专题05 提公因式法与公式法因式分解【期末复习重难点专题培优】-2025-2026学年数学苏科版八年级下册

2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题05 提公因式法与公式法因式分解『期末复习重难点专题培优』 【9个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共47题】 01 题型汇总 目录 【重点题型 分类讲练】 1 题型一 提公因式法分解因式 1 题型二 平方差公式分解因式 2 题型三 完全平方公式分解因式 2 题型四 综合运用公式法分解因式 2 题型五 综合提公因式和公式法分解因式 3 题型六 因式分解在有理数简算中的应用 4 题型七 十字相乘法 5 题型八 分组分解法 5 题型九 因式分解的应用 6 【基础夯实 能力提升】 6 【拓展拔尖 冲刺满分】 8 02 题型汇编 讲练 【重点题型 分类讲练】 题型一 提公因式法分解因式 【精讲】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如果，，那么的值是（   ） A． B．1 C．5 D．6 【精练1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）因式分解：__________． 【精练2】（25-26八年级下·江苏常州·月考）分解因式：________ 题型二 平方差公式分解因式 【精讲】（25-26八年级下·江苏·单元测试）利用因式分解计算：____________． 【精练1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）若，，则__________ 【精练2】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）下列多项式，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 题型三 完全平方公式分解因式 【精讲】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）若能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．1或 D．3或 【精练1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）一块梯形木板，，，，，，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当桌面面积最大时，为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【精练2】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）已知多项式可以分解成，则m的值是________． 题型四 综合运用公式法分解因式 【精讲】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【精练1】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）分解因式： (1)； (2)． 【精练2】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）分解因式： 题型五 综合提公因式和公式法分解因式 【精讲】（25-26八年级下·江苏南京·期中）分解因式： (1)； (2)． 【精练1】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）将下列各式分解因式． (1) (2) 【精练2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）因式分解及简便运算 (1)分解因式：； (2)简便计算：． 题型六 因式分解在有理数简算中的应用 【精讲】（25-26八年级下·江苏无锡·月考）利用因式分解计算： (1)； (2)． 【精练1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）用简便方法计算： (1) (2) 【精练2】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）因式分解（或利用因式分解进行简便运算）： (1)； (2)； (3)． 题型七 十字相乘法 【精讲】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）根据如图所示的拼图过程，分解因式：__________． 【精练1】（2026八年级下·江苏·专题练习）因式分解： (1) (2) 【精练2】（2026八年级下·江苏无锡·专题练习）对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现的值为0，这时可以确定多项式中有因式；同理，可以确定多项式中的另一个因式为，于是我们可以得到．这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式， (1)请你用试根法分解以下多项式： ①        ② (2)已知多项式是多项式的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解． 题型八 分组分解法 【精讲】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）已知，，求代数式的值． 【精练1】（2026八年级下·江苏无锡·专题练习）因式分解：________．________． ________．________． 【精练2】（24-25八年级·江苏南京·自主招生）因式分解后，一个因式为，则另一个因式是______． 题型九 因式分解的应用 【精讲】（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列正整数①3；②17：③45：④85；⑤257，其中能整除的是_____．（填出所有正确答案的序号） 【精练1】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）已知，，则的值为___________． 【精练2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）若长方形的长为，宽为，周长为，面积为，求的值． 03 真题强化 实战 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·江苏南通·期末）下列多项式中，能用平方差公式分解的因式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）下列各式中从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如果能被n整除，则n的值不可能是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·贵州遵义·期末）分解因式：的结果是_____． 5．（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知实数，满足，，则______． 6．（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知多项式，当时，该多项式的值为，当时，该多项式的值为，若，则的值为__________． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知一次函数的图象经过点，，则的值为______． 8．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）若正整数满足，求的值． 9．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）已知为整数，求证：能被整除． 10．（24-25八年级下·江苏南通·期末）若一个关于x的二次三项式能分解成（其中a为实数，m，n为正整数）的形式，则称这个多项式关于对称．例如：，则关于对称． (1)请写出一个关于x的二次三项式，使它关于对称； (2)若关于对称，求t的值； (3)若，且M关于对称，求b，c的值． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25八年级下·江苏南通·期末）若关于的多项式的值与无关，且，则式子的最小值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知m，n均为正整数且满足，则的最大值是（    ） A．16 B．22 C．34 D．36 3．（22-23八年级下·江苏南通·期末）已知，，则的值为（　　） A．3 B．6 C．8 D．11 4．（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知，则代数式的值为_________． 5．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）已知：，，，则_____． 6．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）分解因式： (1)； (2)． 7．（24-25八年级下·江苏南通·期末）分解因式： (1)； (2)． 8．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）阅读材料： 解分式不等式 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为①或② 解①得：无解，解②得： 所以原不等式的解集是 (1)请运用上述方法，直接写出下列分式不等式的解集 ：________；：________；：________； (2)解分式不等式：． 9．（24-25八年级下·江苏南通·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，的值为 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 10．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的思想．利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系． 小亮同学动手剪了如图1所示的正方形与长方形卡片若干张．他用张，张和张卡片拼出一个新的图形（如图）．根据图的面积关系可得等式：，即使用拼图将分解因式． (1)若小刚拼成的长方形长是，宽是，则需要卡片张，卡片______张； (2)动手操作，依照小刚的方法，在图的方框中画出面积为的长方形拼图，并利用拼图分解因式． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题05 提公因式法与公式法因式分解『期末复习重难点专题培优』 【9个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共47题】 01 题型汇总 目录 【重点题型 分类讲练】 1 题型一 提公因式法分解因式 1 题型二 平方差公式分解因式 2 题型三 完全平方公式分解因式 3 题型四 综合运用公式法分解因式 4 题型五 综合提公因式和公式法分解因式 5 题型六 因式分解在有理数简算中的应用 6 题型七 十字相乘法 8 题型八 分组分解法 10 题型九 因式分解的应用 11 【基础夯实 能力提升】 13 【拓展拔尖 冲刺满分】 18 02 题型汇编 讲练 【重点题型 分类讲练】 题型一 提公因式法分解因式 【精讲】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如果，，那么的值是（   ） A． B．1 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题先对所求多项式因式分解，再利用整体代入法代入已知条件计算即可． 【详解】解：， 当，时， ． 【精练1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）因式分解：__________． 【答案】 【详解】解： ． 【精练2】（25-26八年级下·江苏常州·月考）分解因式：________ 【答案】 【分析】确定原式公因式为. 运用提公因式法进行因式分解即可. 【详解】解：. 题型二 平方差公式分解因式 【精讲】（25-26八年级下·江苏·单元测试）利用因式分解计算：____________． 【答案】4051 【分析】利用平方差公式进行因式分解后计算． 【详解】解：． 【精练1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）若，，则__________ 【答案】 【分析】利用平方差公式将已知等式左边因式分解，再代入的值，即可计算求出的值． 【详解】解：根据平方差公式，得：， ，， ， 等式两边同时除以，得． 【精练2】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）下列多项式，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能用平方差公式分解因式的多项式需满足：是二项式，两项都能写成平方的形式，且两项符号相反，据此判断各选项即可． 【详解】解：因为A选项是三项式，不符合平方差公式，不符合题意； 因为，所以B选项符合题意； 因为C选项中不是平方项，不符合平方差公式，不符合题意； 因为D选项中两项符号相同，不符合平方差公式，不符合题意． 题型三 完全平方公式分解因式 【精讲】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）若能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．1或 D．3或 【答案】D 【分析】根据完全平方公式求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或． 【精练1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）一块梯形木板，，，，，，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当桌面面积最大时，为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】作于点H，先根据已知数据证明和是等腰直角三角形，再设，则，列出矩形桌面面积关于x的函数关系式，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点H， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 矩形中，， 是等腰直角三角形， 设，则， 矩形桌面的面积， 当时，S取最大值25， 即当时，矩形桌面面积最大． 【精练2】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）已知多项式可以分解成，则m的值是________． 【答案】 【详解】解：， 则m的值是 题型四 综合运用公式法分解因式 【精讲】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 【精练1】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先利用完全平方公式，再利用平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【精练2】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）分解因式： 【答案】 【分析】先利用平方差公式因式分解，然后利用完全平方公式因式分解． 【详解】解： ． 题型五 综合提公因式和公式法分解因式 【精讲】（25-26八年级下·江苏南京·期中）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式； （2）先利用完全平方公式，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【精练1】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）将下列各式分解因式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，然后利用完全平方公式分解因式； （2）先提公因式，然后利用平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【精练2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）因式分解及简便运算 (1)分解因式：； (2)简便计算：． 【答案】(1) (2)160 【分析】（1）将原式提取公因式后再利用完全平方公式因式分解即可； （2）将原式利用平方差公式因式分解并计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型六 因式分解在有理数简算中的应用 【精讲】（25-26八年级下·江苏无锡·月考）利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【精练1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)41200 (2)3200 【详解】（1）解：原式     ； （2）解：原式 ． 【精练2】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）因式分解（或利用因式分解进行简便运算）： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可； （2）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （3）把原式变形为，再利用完全平方公式分解因式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型七 十字相乘法 【精讲】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）根据如图所示的拼图过程，分解因式：__________． 【答案】()() 【分析】利用拼图前后面积相等，将多项式因式分解为长方形的长乘宽． 【详解】解：据图可知，左边图形的面积为， 右边图形的面积为， 故． 【精练1】（2026八年级下·江苏·专题练习）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解： （1）利用十字相乘法解答即可； （2）先根据多项式乘以多项式计算，再利用十字相乘法解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【精练2】（2026八年级下·江苏无锡·专题练习）对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现的值为0，这时可以确定多项式中有因式；同理，可以确定多项式中的另一个因式为，于是我们可以得到．这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式， (1)请你用试根法分解以下多项式： ①        ② (2)已知多项式是多项式的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解． 【答案】(1)①；② (2)，； 【分析】此题考查了因式分解，多项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上知识点． （1）①利用试根法求解即可； ②利用试根法求解即可； （2）设另一个因式为，然后计算为，然后比较系数求解即可． 【详解】（1）解：①当时，，当时， ∴； ②当时，， 当时，， 当时，， ∴； （2）解：∵多项式是多项式的一个因式 ∴设另一个因式为 ∴ ∴ ∴ 解得． ． 题型八 分组分解法 【精讲】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）已知，，求代数式的值． 【答案】15 【分析】先把所要求值的代数式用分组分解法分解因式，再整体代入即可求解． 【详解】解：原式， ∵，， ∴原式． 【精练1】（2026八年级下·江苏无锡·专题练习）因式分解：________．________． ________．________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，掌握好因式分解的方法是解题关键． （1）先提公因式，再用平方差公式分解； （2）将转化为，然后提公因式； （3）应用平方差公式分解； （4）先分组，利用完全平方公式和平方差公式分解． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， ； （3）解：原式， ， ， ， ； （4）解：原式， ， ， ； 故答案为：；；；． 【精练2】（24-25八年级·江苏南京·自主招生）因式分解后，一个因式为，则另一个因式是______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，根据一个因式为添加项凑即可得到答案； 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 题型九 因式分解的应用 【精讲】（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列正整数①3；②17：③45：④85；⑤257，其中能整除的是_____．（填出所有正确答案的序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】利用平方差公式对进行因式分解，再将各选项正整数分解因数，判断是否为的因数即可． 【详解】解： ， 依次判断各数： ① ，是的因数，能整除； ② ，是的因数，能整除； ③ ，只含一个因数，故不是的因数，不能整除； ④ ，和都是的因数，故是的因数，能整除； ⑤ ，是的因数，能整除； 综上可得，能整除的是①②④⑤． 【精练1】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）已知，，则的值为___________． 【答案】 【分析】先对所求代数式运用提取公因式法因式分解，再将已知条件整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：对因式分解，得 ， 将，代入得 ． 【精练2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）若长方形的长为，宽为，周长为，面积为，求的值． 【答案】． 【分析】先根据长方形的周长和面积得到与的值，再将所求式子提取公因式因式分解，最后代入计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴ ． 03 真题强化 实战 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·江苏南通·期末）下列多项式中，能用平方差公式分解的因式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】先明确能用平方差公式分解因式的条件：多项式为两项，两项符号相反，且每一项都可化为平方的形式，再逐一判断即可得出符合条件的个数． 【详解】解：①，两项同号，不符合，不能分解； ②，符合条件，能分解； ③，符合条件，能分解； ④不是多项式，无法进行因式分解； ⑤，符合条件，能分解； 综上符合条件的共有3个． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）下列各式中从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义：把一个多项式分解为几个整式的积的形式．逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 是整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； B. ，不是因式分解，故该选项不符合题意； C. ，是因式分解，故该选项符合题意； D. 是整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意． 故选：C． 3．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如果能被n整除，则n的值不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分解因式，掌握平方差公式是解题的关键． 利用平方差公式对进行因式分解，分析其因数，即可求解． 【详解】解：根据因式分解，可得， 的因数为2和7，而中不含因数2和7， 不能被整除，即n的值不可能是． 故选：C． 4．（24-25八年级下·贵州遵义·期末）分解因式：的结果是_____． 【答案】 【分析】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．观察表达式，发现公因式，提取后剩余部分为，再利用平方差公式分解． 【详解】解：原式 ． 故答案为． 5．（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知实数，满足，，则______． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．将等式括号中的代数式配方后，利用完全平方式的非负性确定与的值，即可求出的值． 【详解】， ， 即， ，， ，， 又，且， ，， 解得，， ， ， 得， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知多项式，当时，该多项式的值为，当时，该多项式的值为，若，则的值为__________． 【答案】2023 【分析】本题考查了多项式的值、因式分解的应用，熟练掌握利用提取公因式法和平方差公式分解因式是解题关键．先根据多项式的值可得，，再将两个等式相减可得，利用因式分解可得，然后根据即可得． 【详解】解：∵当时，多项式的值为，当时，该多项式的值为， ∴①，②， 由①②得：，即， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：2023． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知一次函数的图象经过点，，则的值为______． 【答案】25 【分析】将，代入得到，，由代入即可求解， 本题考查了，一次函数图象上点的坐标特征，知道函数图象上点的坐标符合函数解析式以及因式分解是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：25． 8．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）若正整数满足，求的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查利用代数变形构造因式分解、结合正整数性质求解不定方程的综合能力，先通过给方程两边乘再加，构造出可因式分解的形式，得到；再结合为正整数的条件，确定为大于1的奇数，接着列出的正奇数因数对，分别代入方程组求解，最后计算对应的的值 【详解】解：， 两边乘以，得 两边加，得 左边因式分解，得 ∵为正整数， ∴为大于1的奇数，且， ∵的正奇数因数对(无序)为 ∴或或 解得或或， ∴或或， 故的值为或． 9．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）已知为整数，求证：能被整除． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了利用平方差公式分解因式，分解因式可得：原式，可知代数式中一定有个因数为，所以代数式能被整除． 【详解】证明： ， 为整数， 是整数， 能被整除， 能被整除． 10．（24-25八年级下·江苏南通·期末）若一个关于x的二次三项式能分解成（其中a为实数，m，n为正整数）的形式，则称这个多项式关于对称．例如：，则关于对称． (1)请写出一个关于x的二次三项式，使它关于对称； (2)若关于对称，求t的值； (3)若，且M关于对称，求b，c的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)，，，， 【分析】本题考查了因式分解的应用，正确理解题新定义是解题的关键． （1）根据定义直接求解； （2）根据定义得到，求出，再回代，即可求出t的值； （3）由题意得，则得到，由于，c为正整数，再枚举即可． 【详解】（1）解：∵关于x的二次三项式，关于对称， ∴， ∴， ∴可取 ∴， ∴一个关于x的二次三项式可以为：． （2）解：∵关于对称， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵关于对称， ∴关于对称， ∴， ∵，c为正整数， ∴，，，，． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25八年级下·江苏南通·期末）若关于的多项式的值与无关，且，则式子的最小值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，因式分解，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握整式的混合运算． 根据整式的值与无关求出，然后得出，，对多项式进行整理得出结果为，根据平方的非负性即可得出最小值． 【详解】解： ∵多项式的值与无关， ∴， 整理得， ∴，则两式相减得， ∵ 当时，取最小值，最小值为3， 故选：A． 2．（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知m，n均为正整数且满足，则的最大值是（    ） A．16 B．22 C．34 D．36 【答案】D 【分析】由得.由于 ，据此列出关于m、n的方程组，求出每一组m、n的值，再求出相应的的值，即可找到的最大值. 【详解】由得 ∵m，n均为正整数 或或或 或或或    或 解得或或或或或或或 ∴或22或18或16 ∴的最大值是36 故选：D 3．（22-23八年级下·江苏南通·期末）已知，，则的值为（　　） A．3 B．6 C．8 D．11 【答案】B 【分析】将变形为，同时将化为，可得出的值，再将分解因式，最后将和的值代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ． 故选：B． 4．（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知，则代数式的值为_________． 【答案】18 【分析】先因式分解再代入数据解题即可． 【详解】解： ， 当时，原式 故答案为：18． 5．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）已知：，，，则_____． 【答案】 【分析】依据题意，由，，两式相减，可得，即，再结合，即可求出最终解 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键： （1）利用提公因式法进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 7．（25-26八年级下·江苏南通·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，掌握提取公因式法和公式法是解题的关键． （1）先确定公因式，再提取即可； （2）先利用平方差公式分解因式，再提公因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 8．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）阅读材料： 解分式不等式 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为①或② 解①得：无解，解②得： 所以原不等式的解集是 (1)请运用上述方法，直接写出下列分式不等式的解集 ：________；：________；：________； (2)解分式不等式：． 【答案】(1)；或；或； (2) 【分析】（1）先把不等式转化为不等式组，然后通过解不等式组来求分式不等式． （2）根据题意可得，原不等式变形为，即，把不等式转化为不等式组，然后通过解不等式组来求解即可． 【详解】（1）解：， 根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为①或② 解①得：，解②得：无解， 所以原不等式的解集是； ∴①或②， 解①得：，解②得：， 所以原不等式的解集是或； ， ∴①或②， 解①得：，解②得：， 所以原不等式的解集是或； 故答案为：；或；或； （2）解： ∵， ∴， 整理得：， 即， ∴①或② 解①得：无解，解②得：， ∴原不等式的解集是． 9．（24-25八年级下·江苏南通·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，的值为 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】另一个因式为 ，的值为5． 【分析】设另一个因式是，则，根据对应项的系数相等即可求得和的值． 【详解】解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：，． 故另一个因式为 ，的值为5． 10．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的思想．利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系． 小亮同学动手剪了如图1所示的正方形与长方形卡片若干张．他用张，张和张卡片拼出一个新的图形（如图）．根据图的面积关系可得等式：，即使用拼图将分解因式． (1)若小刚拼成的长方形长是，宽是，则需要卡片张，卡片______张； (2)动手操作，依照小刚的方法，在图的方框中画出面积为的长方形拼图，并利用拼图分解因式． 【答案】(1)， (2)图见解析， 【分析】此题考查多项式乘以多项式计算法则，多项式因式分解， （1）计算长方形的面积，即可得到所需B卡片，C卡片的数量；    （2）根据因式分解方法分解即可． 【详解】（1）解：拼成的一个长为，宽为的大长方形的面积为， ∵B卡片面积为，C卡片面积为， ∴需要B卡片2张，C卡片3张； （2）解：如图 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $