定点A．与y轴交于点B，过点A作轴于点C． （1）直接写出定点A的坐标为______； （2）如图1，点，连接，当时，连接，若，且在左侧存在点使得，求点B和点E的坐标； （3）如图2，当时，直线交x轴于点F，平移直线交x轴正半轴于点G，交y轴负半轴于点H，连接，交y轴正半轴于点M．当时，求证：为定值． 【答案】（1）；（2）；；（3）证明见分析 【分析】（1）把转化为k的一元一次方程无数解问题求解即可； （2）先证明，确定点B的坐标，过B作，交的延长线于点，过点作轴于点，再证明，确定的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，代入求解即可； （3）过A作于点N，先证明，设的解析式为，设的解析式为，求得解析式，表示相应的线段，后代入计算即可． 解：（1）解：变形得， ∵过定点， ∴的解有无数， ∴， 解得， 故直线过定点， 故答案为：． （2）解：由题意得：，， ， ， 在和中 ∵， ， ， 故， 故B坐标为 ，， ， ， 如图1，过B作，交的延长线于点，过点作轴于点， 则，，， 故，， 在和中， ， ，， ， 设直线的解析式为：，根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为：， 把代入得， 解得， 的坐标为． （3）解：如图2，过A作于点N， ， ， 又且， ， ， ， 设的解析式为， 令，则， 设的解析式为，代入A和G的坐标得： ， 解得：， 的解析式为， ， ， ， ，为定值． 【点拨】本题考查了直线过定点，一元一次方程有无数解，待定系数法求解析式，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，平移，熟练掌握待定系数法，平移，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，如下是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程. 问题呈现：过点的直线（k、c为常数且）分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A和B，探究并说明是定值 （1）特例探究，如图1，过点的直线（k、c为常数且）分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A和B，则点A的坐标为______，点B的坐标为______，的值为______； （2）一般证明： ①时，直接写出______； ②求出的值； （3）如图2，已知，，点M在x轴的正半轴上，过点M且不与y轴平行的直线l交直线于第一象限点N，若总有，请探究：直线l是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果否，请说明理由． 【答案】（1）、；1；（2）①1；②1；（3）直线过定点 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及一次函数的图象和性质，函数表达式的求解等，按题设的顺序逐次求解是解题的关键． （1）由求出点、的坐标分别为：、，得出，再代入计算即可； （2）①点、的坐标分别为、，得，，把点代入得：，当，时，求出，再代入计算即可； ②由①知，，，，再代入计算即可； （3）运用待定系数法分别求出直线的表达式和直线的表达式为，联立方程组，求出交点坐标，根据两点间距离公式求出，，代入，求得，进一步可得答案． 解：（1）解：当，则；当，则，解得， ∵直线分别交轴和轴于点和， ∴点、的坐标分别为：、， ∴， 则． 故答案为：、；1； （2）解：①当，则；当，则，解得， ∵直线分别交轴和轴于点和， ∴点、的坐标分别为：、， ∴，， 将点的坐标代入一次函数表达式得：， ∴当，时，， ∴， 故答案为：1； ②由①知，，，， 则； （3）解：设直线的表达式为：， 则，解得， ∴， 设直线的表达式为：， 联立上述两式得：， 解得：，则点， 由点、的坐标得，，则， 同（2）可求点，则， ，即， 解得：，则， 当时，，即直线过定点． 【变式2】（2024·广东·模拟预测）如图，正方形的边、在坐标轴上，点B的坐标为．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接，过点P作的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．与y轴交于点E，连接．设点P运动的时间为． （1）的度数为 ，点D的坐标为 （用t表示）． （2）在P，Q的运动过程中，直线的解析式发生变化吗?如果变化，请说明理由；如果不变，请直接写出直线的解析式． （3）探索的周长是否随时间t的变化而变化，若变化，说明理由；若不变，试求这个定值． 【答案】（1），；（2）不变，；（3）不变，值为8 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的性质与判定、求一次函数解析式等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． （1）证明，得到为等腰直角三角形，据此求解即可； （2）由（1）可知，结合题意可知，然后运用待定系数法即可解答； （3）如图，将绕点按顺时针方向旋转，得到，再证可得，然后运用正方形的周长公式即可解答． 解：（1）解：由题可得：， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴, ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； ∵, ∴点D的坐标为， 故答案为：，． （2）解：直线的解析式不变，且解析式为； ∵， ∴设直线直线的解析式为，则有，解得：， ∴直线的解析式为； （3）解：的周长不随时间的变化而变化． 如图，将绕点按顺时针方向旋转，得到， ∴ ， ∴． ∵， ∴点H在的延长线， ∵， ∴． ∴． ∴的周长． 【变式3】（24-25八年级下·四川成都·月考）在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，如下是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程． 问题呈现过点的直线为常数且分别交轴的正半轴和轴的正半轴于点和，探究并说明是定值． （1）特例探究如图1，过点的直线分别交轴和轴于点和，求的值； （2）一般证明 ①时，直接写出_____； ②求出的值； （3）类比推广如图2，已知，点在轴的正半轴上，过且不与轴平行的直线交直线于第一象限点，若总有，请探究：直线是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果否，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①1；②1；；（3）是， 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及一次函数的图象和性质，函数表达式的求解等知识，解题的关键是： （1），，则； （2）①先求出点、的坐标分别为：、，将点的坐标，，代入一次函数表达式得：，然后代入计算可； ②由①知，，，，则； （3）待定系数法求出直线的表达式为，设直线的表达式为：，联立方程组求出点，求出，，代入，整理得，即可求解． 即可求解． 解：（1）解：当，则；当，则，解得， ∵直线分别交轴和轴于点和， ∴点、的坐标分别为：、， ∴，， 则； （2）解：①当，则；当，则，解得， ∵直线分别交轴和轴于点和， ∴点、的坐标分别为：、， ∴，， 将点的坐标代入一次函数表达式得：， ∴当，时，， ∴， ∴， 故答案为：1； ②由①知，，，， 则； （3）解：设直线的表达式为：， 则， 解得 ∴， 设直线的表达式为：， 联立上述两式得：， 解得：，则点， 由点、的坐标得，，则， 同（2）可求点，则， ，即， 解得：， 则， 当时，， 即直线过定点． 二.同步检测 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 1．（24-25八年级下·河北承德·期末）已知函数，则此函数图像过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，对于一次函数，令，则，即可求出定点坐标． 解：当时，， ∴函数图像过定点． 故选：B． 2．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）在一次函数的研究过程中，甲、乙同学得到如下结论：甲认为当时，随的增大而增大；乙认为无论取何值，函数必定经过定点则下列判断正确的是（   ） A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确 C．甲乙都正确 D．甲乙都错误 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，依据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，即可得到正确结论． 解：当，，即y随x的增大而减小，故甲的说法错误； 在中，当时，， 即无论k取何值，函数必定经过定点，故乙的说法正确． 故选：B． 3．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，一次函数与的图象，下列说法正确的有几个（    ） ①；②的图象，随自变量的增大而减少；③不论为何值，一次函数的图象总过定点；④方程组的解是． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质与图象可判断①②，根据一次函数解析式可判断③，根据二元一次方程组的解与一次函数的交点坐标之间的关系可判断④． 解：由图象可知：，故①正确； 由可知的图象，随自变量的增大而减少，故②正确； ∵， ∴当，即时，， ∴不论为何值，一次函数的图象总过定点，故③正确； ∵一次函数与的图象交于， ∴方程组的解是，故④正确； 综上，正确的有4个． 4．（24-25八年级上·四川达州·期中）关于直线l： ，下列说法不正确的是（      ） A．点在l上 B．l经过第二、三、四象限 C．l经过定点 D．当时，y随x 的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质．解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质． 对于A，C两选项，根据函数图象上的点一定满足函数解析式，分别将两点的横坐标代入解析式，计算y值看是否等于纵坐标，即可； 再利用一次函数的k值的正负决定图象经过的象限及增减性，即可判断B、D的正误． 解：A、当时，，即点在l上，故A正确，不符合题意； B、当时，经过第一、二、三象限，故B不正确，符合题意； C、当时，，即经过定点，故C正确，不符合题意； D、当时，随的增大而减小，故D正确，不符合题意． 故选：B． 5．（24-25八年级上·四川成都·期末）关于一次函数，下列结论错误的是（　　） A．y的值随x值的增大而减小 B．图象过定点 C．函数图象经过第二、三、四象限 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质．当时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；反之，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小． 解：A、∵， ∴， ∴， ∴y随x的增大而减小； 故A正确，不符合题意； B、当时，， ∴该一次函数图象过定点， 故B正确，不符合题意； C、∵，， ∴该函数图象经过第二、三、四象限， 故C正确，不符合题意； D、∵当时，，y随x的增大而减小， ∴当时，， 故D不正确，符合题意； 故选：D． 6．（24-25八年级下·江苏南通·期中）直线与直线（是常数，且）交于点，当的值发生变化时，点到直线的距离总是一个定值，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，平行线的判定，先求得交点的坐标，即可求出点的轨迹，进而判断出直线与直线平行，即可求出的值．得出点的轨迹，利用方程的思想解决问题是解本题的关键． 解：直线与直线（是常数，且）交于点， 解析式联立解得，， 解得， ， ，， ， 点在直线上， 点到直线的距离总是一个定值， 直线与直线平行， ， ． 故选：C． 7．（24-25九年级上·四川内江·月考）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点是线段上一定点，点分别为直线和轴上的两个动点，当周长的最小值为6时，点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作关于轴的对称点，作关于直线的对称点，连接，连接交于，交轴于，此时周长最小，由得，，，，根据、关于对称，进而得出，设，则，进而根据勾股定理即可求解． 解：作关于轴的对称点，作关于直线的对称点，连接，连接交于，交轴于，如图：    ，， ，此时周长最小为， 由得，， ，是等腰直角三角形， 、关于对称， ， ， 设，则 在中， 即 解得：（负值舍去） 即 故选：B． 【点拨】本题考查与一次函数相关的最短路径问题，解题的关键是掌握用对称的方法确定周长最小时，、的位置． 8．（2026·贵州·一模）如图，小红利用人工智能设计了一个小游戏：计算机屏幕上会随机地出现一些图形，过定点沿直线向图形射去，如果某时刻屏幕上出现的图形为矩形，其中，，，那么为了击中矩形，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点，然后分别求出直线过点A以及点C时k的值，即可． 解：∵四边形为矩形，， ∴，， ∵，， ∴轴，， ∴点， 当直线过点时，， 解得：； 当直线过点时，， 解得：； ∴k的取值范围是． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9．（25-26八年级上·四川成都·月考）一次函数 图象过定点，定点坐标为_________． 【答案】（1, 0） 【分析】本题考查的是一次函数图像上的点的特征，熟练掌握一次函数上的各点一定适合此函数的解析式是本题关键， 将一次函数解析式变形，提取参数 ，得到 ，可知当 时，无论 取何值， 恒为 0，因此定点坐标为 ． 解：由 ，得 ， 当 时，， 故函数图象恒过定点 ． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·安徽合肥·月考）（1）无论为何值，一次函数的图象必过一定点，此定点坐标为：______； （2）函数的图象如图所示，若一次函数的图象和它有两个交点，则的取值范围是：______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，分类讨论是解答本题的关键． 由题意可知，当时，一次函数的图象必过一定点； 画图分析有两个交点的情况，可得． 解：由题意可知， 当时，一次函数的图象必过一定点， 故答案为：； 如图所示，当时，直线过二、三、四象限，此时直线的图象与函数图象的交点不多于个， 时，一次函数的图象和它有两个交点， 直线的图象不能与函数的图象平行， ， ． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）直线．无论k取除1外的任何数，都经过一个定点，定点坐标为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数综合题，利用函数与k值无关得出k的系数等于零，不含k的项等于零是解题关键． 将原直线方程化成关于k的直线方程，再让k的系数等于零，不含k的项等于零，据此可列出关于x、y二元一次方程组，然后求解即可． 解：将两边同乘以得：， 整理得：， 令，解得： ， ∴直线必经过定点 ． 故答案为：． 12．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数（为常数，） （1）（为常数，）的图像恒经过一个定点，这个定点坐标是______； （2）平面直角坐标系中有三个点，，，若该直线将分成左右面积之比为的两部分，则的值为______． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． （1）将该一次函数解析式整理为，易得当时，，即可获得答案； （2）根据直线将分成左右面积之比为的两部分，可知，确定点坐标，然后代入函数解析式并求解即可． 解：（1）∵， ∴当时，， ∴直线恒过点； （2）设直线与轴交于点，如下图， ∵直线将分成左右面积之比为的两部分， ∴ ∵，，， ∴， ∴， ∴， 将点代入， 可得，解得． 故答案为：（1）；（2）3． 13．（24-25八年级下·北京海淀·期中）已知一次函数，当系数k取不同的值时，会得到不同的直线，这些直线都经过一个定点C，此定点C的坐标为 __________；若坐标系中两点，，一次函数的图象与线段有交点，则k的取值范围是 ____________________． 【答案】 且 【分析】先将一次函数解析式变形为，即可确定定点坐标；把A点和B点坐标分别代入计算出对应的k的值，然后利用一次函数图象与系数的关系确定k的范围． 解：， 当， ∴无论k取何值，该函数的图象总经过定点C的坐标为； 把代入得，解得， 把代入得，解得， ∵的图象总经过定点C的坐标为， ∴一次函数的图象与线段有交点时，k的取值范围为且． 故答案为：；且． 【点拨】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是运用数形结合的思想进行转化解题． 14．（24-25八年级上·安徽合肥·月考）无论 m 取任何实数，一次函数必过一定点，此定点坐标为____ ；线段 AB 的端点分别为 A（1，3），B（3，0），一次函数图像与线段 AB 相交，则m 的取值范围是____． 【答案】 / 【分析】将代入得：，即可求出定点坐标，画出图象，求出m的临界值，即可求出结果， 解：将代入得：， ∴此定点坐标为； 把A（1，3）代入得：，解得：， 把B（3，0）代入得：，解得：， ∴m 的取值范围是． 【点拨】本题主要考查了一次函数的图象和性质，根据题意画出图象，求出m的临界值，是解题的关键． 15．（25-26八年级上·四川成都·月考）无论k为何值，一次函数的图像恒过定点_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． 将一次函数解析式化为关于k的一元一次方程，根据方程有无数解解答即可． 解：函数可化为， ∵无论k为何值，一次函数的图像恒过一定点， ∴， 解得， ∴无论k为何值，一次函数的图像恒过定点． 故答案为：． 16．（25-26八年级上·安徽蚌埠·月考）在平面直角坐标系中，线段的端点是，，直线． （1）直线恒过一定点，该点的坐标为________． （2）若直线与线段有交点，则k的取值范围为________． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质， （1）通过因式分解提取，令求得定点坐标； （2）利用直线过定点，利用待定系数法解得直线、直线的解析式，结合一次函数的图像与性质确定的取值范围． 解：（1）直线方程可化为， 当时，，与无关， 故恒过定点； （2）如下图，设直线恒过定点， 由（1）可知，， 设直线的解析式为，将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析为， 结合一次函数的图像与性质，可知若直线与线段有交点，则k的取值范围为或． 故答案为：（1）；（2）或． （3） 解答题（本大题共8小题，每小题9分，共36分） 17．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数． （1）为何值时，函数图象经过点？ （2）若一次函数的函数值随的增大而减小，求的取值范围； （3）直接写出一次函数的图象经过定点坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、根据一次函数的增减性求参数、解一元一次方程和解一元一次不等式等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． （1）将点代入一次函数，可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案； （2）根据该函数的增减性，可得，求解即可获得答案; （3）将解析式整理得，求得当时，，据此即可得解． 解：（1）解：将点代入一次函数， 可得， 解得， ∴当时，函数图象经过点； （2）解：若一次函数的函数值随的增大而减小， 则有， 解得， ∴的取值范围为； （3）解：， 当时，， ∴一次函数的图象经过定点． 18．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）已知一次函数，其系数满足； （1）若该函数的图像经过点，请求出函数的表达式； （2）已知这个函数图像经过一个定点，请求出这个定点的坐标． 【答案】（1）；；（2） 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数以及一次函数的性质： （1）先把代入，结合，建立方程组，即可作答． （2）先得，再把代入，得，即可作答． 解：（1）解：将点代入函数中，且，可得： ， 解得， 函数表达式为： （2）解：由，可得：，并代入函数表达式得： 则当时，，所以定点为 19．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，如下是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程． 问题呈现：过点的直线（k，c为常数且）分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A和B．探究并说明是定值． （1）特例探究：如图1，过点的直线分别交x轴和y轴于点A和B，求的值； （2）一般证明： ①时，直接写出______；，时，直接写出______； ②求出的值； （3）类比推广：如图2，已知，，点M在x轴的正半轴上，过M且不与y轴平行的直线l交直线于第一象限点N，若总有，请探究：直线l是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果否，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①，1；②1；（3）是，． 【分析】（1），，则； （2）①点、的坐标分别为：，、，即可求解； ②由①知，，，，则； （3）求出，，即可求解． 本题考查的是一次函数综合运用，涉及一次函数的图象和性质，函数表达式的求解等，按题设的顺序逐次求解是解题的关键． 解：（1）解：直线分别交轴和轴于点和，则点、的坐标分别为：、， 则，， 则； （2）解：①将点的坐标代入一次函数表达式得：， 则点、的坐标分别为：，、， 当时，即，则， 则，，则； 当，时，同理可得：， 故答案为：，1； ②由①知，，，， 则； （3）解：由点、的坐标得，直线的表达式为：，设直线的表达式为：， 联立上述两式得：， 解得：，则点，， 由点、的坐标得，，则， 由直线的表达式知，点，，则， ，即， 解得：， 则， 当时，， 即直线过定点． 20．（24-25八年级上·四川成都·期中）给出如下定义：在平面直角坐标系中，已知平面内一定点，若对于一点，有点与点关于点对称，即为线段的中点，则称点为点关于点的完美对称点．例如：若已知定点，则对于点，有，因为点与点关于点对称，则可得关于的完美对称点． （1）若定点，点，则关于点的完美对称点的坐标为______； （2）在（）的条件下，若点，在直线上有一点使得，求点的坐标； （3）已知定点，对任意的点关于定点的完美对称点为． ①的坐标为______， ②连接，若的最小值为，则的值为______． 【答案】（1）；（2）或；（3）①；②2或 【分析】（）根据定义可得，设，由是线段中点，利用中点公式得到，，据此即可求解； （）利用待定系数法求得直线的函数解析式为，设，可得，进而由可得，解方程即可求解； （）①由新定义得出，设，然后根据中点坐标公式求解即可； ②根据P、T的坐标表示可推出对应的直线解析式、，得出两直线平行，两直线之间的距离即为最小值，进一步解答即可得解． 解：（1）解：∵点，点， ∴，即， 设， ∵是线段中点， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 设， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当时，解得； 当时，解得； ∴或； （3）解：①∵点，点， ∴， 设， ∵点是线段中点， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：； ②设， ∵点是线段中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴点P在直线上， ∵， ∴点T在直线上， ∴这两条直线平行， ∴平行线间的距离即为的最小值，设直线与x轴交于点D，与y轴交于点A，设直线与与y轴交于点B，过点B作于点C，如图， 对于，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵的最小值为， ∴， ∴， ∵对于，当时，， ∴或， 解得：或， 故答案为：2或． 【点拨】本题考查了新定义对称点，中点坐标公式，待定系数法法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，等腰直角三角形的判定与性质，一次函数的几何应用，解绝对值方程，理解新定义是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $