专题02 因数和倍数（5大考点42道题）（期末真题汇编）五年级数学下学期（北京专用·人教版）

专题02 因数和倍数 考点一、因数和倍数的认识 1.定义与关系 (1)前提条件：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 (2)相互依存：因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。必须说“谁是谁的因数”或“谁是谁的倍数”。 (3)研究范围：本单元研究的因数和倍数，一般指非零自然数（即1, 2, 3...）。 2.找因数与倍数的方法 (1)找因数： ①　方法：一对一对地找，从1开始，看哪两个整数相乘等于该数。 ②　特点：一个数的因数个数是有限的。 ③　极值：最小的因数是1，最大的因数是它本身。 (2)找倍数： ①　方法：用该数分别乘1, 2, 3... ②　特点：一个数的倍数个数是无限的。 ③　极值：最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 3.特殊数的因数与倍数 ①　1：1是所有非零自然数的因数。 ②　0：为了方便，在研究因数和倍数时，我们所说的数指的是自然数（一般不包括0）。若涉及0，0是任何非零自然数的倍数，但0不能做除数，因此讨论0的因数无意义。 真题练习 1．（23-24五年级下·北京通州·期末）“活力”舞蹈队在排练时都要排成每行人数相等的队形（至少两行），舞蹈队的人数不可能是（    ）。 A．87人 B．78人 C．71人 D．45人 【答案】C 【分析】因数是指整数a除以整数b（b不为0）的商正好是整数，并且没有余数，我们就说b是a的因数。要排成至少2行的队形，说明舞蹈队的人数的因数至少有3个。据此解题。 【详解】A．87的因数有1、3、29和87，所以87人可以排成每行3人或每行29人； B．78的因数有1、2、3、6、13、26、39和78，所以78人可以排成每行2人或每行3人或每行6人或每行13人或每行26人或每行39人； C．71的因数只有1和71，所以71只能排成每行1人或每行71人，每行1人换个角度看也就是每行71人，所以只有1行，不符合题意； D．45的因数有1、3、5、9、15和45，所以45人可以排成每行3人或每行5人或每行9人或每行15人。 所以，舞蹈队的人数不可能是71人。 故答案为：C 2．（23-24五年级下·北京密云·期末）如果N＝2×2×3×3，那么N有（    ）个因数。 A．4 B．6 C．9 D．10 【答案】C 【分析】如果N＝2×2×3×3，那么N＝36，36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，据此解答即可。 【详解】由分析得： 如果N＝2×2×3×3，那么N有9个因数。 故答案为：C 3．（23-24五年级下·北京朝阳·期末）完全数是等于除了它自身以外的全部因数之和的数。例如，6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系就是：，则6是一个完全数。下面四个选项中是完全数的是（    ）。 A．2 B．8 C．14 D．28 【答案】D 【分析】通过列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此分别找出选项中各数的所有因数，然后按照完全数的特征进行选择。 【详解】A．2的因数有1、2，1＋2≠2，2不是一个完全数； B．8的因数有1、2、4、8，1＋2＋4≠8，则8不是一个完全数； C．14的因数有1、2、7、14，1＋2＋7≠14，则14不是一个完全数； D．28的因数有1、2、4、7、14、28，1＋2＋4＋7＋14＝28，则28是一个完全数。 故答案为：D 4．（23-24五年级下·北京丰台·期末）8的最小倍数是( )。 【答案】8 【分析】一个数的倍数就是这个数分别乘1、2、3、4……所得的数。根据倍数的定义，一个数的最小的倍数是它本身，据此解答。 【详解】由分析得：8的最小倍数是8。 5．（22-23五年级下·北京丰台·期末）数a的最大因数与它的最小倍数之和是( )。 【答案】2a 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是这个数本身，据此分析解答。 【详解】a＋a＝2a 则这个数a的最大因数与它的最小倍数之和是2a。 【点睛】此题考查含有字母的式子的化简，熟练掌握最大因数和最小倍数的求法也是解题的关键。 6．（24-25五年级下·北京丰台·期末）五（3）班36名同学参加广播操表演，排成每列人数相等的队列，每列可以是( )人。 【答案】4 【分析】将36名同学排成每列人数相等的队列，那么每列的人数一定是36的因数，所以我们需要找出36的所有因数，据此解答。（答案不唯一） 【详解】36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 所以36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36 所以每列可以是1，2，3，4，6，9，12，18，36人。 7．（24-25五年级下·北京昌平·期末）你知道“完美数”吗？6是一个完美数，它的因数有1、2、3、6，满足1＋2＋3的和正好是6。12不是完美数，因为12的因数有1、2、3、4、6、12，但1＋2＋3＋4＋6不等于12。请写出28的全部因数( )。28是完美数吗？( )（括号里填“是”或者“不是”）。 【答案】 1、2、4、7、14、28 是 【分析】先列举出28的全部因数，再把除了28以外的所有因数相加，如果和等于28，那么28就是完美数，反之，就不是完美数。 找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 “完美数”的定义：一个数除了它本身以外的所有因数之和等于它本身。 【详解】28＝1×28＝2×14＝4×7 28的因数：1、2、4、7、14、28； 1＋2＋4＋7＋14＝28 所以，28是完美数。 填空如下： 请写出28的全部因数（1、2、4、7、14、28）。28是完美数吗？（是）。 考点二、2、3、5的倍数特征 1.2的倍数特征 (1)个位判断：个位上是0, 2, 4, 6, 8的数，都是2的倍数。 (2)术语：是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）；不是2的倍数的数叫做奇数。 2.5的倍数特征 (1)个位判断：个位上是0或5的数，都是5的倍数。 3.2和5的共同倍数特征 (1)个位判断：个位上是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。 4.3的倍数特征 (1)数位和判断：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 (2)注意：不能只看个位，必须计算所有数位数字之和。 (3)示例：123 -> ，6是3的倍数，所以123是3的倍数。 5.综合应用技巧 (1)同时是2、3、5的倍数： ①　个位必须是0（满足2和5的特征）。 ②　各位数字之和必须是3的倍数（满足3的特征）。 ③　最小三位数是120，最小两位数是30。 真题练习 8．（24-25五年级下·北京房山·期末）同学们在手工课上折了132个千纸鹤。用下面的方法数这些千纸鹤，不能正好数完的是（    ）。 A．2个2个地数 B．3个3个地数 C．4个4个地数 D．5个5个地数 【答案】D 【分析】只要千纸鹤的数量是每次数的个数的倍数，就能正好数完。 A．个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数； B．一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数； C．末尾两位是4的倍数这个数就是4的倍数； D．个位上的数字是0或5的数是5的倍数。 【详解】A．132是2的倍数，2个2个地数能正好数完； B．1＋3＋2＝6，132是3的倍数，3个3个地数能正好数完； C．32÷4＝8，132是4的倍数，4个4个地数能正好数完； D．132不是5的倍数，5个5个地数不能正好数完。 不能正好数完的是5个5个地数。 故答案为：D 9．（24-25五年级下·北京朝阳·期末）王红给家里的密码锁设置“数字密码”。密码是六位数，它既是2的倍数，也是3的倍数。她设置的这个密码可能是（    ）。 A．312960 B．296933 C．161924 D．123695 【答案】A 【分析】根据2的倍数特征：个位上的数字是0，2，4，6，8，所以可先排除选项B和选项D ；再根据3的倍数特征：各个数位上数字之和是3的倍数，依次计算选项A和选项C的各个数位上数字之和是否是3的倍数，即可解答。 【详解】A．3＋1＋2＋9＋6＋0＝21，21÷3＝7，各个数位上数字之和是3的倍数且个位是0，所以312960可能是密码； B．个位上是3，不是2的倍数，所以296933不可能是密码； C．1＋6＋1＋9＋2＋4＝23，23÷3＝7……2，各个数位上数字之和不是3的倍数，所以161924不可能是密码； D．个位上是5，不是2的倍数，所以296933不可能是密码； 故答案为：A 10．（24-25五年级下·北京大兴·期末）从四张数字卡片中任选三张组成一个三位数，同时是2、3、5的倍数的最大三位数是（    ）。 A．642 B．640 C．420 D．240 【答案】C 【分析】个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数；个位是0或5的数是5的倍数；一个数各个数位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。要想组成的三位数同时是2、3、5的倍数，个位应该是0，还剩下2、4、6这三张卡片，选择2和4，组成的三位数才是3的倍数，那么这个三位数百位上应该是4，十位上应该是2。据此解答。 【详解】 从四张数字卡片中任选三张组成一个三位数，同时是2、3、5的倍数，这个数各数位数字之和是3的倍数，且个位只能是0，所以这个数应是420。 故答案为：C 11．（24-25五年级下·北京西城·期末）10□是一个三位数，要使这个三位数是3的倍数，□里最小填（    ）。 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】3的倍数：各个数位上的数字之和能被3整除的数，据此逐项分析并确定出□里最小填几。 【详解】A．1＋0＋0＝1，1÷3＝0……1，□里不能填0；     B．1＋0＋1＝2，2÷3＝0……2，□里不能填1；     C．1＋0＋2＝3，3÷3＝1，□里能填2；     D．1＋0＋3＝4，4÷3＝1……1，□里不能填3； 所以□里最小填2。 故答案为：C 12．（24-25五年级上·北京海淀·期末）乐乐在计数器上拨出了一个数，如图所示。如果在这个数的基础上继续拨数，全部用完下面的（    ）堆珠子，可以拨出3的倍数。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。珠子的总个数是3的倍数，就可以拨出3的倍数，据此分析。 【详解】A．1＋1＋2＝4，不可以拨出3的倍数； B．1＋1＋3＝5，不可以拨出3的倍数； C．1＋1＋4＝6，可以拨出3的倍数； D．1＋1＋5＝7，不可以拨出3的倍数。 故答案为：C 13．（24-25五年级下·北京昌平·期末）糕点师傅做（    ）个枣花饼，可以把这些枣花饼每3个装一盒，正好能装完。 A．53 B．34 C．51 D．67 【答案】C 【分析】3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。据此逐项分析，进行解答。 【详解】A．53；5＋3＝8；8不能被3整除，53不是3的倍数，不符合题意。 B．34；3＋4＝7；7不能被3整除，34不是3的倍数，不符合题意。 C．51；5＋1＝6；6能被3整除，51是3的倍数，符合题意。 D．67；6＋7＝13；13不能被3整除，67不是3的倍数，不符合题意。 糕点师傅做51个枣花饼，可以把这些枣花饼每3个装一盒，正好能装完。 故答案为：C 14．（23-24五年级下·北京朝阳·期末）秦始皇陵及兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，其中二号兵马俑坑第三单元有264个步兵佣。用下面的方法数这些兵马俑，不能正好数完的是（    ）。 A．2个2个地数 B．3个3个地数 C．4个4个地数 D．5个5个地数 【答案】D 【分析】分别判断264是否是2、3、4、5的倍数，若是则能正好数完。 一个数的个位是0、2、4、6、8，这个数就是2的倍数；一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数。 【详解】A．264的个位是4，所以264是2的倍数，因此2个2个地数，能正好数完； B．264各个数位上数字之和为：2＋6＋4＝12，12能被3整除，所以264是3的倍数，因此3个3个地数，能正好数完； C．264÷4＝66，264能被4整除，所以264是4的倍数，因此4个4个地数，能正好数完； D．264的个位是4，所以264不是5的倍数，因此5个5个地数，不能正好数完。 故答案为：D 15．（22-23五年级下·北京丰台·期末）明明在计数器（如图）上用6颗珠子拨出了一个四位数，这个四位数一定是（    ）。    A．2的倍数 B．3的倍数 C．5的倍数 D．6的倍数 【答案】B 【分析】个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数；各个数位上的数相加的和是3的倍数的数是3的倍数；个位是0或5的数是5的倍数；是2的倍数又是3的倍数的数是6的倍数；据此分析解答。 【详解】A．个位不一定是有0或2或4个珠子，所以不一定是2的倍数。 B．6个珠子不管在哪个数位上，相加都是6，一定是3的倍数，所以这个四位数肯定是3的倍数。 C．个位不一定是有0或5个珠子，所以不一定是5的倍数。 D．这个四位数一定是3的倍数，但不一定是2的倍数，所以不一定是6的倍数。 故答案为：B 【点睛】熟练掌握不同数的倍数特征是解题的关键。 16．（23-24五年级下·北京东城·期末）1000□□是一个六位数，这个六位数是3和5的公倍数。这个数的后两位可能是（    ）。 A．15 B．30 C．35 D．40 【答案】C 【分析】一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；个位上是0或5的数是5的倍数。因为各选项的个位都是0或5，都是5的倍数，只要看各位上的数是否是3的倍数即可。 【详解】A．1＋1＋5＝7，7不是3的倍数，所以这个数的后两位不可能是15； B．1＋3＋0＝4，4不是3的倍数，所以这个数的后两位不可能是30； C．1＋3＋5＝9，9是3的倍数，所以这个数的后两位可能是35； D．1＋4＋0＝5，5不是3的倍数，所以这个数的后两位不可能是40。 故答案为：C 17．（22-23五年级下·北京东城·期末）三位数1□7是三个连续自然数的和，□中的数是（    ）。 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】假设这三个连续的自然数中，中间的数是x，前一个数是（x－1），后一个数是（x＋1），则用x＋（x－1）＋（x＋1）即可求出三个连续自然数的和，也就是3x，说明和是3的倍数， 3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；据此判断出□中的数。 【详解】假设这三个连续的自然数中，中间的数是x，前一个数是（x－1），后一个数是（x＋1）， x＋（x－1）＋（x＋1） ＝x＋x－1＋x＋1 ＝3x 3x是3的倍数； 1＋7＋6＝14 1＋7＋7＝15 1＋7＋8＝16 1＋7＋9＝17 15是3的倍数，所以□中的数是7。 故答案为：B 【点睛】熟练掌握3的倍数的特征是解决此题的关键。 18．（22-23五年级下·北京朝阳·期末）某小学有312□名学生，已知学生的人数既是2的倍数，又是3的倍数，□里的数是（    ）。 A．0 B．2 C．5 D．8 【答案】A 【分析】同时是2和3的倍数特征：个位上是0、2、4、6或8，且各个数位上的数字和是3的倍数。据此解答。 【详解】A．3＋1＋2＋0＝6 6是3的倍数，所以3120既是2的倍数，又是3的倍数。 B．3＋1＋2＋2＝8 8不是3的倍数，所以3122不符合题意； C．3125不是2的倍数，所以3125不符合题意； D．3＋1＋2＋8＝14 14不是3的倍数，所以3128不符合题意。 故答案为：A 【点睛】熟练掌握2、3的倍数的特征是解决此题的关键。 19．（22-23五年级下·北京顺义·期末）用0、3、6三个数字组成三位数（数字不能重复使用），既是2的倍数也是3的倍数的三位数有( )个。 【答案】3 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 先把0、3、6相加，发现它们的和是9，说明这三个数字组成三位数都是3的倍数；再结合2的倍数特征，这个三位数的个位是0或6，则这个三位数是2的倍数。据此列出由0、3、6组成的所有既是2的倍数也是3的倍数的三位数，数出个数即可。 【详解】用0、3、6三个数字组成三位数，既是2的倍数也是3的倍数的三位数是360、306、630，有3个。 20．（22-23五年级下·北京昌平·期末）有4张数字卡片，分别是0、4、6、8，从中选择三张组成一个三位数，使这个数既是2的倍数，又是3和5的倍数，这个数是( )。（写出一种结果即可） 【答案】480 【分析】2的倍数特征：个位数是0、2、4、6或8；5的倍数特征：个位数是0或5；3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；同时是2、3、5的倍数特征：个位数是0，且各个数位上的数字和是3的倍数；据此解答。 【详解】要使这个三位数同时是2、3、5的倍数，则个位只能是0， 4＋6＋0＝10 4＋8＋0＝12 6＋8＋0＝14 12是3的倍数，所以0、4、8可以组成一个同时是2、3、5的倍数，即480和840。 【点睛】熟练掌握2、3、5的倍数的特征是解决此题的关键。 21．（22-23五年级下·北京顺义·期末）明明说“三个连续自然数之和一定是3的倍数”。 （1）举3组例子试一试。 （2）你是否同意他的说法，说明理由。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）自然数中，每相邻的两个自然数相差l，来判断能否被3整除，进而得解。 （2）假设中间一个是a，则前一个是a－1，后一个是a＋1，再把他们的进行相加，据此解答。 【详解】（1）7＋8＋9 ＝15＋9 ＝24 24÷3＝8 15＋16＋17 ＝31＋17 ＝48 48÷3＝16 149＋150＋151 ＝299＋151 ＝450 450÷3＝150 （2）同意；三个连续自然数，假设中间一个是a，则前一个是a－1，后一个是a＋1，（a－1）＋a＋（a＋1）＝3a，3a一定是3的倍数。 考点三、奇数与偶数的认识 1.定义 (1)偶数：自然数中，是2的倍数的数。包括0, 2, 4, 6, 8... (2)奇数：自然数中，不是2的倍数的数。包括1, 3, 5, 7, 9... 2.基本性质 (1)自然数按是否是2的倍数，分为奇数和偶数两类。 (2)最小的偶数是0，最小的奇数是1。 (3)没有最大的偶数，也没有最大的奇数。 3.相邻关系 (1)相邻的两个自然数，一定是一个奇数和一个偶数。 (2)相邻的两个偶数（或奇数）相差2。 真题练习 22．（23-24五年级下·北京顺义·期末）辉辉一家坐火车准备去上海旅行。购票时辉辉发现从北京开往上海的车次用奇数表示，从上海开往北京的车次用偶数表示。他还发现，不同字母开头的火车表示行驶速度不同：G－高速动车；D－动车：Z－直达特快；T－特快列车；K－快速列车。下面的车次有（    ）个是从北京开出的。 ①D5    ②G108    ③G152    ④G111    ⑤T109 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数，据此解答。 【详解】由分析可得：D5、G108、G152、G111、T109中，奇数有5、111、109，所以车次有3个是从北京开出的。 故答案为：C 23．（23-24五年级下·北京石景山·期末）1＋2＋3＋4＋…＋19＋20的和是( )。（填“奇数”或“偶数”） 【答案】偶数 【分析】是2的倍数的数是偶数，不是2的倍数的数是奇数。奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，偶数个奇数的和是偶数，奇数×偶数＝偶数，根据奇数、偶数的运算性质解答即可。 【详解】在1至20中有10个奇数，10个偶数，10个奇数的和是偶数，10个偶数的和是偶数，偶数＋偶数＝偶数。因此，1＋2＋3＋4＋…＋19＋20的和是偶数。 24．（22-23五年级下·北京门头沟·期末）用、、三张卡片组三位数，最多可以组成( )个偶数，最多可以组成( )个3的倍数。 【答案】 4 6 【分析】由题意知：个位是2或4的数，就是偶数；因2＋3＋4＝9，所以2、3、4组成的三位数都是3的倍数，据此写出符合已知信息的数即可。 【详解】偶数有：234、324、342、432 3的倍数：234、243、324、342、423、432 用、、三张卡片组三位数，最多可以组成（4）个偶数，最多可以组成（6）个3的倍数。 【点睛】掌握偶数概念和3的倍数特征是解答的关键。 25．（24-25五年级下·北京通州·期末）学校组织24名少先队员周末去“漕运码头”做运河讲解员。老师要把这些同学平均分成若干小组（大于1组），每组人数要求都是偶数，可以有( )种分组情况。 【答案】5 【分析】偶数：是2的倍数的数叫做偶数。找出24的所有因数，并且从中筛选出偶数因数，因为分组的每组人数就是24的因数，且要满足是偶数这一条件。 【详解】24的因数有1，2，3，4，6，8，12，24。 其中2，4，6，8，12，24是偶数。 当每组2人时，可以分24÷2＝12（组）； 当每组4人时，可以分24÷4＝6（组）； 当每组6人时，可以分24÷6＝4（组）； 当每组8人时，可以分24÷8＝3（组）； 当每组12人时，可以分24÷12＝2（组）； 所以可以有5种分组情况。 学校组织24名少先队员周末去“漕运码头”做运河讲解员。老师要把这些同学平均分成若干小组（大于1组），每组人数要求都是偶数，可以有5种分组情况。 考点四、运算性质（奇数和偶数） 1.加减法运算规律 (1)奇数 ± 奇数 = 偶数 例： ， (2)偶数 ± 偶数 = 偶数 例： ， (3)奇数 ± 偶数 = 奇数 例： ， (4)记忆口诀：同奇偶得偶，异奇偶得奇。 2.乘法运算规律 (1)奇数 × 奇数 = 奇数 例： (2)奇数 × 偶数 = 偶数 例： (3)偶数 × 偶数 = 偶数 例： (4)核心结论：只要乘数中有一个是偶数，积一定是偶数；只有当所有乘数都是奇数时，积才是奇数。 真题练习 26．（24-25五年级下·北京大兴·期末）按照一个数的因数的个数，把自然数（0除外）分类，可以分为（    ）。 A．质数和合数两类 B．1、质数和合数三类 C．奇数和偶数两类 D．1、奇数和偶数三类 【答案】B 【分析】偶数：是2的倍数的数叫偶数，又叫双数，如：2、4、6、8等； 奇数：不是2的倍数的数叫奇数，又叫单数，如：1、3、5、7等； 合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数； 质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数； 1：只有1个因数，既不是质数，也不是合数。 【详解】根据偶数、奇数、质数、合数和1的性质，所以按照一个数的因数的个数，把自然数（0除外）分类，可以分为1、质数和合数三类。 故答案为：B 27．（24-25五年级下·北京昌平·期末）如果是一个自然数，那么一定是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【答案】A 【分析】根据奇数＋奇数＝偶数；偶数＋偶数＝偶数；偶数＋奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数；据此解答。 【详解】2a＋1；2是偶数，所以2a是偶数，1是奇数，2a＋1一定是奇数。 如果a是一个自然数，那么2a＋1一定是偶数。 故答案为：A 28．（23-24五年级下·北京门头沟·期末）a是奇数，b是偶数，a与b的和（    ）。 A．一定是奇数 B．一定是偶数 C．一定是合数 D．一定是质数 【答案】A 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【详解】如：当a＝1，b＝2，则a＋b＝1＋2＝3，3是奇数，也是质数； 当a＝3，b＝6，则a＋b＝3＋6＝9，9是奇数，也是合数； 所以，a是奇数，b是偶数，a与b的和一定是奇数。 故答案为：A 29．（24-25五年级下·北京丰台·期末）把25盆花分放在两个花坛中，其中一个花坛里的盆数是奇数，另一个花坛里的盆数一定是( )数。 【答案】偶 【分析】奇数＋偶数＝奇数，奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，据此解答。 【详解】奇数＋偶数＝奇数，25是奇数，把25盆花分放在两个花坛中，一个花坛里的盆数是奇数，所以另一个花坛盆数一定是偶数。 考点五、质数与合数的认识及应用 1.定义标准（按因数个数分类） (1)质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。 例：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19... (2)合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 例：4, 6, 8, 9, 10, 12... (3)1：1只有1个因数，它既不是质数，也不是合数。 2.重要特例与记忆 (1)最小的质数：2（也是唯一的偶数质数）。 (2)最小的合数：4。 (3)20以内的质数：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19（共8个）。 (4)易错点：9, 15, 21, 27, 33等虽然是奇数，但是合数；2虽然是偶数，但是质数。 3.分解质因数 (1)定义：把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。 (2)书写格式：合数 = 质数 × 质数 × ... ①　例： ②　例： (3)短除法：常用短除法进行分解，除数必须是质数，直到商也是质数为止。 4.哥德巴赫猜想（常识拓展） (1)任何大于2的偶数都可以写成两个质数之和。 (2)例： ， 。 真题练习 30．（24-25五年级下·北京东城·期末）下面成语中所含的数都是质数的是（    ）。 A．九牛一毛 B．五湖四海 C．三心二意 D．七上八下 【答案】C 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【详解】A．九牛一毛，9的因数：1，3，9；9是合数，1既不是质数也不是合数，不符合题意； B．五湖四海，5的因数：1，5；5是质数；4的因数：1，2，4；4是合数；不符合题意； C．三心二意，3的因数：1，3；3是质数；2的因数：1，2；2是质数，符合题意； D．七上八下，7的因数：1，7；7是质数；8的因数：1，2，4，8；8是合数，不符合题意。 故答案为：C 31．（24-25五年级下·北京丰台·期末）小芳认为“所有的合数都是偶数”，要想说明她的想法是不正确的，可以举出下面的例子（    ）。 A．15 B．19 C．20 D．38 【答案】A 【分析】整数中，个位是0，2，4，6，8的数叫做偶数（0也是偶数）；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。据此对各选项进行分析，即可解答。 【详解】A．15是合数，且15不是偶数，符合题意； B．19既不是合数也不是偶数，不符合题意； C．20是偶数也是合数，不符合题意； D．38是偶数也是合数，不符合题意 故答案为：A 32．（24-25五年级下·北京西城·期末）一个数既是质数又是偶数，这个数是（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】质数：除了1和它本身没有别的因数的数；偶数：能被2整除的数；据此可知非0偶数都有因数2，所以2是唯一的一个既是质数又是偶数的数，据此解答。 【详解】根据分析可知：一个数既是质数又是偶数，这个数是2。 故答案为：B 33．（24-25五年级下·北京大兴·期末）张叔叔买了一部新手机，他设置了一个锁屏密码。从左起，第一、二、三位上的数分别是5、6、3，第四位上的数是最小的合数，第五位上的数是小于10的最大质数，第六位上的数是小于10的最大合数。这个锁屏密码是（    ）。 A．563298 B．563279 C．563498 D．563479 【答案】D 【分析】从左起，第一、二、三位上的数分别是5、6、3，第四位上的数是最小的合数，是4；第五位上的数是小于10的最大质数，是7；第六位上的数是小于10的最大合数，是9；由此解答即可。 【详解】最小的合数是4； 小于10的最大质数是7； 小于10的最大合数是9， 所以这个锁屏密码是：563479。 故答案为：D 34．（24-25五年级下·北京顺义·期末）如果用n表示任意一个自然数，那么n（n＋1）是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．合数 D．质数 【答案】B 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【详解】A．当n＝2时，2×（2＋1）＝2×3＝6，6是偶数，不是奇数； B．当n＝1时，1×（1＋1）＝1×2＝2，2是偶数；当n＝4时，4×（4＋1）＝4×5＝20，20是偶数； C．当n＝1时，1×（1＋1）＝1×2＝2，2是质数，不是合数； D．当n＝3时，3×（3＋1）＝3×4＝12，12是合数，不是质数。 综上可知，如果用n表示任意一个自然数，那么n（n＋1）是偶数。 故答案为：B 35．（24-25五年级下·北京平谷·期末）哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”，这一猜想认为：任何大于2的偶数都可以写成两个质数之和。下面的式子中符合这一猜想的是（    ）。 A．6＝2＋4 B．10＝3＋7 C．13＝2＋11 D．54＝3＋51 【答案】B 【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。然后根据哥德巴赫猜想的条件，判断每个选项是否满足“大于2的偶数”且“写成两个质数之和”。 【详解】A．式子6＝2＋4中，4除了能被1和本身整除外，还能被2整除，所以4不是质数，该选项错误。 B．10是大于2的偶数。3除了1和它本身外没有其他因数，是质数；7除了1和它本身外没有其他因数，是质数。所以10＝3＋7符合哥德巴赫猜想，该选项正确。 C．13是奇数，不满足哥德巴赫猜想中“大于2的偶数”这一条件，该选项错误。 D．式子54＝3＋51中，51除了能被1和本身整除外，还能被3和17整除（51＝3×17），所以51不是质数，该选项错误。 只有选项B中的式子10＝3＋7符合哥德巴赫猜想。 故答案为：B 36．（22-23五年级下·北京顺义·期末）下面关于质数、合数的说法正确的是（    ）。 A．除了2任意两个质数的和一定是偶数 B．所有的奇数都是质数 C．任意两个质数的积一定是质数 D．自然数中不是质数就一定是合数 【答案】A 【分析】质数的定义：一个自然数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；奇数的定义：在自然数中，不是2的倍数的数叫做奇数；合数的定义：如果一个数除了1和它本身还有其他的因数，这样的数叫做合数。据此判断即可。 【详解】A．除了2任意两个质数的和一定是偶数，所以此选项是正确的； B．9既是奇数又是合数，所以此选项是错误的； C．任意两个质数的积一定是合数，所以此选项是错误的； D．1既不是合数也不是质数，所以此选项是错误的。 故答案为：A 37．（23-24五年级下·北京顺义·期末）如果两个素数（质数）之差是2，那么这两个素数称为孪生素数（孪生质数）。“孪生素数猜想”是诸多著名数学猜想之一。下面四组数中，（    ）是孪生素数。 A．1和3 B．2和4 C．7和9 D．11和13 【答案】D 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【详解】A．1不是素数（质数），所以1和3不是孪生素数； B．4是合数，所以2和4不是孪生素数； C．9是合数，所以7和9不是孪生素数； D．13－11＝2，且11、13都是素数（质数），所以11和13是孪生素数。 故答案为：D 38．（23-24五年级下·北京房山·期末）在1、11、15、17、21中，质数有( )和( )。 【答案】 11 17 【分析】只有1和它本身两个因数的数叫质数；除了1和它本身，还有其它因数的数叫合数；1既不是质数，也不是合数。据此解答。 【详解】在1、11、15、17、21中，1既不是质数，也不是合数；11的因数只有1和11；15的因数有1、3、5、15；17的因数有1和17；21的因数有1、3、7、21。所以质数有11和17。 39．（24-25五年级下·北京房山·期末）在1、9、13、15、36这些数中，质数是( )，偶数是( )。 【答案】 13 36 【分析】只有1和它本身两个因数的数叫做质数；除了1和它本身，还有其它因数的数叫做合数；1既不是质数，也不是合数。能被2整除的数叫做偶数，偶数个位上的数是0，2，4，6或8。据此解答。 【详解】1既不是质数，也不是合数；9的因数有1、3、9，是合数；13的因数只有1和13，是质数；15的因数有1、3、5、15，是合数；36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，是合数。所以这些数中，质数是13，偶数是36。 40．（23-24五年级下·北京丰台·期末）比5小的质数有( )和( )。 【答案】 2 3 【分析】只有1和它本身两个因数的数是质数，5以内的质数有2和3，据此解答即可。 【详解】比5小的质数有2和3。 41．（24-25五年级下·北京丰台·期末）哥德巴赫猜想（奇数情形）：任何不小于7的奇数都可以写成三个质数的和，如：7＝2＋2＋3，15＝3＋5＋7，请再写一个符合猜想的算式是( )。 【答案】27＝2＋2＋23 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数，最小的质数是2；整数中，不是2的倍数的数叫作奇数；任何不小于7的奇数都可以写成三个质数的和，据此写出一个即可（答案不唯一）。 【详解】我写的符合猜想的算式是：27＝2＋2＋23。 42．（23-24五年级下·北京昌平·期末）水墨画近处写实，远处抽象，是中国绘画的代表。张爷爷在长方形纸上绘制了一幅水墨画，长和宽均为质数，并且周长是36分米。这幅水墨画的长和宽分别可能是多少分米？面积最大是多少平方分米？ 【答案】可能长13分米、宽5分米，也可能长11分米、宽7分米；77平方分米 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，则长方形周长÷2＝长＋宽，用36÷2＝18分米，求出了长与宽之和；根据除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数，据此将长宽之和拆成两个质数相加的形式，即18＝5＋13＝7＋11，确定长和宽。根据长方形面积＝长×宽，求出面积，通过比较，确定最大面积即可。 【详解】36÷2＝18分米 18＝5＋13＝7＋11 13×5＝65（平方分米） 11×7＝77（平方分米） 77＞65 答：这幅水墨画的有可能长是13分米、宽是5分米，也可能长是11分米、宽是7分米；面积最大是77平方分米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 因数和倍数 考点一、因数和倍数的认识 1.定义与关系 (1)前提条件：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 (2)相互依存：因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。必须说“谁是谁的因数”或“谁是谁的倍数”。 (3)研究范围：本单元研究的因数和倍数，一般指非零自然数（即1, 2, 3...）。 2.找因数与倍数的方法 (1)找因数： ①　方法：一对一对地找，从1开始，看哪两个整数相乘等于该数。 ②　特点：一个数的因数个数是有限的。 ③　极值：最小的因数是1，最大的因数是它本身。 (2)找倍数： ①　方法：用该数分别乘1, 2, 3... ②　特点：一个数的倍数个数是无限的。 ③　极值：最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 3.特殊数的因数与倍数 ①　1：1是所有非零自然数的因数。 ②　0：为了方便，在研究因数和倍数时，我们所说的数指的是自然数（一般不包括0）。若涉及0，0是任何非零自然数的倍数，但0不能做除数，因此讨论0的因数无意义。 真题练习 1．（23-24五年级下·北京通州·期末）“活力”舞蹈队在排练时都要排成每行人数相等的队形（至少两行），舞蹈队的人数不可能是（    ）。 A．87人 B．78人 C．71人 D．45人 2．（23-24五年级下·北京密云·期末）如果N＝2×2×3×3，那么N有（    ）个因数。 A．4 B．6 C．9 D．10 3．（23-24五年级下·北京朝阳·期末）完全数是等于除了它自身以外的全部因数之和的数。例如，6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系就是：，则6是一个完全数。下面四个选项中是完全数的是（    ）。 A．2 B．8 C．14 D．28 4．（23-24五年级下·北京丰台·期末）8的最小倍数是( )。 5．（22-23五年级下·北京丰台·期末）数a的最大因数与它的最小倍数之和是( )。 6．（24-25五年级下·北京丰台·期末）五（3）班36名同学参加广播操表演，排成每列人数相等的队列，每列可以是( )人。 7．（24-25五年级下·北京昌平·期末）你知道“完美数”吗？6是一个完美数，它的因数有1、2、3、6，满足1＋2＋3的和正好是6。12不是完美数，因为12的因数有1、2、3、4、6、12，但1＋2＋3＋4＋6不等于12。请写出28的全部因数( )。28是完美数吗？( )（括号里填“是”或者“不是”）。 考点二、2、3、5的倍数特征 1.2的倍数特征 (1)个位判断：个位上是0, 2, 4, 6, 8的数，都是2的倍数。 (2)术语：是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）；不是2的倍数的数叫做奇数。 2.5的倍数特征 (1)个位判断：个位上是0或5的数，都是5的倍数。 3.2和5的共同倍数特征 (1)个位判断：个位上是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。 4.3的倍数特征 (1)数位和判断：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 (2)注意：不能只看个位，必须计算所有数位数字之和。 (3)示例：123 -> ，6是3的倍数，所以123是3的倍数。 5.综合应用技巧 (1)同时是2、3、5的倍数： ①　个位必须是0（满足2和5的特征）。 ②　各位数字之和必须是3的倍数（满足3的特征）。 ③　最小三位数是120，最小两位数是30。 真题练习 8．（24-25五年级下·北京房山·期末）同学们在手工课上折了132个千纸鹤。用下面的方法数这些千纸鹤，不能正好数完的是（    ）。 A．2个2个地数 B．3个3个地数 C．4个4个地数 D．5个5个地数 9．（24-25五年级下·北京朝阳·期末）王红给家里的密码锁设置“数字密码”。密码是六位数，它既是2的倍数，也是3的倍数。她设置的这个密码可能是（    ）。 A．312960 B．296933 C．161924 D．123695 10．（24-25五年级下·北京大兴·期末）从四张数字卡片中任选三张组成一个三位数，同时是2、3、5的倍数的最大三位数是（    ）。 A．642 B．640 C．420 D．240 11．（24-25五年级下·北京西城·期末）10□是一个三位数，要使这个三位数是3的倍数，□里最小填（    ）。 A．0 B．1 C．2 D．3 12．（24-25五年级上·北京海淀·期末）乐乐在计数器上拨出了一个数，如图所示。如果在这个数的基础上继续拨数，全部用完下面的（    ）堆珠子，可以拨出3的倍数。 A． B． C． D． 13．（24-25五年级下·北京昌平·期末）糕点师傅做（    ）个枣花饼，可以把这些枣花饼每3个装一盒，正好能装完。 A．53 B．34 C．51 D．67 14．（23-24五年级下·北京朝阳·期末）秦始皇陵及兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，其中二号兵马俑坑第三单元有264个步兵佣。用下面的方法数这些兵马俑，不能正好数完的是（    ）。 A．2个2个地数 B．3个3个地数 C．4个4个地数 D．5个5个地数 15．（22-23五年级下·北京丰台·期末）明明在计数器（如图）上用6颗珠子拨出了一个四位数，这个四位数一定是（    ）。    A．2的倍数 B．3的倍数 C．5的倍数 D．6的倍数 16．（23-24五年级下·北京东城·期末）1000□□是一个六位数，这个六位数是3和5的公倍数。这个数的后两位可能是（    ）。 A．15 B．30 C．35 D．40 17．（22-23五年级下·北京东城·期末）三位数1□7是三个连续自然数的和，□中的数是（    ）。 A．6 B．7 C．8 D．9 18．（22-23五年级下·北京朝阳·期末）某小学有312□名学生，已知学生的人数既是2的倍数，又是3的倍数，□里的数是（    ）。 A．0 B．2 C．5 D．8 19．（22-23五年级下·北京顺义·期末）用0、3、6三个数字组成三位数（数字不能重复使用），既是2的倍数也是3的倍数的三位数有( )个。 20．（22-23五年级下·北京昌平·期末）有4张数字卡片，分别是0、4、6、8，从中选择三张组成一个三位数，使这个数既是2的倍数，又是3和5的倍数，这个数是( )。（写出一种结果即可） 21．（22-23五年级下·北京顺义·期末）明明说“三个连续自然数之和一定是3的倍数”。 （1）举3组例子试一试。 （2）你是否同意他的说法，说明理由。 考点三、奇数与偶数的认识 1.定义 (1)偶数：自然数中，是2的倍数的数。包括0, 2, 4, 6, 8... (2)奇数：自然数中，不是2的倍数的数。包括1, 3, 5, 7, 9... 2.基本性质 (1)自然数按是否是2的倍数，分为奇数和偶数两类。 (2)最小的偶数是0，最小的奇数是1。 (3)没有最大的偶数，也没有最大的奇数。 3.相邻关系 (1)相邻的两个自然数，一定是一个奇数和一个偶数。 (2)相邻的两个偶数（或奇数）相差2。 真题练习 22．（23-24五年级下·北京顺义·期末）辉辉一家坐火车准备去上海旅行。购票时辉辉发现从北京开往上海的车次用奇数表示，从上海开往北京的车次用偶数表示。他还发现，不同字母开头的火车表示行驶速度不同：G－高速动车；D－动车：Z－直达特快；T－特快列车；K－快速列车。下面的车次有（    ）个是从北京开出的。 ①D5    ②G108    ③G152    ④G111    ⑤T109 A．5 B．4 C．3 D．2 23．（23-24五年级下·北京石景山·期末）1＋2＋3＋4＋…＋19＋20的和是( )。（填“奇数”或“偶数”） 24．（22-23五年级下·北京门头沟·期末）用、、三张卡片组三位数，最多可以组成( )个偶数，最多可以组成( )个3的倍数。 25．（24-25五年级下·北京通州·期末）学校组织24名少先队员周末去“漕运码头”做运河讲解员。老师要把这些同学平均分成若干小组（大于1组），每组人数要求都是偶数，可以有( )种分组情况。 考点四、运算性质（奇数和偶数） 1.加减法运算规律 (1)奇数 ± 奇数 = 偶数 例： ， (2)偶数 ± 偶数 = 偶数 例： ， (3)奇数 ± 偶数 = 奇数 例： ， (4)记忆口诀：同奇偶得偶，异奇偶得奇。 2.乘法运算规律 (1)奇数 × 奇数 = 奇数 例： (2)奇数 × 偶数 = 偶数 例： (3)偶数 × 偶数 = 偶数 例： (4)核心结论：只要乘数中有一个是偶数，积一定是偶数；只有当所有乘数都是奇数时，积才是奇数。 真题练习 26．（24-25五年级下·北京大兴·期末）按照一个数的因数的个数，把自然数（0除外）分类，可以分为（    ）。 A．质数和合数两类 B．1、质数和合数三类 C．奇数和偶数两类 D．1、奇数和偶数三类 27．（24-25五年级下·北京昌平·期末）如果是一个自然数，那么一定是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 28．（23-24五年级下·北京门头沟·期末）a是奇数，b是偶数，a与b的和（    ）。 A．一定是奇数 B．一定是偶数 C．一定是合数 D．一定是质数 29．（24-25五年级下·北京丰台·期末）把25盆花分放在两个花坛中，其中一个花坛里的盆数是奇数，另一个花坛里的盆数一定是( )数。 考点五、质数与合数的认识及应用 1.定义标准（按因数个数分类） (1)质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。 例：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19... (2)合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 例：4, 6, 8, 9, 10, 12... (3)1：1只有1个因数，它既不是质数，也不是合数。 2.重要特例与记忆 (1)最小的质数：2（也是唯一的偶数质数）。 (2)最小的合数：4。 (3)20以内的质数：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19（共8个）。 (4)易错点：9, 15, 21, 27, 33等虽然是奇数，但是合数；2虽然是偶数，但是质数。 3.分解质因数 (1)定义：把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。 (2)书写格式：合数 = 质数 × 质数 × ... ①　例： ②　例： (3)短除法：常用短除法进行分解，除数必须是质数，直到商也是质数为止。 4.哥德巴赫猜想（常识拓展） (1)任何大于2的偶数都可以写成两个质数之和。 (2)例： ， 。 真题练习 30．（24-25五年级下·北京东城·期末）下面成语中所含的数都是质数的是（    ）。 A．九牛一毛 B．五湖四海 C．三心二意 D．七上八下 31．（24-25五年级下·北京丰台·期末）小芳认为“所有的合数都是偶数”，要想说明她的想法是不正确的，可以举出下面的例子（    ）。 A．15 B．19 C．20 D．38 32．（24-25五年级下·北京西城·期末）一个数既是质数又是偶数，这个数是（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 33．（24-25五年级下·北京大兴·期末）张叔叔买了一部新手机，他设置了一个锁屏密码。从左起，第一、二、三位上的数分别是5、6、3，第四位上的数是最小的合数，第五位上的数是小于10的最大质数，第六位上的数是小于10的最大合数。这个锁屏密码是（    ）。 A．563298 B．563279 C．563498 D．563479 34．（24-25五年级下·北京顺义·期末）如果用n表示任意一个自然数，那么n（n＋1）是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．合数 D．质数 35．（24-25五年级下·北京平谷·期末）哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”，这一猜想认为：任何大于2的偶数都可以写成两个质数之和。下面的式子中符合这一猜想的是（    ）。 A．6＝2＋4 B．10＝3＋7 C．13＝2＋11 D．54＝3＋51 36．（22-23五年级下·北京顺义·期末）下面关于质数、合数的说法正确的是（    ）。 A．除了2任意两个质数的和一定是偶数 B．所有的奇数都是质数 C．任意两个质数的积一定是质数 D．自然数中不是质数就一定是合数 37．（23-24五年级下·北京顺义·期末）如果两个素数（质数）之差是2，那么这两个素数称为孪生素数（孪生质数）。“孪生素数猜想”是诸多著名数学猜想之一。下面四组数中，（    ）是孪生素数。 A．1和3 B．2和4 C．7和9 D．11和13 38．（23-24五年级下·北京房山·期末）在1、11、15、17、21中，质数有( )和( )。 39．（24-25五年级下·北京房山·期末）在1、9、13、15、36这些数中，质数是( )，偶数是( )。 40．（23-24五年级下·北京丰台·期末）比5小的质数有( )和( )。 41．（24-25五年级下·北京丰台·期末）哥德巴赫猜想（奇数情形）：任何不小于7的奇数都可以写成三个质数的和，如：7＝2＋2＋3，15＝3＋5＋7，请再写一个符合猜想的算式是( )。 42．（23-24五年级下·北京昌平·期末）水墨画近处写实，远处抽象，是中国绘画的代表。张爷爷在长方形纸上绘制了一幅水墨画，长和宽均为质数，并且周长是36分米。这幅水墨画的长和宽分别可能是多少分米？面积最大是多少平方分米？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $