海南中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试题

**基本信息** 海南中学高一数学期中卷聚焦复数、向量、立体几何及解三角形，通过测量山顶距离等真实情境题，考查数学抽象、几何直观与运算推理能力，层次分明适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数共轭、向量平行、圆锥体积|第6题创新坐标系向量坐标考查数学抽象| |多选|3/18|几何体定义辨析、解三角形结论|第9题通过反例辨析棱台性质培养批判思维| |填空|3/15|斜二测直观图、复数旋转、球与圆台|第14题结合内切球与圆台侧面积考查空间观念| |解答|5/77|解三角形综合、向量夹角、测量应用|第17题测量山顶距离情境体现数学应用，19题结合内切圆考查综合分析能力|

海南中学2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学 试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 19小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数i（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（    ） A．2i B．2 C．-2 D．-2 2．已知向量 ，若，则=（    ） A． B． C． D．2 3．已知圆锥的轴截面是边长为2 的等边三角形，则圆锥的体积为（    ） A． B． C．π D． 4．已知向量满足，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5. 如图，中，点是线段BC的中点，点E是线段AD上靠近点的三等分点，则（　　） A． B． C． D． 6． 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若向量，则有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在该坐标系中，， ，则（    ） A．-5 B． C．-4 D．0 7． 已知O为锐角内一点满足，且，则为（    ） A．底边和腰不相等的等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，若，，则AC边上的中线BD为（ ） A． B．3 C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中不正确的是（    ） A．以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 C．棱台的各侧棱延长后必交于一点 D．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 10. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（   ） A. 若，则 B． C．若，则为锐角三角形 D．若，则符合条件的有两个 11．正方形的边长为2，动点在正方形内部及边上运动，，则下列结论正确的有（   ） A．的最大值为 B．当为C内部的点， C．点在线段上时， D．若，则点轨迹长度为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角 三角形，若，那么原三角形的周长是__________. 13. 在平面直角坐标系中，对于任意平面向量，定义如下变换：将绕其起点逆时针旋转90得到向量，从复数角度看，平面向量与复数一一对应，上述旋转变换等价于该复数乘以虚数单位i. 已知点A(, )，点B()， 将向量绕点A逆时针旋转90°得到向量，则对应的复数为__________（写成复数的三角形式）. 14. 已知球内切于圆台（即球与圆台的上、下底面及侧面均相切），且圆台上、下底面半径之比为2：5. 设圆台的侧面积为，球的表面积为，则=__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 已知复数，其中i为虚数单位，． (1)若是纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 16．（本题满分15分） 已知向量 (1) 若=，求的取值； (2) 若向量，夹角为钝角，求的取值范围． 17．（本题满分15分） 如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内．测得A到M，N的俯角∠BAM和∠BAN分别为，，B到M，N的俯角分别为，，同时测得． (1)求A，M两点间的距离； (2)求山顶M，N之间的距离． 18．（本题满分17分） 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知且． (1)求B； (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)若角B的内角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值． 19．（本题满分17分） 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知周长为20，面积为，且． （1）求边的长度； （2）若动点是的内切圆上的一点，且． ①求的值； ②求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《高一数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D D A C D C ABD BD 题号 11 答案 AB 1．B 【详解】由题意可得：i的共轭复数，所以的虚部为 2. 2. A 【详解】因为，所以,所以. 3．D 【详解】因为圆锥的轴截面是边长为的等边三角形, 所以圆锥底面半径, 高为等边三角形的高为， 则圆锥的体积. 4．D 【详解】已知，. 所以. 因为，所以. 由投影向量公式可得在上的投影向量 所以在上的投影向量为. 5．A 【详解】由是线段上靠近点的三等分点， 则， 由点是线段的中点，则， 故. 6．C 【详解】由平面向量数量积的定义可得， 由题意可知，， 7．D 由O为锐角内一点满足，可得O为三角形外心，又由可得∠A=30°，所以∠BOC=2∠A=60°，故为等边三角形. 8．C 【详解】由题意得，，结合正弦定理得， 因，则，则， 若，则，与上式矛盾，故，则， 因，则， 因为AC边上的中线，则， 则 ， 则. 故选：C 9．ABD 【详解】对于A，以直角梯形的直角腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台，否则不是，A错； 对于B，下面的几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱，B错； 对于C，棱台可以看作是用平行于棱锥的底面的平面截棱锥所得，因此它的各侧棱延长后必交于一点，C正确， 对于D，底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面中心的棱锥才是正棱锥，D错； 故选：ABD. 10．BD 【详解】对于A，正弦定理得 ，所以2A=2B或2A+2B=，则 或 A错误； 对于B，由余弦定理得，B正确； 对于C，由及余弦定理得，则是锐角， 而之一可以是直角或钝角，C错误； 对于D，由，得， 又，则，可以为锐角，也可以为钝角，即有两个，D正确. 11．AB 【详解】A选项，，设，，， 由得，， 所以，即， ，故当时，取得最大值，最大值为2，A正确； B选项，设BP与AC相交于D，则由，可得， 设CP与AB相交于E，则由，可得， 因B,P,D三点共线，故存在实数m，使， 因C,P,E三点共线，故存在实数n，使得， 所以，解得，， 所以，，B正确. C选项，点在线段上时，设，， ，C错误； D选项，由C知，，故，即， 所以点轨迹为直线在正方形内的部分，即线段， 其中中，令得，令得， 故，故使的点轨迹长度为，D错误. 故选：AB 12． 【详解】在中，， 根据直观图画出原图如下： 则，， 在中，， 所以原三角形的周长是. 13. 【详解】已知点A(, )，点B()，可得。 将向量绕点A逆时针旋转90∘得到向量)，则对应的复数为,所以三角形式为 . 14. 设下底半径,上底半径. 由圆台内切球的轴截面性质知，圆台母线长， 圆台的高（R为球的半径） ， 因此球半径， 从而得圆台侧面积, 球的表面积, 故=. 15．(1)1 (2)（-2,1） 【详解】（1）由是纯虚数，可得，解得， 故的值为1； （2）由 在复平面内对应的点在第四象限， 可得，解得，即的取值范围为（-2,1）. 16.(1) (2)(， 【详解】（1）由题可得,所以=, 所以=49，解得：. （2）由题设，， 当，反向共线时，有 ，不满足，夹角为钝角， 综上，或. 所以的取值范围为(，. 17．(1) (2) 【详解】（1）如图所示，在△ABM中，， 由正弦定理可得，，． （2）∵， ∴    ∴， 在△AMN中，，由余弦定理得， ，代入数据有即 所以M，N之间的距离为． 18．(1) (2) (3) 【详解】（1）由正弦定理可得：， 因为， 所以， 即， 由可得，即， 由，可得. （2）因为， 所以 ， 由三角形为锐角三角形可知，，解得， 所以，， 所以. （3）如图， 由余弦定理，， 即，当且仅当时，等号成立， 又， 化简可得，， 所以，当且仅当时等号成立. 故BD长度的最大值为. 19．（1）BC=7；（2）①；②. 【详解】（1）由得. 所以. 由题得 解方程组得或. 故BC=7. （2）①由题得内切圆的半径， 因为. 因为， 方法1：所以， 如果， 所以. 所以, 解得 当时，. 故. 方法2：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系。不妨设b=8, c=5 所以A（0,0），B(5,0), C(4,4). O(3,), 所以,,,又因为，故 解得 ②以点A为坐标原点建立直角坐标系， 设为圆上的一点，由题可知圆的圆心为（3，），半径r=.不妨设， 所以 所以 , 表示点（x，y）和点的距离，的最值可转化为圆心（3，）到点的距离加减半径，所以∈[]. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $勘误 的11题B法要中入儿约分别淡为×Y