专题03 正方形的性质和判定【期末复习重难点专题培优】-2025-2026学年数学苏科版八年级下册

**基本信息** 聚焦正方形性质与判定，通过9类高频易错题型分类讲练（含精讲+精练）及分层真题演练，构建从基础计算到动态综合的完整训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重点题型分类讲练|9题型（1精讲+2精练/题型）|覆盖折叠、角度/线段长/面积计算、证明、中点四边形、动点、最值、综合问题|以正方形性质与判定为核心，关联矩形、菱形知识，从静态性质应用到动态几何探究，形成“概念-计算-证明-综合”递进逻辑| |基础夯实+拓展拔尖|各10题|基础题侧重判定与性质直接应用，拔尖题含跨学科情境与多结论探究|衔接中考命题趋势，通过真题演练强化几何直观与推理能力，培养从数学角度分析问题的思维习惯|

2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题03 正方形的性质和判定『期末复习重难点专题培优』 【9个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共47题】 01 题型汇总 目录 【重点题型 分类讲练】 1 题型一 正方形折叠问题 1 题型二 根据正方形的性质与判定求角度 2 题型三 根据正方形的性质与判定求线段长 4 题型四 根据正方形的性质与判定求面积 4 题型五 根据正方形的性质与判定证明 6 题型六 中点四边形 7 题型七 (特殊)平行四边形的动点问题 8 题型八 四边形中的线段最值问题 9 题型九 四边形其他综合问题 10 【基础夯实 能力提升】 13 【拓展拔尖 冲刺满分】 16 02 题型汇编 讲练 【重点题型 分类讲练】 题型一 正方形折叠问题 【精讲】（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图，O为正方形对角线的中点，将沿着过点C的直线l翻折，使点B的对应点E落在正方形的内部，连接，，，，若，．的长为 _____． 【精练1】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，将一张边长为的正方形纸片折叠，使点落在的中点处，点落在点处，折痕为，则线段长的平方为（　　） A． B． C． D． 【精练2】（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，已知正方形的边长为，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，则的周长为_________． 题型二 根据正方形的性质与判定求角度 【精讲】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 【精练1】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点，连．若，，则与的和为______度；且另一条直角边的长为______．    【精练2】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为_____°． 题型三 根据正方形的性质与判定求线段长 【精讲】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形中，点O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接、，交于G，以下结论正确的有（填序号）．____________ ①；②；③；④为定值． 【精练1】（2023八年级下·江苏无锡·竞赛）如图，在矩形中，，是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，当时，则的长是___________． 【精练2】（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，点P的坐标为，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上运动，且，连接，下列结论：①；②若与的交点恰好是的中点，则四边形是正方形；③四边形的面积与周长为定值；④．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④ 题型四 根据正方形的性质与判定求面积 【精讲】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，则四边形的面积是（　　） A． B． C． D． 【精练1】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，已知平行四边形中，对角线交点O，E是延长线上的点，且是等边三角形． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【精练2】（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝．D是边AB上一动点，连接CD，以CD为直角边在CD左侧作等腰直角△CDE，且∠DCE＝90°，连接AE，则DE长度的最小值为 _____；△ADE面积的最大值为 _____． 题型五 根据正方形的性质与判定证明 【精讲】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，在正方形中，点是上一点，过点作交于点，连接，若，则的度数是________．（用含的代数式表示） 【精练1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点D落在上，连结．若，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【精练2】（24-25八年级下·江苏盐城·月考）如图，在平面直角坐标系中，是原点，四边形是边长为5的正方形，点，分别在轴，轴正半轴上，为边上任意一点（不与点，重合），连接，过点作，交于点，且，过点作，交于点，连接，，设． (1)求点的坐标：（用含的代数式表示） (2)试判断线段的长是否随点位置的变化而变化，并说明理由． 题型六 中点四边形 【精讲】（25-26八年级下·江苏无锡·月考）在四边形中，分别是边的中点，对角线，则四边形是什么图形（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【精练1】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，四边形中，，，，分别是边，，，的中点．若四边形为菱形，则四边形应满足条件（   ） A． B． C． D． 【精练2】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段检测）一个对角线长为的矩形，顺次连接它的四边中点得到的四边形的周长是_____． 题型七 (特殊)平行四边形的动点问题 【精讲】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 【精练1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）已知：如图，在矩形中，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若的面积为S．    (1)当四边形是正方形时，求x的值； (2)当四边形是菱形时，求S与x的函数关系式； (3)当_____________时，的面积S最大；当_____________时，的面积S最小； (4)在的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长：_____________． 【精练2】（23-24八年级下·江苏扬州·月考）在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形成为矩形？ (2)当t为何值时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？ (3)四边形是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形在某一时刻为菱形，求点Q的速度． 题型八 四边形中的线段最值问题 【精讲】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）已知菱形的边长为2，且，M是对角线上一动点，的最小值为______． 【精练1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）在平面直角坐标系中，，分别是轴正半轴上的点，为线段的中点，，分别是，轴负半轴上的点，以为边在第三象限内作正方形．若，则线段长度的最大值是__________． 【精练2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形中，，点为对角线上的动点，以为边作正方形，点是上一点，且，连接，则的最小值为__________． 题型九 四边形其他综合问题 【精讲】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）小明参观完洛阳博物馆后，在出口处购买了博物馆文创产品之一的信封．信封正面可看成如图所示的矩形（虚线为重叠部分四边形的轮廓），其中，，，已知，且，则重叠部分四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【精练1】（23-24八年级下·江苏南通·期中）四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)如图，当点在线段上时， ①求证：矩形是正方形； ②若，，求正方形的边长． (2)当线段与正方形的某条边的夹角是时，请直接写出的度数． 【精练2】（24-25八年级下·江苏淮安·期末）我们定义：有一组邻边相等的四边形叫做“等邻边四边形”．    (1)已知：如图1，四边形的顶点A，B，C在网格格点上，请你在如下的的网格中画出3个不同形状的等邻边四边形，要求顶点D在网格格点上； (2)如图2，矩形中，，，点E在边上，连接画于点F，若，找出图中的等邻边四边形，并说明理由； (3)如图3，在中，，D是的中点，点M是边上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，则的长为________． 03 真题强化 实战 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）能判别一个四边形是正方形的条件是（　　） A．对角线相等，对边平行且相等 B．一组对边平行，一组对角相等 C．对角线互相垂直平分且相等 D．一组邻边相等，对角线互相平分 2．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图，以正方形的边向外作等边，连接交边于点F，则的度数是（    ） A．60° B．70° C．75° D．80° 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，正方形和正方形，点F，B，C在同一直线上，连接，M是的中点，连接，若，，则正方形的边长为（　　） A．1 B． C．1.5 D． 4．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在正方形中，，O、E、F、分别为、、、的中点，则的长等于______． 5．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别在轴负半轴、轴正半轴上，两点在第二象限内，过点作轴于点，交对角线于点，连接，若要求出的周长，则只需要知道的条件是______．从①点A的坐标；②点B的坐标；③点A，B的坐标这3个条件中，选一个填入填序号即可 6．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）如图：为正方形的对角线上一点，四边形为矩形，若正方形的对角线的长为，则的长为______． 7．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）如图，已知点、、、分别是四边形四边的中点，当对角线、满足条件______时，四边形是正方形． 8．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于，连接． (1)求的度数． (2)如图，为的中点，连接． ①求证：； ②若正方形边长为，求线段的长． 9．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，将正方形的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求四边形的面积． 10．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，在正方形中，E为边上一点，以为边作正方形．过点B作，垂足为P，交于点H．连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，则________． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知，如图，在中，，以为边在异侧作正方形，过点E作，垂足为F，交于G，连接，则的周长等于（       ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在正方形中，，为上一动点，交于，过作交于点，过作于，连结．在下面四个结论中：；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．①③ B．③④ C．②③ D．②④ 3．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在正方形中，E是边上一点，F是延长线上一点，连接交对角线于点G，连接，若，则（  ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，矩形的四个顶点恰好落在正方形的四条边上，且与正方形的对角线平行，若，则矩形的周长等于______． 5．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图，以的斜边为边，在的同侧作正方形，设正方形的中心为，连接．若，，则的长等于________．    6．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）在正方形中，E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，则的最小值为 ________________． 7．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，正方形的边长为8，是的中点，是上的动点，过点作分别交于点．则的最小值是______． 8．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）如图，在正方形中，点E在边上，点F在边的延长线上，且，连接交边于点N，过点D作，垂足为H，交于点M． (1)求的度数； (2)当时，求的长； (3)若点M是的中点，求证：． 9．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）四边形为正方形，E为对角线上一动点，连接．过点E作交直线于点F，以为邻边作矩形． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，，求正方形的边长； (3)点E关于的对称点为P，连接，若的最小值为， ①求的长为_______； ②正方形的面积的最小值为_______． 10．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图1，正方形的边长为4，连接，点为线段上任意一点（点不与，重合），过点作分别交于点．点为的中点，连接． (1)若，则________，________； (2)如图2，连接，．求证：且； (3)如图3，在（2）的条件下，设交于点，延长交于点，连接． ①探究之间的数量关系，并说明理由； ②若，则________． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题03 正方形的性质和判定『期末复习重难点专题培优』 【9个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共47题】 01 题型汇总 目录 【重点题型 分类讲练】 1 题型一 正方形折叠问题 1 题型二 根据正方形的性质与判定求角度 5 题型三 根据正方形的性质与判定求线段长 9 题型四 根据正方形的性质与判定求面积 15 题型五 根据正方形的性质与判定证明 18 题型六 中点四边形 24 题型七 (特殊)平行四边形的动点问题 26 题型八 四边形中的线段最值问题 31 题型九 四边形其他综合问题 34 【基础夯实 能力提升】 41 【拓展拔尖 冲刺满分】 54 02 题型汇编 讲练 【重点题型 分类讲练】 题型一 正方形折叠问题 【精讲】（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图，O为正方形对角线的中点，将沿着过点C的直线l翻折，使点B的对应点E落在正方形的内部，连接，，，，若，．的长为 _____． 【答案】2 【分析】本题考查了正方形折叠问题，全等三角形的性质与判定，中位线的性质；在上截取，连接，，证明，得到，根据中位线的性质即可得出的长． 【详解】解：如图所示，在上截取，连接，， ∵将沿着过点的直线翻折，使点的对应点落在正方形的内部， ∴垂直平分，， 设，则， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A，E，F三点共线； ∵， ∴． 故答案为：2． 【精练1】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，将一张边长为的正方形纸片折叠，使点落在的中点处，点落在点处，折痕为，则线段长的平方为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠问题，正方形的性质，勾股定理，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．连接，作交于点，根据折叠的性质，在中，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出的长．在中，有，在中，有，根据这两个式子可求得，得到，，在中，运用勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接，作交于点， 由四边形是正方形及折叠性知， ，，，， 在中，， ∵，为的中点， ∴， ∴， 解得， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， 在中， ， 故选：B． 【精练2】（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，已知正方形的边长为，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，则的周长为_________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用勾股定理，全等三角形的判定与性质． 连接，证明得出，设，则，，勾股定理求得，则 ，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示， 由折叠可知，， ， ， ， ， 正方形边长是， ， 设，则， ， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，， ∴， 的周长为， 故答案为：． 题型二 根据正方形的性质与判定求角度 【精讲】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) 【分析】（）证明，得，，进而可得，即得到，即可求证； （）过点作于，交的延长线于，可得四边形是矩形，再证明，得，利用三角形面积得，即得，即可得四边形是正方形，即可求解； 本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：，，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，过点作于，交的延长线于， ∵， 则， ∴四边形是矩形， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． 【精练1】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点，连．若，，则与的和为______度；且另一条直角边的长为______．    【答案】 180 5 【分析】作于点，交的延长线于点，由正方形的性质得，，而，所以；再证明，得，，则四边形是正方形，所以，则，所以，，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，交的延长线于点，则， 四边形是正方形， ，，，， ，， ， ； ， 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：180，5．    【精练2】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为_____°． 【答案】135 【分析】由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ACB＝∠BAC＝45° ∴∠2+∠BCP＝45° ∵∠1＝∠2 ∴∠1+∠BCP＝45° ∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP ∴∠BPC＝135° 故答案为：135． 题型三 根据正方形的性质与判定求线段长 【精讲】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形中，点O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接、，交于G，以下结论正确的有（填序号）．____________ ①；②；③；④为定值． 【答案】①② 【分析】①运用正方形的性质与判定得，再证明可得结论；③将绕点A顺时针旋转得到，证明 ，再结合三边关系，得；②将绕点A顺时针旋转得到，利用全等三角形的性质证明即可；④由，推出，因为的长度是变化的，故的面积不是定值． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴ 分别过点作，如图所示： 则， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 则， 即， ∵， ∴， ∴， 故①符合题意， 由①得 ∵ ∴是等腰直角三角形，， 将绕点A顺时针旋转得到，如图所示： ∴，， 则 即 ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故③是不符合题意； 将绕点A顺时针旋转得到， ∵，， ∴， ∴C，B，M共线， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 则， ∴， 故②符合题意， ∵， ∴， ∵的长度是变化的， ∴的面积不是定值， 故④不符合题意． 【精练1】（2023八年级下·江苏无锡·竞赛）如图，在矩形中，，是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，当时，则的长是___________． 【答案】 【分析】取的中点，连接，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而可得四边形是菱形，根据矩形的性质可得，则四边形是正方形，进而证明四边形是正方形，即可求解． 【详解】解：取的中点，连接， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴四边形是菱形， 又∵四边形是矩形，则 ∴四边形是正方形， ∴在上，且 如图所示， ∴ ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形，，，则重合， ∴ 【精练2】（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，点P的坐标为，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上运动，且，连接，下列结论：①；②若与的交点恰好是的中点，则四边形是正方形；③四边形的面积与周长为定值；④．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】过作轴于，轴于，与交于点，可得四边形是矩形，进而由可得四边形是正方形，得到，，进而得到，即可证明，得到，即可判断①；由直角三角形的性质可得，可得四边形是矩形，进而由得到四边形是正方形，即可判断②；由四边形的面积四边形的面积的面积四边形的面积的面积正方形的面积，即可判断③；由与的交点恰好是的中点时，四边形是正方形，得到，即可判断④． 【详解】解：过P作轴于M，轴于N，与交于点，如图所示： ， ， ∵x轴轴， ， ，则四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确； ∵与的交点恰好是的中点， ， 在中，是斜边的中线， ， 在Rt中，是斜边的中线， ， ， ∴四边形是矩形， ， ∴四边形是正方形，故②正确； ， ∴四边形的面积四边形的面积的面积 四边形的面积的面积， 正方形的面积， ， ， ， ， ， ∵，且和的长度会不断的变化，故周长不是定值，故③错误； ∵若与的交点恰好是的中点时，四边形是正方形， ，故④错误； ∴正确的有①②． 题型四 根据正方形的性质与判定求面积 【精讲】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，则四边形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质和判定，勾股定理，掌握正方形的判定和性质以及勾股定理是解题的关键． 根据四个全等的直角三角形拼成的图形，可知，，，设，，可用含a，b的式子表示，，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，，，， ， 四边形是菱形， ， ，即， 四边形是正方形， ，， ∴设，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴四边形的面积是． 故选：B． 【精练1】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，已知平行四边形中，对角线交点O，E是延长线上的点，且是等边三角形． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)80 【分析】（1）根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明即可； （2）根据条件证明菱形是正方形，即可求出． 本题考查了菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质、证明四边形是菱形与正方形是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，即， ∴四边形是菱形． （2）解：∵是等边三角形， ∴， 由（1）知，，， ∴，是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴ ∴菱形是正方形， ∴四边形的面积． 【精练2】（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝．D是边AB上一动点，连接CD，以CD为直角边在CD左侧作等腰直角△CDE，且∠DCE＝90°，连接AE，则DE长度的最小值为 _____；△ADE面积的最大值为 _____． 【答案】 【分析】要求DE得最小值，只需求CD、CE的最小值，过C作AB的垂线交AB于F，CF即为CD=CE的最小值，然后运用勾股定理即可求得DE的最小值；当DE最小时，△ADE为等腰直角三角形，此时其面积有最大值，然后求解即可． 【详解】解：如图：过C作AB的垂线交AB于F ∴CF是CD的最小值 ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝ ∴AB= ∵CF⊥AB ∴CF=1 ∴CD=CE的最小值为1，AF=1 ∴DE的最小值为 ∵∠GCE=90°、∠CFA=90°，∠CAG=90°，CG=CF=1 ∴四边形AFCG是正方形 ∴AF=AG=1 ∴当D点在F点时，△ADE的面积最大，且等腰△AGF的面积 ∴△ADE的面积最大值为：． 故答案为：，． 题型五 根据正方形的性质与判定证明 【精讲】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，在正方形中，点是上一点，过点作交于点，连接，若，则的度数是________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】过点作于于，根据全等三角形的判定定理结合正方形的性质证得，得到，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可得到答案． 【详解】解：过点作于于，如图所示： ∵四边形是正方形， ， ∴四边形是矩形，， ，四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【精练1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点D落在上，连结．若，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题关键． 过点E作于点H，过点E作，垂足为，交的延长线于点，先证明四边形是矩形，再证明，继而解得，证明三点同在一条直线上，再证明，中，由勾股定理解得 的长，证明得到，最后由三角形面积公式解答． 【详解】解：过点E作于点H，过点E作，垂足为，交的延长线于点 在正方形中， ， 正方形中， ， 四边形是矩形 在和中， ∴，， 三点同在一条直线上， 四边形是矩形 在与中 ∴ 四边形是正方形 设正方形的边长为 则 ， （舍去） 在与中 ∴ 故选：C． 【精练2】（24-25八年级下·江苏盐城·月考）如图，在平面直角坐标系中，是原点，四边形是边长为5的正方形，点，分别在轴，轴正半轴上，为边上任意一点（不与点，重合），连接，过点作，交于点，且，过点作，交于点，连接，，设． (1)求点的坐标：（用含的代数式表示） (2)试判断线段的长是否随点位置的变化而变化，并说明理由． 【答案】(1) (2)线段的长不随点位置的变化而变化，为定值5，理由见详解 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，平行四边形的性质与判定等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和判定，并灵活应用． （1）作轴于，则，先证出，再证明，得出，，求出，即可得出点的坐标； （2）连接，与交于点，先证明四边形是正方形，得出，，再证出四边形是平行四边形，即可得出． 【详解】（1）解： 如图所示，过点作轴于，则，， ， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为； （2）解：线段的长不随点位置的变化而变化，为定值5，理由如下： 如图所示，连接与交于点， ，，， 四边形是矩形， 又， ， 四边形是正方形， ， ， 四边形是平行四边形， ． 线段的长不随点位置的变化而变化，为定值5． 题型六 中点四边形 【精讲】（25-26八年级下·江苏无锡·月考）在四边形中，分别是边的中点，对角线，则四边形是什么图形（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】先根据三角形的中位线定理证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可． 【详解】∵点、为、的中点 ∴是的中位线， ∴，， 同理，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵，， ∴， 四边形是矩形． 【精练1】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，四边形中，，，，分别是边，，，的中点．若四边形为菱形，则四边形应满足条件（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中位线定理和菱形的判定，可得顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形，进而得到即可． 【详解】解：∵四边形中，，，，分别是边，，，的中点， ∴在中，为的中位线，所以且； 同理且；，， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为菱形， ∴应满足条件，即， ∴． 【精练2】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段检测）一个对角线长为的矩形，顺次连接它的四边中点得到的四边形的周长是_____． 【答案】 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形的性质是解题的关键． 本题需要先画一个图，便于理解，然后根据三角形中位线定理分别求出、、、，根据四边形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：如图： ， ∵、分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得：， ， ， ∴四边形的周长为：， 故答案为：． 题型七 (特殊)平行四边形的动点问题 【精讲】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的判定，利用分类讨论的思想解决问题是关键．由题意可得，分两种情况讨论：当点在上时；当点在延长线上时，表示出，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， ， 当点在上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：； 当点在延长线上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：， 综上可知，以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为或秒， 故选：C 【精练1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）已知：如图，在矩形中，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若的面积为S．    (1)当四边形是正方形时，求x的值； (2)当四边形是菱形时，求S与x的函数关系式； (3)当_____________时，的面积S最大；当_____________时，的面积S最小； (4)在的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长：_____________． 【答案】(1) (2) (3)①，② (4) 【分析】本题考查四边形综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积、一次函数的应用等知识； （1）只要证明即可解决问题； （2）如图，连接，作于，想办法证明，可得，由此即可解决问题； （3）①如图3中，当点与重合时，的值最小，的面积最大，在中，．②如图4中，当点在上时，的值最大，的面积最小； （4）如图3中，在的面积由最大变为最小的过程中，点的运动轨迹是平行的线段，点运动的路线长的长． 【详解】（1）四边形是正方形， ，， ，， ， ∴， ， ．， ， ． 故答案为：． （2）如图，连接，作于，则，，   四边形是菱形， ，， ， 矩形中，， ， ，即， ， ， ，， ． 与的函数关系式； （3）①如图3中，当点与重合时，的值最小，的面积最大，    在中，， 的最大值． ②如图4中，当点在上时，的值最大，的面积最小， 此时易证， ， ， ； 故答案为：①，②． （4）如图3中，在的面积由最大变为最小的过程中，点的运动轨迹是平行的线段， 即点运动的路线长的长， 故答案为：． 【精练2】（23-24八年级下·江苏扬州·月考）在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形成为矩形？ (2)当t为何值时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？ (3)四边形是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形在某一时刻为菱形，求点Q的速度． 【答案】(1) (2)或或 (3)四边形不能成为菱形，见解析，点Q的速度为时，能够使四边形在这一时刻为菱形． 【详解】（1）∵，， ∴当时，四边形成为矩形， 由运动知，，， ∴， ∴， 解得． ∴当时，四边形成为矩形； （2）①当时，， 此时，四边形是平行四边形； ②当时，， 此时，四边形是平行四边形时； ③当时，， 此时，四边形为平行四 边形； 综上所述，当或或时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． （3）四边形不能成为菱形．理由如下： ∵， ∴当时，四边形能成为菱形． 由，得， 解得：， 当时，，，． 在中，，， 根据勾股定理得，， ∴四边形不能成为菱形； 如果Q点的速度改变为时，能够使四边形在时刻为菱形， 由题意得， 解得：． 故点Q的速度为时，能够使四边形在这一时刻为菱形． 题型八 四边形中的线段最值问题 【精讲】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）已知菱形的边长为2，且，M是对角线上一动点，的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，交于点，如图，过点作的垂线，垂足为，连接，求得，，推出，当共线时，最小，然后用勾股定理算得即可． 【详解】解：连接，交于点，如图，过点作的垂线，垂足为，连接， ∵菱形的边长为2， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是对角线上一动点，，， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴当共线时，最小，最小值为， 此时， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【精练1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）在平面直角坐标系中，，分别是轴正半轴上的点，为线段的中点，，分别是，轴负半轴上的点，以为边在第三象限内作正方形．若，则线段长度的最大值是__________． 【答案】/ 【分析】取的中点，连接、、根据勾股定理可得，在点与之间总有如图，、、、四点共线，此时等号成立如图可得线段取最大值． 【详解】解：取的中点，连接、、． ， ． 同理． 正方形，为中点，， ． 在点与之间总有如图， 由于的大小为定值，只要，且、关于点中心对称时，、、、四点共线，此时等号成立如图． 线段取最大值． 【精练2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形中，，点为对角线上的动点，以为边作正方形，点是上一点，且，连接，则的最小值为__________． 【答案】2 【分析】连接，根据正方形的性质得到，证明，得到点的运动轨迹是射线，故当时，取最小值，此时，求出，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：连接， 四边形是正方形，四边形是正方形， ，，， ， ， ， 点的运动轨迹是射线，故当时，取最小值， 此时， ， ， ． 题型九 四边形其他综合问题 【精讲】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）小明参观完洛阳博物馆后，在出口处购买了博物馆文创产品之一的信封．信封正面可看成如图所示的矩形（虚线为重叠部分四边形的轮廓），其中，，，已知，且，则重叠部分四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是正方形，由正方形的面积公式可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴ ∴四边形的面积为． 故选：B． 【精练1】（23-24八年级下·江苏南通·期中）四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)如图，当点在线段上时， ①求证：矩形是正方形； ②若，，求正方形的边长． (2)当线段与正方形的某条边的夹角是时，请直接写出的度数． 【答案】(1)①见解析；②正方形的边长为 (2)或 【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质和判定，矩形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）①过点作于点，过点作于点，根据正方形的性质和矩形的性质易证，进一步可得，即可得证； ②过点作于点，易证，可得，根据已知条件可得的长，进一步可得的长； （2）分情况讨论：当，当时，根据正方形的性质以及三角形的内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）①证明：如图，作于，于，得矩形， ， 点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； ②解：正方形和正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ． ， ， 连接， ， ． 正方形的边长为； （2）解：分情况讨论： 当， ， ， ， ， ； 当时，如图所示： ， ， ， ， ， 综上，或． 【精练2】（24-25八年级下·江苏淮安·期末）我们定义：有一组邻边相等的四边形叫做“等邻边四边形”．    (1)已知：如图1，四边形的顶点A，B，C在网格格点上，请你在如下的的网格中画出3个不同形状的等邻边四边形，要求顶点D在网格格点上； (2)如图2，矩形中，，，点E在边上，连接画于点F，若，找出图中的等邻边四边形，并说明理由； (3)如图3，在中，，D是的中点，点M是边上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，则的长为________． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是等邻边四边形，理由见解析 (3)或6或 【分析】（1）根据等邻边四边形的定义画出3个不同形状的等邻边四边形； （2）根据题意求出，根据勾股定理求出，计算得到，根据等邻边四边形的定义判断即可； （3）分三种情况，根据勾股定理、等腰三角形的性质计算即可． 【详解】（1）解：邻边四边形如图所示：    （2）解：四边形是等邻边四边形， 理由如下：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是等邻边四边形； （3）解：如图，当时，，    如图，当时，连接，过点D作于E，    ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图，当，连接，过点D作于E，    ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述：或6或， 故答案为：4或6或． 03 真题强化 实战 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）能判别一个四边形是正方形的条件是（　　） A．对角线相等，对边平行且相等 B．一组对边平行，一组对角相等 C．对角线互相垂直平分且相等 D．一组邻边相等，对角线互相平分 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定，判断一个四边形是不是正方形，先判定它是平行四边形，再判定既是矩形也是菱形即可． 【详解】解：A选项中对边平行且相等，可得其为平行四边形，又对角线相等，可得其为矩形，但不一定是正方形，故A不符合题意； B选项中只能判定是平行四边形，故B不符合题意；； C选项对角线互相平分是平行四边形，平行四边形的对角线相等是矩形，平行四边形的对角线互相垂直是菱形，故四边形为正方形，故C符合题意； D选项对角线互相平分是平行四边形，，平行四边形的一组邻边相等是菱形，但不一定是正方形，故D不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图，以正方形的边向外作等边，连接交边于点F，则的度数是（    ） A．60° B．70° C．75° D．80° 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质及直角三角形的角关系；掌握利用边相等转化为角相等，结合外角性质与直角三角形内角和进行角度推导是解题的关键．解题时通过正方形与等边三角形的边、角性质，结合等腰三角形判定及直角三角形角的关系，逐步推导即可得出所求角的度数． 【详解】如图，延长过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵三角形是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵三角形是等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴三角形是直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：． 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，正方形和正方形，点F，B，C在同一直线上，连接，M是的中点，连接，若，，则正方形的边长为（　　） A．1 B． C．1.5 D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 延长交于点H，证明和全等得， ，则，在中，由勾股定理得，则，然后在中，由勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：延长交于点H，如图所示： ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴， ∵点M是的中点， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∴， 在中， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中，由勾股定理得： ， ∴． ∴正方形的边长为． 故选：B． 4．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在正方形中，，O、E、F、分别为、、、的中点，则的长等于______． 【答案】 【分析】连接，根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，再根据三角形中位线定理计算即可． 本题考查的是正方形的性质，三角形中位线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，掌握勾股定理、三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 四边形为正方形， ，， 是的中点， ， 由勾股定理得：， 在中，F是的中点， 则， 、M分别为、的中点， 是的中位线， ， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别在轴负半轴、轴正半轴上，两点在第二象限内，过点作轴于点，交对角线于点，连接，若要求出的周长，则只需要知道的条件是______．从①点A的坐标；②点B的坐标；③点A，B的坐标这3个条件中，选一个填入填序号即可 【答案】② 【分析】此题主要考查了正方形的性质，点的坐标，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 过点C作轴于点H，设点A的坐标为，点B的坐标为，其中，，证明四边形是矩形得，，再证明和全等得，则，再证明和全等得，，则，，进而得，，继而得的周长为，由此即可得出答案． 【详解】解：过点C作轴于点H，如图所示： 设点A的坐标为，点B的坐标为，其中，， ，， 轴， ， 四边形是矩形， ，， 四边形是正方形， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， 的周长为：， 若要求出的周长，则只需要知道的点B的坐标即可． 故答案为：②． 6．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）如图：为正方形的对角线上一点，四边形为矩形，若正方形的对角线的长为，则的长为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握正方形和矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 先由勾股定理求出，根据矩形性质得，再证明是等腰直角三角形得，进而即可得出的长． 【详解】解：在正方形中，，，， 在中，由勾股定理得：， 正方形的对角线， ， 四边形是矩形， ，， 在中，，， 是等腰直角三角形， ， ． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）如图，已知点、、、分别是四边形四边的中点，当对角线、满足条件______时，四边形是正方形． 【答案】， 【分析】本题考查了中位线定理，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定，根据三角形中位线定理、平行四边形的判定得到四边形为平行四边形，再根据菱形的判定、正方形的判定解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点、、、分别是四边形四边的中点， ∴、、分别为、、的中位线， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 当时，， ∴平行四边形为菱形， 当时，， ∴菱形为正方形， 故答案为：，． 8．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于，连接． (1)求的度数． (2)如图，为的中点，连接． ①求证：； ②若正方形边长为，求线段的长． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由正方形的性质可得，，再由翻折的性质得，，，证明得，即可得出结论； （2）①根据折叠的性质和线段中点的定义可得，，再结合三角形外角的性质可推出，即可得证； ②设，表示出、，根据点是的中点求出、，得到的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵把沿折叠得到， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）①证明：∵把沿折叠得到， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②解：由（1）得，， ∴， 设， ∵正方形边长为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即线段的长． 9．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，将正方形的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． （1）连接，交于点，根据正方形的性质得到，，，求得，根据菱形的判定定理得到平行四边形是菱形； （2）根据正方形的性质得到，设，根据勾股定理得到，解得，（舍，求得，，根据菱形的面积公式得到． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由：连接，交于点， 四边形是正方形， ，，， ， ，即， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：四边形是正方形， ，， 设， 在中，由勾股定理得：， 解得，（舍）， ， ，， 由（1）知四边形是菱形， ． 10．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，在正方形中，E为边上一点，以为边作正方形．过点B作，垂足为P，交于点H．连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，则________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，再证明，即可． （2）先证明，得到，再利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知，如图，在中，，以为边在异侧作正方形，过点E作，垂足为F，交于G，连接，则的周长等于（       ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握正方形的性质，以及全等三角形的判定方法和性质． 过点A作于点H，则四边形为矩形，通过证明，推出，进而得出，，再证明，得出，最后根据的周长，即可解答． 【详解】解：过点A作于点H， ∵在中， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：B． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在正方形中，，为上一动点，交于，过作交于点，过作于，连结．在下面四个结论中：；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．①③ B．③④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 连接，延长交于点，证明即可证明，由，即可证明①正确；如图，连接交于，可得 ，，证明，可得③正确，是动点，则是动点，的长度的变化的，可得的长度是变化的，可得④错误． 【详解】解：①连接，延长交于点，连接， 为正方形的对角线， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ∴，故②错误； ，， ，故①正确； ③如图，连接交于， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵是动点，则是动点，的长度的变化的， ∴的长度是变化的，故④错误； 综上：①③正确； 故选A． 3．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在正方形中，E是边上一点，F是延长线上一点，连接交对角线于点G，连接，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，连接，过点作交于点，先证明，得到，再证明，得到，进而得到，角的和差关系求出的度数，再根据三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】解：连接，连接，过点作交于点， ∵正方形，连接交对角线于点G， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴； 故选D． 4．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，矩形的四个顶点恰好落在正方形的四条边上，且与正方形的对角线平行，若，则矩形的周长等于______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形和矩形的性质，设，则，证明是等腰直角三角形得，，再证明是等腰直角三角形得，由此即可得出矩形的周长． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴矩形的周长为：． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图，以的斜边为边，在的同侧作正方形，设正方形的中心为，连接．若，，则的长等于________．    【答案】6 【分析】本题考查了勾股定理的推论，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是以赵爽弦图为背景合理作出辅助线，运用勾股定理，全等三角形的判定和性质证明等腰直角三角形． 根据题意，结合赵爽弦图，合理构造正方形，运用全等三角形判定点是正方形，正方形的中心，得出是等腰直角三角形，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作延长线于点，过点作延长线于点，延长交于点，连接,    ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， ∴四边形是正方形，则点是正方形，正方形的中心，则，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：6 ． 6．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）在正方形中，E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，则的最小值为 ________________． 【答案】 【分析】如图，以为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点H，由勾股定理得，，证明四边形是矩形，证明，则，由四边形是平行四边形，证明是等腰直角三角形，则，由，可知当A、G、N在一条直线上时最小，为，然后作答即可． 【详解】解：如图，以为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点H， ∵正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当A、G、N在一条直线上时最小，为， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，正方形的边长为8，是的中点，是上的动点，过点作分别交于点．则的最小值是______． 【答案】 【分析】如图，过作于，则四边形是矩形，证明，则，如图，将沿着的方向平移到，连接，证明四边形是平行四边形，则，如图，过作，使，连接并延长交的延长线于，连接，证明四边形是平行四边形，则，，证明四边形是矩形，则，，，，，由，可知三点共线时，的和最小，为，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，， 如图，过作于，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 如图，将沿着的方向平移到，连接， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 如图，过作，使，连接并延长交的延长线于，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的和最小，为， 由勾股定理得，， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）如图，在正方形中，点E在边上，点F在边的延长线上，且，连接交边于点N，过点D作，垂足为H，交于点M． (1)求的度数； (2)当时，求的长； (3)若点M是的中点，求证：． 【答案】(1) (2)3 (3)见解析 【分析】本题主要考查正方形的性质、勾股定理、等腰直角三角形、全等三角形的性质与判定等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，证明可得，再证明，再根据等腰三角形的性质即可解答； （2）证明可得，再根据即可解答； （3）由中点的定义可得，设，则，可得，、，如图：连接，利用勾股定理可算得，进而可求得即可证明结论． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中． ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）证明：∵M是的中点， ∴， 设，则，， 由（2）同理可得， ∴， ∴， ∴， 如图：连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）四边形为正方形，E为对角线上一动点，连接．过点E作交直线于点F，以为邻边作矩形． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，，求正方形的边长； (3)点E关于的对称点为P，连接，若的最小值为， ①求的长为_______； ②正方形的面积的最小值为_______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）过E作于M，于N，证明四边形是矩形，得到，进而得到，证明得到，然后根据正方形的判定可得结论； （2）先证明得到，过G作于H，则是等腰三角形，进而可得，，在中，利用勾股定理求得即可求解； （3）①作D关于的对称点K，则K在的延长线上，连接交于P，连接交于M，连接，此时值最小，最小值为的长，则，由轴对称性质得到，则，利用勾股定理求解即可；在中，由得， ②利用垂线段最短知，当时，取得最小值，此时正方形的面积最小，进而求解的最小值即可． 【详解】（1）证明：如图，过E作于M，于N，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴，则， ∵四边形是矩形， ∴，则， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形为正方形； （2）解：如图，过G作于H， ∵四边形为正方形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 过G作于H，则是等腰三角形，又， ∴， ∴， 在中，， ∴正方形的边长为； （3）解：①∵， ∴点E关于的对称点P在上，， 作D关于的对称点K，则K在的延长线上，连接交于P，连接交于M，连接， 此时值最小，最小值为的长，则， 由轴对称性质得，则， 在中，由得， 解得（负值已舍去）， 故答案为：； ②在中，，则， ∵点E为上一点， ∴当时，取得最小值， ∵，， ∴的最小值为， ∵是正方形的边长， ∴正方形的面积的最小为， 故答案为：4． 10．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图1，正方形的边长为4，连接，点为线段上任意一点（点不与，重合），过点作分别交于点．点为的中点，连接． (1)若，则________，________； (2)如图2，连接，．求证：且； (3)如图3，在（2）的条件下，设交于点，延长交于点，连接． ①探究之间的数量关系，并说明理由； ②若，则________． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)①，理由见解析；② 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 根据等腰直角三角形的性质得出； 可证得，从而，进而得出结论； 连接，延长至，使，可证得，从而，进而证得，从而，进一步得出结论； 设，则，，在中，由勾股定理得方程，求得的值，可证得． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ， ∴， ， 四边形是矩形，， ， ， 为的中点， ， ， 故答案为：； （2）证明：在正方形和矩形中， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ； （3）解：：如图， ，理由如下： 连接，延长至，使， 由知，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 设，则，， 在中，由勾股定理得， ， ， ， ， 由知，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 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