专题01 矩形的性质和判定【期末复习重难点专题培优】-2025-2026学年数学苏科版八年级下册

**基本信息** 聚焦矩形性质与判定，通过8类高频易错题型精讲精练，构建从性质应用到判定证明的递进式方法体系，结合江苏期末真题实现分层突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重点题型分类讲练|8题型（1精讲+2精练）|性质应用（角度/线段/面积）、折叠问题（轴对称+勾股）、判定证明（定义/对角线/直角）|从单一性质到性质与判定综合，形成“概念-性质-判定-应用”逻辑链| |基础夯实/拓展拔尖|各10题|动态问题（动点/翻折）、跨图形综合（菱形/梯形结合）|从基础计算到复杂证明，逐步提升空间观念与推理能力|

2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题01 矩形的性质和判定『期末复习重难点专题培优』 【8个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共44题】 01 题型汇总 目录 【重点题型 分类讲练】 1 题型一 利用矩形的性质求角度 1 题型二 根据矩形的性质求线段长 3 题型三 根据矩形的性质求面积 7 题型四 矩形与折叠问题 10 题型五 证明四边形是矩形 12 题型六 根据矩形的性质与判定求角度 15 题型七 根据矩形的性质与判定求线段长 18 题型八 根据矩形的性质与判定求面积 21 【基础夯实 能力提升】 23 【拓展拔尖 冲刺满分】 31 02 题型汇编 讲练 【重点题型 分类讲练】 题型一 利用矩形的性质求角度 【精讲】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点．若，则的大小为___________． 【答案】/120度 【分析】根据矩形的性质易证是等边三角形，得到，即可得解． 【详解】解：矩形， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 【精练1】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，矩形的对角线，相交于点O，， ，若，则__________． 【答案】124 【分析】先根据矩形的性质得到对角线相等且互相平分，求得的度数，再判定四边形是平行四边形，得到． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ． 【精练2】（25-26八年级下·江苏无锡·月考）如图，在矩形中，、交于点，，则大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由矩形性质得到，再由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在矩形中，， ． 题型二 根据矩形的性质求线段长 【精讲】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，E是边上一点（不与B，C重合），过点E作于点F，于点G，若，设的长为x，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】连接，由菱形对角线互相垂直平分可得，则可由勾股定理求出，证明四边形是矩形，则，进一步求出即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形，对角线相交于点O， ∴ ∴， 在中，由勾股定理得， ∵于点F，于点G， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵E是边上一点（不与B，C重合）， ∴当时，取得最小值，， 此时， ∴， 则， ∴设的长为x，则x的取值范围是． 【精练1】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，，，点E，F分别在，上，点G，H在上，若四边形为矩形，则的长的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，过作交直线于，由直角三角形可得，结合，可得与两平行线之间的距离为，则的最小值为，由四边形为矩形，可得，即可求出的长的最小值为． 【详解】解：连接，过作交直线于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴与两平行线之间的距离为， ∴根据垂线段最短可得的最小值为， ∵四边形为矩形， ∴， ∴的长的最小值为． 【精练2】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，矩形中，，对角线相交于，．点关于的对称点为，点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转后得到对应线段，连接CF，则线段长的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，，，，由矩形性质可得，，，，然后证明是等边三角形，则，又点与关于对称，所以，，从而可得四边形是菱形，所以，又将线段绕点顺时针旋转后得到对应线段，所以，，证明，所以，要使最小，则需最小，根据垂线段最短可知，当时，最小，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，，，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∵点与关于对称， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转后得到对应线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 要使最小，则需最小，根据垂线段最短可知，当时，最小，如图， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴线段长的最小值为． 题型三 根据矩形的性质求面积 【精讲】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，， (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形； (2)96． 【分析】(1) 先利用两组对边平行证明四边形是平行四边形，再利用矩形对角线相等且互相平分证明，从而判定为菱形 (2) 利用矩形对角线交点性质得出的面积是矩形面积的四分之一，再由菱形对角线将其分成两个全等三角形，求和即得四边形的面积 【详解】（1）解：四边形是菱形； ∵， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）∵四边形是矩形，，， ∴， ∵是矩形对角线交点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴将其分成两个全等的三角形， ∴， ∴． 【精练1】（25-26八年级下·江苏·期中）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作 ，分别交、于点、，连接、．若图中阴影部分的面积为8，则的值为（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】由矩形的性质可证明，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：过点作，交于点，交于点， ∵四边形是矩形，且 ∴四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，，， ∵， ， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴． 【精练2】（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图，在矩形中，，，P是上的动点，于E，于F，则的值是____________． 【答案】 【分析】连接，根据矩形的性质求出，根据勾股定理得到，然后根据解答即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理，矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型四 矩形与折叠问题 【精讲】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，折叠矩形纸片，使点D落在点B处，再打开，折痕为，若，，连接，则的长是_____． 【答案】5.8 【分析】根据折叠的性质可得 ，设 ，则 ，在中利用勾股定理建立关于 x的方程求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 由折叠的性质得， 设 ，则 ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 即的长是5.8． 【精练1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的长度为_____． 【答案】5 【分析】根据折叠得出，设，则，根据勾股定理，即，求出x的值，即可得出答案． 【详解】解：根据折叠可得：， 设，则， 在矩形中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：， 即的长度为5． 【精练2】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图所示，在矩形中，，，点P在上，且，点E是线段上不与端点重合的一个动点，连接，将关于直线对称的三角形记作，若垂直于矩形的一边，则线段的长是______． 【答案】5 【分析】分两种情况考虑：①；②；利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：在矩形中，，， ， ∴由勾股定理得， 由折叠的性质可得，， ①当时，如图1所示， 则四边形是矩形， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得 ， 解得， ； ②当 时，如图2所示， 过F作交延长线于点G， ∵， ∴， ∴P、A、F三点共线， 则四边形是矩形， ，， 设，则； 在中，由勾股定理得 ， 解得． ． ∴． ∵点E是线段上不与端点重合的一个动点， ∴不合题意，舍去， 综上所述，满足条件的的值为5． 题型五 证明四边形是矩形 【精讲】（25-26八年级下·江苏南京·期中）某工人想制作一个长为80，宽为60的矩形窗框，为此，他截出两对长为60，80的铝合金材料，如图（1）． (1)他将铝合金材料摆成如图（2）所示的四边形窗框，这时窗框的形状是______，依据是______； (2)在（1）中，他继续调整窗框的形状，使得对角线的长度为100，固定窗框如图（3），判断此时四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形 (2)矩形，理由见解析 【分析】（1）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （2）根据勾股定理的逆定理可以判断出四边形中有一个角为直角，再根据矩形的定义即可判断四边形为矩形． 【详解】（1）解：由题意可知 ，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定四边形是平行四边形 （2）解：四边形是矩形，理由如下： ，，， 为矩形． 【精练1】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点O，． (1)求证：平行四边形是矩形． (2)若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1） 由，得到，再由平行四边形性质推出，则可证明平行四边形是矩形． （2）由题意，证明是等边三角形，则可求． 【详解】（1）证明： ∵四边形为平行四边形 ∴， 平行四边形ABCD是矩形； （2）∵， ∴， ， ， 是等边三角形， ． 【精练2】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】首先，根据四边形是平行四边形，得到 ，进而得到，再由平分，平分及等腰三角形的“三线合一”得出，，，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ， ． ， ． ，平分， ， 同理可得， ． 又∵， ∴四边形为平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是矩形． 题型六 根据矩形的性质与判定求角度 【精讲】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，在正方形中，点为对角线上的一点，，垂足分别为、，若，则的长度为_________． 【答案】 【分析】连接，，根据正方形的性质证明，进而证明四边形是矩形，勾股定理求得即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， 四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ， ∴， 故答案为：． 【精练1】（23-24八年级下·江苏南通·月考）如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，由角的和差关系求出，再根据等边对等角求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 【精练2】（24-25八年级下·江苏·期末）如图，在正方形中，，则等于（　　）    A．45° B．55° C．65° D．75° 【答案】B 【分析】作于F，证明，得到，利用进行求解即可． 【详解】解：作于F，    又四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 题型七 根据矩形的性质与判定求线段长 【精讲】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在梯形中，，，，若，则_____． 【答案】 【分析】过点D作于点E，根据矩形的判定与性质可得，在中，利用含30度角的直角三角形性质及勾股定理即可求解. 【详解】解：过点D作于点E， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ 四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ． 【精练1】（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图1，梯形中，，，点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度，按的顺序在四边形的边上匀速运动．设P点的运动时间为x秒，的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示，则图2中a的值为（   ） A．7 B．11 C．13 D．16 【答案】C 【分析】根据S关于x的函数图象可知，当P运动到点B时，此时，，即可求出，当点P运动到点C时，此时，即可求出，过点B作于点E，则四边形为矩形，则，再利用勾股定理求出，最后根据求解即可． 【详解】解：根据S关于x的函数图象可知，当P运动到点B时，此时，， 即， ∴， 当点P运动到点C时，此时， 即， ∴， 过点B作于点E， 则四边形为矩形， ∴，，， ∴， 在中，， 当点P运动到点D时，此时， ∴． 【精练2】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，平行四边形的对角线相交于点平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，根据平行四边形的性质可得，推出，得到，进而得，即可得证； （2）根据菱形的性质可得，证明四边形是矩形，根据矩形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：平分， ． 四边形是平行四边形， ∴， ． ， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形， ， ． ∵，， 四边形是平行四边形． 四边形是矩形． ． 题型八 根据矩形的性质与判定求面积 【精讲】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】18 【分析】作于M，交于N；则得四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，由矩形的对角线平分矩形的面积，得，由此即可求解． 【详解】解：如图，作于M，交于N， 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴. 【精练1】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某四边形的对角线相等，且相互平分，相邻两边的边长分别为，则该四边形的面积为______． 【答案】6 【分析】此题考查了矩形的判定和性质．先证明四边形是矩形，根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形的对角线相等，且相互平分， ∴四边形为矩形， ∵相邻两边的边长分别为，即矩形的长、宽分别为， ∴四边形的面积为 故答案为：6 【精练2】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作平行于，分别交、于点、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质． 如图所示，过点P作，首先得到，证明出四边形，，，是矩形，得到，然后根据矩形的性质推出，，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点P作 ∵四边形是矩形，是对角线 ∴ ∵， ∴四边形，，，是矩形 ∴ ∴， ∴ ∵，分别是矩形和的对角线 ∴， ∴ ∴阴影部分的面积的和为． 故选：C． 03 真题强化 实战 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，依据尺规作图的痕迹，计算（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图—角平分线和线段垂直平分线，矩形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据痕迹得出平分，垂直平分，然后得出角之间的关系和直角，然后确定四边形为矩形，根据平行线的性质得出相等的角，最后利用角平分线的性质和直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：各交点如图所示， 根据作图痕迹可得，平分，垂直平分， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，矩形的对角线、相交于点，，，则的长为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，先证是等边三角形，推出，再结合矩形的性质即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：D． 3．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，在矩形中，，，是对角线上两点，，过点，分别作的垂线，与边分别交于点，．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．延长，交于点，过点作于点，得，，再根据全等三角形的判定与性质得，求出的长，最后由勾股定理可得结论． 【详解】解：延长，交于点，过点作于点， ， 四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ，， ∥， ， ，， ， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， 故选：B． 4．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）在中，，，，则边上的中线长是__________． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，关键是根据直角三角形斜边上中线的性质求解；根据直角三角形斜边上的中线长度等于斜边的一半，先利用勾股定理求出斜边的长度，再计算其一半． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴边上的中线长为：， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）在矩形中，分别是的中点，连接，则的长为______． 【答案】6.5// 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理，在和中，分别使用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图， 在矩形中，， ∴， 在中，， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）用长度是的绳子围成矩形，你认为能围成矩形的最大面积为________． 【答案】 【分析】此考查了矩形的性质，根据矩形的性质进行求解即可． 【详解】解：因为矩形周长为，所以邻边和为，若使面积最大，则只需两边长相等，即都为， 所以最大面积为． 故答案为，． 7．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，矩形的两条对角线交于点，且，，则矩形的对角线长为__． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练运用矩形的性质解决问题是本题的关键． 根据矩形的性质可证△是等边三角形，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ，， ， 且， △是等边三角形 ， ， ， ， ， 矩形的对角线长为， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，点E是矩形的边上的一点，且． (1)F是上一点，且满足，请用尺规作图法作出点F；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，若，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据等底等高的两个三角形的面积相等，作的角平分线交于点，即可； （2）连接，矩形的性质结合勾股定理求出的长，进而求出的长，证明，得到，设，则，勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，作的平分线交于F，F即为所求； （2）连接， ∵点E是矩形的边上的一点， ∴，，， ∴， ∴， 由（1）知平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， 即． 9．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，已知是平行四边形的对角线，且于点C，延长至点E，使得，连接交于点O，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，根据平行四边形的性质得到，，根据等量代换得到，，再根据，即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形； 又∵， ∴， ∴四边形是矩形． 10．（2024·江苏常州·期末）如图所示，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接． (1)求证：D是的中点； (2)若，试判断四边形的形状，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)若，则四边形是矩形，证明见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点． （1）根据两直线平行，内错角相等求出，然后利用证明和全等，再根据全等三角形的性质和等量关系即可求解； （2）由（1）知平行等于，易证四边形是平行四边形，而，是中线，利用等腰三角形三线合一定理，可证，即，那么可证四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴D是的中点； （2）解：若，则四边形是矩形．证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式对折，使点落在上的点处，折痕为，点落在点处，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理． 先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【详解】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得：， 故选：A． 2．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，在矩形中，，，点为边上的一点，且满足，为射线上一动点，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、平行四边形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．延长到点， 使，作直线，得出四边形为平行四边形，则在平行的直线上运动，当时，最小，进而根据已知，结合含度角的直角三角形的性质，勾股定理，即可求解． 【详解】解：延长到点， 使，作直线，如图： 四边形为平行四边形， ， ∴， 四边形为平行四边形， 在平行于的直线上运动， 当时，最小， ， 四边形为平行四边形，， ， ， ， ， ， ， ∴的最小值是． 故选：D． 3．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，交于，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．如图1中，作于，于，由，推出，由，，可得，故①正确，如图2中，延长交的延长线于，作于．易证，可得，设，则，通过计算即可一一判断． 【详解】解：如图，作于，于． ， 四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ，， ， 平分，故①正确， 如图中，延长交的延长线于，作于． 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，，， ， ， 设，则， ， ，， ， ，故②正确， ， ， ， ，故③正确， ， ，故④错误， 故选：A 4．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）在矩形中，点在边上，与的延长线交于点，，若，则_____． 【答案】 【分析】取的中点G，连接，根据直角三角形的性质可得，进而得出，由，得，再根据勾股定理求出的长，得，进而可得． 【详解】解：取的中点G，连接， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接、，则线段的长等于______． 【答案】 【分析】如图，延长交于点，由勾股定理求得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，由翻折的性质可知，，，可得是的垂直平分线，得到， ，设，则，在和中，由勾股定理得，即得到，解得，得到，，由，得到，，进而得到，最后利用勾股定理计算即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 在中，由勾股定理得， ∵为的中点， ∴， 由翻折的性质可知，，，， ∴是的垂直平分线， ∴， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，矩形中，，，点是边上的动点，点在边上，．连接、，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 延长到点M，使得，连接，证明转化得到，当A，F，M三点共线时，取得最小值，勾股定理解答即可． 【详解】解：延长到点M，使得，连接， ∵矩形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接 ∵， ∴， 故当A，F，M三点共线时，取得最小值，且最小值为， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图，在菱形中，对角线，，动点、分别从点、同时出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动；同时，动点、也分别从点、出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动，顺次连接、、、．设运动的时间为，若四边形是矩形，则的值为______． 【答案】 【分析】题目主要考查平行四边形的性质及动点问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 首先证四边形是平行四边形，则当时，四边形是矩形，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，， ， 动点、分别从点、同时出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动；同时，动点、也分别从点、出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动， ，， 在和中， ， ， ， 同理可证：， 四边形是平行四边形， 如图，连接，，过点作于，于， 当时，四边形是矩形， 即当时，四边形是矩形， ， ， ， ， 同理可求：，，， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，已知矩形，，，点是边上一点，连接． (1)在边上作出点，使得点到的距离等于线段的长度；（用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，设点到的垂线段为，连接，若点刚好是的中点，补全图形（无需尺规作图），并求此时的长度． 【答案】(1)见解析 (2)画图见解答；的长度为 【分析】（1）作的角平分线，交于点，根据角平分线的性质得点到的距离等于． （2）根据四边形为矩形，，，，证明，即可得出，再证，设，则，，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，作的平分线，交于点， 则点即为所求． （2）如图所示， 由题意得，，． 四边形为矩形， ，，． 在和中， ， ， ． 点为的中点， ， ． 在和中， ， ， ． 设，则，， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 的长度为． 9．（24-25八年级下·江苏常州·期末）如图，在矩形中，，点是边上一点． (1)如图1，当，时，求长； (2)如图2，连接，当，垂足为，点恰好是的中点时，求的值及的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题的四边形的综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的面积熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，，，设则根据勾股定理即可得到结论； （2）根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，得到，根据三角形的面积公式得到；设则根据勾股定理得到，，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，， ， ，，， ， 设， 则 ， 解得， ； （2）四边形是矩形， ，， 点是的中点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； 设则 ，，， ， （负值舍去）， ． 10．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动．如图，四边形为矩形，将矩形沿着过点的直线翻折，交于点，点的对应点为点． (1)如图1，当点F正好落在对角线和的交点O处时，试探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若点是的中点，点落在矩形的内部时，延长交边于点．若，请探究之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，，折痕与边交于点E，当是直角三角形时，求线段的长． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】本题是四边形综合题，考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据矩形的性质和折叠的性质证明是等边三角形，在中，设为a，则，利用勾股定理即可得解； （2）连接，证明得到，求出，设，则，求出，即可得解； （3）设，在中，利用勾股定理求解即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下， 四边形是矩形， ，，，， ， 由折叠的性质可得：，，， ， 是等边三角形， ， ，， 在中，设OE为a，则， ， ， ， ∴； （2）解：如图，连接， ， ∵点是的中点， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； （3）解：是直角三角形，如图， ， ∵四边形是矩形， ∴，，， 设，由折叠可得：，，， ∴，， ∴，， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题01 矩形的性质和判定『期末复习重难点专题培优』 【8个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共44题】 01 题型汇总 目录 【重点题型 分类讲练】 1 题型一 利用矩形的性质求角度 1 题型二 根据矩形的性质求线段长 2 题型三 根据矩形的性质求面积 3 题型四 矩形与折叠问题 4 题型五 证明四边形是矩形 5 题型六 根据矩形的性质与判定求角度 7 题型七 根据矩形的性质与判定求线段长 7 题型八 根据矩形的性质与判定求面积 9 【基础夯实 能力提升】 9 【拓展拔尖 冲刺满分】 12 02 题型汇编 讲练 【重点题型 分类讲练】 题型一 利用矩形的性质求角度 【精讲】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点．若，则的大小为___________． 【精练1】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，矩形的对角线，相交于点O，， ，若，则__________． 【精练2】（25-26八年级下·江苏无锡·月考）如图，在矩形中，、交于点，，则大小是（   ） A． B． C． D． 题型二 根据矩形的性质求线段长 【精讲】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，E是边上一点（不与B，C重合），过点E作于点F，于点G，若，设的长为x，则x的取值范围是______． 【精练1】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，，，点E，F分别在，上，点G，H在上，若四边形为矩形，则的长的最小值为______． 【精练2】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，矩形中，，对角线相交于，．点关于的对称点为，点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转后得到对应线段，连接CF，则线段长的最小值为______． 题型三 根据矩形的性质求面积 【精讲】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，， (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 【精练1】（25-26八年级下·江苏·期中）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作 ，分别交、于点、，连接、．若图中阴影部分的面积为8，则的值为（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 【精练2】（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图，在矩形中，，，P是上的动点，于E，于F，则的值是____________． 题型四 矩形与折叠问题 【精讲】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，折叠矩形纸片，使点D落在点B处，再打开，折痕为，若，，连接，则的长是_____． 【精练1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的长度为_____． 【精练2】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图所示，在矩形中，，，点P在上，且，点E是线段上不与端点重合的一个动点，连接，将关于直线对称的三角形记作，若垂直于矩形的一边，则线段的长是______． 题型五 证明四边形是矩形 【精讲】（25-26八年级下·江苏南京·期中）某工人想制作一个长为80，宽为60的矩形窗框，为此，他截出两对长为60，80的铝合金材料，如图（1）． (1)他将铝合金材料摆成如图（2）所示的四边形窗框，这时窗框的形状是______，依据是______； (2)在（1）中，他继续调整窗框的形状，使得对角线的长度为100，固定窗框如图（3），判断此时四边形的形状，并说明理由． 【精练1】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点O，． (1)求证：平行四边形是矩形． (2)若，且，求的长． 【精练2】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点．求证：四边形是矩形． 题型六 根据矩形的性质与判定求角度 【精讲】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，在正方形中，点为对角线上的一点，，垂足分别为、，若，则的长度为_________． 【精练1】（23-24八年级下·江苏南通·月考）如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【精练2】（24-25八年级下·江苏·期末）如图，在正方形中，，则等于（　　）    A．45° B．55° C．65° D．75° 题型七 根据矩形的性质与判定求线段长 【精讲】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在梯形中，，，，若，则_____． 【精练1】（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图1，梯形中，，，点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度，按的顺序在四边形的边上匀速运动．设P点的运动时间为x秒，的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示，则图2中a的值为（   ） A．7 B．11 C．13 D．16 【精练2】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，平行四边形的对角线相交于点平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 题型八 根据矩形的性质与判定求面积 【精讲】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是______． 【精练1】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某四边形的对角线相等，且相互平分，相邻两边的边长分别为，则该四边形的面积为______． 【精练2】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作平行于，分别交、于点、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 03 真题强化 实战 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，依据尺规作图的痕迹，计算（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，矩形的对角线、相交于点，，，则的长为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 3．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，在矩形中，，，是对角线上两点，，过点，分别作的垂线，与边分别交于点，．若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）在中，，，，则边上的中线长是__________． 5．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）在矩形中，分别是的中点，连接，则的长为______． 6．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）用长度是的绳子围成矩形，你认为能围成矩形的最大面积为________． 7．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，矩形的两条对角线交于点，且，，则矩形的对角线长为__． 8．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，点E是矩形的边上的一点，且． (1)F是上一点，且满足，请用尺规作图法作出点F；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，若，连接，求的长． 9．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，已知是平行四边形的对角线，且于点C，延长至点E，使得，连接交于点O，连接．求证：四边形是矩形． 10．（2024·江苏常州·期末）如图所示，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接． (1)求证：D是的中点； (2)若，试判断四边形的形状，并证明． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式对折，使点落在上的点处，折痕为，点落在点处，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，在矩形中，，，点为边上的一点，且满足，为射线上一动点，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，交于，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）在矩形中，点在边上，与的延长线交于点，，若，则_____． 5．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接、，则线段的长等于______． 6．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，矩形中，，，点是边上的动点，点在边上，．连接、，则的最小值为_______． 7．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图，在菱形中，对角线，，动点、分别从点、同时出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动；同时，动点、也分别从点、出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动，顺次连接、、、．设运动的时间为，若四边形是矩形，则的值为______． 8．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，已知矩形，，，点是边上一点，连接． (1)在边上作出点，使得点到的距离等于线段的长度；（用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，设点到的垂线段为，连接，若点刚好是的中点，补全图形（无需尺规作图），并求此时的长度． 9．（24-25八年级下·江苏常州·期末）如图，在矩形中，，点是边上一点． (1)如图1，当，时，求长； (2)如图2，连接，当，垂足为，点恰好是的中点时，求的值及的长． 10．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动．如图，四边形为矩形，将矩形沿着过点的直线翻折，交于点，点的对应点为点． (1)如图1，当点F正好落在对角线和的交点O处时，试探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若点是的中点，点落在矩形的内部时，延长交边于点．若，请探究之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，，折痕与边交于点E，当是直角三角形时，求线段的长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $