专题02 菱形的性质和判定【期末复习重难点专题培优】-2025-2026学年数学苏科版八年级下册

2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题02 菱形的性质和判定『期末复习重难点专题培优』 【8个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共44题】 01 题型汇总 目录 【重点题型 分类讲练】 1 题型一 利用菱形的性质求角度 1 题型二 利用菱形的性质求线段长 2 题型三 利用菱形的性质求面积 3 题型四 利用菱形的性质证明 4 题型五 证明四边形是菱形 6 题型六 根据菱形的性质与判定求角度 7 题型七 根据菱形的性质与判定求线段长 9 题型八 根据菱形的性质与判定求面积 10 【基础夯实 能力提升】 12 【拓展拔尖 冲刺满分】 15 02 题型汇编 讲练 【重点题型 分类讲练】 题型一 利用菱形的性质求角度 【精讲】（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，菱形的对角线交于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【精练1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，小华家有一个菱形中国结装饰，边长和较短对角线的长都为，则这个中国结菱形部分较大的内角是__________度． 【精练2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，过点C作交对角线于点E，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型二 利用菱形的性质求线段长 【精讲】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，菱形的边长是5，对角线的长是8，，垂足为E，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．9.6 【精练1】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，两个全等的菱形和叠放在一起，边与交于点P，，，若重叠部分面积是菱形面积的一半，则点A，P之间的距离为______． 【精练2】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，菱形的边长为，，是边上一点，延长到，使得，以为邻边，向外作菱形，连接，是的中点，连接，则的最小值为______． 题型三 利用菱形的性质求面积 【精讲】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，，则菱形的面积为___________． 【精练1】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，晓进家有一个菱形中国结装饰，对角线，相交于点O，测得，，过点A作于点H，则的长为__________． 【精练2】（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，两个宽度都等于的矩形纸条叠放在一起，得到的重叠部分是四边形． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)四边形面积的最小值是__________． 题型四 利用菱形的性质证明 【精讲】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，交于． (1)求证：； (2)如果，，求菱形的面积． 【精练1】（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，在菱形中，相交于点分别在上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形和菱形的面积分别为14，6，则的值为______． 【精练2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）已知：如图，在菱形中，，点E、F分别在上，是等边三角形，求证：． 题型五 证明四边形是菱形 【精讲】（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，在中，边的垂直平分线交的延长线于点E，交的延长线于点F，交于点O，连接，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【精练1】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，把一张矩形纸片折叠起来，使其对角顶点A、C重合， (1)连接，求证：四边形是菱形； (2)若为9，为3，求EF的长． 【精练2】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，矩形中，对角线与相交于点O，延长到E，使得，连接． (1)求证：； (2)点F是的中点，连接，求证：四边形是菱形． 题型六 根据菱形的性质与判定求角度 【精讲】（23-24八年级下·江苏南通·月考）如图，矩形中，的垂直平分线分别交、于E、F，垂足为O，连接、． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若cm，cm，动点P从D出发沿折线运动至B停止，同时点Q从E出发沿折线运动至E停止，设P、Q的运动路程分别为a、b（单位：，），当以E、F、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求a与b满足的数量关系式． 【精练1】（23-24八年级下·江苏扬州·月考）在中，的平分线交线段于点，交线段的延长线于点，以、为邻边作，若，则_______．    【精练2】（24-25八年级下·江苏扬州·月考）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE∥AC，AE∥BD，连接OE． (1)求证： (2)求证：OE⊥AD． 题型七 根据菱形的性质与判定求线段长 【精讲】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． (1)求证∶四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【精练1】（25-26八年级下·江苏盐城·期末）如图，在矩形中，是对角线的垂直平分线，分别交，，于E，F，O． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的边长． 【精练2】（25-26八年级下·甘肃甘南·期中）如图，在中，点D是边上一点，过点D分别作交于点E，交于点F，连接，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点O，若，，求的长． 题型八 根据菱形的性质与判定求面积 【精讲】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【精练1】（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形中，若，，则四边形面积为_____． 【精练2】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，四边形的对角线、交于点O，延长至点E，使得，连接交边于点F，点D、F分别是、的中点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 03 真题强化 实战 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，菱形的对角线与相交于点，于点，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，在菱形中，，E是的中点，连接，将沿着翻折，点B与点C正好重合，则等于（　　） A．2 B． C． D．4 3．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，在菱形中，于点E，则的长为（　　） A． B． C． D．48 4．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，，则菱形的面积为_________． 5．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）边长为的两个全等的菱形、如图摆放，其中点是、的交点，且，若，则两个菱形重叠部分的面积为______． 6．（24-25八年级下·江苏南通·期末）若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为______． 7．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，菱形的对角线、相交于，点是的中点，连接，，则的长为___________． 8．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，将沿直线翻折得到. (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则菱形的面积为______． 9．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，平行四边形中，，过点C作，与的延长线相交于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，求的度数． 10．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，则______． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25八年级下·江苏常州·期末）如图，在菱形中，，，点、分别在边、上，且，则的最小值是（    ）    A．2 B．3 C． D． 2．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，点是上一点，且，点是边上的动点，以为一边作菱形，使顶点落在上，连接，则面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，矩形的对角线、相交于点．若，则四边形的周长为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 4．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，四边形为菱形，，在边上，将沿翻折得到，在直线上，作于点，若，则的长为_________． 5．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，四边形是菱形，，点E是边上一点，且，点F是边上一个动点，以为边作等边，连接．若的长度为d，则d的取值范围是_________． 6．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，的平分线分别交于点，．若，，则的长为______． 7．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，将菱形纸片折叠，使得点B恰好落在边的中点处，折痕为．若菱形的边长为，，则________． 8．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图1，在菱形中，，点是上一点． (1)在图1中用无刻度的直尺和圆规在上作一点，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)将（1）中作图添加的线段作为辅助线，证明； (3)如图2，在（1）的条件下，若是AB中点，求的最小值． 9．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，在菱形中，，将边沿对角线平移，得到线段，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)平移过程中能否得到四边形的是矩形？如果能得到，求出平移的距离；如果不能，请说明理由； (3)在平移过程中，最小值为_______． 10．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图1，四边形是矩形，是矩形的一条对称轴，点E、F分别在边和上，过点B折叠矩形，折痕为，使点A落在的点N处， (1)求的度数 (2)如图2，将延长交于点G，将沿折叠，点B刚好落在边上点H处，连接，得到四边形，求证：四边形是菱形 (3)如图3，点Q在线段上移动，做等边三角形，P、Q在的同侧，请你连接得到，的度数是否发生改变？请说明理由 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题02 菱形的性质和判定『期末复习重难点专题培优』 【8个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共44题】 01 题型汇总 目录 【重点题型 分类讲练】 1 题型一 利用菱形的性质求角度 1 题型二 利用菱形的性质求线段长 3 题型三 利用菱形的性质求面积 7 题型四 利用菱形的性质证明 9 题型五 证明四边形是菱形 12 题型六 根据菱形的性质与判定求角度 16 题型七 根据菱形的性质与判定求线段长 20 题型八 根据菱形的性质与判定求面积 23 【基础夯实 能力提升】 27 【拓展拔尖 冲刺满分】 35 02 题型汇编 讲练 【重点题型 分类讲练】 题型一 利用菱形的性质求角度 【精讲】（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，菱形的对角线交于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【精练1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，小华家有一个菱形中国结装饰，边长和较短对角线的长都为，则这个中国结菱形部分较大的内角是__________度． 【答案】120 【分析】根据菱形的性质可知菱形的四条边相等，结合已知条件可判定由两条邻边和较短对角线组成的三角形为等边三角形，从而求得菱形的一个内角度数，再利用菱形邻角互补的性质即可求出较大的内角度数． 【详解】解：设菱形为，较短对角线为， 四边形是菱形， ， 边长和较短对角线的长都为， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， ， ， . ，， 这个中国结菱形部分较大的内角是度． 【精练2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，过点C作交对角线于点E，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由菱形的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴． 题型二 利用菱形的性质求线段长 【精讲】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，菱形的边长是5，对角线的长是8，，垂足为E，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．9.6 【答案】C 【分析】先根据菱形的性质和勾股定理求出另一条对角线的长，再利用菱形面积的两种计算方法（底乘高和对角线乘积的一半）建立等式求解． 【详解】解：连接与交于点， 四边形是菱形， ，，， ∴在中， ， ， ，， ， ． 【精练1】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，两个全等的菱形和叠放在一起，边与交于点P，，，若重叠部分面积是菱形面积的一半，则点A，P之间的距离为______． 【答案】 【分析】连接，交于H，由等边对等角及等角对等边得，得与关于对称，设，菱形的高为h，则，由重叠部分面积是菱形面积的一半，证得，勾股定理求出，由对称得，勾股定理求得即可 【详解】解：由题意得， 连接，交于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与关于对称， 设，菱形的高为h，则， ∵重叠部分面积是菱形面积的一半， ∴， ∴， ∴，解得， ∴， ∴， 由对称得垂直平分， ∴， 在中，， ∴ 【精练2】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，菱形的边长为，，是边上一点，延长到，使得，以为邻边，向外作菱形，连接，是的中点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】延长交于点，过点作于点，可证，可得，，即得， ，设，则，利用直角三角形的性质和勾股定理可得，，即得，即得到，得到的最小值为，进而即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，过点作于点，则， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 又∵ ， ∴， ∴，， ∴，， 设，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∵， ∴的最小值为． 题型三 利用菱形的性质求面积 【精讲】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，，则菱形的面积为___________． 【答案】 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可解答． 【详解】解：∵菱形中，，， ∴菱形的面积为． 【精练1】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，晓进家有一个菱形中国结装饰，对角线，相交于点O，测得，，过点A作于点H，则的长为__________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得出，，，，根据勾股定理求出，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 【精练2】（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，两个宽度都等于的矩形纸条叠放在一起，得到的重叠部分是四边形． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)四边形面积的最小值是__________． 【答案】(1)四边形为菱形，理由见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，分别过点、作于点，于点， 根据平行四边形的面积公式证明， 即可得证； （2）由， 可得当取最小值时，菱形的面积最小，根据垂线段最短即可得证． 【详解】（1）解：四边形为菱形，理由如下： 两张纸条都是矩形， ，， 四边形是平行四边形， 如图，分别过点、作于点，于点， 两个纸条的宽度均为， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：， 当取最小值时，菱形的面积最小， 当时，取最小值，此时， 即四边形面积的最小值是． 题型四 利用菱形的性质证明 【精讲】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，交于． (1)求证：； (2)如果，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理．解题时充分利用了菱形的对角线互相垂直平分、矩形的对角线相等的性质． （1）通过证明四边形是矩形来推知； （2）利用（1）中的、，结合已知条件，在中，由勾股定理求得，然后由菱形的对角线互相平分和菱形的面积公式进行解答． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ． ∵，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ； （2）解：由（1）知，，，四边形是矩形， ． 在中，由勾股定理得， ，． 四边形是菱形， ，， 菱形的面积是：． 【精练1】（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，在菱形中，相交于点分别在上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形和菱形的面积分别为14，6，则的值为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质，是解题的关键． （1）根据菱形性质得出，，，根据，得出四边形为平行四边形，根据，得出四边形是菱形； （2）根据菱形和菱形的面积分别为14，6，得出，设，则，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）解：∵菱形和菱形的面积分别为14，6， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴． 【精练2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）已知：如图，在菱形中，，点E、F分别在上，是等边三角形，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质．先证明是等边三角形，利用证明即可得到． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，平分，． ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 题型五 证明四边形是菱形 【精讲】（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，在中，边的垂直平分线交的延长线于点E，交的延长线于点F，交于点O，连接，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用和垂直平分线的性质可得，进而可知，问题得证； （2）先证明为等边三角形，然后在中求出，进而求出的长． 【详解】（1）证明： 四边形是平行四边形， ，，． ． 垂直平分， ，． 在和中， （ASA）． ． 又， 四边形是平行四边形． 又∵， 四边形是菱形； （2）解： 四边形是平行四边形，，， ，． ． ∵四边形是菱形， ，， 为等边三角形． ． 在中，，，由勾股定理，得 ． 四边形是菱形， ∴． 【精练1】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，把一张矩形纸片折叠起来，使其对角顶点A、C重合， (1)连接，求证：四边形是菱形； (2)若为9，为3，求EF的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据矩形的性质，折叠的性质，推出，即可得证； （2）勾股定理求出的长，再根据菱形的性质和勾股定理进行求解即可. 【详解】（1）证明：连接， ∵矩形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴垂直平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，四边形为菱形； ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， ∴， ∴． 【精练2】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，矩形中，对角线与相交于点O，延长到E，使得，连接． (1)求证：； (2)点F是的中点，连接，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据矩形的性质得，即可得，再根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出答案； （2）根据矩形的性质得，再说明四边形是平行四边形，然后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵点F是的中点，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 题型六 根据菱形的性质与判定求角度 【精讲】（23-24八年级下·江苏南通·月考）如图，矩形中，的垂直平分线分别交、于E、F，垂足为O，连接、． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若cm，cm，动点P从D出发沿折线运动至B停止，同时点Q从E出发沿折线运动至E停止，设P、Q的运动路程分别为a、b（单位：，），当以E、F、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求a与b满足的数量关系式． 【答案】(1)四边形为菱形，理由见解析 (2)或 【分析】（1）根据矩形和垂直平分线的性质，证明，进而得到，再根据对角线互相垂直平分，即可判断四边形的形状； （2）设菱形的边长cm，利用勾股定理，得出，进而得出，发根两种情况讨论，利用平行四边形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：四边形为菱形，理由如下： 四边形是矩形， ， ，， 垂直平分，垂足为O， ，， 在和中， ， ， ， 又，， 四边形为菱形； （2）解：设菱形的边长cm，则cm， 在中，cm， 由勾股定理得：， 解得：， cm， 四边形是菱形， ， ， ， 如图，当Q在上，P在上，四边形是平行四边形，， ，， ， ； 如图，当Q在上，P在上，四边形是平行四边形，， ，， ， ； 综上所述，a与b满足的数量关系式是或． 【精练1】（23-24八年级下·江苏扬州·月考）在中，的平分线交线段于点，交线段的延长线于点，以、为邻边作，若，则_______．    【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，延长、交于H，连接，求证平行四边形为菱形，得出，为全等的等边三角形，证明，即可得出答案． 【详解】解：延长、交于H，连接，   ，， 四边形为平行四边形， ，平分， ，，， 为等腰三角形， ， 平行四边形为菱形， ，且均为等边三角形， ，， ， ， 为等腰三角形， 又四边形为平行四边形， ，，， ， 在与中， ， ， ， ． 故答案为：． 【精练2】（24-25八年级下·江苏扬州·月考）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE∥AC，AE∥BD，连接OE． (1)求证： (2)求证：OE⊥AD． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的对角线相等且互相平分来求解； （2）利用DE∥AC，AE∥BD，可得四边形AODE为平行四边形，由四边形ABCD为矩形可得AO=OD，于是解得平行四边形AODE为菱形，根据菱形对角线的性质可得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AC=BD，BO=OD，AO=OC， ∴OA=OD； （2）证明：∵DE∥AC，AE∥BD， ∴四边形AODE为平行四边形． ∵四边形ABCD为矩形， ∴OA=OD． ∴平行四边形AODE为菱形． ∴OE⊥AD． 题型七 根据菱形的性质与判定求线段长 【精讲】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． (1)求证∶四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，继而得到四边形是平行四边形，证明即可； （2）根据勾股定理，得到，设，得到 ，解方程求解即可． 【详解】（1）证明： ， ， 平分， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； ， 四边形是菱形； （2）解： 四边形是菱形，，， ，，，， ， ， 设， ， ， ， 解得． 【精练1】（25-26八年级下·江苏盐城·期末）如图，在矩形中，是对角线的垂直平分线，分别交，，于E，F，O． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质． （1）根据矩形性质和线段垂直平分线的性质证明，可得，所以四边形是平行四边形，再根据，即可证明结论； （2）根据勾股定理可得即可． 【详解】（1）证明：连接，， 四边形是矩形， ， ，， 由题意知：垂直平分， ，， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：由（1）可得，，， 在中，由勾股定理得， ，， ∴， ， 解得， ∴ 菱形的边长为． 【精练2】（25-26八年级下·甘肃甘南·期中）如图，在中，点D是边上一点，过点D分别作交于点E，交于点F，连接，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点O，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）先证四边形是平行四边形，再通过等角对等边证，即可得出结论； （2）先证明是等边三角形，则，根据菱形的性质得到，然后由勾股定理求解，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴． 题型八 根据菱形的性质与判定求面积 【精讲】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用矩形性质和线段垂直平分线的性质，证明四边形是平行四边形，再结合邻边相等的条件，证明其为菱形． （2）设菱形边长为，在中利用勾股定理求出边长，再用底×高计算菱形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ∴（）， ∴ ∵，， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是菱形． （2）解：设菱形的边长为，则， ∵， ∴ ∵四边形是矩形， ∴ 在中，由勾股定理得： ，即， 解得． ∴， ∴菱形的面积：． 【精练1】（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形中，若，，则四边形面积为_____． 【答案】24 【分析】过点A作于点E，过点A作于点F，设交于点，证明四边形为菱形，利用菱形的性质和勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】解：过点A作于点E，过点A作于点F，设交于点， 由题意，得：，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∴． 【精练2】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，四边形的对角线、交于点O，延长至点E，使得，连接交边于点F，点D、F分别是、的中点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质和判定，勾股定理； （1）先证明得到，，得出四边形是平行四边形，再证明邻边即可； （2）由菱形的性质和勾股定理求出，即可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵点D、F分别是、的中点，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 03 真题强化 实战 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，菱形的对角线与相交于点，于点，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式的综合运用，利用“等面积法”将边长与高建立联系是解题的关键，先根据菱形对角线的性质结合勾股定理求出边长，再通过面积相等列出等式，进而求出的长． 【详解】解：在菱形中， ，，， ， ， ， ． 故选：． 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，在菱形中，，E是的中点，连接，将沿着翻折，点B与点C正好重合，则等于（　　） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，推导出是解题的关键． 由菱形的性质得，由翻折得，，由勾股定理可求出． 【详解】解：∵四边形是菱形，，E是的中点， ∴， ∵将沿着翻折，点B与点C正好重合， ∴，， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，在菱形中，于点E，则的长为（　　） A． B． C． D．48 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，由菱形的性质可知：，求出，根据即可求解． 【详解】解：如图所示： 由菱形的性质可知：， ∴； ∵， ∴， ∴； 故选：B． 4．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，，则菱形的面积为_________． 【答案】6 【分析】由菱形的性质得，根据，得是直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长，再利用菱形面积即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， 是直角三角形， ， 菱形的面积， 故答案为：6． 5．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）边长为的两个全等的菱形、如图摆放，其中点是、的交点，且，若，则两个菱形重叠部分的面积为______． 【答案】 【分析】题目主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 设与交于点，与交于点，根据菱形的性质得出，，，，确定是等边三角形，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 边长为的两个全等的菱形、菱形，， ，，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 两个菱形重叠部分的面积四边形的面积， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·江苏南通·期末）若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为______． 【答案】 【分析】本题考查的是菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，先画图，求解，过作于，结合，得出为等腰直角三角形，可得答案． 【详解】解：如图，菱形的周长为， ∴， 过作于，而， 则， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，菱形的对角线、相交于，点是的中点，连接，，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，根据菱形的性质得到，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵菱形的对角线、相交于， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，将沿直线翻折得到. (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则菱形的面积为______． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定及性质、矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理： （1）根据矩形的性质得到，利用翻折后两个三角形全等可知，由此可知是菱形； （2）根据勾股定理求出，得到的面积，再求出的面积，菱形的面积是的面积的两倍． 【详解】（1）证明：是矩形， ， 沿直线翻折得到， ， ， 四边形是菱形． （2）解：是矩形， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，平行四边形中，，过点C作，与的延长线相交于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的判定和性质，平行四边形的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，熟练掌握菱形的判定方法，是解题的关键： （1）先证明四边形为平行四边形，推出，即可得证； （2）根据菱形的性质，等边对等角，结合三角形的内角和定理，求出，再根据平行线的性质，求出的度数． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． ， 四边形为平行四边形． ， ． 是菱形． （2）解：四边形是菱形， ，， ，， ． 四边形是平行四边形， ， ． 10．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，则______． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，得到即可得证； （2）三线合一，得到，进而得到四边形是菱形，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）∵，， ∴， ∵点在上， ∴， 由（1）知：四边形是平行四边形； ∴四边形是菱形， ∴． 故答案为：5． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25八年级下·江苏常州·期末）如图，在菱形中，，，点、分别在边、上，且，则的最小值是（    ）    A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】连接，很容易能得到和全等，根据全等的性质，能推出为等边三角形，从而将的最小值问题转化为的最小值；而的最小值，又可以联想到点到的距离：垂线段最短，从而将问题解决了． 【详解】解：过点作，连接，    ， 四边形是菱形， ，， 和都是等边三角形， ，， 在中， ， ， 在中，根据勾股定理，得：， ， ， 垂线段最短， ， ． 在和中， ≌ ． ，， 即：， ，， 为等边三角形， ， ， 即：有最小值． 故选：． 2．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，点是上一点，且，点是边上的动点，以为一边作菱形，使顶点落在上，连接，则面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，由矩形的性质可得点重合，的值最小，即为的长，即得的最小值为，得到的最小值为，延长相交于点，过点作的延长线于点，证明得到，可得当取最大时，取最大值，此时取最小，的面积取最小值，当取最大时，点重合，此时，即得，得到，最后利用三角形面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， 当时，取最小值， ∵四边形为矩形， ∴， ∴点重合，的值最小，即为的长， ∵，， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 延长相交于点，过点作的延长线于点，则， ∵四边形为矩形，四边形为菱形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当取最大时，取最大值，此时取最小，的面积取最小值， 当取最大时，点重合，此时， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，矩形的对角线、相交于点．若，则四边形的周长为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，以及矩形的性质，证明四边形是菱形是解题的关键． 先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质得出，然后证明四边形是菱形，即可求出周长． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴四边形的周长； 故选B． 4．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，四边形为菱形，，在边上，将沿翻折得到，在直线上，作于点，若，则的长为_________． 【答案】 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，菱形的性质，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 连接交于点，交于点，由菱形性质得，由翻折性质得，，，则，进而得，证明，继而依据“”判定和全等得，则，由此可得的长． 【详解】解：连接交于点，交于点，如图所示： 四边形是菱形，， ，，， 由翻折性质得：， ， ， ， ，， ， 在中，， 在中，， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，四边形是菱形，，点E是边上一点，且，点F是边上一个动点，以为边作等边，连接．若的长度为d，则d的取值范围是_________． 【答案】 【分析】在上截取，连接，连接，并延长交于点，连接，过点C作于点，证明为等边三角形，再证明，则，继而确定点G的轨迹是线段，然后解求出，再由勾股定理求出，可得当点与点重合时，最小，当点与点重合时，最大，即可求解． 【详解】解：在上截取，连接，连接，并延长交于点，连接，过点C作于点， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵等边， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴在中，， 则 ， ∴， ∴中，， ∵， ∴点在线段上运动， ∴当点与点重合时，最小为，当点与点重合时，最大为， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，的平分线分别交于点，．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】作，交于点，连接交于点，由平行四边形的性质得，，根据角平分线的定义得出，，根据平行线的性质得出，，即可推得，，根据等角对等边得出，根据平行四边形的判定定理得出四边形是平行四边形，根据菱形的判定和性质得出，，，，推得，根据平行线的判定定理得出，根据平行四边形的判定和性质得出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：解：作，交于点，连接交于点，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，的平分线分别交于点，， ∴，， ∵， ∴，， 故，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，将菱形纸片折叠，使得点B恰好落在边的中点处，折痕为．若菱形的边长为，，则________． 【答案】 【分析】连接，过点C作交于点G，证明四边形是平行四边形，是等边三角形，设，则根据勾股定理列式解答即可． 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：连接，过点C作交于点G， ∵四边形是菱形，且菱形的边长为，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形，是等边三角形， ∴，， ∵边的中点是， ∴， ∴， 设， 则 ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图1，在菱形中，，点是上一点． (1)在图1中用无刻度的直尺和圆规在上作一点，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)将（1）中作图添加的线段作为辅助线，证明； (3)如图2，在（1）的条件下，若是AB中点，求的最小值． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，点即为所求； （2）连接，，证明为等边三角形，进而得到，证明，进而得到，，进而推出为等边三角形，即可得证； （3）取的中点，作点关于的对称点，连接，证明，得到，进而得到，推出当三点共线时，的值最小，为的长，连接，交于点，延长，交于点，利用含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理推出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）连接， ∵菱形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由作图可知：， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； （3）取的中点，作点关于的对称点，连接，则：， 由（2）知：， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 连接，交于点，延长，交于点， ∵关于对称， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 9．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，在菱形中，，将边沿对角线平移，得到线段，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)平移过程中能否得到四边形的是矩形？如果能得到，求出平移的距离；如果不能，请说明理由； (3)在平移过程中，最小值为_______． 【答案】(1)见解析 (2)能，平移距离 (3) 【分析】（1）根据菱形的性质，平行四边形的判定证明即可； （2）连接，，当四边形是矩形时， ， 利用勾股定理解答即可． （3）点F在直线上运动，故作点B关于直线得对称轴点M，连接交于点N，当点F与点N重合时，取得最小值，且最小值为的长，根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：由平移可知， , ∵四边形是菱形， ∴ ， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：连接，， 当四边形是矩形时， ， 由平移可知，， ∵四边形是菱形 ， ∴ ， ∴ DF⊥BD ,即， 在中，即 ， 解得， 故当移动距离时，四边形是矩形． （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点F在直线上运动， 故作点B关于直线得对称轴点M， 连接交于点N， ∴当点F与点N重合时，取得最小值，且最小值为的长， ∵四边形是菱形 ，，设的交点为O， ∴ ，，， ∴， 在中，， 故最小值为． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图1，四边形是矩形，是矩形的一条对称轴，点E、F分别在边和上，过点B折叠矩形，折痕为，使点A落在的点N处， (1)求的度数 (2)如图2，将延长交于点G，将沿折叠，点B刚好落在边上点H处，连接，得到四边形，求证：四边形是菱形 (3)如图3，点Q在线段上移动，做等边三角形，P、Q在的同侧，请你连接得到，的度数是否发生改变？请说明理由 【答案】(1)60° (2)见解析 (3)的度数不发生改变，理由见解析 【分析】（1）根据折叠的性质可得，，即可得；根据折叠的性质可得，由可得，根据直角三角形的两锐角互余得； （2）由折叠的性质可得，根据矩形的性质，，，可得是等边三角形，则，由折叠得，，可得出，即可得出四边形是菱形． （3）连接，，由（1）得：为等边三角形；可得，，则，证明，，可得，证明，从而可得答案． 【详解】（1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ∴， 再次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到了线段． ， ， 由折叠的性质得：， ， ， ， （2）由折叠的性质得：； 四边形是矩形， ， ，， 是等边三角形， ， 由折叠得，， ， 四边形是菱形． （3）的度数不会发生改变；理由如下： 连接，，    由（1）得：为等边三角形； ∴，， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴的度数不会发生改变． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $