专题 23.7 一次函数复习专题——待定系数法求解析式（方法梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 23.7 一次函数复习专题——求一次函数解析式（方法梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.方法梳理与题型精析 1 【题型 1】运用概念求一次函数解析式 1 【题型 2】已知正比例关系求一次函数解析式 3 【题型 3】待定系数法求一次函数解析式 5 【题型 4】利用直线的平移求一次函数解析式 8 【题型 5】利用直线绕某点旋转求一次函数解析式 10 【题型 6】利用直线平行或垂直求一次函数解析式 14 【题型 7】利用面积法求一次函数解析式 17 【题型 8】利用一次函数增减性（最值）求解析式 21 【题型 9】利用实际问题建模求一次函数解析式 25 二.同步检测 29 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 29 （二） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 36 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 41 一.方法梳理与题型精析 【题型 1】运用概念求一次函数解析式 解题方法：利用正比列函数或一次函数定义，明确一次函数（、为常数，）正比例函数（、是常数，），通过求出其参数，从而达到解题目的。 【例题1】（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）若是关于的正比例函数，求该正比例函数的解析式． 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义即可求解，一般地，两个变量x、y之间的关系式可以表示成形如的函数（k为常数，x的次数为1，且），那么就叫做正比例函数． 解：∵是关于的正比例函数， ∴， 解得． ∴该正比例函数的解析式为． 【点拨】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·湖北荆州·月考）已知函数（为常数）是正比例函数，则该函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的定义，根据正比例函数的定义可得，进一步求解可得函数解析式，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且自变量次数为． 解： 由题知： ， 解得： ， ∴该函数的表达式是 ， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级·全国·假期作业）已知函数y＝（k2﹣4）x2+（k+1）x是正比例函数，且y随x的增大而减小，求这个正比例函数的解析式． 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义，可得答案． 解：由题意得：， 解得：k＝﹣2， ∴这个正比例函数的解析式为y＝﹣x． 【点拨】本题考查了正比例函数的定义，解题的关键是能够根据正比例函数的一般形式列出算式． 【变式3】（24-25八年级下·四川宜宾·月考）已知是关于的一次函数，则一次函数解析式是__________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如的函数，叫做一次函数，会利用的指数构造方程，会利用限定字母的值是解题关键． 根据一次函数的定义得到且，据此求出的值即可． 解：是关于的一次函数， 且， 解得：， 一次函数解析式是， 故答案为：． 【题型 2】已知正比例关系求一次函数解析式 若两个代数式成正比例，可设关系式为；常见形式为y与含x的代数式成正比例，设出关系式后本质为一次函数，需用待定系数法求解比例系数。 【例题2】（24-25八年级下·湖北荆门·期中）已知与x成正比例，与成正比例．当时，；当时，． （1）求这两个函数的解析式； （2）当时，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】此题考查待定系数法求函数解析式，解方程组，已知解析式求函数值，正确理解题意是解题的关键． （1）设，，再建立方程组，求出与即可； （2）先求出当时的与，再代入计算即可． 解：（1）解：∵与x成正比例，与成正比例． ∴设，， 当时，；当时，， ∴，解得； 所以这两个函数的解析式分别为：， （2）当时，，， ∴ ． 【变式1】（24-25八年级下·广东·月考）已知，与成正比例，与成正比例，且当时，；当时，，则关于的函数解析式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法、求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 由与成正比例，与成正比例，可设出两个比例系数不同的正比例函数，再将其代入到中，就得到了关于的解析式，最后将两个点代入解析式，求解系数即可得出结果． 解：与成正比例，与成正比例， ，， ， 当时，；当时，， ， 解得，， ． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·山东德州·月考）若与成正比例，且时，，则y关于x的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，待定系数法求出的值即可． 解：由题意，设， ∵时，， ∴， 解得：； ∴， ∴； 故选B． 【点拨】本题考查求一次函数的解析式，熟练掌握正比例函数的定义，是解题的关键． 【变式3】（24-25八年级上·浙江金华·月考）已知，与成正比例，与成正比例，且当时，；时，． （1）求关于的函数解析式； （2）求出当时的函数值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查求函数解析式、求函数值等知识点，掌握待定系数法成为解题的关键． （1）设，则，然后根据当时，；时，求解即可； （2）将代入（1）中解析式求解即可． 解：（1）解：设， 则， 当时，；当时，， 可知，整理得，解得． 故函数解析式为． （2）解：当时，． 【题型 3】待定系数法求一次函数解析式 解题方法： （1）设（设解析式）：设一次函数解析式为：（为常数，）； （2）代（代入已知点）：把题目给出的两个点的坐标，分别代入解析式，得到关于 的二元一次方程组； （3）解（解方程组）：解方程组，求出和的值； （4）写（写出解析式）：把求出的出、 代回，写出最终的一次函数解析式。 【例题3】（25-26八年级下·山东日照·期中）下表中，是的一次函数． 0 1 2 3 5 3 1 （1）请求出与之间的函数关系式； （2）__________，__________； （3）请判断点和是否在一次函数图象上． 【答案】（1）；（2）；；（3）不在图象上；在图象上 【分析】（1）用待定系数法设出一次函数解析式，代入已知点求出系数，得到关系式； （2）将代入关系式可求出m的值，将代入关系式可求出n的值； （3）将点的横坐标代入关系式，验证函数值是否相等，判断点是否在图象上即可． 解：（1）解：设一次函数关系式为，代入和得 ， ， ∴； （2）解：将代入，得，即； 将代入，得，即； （3）解：将点代入，，故不在图象上； 将点代入，，故在图象上． 【变式1】（25-26七年级下·四川攀枝花·期中）在中，当时，；当时，；则当时，y的值为（　　） A．2 B． C． D．5 【答案】B 【分析】先求出函数解析式，再将代入解析式计算即可． 解：∵在中，当时，，当时，， ∴代入得方程组， 解得， ∴函数解析式为， 将代入解析式，得． 【变式2】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知直线上的点与点，则k的值为_______． 【答案】/0.5 【分析】利用待定系数法求解即可． 解：由题意，将点与点代入， 则 由下式减上式得， 解得． 【变式3】（2026·江苏泰州·一模）已知函数的图像经过点和 （1）求这个函数的表达式； （2）若点和都在这个函数的图像上，当时，试判断与的大小关系并说明理由． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将点和点代入得出关于k、b的方程组，然后解方程组，求出k、b的值，即可得出答案； （2）根据一次函数的增减性进行判断即可． 解：（1）解：将点和点代入得：， 解得：， ∴这个函数的表达式为； （2）解：∵， ∴随x的增大而减小， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【题型 4】利用直线的平移求一次函数解析式 解题方法：设解析式：，（1）当直线沿轴向上平移个单位解析式为：；向下平移个单位解析式为：；（2）当直线沿轴向左平移个单位解析式为：；向右平移个单位解析式为：. 【例题4】（24-25八年级下·北京东城·期末）已知一次函数的图象经过点和． （1）求该一次函数的解析式； （2）平移该函数图象，使它经过点，求出平移后的一次函数的解析式，并写出一种平移方法． 【答案】（1）；（2）；向上平移个单位（或其他合理平移，如先右移再上移等，只要最终得到即可 ） 【分析】此题主要是考查了利用待定系数法求一次函数的解析式和一次函数的平移，能够熟练掌握待定系数法是解答此题的关键． （1）设一次函数的解析式为，把点和代入解析式求得与的值即可； （2）设平移后的直线表达式为．把代入求出m的值，对比原解析式与平移后，通过纵坐标变化确定平移方向和距离，如向上平移个单位（或其他合理组合平移 ）． 解：（1）解：设一次函数的解析式为， 一次函数的图象经过点和， ， 解得． 一次函数的解析式为． （2）设平移后的直线表达式为． 把代入得到，， 解得， ∴平移后的直线表达式为． 平移方法：原函数，要得到，需向上平移个单位（或其他合理平移，如先右移再上移等，只要最终得到 ）． 【变式1】（24-25八年级下·全国·期末）一次函数的图象平移后经过点，则平移后的函数解析式为  （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图像与几何变换，根据平移不改变的值可设，然后将点代入即可得出直线的函数解析式．解题的关键是掌握：求一次函数平移后的解析式时要注意平移时的值不变． 解：设平移后的函数表达式是， ∵它经过点， ∴， 解得：， ∴平移后的函数解析式为． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·北京·期中）已知直线经过和，把直线沿轴向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到直线，则直线的解析式为_____． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质，待定系数法求一次函数解析式；先求出原直线上两个点平移后的坐标，再利用待定系数法即可求解直线的解析式． 解：根据题意可得：平移后得到点，平移后得到点， 设直线的解析式为， 将两点坐标代入得， 解得， 因此直线的解析式为． 【变式3】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知直线经过点． （1）求直线的解析式； （2）若将直线向左平移个单位长度，直接写出平移后直线的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查一次函数的待定系数法求解析式以及图象平移规律图象平移规律“左加右减、上加下减”要准确理解和运用，这里左右平移改变自变量，上下平移改变函数值． （1）利用待定系数法，将已知点代入函数表达式求解； （2）依据一次函数图象平移规律“左加右减、上加下减”来计算平移后的解析式． 解：（1）解：把点代入， ， ，， 直线的解析式为； （2）将直线向左平移个单位长度， 直线的解析式为， 直线的解析式为． 【题型 5】利用直线绕某点旋转求一次函数解析式 解题方法：（1）构造三垂直全等，求出旋转后对应点坐标；（2）用定点+新点，两点式求解析式。 【例题5】（23-4八年级下·河南南阳·期末）已知一次函数的图象经过点和，若将这个函数图象绕原点顺时针旋转，求旋转后的函数解析式． 【答案】 【分析】首先求出原一次函数的表达式，然后求出与x轴和y轴的交点坐标，然后利用待定系数法求解． 解：设一次函数解析式为， 则， 解得， 所以一次函数解析式为． 设与轴和轴分别交于点和点，则，， 所以，绕原点顺时针旋转的点为， 设 代入得， 解得， 所以一次函数解析式为． 【变式1】（2025·陕西西安·二模）若把一次函数y＝kx+b的图象先绕着原点旋转180°，再向右平移2个单位长度后，恰好经过点A（4，0）和点B（0，﹣2），则原一次函数的表达式为（　　） A．y＝﹣x﹣1 B．y＝﹣x+1 C．y＝x+1 D．y＝x﹣1 【答案】C 【分析】设直线AB的解析式为y=kx+b，根据题意，得，得到直线解析式为y＝x-2，将其向左平移2个单位，得到y＝x-1，绕着原点旋转180°，得解． 解：设直线AB的解析式为y=kx+b， 根据题意，得， 解得， ∴直线解析式为y＝x-2， 将其向左平移2个单位，得y＝（x+2）-2， 即y＝x-1， ∴与y轴的交点为（0，-1），与x轴的交点为（2,0）， ∵绕着原点旋转180°， ∴新直线与与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（-2,0）， ∵设直线的解析式为y=mx+1， ∴-2m+1=0， 解得m=， ∴y＝x+1， 故选C． 【点拨】本题考查了一次函数的图像平移，旋转问题，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，将直线绕点逆时针方向旋转，则旋转后的直线与轴的交点坐标为____． 【答案】/ 【分析】设直线绕点逆时针方向旋转为直线：，过点作交于点，过点作轴，先求得点和点坐标，然后证明，得到，，从而得出点的坐标，然后利用待定系数法，求得和，最后算得旋转后的直线与轴的交点坐标． 解：设直线绕点逆时针方向旋转为直线：，过点作交于点，过点作轴，如图所示： 直线与坐标轴分别交于，两点， 时，；时，； ，， ，， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 将，代入，得， ， ， 时，， 旋转后的直线与轴的交点坐标为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形内角和，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握以上知识点并构造出等腰直角三角形是解题的关键． 【变式3】（2025八年级上·江苏·专题练习）（1）直线与轴的交点坐标为　　； （2）把直线沿着轴正方向平移2个单位后的直线解析式为　　； （3）将（2）中平移后的直线绕坐标原点顺时针旋转，求旋转后的直线解析式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）令，得出，解关于x的方程即可得出答案； （2）根据平移特点得出解析式即可； （3）求出直线与坐标轴的交点，然后再求出旋转后的坐标，用待定系数法求出解析式即可． 解：（1）令得， ， ∴与x轴的交点坐标为：； 故答案为：； （2）直线沿着轴正方向平移2个单位后，， ； 故答案为：； （3）将，代入得：，， 解得：， ∴直线与坐标轴的交点为：，， ∴这两个点绕坐标原点顺时针旋转后的坐标为：，， 令旋转后的直线解析式为，把，代入得：， 得， ， 旋转后的直线解析式为：． 【点拨】本题主要考查了求一次函数解析式，与坐标轴的交点，求出旋转后对应点的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式，是解题的关键． 【题型 6】利用直线平行或垂直求一次函数解析式 设两条直线：，；则有：； 【例题6】（24-25八年级下·广东广州·期中）已知两直线：，：， 若，则有 若，则有， 若，则有 若，则有， （1）应用：已知与平行，则______； （2）应用：已知与垂直，则______； （3）直线经过，且与平行，求该直线解析式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据，则有求解即可； （2）根据，则有求解即可； （3）根据题意设该直线解析式为，然后利用待定系数法求解即可． 本题考查了两直线垂直和平行问题，待定系数法求函数解析式，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：（1）∵与平行， ∴； （2）∵与垂直， ∴ ∴； （3）∵直线经过，且与平行， 设该直线解析式为 将代入得， 解得 ∴该直线解析式为． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）若一次函数的图象与直线平行，且经过直线与轴的交点，则该一次函数的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两直线平行的问题，熟记平行直线的解析式的值相等设一次函数解析式是解题的关键． 由平行得斜率相同，为；求已知直线与轴交点，代入点求出，即可得到该一次函数的解析式． 解：∵ 一次函数与 平行， ∴ 斜率 ， 设解析式为 ． ∵ 它经过 与轴的交点， 令 ，得 ，解得 ， ∴ 交点为 ． 代入 ，得 ， ∴ ． ∴ 解析式为 ． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·安徽宣城·期中）与直线垂直且过点的直线解析式是____________． 【答案】 【分析】根据互相垂直的两条直线的值的乘积为，设直线的解析式为：，再将点，代入求解即可． 解：由题意，设直线的解析式为，将点代入，得：， ∴； 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·山东威海·期末）规定：①若两条直线，平行，则，； ②若两条直线，垂直，则； ③点到直线的距离． 如图所示，已知直线与轴轴分别交于点，，分别交轴轴于点，，且点坐标为． （1）点坐标______；点到直线的距离为______； （2）若直线于点，交轴与点，求解析式． 【答案】（1），；（2） 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象和性质等知识，读懂题意是解题的关键． （1）由题意可设直线为，代入点C的坐标求出直线的解析式，进一步求出点坐标，根据题意利用公式直接求出点到直线的距离即可； （2）根据题意可设直线为，代入点C的坐标求出即可． 解：（1）解：∵，直线 ∴可设直线：， 把点坐标代入得到，， 解得， ∴直线：， 当时，， ∴点的坐标为， 根据题意可得，点到直线的距离为， 故答案为：， （2）∵直线于点，直线 ∴可设直线为， 把点坐标代入得到，， ∴ ∴解析式为． 【题型 7】利用面积法求一次函数解析式 解题方法：（1）设：设一次函数解析式；（2）求：求出直线与坐标轴的交点坐标（含参数k、b）；（3）列：代入面积公式，利用绝对值列方程或分类讨论列方法；（4）解：解方程求出k、b的值，写出所有符合条件的解析式。 【例题7】（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在△AOB中，∠ABO=90°，OB=4，AB=8，直线y=-x+b分别交OA、AB于点C、D，且ΔBOD的面积是4． （1）求直线AO的解析式； （2）求直线CD的解析式． 【答案】（1）y=2x；（2） 【分析】（1）由OB=4，AB=8，∠ABO=90°，得A点坐标为（4，8），通过待定系数法，求得直线AO的解析式． （2）由OB=4，∠ABO=90°，=4，求得D点的坐标，再通过待定系数法，求得直线CD的解析式． 解：（1）解：∵OB=4，AB=8，∠ABO=90°， ∴A点坐标为（4，8）， 设直线AO的解析式为y=kx，则4k=8 ， 解得k=2，即直线AO的解析式为y=2x． （2）解：∵OB=4，∠ABO=90°，=4， ∴DB=2， ∴D点的坐标为（4，2）， 把D（4，2）代入得： 解得=6， ∴直线CD的解析式为． 【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，准确求得相关点坐标，熟练运用待定系数法是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·福建泉州·期末）已知直线的解析式是，直线的解析式是，两直线交于点A，直线交x轴于点B，若的面积为2，则k的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据可确定交点的坐标，进一步即可求解． 解：∵， ∴直线经过点， 且点也在直线: 上， 故点， ， ∴； 当点时，则， 解得：； 当点时，则， 解得：． 故选：D 【点拨】本题考查一次函数的交点问题．将适当变形是解题关键． 【变式2】（24-25八年级下·上海徐汇·期中）已知直线与坐标轴围成的三角形面积是6，且经过（3，0），则这条直线的解析式为___________． 【答案】或 【分析】先根据面积求出三角形在y轴上边的长度，再分正半轴和负半轴两种情况讨论求解． 解：根据题意，设与y轴交点坐标为（0，b） 则×3×|b|＝6， 解得|b|＝4， ∴b＝±4 ①当b＝4时，与y轴交点为（0，4） ∴ ，解得 ， ∴函数解析式为； ②当b＝−4时，与y轴的交点为（0，−4） ∴ ，解得 ， ∴函数解析式为． ∴这个一次函数的解析式是或． 故答案为：或． 【点拨】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，先根据三角形面积求出与y轴的交点，再利用待定系数法求函数解析式，本题需要注意有两种情况． 【变式3】（24-25八年级下·山东滨州·期末）（1）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，直线交直线于点B，若的面积是，试求的解析式； （2）如图，四边形为菱形，点E为上的一点，请用无刻度直尺在上截取一点M，使得，并说明理由． 【答案】（1） ； （2）见分析 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，菱形的性质，全等三角形的判定和性质； （1）先求出点A的坐标，进而根据面积求出点B的坐标，代入直线的解析式求出k值解答即可； （2）连接和交于点O，连接并延长交于点M，点M 即为所作；然后根据菱形的性质，利用证明即可得到结论． 解：（1）令时，， 解得， ∴点A的坐标为， ∴， 又∵， 解得， 将代入得， ∴点B的坐标为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）如图，点即为所作； 理由：∵四边形是菱形， ， ， ， ， ． 【题型 8】利用一次函数增减性（最值）求解析式 已知一次函数当，求解析式： （1）假设k>0：若随增大而增大，则把，代入两点列方程； （2）假设k<0：若随增大而减小，则把，代入两点列方程； （3）求出两种情况，符合题意就保留。 【例题8】（25-26八年级上·浙江台州·月考）已知一次函数（k为常数，且） （1）若点在一次函数的图象上． ①求k的值． ②设，则当时，求P的最大值． （2）若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式． 【答案】（1）①；②P的最大值为6；（2）一次函数解析式为或． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征． （1）①把已知点的坐标代入中即可得到k的值； ②用x表示P得到，根据一次函数的性质，时，P的值最大，然后计算自变量为所对应的函数值即可； （2）当时，，，则，当时，，，则，然后分别解方程求出k，从而得到对应的一次函数解析式． 解：（1）解：①把代入得：， 解得； ②当时，， ∴， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，时，P的值最大， 当时，， 即P的最大值为6； （2）解：当时，，， ∵， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 当时，，， ∵， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 综上所述，一次函数解析式为或． 【变式1】（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）已知一次函数（为常数），若当时，函数有最大值，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】先根据一次函数的性质，再根据最大值对应的自变量取值代入计算即可求解． 解：∵一次函数中，， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当取最小值时，取得最大值， 将，代入函数得：， 解得． 【变式2】（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）直线经过点，当时，y的最大值为6，则的值为________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． 先根据直线经过点得到，再分或两种情况结合当时，y的最大值为6进行求解即可． 解：∵直线经过点， ∴， 由题意得，， 当时，则y随x增大而增大，且y的最大值为6， ∴当时，， ∴， 联立①②得， ∴； 当时，则y随x增大而减小，且y的最大值为6， ∴当时，， ∴， 联立①③得， ∴， 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【变式3】（24-25八年级下·云南大理·期末）已知关于的一次函数的图象为直线． （1）证明：无论为何值，直线总经过点； （2）当时，函数最大值与最小值的差为6，求的解析式． 【答案】（1）见分析；（2）的解析式为或． 【分析】本题考查求一次函数解析式，一次函数的性质，不等式等知识点，理解题意，列出方程及不等式是解决问题的关键． （1）将整理得，当时，，即可求解； （2）分两种情况：当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，根据增减性求得最大值与最小值，即可求解． 解：（1）解：∵， ∴当时，， ∴无论为何值，直线总经过点； （2）解：， 当时，随增大而增大， 则当时，，为最小值， ，为最大值， ∵函数最大值与最小值的差为6， ∴， 解得：， 此时，的解析式为； 当时，随增大而减小， 则当时，，为最大值， ，为最小值， ∵函数最大值与最小值的差为6， ∴， 解得：， 此时，的解析式为； 综上，的解析式为或． 【题型 9】利用实际问题建模求一次函数解析式 （1）实际问题中，两个变量满足线性变化关系，可建模为一次函数； （2）常见实际背景：行程问题、收费问题、利润销售、调配方案、油箱剩油、工程工作量等； （3）隐含要求：实际问题自变量有实际取值范围。 【例题9】（25-26八年级下·全国·课后作业）蜡烛点燃后消耗的长度与燃烧时间之间的函数解析式为．已知长为的蜡烛燃烧后，蜡烛变短，求： （1）y与x之间的函数解析式； （2）此蜡烛点燃多长时间后可燃烧完． 【答案】（1）；（2）此蜡烛点燃后可燃烧完 【分析】（1）根据蜡烛燃烧后，变短，代入求出k即可； （2）蜡烛燃烧完即，代入求出x即可． 解：（1）解：由题意，得， 解得， 与x之间的函数解析式为； （2）解：当时，即， 解得， ∴此蜡烛点燃后可燃烧完． 【变式1】（25-26八年级下·山东临沂·月考）平行四边形的周长为34厘米，两条邻边中较长的一条边长为y厘米，较短的一条边为x厘米，则y与x之间的函数解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的周长公式列式化简可得，再根据求出的取值范围即可． 解：由题意得：， ∴， ∵平行四边形的两条邻边中较长的一条边长为厘米，较短的一条边为厘米， ∴，即， ∴， ∴与之间的函数解析式是． 【变式2】（24-25八年级下·河北保定·开学考试）某商场销售一种儿童滑板车，经市场调查，售价（元/件）、每星期销量（件）之间的函数解析式为；售价（元/件）与单件利润（元）之间的关系如图所示． （1）与之间的函数解析式为______；（不必写范围） （2）若某星期该滑板车单件利润为25元，则本星期该滑板车的销量为______件． 【答案】 / 1300 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确求出与之间的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）先由与之间的函数解析式求出当时的售价，再由售价（元/件）、每星期销量（件）之间的函数解析式即可求解该滑板车的销量． 解：（1）解：设与之间的函数解析式为， 代入得， ， 解得：， ∴与之间的函数解析式为， 故答案为：； （2）解：当时，， ∴（件）， 故答案为：1300． 【变式3】（2025·河南周口·三模）劳动教育是学生德智体美劳全面发展的主要内容之一，植树节前，某校团委计划带领全校学生在光山上种植800棵树，现有两家树苗基地，树苗基地最多可以提供300棵树苗，每棵8元；树苗基地最多可以提供700棵树苗，每棵7元．汽车每千米的运输费用（单位：元）与运输树苗数量（单位：棵）的关系如图所示． （1）根据图象求出关于的函数解析式（写出自变量的取值范围）． （2）已知树苗基地到光山的路程为200千米，树苗基地到光山的路程为400千米，设该校在树苗基地购买棵，购买800棵树苗的总费用为元（总费用购买树苗费用运输费用），求出关于的函数解析式，及总费用最低的购买方案． 【答案】（1）；（2）该校在A树苗基地购买100棵，在B树苗基地购买700棵总费用最低 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，掌握一元一次不等式组的解法和一次函数的增减性是解题的关键． （1）按照的取值范围，分别求出每千米每棵树苗的运输价格，从而写出对应函数关系式即可； （2）该校在B树苗基地购买棵，根据题意列关于x的一元一次不等式组并求其解集，由不等式的基本性质求出的取值范围，根据总费用=购买A基地的树苗费用+汽车从A基地到光山的运输费用+购买B基地的树苗费用+汽车从B基地到光山的运输费用写出w关于x的函数解析式，由一次函数的增减性，确定当x取何值时w值最小，再求出此时的值即可． 解：（1）解：依题意，当时，每千米运输价格为（元/棵） 则； 当时，设 把代入， 得 解得 ∴ ∴． （2）解：依题意，该校在B树苗基地购买棵， ∵ 树苗基地最多可以提供300棵树苗， 树苗基地最多可以提供700棵树苗， ∴， 解得， ∴， 由（1）得， 依题意，， ∵， ∴随的增大而增大 ∵ ∴当时，的值最小， 即 ∴（棵） 即该校在A树苗基地购买100棵，在B树苗基地购买700棵总费用最低． 二.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25八年级下·云南昆明·期中）若某正比例函数图象经过点，则该正比例函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数，设正比例函数的解析式为，把点代入求解即可． 解：设该正比例函数的解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴， 故选：D． 2．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）某个一次函数的图象与直线平行，并且经过点，则这个一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行时一次函数的k相等，用待定系数法设出解析式，代入已知点坐标求出参数即可得到结果． 解：∵一次函数图象与直线平行， ∴设该一次函数解析式为， ∵函数经过点， ∴将代入解析式得，解得， ∴该一次函数解析式为 ． 3．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向下平移单位长度后恰好经过点，则的值为（   ） A．3 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】先根据一次函数图象的平移规律得到平移后的函数解析式，再将已知点的坐标代入解析式求解的值即可． 解：将向下平移个单位长度后，得到的函数解析式为： ∵平移后的图象经过点， ∴将，代入解析式得： ， 整理得 ， 解得 ． 4．（2026·安徽阜阳·二模）已知一次函数的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据一次函数的增减性确定的取值范围，再将各选项点的坐标代入解析式求出，判断是否符合要求即可． 解：∵一次函数中，随的增大而减小， ∴， A、当时，代入解析式得，解得，不符合，不符合题意； B、当时，代入解析式得，解得，不符合，不符合题意； C、当时，代入解析式得，解得，符合题意； D、当时，代入解析式得，解得，不符合，不符合题意． 5．（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴正半轴上，四边形是菱形，已知点C的坐标为，则直线的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，勾股定理． 先由勾股定理求出的长，得出点A的坐标，然后用待定系数法求解即可． 解：∵点C的坐标为， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 设直线的函数解析式， 把，代入，得 ， ∴， ∴． 故选C． 6．（24-25八年级上·广东梅州·期中）下面的函数解析式，可以代表下表中数据的是（　　） x 3 8 y 0 5 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据给定数据，利用待定系数法求出一次函数表达式是解题的关键． 解：设一次函数的解析式为． 将，代入得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为． 故选：B． 7．（2026·陕西西安·三模）已知点和点关于y轴对称，一次函数的图象经过点P，则k的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题先利用关于y轴对称的点的坐标性质求出点P的坐标，再将点P代入一次函数解析式计算k的值即可． 解：∵点和点关于轴对称， ∴，即点坐标为， ∵一次函数的图象经过点， ∴ 将代入得：， 解得． 8．（24-25八年级下·山西忻州·月考）某超市购进一批儿童玩具，经市场调研发现每日销售数量（个）是销售单价（元）的一次函数，与的部分数据如下表： 销售单价元 每日销售数量个 根据上述信息可知，关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式，设关于的函数解析式为，把和代入得，然后求出的值即可，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 解：设关于的函数解析式为， 把和代入得：， 解得：， ∴关于的函数解析式为， 故选：A． 9．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，直线的解析式为，与x轴交于点B，直线经过点，与直线交于点，且与x轴交于点A，在上存在一点P，使的面积是面积的，则P点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式．将代入得到，即可求出的值，得到，利用待定系数法求得直线的解析式；再求出点的坐标，求得；由题意得出或，分别代入中进行计算即可． 解：在中，当时，， ， 设直线的解析式为：， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为； 在中，当时，， 解得：， ， 在中，当时，， 解得：， ， ， ； 的面积是面积的， ， ， ， 或， 当时，，解得：，即， 当时，，解得：，即， 综上所述，在上存在一点，使的面积是面积的，或． 故选：C． 10．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图所示，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段为边，在第二象限内作等腰直角，，则过B、C两点直线的解析式为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些知识是解题的关键． 过点作轴，可证得，从而得到，，可得到，再由和，即可求解． 解：如图，过点作轴， 则， 对于直线，令，得到， 即，， 令，得到， 即，， ∵为等腰直角三角形， 即，， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， 即， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ， 解得 ， ∴过B、C两点的直线对应的函数表达式是， 故选：B． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026八年级下·全国·专题练习）已知一次函数的图象经过，两点，则一次函数的解析式为___________． 【答案】 【分析】设一次函数的一般形式（），利用待定系数法，将已知两点坐标代入该式，构建关于、的二元一次方程组，解方程组求得、的值后，即可确定一次函数的解析式． 解：设一次函数解析式为， 将，代入解析式，可得， 解得， ∴一次函数的解析式为． 12．（2025八年级上·江苏·专题练习）已知直线经过和，把直线沿轴向左平移个单位，再向下平移一个单位得到直线，则直线的解析式为________． 【答案】 【分析】本题考查由平移方式确定点的坐标，求一次函数解析式． 根据平移方式，可得和平移后的坐标，利用待定系数法，即可得直线的解析式． 解：，， ∴沿轴向左平移个单位，再向下平移一个单位可得， ，， ∴沿轴向左平移个单位，再向下平移一个单位可得， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为． 故答案为：． 13．（25-26八年级下·北京·期中）已知直线经过和，把直线沿轴向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到直线，则直线的解析式为_____． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质，待定系数法求一次函数解析式；先求出原直线上两个点平移后的坐标，再利用待定系数法即可求解直线的解析式． 解：根据题意可得：平移后得到点，平移后得到点， 设直线的解析式为， 将两点坐标代入得， 解得， 因此直线的解析式为． 14．（24-25八年级下·吉林·期末）已知直线l1的解析式为y＝2x﹣6，若直线l2与直线l1平行，且过点（0，6），则直线l2的解析式为 _____． 【答案】y＝2x+6． 【分析】设出直线l2的解析式，代入点（0，6），求出直线l2的解析式即可． 解：由题意设直线l2的解析式为：y＝2x+b， 将（0，6）代入方程得：b＝6， 故直线l2的解析式为：y＝2x+6． 故答案为：y＝2x+6． 【点拨】本题考查了两条直线平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，数形结合是解题的关键． 15．（24-25八年级上·江西抚州·期末）直线与平面直角坐标系的x轴、y轴分别交于A，B两点，直线经过B点，且与x轴交于点C，当时是等腰三角形时（举例：直线的解析式为时，就是等腰三角形，此时，请写出符合条件的直线的解析式_________．（直线除外） 【答案】或或 【分析】根据题意，分别求得的坐标，继而求得的长，根据等腰三角形的性质求得点的坐标，进而求得直线的解析式． 解：∵直线与平面直角坐标系的x轴、y轴分别交于A，B两点， 令，解得 令，解得 , ①当时，则 设过点的解析式为 解得 ②当时，或 或 设过点的解析式为 解得 设过点的解析式为 解得 ③当时，设 解得 设过点的解析式为 解得 综上所述，或或 故答案为：或或 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，求一次函数解析式，勾股定理求两点距离，分类讨论是解题的关键． 16．（25-26八年级上·上海·期中）已知正比例函数，当自变量的取值范围，相应的函数值的范围，则这个正比例函数的解析式为___________． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质以及求解析式问题，熟知正比例函数的性质是解题的关键．根据正比例函数的性质，分和两种情况讨论，通过代入自变量取值范围的端点值，计算的值并验证是否一致． 解：当时，y随x的增大而减小， ∴自变量取最小值时函数值取最大值，自变量取最大值时函数值取最小值． 由题意，当时，；当时，． 代入，得 ，解得 ； ，解得 ． 值一致，符合题意． 当 时，代入端点值时值不一致，故舍去． 因此正比例函数解析式为， 故答案为：． 17．（25-26八年级下·福建福州·期中）一次函数，当时，，则一次函数的解析式为_________． 【答案】或 【分析】由于的符号不确定，需分和两种情况进行讨论，利用一次函数的增减性和待定系数法分别求解即可． 解：当时，一次函数中随的增大而增大， 当时，， 当时，；当时，， ，解得， 一次函数解析式为； 当时，一次函数中随的增大而减小， 当时，， 当时，；当时，， ，解得， 一次函数解析式为． 18．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图，已知直线交轴于点，交轴于点，直线与直线相交于点，则直线的解析式______． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，把代入，求出，得到，再用待定系数法求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 解：把代入，得：， ∴， ∴， 把，代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）已知一次函数的图象过点，且与直线平行． （1）求这个一次函数的解析式． （2）若另一条直线与此一次函数关于 y 轴对称，求另一条直线的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，轴对称的性质等知识点． （1）设一次函数的解析式为，由平行得到，再将点代入即可求解； （2）求出直线上两点关于y 轴的对称点，再由待定系数法求解即可． 解：（1）解：设一次函数的解析式为， ∵该函数图象与直线平行， ∴， ∵一次函数的图象过点， ∴将代入，则， 解得， ∴该一次函数的解析式为； （2）解：对于直线，当， ∴直线经过点， ∴点，关于轴对称的点为，， ∵直线经过点，， ∴该直线关于轴对称的直线经过点，， 设关于轴对称的直线表达式为：， 则， 解得， ∴关于轴对称的直线表达式为． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·江苏苏州·月考）求下列的解析式： （1）若将直线向右平移3个单位，求所得直线的解析式． （2）如果点在直线上，并且当时，．求这条直线的解析式． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）根据“上加下减，左加右减”的平移方法进行解答即可； （2）注意分两种情况进行计算解题． 解：（1）解：将直线向右平移3个单位的解析式为： ； （2）①当随的增大而增大时，则把点和点代入得： ，解得， ∴函数关系式为； ②当随的增大而减小时，则把点和点代入得： ，解得， ∴函数关系式为； 综上所述，这条直线的解析式为或． 【点拨】本题考查待定系数法求函数解析式，掌握平移的法则是解题的关键． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·湖北黄冈·月考）根据条件求函数解析式： （1）已知直线上经过点，求直线的解析式； （2）已知一次函数图象经过两点，求一次函数的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法，准确计算． （1）利用待定系数法求出函数的解析式即可； （2）先射出函数的解析式，然后将两点代入求出k、b的值，即可得出答案． 解：（1）解：把点代入解析式得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：设，把点的坐标分别代入， 得：， 解得 ∴y与之间的函数关系式为：． 22．（本小题满分10分）（2025八年级下·全国·专题练习）已知直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为18． （1）当这条直线与直线平行时，求其解析式； （2）当这条直线与轴的交点坐标为时，求其解析式． 【答案】（1）或；（2）或 【分析】本题考查了两直线相交或平行问题，一次函数图象上点的坐标特征，（1）熟记平行直线的解析式的值相等是解题的关键，（2）要注意求出直线与轴交点坐标后分情况讨论． （1）根据平行直线的解析式的值相等可得，然后求出直线与坐标轴的交点，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解； （2）设直线与轴的交点到原点的距离为，然后利用三角形的面积求出，再分两种情况写出与轴的交点坐标，然后代入直线解析式计算即可得解． 解：（1）解： 直线与直线平行，， ，令，得，令，得， 解得，解得， 直线解析式为或． （2）解：设直线与轴的交点到原点的距离为，则，解得， 直线与轴的交点坐标为或． 直线与轴的交点坐标为， 直线解析式为，把代入，得，把代入，得， 直线解析式为或． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·广东深圳·期中）一次函数 （1）若函数图象经过原点，求的值； （2）若函数图象平行于直线，求该函数的解析式； （3）在（1）的条件下，将函数的图象向下平移3个单位，直接写出平移后的直线解析式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先根据一次函数定义得出，又因为一次函数经过原点，把原点坐标代入，由此即可求解； （2）因为两条直线，则比例系数相等，由此即可求解； （3）根据函数图象平移规律“上加下减”，即可求解． 解：（1）解：∵函数图象经过原点， ∴把代入一次函数中得， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的值为； （2）解：∵函数图象平行于直线， ∴， ∴， ∴， ∴该函数的解析式为； （3）解：在（1）的条件下，， ∴原函数解析式为：， ∵将函数的图象向下平移3个单位， ∴平移后的直线解析式为． 【点拨】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，两条直线平行，一次函数的性质和平移规律等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·广西南宁·期末）阅读理解：已知直线的解析式为（为常数），直线的解析式为（为常数），若，则有． （1）已知直线与直线垂直，求的值； （2）若直线经过点，且与直线垂直，求直线的函数解析式； （3）已知直线与轴、轴分别相交于点，求线段的垂直平分线所对应的函数解析式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由材料中，若，则有，结合直线与直线垂直，列式求解即可得到答案； （2）由材料中，若，则有，结合直线与直线垂直，设直线的表达式为，利用待定系数法求解即可得到答案； （3）由直线与轴、轴分别相交于点，求出、，进而得到的中点坐标为和，由材料中若，有，设线段的垂直平分线的表达式为，利用待定系数法求解即可得到答案． 解：（1）解：∵直线与直线垂直， ∴， 解得； （2）解：∵直线与直线垂直， ∴设直线的表达式为， 将代入得， 解得， ∴直线的表达式为； （3）解：直线与轴、轴分别相交于点， 当时，，即； 当时，，解得，即； 的中点为， 直线，即， 设线段的垂直平分线的表达式为， 将代入得，解得， ∴线段的垂直平分线的表达式为． 【点拨】本题考查阅读理解，涉及直线垂直时的关系、待定系数法求直线表达式、一次函数图象与性质、中点坐标公式等知识，读懂题意，理解，有是解决问题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 23.7 一次函数复习专题——求一次函数解析式（方法梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.方法梳理与题型精析 1 【题型 1】运用概念求一次函数解析式 1 【题型 2】已知正比例关系求一次函数解析式 2 【题型 3】待定系数法求一次函数解析式 2 【题型 4】利用直线的平移求一次函数解析式 3 【题型 5】利用直线绕某点旋转求一次函数解析式 4 【题型 6】利用直线平行或垂直求一次函数解析式 4 【题型 7】利用面积法求一次函数解析式 5 【题型 8】利用一次函数增减性（最值）求解析式 6 【题型 9】利用实际问题建模求一次函数解析式 7 二.同步检测 8 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 8 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 10 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 11 一.方法梳理与题型精析 【题型 1】运用概念求一次函数解析式 解题方法：利用正比列函数或一次函数定义，明确一次函数（、为常数，）正比例函数（、是常数，），通过求出其参数，从而达到解题目的。 【例题1】（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）若是关于的正比例函数，求该正比例函数的解析式． 【变式1】（24-25八年级下·湖北荆州·月考）已知函数（为常数）是正比例函数，则该函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级·全国·假期作业）已知函数y＝（k2﹣4）x2+（k+1）x是正比例函数，且y随x的增大而减小，求这个正比例函数的解析式． 【变式3】（24-25八年级下·四川宜宾·月考）已知是关于的一次函数，则一次函数解析式是__________． 【题型 2】已知正比例关系求一次函数解析式 若两个代数式成正比例，可设关系式为；常见形式为y与含x的代数式成正比例，设出关系式后本质为一次函数，需用待定系数法求解比例系数。 【例题2】（24-25八年级下·湖北荆门·期中）已知与x成正比例，与成正比例．当时，；当时，． （1）求这两个函数的解析式； （2）当时，求的值． 【变式1】（24-25八年级下·广东·月考）已知，与成正比例，与成正比例，且当时，；当时，，则关于的函数解析式为______． 【变式2】（24-25八年级下·山东德州·月考）若与成正比例，且时，，则y关于x的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级上·浙江金华·月考）已知，与成正比例，与成正比例，且当时，；时，． （1）求关于的函数解析式； （2）求出当时的函数值． 【题型 3】待定系数法求一次函数解析式 解题方法： （1）设（设解析式）：设一次函数解析式为：（为常数，）； （2）代（代入已知点）：把题目给出的两个点的坐标，分别代入解析式，得到关于 的二元一次方程组； （3）解（解方程组）：解方程组，求出和的值； （4）写（写出解析式）：把求出的出、 代回，写出最终的一次函数解析式。 【例题3】（25-26八年级下·山东日照·期中）下表中，是的一次函数． 0 1 2 3 5 3 1 （1）请求出与之间的函数关系式； （2）__________，__________； （3）请判断点和是否在一次函数图象上． 【变式1】（25-26七年级下·四川攀枝花·期中）在中，当时，；当时，；则当时，y的值为（　　） A．2 B． C． D．5 【变式2】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知直线上的点与点，则k的值为_______． 【变式3】（2026·江苏泰州·一模）已知函数的图像经过点和 （1）求这个函数的表达式； （2）若点和都在这个函数的图像上，当时，试判断与的大小关系并说明理由． 【题型 4】利用直线的平移求一次函数解析式 解题方法：设解析式：，（1）当直线沿轴向上平移个单位解析式为：；向下平移个单位解析式为：；（2）当直线沿轴向左平移个单位解析式为：；向右平移个单位解析式为：. 【例题4】（24-25八年级下·北京东城·期末）已知一次函数的图象经过点和． （1）求该一次函数的解析式； （2）平移该函数图象，使它经过点，求出平移后的一次函数的解析式，并写出一种平移方法． 【变式1】（24-25八年级下·全国·期末）一次函数的图象平移后经过点，则平移后的函数解析式为  （     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·北京·期中）已知直线经过和，把直线沿轴向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到直线，则直线的解析式为_____． 【变式3】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知直线经过点． （1）求直线的解析式； （2）若将直线向左平移个单位长度，直接写出平移后直线的解析式． 【题型 5】利用直线绕某点旋转求一次函数解析式 解题方法：（1）构造三垂直全等，求出旋转后对应点坐标；（2）用定点+新点，两点式求解析式。 【例题5】（23-4八年级下·河南南阳·期末）已知一次函数的图象经过点和，若将这个函数图象绕原点顺时针旋转，求旋转后的函数解析式． 【变式1】（2025·陕西西安·二模）若把一次函数y＝kx+b的图象先绕着原点旋转180°，再向右平移2个单位长度后，恰好经过点A（4，0）和点B（0，﹣2），则原一次函数的表达式为（　　） A．y＝﹣x﹣1 B．y＝﹣x+1 C．y＝x+1 D．y＝x﹣1 【变式2】（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，将直线绕点逆时针方向旋转，则旋转后的直线与轴的交点坐标为____． 【变式3】（2025八年级上·江苏·专题练习）（1）直线与轴的交点坐标为　　； （2）把直线沿着轴正方向平移2个单位后的直线解析式为　　； （3）将（2）中平移后的直线绕坐标原点顺时针旋转，求旋转后的直线解析式． 【题型 6】利用直线平行或垂直求一次函数解析式 设两条直线：，；则有：； 【例题6】（24-25八年级下·广东广州·期中）已知两直线：，：， 若，则有 若，则有， 若，则有 若，则有， （1）应用：已知与平行，则______； （2）应用：已知与垂直，则______； （3）直线经过，且与平行，求该直线解析式． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）若一次函数的图象与直线平行，且经过直线与轴的交点，则该一次函数的解析式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·安徽宣城·期中）与直线垂直且过点的直线解析式是____________． 【变式3】（24-25七年级上·山东威海·期末）规定：①若两条直线，平行，则，； ②若两条直线，垂直，则； ③点到直线的距离． 如图所示，已知直线与轴轴分别交于点，，分别交轴轴于点，，且点坐标为． （1）点坐标______；点到直线的距离为______； （2）若直线于点，交轴与点，求解析式． 【题型 7】利用面积法求一次函数解析式 解题方法：（1）设：设一次函数解析式；（2）求：求出直线与坐标轴的交点坐标（含参数k、b）；（3）列：代入面积公式，利用绝对值列方程或分类讨论列方法；（4）解：解方程求出k、b的值，写出所有符合条件的解析式。 【例题7】（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在△AOB中，∠ABO=90°，OB=4，AB=8，直线y=-x+b分别交OA、AB于点C、D，且ΔBOD的面积是4． （1）求直线AO的解析式；（2）求直线CD的解析式． 【变式1】（24-25八年级下·福建泉州·期末）已知直线的解析式是，直线的解析式是，两直线交于点A，直线交x轴于点B，若的面积为2，则k的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（24-25八年级下·上海徐汇·期中）已知直线与坐标轴围成的三角形面积是6，且经过（3，0），则这条直线的解析式为___________． 【变式3】（24-25八年级下·山东滨州·期末）（1）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，直线交直线于点B，若的面积是，试求的解析式； （2）如图，四边形为菱形，点E为上的一点，请用无刻度直尺在上截取一点M，使得，并说明理由． 【题型 8】利用一次函数增减性（最值）求解析式 已知一次函数当，求解析式： （1）假设k>0：若随增大而增大，则把，代入两点列方程； （2）假设k<0：若随增大而减小，则把，代入两点列方程； （3）求出两种情况，符合题意就保留。 【例题8】（25-26八年级上·浙江台州·月考）已知一次函数（k为常数，且） （1）若点在一次函数的图象上． ①求k的值． ②设，则当时，求P的最大值． （2）若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式． 【变式1】（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）已知一次函数（为常数），若当时，函数有最大值，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【变式2】（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）直线经过点，当时，y的最大值为6，则的值为________． 【变式3】（24-25八年级下·云南大理·期末）已知关于的一次函数的图象为直线． （1）证明：无论为何值，直线总经过点； （2）当时，函数最大值与最小值的差为6，求的解析式． 【题型 9】利用实际问题建模求一次函数解析式 （1）实际问题中，两个变量满足线性变化关系，可建模为一次函数； （2）常见实际背景：行程问题、收费问题、利润销售、调配方案、油箱剩油、工程工作量等； （3）隐含要求：实际问题自变量有实际取值范围。 【例题9】（25-26八年级下·全国·课后作业）蜡烛点燃后消耗的长度与燃烧时间之间的函数解析式为．已知长为的蜡烛燃烧后，蜡烛变短，求： （1）y与x之间的函数解析式； （2）此蜡烛点燃多长时间后可燃烧完． 【变式1】（25-26八年级下·山东临沂·月考）平行四边形的周长为34厘米，两条邻边中较长的一条边长为y厘米，较短的一条边为x厘米，则y与x之间的函数解析式是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·河北保定·开学考试）某商场销售一种儿童滑板车，经市场调查，售价（元/件）、每星期销量（件）之间的函数解析式为；售价（元/件）与单件利润（元）之间的关系如图所示． （1）与之间的函数解析式为______；（不必写范围） （2）若某星期该滑板车单件利润为25元，则本星期该滑板车的销量为______件． 【变式3】（2025·河南周口·三模）劳动教育是学生德智体美劳全面发展的主要内容之一，植树节前，某校团委计划带领全校学生在光山上种植800棵树，现有两家树苗基地，树苗基地最多可以提供300棵树苗，每棵8元；树苗基地最多可以提供700棵树苗，每棵7元．汽车每千米的运输费用（单位：元）与运输树苗数量（单位：棵）的关系如图所示． （1）根据图象求出关于的函数解析式（写出自变量的取值范围）． （2）已知树苗基地到光山的路程为200千米，树苗基地到光山的路程为400千米，设该校在树苗基地购买棵，购买800棵树苗的总费用为元（总费用购买树苗费用运输费用），求出关于的函数解析式，及总费用最低的购买方案． 二.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25八年级下·云南昆明·期中）若某正比例函数图象经过点，则该正比例函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）某个一次函数的图象与直线平行，并且经过点，则这个一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向下平移单位长度后恰好经过点，则的值为（   ） A．3 B．5 C．8 D．10 4．（2026·安徽阜阳·二模）已知一次函数的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴正半轴上，四边形是菱形，已知点C的坐标为，则直线的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·广东梅州·期中）下面的函数解析式，可以代表下表中数据的是（　　） x 3 8 y 0 5 A． B． C． D． 7．（2026·陕西西安·三模）已知点和点关于y轴对称，一次函数的图象经过点P，则k的值为（   ） A． B． C． D．2 8．（24-25八年级下·山西忻州·月考）某超市购进一批儿童玩具，经市场调研发现每日销售数量（个）是销售单价（元）的一次函数，与的部分数据如下表： 销售单价元 每日销售数量个 根据上述信息可知，关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，直线的解析式为，与x轴交于点B，直线经过点，与直线交于点，且与x轴交于点A，在上存在一点P，使的面积是面积的，则P点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 10．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图所示，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段为边，在第二象限内作等腰直角，，则过B、C两点直线的解析式为（　　）    A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026八年级下·全国·专题练习）已知一次函数的图象经过，两点，则一次函数的解析式为___________． 12．（2025八年级上·江苏·专题练习）已知直线经过和，把直线沿轴向左平移个单位，再向下平移一个单位得到直线，则直线的解析式为________． 13．（25-26八年级下·北京·期中）已知直线经过和，把直线沿轴向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到直线，则直线的解析式为_____． 14．（24-25八年级下·吉林·期末）已知直线l1的解析式为y＝2x﹣6，若直线l2与直线l1平行，且过点（0，6），则直线l2的解析式为 _____． 15．（24-25八年级上·江西抚州·期末）直线与平面直角坐标系的x轴、y轴分别交于A，B两点，直线经过B点，且与x轴交于点C，当时是等腰三角形时（举例：直线的解析式为时，就是等腰三角形，此时，请写出符合条件的直线的解析式_________．（直线除外） 16．（25-26八年级上·上海·期中）已知正比例函数，当自变量的取值范围，相应的函数值的范围，则这个正比例函数的解析式为___________． 17．（25-26八年级下·福建福州·期中）一次函数，当时，，则一次函数的解析式为_________． 18．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图，已知直线交轴于点，交轴于点，直线与直线相交于点，则直线的解析式______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）已知一次函数的图象过点，且与直线平行． （1）求这个一次函数的解析式． （2）若另一条直线与此一次函数关于 y 轴对称，求另一条直线的解析式． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·江苏苏州·月考）求下列的解析式： （1）若将直线向右平移3个单位，求所得直线的解析式． （2）如果点在直线上，并且当时，．求这条直线的解析式． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·湖北黄冈·月考）根据条件求函数解析式： （1）已知直线上经过点，求直线的解析式； （2）已知一次函数图象经过两点，求一次函数的解析式． 22．（本小题满分10分）（2025八年级下·全国·专题练习）已知直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为18． （1）当这条直线与直线平行时，求其解析式； （2）当这条直线与轴的交点坐标为时，求其解析式． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·广东深圳·期中）一次函数 （1）若函数图象经过原点，求的值； （2）若函数图象平行于直线，求该函数的解析式； （3）在（1）的条件下，将函数的图象向下平移3个单位，直接写出平移后的直线解析式． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·广西南宁·期末）阅读理解：已知直线的解析式为（为常数），直线的解析式为（为常数），若，则有． （1）已知直线与直线垂直，求的值； （2）若直线经过点，且与直线垂直，求直线的函数解析式； （3）已知直线与轴、轴分别相交于点，求线段的垂直平分线所对应的函数解析式． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $