第八讲 用三角函数解决问题【重点难点突围专项练】-2026年中考数学三轮冲刺（江苏专用）

**基本信息** 以江苏中考三角函数高频考点为核心，通过十二大考向“例题精讲+变式训练”构建解题方法体系，分层训练实现能力梯度提升。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型讲练|12考向（每考向1典例+2变式）|标准化拆解题型，提炼解题思路与得分技巧，培养推理能力与模型意识|从三角函数定义、特殊角性质到实际应用（仰角俯角等）的递进链条，构建几何直观与空间观念| |分层训练|20题（基础10+拔尖10）|基础题夯实核心考点，拔尖题聚焦综合压轴题，提升运算能力与应用意识|覆盖从基础概念到综合应用的逻辑关系，匹配中考命题趋势，强化数据意识与创新思维|

第八讲 用三角函数解决问题『重点难点突围专项练（江苏专用）』 （十二大题型讲练+难度分层练 共56题） 【解析版】 简介 蓄力升学 逐梦前行 『真题溯源·江苏专版』本资料深度剖析江苏省近两年中考真题及前沿模拟题，直击中考高频考点，精准锁定每年必考的常考题型与思想方法，让你的练习不偏科、不做无用功。 【第一部分 题型讲练·模型拆解】采用“例题精讲+变式训练”模式，对每类重难点题型进行标准化拆解。配套详尽的解题思路与规范步骤，不仅教会你如何解题，更传授得分技巧，帮你建立满分思维。 【第二部分 能力分层·稳步提升】科学设置20题分层训练： 1. 基础能力提升（10题）：快速夯实核心考点，确保基础分不丢分； 2. 拔尖突破冲刺（10题）：聚焦易错题与综合压轴题，挑战思维极限，实现分数阶梯式增长。 『助力升学·决胜考场』依托真题本源，对标中考难度。这套讲义是你通往理想高中的坚实阶梯，愿你以梦为马，提笔为剑，在中考战场上披荆斩棘，金榜题名！ 目录 题型汇总 一览无余 【重点考向 精讲精练】 2 考向一 求角的正弦值与已知正弦值求边长 2 考向二 求角的余弦值与已知余弦值求边长 4 考向三 求角的正切值与已知正切值求边长 8 考向四 特殊角的三角函数 12 考向五 根据特殊角三角函数值求角的度数 15 考向六 锐角三角函数的增减性 20 考向七 利用同角三角函数关系求值 24 考向八 三角函数综合 28 考向九 仰角俯角问题（解直角三角形的应用） 34 考向十 方位角问题（解直角三角形的应用） 37 考向十一 坡度坡比问题（解直角三角形的应用） 41 考向十二 其他问题（解直角三角形的应用) 47 【难度分层 实战演练】 51 『基础能力提升』 51 『拔尖突破冲刺』 57 第一部分 精讲变式 融会贯通 【重点考向 精讲精练】 考向一 求角的正弦值与已知正弦值求边长 【典例精讲】（25-26九年级下·江苏无锡·期中）如图，已知点是矩形的对角线上的一动点，正方形的顶点、都在边上，若，，则_____． 【答案】/ 【思路引导】由矩形性质得，则，在中，，由此得，设，由正方形性质得，在中，由，得，由此得，在中，由勾股定理得，继而得，然后根据得，由此可得的值． 【规范解答】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，是直角三角形， 在中，，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，设， ∵顶点都在边上， ∴和都是直角三角形，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练1】如图，在平行四边形中， E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证： (2)若 ，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）由平行四边形的性质得出，从而得到，利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质得出，从而证明出四边形是平行四边形，过 C 作于H，得出，再由平行四边形的面积公式求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E为中点， ∴， 在和中， ， ∴． （2）由（1）得， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 过 C 作于H． 在中， ，， ∴， ∴四边形的面积：． 【变式训练2】（2026·江苏南通·模拟预测）若中，，，那么（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【思路引导】首先设，，利用勾股定理求得，然后利用正弦的定义得出结果． 【规范解答】解：在中，，， ∴设，， ∴， ∴． 考向二 求角的余弦值与已知余弦值求边长 【典例精讲】（2025·江苏无锡·二模）如图，在矩形中，已知为边上的中点，若将沿着直线翻折，使点A落在点处，连接，则___________． 【答案】 【思路引导】求出，由勾股定理求出，由翻折变换的性质得出，因此，由等腰三角形的性质得出，由三角形的外角性质得出，即可得出． 【规范解答】∵四边形是矩形， ∴， ∵，E是的中点， ∴， ∵， ∴， 由翻折知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，三角形外角性质，等腰三角形判定和性质，勾股定理，余弦定义，解直角三角形，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【变式训练1】宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查黄金分割、矩形的性质及翻折变换，设，，再根据翻折的性质及等角对等边得出，最后利用勾股定理表示出及即可． 【规范解答】解：由题知， 令，， 由翻折可知，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 令，则， 在中，， ， 解得， ∴， 在中，． 故选：D． 【变式训练2】（2026·江苏南京·模拟预测）定义：若一个直角三角形中，两个锐角的内角满足其中一个角的2倍与另一个角互余，则我们称这个三角形为“倍角互余三角形”．如图，在中，，点为上一个动点，若为“倍角互余三角形”，则的长为______． 【答案】或 【思路引导】根据题意，当，在上取一点D，连接，使得，过点D作于E，可证明，则可证明，利用勾股定理求出，则，进而得到，设，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案；当时，可证明平分，过点P作于H，则，设，则，解直角三角形可得，则，解方程即可得到答案． 【规范解答】解：如图所示，当时， 如图，在上取一点D，连接，使得，过点D作于E， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴在中，， 设， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 如图所示，当时， ∵， ∴， ∴平分， 如图所示，过点P作于H，则， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 考向三 求角的正切值与已知正切值求边长 【典例精讲】（2026·江苏泰州·一模）如图，为的直径，点P在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，，则_______． 【答案】 【思路引导】连接，，，设与交于点Ｅ，利用线段垂直平分线的判定和性质，圆周角定理，正切函数的应用，求解即可； 【规范解答】解：连接，，，设与交于点Ｅ， ，与相切，切点分别为C，D． 则，，， 直线垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式训练1】（2026·江苏宿迁·一模）如图，已知矩形，，． (1)点E在矩形内部，为等边三角形，请在图1中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点E； (2)点P为线段上一点，若，请在图2中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点P； (3)若符合（2）中要求的点P必定存在，则m的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）分别以点A，B为圆心，为半径画弧，两弧的交点即为点E； （2）作等边三角形，，交于O，以O为圆心，为半径画圆，交于，点即为所求； （3）找出两个临界位置，①当点分别与点重合时，此时点重合；②当点重合时，此时与相切，根据矩形的性质，然后解直角三角形进行求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，为等边三角形，点E即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求； 理由如下：在等边三角形，，矩形中，有 ， ∴， ∴． （3）解：①当点分别与点重合时，此时点重合，如图： ∵四边形是矩形， ∴， 由（2）知， ∴； ②当点重合时，此时与相切，连接并延长交于点， ∴， ∵矩形中，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴符合（2）中要求的点P必定存在，则m的取值范围是． 【变式训练2】（2026·江苏南通·一模）如图，矩形中，，，边上有一点E，从点A开始以每秒2个单位长度的速度沿向右匀速运动，连接，过点A作，与边交于点F，设点E的运动时间为t秒． (1)当时，求的长； (2)作点A关于的对称点，连接并延长交于点G，连接．若是等腰直角三角形，求证； (3)在（2）的条件下，求t的值． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）证明，由相似三角形的性质即可得出，代入求解即可． （2）根据轴对称的性质，，．再得出，再由（1），即可证明． （3）由相似三角形的性质得出，设，，由轴对称的性质以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，求出，最后由正切的定义求解即可． 【规范解答】（1）解：当，则， ∵矩形中， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． ∴； （2）证明：∵点A与点关于对称， ∴垂直平分，在上， ∴，． ∴在是等腰直角三角形中，． ∴． 由（1）， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，即， 设，， ∵，点A与点关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴． 考向四 特殊角的三角函数 【典例精讲】（2026·江苏徐州·一模）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】本题考查零指数幂，二次根式化简，特殊角的三角函数值以及分式的混合运算，熟记相关运算法则，能正确分解因式约分是解题关键， （1）先分别计算零指数幂，二次根式，特殊角三角函数，再计算加减即可得到结果； （2）先计算括号内的加法，再将除法转化为乘法，分解因式后约分即可得到化简结果. 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 【变式训练1】（2026·江苏南通·模拟预测）计算： (1) (2)若整数使得关于的不等式组有且仅有个整数解，且使关于的一元一次方程的解满足．求整数所有可能的值． (3)先化简，再求值：，其中整数满足． 【答案】(1) (2)，，，， (3)， 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组有且仅有个整数解， ∴， 解得， ，得， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴整数所有可能的值为，，，，； （3）解：原式 ， ∵整数满足，且，，， ∴或， 当时，原式； 当时，原式． 【变式训练2】（2026·江苏泰州·一模）拉筋板是一种常见的健身器材，通过站立于倾斜的踏板上，利用自身重力拉伸小腿后侧肌群，达到放松肌肉、改善柔韧性的效果． 图1是放置在水平地面上的拉筋板实物图，图2是其侧面示意图，由踏板，底座及支撑架组成，，支撑架可绕点A旋转，当D点卡在底座上的不同档位（为锐角）时，踏板可绕点B旋转以调节倾斜角度．当点D调至时，． (1)求的长； (2)该拉筋板的使用说明书提示：当踏板与水平地面的夹角超过时，人体重心偏高，易发生受伤风险．小明在进行拉伸时为避免受伤，对D点位置进行了调整（如图3），请求出的最小值．（结果保留根号）（参考数据：，，） 【答案】(1) (2)的最小值为 【思路引导】（1）过点作，垂足为．求得，根据特殊角的三角函数值求解即可； （2）过点作，垂足为．根据解直角三角形的方法求解即可； 【规范解答】（1）解：（1）过点作，垂足为． 在中，， ， 在中，， ， 答：的长为． （2）解：过点作，垂足为． ， 在中，， ， ， 在中，， ， 答：的长为． 考向五 根据特殊角三角函数值求角的度数 【典例精讲】（2025·江苏连云港·一模）如图，将扇形沿方向平移，使点移到的中点处，得扇形，若，，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【思路引导】连接，根据平移的性质和中点的定义得出的长度，在中利用勾股定理求出的长，利用锐角三角函数求出的度数，进而求出和，最后根据计算即可 【规范解答】解：连接， 点是的中点，， ， 扇形沿方向平移得到扇形， ，即， 在中，， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积 ． 【变式训练1】如图，以为圆心，半径为2的圆与轴交于、两点，与轴交于，两点，点为上一动点，于，当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为_________． 【答案】 【思路引导】作于，连接．因为，推出点在以为直径的上推出当点在的延长线上时，的长最小，最小值，求出、即可解决问题． 【规范解答】解：作于，连接．   ， ， 在中，，， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ，， ， 点在以为直径的上， 当点在的延长线上时，的长最小，最小值． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查垂径定理、直角三角形30度角的性质、勾股定理、锐角三角函数的应用、圆周角定理的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【变式训练2】（2025·江苏南通·模拟预测）取一张正方形的纸片进行折叠，具体操作过程如下： 第一步：如图1，先把正方形对折，折痕为． 第二步：点在线段上，将沿翻折，点恰好落在上，记为点，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)作点关于直线的对称点，连接、． ①在图2中补全图形，并求出的度数； ②猜想的度数，并加以证明；（温馨提示：当你遇到困难时，不妨连接、，研究图形中特殊的三角形） 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)①图见解析；；②，证明见解析 【思路引导】（1）由正方形的性质得出，由折叠的性质得：，得出，在中，由三角函数得出，求出，得出，即可得出结论； （2）①根据题意补全图形，由①得：，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，求出，再由得出的性质得出； ②由对称的性质得：，证出是等边三角形，得出，证明，得出，由，即可得出结果． 【规范解答】（1）解：是等边三角形，理由如下： 四边形是正方形， ， 由折叠的性质得：，， ，， ∴在中，， ， ， 是等边三角形； （2）解：①补全图形如图2所示： 由①得：， ∵四边形是正方形， ，， ， 由（1）可知，， ， ， ， 关于直线的对称点为， ； ②，证明如下： 连接，如图3所示， 由对称的性质得：， 由①可知，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【考点剖析】本题主要考查了正方形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角函数、折叠的性质、轴对称的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 考向六 锐角三角函数的增减性 【典例精讲】（2025·江苏淮安·模拟预测）如图①为边长为4的正方形七巧板，拼成如图②所示的四边形，连接交于点H，则______． 【答案】 【思路引导】本题主要考查正方形相关的图形变换，锐角三角函数， 根据正方形的拼法求出每段的长度，过点作于，设长为,根据三角函数表示出，，求解． 【规范解答】解：如图，过点作于，令、交于点， 由图①为边长为4的正方形七巧板可知, ，， 为等腰直角三角形， ，， 设，则，， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式训练1】（25-26九年级上·福建泉州·期末）阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系： 如图1， ． 一般地，当a、β为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：． 例如： ． 任务： (1)计算： _________； (2)如图2，在中，，求的长； (3)已知，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了解直角三角形，利用给出的三角函数公式，将普通三角形通过作辅助线构造成特殊的直角三角形是解题的关键． （1）利用代入特殊值即可求解； （2）作的垂直平分线l交于点M，连接，过点A作，N为垂足，利用三角函求出相应线段的长即可求出的长； （3）利用进行求解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：作的垂直平分线l交于点M，连接，过点A作，N为垂足， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵，且， ∴， ∴ ． 【变式训练2】（2025·江苏宿迁·一模）如图，已知，，，、分别为、上的点，连接，若于点，且平分▱的面积，过作于点，连接，则的最小值为_____ 【答案】 【思路引导】本题考查配方法的应用，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，求正弦，设、交于点，过作于，设，，则，先证明，得到，再由平分平行四边形的面积，得到，利用勾股定理得到，则，利用配方得到当时，最小，此时最大，进而求得的最小值． 【规范解答】解：设、交于点，过作于， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 设，， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∵平分平行四边形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴中，， ∴， ∵， ∴当时，最小，此时最大， ∴ 的最小值为 故答案为：． 考向七 利用同角三角函数关系求值 【典例精讲】如图，是的切线，为切点，以为顶点作，交于点，交于点，连接，交于点． (1)与有什么数量关系，请说明理由； (2)若的半径为，，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【思路引导】（1）连接，由得到，根据切线的性质得到，即可求解； （2）由题意可推出，，，得到，根据勾股定理求出，证明得到，设，则，根据勾股定理列方程求出，即可求解． 【规范解答】（1）解：，理由如下： 如图，连接， ， ， 是的切线，为切点， ，即， ； （2）解： ，， ，，即， ， ， ，，， ， ， ， ， 设，则， 由勾股定理得，即， 解得， ． 【变式训练1】（2024·江苏无锡·一模）如图，在中，．以为直径的圆分别交，于点，．过点作圆的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了圆的相关性质，勾股定理，三角函数，平行线的判定等知识，解题的关键是灵活运用相关的知识． （1）由等腰三角形的性质证出，由平行线的判定可得出结论； （2）连接，交于，由勾股定理求出，由垂径定理求出，得出，证出，得出，则可得出答案． 【规范解答】（1）证明： ， ， 又 ， ， ， ； （2）解：连接，交于， 为的直径， ， 在中，，， ， ，， ， ， 在中， ， ， 为的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式训练2】（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，已知是的直径，C为上一点， 的角平分线交于点D，F在直线上，且，垂足为E，连接、． (1)求证： 是的切线； (2)若，的长为2，求的半径和的长． 【答案】(1)见解析 (2)半径为3； 【思路引导】（1）连接，通过等边对等角和角平分线的定义得到，利用平行线的性质与判定即可得证； （2）通过证明，求出线段和的长度，根据，求得，再根据， ，通过三角函数的定义即可求解． 【规范解答】（1）证明：如图所示，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是圆的半径， 是的切线． （2）解：， ， ， ， ， ， ， ，， ， ∴的半径为3， ， ， ∴，即， ∴， ， ∴，即， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴． 考向八 三角函数综合 【典例精讲】（2026·江苏徐州·一模）如图，为的外接圆，D为外一点，连接，，交于点E，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，的半径为4，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)相切，理由见解析 (2) 【思路引导】（1）连接并延长交于点F，连接，根据圆周角定理，推出，进而得到，得到，即可得出结论； （2）连接，利用扇形的面积减去三角形的面积进行求解即可. 【规范解答】（1）解：直线与相切． 理由：如图，连接并延长交于点F，连接， 则是的直径，， ， ， ， ， ， ，即， ， 是的半径， 直线与相切； （2）解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ∴点到的高， ． 【变式训练1】（2026·江苏镇江·一模）如图，、为的直径，过点的切线交的延长线于点，点在弦上，，交直径于点，延长交于点． (1)求证：； (2)已知，． ①求线段的长： ②仅用一把无刻度的直尺在直径上作一点，使得的值最小（要求：不写作法，保留作图痕迹，如用铅笔作图，必须用黑色水笔把线条描清楚），并直接写出这个最小值___________． 【答案】(1)见解析 (2)①；②图见解析， 【思路引导】（1）由题意可得，由等边对等角可得，，由切线的性质可得，求出，即可得证； （2）①连接，由圆周角定理可得，证明，由勾股定理可得，由正切的定义可得，结合勾股定理求出，，，即可得出结果；②连接、并延长，相交于点，连接并延长交于点，由①可得， ∵，证明，得出，，从而可得垂直平分，进而得出，则，设中边上的高为，由三角形面积公式可得，由①可得，由垂径定理可得，由垂线段最短可得，当时，最小为，此时的值也最小． 【规范解答】（1）证明：∵、为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线，为切点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①连接，如图： ∵为的直径， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线，为切点， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴； ②如图，连接、并延长，相交于点，连接并延长交于点， 由①可得， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 设中边上的高为， ∵， ∴， 由①可得：， 由（1）可得：， ∴由垂径定理可得：， ∴由垂线段最短可得，当时，最小为，此时的值也最小，为． 【变式训练2】（2026·江苏苏州·一模）如图，中，，分别为边，上一点，且，的外接圆与边交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ①设的半径为，求弦的长度（用含字母的代数式表示）； ②弦长度的最小值为______． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【思路引导】（1）根据等边对等角，三角形的外角的性质，圆周角定理，推出，结合，即可得证； （2）①连接，作，利用垂径定理和圆周角定理，得到，，进而得到，解直角三角形，进行求解即可；②连接，作，求出的长，再根据，求出的最小值，即可得出结果． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①连接，作，则，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②连接，作，则， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，的值最小为． 考向九 仰角俯角问题（解直角三角形的应用） 【典例精讲】（2026·江苏徐州·一模）淮海战役烈士纪念塔位于江苏省徐州市，是全国著名爱国主义教育基地与红色旅游景区．如图，为了测量其高度，小马和小明分别在D，E两处进行观测，由于地形原因，点E高于地面且到地面的高度，在E处用测角仪测得塔顶A的仰角，在D处用测角仪测得塔顶A的仰角，点C，B，D在同一直线上，且，，，所有点均在同一竖直平面内，求淮海战役烈士纪念塔的高度（测角仪高度忽略不计，结果精确到）． （参考数据：，，，，，） 【答案】 【思路引导】延长交于点G，则四边形是矩形，在中，求出，在中，求出，根据构造方程，求出，进而求出． 【规范解答】解：如图，延长交于点G，由题意得， 则四边形是矩形， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得， ， 答：淮海战役烈士纪念塔的高度约为． 【变式训练1】（2026·江苏徐州·模拟预测）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点D处安装测角仪，测得信号杆顶端A的仰角α为，与坡面的夹角β为，又测得点D与信号杆底端B之间的距离为．已知，点A，B，C在同一条直线上，，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，） 【答案】信号杆的高为 【思路引导】通过作辅助线构造直角三角形，利用坡面夹角和仰角，分别在和中求解相关线段，结合矩形性质和线段关系求出信号杆高度． 【规范解答】解：过点E作于点I，过点D作于点H，如图所示： ，均与水平线垂直， ， ， ， ， 在中，， 则， 在中， ，， 则， ∵， ， ∴四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 答：信号杆的高为． 【变式训练2】（2025·江苏泰州·三模）如图1，某校的一棵银杏，树龄已逾千年，为了映衬这棵古银杏，园林部门以树干根部为中心，在其四周的地面铺设了圆形的景观草坪．小强所在综合学习小组，为了测量这棵银杏树的高度，采取如下测量方案：将测角仪支架放在圆形草坪的圆周上，使得测角仪与树干的距离等于圆形草坪的半径，当测角仪距离地面1米时，在A处测得树顶D的仰角为，再将测角仪的支架下降20厘米，在C处测得树顶的仰角为，如图2，请求出这棵银杏树的高度．（可选用数据：，，，，，） 【答案】23米 【思路引导】本题考查解直角三角形应用中的仰角问题，是利用锐角三角函数求解树高的实际问题．关键在于通过设未知数，利用锐角三角函数建立方程来求解．已知在圆形草坪圆周上不同高度的两点测量树顶的仰角，以及两点的高度差，同时给出了一些锐角三角函数值，可设树高为，利用和的值可表示出草坪圆周的半径，利用半径相等即可建立方程求解． 【规范解答】解：如图2所示，作，，由题意得，，，，则，设树高， 在中，，则， 同理在中，，则， ∵，，， ∴， 解得． 故树高为23米． 考向十 方位角问题（解直角三角形的应用） 【典例精讲】（2026·江苏宿迁·一模）中国自行研制的北斗卫星导航系统可在全球范围内为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小明一家自驾去风景区C游玩．到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶8千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区C，小明发现风景区C在A地的北偏东方向． (1)的度数为_____； (2)求B，C两地的直线距离．（结果精确到0.1千米；参考数据：，，） 【答案】(1) (2)B，C两地的直线距离约为千米 【思路引导】（1）由平行线的性质得，由平角可求得的度数，由三角形内角和即可求得结果； （2）过点B作，垂足为G，则在中，由正弦函数关系可求得的长度，再在中，由正弦函数关系即可求得的长度，即两地的距离． 【规范解答】（1）解：如图： 由题意得：，，，， ， ， ， ， 的度数为； （2）解：如图，过点B作，垂足为G． 在中，千米，， ∴（千米）． 在中，， ∴（千米）， ∴B，C两地的直线距离约为千米． 【变式训练1】（2026·江苏南京·模拟预测）在某海域开展的“海上联合”反潜演习中，我方军舰要到达C岛完成任务．已知军舰位于B市的南偏东方向上的A处，且在C岛的北偏东方向上，B市在C岛的北偏东方向上，且距离C岛，此时，我方军舰沿着方向以的速度航行，问：我方军舰大约需要多长时间到达C岛？（参考数据：，，，） 【答案】5小时 【思路引导】过点A作于D，利用正切的定义表示出、，列出方程，解方程即可． 【规范解答】解：如图2，过点A作于D， 由题意知，，，， 设， 在中，∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∵，， 解得：， ∴， ∴， ∴， 答：我方军舰大约需要5小时到达C岛． 【变式训练2】（2026·江苏连云港·一模）水晶公园是市民休闲时的一个好去处．如图，小明和他的综合实践活动小组利用课余时间，想测量水晶公园的东西最大宽度，他们选定了两个观测点，，观测点在点的北偏东方向上，观测点在点的北偏西方向上，点在点的正东方，又测量得，，．求水晶公园的东西最大宽度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】最大宽度 【思路引导】过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，构造直角三角形和矩形，根据勾股定理和三角函数可得出、、、的长度，最终即可求出最大宽度的长度． 【规范解答】解：过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，如下图所示： 根据题意，可知，四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴． 考向十一 坡度坡比问题（解直角三角形的应用） 【典例精讲】（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，某数学兴趣小组为测量建筑物的高度，从水平地面上的点B处沿坡度为的山坡走了到达坡顶，沿方向前进到达点C处，测得E的仰角为；在点A处测得E的仰角为，点A、B、C、D、E在同一水平面内，且． (1)求点A到的距离； (2)求点A到建筑物的水平距离； (3)求建筑物的高度． 【答案】(1)点A到的距离为 (2)点A到建筑物的水平距离为． (3)建筑物的高度为． 【思路引导】（1）如图，过作于，设，再进一步求解即可． （2）过作于，结合（1）可得：四边形为矩形，求解，设，可得，利用，进一步求解即可． （3）由（2）得：，可得． 【规范解答】（1）解：如图，过作于， ∵， ∴， 设， 则， ∵， ∴，解得， ∴，， ∴点A到的距离为． （2）解：过作于，结合（1）可得：四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点A到建筑物的水平距离为． （3）解：由（2）得：， ∴， ∴建筑物的高度为． 【变式训练1】．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）2026年1月25日，美国攀岩传奇人物亚历克斯·霍诺德成功徒手攀登中国台北101大楼，全程无绳索、无安全装备，仅用时91分钟就登顶508米高的塔尖，成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人．亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧，为了这次挑战，他进行了长达数年的艰苦训练，反复研究大楼的每一处结构、每一个难点．在一次观测当中，他发现一个关键攀登难点N，他在距离楼底60米的A处观察（即米），用测倾器测得攀登难点N的仰角为，然后沿斜坡向上走到B处观察，测得攀登难点N的仰角为．已知点在同一条水平直线上，斜坡的斜面坡度为（即），测倾器高度忽略不计． (1)求攀登难点N的高度（即的长）； (2)求观察点B的铅直高度（结果保留根号）． 【答案】(1)米 (2)米 【思路引导】（1）解，即可得攀登难点N的高度； （2）过点作交于点，交于点，由矩形的判定和性质，可得，，由已知结合等腰三角形的判定可得，设米，可得米，米，列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：∵在中，米，， ∴（米）， 故该攀登难点N的高度为米． （2）解：如图，过点作交于点，交于点， 又， ∴四边形是矩形． ∴，， 设米，则米， ∵在中，， ∴米，米， ∵在中，， ∴， 又米，米， ∴， 解得． 故观察点B的铅直高度为米． 【变式训练2】（2026九年级下·全国·专题练习）如图，夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处．已知小明的身高为，他在道路上的影长（单位：）与行走的路程（单位：）之间的函数关系如图所示，其中，，是线段，是曲线． (1)结合的位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义． (2)路灯的高度是_______． (3)设的坡角为． ①通过计算：比较线段与线段的倾斜程度． ②当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述； 随的增大而增大； 随的增大而减小； 随的增大先增大后减小； 随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是_______． 【答案】(1)横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影子的顶端正好在处； (2) (3)①线段的倾斜程度更大；②、、． 【思路引导】本题考查了解直角三角形的应用，函数的图象等，掌握解直角三角形是解题的关键． （1）横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影子的顶端正好在处； （2）画出图像，证明，根据相似性质即可求得路灯的高度； （3）①根据，得出，根据三角函数，得出，再进行比较即可；②：小明走到灯下处，影子顶端正好在处，：小明走到灯下处，到达，当取不同的值时，影长可能随的增大而增大或随的增大而减小或随的增大先增大后减小． 【规范解答】（1）解：由题意可得：， 横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影子的顶端正好在处； （2）解：如图，连接，，设为小明的身高，根据（1）中点坐标，作，与交于点，且， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵据题意：，，， ∴， ∴， ∴， ∴路灯的高度是； 故答案为：； （3）解：据题意可得：线段为小明从走到的道路上的影长（单位：）与行走的路程（单位：）之间的函数关系， ①设直线的解析式为：， 代入，解得：， ∴直线的解析式为：， 如图，为小明在坡上任意一点，连接与交于点，连接并延长交的延长线与点， ∵的坡角为， ∴， 由题意可得，，影长 ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，整理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴线段的倾斜程度更大； ②解：：小明走到灯下处，影子的顶端正好在处，， ：小明走到灯下处，到达，， 如图所示：对应图2中曲线的起点，表示小明的高度，， 设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设：， 当接近时，，则，则随的增大而增大； 当接近时，，则，则随的增大而减小； 当取不同的值时，可能出现随的增大先增大后减小， ∴当取不同的值时，可能出现、、的情况， 故答案为：、、． 考向十二 其他问题（解直角三角形的应用) 【典例精讲】如图1，为洗手盆上常装有的一种抬启式水龙头，当完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图2，点，，在一条直线上，，其中，，． (1)求的长； (2)如果出水口与点间的距离为，出水管与的夹角，求出水管的长．（参考数据：，，，）．（结果保留整数） 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）过点作，垂足为，交于点，证明矩形，然后选择适当的直角三角形求解即可； （2）延长、交于点，在中，求得，再解，求解即可． 【规范解答】（1）解：过点作，垂足为，交于点， 在中， ， ， ， ， ， 又， 得平行四边形， 平行四边形是矩形， ，， ， 在中， ， ， ； （2）解：延长、交于点， ， ， ， 在中， ， ， 在中， ， 答：出水管的长为． 【变式训练1】（2026·江苏南通·一模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），“偃矩以望高”意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度，小明依照此法测量学校操场边一棵树的高度，如图，点A，B，Q在同一水平线上，与相交于点．测得，，，则树高____． 【答案】 3 【思路引导】根据，进行求解即可. 【规范解答】解：∵， ∴， ∵，，， ∴. 【变式训练2】（2025·山东·二模）如图1，墙壁上的点A处装有一个壁挂式吊灯，已知支架长度为，且与墙壁所成夹角，壁灯吊杆长，与的夹角可调节．吊灯连接杆垂直于地面，． (1)如图2，当时，求灯口D与墙壁的距离； (2)如图3，现有一靠墙放置的学习桌与地面平行，其距离地面的高度为．为了日常使用方便，当与夹角调整至时，灯口D需距离桌面，求点A距离地面的高度．（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． （1）如图：过点B作于点N，延长交于点M，在和中，分别利用正弦和余弦函数的定义求解即可； （2）如图：过点B作于点P，延长交于点R，交于点Q，在中，利用三角函数的定义求得，在中，利用三角函数的定义求得 ，再结合图形即可解答． 【规范解答】（1）解：如图：过点B作于点N，延长交于点M， 在中，，， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∴． 答：灯口D与墙壁的距离． （2）解：如图：过点B作于点P，延长交于点R，交于点Q，则四边形为矩形， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 答：点距离地面的高度为． 第二部分 分层训练 实战攻坚 【难度分层 实战演练】 『基础能力提升』 1．如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与垂直的方向走了10米，到达点C，测得，那么的长为____米．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】在中，已知及其邻边，求∠α的对边，根据正切函数定义即可求解． 【规范解答】解：在中，，米， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】此题考查了勾股定理和求角的余弦值．先用勾股定理求出，再根据余弦的定义求解即可． 【规范解答】解：在中，，，， ∴， ∴， 故选：B 3．（2026·广东深圳·模拟预测）年月日起，市场监管总局（国家标准委）发布的《中小学生午休课桌椅通用技术要求》实施，规定午休时，椅子能展开成躺姿，靠背能放倒到以上．图示为一款可躺睡椅子及其简化结构，椅座平行于地面，支点到地面的距离为厘米，靠背的长为厘米．若，则点到地面的距离的长是（    ）厘米． A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】由已知可求，在中，，根据矩形的判定和性质得出，即可求解． 【规范解答】解：根据题意可得，，，，， 如图： 则：， 在中，， ∵由题意可知， ∴四边形为矩形， ∴， ∴． 4．（2026·江苏泰州·一模）某河堤横断面如图所示，堤高，迎水坡的坡比是，则的长为________m． 【答案】 【思路引导】先根据坡度的概念求出，再根据勾股定理计算，得到答案． 【规范解答】解：∵迎水坡的坡比是，， ∴， 由勾股定理得． 5．（2025·江苏常州·三模）我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨的中点为E，最长的斜拉索长，记与大桥主梁所夹的锐角为，那么用的长和的三角函数表示主跨长的表达式应为_____； 【答案】 【思路引导】本题考查了解直角三角形的应用，函数关系式，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用线段的中点定义进行计算即可解答． 【规范解答】解：由题意得：， 在中，，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 故答案为：． 6．（2025·广东清远·二模）广州塔是中国第一高电视塔，俗称“小蛮腰”，享有“世界第二高电视塔”的美誉．在一次综合实践活动中，如图，某数学小组用无人机在离塔中心一定距离的处测得塔顶的仰角为，再将无人机垂直上升到离点距离为米的点处，此时测得塔顶点的仰角为，则测得小蛮腰的高度为__________米． 【答案】 600 【思路引导】过点作于点，证明四边形为矩形，得出，米，设米，则米，证明为等腰直角三角形，设米，根据，得出，根据，解方程即可． 【规范解答】解：如图，过点作于点． ∵， ∴四边形为矩形， ∴，米， 设米，则米， ，， ∴为等腰直角三角形， 米， ， 米， 米， 解得， （米） ∴小蛮腰的高度为米． 7．（25-26九年级下·北京·开学考试）计算：． 【答案】 【思路引导】本题考查了实数的混合运算，先算三角函数、负整数指数幂、零指数幂、化简二次根式，再算加减即可． 【规范解答】原式 ． 8．（2025·江苏宿迁·中考真题）小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点、处，选取河对岸的一块石头作为测量点（点在同一水平面内），小明同学在点处测得为，小军同学在点处测得为，两人之间的距离为60米，求此河流的宽度．（参考数据：） 【答案】此河流的宽度为米 【思路引导】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，解表示出，再解求出，即可求解． 【规范解答】解：过点作于点， 设，则由题意得， ∵在中，，， ∴， ∵在中，，， ∴， 解得：， ∴（米）， 答：此河流的宽度为米． 9．（2026·江苏扬州·一模）计算与解不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据求解即可； （2）根据解不等式组的基本步骤求解即可； 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：， 解不等式得； 解不等式得， 故不等式组的解集为． 10．（2026·江苏镇江·一模）某消防大队进行消防演练，消防车上的云梯可伸缩、可绕底部旋转，已知云梯的最大伸长长度为20米，云梯与地面的夹角可在到之间调节，云梯底部离地面的高度为2米，模拟着火点为点. (1)如图，云梯底部距着火点所在的建筑物外墙的水平距离为8米，通过电脑操控，将云梯与地面的夹角调为时，可将消防员送达模拟着火点；求点距离地面的高度（结果保留根号）； (2)已知云梯底部与建筑物外墙的水平距离为（单位：米），要使得消防员乘坐云梯能够到达点，则的取值范围是___________（结果保留根号，参考数据：，，）. 【答案】(1)米 (2) 【思路引导】（1）过点A作于点C，由题意易得米，米，然后根据三角函数可进行求解； （2）由题意可分当米，当时，然后分别求出此时d的值，进而问题可求解． 【规范解答】（1）解：过点A作于点C，如图所示： 由题意得：米，米， ∴米， ∴米， 答：点距离地面的高度为米． （2）解：由（1）有米， 当米，则由勾股定理可得：米， ∴， ∵， ∴，符合题意， 当时， ∴， ∴米， 此时云梯长度米，符合题意， 综上所述：d的取值范围为． 『拔尖突破冲刺』 1．如图（1）所示，为矩形的边上一点，动点，同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是．设、同时出发时，的面积为．已知与的函数关系图象如图（2）(曲线OM为抛物线的一部分)．则下列结论，①；②；③当时， ；④当秒时，；其中正确的结论是(　　) A．①②③ B．①③ C．①③④ D．②④ 【答案】C 【思路引导】根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点到达点时点到达点，从而得到、的长度，再根据、是从5秒到7秒，可得的长度，然后表示出的长度，根据勾股定理求出的长度，然后针对各结论分析解答即可． 【规范解答】解：根据图（2）可得，当点到达点时点到达点， 点、的运动的速度都是秒， ， ，故①正确； 从到的变化是2， ， ， 在中，， ，故②错误； 过点作于点， ， ， ， ， 当时，，故③正确； 当秒时，点在上，此时，， ， ，， ， 又， ，故④正确． 综上所述，正确的有①③④． 2．（2026·江苏连云港·一模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点、、都在格点上，过、、三点的圆与网格线交于点，则的值为（   ）． A． B． C． D．3 【答案】C 【思路引导】连接，，由同弧所对的圆周角相等可得，利用网格求出即可． 【规范解答】解：如图，连接，， ∵， ∴， 结合网格可知，，，， 在中，， ∴． 3．（2026·江苏苏州·一模）如图，在菱形中，，．折叠该菱形，使点落在边上的点处，折痕分别与边，交于点，F．当点的位置变化时，长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】先根据菱形的性质得到，，可知当的长最小时，的长最大，由折叠性质得，故当时，的长最小，即的长最小，如图，过点D作 于G，证明四边形是矩形得到，然后解直角三角形求得即可求解． 【规范解答】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴当的长最小时，的长最大， 由折叠性质得，故当时，的长最小，即的长最小， 如图，过点D作 于G， 则， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴长的最小值为，此时长的最大值为． 4．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在菱形中，，，M是边的中点，N是边上任意一点，将菱形沿翻折，点A落在点E处，连接，则的最小值为_______． 【答案】/ 【思路引导】连接，过点作交的延长线于点，可得，然后解，求出，利用勾股定理求出，再由，当点落在上时，取得最小值． 【规范解答】解：连接，过点作交的延长线于点， ∵菱形， ∴，， ∴ ∵ ∴，， ∵M是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵将菱形沿翻折 ∴， ∵， ∴当点落在上时，取得最小值， ∴的最小值为． 5．（2026·江苏扬州·一模）如图，扬州市城南快速路在某个转弯车道设计了一段圆弧转弯路线（即圆的一部分），机动车在经过这一转弯车道时从圆弧起点行驶至终点，过点，的两条切线相交于点，机动车在从点到点行驶过程中的转角为．若这段圆弧的半径，，则图中危险区（阴影部分）的面积为________． 【答案】 【思路引导】连接，先求出圆心角，进而求出扇形的面积，再求出，根据三角函数得到，然后求出四边形面积，由四边形面积减去扇形面积即可求解． 【规范解答】解：连接， ，是圆的切线， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 危险区（阴影部分）的面积为， 故答案为：． 6．（2026·江苏苏州·一模）如图，在菱形中，，将沿折叠，使得点落在边上的点处．当的长度取得最大值时，折痕的长度为_____．（结果保留根号） 【答案】 【思路引导】利用翻折的性质以及垂线段最短得出，当时，的值最大，此时，过点作交于点，过点作交的延长线于点，交于点，利用锐角三角函数以及勾股定理进行求解． 【规范解答】解：根据翻折的性质可得， ∵点在边上， ∴当时，的值最小，即的值最小， ∴此时的值最大， 如图所示，此时，过点作交于点，过点作交的延长线于点，交于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴， 假设，则，， 根据翻折的性质可得，， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴，， ∴由勾股定理得． 7．（2026·江苏扬州·一模）计算： (1)； (2)化简：． 【答案】(1)0 (2) 【思路引导】（1）根据零指数幂、特殊锐角三角函数值以及绝对值的定义进行计算即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 8．（2026·四川成都·一模）如图，在中，，D为斜边上一点，是的外接圆，交于点F，直径交于点G． (1)求证：； (2)若，，，求及的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【思路引导】（1）连接，根据直径得出直角，证明，利用圆周角定理得出，最后利用三角形的外角定理即可得出结论； （2）连接，，过点D作于点H，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质得出，，然后利用勾股定理以及锐角三角函数求出相关线段的长度，证明，利用对应边成比例进行求解即可． 【规范解答】（1）证明：如图，连接， 为直径， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接，，过点D作于点H， ，， ， ， ∵四边形内接于， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，， ， ，， ， ， 即， ，． 9．（2026·江苏苏州·一模）如图，D为的边上一点，连接．点B关于直线的对称点E落在的外接圆上，连接． (1)如图①，求证：； (2)若，，，求的长； (3)如图②，若与相切，且，求证：点D是的黄金分割点． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)见解析 【思路引导】（1）由轴对称的性质结合圆周角定理求得，推出，即可得到； （2）作于点，根据等腰三角形的性质求得，由圆周角定理求得，得到，据此求解即可； （3）证明，求得，再证明，推出，即可证明点D是的黄金分割点． 【规范解答】（1）证明：由轴对称的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）证明：过点作的直径，连接， ∵是的直径， ∴，， ∵， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 由轴对称的性质得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即点D是的黄金分割点． 10．（2026·江苏泰州·一模）平面直角坐标系中，点，是反比例函数（）图象上两点，点和点关于点对称．设点，的横坐标分别为，（）． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，当时，求的值； (3)如图3，过点作直线的垂线，垂足为，并交轴于点，直线交轴于点，连接，若以，及为边组成三角形，请判断该三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)直角三角形，理由见解析 【思路引导】（1）根据题意得出，，以及的坐标，进而求得直线的解析式，过点作轴，交于点，过点作，过点作，求得，根据，即可求解； （2）方法1：连接，过点作轴，过点作轴，根据勾股定理分别表示出，根据，得出，化简即可求解．方法2：过点作轴，分别过点，，作，，证明，根据相似三角形的性质列出关系式，化简即可求解； （3）方法1：作点关于轴的对称点，连接，，，证明，即可求解；方法2：过点作轴，过点作轴，先证明得出则，分别表示出，根据勾股定理的逆定理进行判断，即可求解． 【规范解答】（1）解：当，时，，， ． 设直线，代入 ∴，解得：， ∴， 过点作轴，交于点，过点作，过点作， 当时，， 点， ， ． （2）连接，过点作轴，过点作轴， ，， 中，， 中，， ，化简得， ， ， ． 方法2： 过点作轴，分别过点，，作，， ∴，则 ∴， ，即， 化简得， ， ， ． （3）直角三角形． 理由如下：方法1：作点关于轴的对称点，连接，，， ， ， 的坐标为， 点和点关于轴对称， ，与也关于轴对称， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， 点和点关于轴对称， 轴， ， ，即， 以，及为边组成三角形是直角三角形． ∴以，及为边组成三角形是直角三角形． 方法2：过点作轴，过点作轴 ， 设直线，将和代入， 求得， 点坐标为． ∵， 所以， ，即， 化简得， ． ， ， ， ， 以，及为边组成三角形是直角三角形． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八讲 用三角函数解决问题『重点难点突围专项练（江苏专用）』 （十二大题型讲练+难度分层练 共56题） 【原卷版】 简介 蓄力升学 逐梦前行 『真题溯源·江苏专版』本资料深度剖析江苏省近两年中考真题及前沿模拟题，直击中考高频考点，精准锁定每年必考的常考题型与思想方法，让你的练习不偏科、不做无用功。 【第一部分 题型讲练·模型拆解】采用“例题精讲+变式训练”模式，对每类重难点题型进行标准化拆解。配套详尽的解题思路与规范步骤，不仅教会你如何解题，更传授得分技巧，帮你建立满分思维。 【第二部分 能力分层·稳步提升】科学设置20题分层训练： 1. 基础能力提升（10题）：快速夯实核心考点，确保基础分不丢分； 2. 拔尖突破冲刺（10题）：聚焦易错题与综合压轴题，挑战思维极限，实现分数阶梯式增长。 『助力升学·决胜考场』依托真题本源，对标中考难度。这套讲义是你通往理想高中的坚实阶梯，愿你以梦为马，提笔为剑，在中考战场上披荆斩棘，金榜题名！ 目录 题型汇总 一览无余 【重点考向 精讲精练】 2 考向一 求角的正弦值与已知正弦值求边长 2 考向二 求角的余弦值与已知余弦值求边长 3 考向三 求角的正切值与已知正切值求边长 3 考向四 特殊角的三角函数 5 考向五 根据特殊角三角函数值求角的度数 6 考向六 锐角三角函数的增减性 7 考向七 利用同角三角函数关系求值 8 考向八 三角函数综合 9 考向九 仰角俯角问题（解直角三角形的应用） 11 考向十 方位角问题（解直角三角形的应用） 12 考向十一 坡度坡比问题（解直角三角形的应用） 14 考向十二 其他问题（解直角三角形的应用) 16 【难度分层 实战演练】 18 『基础能力提升』 18 『拔尖突破冲刺』 21 第一部分 精讲变式 融会贯通 【重点考向 精讲精练】 考向一 求角的正弦值与已知正弦值求边长 【典例精讲】（25-26九年级下·江苏无锡·期中）如图，已知点是矩形的对角线上的一动点，正方形的顶点、都在边上，若，，则_____． 【变式训练1】如图，在平行四边形中， E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证： (2)若 ，求四边形的面积． 【变式训练2】（2026·江苏南通·模拟预测）若中，，，那么（   ） A． B． C． D．1 考向二 求角的余弦值与已知余弦值求边长 【典例精讲】（2025·江苏无锡·二模）如图，在矩形中，已知为边上的中点，若将沿着直线翻折，使点A落在点处，连接，则___________． 【变式训练1】宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026·江苏南京·模拟预测）定义：若一个直角三角形中，两个锐角的内角满足其中一个角的2倍与另一个角互余，则我们称这个三角形为“倍角互余三角形”．如图，在中，，点为上一个动点，若为“倍角互余三角形”，则的长为______． 考向三 求角的正切值与已知正切值求边长 【典例精讲】（2026·江苏泰州·一模）如图，为的直径，点P在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，，则_______． 【变式训练1】（2026·江苏宿迁·一模）如图，已知矩形，，． (1)点E在矩形内部，为等边三角形，请在图1中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点E； (2)点P为线段上一点，若，请在图2中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点P； (3)若符合（2）中要求的点P必定存在，则m的取值范围是______． 【变式训练2】（2026·江苏南通·一模）如图，矩形中，，，边上有一点E，从点A开始以每秒2个单位长度的速度沿向右匀速运动，连接，过点A作，与边交于点F，设点E的运动时间为t秒． (1)当时，求的长； (2)作点A关于的对称点，连接并延长交于点G，连接．若是等腰直角三角形，求证； (3)在（2）的条件下，求t的值． 考向四 特殊角的三角函数 【典例精讲】（2026·江苏徐州·一模）（1）计算：； （2）化简：． 【变式训练1】（2026·江苏南通·模拟预测）计算： (1) (2)若整数使得关于的不等式组有且仅有个整数解，且使关于的一元一次方程的解满足．求整数所有可能的值． (3)先化简，再求值：，其中整数满足． 【变式训练2】（2026·江苏泰州·一模）拉筋板是一种常见的健身器材，通过站立于倾斜的踏板上，利用自身重力拉伸小腿后侧肌群，达到放松肌肉、改善柔韧性的效果． 图1是放置在水平地面上的拉筋板实物图，图2是其侧面示意图，由踏板，底座及支撑架组成，，支撑架可绕点A旋转，当D点卡在底座上的不同档位（为锐角）时，踏板可绕点B旋转以调节倾斜角度．当点D调至时，． (1)求的长； (2)该拉筋板的使用说明书提示：当踏板与水平地面的夹角超过时，人体重心偏高，易发生受伤风险．小明在进行拉伸时为避免受伤，对D点位置进行了调整（如图3），请求出的最小值．（结果保留根号）（参考数据：，，） 考向五 根据特殊角三角函数值求角的度数 【典例精讲】（2025·江苏连云港·一模）如图，将扇形沿方向平移，使点移到的中点处，得扇形，若，，则阴影部分的面积为________． 【变式训练1】如图，以为圆心，半径为2的圆与轴交于、两点，与轴交于，两点，点为上一动点，于，当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为_________． 【变式训练2】（2025·江苏南通·模拟预测）取一张正方形的纸片进行折叠，具体操作过程如下： 第一步：如图1，先把正方形对折，折痕为． 第二步：点在线段上，将沿翻折，点恰好落在上，记为点，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)作点关于直线的对称点，连接、． ①在图2中补全图形，并求出的度数； ②猜想的度数，并加以证明；（温馨提示：当你遇到困难时，不妨连接、，研究图形中特殊的三角形） 考向六 锐角三角函数的增减性 【典例精讲】（2025·江苏淮安·模拟预测）如图①为边长为4的正方形七巧板，拼成如图②所示的四边形，连接交于点H，则______． 【变式训练1】（25-26九年级上·福建泉州·期末）阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系： 如图1， ． 一般地，当a、β为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：． 例如： ． 任务： (1)计算： _________； (2)如图2，在中，，求的长； (3)已知，且，求的值． 【变式训练2】（2025·江苏宿迁·一模）如图，已知，，，、分别为、上的点，连接，若于点，且平分▱的面积，过作于点，连接，则的最小值为_____ 考向七 利用同角三角函数关系求值 【典例精讲】如图，是的切线，为切点，以为顶点作，交于点，交于点，连接，交于点． (1)与有什么数量关系，请说明理由； (2)若的半径为，，，求的长． 【变式训练1】（2024·江苏无锡·一模）如图，在中，．以为直径的圆分别交，于点，．过点作圆的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【变式训练2】（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，已知是的直径，C为上一点， 的角平分线交于点D，F在直线上，且，垂足为E，连接、． (1)求证： 是的切线； (2)若，的长为2，求的半径和的长． 考向八 三角函数综合 【典例精讲】（2026·江苏徐州·一模）如图，为的外接圆，D为外一点，连接，，交于点E，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，的半径为4，求图中阴影部分的面积． 【变式训练1】（2026·江苏镇江·一模）如图，、为的直径，过点的切线交的延长线于点，点在弦上，，交直径于点，延长交于点． (1)求证：； (2)已知，． ①求线段的长： ②仅用一把无刻度的直尺在直径上作一点，使得的值最小（要求：不写作法，保留作图痕迹，如用铅笔作图，必须用黑色水笔把线条描清楚），并直接写出这个最小值___________． 【变式训练2】（2026·江苏苏州·一模）如图，中，，分别为边，上一点，且，的外接圆与边交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ①设的半径为，求弦的长度（用含字母的代数式表示）； ②弦长度的最小值为______． 考向九 仰角俯角问题（解直角三角形的应用） 【典例精讲】（2026·江苏徐州·一模）淮海战役烈士纪念塔位于江苏省徐州市，是全国著名爱国主义教育基地与红色旅游景区．如图，为了测量其高度，小马和小明分别在D，E两处进行观测，由于地形原因，点E高于地面且到地面的高度，在E处用测角仪测得塔顶A的仰角，在D处用测角仪测得塔顶A的仰角，点C，B，D在同一直线上，且，，，所有点均在同一竖直平面内，求淮海战役烈士纪念塔的高度（测角仪高度忽略不计，结果精确到）． （参考数据：，，，，，） 【变式训练1】（2026·江苏徐州·模拟预测）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点D处安装测角仪，测得信号杆顶端A的仰角α为，与坡面的夹角β为，又测得点D与信号杆底端B之间的距离为．已知，点A，B，C在同一条直线上，，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，） 【变式训练2】（2025·江苏泰州·三模）如图1，某校的一棵银杏，树龄已逾千年，为了映衬这棵古银杏，园林部门以树干根部为中心，在其四周的地面铺设了圆形的景观草坪．小强所在综合学习小组，为了测量这棵银杏树的高度，采取如下测量方案：将测角仪支架放在圆形草坪的圆周上，使得测角仪与树干的距离等于圆形草坪的半径，当测角仪距离地面1米时，在A处测得树顶D的仰角为，再将测角仪的支架下降20厘米，在C处测得树顶的仰角为，如图2，请求出这棵银杏树的高度．（可选用数据：，，，，，） 考向十 方位角问题（解直角三角形的应用） 【典例精讲】（2026·江苏宿迁·一模）中国自行研制的北斗卫星导航系统可在全球范围内为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小明一家自驾去风景区C游玩．到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶8千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区C，小明发现风景区C在A地的北偏东方向． (1)的度数为_____； (2)求B，C两地的直线距离．（结果精确到0.1千米；参考数据：，，） 【变式训练1】（2026·江苏南京·模拟预测）在某海域开展的“海上联合”反潜演习中，我方军舰要到达C岛完成任务．已知军舰位于B市的南偏东方向上的A处，且在C岛的北偏东方向上，B市在C岛的北偏东方向上，且距离C岛，此时，我方军舰沿着方向以的速度航行，问：我方军舰大约需要多长时间到达C岛？（参考数据：，，，） 【变式训练2】（2026·江苏连云港·一模）水晶公园是市民休闲时的一个好去处．如图，小明和他的综合实践活动小组利用课余时间，想测量水晶公园的东西最大宽度，他们选定了两个观测点，，观测点在点的北偏东方向上，观测点在点的北偏西方向上，点在点的正东方，又测量得，，．求水晶公园的东西最大宽度．（结果精确到．参考数据：，，，） 考向十一 坡度坡比问题（解直角三角形的应用） 【典例精讲】（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，某数学兴趣小组为测量建筑物的高度，从水平地面上的点B处沿坡度为的山坡走了到达坡顶，沿方向前进到达点C处，测得E的仰角为；在点A处测得E的仰角为，点A、B、C、D、E在同一水平面内，且． (1)求点A到的距离； (2)求点A到建筑物的水平距离； (3)求建筑物的高度． 【变式训练1】．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）2026年1月25日，美国攀岩传奇人物亚历克斯·霍诺德成功徒手攀登中国台北101大楼，全程无绳索、无安全装备，仅用时91分钟就登顶508米高的塔尖，成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人．亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧，为了这次挑战，他进行了长达数年的艰苦训练，反复研究大楼的每一处结构、每一个难点．在一次观测当中，他发现一个关键攀登难点N，他在距离楼底60米的A处观察（即米），用测倾器测得攀登难点N的仰角为，然后沿斜坡向上走到B处观察，测得攀登难点N的仰角为．已知点在同一条水平直线上，斜坡的斜面坡度为（即），测倾器高度忽略不计． (1)求攀登难点N的高度（即的长）； (2)求观察点B的铅直高度（结果保留根号）． 【变式训练2】（2026九年级下·全国·专题练习）如图，夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处．已知小明的身高为，他在道路上的影长（单位：）与行走的路程（单位：）之间的函数关系如图所示，其中，，是线段，是曲线． (1)结合的位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义． (2)路灯的高度是_______． (3)设的坡角为． ①通过计算：比较线段与线段的倾斜程度． ②当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述； 随的增大而增大； 随的增大而减小； 随的增大先增大后减小； 随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是_______． 考向十二 其他问题（解直角三角形的应用) 【典例精讲】如图1，为洗手盆上常装有的一种抬启式水龙头，当完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图2，点，，在一条直线上，，其中，，． (1)求的长； (2)如果出水口与点间的距离为，出水管与的夹角，求出水管的长．（参考数据：，，，）．（结果保留整数） 【变式训练1】（2026·江苏南通·一模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），“偃矩以望高”意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度，小明依照此法测量学校操场边一棵树的高度，如图，点A，B，Q在同一水平线上，与相交于点．测得，，，则树高____． 【变式训练2】（2025·山东·二模）如图1，墙壁上的点A处装有一个壁挂式吊灯，已知支架长度为，且与墙壁所成夹角，壁灯吊杆长，与的夹角可调节．吊灯连接杆垂直于地面，． (1)如图2，当时，求灯口D与墙壁的距离； (2)如图3，现有一靠墙放置的学习桌与地面平行，其距离地面的高度为．为了日常使用方便，当与夹角调整至时，灯口D需距离桌面，求点A距离地面的高度．（参考数据：） 第二部分 分层训练 实战攻坚 【难度分层 实战演练】 『基础能力提升』 1．如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与垂直的方向走了10米，到达点C，测得，那么的长为____米．（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·广东深圳·模拟预测）年月日起，市场监管总局（国家标准委）发布的《中小学生午休课桌椅通用技术要求》实施，规定午休时，椅子能展开成躺姿，靠背能放倒到以上．图示为一款可躺睡椅子及其简化结构，椅座平行于地面，支点到地面的距离为厘米，靠背的长为厘米．若，则点到地面的距离的长是（    ）厘米． A． B． C． D． 4．（2026·江苏泰州·一模）某河堤横断面如图所示，堤高，迎水坡的坡比是，则的长为________m． 5．（2025·江苏常州·三模）我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨的中点为E，最长的斜拉索长，记与大桥主梁所夹的锐角为，那么用的长和的三角函数表示主跨长的表达式应为_____； 6．（2025·广东清远·二模）广州塔是中国第一高电视塔，俗称“小蛮腰”，享有“世界第二高电视塔”的美誉．在一次综合实践活动中，如图，某数学小组用无人机在离塔中心一定距离的处测得塔顶的仰角为，再将无人机垂直上升到离点距离为米的点处，此时测得塔顶点的仰角为，则测得小蛮腰的高度为__________米． 7．（25-26九年级下·北京·开学考试）计算：． 8．（2025·江苏宿迁·中考真题）小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点、处，选取河对岸的一块石头作为测量点（点在同一水平面内），小明同学在点处测得为，小军同学在点处测得为，两人之间的距离为60米，求此河流的宽度．（参考数据：） 9．（2026·江苏扬州·一模）计算与解不等式组： (1) (2) 10．（2026·江苏镇江·一模）某消防大队进行消防演练，消防车上的云梯可伸缩、可绕底部旋转，已知云梯的最大伸长长度为20米，云梯与地面的夹角可在到之间调节，云梯底部离地面的高度为2米，模拟着火点为点. (1)如图，云梯底部距着火点所在的建筑物外墙的水平距离为8米，通过电脑操控，将云梯与地面的夹角调为时，可将消防员送达模拟着火点；求点距离地面的高度（结果保留根号）； (2)已知云梯底部与建筑物外墙的水平距离为（单位：米），要使得消防员乘坐云梯能够到达点，则的取值范围是___________（结果保留根号，参考数据：，，）. 『拔尖突破冲刺』 1．如图（1）所示，为矩形的边上一点，动点，同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是．设、同时出发时，的面积为．已知与的函数关系图象如图（2）(曲线OM为抛物线的一部分)．则下列结论，①；②；③当时， ；④当秒时，；其中正确的结论是(　　) A．①②③ B．①③ C．①③④ D．②④ 2．（2026·江苏连云港·一模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点、、都在格点上，过、、三点的圆与网格线交于点，则的值为（   ）． A． B． C． D．3 3．（2026·江苏苏州·一模）如图，在菱形中，，．折叠该菱形，使点落在边上的点处，折痕分别与边，交于点，F．当点的位置变化时，长的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在菱形中，，，M是边的中点，N是边上任意一点，将菱形沿翻折，点A落在点E处，连接，则的最小值为_______． 5．（2026·江苏扬州·一模）如图，扬州市城南快速路在某个转弯车道设计了一段圆弧转弯路线（即圆的一部分），机动车在经过这一转弯车道时从圆弧起点行驶至终点，过点，的两条切线相交于点，机动车在从点到点行驶过程中的转角为．若这段圆弧的半径，，则图中危险区（阴影部分）的面积为________． 6．（2026·江苏苏州·一模）如图，在菱形中，，将沿折叠，使得点落在边上的点处．当的长度取得最大值时，折痕的长度为_____．（结果保留根号） 7．（2026·江苏扬州·一模）计算： (1)； (2)化简：． 8．（2026·四川成都·一模）如图，在中，，D为斜边上一点，是的外接圆，交于点F，直径交于点G． (1)求证：； (2)若，，，求及的长． 9．（2026·江苏苏州·一模）如图，D为的边上一点，连接．点B关于直线的对称点E落在的外接圆上，连接． (1)如图①，求证：； (2)若，，，求的长； (3)如图②，若与相切，且，求证：点D是的黄金分割点． 10．（2026·江苏泰州·一模）平面直角坐标系中，点，是反比例函数（）图象上两点，点和点关于点对称．设点，的横坐标分别为，（）． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，当时，求的值； (3)如图3，过点作直线的垂线，垂足为，并交轴于点，直线交轴于点，连接，若以，及为边组成三角形，请判断该三角形的形状，并说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $