专题06 分式的基本性质【期末复习重难点专题培优】-2025-2026学年数学苏科版八年级下册

**基本信息** 以8类高频易错题型为核心，通过“精讲+精练+真题”三阶训练，系统构建分式基本性质的应用方法体系，逻辑覆盖从概念变形到运算技巧的完整链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重点题型分类讲练|8题型（含精讲+精练）|分式变形条件分析、值变化规律判断、符号与系数规范化、约分通分技巧|从基本性质（概念生成）到变形应用（原理推导）再到运算深化（应用拓展）| |基础夯实+拓展拔尖|20题（期末真题）|结合具体情境的分式转化、新定义问题（巧分式/和谐分式）的推理应用|通过问题情境发展抽象能力与推理意识，强化运算能力|

2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题06 分式的基本性质『期末复习重难点专题培优』 【8个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共44题】 01 题型汇总 目录 【重点题型 分类讲练】 1 题型一 求使分式变形成立的条件 1 题型二 利用分式的基本性质判断分式值的变化 2 题型三 将分式的分子分母的最高次项化为正数 2 题型四 将分式的分子分母各项系数化为整数 3 题型五 约分 3 题型六 最简分式 3 题型七 最简公分母 4 题型八 通分 4 【基础夯实 能力提升】 5 【拓展拔尖 冲刺满分】 7 02 题型汇编 讲练 【重点题型 分类讲练】 题型一 求使分式变形成立的条件 【精讲】（24-25八年级下·江苏常州·月考）在括号内填上适当地整式，使下列等式成立：（1）；（2）；括号内应填________；_________． 【精练1】（24-25八年级下·江苏南京·期末）若，则M为（   ） A． B． C． D． 【精练2】（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）已知实数，若，则的最大值为________． 题型二 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【精讲】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如果把分式中的x、y同时扩大到原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的倍 C．不变 D．缩小到原来的倍 【精练1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（    ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．扩大6倍 D．不变 【精练2】（24-25八年级下·江苏盐城·月考）把分式中的x，y的值都扩大为原来的4倍，则分式的值  （     ） A．扩大为原来的4倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的16倍 题型三 将分式的分子分母的最高次项化为正数 【精讲】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【精练1】（2024八年级下·江苏·专题练习）若不改变分式的值，使分子与分母的最高次项的符号为正，则＝______． 【精练2】（23-24八年级下·江苏·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母均按某一字母降幂排列，并使分子、分母的最高次项的系数都是正数． (1)； (2) (3)． 题型四 将分式的分子分母各项系数化为整数 【精讲】（25-26八年级下·江苏连云港·月考）不改变分式的值，使分子、分母各项系数为整数，且首项系数为正：___________． 【精练1】（24-25八年级下·江苏徐州·阶段检测）已知某体育用品厂要生产个篮球，原计划每天生产个篮球(，且是的因数)．若实际提前1天完成任务，则该体育用品厂实际每天生产篮球___________个． 【精练2】（24-25八年级下·江苏连云港·期中）不改变分式的值，使的分子中不含分数，则该分式可化简为__________． 题型五 约分 【精讲】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）．括号内填___________． 【精练1】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）约分__________， _______   【精练2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）先约分，再求值，其中， 题型六 最简分式 【精讲】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列各式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【精练1】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【精练2】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）分式①；②；③；④中，属于最简分式的有______（填序号）． 题型七 最简公分母 【精讲】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）分式，的最简公分母是______． 【精练1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）分式与的最简公分母是（） A． B． C． D． 【精练2】（25-26八年级下·江苏南京·期中）分式，，的最简公分母是____________． 题型八 通分 【精讲】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）计算： (1)（约分）： (2)（通分）：与 【精练1】（24-25八年级下·江苏南京·月考）（1）约分： ①； ②． （2）通分：，． 【精练2】（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）通分： (1)，； (2)，． 03 真题强化 实战 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·江苏南通·期末）将分式中的的值同时扩大为原来的倍，则原分式的值（　　） A．扩大倍 B．扩大倍 C．不变 D．扩大倍 2．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如果分式中的，都扩大为原来的倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 3．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）若，则___________． 5．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）已知，且，则的值为__________． 6．（24-25八年级下·江苏南京·期末）分式，，的最简公分母是______． 7．（24-25八年级下·江苏南通·期末）若分式的值为8，当，都扩大为原来2倍后，所得分式的值是______． 8．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 9．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)当x取什么整数时，“和谐分式”的值为整数． 10．（24-25八年级下·江苏常州·期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在处理分数和分式的问题时，有时我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，继而解决问题，我们称这种方法为分离常数法． 示例：将分式分离常数． (1)示例中，______； (2)参考示例方法，将分式分离常数； (3)探究函数的性质： ①x的取值范围是______，y的取值范围是______； ②当x变化时，y的变化规律是______； ③如果某个点的横、纵坐标均为整数，那么称这个点为“整数点”．求函数图像上所有“整数点”的坐标． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，则分式的值（ ） A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．不变 D．扩大为原来的倍 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）下列各分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）与分式的值相等的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏南京·期末）若分式的值为6，当x、y都扩大2倍后，所得分式的值是______． 5．（24-25八年级下·江苏南京·期末）把分式进行通分时，最简公分母为____． 6．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）分式，，的最简公分母是______． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）约分： (1)； (2)． 8．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ (3)若分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍，分式的值将变为原来的多少倍？为什么？ 9．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)应用：已知方程组有正整数解，求整数的值． 10．（23-24八年级下·江苏南京·期末）（1）通分：和；（2）约分： 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题06 分式的基本性质『期末复习重难点专题培优』 【8个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共44题】 01 题型汇总 目录 【重点题型 分类讲练】 1 题型一 求使分式变形成立的条件 1 题型二 利用分式的基本性质判断分式值的变化 2 题型三 将分式的分子分母的最高次项化为正数 3 题型四 将分式的分子分母各项系数化为整数 4 题型五 约分 5 题型六 最简分式 6 题型七 最简公分母 7 题型八 通分 8 【基础夯实 能力提升】 10 【拓展拔尖 冲刺满分】 16 02 题型汇编 讲练 【重点题型 分类讲练】 题型一 求使分式变形成立的条件 【精讲】（24-25八年级下·江苏常州·月考）在括号内填上适当地整式，使下列等式成立：（1）；（2）；括号内应填________；_________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质． （1）根据分式的基本性质进行变形即可； （2）根据分式的基本性质进行变形即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2）， 故答案为：． 【精练1】（24-25八年级下·江苏南京·期末）若，则M为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的分母的变化确定分子分母都乘以，从而可得答案. 【详解】解：∵，而， ∴， 故选：D 【精练2】（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）已知实数，若，则的最大值为________． 【答案】3 【分析】本题考查了分式的性质，将原式变形为，结合，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 题型二 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【精讲】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如果把分式中的x、y同时扩大到原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的倍 C．不变 D．缩小到原来的倍 【答案】A 【分析】把原分式中的x、y分别用替换，求出新分式的结果即可得到答案． 【详解】解：把分式中的x、y同时扩大到原来的2倍后得到的分式为， ∴新分式的值是原分式的值的2倍，即分式的值扩大到原来的2倍． 【精练1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（    ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．扩大6倍 D．不变 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，将扩大3倍后的x,y代入原式，化简后与原分式比较即可得到结果. 【详解】解：∵把和都扩大3倍后，得到新分式为， ∴新分式与原分式相等，分式的值不变. 【精练2】（24-25八年级下·江苏盐城·月考）把分式中的x，y的值都扩大为原来的4倍，则分式的值  （     ） A．扩大为原来的4倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的16倍 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”解答，将扩大后的x，y代入原分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵x，y都扩大为原来的4倍后，新分式为， 约去分子分母的公因式4后得，与原分式相等， ∴分式的值不变． 题型三 将分式的分子分母的最高次项化为正数 【精讲】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【精练1】（2024八年级下·江苏·专题练习）若不改变分式的值，使分子与分母的最高次项的符号为正，则＝______． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质解答． 【详解】原式＝． 【精练2】（23-24八年级下·江苏·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母均按某一字母降幂排列，并使分子、分母的最高次项的系数都是正数． (1)； (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用分式的基本性质解答，即可求解； （2）利用分式的基本性质解答，即可求解； （3）利用分式的基本性质解答，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 题型四 将分式的分子分母各项系数化为整数 【精讲】（25-26八年级下·江苏连云港·月考）不改变分式的值，使分子、分母各项系数为整数，且首项系数为正：___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，正确掌握基本性质是解题关键．直接利用分式的基本性质将分子与分母分别乘以，进而得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 【精练1】（24-25八年级下·江苏徐州·阶段检测）已知某体育用品厂要生产个篮球，原计划每天生产个篮球(，且是的因数)．若实际提前1天完成任务，则该体育用品厂实际每天生产篮球___________个． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的应用，先计算原计划的时间为天，可得实际的时间为天，进一步可得答案. 【详解】解：由题意可得， 实际每天生产篮球为：， 故答案为：． 【精练2】（24-25八年级下·江苏连云港·期中）不改变分式的值，使的分子中不含分数，则该分式可化简为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子和分母同时乘以2并化简即可得到答案． 【详解】解；， 故答案为：． 题型五 约分 【精讲】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）．括号内填___________． 【答案】 【详解】解：因为， 故答案为：． 【精练1】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）约分__________， _______   【答案】 【分析】此题主要考查了约分，正确分解因式再利用分式的性质化简是解题关键． （1）约去公因式即可． （2）首先将分式的分子与分母分解因式，进而化简得出答案． 【详解】解： ； ， 故答案为：，． 【精练2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）先约分，再求值，其中， 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据完全平方公式以及平方差公式进行因式分解，再进行约分，最后将数值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 将代入， 原式． 题型六 最简分式 【精讲】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列各式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】最简分式是分子与分母没有公因式的分式． 【详解】解：∵选项A中，是整式，不是分式， 选项B中，的分子分母含有公因式，可约分为，不是最简分式， 选项C中，的分子和分母没有公因式，是最简分式． 选项D中，，原分式的分子分母含有公因式，不是最简分式． 【精练1】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的分子和分母没有公因式，无法继续约分的分式，只需对各选项分子分母因式分解后，判断是否存在公因式即可． 【详解】解：A：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式； B：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式； C：的分子和分母没有公因式，不能约分，是最简分式； D：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式． 【精练2】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）分式①；②；③；④中，属于最简分式的有______（填序号）． 【答案】② 【分析】根据最简分式的定义逐个分式进行判断，若能约分，则不是最简分式． 本题考查了最简分式的相关知识，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：①因为，所以①不是最简分式； ②因为分子分母没有公因式，所以②是最简分式； ③因为，所以③不是最简分式； ④因为，所以④不是最简分式． 故答案为：②． 题型七 最简公分母 【精讲】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）分式，的最简公分母是______． 【答案】 【分析】根据最简公分母的定义，分别确定系数部分与各字母因式的最高次幂，计算得到结果即可． 【详解】解：确定最简公分母时，取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的积作为公分母. 两个分式的分母分别为和，系数部分的最小公倍数为，的最高次幂为，的最高次幂为，因此最简公分母为 ． 【精练1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）分式与的最简公分母是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵两个分式的分母分别为和，和的最小公倍数为，的最高次为，的最高次为， ∴最简公分母为因式． 【精练2】（25-26八年级下·江苏南京·期中）分式，，的最简公分母是____________． 【答案】 【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 【详解】解：各分式的分母分别为，，，则最简公分母为． 题型八 通分 【精讲】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）计算： (1)（约分）： (2)（通分）：与 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）分子为平方差公式，分母提取公因式后，可约去公因式即可解答． （2）分别分析分母的系数和字母部分，找到最小公倍数后合并分子． 本题考查了分式的基本性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2），． 【精练1】（24-25八年级下·江苏南京·月考）（1）约分： ①； ②． （2）通分：，． 【答案】（1）①②（2）， 【分析】本题主要考查了分式的约分，通分，正确找到分子和分母的公因式是解题的关键． （1）分子分母同时约去公因式即可得到①的答案；分子和分母分别利用完全平方公式和平方差公式分解因式，然后约分即可得到②的答案； （2）将两分式的分母中的系数取各系数的最小公倍数，相同因式的次数取最高次幂，即可作答． 【详解】解：（1）①， ②； （2）依题意，，． 【精练2】（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）通分： (1)，； (2)，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了通分，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 03 真题强化 实战 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·江苏南通·期末）将分式中的的值同时扩大为原来的倍，则原分式的值（　　） A．扩大倍 B．扩大倍 C．不变 D．扩大倍 【答案】B 【分析】本题考查了分式性质等知识，设原分式为，分式中的的值同时扩大为原来的倍后分式为，化简后得到，得到分式的值扩大4倍，问题得解． 【详解】解：设原分式为， ∴分式中的的值同时扩大为原来的倍后分式为， ∴分式的值扩大4倍． 故选：B． 2．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如果分式中的，都扩大为原来的倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 当和都扩大为原来的2倍时，代入新值计算分式，化简后比较与原分式的关系． 【详解】解：原分式为，当和都扩大为原来的2倍时，新分式为： ∴ 新分式是原分式的2倍，即分式的值扩大为原来的2倍． 故选：B． 3．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，即分子分母同时乘以或除以同一个非零数，分式的值不变．需逐一验证各选项是否符合这一性质． 【详解】解：A、，分子中的负号可以提到分式前，等式成立，正确； B、，分子分母同时乘以3（非零数），分式值不变，正确； C、，分子与分母中的约分，结果为，正确（默认）； D、，分子分母同时减2，违背分式基本性质，例如，取，，左边为，右边为，显然不等，错误； 综上，计算错误的是D． 故选：D． 4．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）若，则___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据题意设，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵ 设， ∴ 故答案为：． 5．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）已知，且，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的求值，先将分式化简，再将整体代入，求值即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·江苏南京·期末）分式，，的最简公分母是______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 根据最简公分母的定义解答即可． 【详解】解：分式，，最简公分母是． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·江苏南通·期末）若分式的值为8，当，都扩大为原来2倍后，所得分式的值是______． 【答案】16 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．由题意得，将分式中，用，代替，利用分式的基本性质化简，再结合原分式的值即可得出答案． 【详解】解：将分式中，都扩大为原来2倍后，所得式子为： ， 若分式的值为8，则所得分式的值是． 故答案为：16． 8．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③； (2)，； (3)是，理由见解析． 【分析】题考查了分式的化简、因式分解．二元一次方程组的解法，解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于的恒等式，求解即可； （3）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； （2）解：分式（m，为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ∴， 解得：； （3）解：分式的“巧整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“巧分式”． 9．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)当x取什么整数时，“和谐分式”的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3)或或或或或 【分析】此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算， （1）根据同分母分式加法将各分式变形，即可判断； （2）根据同分母分式加法将各分式变形； （3）根据（2）所求可得当x为整数时，的值为整数，据此讨论求解即可． 【详解】（1）解：①，②；③，④， ∴①③④的分式是“和谐分式”， 故答案为：①③④； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵的值为整数， ∴当x为整数时，的值为整数 当或或时，分式的值为整数， ∴或或或或或． 10．（24-25八年级下·江苏常州·期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在处理分数和分式的问题时，有时我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，继而解决问题，我们称这种方法为分离常数法． 示例：将分式分离常数． (1)示例中，______； (2)参考示例方法，将分式分离常数； (3)探究函数的性质： ①x的取值范围是______，y的取值范围是______； ②当x变化时，y的变化规律是______； ③如果某个点的横、纵坐标均为整数，那么称这个点为“整数点”．求函数图像上所有“整数点”的坐标． 【答案】(1)1 (2) (3)①，；②当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而减小；③所有“整数点”的坐标为、、、 【分析】（1）根据分式的值不变原则，即可求解 ；（2）根据示例给出的方法，即可求解；（3）①根据分式有意义的条件，可得x的取值范围；根据x，y的关系可得y的取值范围；②由函数解析式即可求解；③抓住“当y为整数时，为整数”，即可求解． 【详解】（1）解： 故 （2）解：． （3）解：①由（2）得： ， 故：，． ②当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而减小． ③当y为整数时，为整数，此时整数x取－4、－3、－1、0． ∴所有“整数点”的坐标为、、、． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，则分式的值（ ） A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．不变 D．扩大为原来的倍 【答案】B 【分析】将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，进行计算后，再与原分式进行比较得出答案． 【详解】解：将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，原分式可变为， 因此分式的值较原来扩大了倍， 故选：B． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）下列各分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简分式是分子，分母中不含有公因式，不能再约分的分式．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式．如果有互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】解：A、，故原式不是最简分式，不符合题意； B、是最简分式，符合题意； C、，故原式不是最简分式，不符合题意； D、，故原式不是最简分式，不符合题意； 故选B． 3．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）与分式的值相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是判断分式变形是否正确，依据分式的基本性质对分式进行适当变形是解题的关键．依据分式的基本性质对分式进行变形即可． 【详解】解：． 故选：D 4．（24-25八年级下·江苏南京·期末）若分式的值为6，当x、y都扩大2倍后，所得分式的值是______． 【答案】12 【分析】将原分式中的x、y用、代替，化简，再与原分式进行比较即可． 【详解】将分式中x、y都扩大2倍后所得式子为 ， 若分式的值为6， 则所得分式的值是． 故答案为：12． 5．（24-25八年级下·江苏南京·期末）把分式进行通分时，最简公分母为____． 【答案】12a2b 【分析】由于几个分式的分母分别是3a、2a2、4ab，首先确定3、2、4的最小公倍数，然后确定各个字母的最高指数，由此即可确定它们的最简公分母． 【详解】解：分式的分母分别是3a、2、4ab， 最简公分母为12b． 故答案为：12b． 6．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）分式，，的最简公分母是______． 【答案】 【分析】本题考查最简公分母，根据最简公分母的定义可以找出题目中各个式子的最简公分母，本题得以解决． 【详解】解：分式的最简公分母是， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）约分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的约分． （1）直接进行约分即可； （2）先将分子分母因式分解，再约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 8．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ (3)若分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍，分式的值将变为原来的多少倍？为什么？ 【答案】(1)， (2)将变为原来的倍 (3)变为原来的倍 【分析】本题考查分式的值； （1）把x，y的值代入计算解答即可； （2）用，代换x，y，计算分式的值，然后计较解题； （3）用，代换x，y，计算分式的值，然后计较解题． 【详解】（1）解：当，时，， 当，时，； 故答案为：，； （2）解：当x，y的取值都扩大为原来的k倍，， ∴分式的值将变为原来的倍； （3）解：当x，y的取值都扩大为原来的k倍，， ∴分式的值将变为原来的倍． 9．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)应用：已知方程组有正整数解，求整数的值． 【答案】(1)①③④ (2) (3)或 【分析】（）根据“和谐分式”的定义判断即可； （）根据题例解答即可； （）解方程组，并把解表示成“和谐分式”，再根据方程组有正整数解解答即可； 本题考查了分式的运算，解二元一次方程组，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①，故是和谐分式； ②，故不是和谐分式； ③，故是和谐分式； ④，故是和谐分式； 故答案为：①③④； （2）解：， 故答案为：； （3）解：解方程组，得， ∵方程组有正整数解， ∴且能被整除， 解得或． 10．（23-24八年级下·江苏南京·期末）（1）通分：和；（2）约分： 【答案】（1）；；（2） 【分析】此题考查了通分及约分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，约分的关键是找出分子分母的公因式． （1）找出两分母的最简公分母，通分即可； （2）原式变形后，约分即可得到结果． 【详解】解：（1）； （2）原式． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $