专题04 三角形的中位线与梯形的性质【期末复习重难点专题培优】-2025-2026学年数学苏科版八年级下册

**基本信息** 聚焦三角形中位线与梯形性质，通过6类高频题型讲练（求解、证明、应用等）+分层真题演练，构建“概念-推理-应用”逻辑体系，提炼中位线转化、中点四边形判定等核心方法。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重点题型分类讲练|6题型（1精讲+2精练）|中位线性质“平行且半长”应用、中点四边形与原四边形对角线关系、等腰梯形边/角/对角线判定|从三角形中位线基础到中点四边形拓展，再到梯形性质综合，形成“三角形→四边形”递进链条| |基础夯实+拓展拔尖|20题（期末真题）|动态问题中中位线不变性、梯形动点分类讨论|结合几何直观与推理能力，覆盖基础应用到综合创新，强化模型意识|

2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题04 三角形的中位线与梯形的性质『期末复习重难点专题培优』 【6个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共38题】 01 题型汇总 目录 【重点题型 分类讲练】 1 题型一 与三角形中位线有关的求解问题 1 题型二 与三角形中位线有关的证明 3 题型三 三角形中位线的实际应用 6 题型四 中点四边形 7 题型五 等腰梯形的性质定理 11 题型六 等腰梯形的判定定理 12 【基础夯实 能力提升】 15 【拓展拔尖 冲刺满分】 25 02 题型汇编 讲练 【重点题型 分类讲练】 题型一 与三角形中位线有关的求解问题 【精讲】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，D，E分别是边，的中点，，则的长为_____． 【答案】6 【详解】解：∵D，E分别是边，的中点，， ∴. 【精练1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，分别是各边的中点，是高，连接，．有如下结论：①四边形是平行四边形；②；③；以上结论正确的有______． 【答案】①②③ 【分析】根据三角形中位线定理得到，，继而得到四边形是平行四边形，结论①正确；根据三角形中位线定理和直角三角形斜边中线定理得到，结论③正确；同理可证，根据判定，得到，结论②正确． 【详解】解：∵分别是的中点， 是的中位线， ，， 四边形是平行四边形，结论①正确； 分别是边的中点， 是的中位线， ， ，是的中点， ， ，结论③正确； ，同理可得， 在和中， ， ， ，结论②正确． 【精练2】（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，菱形中，点、、、分别是菱形各边的中点，连接、、、，若菱形的对角线之和为20，则四边形的周长为__________． 【答案】20 【分析】连接，根据三角形中位线定理可得，从而得到四边形的周长为，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵点、、、分别是菱形各边的中点， ∴， ∴四边形的周长为， ∵菱形的对角线之和为20， ∴， ∴四边形的周长为20． 题型二 与三角形中位线有关的证明 【精讲】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形中，分别是，，，的中点，要使四边形是菱形，四边形应满足的条件是______． 【答案】 【分析】 本题考查了菱形的性质和判定，中位线定理，利用三角形中位线定理证得四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定定理，由邻边相等推导出原四边形对角线的关系即可． 【详解】解：连接，，如图所示， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∵，分别是，的中点 ∴是的中位线 ∴ 当时 ∴ ∴平行四边形是菱形． ∴当时,四边形是菱形． 【精练1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，，D，E，F分别是，，的中点．连接，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，再根据三角形中位线定理，证明，即可证明结论． 【详解】证明：，且F是中点， ， 点D，E分别是，的中点， 是的中位线， ， ． 【精练2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，点、、、分别是、、、的中点． (1)判断四边形的形状，并证明你的结论． (2)当、满足__________条件时，四边形是正方形．（选出合适的序号）①；②；③ 【答案】(1)平行四边形，见解析 (2)①② 【分析】（1）根据题意得到分别是的中位线，得到，即可证明结论； （2）选择①②，根据已知条件以及中位线定理证明和，即可得到结论． 【详解】（1）四边形是平行四边形，证明如下： 点分别是的中点， 分别是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：①②； 由（1）知，， ， ， ，， ， 故四边形是正方形． 题型三 三角形中位线的实际应用 【精讲】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，A，B两地被房子隔开，小明通过下面方法估测A，B间的距离：先在外选一点C，然后步测出，的中点M，N并步测出的长约为40米，由此可知，A，B间的距离约为________米． 【答案】80 【分析】根据三角形中位线的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵M、N分别为、的中点， ∴， ∵米， ∴米． 【精练1】（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，A、B两点被池塘隔开，在池塘外选取点O，连接，，分别取，的中点M，N，若测得，则A，B两点间的距离是________． 【答案】24 【分析】根据三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，由此可得，代入数据计算即可． 【详解】解：点，分别为，的中点， 是的中位线， ． 【精练2】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）校园池塘周围种了几棵垂柳，数学实验小组为测量点，处的两棵垂柳的距离，先在地面上选一点，连接，，分别取边，的中点，测得的长为，则这两棵垂柳的距离为__________． 【答案】16 【分析】根据题意可知、分别为、的中点，从而判断为的中位线，利用三角形中位线定理可得，代入数据计算即可求解． 【详解】解： 、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ． 题型四 中点四边形 【精讲】（25-26八年级下·江苏南京·月考）如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是矩形，需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理可得且，且，且，且，易证四边形为平行四边形，再由矩形的判定，即可求解． 【详解】解： 、、、分别是线段、、、的中点， ∴在中，为的中位线， 且；同理且，且，且， 则且，且， ∴四边形为平行四边形， 要使四边形是矩形，则需，即， ，， 当时，，此时四边形是矩形． 【精练1】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形中，对角线，且，E、F、G、H分别是、、、的中点．若的最小值是，则的长度为（    ） A．1 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】先证明四边形是正方形．如图，记，的交点为，连接，，可得，当三点共线，最小，则最小，再进一步求解即可． 【详解】解：∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，，，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 又∵， ∴， ∴四边形是正方形． 如图，记，的交点为，连接，， ∵， ∴，， ∴， 当三点共线，最小，则最小， 此时， ∴， ∴， ∴， 故选：A 【精练2】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，四边形的两条对角线分别为和，且满足，，那么依次连接它的各边中点得到的四边形的面积为_______． 【答案】 【分析】此题考查了中点四边形的性质．学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判定和矩形的判定进行证明，是一道综合题． 由三角形中位线的性质，可判定且，同理，得且．继而可证得四边形为平行四边形，． 再由证明为矩形，即可求出四边形的面积． 【详解】证明：∵分别为的中点， ∴且． ∵分别为的中点， ∴且． ∴且． 同理，得且． ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴． ∴四边形为矩形． ∴ 即四边形的面积为． 故答案为： 题型五 等腰梯形的性质定理 【精讲】（25-26八年级下·江苏南京·期中）在梯形中，，，若，则______°． 【答案】50 【分析】根据平行线的性质及等腰梯形的性质解答 【详解】解：，， ∴， ∵梯形中，，， ∴梯形是等腰梯形， ∴ 【精练1】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）已知如图在等腰梯形中，，，，若，则等腰梯形的周长为________． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰梯形的性质，梯形周长的转化计算． 作交于点，证明四边形是平行四边形，以及是等边三角形，得到，继而得出梯形的周长． 【详解】解：如图，作交于点， ，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， 梯形的周长为． 【精练2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，小亮用六块形状、大小完全相同的等腰梯形拼成一个四边形，则图中的度数是______． 【答案】60°/60度 【分析】根据四边形内角和，等腰梯形的两个底角相等，得到，求解即可； 【详解】解：根据题意，得四边形内角和， 由等腰梯形的两个底角相等，得到， 解得. 题型六 等腰梯形的判定定理 【精讲】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在梯形中，，E，F是下底上的两点，．连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】先证明梯形是等腰梯形，再证明，即可求证． 【详解】证明：∵梯形中，， ∴梯形是等腰梯形， ∴， ∵ ∴ ∴． 【精练1】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，，同时从，出发，点以的速度沿运动，点从开始沿边以的速度运动，其中一点到达时，另一点也随之停止运动，设运动时间为．当为何值时，四边形是等腰梯形？ 【答案】 【分析】当时，四边形是等腰梯形，过Q、C分别作，，垂足分别为E、F，得到，四边形、为矩形， 勾股定理求出，根据，列方程求解即可 【详解】∵， ∴当时，四边形是等腰梯形， 过Q、C分别作，，垂足分别为E、F．    则四边形、为矩形， ∴， ∴， ， ∴，解得， 【精练2】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，已知在四边形中，，，，，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】（1）证明梯形的两个底角相等，、不平行，即可得到结论； （2）作于点 ，于点，根据直角三角形的性质以及平行四边形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是梯形， ∵， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴、不平行， 梯形是等腰梯形． （2）解：作于点 ，于点， ∵四边形是等腰梯形 ∴ ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴． 03 真题强化 实战 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，四边形中，，连接，，取的中点，的中点，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、三角形中位线定理，熟记三角形中位线平行于第三边是解题的关键．根据直角三角形的性质求出，根据等边三角形的性质得到，进而求出，再根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：在中，， 则， 在中，点是的中点， 则， 为等边三角形， ， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ， ， 故选：B． 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，菱形中，E，F分别是边上的动点（E，F不与菱形的顶点重合），连接，G，H分别为的中点，连接．若，的最小值是，则菱形的边长是（　　） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，垂线段最短，三角形中位线定理，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 根据三角形中位线定理得，当时，有最小值，此时也是最小，利用菱形的性质求出，进而可得答案． 【详解】解：连接， ∵G，H分别为的中点， ∴， ∴当时，有最小值，此时有最小值， ∴此时， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平行四边形中，，，，点F在边上运动，连接，若H是的中点，E为边的中点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】作点A关于直线的对称点L，连接交于点P，连接，则，由平行四边形的性质得，因为，所以，则，求得，则，所以，由，得，因为H是的中点，E为边的中点，所以，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作点A关于直线的对称点L，连接交于点P，连接， 由对称性质得垂直平分， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵H是的中点，E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 4．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）如图，在平行四边形中，点M为边上任意一点，点E，点F分别是的中点，若，则的长为___________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据平行四边形的性质得出相等的边，然后判定是的中位线，根据三角形中位线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E，点F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：3． 5．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图，在△ABC中，于点D，E，F分别是的中点，则_____， _____， _____． 【答案】 1.8 2 1.2 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据三角形中位线定理即可求解，根据直角三角形斜边中线的性质即可求解． 【详解】解：∵E，F分别是的中点， ∴为的中位线， ∴, ∵，E是的中点， ∴； 同理可得， 故答案为：，，． 6．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，在四边形中，、所在直线互相垂直，E、F分别是、的中点．当时，____________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理以及勾股定理的应用，熟记三角形中位线平行于第三边并等于第三边的一半是解决本题的关键． 通过构造辅助线，，，再由，，结合平行线的性质，即可求出的长度． 【详解】解：连接，取的中点H，再连接、，如图， 在中，因为E是的中点，H是的中点， 可得是的中位线， 所以， 已知，则， 在中，因为F是的中点，H是的中点， 同理可得是的中位线， 所以， 已知，则， 因为，，且、所在直线互相垂直， 所以，即， 在中，可得， 把，代入上式，可得， 所以． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）在四边形中，，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了中点四边形，三角形中位线定理，平行四边形和矩形的定义等知识点，画出图形、利用三角形的中位线推理证明是解题的关键． 连接、、、的中点、、、，根据三角形的中位线定理，得出，，，，求出、的长，推出，，根据平行四边形和矩形的定义证明四边形是矩形，根据矩形的面积，计算得出答案即可． 【详解】解：如图，、、、分别为、、、的中点，连接点、、、， ∴，，，，，（三角形的中位线定理）， ∴，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）， ∴矩形的面积． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，将△绕点逆时针旋转． (1)画出旋转后的三角形，并写出点的对应点的坐标； (2)连接的中点与旋转后的对应点，求的长． 【答案】(1)，图见解析 (2) 【分析】本题考查作图旋转变换、勾股定理、三角形中位线定理，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、三角形中位线定理是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （2）连接，由题意得为的中位线，则，利用勾股定理求出的长，进而可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 由图可得，点的对应点的坐标为． （2）连接， 点为的中点，点为的中点， 为的中位线， ． 由勾股定理得，， ． 9．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）如图，已知中，D、E、F分别为边上的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是正方形，则的边和有什么关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，，理由见解析 【分析】此题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理、正方形的性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． （1）根据三角形中位线定理得到，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据正方形的性质得到，，则，由中位线定理得到，即可证明． 【详解】（1）证明：∵D、E、F分别为边上的中点． ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）， 理由如下：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴, ∴． 10．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）如图，在矩形中，点，分别是四边的中点；    (1)判断四边形的形状，并给出理由； (2)当，时，四边形的面积等于_______． 【答案】(1)四边形为菱形，理由见解析 (2)24 【分析】（1）连接、，由矩形的性质可得，由三角形的中位线定理可得，，从而得到，根据菱形的判定即可得证； （2）连接，，证明四边形都是平行四边形得到，再根据菱形的性质即可得到菱形的面积为，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：四边形为菱形， 理由如下：连接、，    ∵四边形为矩形， ∴， ∵点，分别是四边的中点 ∴，， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：如图，连接，，   ，四边形是矩形， ，，， 点，分别是四边的中点， ， 四边形都是平行四边形， ， 四边形是菱形， 四边形的面积为， 故答案为：24． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，在四边形中，，，、分别是、的中点，若的长恰为整数，则的长可以是（    ）    A．，， B．， C．，， D．，，， 【答案】C 【分析】连接并延长至，使得，连接、，证明，根据三角形三边关系，可得的范围，根据中位线的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长至，使得，连接、，   ， 是的中点， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， 当时，，，三点共线， ， 分别是的中点，， 是的中位线， ， 长的取值范围为：， 的长可以是：，，， 故选：C． 2．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）等腰三角形中有一条边长为4，其三条中位线的长度总和为8，则底边长是（　　） A．4 B．8 C．4或6 D．4或8 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的中位线的性质，三角形三边关系，根据三角形的中位线的性质先求解等腰三角形的周长，再分情况讨论即可． 【详解】解：∵等腰三角形三条中位线的长度总和为8， ∴等腰三角形的周长为， 当4为腰，则底边为， 此时，不能构成三角形， 当4为底，则腰为； ，能构成三角形， ∴底边为． 故选：A． 3．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）如图，是线段上一动点，分别是的中点，随着点的运动，的长（   ） A．随着点的位置变化而变化 B．保持不变，长为 C．保持不变，长为 D．保持不变，长为 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的判定和性质，中位线性质，掌握以上概念及计算是关键． 如图所示，过点作于点，连接，可得四边形是矩形，，，在中，由勾股定理得到，由题意可得是中位线，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 在中，点分别是的中点，则是中位线， ∴， ∴随着点的运动，的长保持不变，长为， 故选：D ． 4．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”．如图，四边形的对角线，且两条对角线的夹角为，则该四边形较短的“中对线”的长为______．   【答案】3 【分析】此题考查的是三角形的中位线定理，根据三角形中位线定理可得菱形，然后根据菱形的性质及等边三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，取四边的中点，依次连接起来，设与交点M， ∴是的中位线， ，， 同理， ，，， ，， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 为等边三角形， ， 较短的“中对线”长度为． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，点G在正方形的边上，以为边向正方形外部作正方形，连接，M、N分别是的中点，连接．若，则_______．    【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形中位线的定义及性质、勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解答本题的关键． 如图：连接，在中利用勾股定理求出的长，然后在中利用三角形中位线定理求出的长即可． 【详解】解：如图：连接，    ∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在中，， ∵M、N分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）在中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点分别为的中点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，垂线段最短，勾股定理等，连接，可得是的中位线，即得，可知当时，取最小值，此时的值最小，利用的面积求出垂线段的长即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵点分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 当时，取最小值，此时的值最小， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为, 故答案为：． 7．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，在矩形中，，，E为上一点，，M为的中点．动点P，Q从E出发，分别向点B，C运动，且．若和交于点F，连接，则的最小值为_________． 【答案】/ 【分析】本题考查了中位线的应用，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 要求的最小值，因为是定点，所以需要先找到点的运动轨迹，当两点在点重合时，在点，当两点分别到时，在对角线交点处，所以的运动轨迹就是线段，当时最短，进而再用等面积计算即可得解． 【详解】解：当和在点重合时，在点处，当两点分别到时，在对角线交点处， 所以的运动轨迹就是线段， ∴当时，最小， ∵是中点，是中点， ∴，且，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴根据等面积得． 即的最小值为， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，、分别是不等边三角形（即的边、的中点．是平面上的一动点，连接、，、分别是、的中点，顺次连接点、、、．                               (1)如图，当点在内时，求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，点所在位置应满足什么条件？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)点的位置满足两个要求：，且点不在射线、射线上．理由见解析 【分析】此题主要考查了中点四边形的判定以及三角形的中位线的性质和平行四边形以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关的定理是解题关键． （1）首先利用三角形中位线的性质得出，，同理，，，即可得出，即可得出四边形是平行四边形； （2）利用（1）中所求，只要邻边再相等即可得出答案． 【详解】（1）证明：、分别是边、的中点． ∴，． 同理，，． ∴，． 四边形是平行四边形； （2）解：点的位置满足两个要求：，且点不在射线、射线上． 理由：由（1）得出四边形是平行四边形， 点的位置满足两个要求：，且点不在射线、射线上时， 可得，， ， 平行四边形是菱形． 9．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）问题情境：如图1，在正方形中，，点是边上一点（点不与重合），将沿直线翻折，点落在点处． (1)如图2，当点落在对角线上时，求的长． (2)如图3，连接分别交于点，点，连接并延长交于点，当为中点时，试判断与的位置关系，并说明理由．    (3)如图4，在线段上取一点，且使，连接，则在点从点运动到点的过程中，的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析． (3) 【分析】（1）可证得为等腰直角三角形，，结合，可得． （2）连接，交于点，可知，根据三角形的中位线定理，即可求得与的位置关系． （3）在线段上取一点，使，连接，，可证得，则，观察图形可知，当点，，在同一条直线上时，最小，最小值为． 【详解】（1）根据折叠的性质可知，， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． （2），理由如下： 如图所示，连接，交于点．    根据题意可知为线段的垂直平分线， ∴． ∵为中点， ∴，即． （3）如图所示，在线段上取一点，使，连接，．    在和中， ∴． ∴． ∴． 观察图形可知，当点，，在同一条直线上时，最小，最小值为． ∴． 10．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）在矩形ABCD中，，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)若G、H分别是AD、BC的中点，则下列关于四边形EGFH（E、F相遇时除外）的判断：①一定是平行四边形；②一定是矩形；③一定是菱形，正确的是______；（直接填序号，不用说理） (2)在（1）的条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值． 【答案】(1)① (2)2或8 【分析】（1）连接GH交AC于点O，利用三角形全等可得EG=FH，∠AEG=∠CFH，则EGFH，即可证明； （2）分为两种情况：当点E在点A、F之间时；当点F在点A、E之间时，利用EF=GH，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接GH交AC于点O， 由题意得：AE=CF， 在矩形ABCD中，有ADBC，AD=BC， ∴∠DAC=∠ACB，∠AGH=∠CHG， ∵G、H分别是AD、BC的中点， ∴ ∴AG=CH， ∴△AOG≌△COH（ASA）， ∴OG=OH，OA=OC， ∵AE=CF， ∴OE=OF， ∴四边形EGFH是平行四边形，故①正确； 随着t的变化，∠EGF也在变化，不一定是直角， 即四边形EGFH不一定是矩形，故②不正确； ∵G是AD的中点，O是AC的中点， ∴OGCD， ∵AC不垂直CD， ∴OG不垂直AC， ∴四边形EGFH不是菱形，故③不正确； 故答案为：①． （2）解：连接GH交AC于点O， 根据题意得：AE=CF=t， ∵G是AD的中点，O是AC的中点， ∴， 由（1）得：四边形EGFH是平行四边形， ∴GH=2OG=AB=6， 在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，∠B=90°， ∴， 当点E在点A、F之间时， 此时EF=AC-AE-CF=10-2t， ∵四边形EGFH为矩形， ∴EF=GH=6， ∴10-2t=6， 解得：t=2； 如图，当点F在点A、E之间时， 此时EF=AE+CF-AC=2t-10， ∴2t-10=6， 解得：t=8； 综上所述，t的值为2或8． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题04 三角形的中位线与梯形的性质『期末复习重难点专题培优』 【6个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共38题】 01 题型汇总 目录 【重点题型 分类讲练】 1 题型一 与三角形中位线有关的求解问题 1 题型二 与三角形中位线有关的证明 2 题型三 三角形中位线的实际应用 3 题型四 中点四边形 4 题型五 等腰梯形的性质定理 5 题型六 等腰梯形的判定定理 5 【基础夯实 能力提升】 7 【拓展拔尖 冲刺满分】 9 02 题型汇编 讲练 【重点题型 分类讲练】 题型一 与三角形中位线有关的求解问题 【精讲】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，D，E分别是边，的中点，，则的长为_____． 【精练1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，分别是各边的中点，是高，连接，．有如下结论：①四边形是平行四边形；②；③；以上结论正确的有______． 【精练2】（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，菱形中，点、、、分别是菱形各边的中点，连接、、、，若菱形的对角线之和为20，则四边形的周长为__________． 题型二 与三角形中位线有关的证明 【精讲】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形中，分别是，，，的中点，要使四边形是菱形，四边形应满足的条件是______． 【精练1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，，D，E，F分别是，，的中点．连接，．求证：． 【精练2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，点、、、分别是、、、的中点． (1)判断四边形的形状，并证明你的结论． (2)当、满足__________条件时，四边形是正方形．（选出合适的序号）①；②；③ 题型三 三角形中位线的实际应用 【精讲】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，A，B两地被房子隔开，小明通过下面方法估测A，B间的距离：先在外选一点C，然后步测出，的中点M，N并步测出的长约为40米，由此可知，A，B间的距离约为________米． 【精练1】（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，A、B两点被池塘隔开，在池塘外选取点O，连接，，分别取，的中点M，N，若测得，则A，B两点间的距离是________． 【精练2】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）校园池塘周围种了几棵垂柳，数学实验小组为测量点，处的两棵垂柳的距离，先在地面上选一点，连接，，分别取边，的中点，测得的长为，则这两棵垂柳的距离为__________． 题型四 中点四边形 【精讲】（25-26八年级下·江苏南京·月考）如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是矩形，需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【精练1】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形中，对角线，且，E、F、G、H分别是、、、的中点．若的最小值是，则的长度为（    ） A．1 B． C．3 D．4 【精练2】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，四边形的两条对角线分别为和，且满足，，那么依次连接它的各边中点得到的四边形的面积为_______． 题型五 等腰梯形的性质定理 【精讲】（25-26八年级下·江苏南京·期中）在梯形中，，，若，则______°． 【精练1】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）已知如图在等腰梯形中，，，，若，则等腰梯形的周长为________． 【精练2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，小亮用六块形状、大小完全相同的等腰梯形拼成一个四边形，则图中的度数是______． 题型六 等腰梯形的判定定理 【精讲】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在梯形中，，E，F是下底上的两点，．连接．求证：． 【精练1】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，，同时从，出发，点以的速度沿运动，点从开始沿边以的速度运动，其中一点到达时，另一点也随之停止运动，设运动时间为．当为何值时，四边形是等腰梯形？ 【精练2】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，已知在四边形中，，，，，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)求的长． 03 真题强化 实战 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，四边形中，，连接，，取的中点，的中点，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，菱形中，E，F分别是边上的动点（E，F不与菱形的顶点重合），连接，G，H分别为的中点，连接．若，的最小值是，则菱形的边长是（　　） A． B． C．6 D．3 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平行四边形中，，，，点F在边上运动，连接，若H是的中点，E为边的中点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．6 4．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）如图，在平行四边形中，点M为边上任意一点，点E，点F分别是的中点，若，则的长为___________． 5．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图，在△ABC中，于点D，E，F分别是的中点，则_____， _____， _____． 6．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，在四边形中，、所在直线互相垂直，E、F分别是、的中点．当时，____________． 7．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）在四边形中，，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是______． 8．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，将△绕点逆时针旋转． (1)画出旋转后的三角形，并写出点的对应点的坐标； (2)连接的中点与旋转后的对应点，求的长． 9．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）如图，已知中，D、E、F分别为边上的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是正方形，则的边和有什么关系？请说明理由． 10．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）如图，在矩形中，点，分别是四边的中点；    (1)判断四边形的形状，并给出理由； (2)当，时，四边形的面积等于_______． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，在四边形中，，，、分别是、的中点，若的长恰为整数，则的长可以是（    ）    A．，， B．， C．，， D．，，， 2．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）等腰三角形中有一条边长为4，其三条中位线的长度总和为8，则底边长是（　　） A．4 B．8 C．4或6 D．4或8 3．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）如图，是线段上一动点，分别是的中点，随着点的运动，的长（   ） A．随着点的位置变化而变化 B．保持不变，长为 C．保持不变，长为 D．保持不变，长为 4．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”．如图，四边形的对角线，且两条对角线的夹角为，则该四边形较短的“中对线”的长为______．   5．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，点G在正方形的边上，以为边向正方形外部作正方形，连接，M、N分别是的中点，连接．若，则_______．    6．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）在中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点分别为的中点，则的最小值是______． 7．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，在矩形中，，，E为上一点，，M为的中点．动点P，Q从E出发，分别向点B，C运动，且．若和交于点F，连接，则的最小值为_________． 8．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，、分别是不等边三角形（即的边、的中点．是平面上的一动点，连接、，、分别是、的中点，顺次连接点、、、．                               (1)如图，当点在内时，求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，点所在位置应满足什么条件？并说明理由． 9．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）问题情境：如图1，在正方形中，，点是边上一点（点不与重合），将沿直线翻折，点落在点处． (1)如图2，当点落在对角线上时，求的长． (2)如图3，连接分别交于点，点，连接并延长交于点，当为中点时，试判断与的位置关系，并说明理由．    (3)如图4，在线段上取一点，且使，连接，则在点从点运动到点的过程中，的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由． 10．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）在矩形ABCD中，，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)若G、H分别是AD、BC的中点，则下列关于四边形EGFH（E、F相遇时除外）的判断：①一定是平行四边形；②一定是矩形；③一定是菱形，正确的是______；（直接填序号，不用说理） (2)在（1）的条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $