专题03 长方体和正方体（11大考点98道题）（期末真题汇编）五年级数学下学期（北京专用·人教版）

专题03 长方体和正方体 考点一、长方体和正方体的认识及特征 1.长方体的特征 (1)面：有6个面，一般都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）。相对的面完全相同（面积相等）。 (2)棱：有12条棱。相对的棱长度相等。可分为3组（长、宽、高），每组4条。 (3)顶点：有8个顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 (4)特殊长方体：若有两个相对的面是正方形，则其余4个面是完全相同的长方形，且这4个面的面积相等，对应的8条棱长度相等。 2.正方体的特征 (1)面：有6个面，都是完全相同的正方形。 (2)棱：有12条棱，长度都相等。 (3)顶点：有8个顶点。 (4)关系：正方体是特殊的长方体（长、宽、高都相等的长方体）。 真题练习 1．（24-25五年级下·北京房山·期末）一个长15cm、宽10cm、高3cm的长方体形状的物体，它可能是（    ）。 A．粉笔盒 B．新华字典 C．一张A4纸 D．教室木门 【答案】B 【分析】可结合题意，根据各选项中的物品的尺寸逐项分析，确定这最可能是哪个物体。 【详解】A．粉笔盒的高度约7cm，大于3cm，排除掉此选项； B．新华字典的长约是15cm、宽约是10cm、高约是3cm，符合题意； C．张A4纸的厚度不到1mm，，排除掉此选项； D．教室木门的高约是2m，2m＝200cm，200m大于3cm，排除掉此选项。 故答案为：B 2．（23-24五年级下·北京通州·期末）一个长26厘米，宽18厘米，高0.6厘米的物体，最有可能的是（    ）。 A．数学书 B．电视机 C．新华字典 D．常见手机 【答案】A 【分析】根据生活实际，将选项中各个物体大概的长、宽、高找出来，再找出和题干中物体数据相符的即可。 【详解】A．小学数学书的长、宽、高一般是26厘米、18厘米、0.8厘米； B．32英寸的电视机长一般是70.84厘米，宽5厘米，高39.85厘米； C．新华字典的长、宽、高一般是14厘米、10厘米、2.5厘米； D．常见手机的长、宽、高一般是16厘米、8厘米、0.8厘米； 所以，一个长26厘米，宽18厘米，高0.6厘米的物体，最有可能的是数学书。 故答案为：A 3．（23-24五年级下·北京朝阳·期末）下面提供的材料正好能拼成长方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面，每2个相对的面的完全相同，共12条棱，每4条棱长相等。根据长方体的特征找出符合条件的选项即可。 【详解】A．根据长方体的特征：长方体的长、宽、高各有4根；已知2cm、3cm的小棒各有6根，还缺少另一种长度的小棒4根，所以这些材料不能拼成长方体； B．根据长方体的特征：长方体的长、宽、高各有4根；已知3cm的小棒有8根，4cm的小棒有4根，符合长方体的特征，所以这些材料正好能拼成长方体； C．根据长方体的特征：长方体的6个面都是长方形时，上下面、前后面、左右面各有2个；已知“3×2”有4个，“3×4”有2个，还缺少2个“4×2”的长方形，所以这些材料不能拼成长方体； D．根据长方体的特征：长方体的6个面中有2个面是正方形时，其它的4个面都是相等的长方形；已知“4×3”有6个，还缺少2个“4×4”的长方形或2个“3×3”的长方形所以这些材料不能拼成长方体。 故答案为：B 4．（24-25五年级下·北京东城·期末）从下面6类图形中选择6个拼成一个长方体，长方体的长、宽、高如图所示：（单位：cm），正确的选项是（    ）。 A．2个A、2个B、2个C B．2个B、2个C、2个D C．2个B、2个C、2个E D．2个B、2个C、2个F 【答案】C 【分析】从图中可知，这个长方体的长为9cm、宽为7cm、高为4cm。根据长方体的特征：长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形。据此得出拼成的长方体的6个面，据此选择。 【详解】根据长方体的示意图可知，这个长方体的长为9cm、宽为7cm、高为4cm，，拼成的长方体的6个面分别是2个“9×7”、2个“9×4”、2个“7×4”的长方形，即2个B、2个C、2个E。 故答案为：C 5．（23-24五年级下·北京海淀·期末）在围长方体的操作活动中，老师为每位同学准备了如下图所示的五种纸板各若干张。（单位：cm） 要围成一个长方体，淘气先选择了1块①号纸板做底面，他还需要再选择（    ）。 A．①号2块，②号3块 B．①号1块，②号2块，③号2块 C．①号1块，③号2块，④号2块 D．①号1块，③号2块，⑤号2块 【答案】C 【分析】根据长方体的特征，长方体有6个面，上、下两个面相同，左、右两个面相同，前、后两个面相同，前后两个面长方形的长和宽分别为长方体的长和高，左右两个面长方形的长和宽分别为长方体的宽和高，上下两个面长方形的长和宽分别为长方体的长和宽，据此选择。 【详解】由分析可知： A．再选择①号2块，②号3块，这是①号两块和②号两块是相对的面，还有一块②号和一块③号不相同，不是一组对面，所以不能围成一个长方体； B．再选择①号1块，②号2块，③号2块，虽然每两块相对的面都相同，但是如果把①号两块看成上下底面，③号两块看成左右面，那么前后两个面长方形的长和宽分别为9和5，但是③号不是，所以不能围成一个长方体； C．再选择①号1块，③号2块，④号2块，每两块相对的面都相同，把①号两块看成上下底面，③号两块看成左右面，那么前后两个面长方形的长和宽分别为9和5，即④号，所以能围成一个长方体； D．再选择①号1块，③号2块，⑤号2块，虽然每两块相对的面都相同，但是如果把①号两块看成上下底面，③号两块看成左右面，那么前后两个面长方形的长和宽分别为9和5，但是⑤号不是，所以不能围成一个长方体。 故答案为：C 6．（23-24五年级下·北京海淀·期末）淘气用5个黏球和4根10cm、4根6cm的小棒，搭成了一个底座是正方形的“金字塔”，如下图所示（单位：cm）。他想把这个“金字塔”改搭成一个长方体框架，还需要（    ）。 A．2个黏球，2根10cm和2根6cm的小棒 B．2个黏球，4根10cm的小棒 C．3个黏球，2根10cm和2根6cm的小棒 D．3个黏球，4根6cm的小棒 【答案】D 【分析】长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。长方体有8个顶点，每个顶点连接三条棱，三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。据此分析。 【详解】看图可知，把这个“金字塔”改搭成一个长方体框架，底面已有2条长和2条宽，还有4条高，缺上面的2条长和2条宽，黏球相当于长方体顶点，已经有5个顶点，还缺3个，即还需要3个黏球，4根6cm的小棒。 故答案为：D 7．（24-25五年级下·北京丰台·期末）用下面给定的材料，能组成长方体的是（    ）。 A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面，每2个相对的面的完全相同，共12条棱，每4条棱长相等。根据长方体的特征找出符合条件的选项即可。 【详解】由分析可得： A．①中的长方形与②中正方体框架各个面的形状不同，不能组合在一起，所以这些材料不能拼成长方体； B．②③中缺少支撑的面，所以这些材料不能拼成长方体； C．①③中可选取4张，2张，5厘米小棒8根，3厘米小棒4根，组合在一起可拼成长方体； D．①②③中虽然支撑的面和小棒都有，但是棱长1cm和棱长2cm的正方体都只有1个，组合在一起会拼成一个不规则物体，所以这些材料不能拼成长方体。 故答案为：C 8．（23-24五年级下·北京丰台·期末）数学课上，强强在学具盒中选择学具袋，用其中的小棒搭建长方体或正方体框架，下面（    ）号袋中的小棒不能搭建成功。 小棒长度 1号袋 2号袋 3号袋 4号袋 15厘米 6根 10根 5根 12根 9厘米 5根 3根 8根 2根 6厘米 5根 3根 3根 2根 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。正方体有12条棱，每条棱的长度相等，据此解答即可。 【详解】1号袋：可选择15厘米，9厘米，6厘米的小棒各4根，搭建长方体框架； 2号袋中的小棒数量无法满足搭建长方体或正方体框架； 3号袋：可选择15厘米小棒4根，9厘米小棒8根搭建长方体框架； 4号袋：可选择15厘米小棒12根搭建正方体框架； 故答案为：B 考点二、长方体和正方体有关棱长的应用 1.棱长总和公式 (1)长方体棱长总和： ①　逆运算求长宽高之和： (2)正方体棱长总和： ①　逆运算求棱长： 2.常见应用场景 (1)框架制作：计算焊接一个长方体或正方体框架所需的铁丝/钢管总长度。 (2)捆扎问题：计算捆扎礼盒所需的丝带长度。 ①　十字捆扎：通常涉及 （具体需根据图示判断经过的面和棱）。 (3)切割/拼接对棱长的影响： ①　切割会增加新的面和棱；拼接会减少接触面的棱（但在计算总棱长时通常不直接考拼接后的棱长变化，更多考表面积变化，此处主要关注单一体模型的棱长计算）。 真题练习 9．（24-25五年级下·北京通州·期末）张阿姨给长方体快递盒捆胶带，如图所示，前后捆绑一圈用胶带40厘米，左右捆绑一圈用胶带60厘米，中间捆绑一圈用胶带100厘米（接头处忽略不计）。这个长方体快递盒的棱长和是（    ）厘米。 A．1550 B．800 C．400 D．200 【答案】D 【分析】前后捆绑一圈的长度是：2×高＋2×宽＝40厘米，左右捆绑一圈的长度是：2×高＋2×长＝60厘米，中间捆绑一圈的长度是：2×长＋2×宽＝100厘米，长方体的棱长和公式为：4×（长＋宽＋高），即：4×高＋4×宽＋4×长＝40＋60＋100，据此求解即可。 【详解】40＋60＋100＝200（厘米） 这个长方体快递盒的棱长和是200厘米。 故答案为：D 10．（24-25五年级下·北京房山·期末）快递公司的李叔叔正在包装一件商品。他先用长方体纸箱把商品包装好，再用胶带粘起来（如图），求一共要用胶带多少厘米？（接头处忽略不计）以下算式正确的是（    ）。 A．13×8＋15×6＋25×2 B．13×6＋15×4＋25×2 C．13×4＋15×4＋25×2 D．13×6＋15×4＋25×4 【答案】B 【分析】观察图形，数出胶带覆盖的各条棱的数量。长方体有3组棱（长、宽、高），对应长度为25cm（长）、13cm（宽）、15cm（高）。宽：胶带覆盖6条宽（上下各2条，左右各1条）。高：胶带覆盖4条高（前后各2条）。长：胶带覆盖2条长（前后各1条）。再根据“棱长×数量”计算总长度。 【详解】每条棱长度×数量，可列式为：13×6＋15×4＋25×2。 故答案为：B 11．（23-24五年级下·北京海淀·期末）用3个完全一样的正方体拼成一个长方体（如图），拼成后的长方体棱长总和为60cm，原来一个正方体的棱长是（    ）cm。 A．3 B．5 C．10 D．36 【答案】A 【分析】由图可知，长方体的长是3个正方体的棱长，宽和高都是1个正方体的棱长。根据“长方体的棱长之和＝4×长＋4×宽＋4×高”可得长方体的棱长之和是20个正方体棱长，用60除以20即可求出一个正方体的棱长，据此解答。 【详解】60÷（3×4＋1×4＋1×4） ＝60÷（12＋4＋4） ＝60÷20 ＝3（cm） 所以，原来一个正方体的棱长是3cm。 故答案为：A 12．（23-24五年级下·北京昌平·期末）下图是一个长方体纸盒的上面，这个长方体纸盒有两个相对的面是正方形。这个长方体纸盒的棱长总和最大是（    ）cm。（可以先画一画长方体，再解决问题） A．36 B．56 C．76 D．96 【答案】C 【分析】 如图，两个正方形的面的棱长都是8cm，棱长总和最大，根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，列式计算即可。 【详解】（8＋8＋3）×4 ＝19×4 ＝76（cm） 这个长方体纸盒的棱长总和最大是76cm。 故答案为：C 13．（24-25五年级下·北京大兴·期末）李叔叔用胶带对一件商品的包装箱进行加固，如图所示。按照这样的加固方法，至少需要多少分米的胶带？（接头处忽略不计） 【答案】35分米 【分析】胶带的总长包括两条长，两条宽和4条高，据此解答。 【详解】6×2＋3.5×2＋4×4 ＝12＋7＋16 ＝35（分米） 答：至少需要35分米的胶带。 14．（24-25五年级下·北京昌平·期末）一个棱长是30厘米的正方体礼盒（如下图），像这样用丝带捆扎起来（打结处需25厘米），至少需要丝带的长度是多少厘米？ 【答案】385厘米 【分析】观察图形，正方体礼盒每个面上需要丝带的长度相当于两条棱的长度，正方体一共有6个面，用棱长乘2求出一个面需要丝带的长度，再乘6，求出6个面需要丝带的长度，最后加上打结处丝带的长度，即是捆扎这个正方体礼盒至少需要丝带的长度。 【详解】30×2×6＋25 ＝360＋25 ＝385（厘米） 答：至少需要丝带的长度是385厘米。 15．（24-25五年级下·北京平谷·期末）李叔叔设计了一个木工游戏区，小朋友可以在这里根据给出的木制材料，拼搭各种几何图形。现有两根长度为1米的木条，请你充分利用这两根木条，制作一个有两个面是正方形的长方体框架，可以根据需要进行截取。先在木条上标记截取方法和数据，再画出框架草图，标出长、宽、高的数据。 【答案】见详解 【分析】长方体有12条棱，分别为4条长、4条宽、4条高。制作一个有两个面是正方形的长方体框架，说明有8条棱相等，4条棱不相等，即一根木条可截4截相等长度和2截相等长度的棱作框架，据此从2根1米长的木条中截取不同长度的小木条来满足拼成长方体的要求。 【详解】1米＝100厘米 100＝15×4＋20×2 答：每根木条分为4根15厘米和2根20厘米的木条即可拼搭成一个长为20厘米，宽和高为15厘米的长方体。（答案不唯） 作图如下： 16．（23-24五年级下·北京丰台·期末）端午节是中国的传统节日，粽子是不可或缺的主题。陕西商洛的槲叶粽子不仅香气逼人，形状也与众不同，是近似的长方体。张阿姨准备包30个这样的粽子，买10米长的线团够用吗？ 【答案】不够用 【分析】观察图片发现，一个粽子需要线绳的长度是4条宽和4条高及2个绳结的长度之和，代入数据求出一个粽子需要的线绳长度，再求出30个粽子需要的长度，与10米进行比较，看10米长的线团是否够用即可。 【详解】线绳长度： （厘米） 10米＝1000厘米 1140厘米＞1000厘米 答：买10米长的线团不够用。 考点三、长方体和正方体的展开图 1.长方体展开图 (1)由6个长方形组成（特殊情况含2个正方形）。 (2)相对面规律：在展开图中，相对的面通常中间隔着一个面，或者呈现“Z”字形两端。 (3)折叠还原：能想象出哪个面是底面，哪个面是侧面，从而确定长、宽、高对应的边。 2.正方体展开图（11种基本型） (1)“1-4-1”型（6种）：中间4个连成串，两边各一个，位置可移动。 (2)“2-3-1”型（3种）：中间3个连成串，一边2个，一边1个。 (3)“2-2-2”型（1种）：楼梯状。 (4)“3-3”型（1种）：两排各3个，错开排列。 (5)排除法口诀：“田”字格、“凹”字型、“7”字型（一线不过四，田凹应弃之）均不能折成正方体。 3.应用重点 (1)判断给定的平面图形能否围成长方体或正方体。 (2)根据展开图找出相对的面，用于后续表面积计算中缺失面的判断。 真题练习 17．（24-25五年级下·北京丰台·期末）沿虚线折叠，不能折成长方体或正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】长方体展开图： “1－4－1”型： “2－3－1”型和“3－3”型： 长方体展开图除了符合基本的模型，相对的面要相同； 正方体展开图： “1－4－1”型： “2－3－1”型： “2－2－2”型： “3－3”型： 根据以上长方体和正方体展开图进行分析，是展开图里的情况，能折成长方体或正方体；不是展开图里的情况，不能折成长方体或正方体。 【详解】 A．，“2－3－1”型正方体展开图，能折成正方体； B．如图：，是“2－3－1”型长方体展开图，但是相对的面不相同，不能折成长方体； C．，“1－4－1”型长方体展开图，相对的面相同，能折成长方体； D．，“2－2－2”型正方体展开图，能折成正方体。 不能折成长方体或正方体的是。 故答案为：B 18．（24-25五年级下·北京丰台·期末）小芳在一张长方形纸上设计了长方体展开图，想折叠成如下图的长方体纸盒。她选择的是下面4张纸中的（    ）。（图中单位为厘米） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，把长方体的长、宽、高看作a＝8厘米，b＝6厘米，c＝5厘米。要计算长方体展开图的长和宽，可按最常见的“一四一”型展开，4 个侧面连一排，上下各 1 个底面。若以长和高为侧面的边，展开后长方形的长为2a＋2c＝2×8＋2×5＝26厘米，宽为b＋ 2c＝6＋2×5＝16厘米；若以长和宽为侧面的边，展开后长为2a＋2b ＝2×8＋2×6＝28厘米，宽为c＋2b＝5＋2×6＝17厘米；若以宽和高为侧面的边，展开后长为2b＋2c＝2×6＋2×5＝22厘米，宽为a＋2c＝8＋2×5＝18厘米。据此解答。 【详解】A．由分析可得，最短的宽也要16厘米，此选项的宽只有15厘米，不符合题意； B．由分析可得，最短的宽也要16厘米，此选项的宽只有15厘米，不符合题意； C．由分析可得，若以宽和高为侧面的边，展开后长22厘米，宽为18厘米，此选项长为24厘米，宽为20厘米，符合题意； D．由分析可得，最短的长也要22厘米，此选项的长只有21厘米，不符合题意； 故答案为：C 19．（23-24五年级下·北京西城·期末）将下面的展开图围成正方体后，与“有”字相对的是（    ）字。 A．者 B．事 C．竟 D．成 【答案】C 【分析】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1—3—2”型，折成正方体后，“有”和“竟”相对，“志”和“事”相对，“者”和“成”相对。据此解答。 【详解】根据分析可知，与“有”字相对的是“竟”字。 故答案为：C 【点睛】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题。 20．（24-25五年级下·北京朝阳·期末）骰子是一种常见的正方体游戏工具，古时候多用骨头或木头制成。它的六个面分别标有1～6个点，相对两个面的点数相加都等于7。下图是一个骰子和它的展开图，其中三个面已经画好，如果完全画好，正确的展开图是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 1－4－1型正方体展开图，如果6点是下面，则6点的左边是右面，下边是前面，5点是后面，4点是右面，4点的右边是上面，如图，上下相对，左右相对，前后相对，再根据相对两个面的点数相加都等于7，确定正确的展开图。 【详解】 根据分析，正确的展开图是。 故答案为：C 21．（22-23五年级下·北京通州·期末）请在展开图上把下面、左面和后面标出来。 【答案】见详解 【分析】长方体有6个面，相对的面完全一样，据此确定下面、左面和后面。 【详解】 【点睛】关键是熟悉长方体特征，具有一定的空间想象能力。 22．（23-24五年级下·北京东城·期末）丽丽要把下面长方体展开图折成长方体。 (1)如果A面在底面，那么( )面在上面。 (2)用胶带沿棱将所有接缝处进行粘合，她至少需要用( )厘米的胶带。（提示：可以先画一画需要粘合的边再填空。） 【答案】(1)E (2)66 【分析】（1）根据长方体的特征，相对的面完全相同，据此解答即可； （2）由题意可知，需要胶带的长度就是长方体所有接缝处的棱长总和。根据题干展开图可得，接缝处的棱长共有4条高、2条长和1条宽，据此进行计算即可。 【详解】（1）如果A面在底面，那么E面在上面。 （2）7×4＋14×2＋10 ＝28＋28＋10 ＝66（厘米） 则她至少需要用66厘米的胶带。 考点四、长方体表面积的计算及应用 1.表面积定义：长方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 2.计算公式 (1)通用公式： (2)字母公式： 3.实际应用中的变式（去面法） (1)计算时需根据具体情况确定计算几个面： ①　无盖鱼缸/水池：5个面（去掉上面）。 ②　通风管/烟囱：4个面（去掉上下底面，即前后左右）。 或 ③　粉刷教室/墙壁：通常5个面（去掉地面），且需扣除门窗黑板面积。 ④　贴商标纸：通常4个侧面。 真题练习 23．（23-24五年级下·北京通州·期末）小东用一张长方形纸板折出了长方体的两个面（如下图），然后用其他纸板做出其他四个面围成一个长方体，小东制作这个长方体至少需要纸板( )平方厘米。 【答案】944 【分析】根据长方体目前的两个面可知，长方体的长、宽、高分别是16厘米、10厘米和12厘米。根据“长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”求出小东制作这个长方体至少需要纸板多少平方厘米。 【详解】（16×10＋16×12＋10×12）×2 ＝（160＋192＋120）×2 ＝472×2 ＝944（平方厘米） 所以，小东制作这个长方体至少需要纸板944平方厘米。 24．（23-24五年级下·北京昌平·期末）外卖行业一定程度上方便了人们的生活。下图是常见的外卖送餐包的示意图。做一个这样的送餐包至少需要多少平方厘米的材料？（舌头部分、重叠部分忽略不计） 【答案】10138平方厘米 【分析】求做一个这样的送餐包至少需要多少平方厘米的材料，就是求这个长方体的表面积，根长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，即可解答。 【详解】 ＝10138（平方厘米） 答：做一个这样的送餐包至少需要10138平方厘米的材料。 25．（23-24五年级下·北京通州·期末）一种香皂的包装盒是长方体的，要用包装纸包装两个香皂盒。为了节省材料，想把两个香皂盒包装在一起（包装纸重叠处忽略不计）。三位同学分别设计了不同的包装方法。 这样包装，比单独包装每个香皂盒节约了24平方厘米的包装纸。 这样包装，比单独包装每个香皂盒节约了48平方厘米的包装纸。 这样包装，比单独包装每个香皂盒节约了64平方厘米的包装纸。 一个香皂盒的表面积是多少平方厘米？ 【答案】136平方厘米 【分析】单独一块香皂包装时的长方体盒子有六个面，前后面、左右面、上下面分别相等。第一种包装法节约的24平方厘米是左、右面的面积；第二种包装法节约的48平方厘米是上、下面的面积；第三种包装法节约的64平方厘米是前、后面的面积。长方体表面积等于前后面、左右面、及上下面六个面的面积和，据此计算香皂盒的表面积即可。 【详解】 （平方厘米） 答：一个香皂盒的表面积是136平方厘米。 26．（23-24五年级下·北京海淀·期末）为积极推动治理塑料污染，国家倡导商场、超市等场所推广使用环保布袋、纸袋等可降解、可循环、易回收的环保购物袋。某商场要制作一种如下图所示的纸袋（单位：cm），制作一个这种纸袋至少需要多少平方厘米的纸？（重叠部分约需要400cm2的纸） 【答案】4080平方厘米 【分析】纸袋的面积是长方体5个面的面积加重叠部分面积，纸袋面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2＋重叠部分面积，据此代入数据计算即可。 【详解】纸袋的面积： （平方厘米） 答：制作一个这种纸袋至少需要4080平方厘米的纸。 27．（24-25五年级下·北京海淀·期末）要在长方体饼干盒的侧面贴上一圈商标纸，如下图。至少需要贴多少平方厘米的商标纸？（单位：厘米） 【答案】480平方厘米 【分析】要在长方体饼干盒的侧面贴上一圈商标纸，商标纸的每个面均为长12厘米，宽10厘米的长方形，求至少需要贴多少平方厘米的商标纸，即求4个这样的长方形的面积，代入长方形面积公式求解即可。 【详解】（平方厘米） 答：至少需要贴480平方厘米的商标纸。 28．（24-25五年级下·北京大兴·期末）一间教室长8米，宽6米，高3米（其中门窗所占面积是26平方米）。现在要粉刷这间教室的屋顶和四面墙壁，除去门窗，粉刷的面积是多少平方米？ 【答案】106平方米 【分析】要给教室的屋顶和四面墙壁刷涂料，粉刷的面积是：四面墙壁的面积加教室的屋顶的面积再减门窗占的面积，即：粉刷面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2－门窗面积，已知教室长8米，宽6米，高3米，门窗所占面积是26平方米，把数据代入计算即可。 【详解】8×6＋8×3×2＋6×3×2－26 ＝48＋48＋36－26 ＝106（平方米） 答：粉刷的面积是106平方米。 29．（23-24五年级下·北京房山·期末）工人师傅用木板制作一个长方体种植箱，种植箱的长、宽、高如下图所示，制作这个种植箱需要多少平方分米木板？ 【答案】324平方分米 【分析】长方体种植箱没有上面，所以制作这个种植箱需木板的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2。 【详解】13×4＋（13×8＋4×8）×2 ＝13×4＋（104＋32）×2 ＝13×4＋136×2 ＝52＋272 ＝324（平方分米） 答：制作这个种植箱需要324平方分米木板。 30．（24-25五年级下·北京朝阳·期末）亮亮想制作一个长方体的礼品包装盒。他在方格纸上画出了这个长方体包装盒的展开图。（每个小正方形的边长为1分米，纸板厚度、接口部分忽略不计） ①这个长方体包装盒的长是（    ）分米，宽是（    ）分米，高是（    ）分米。 ②计算出这个长方体包装盒的表面积。 【答案】①4；3；2 ②52平方分米 【分析】长方体有6个面，相对的面完全相同，其表面积公式为S＝（ab＋ah＋bh）×2（其中a为长，b为宽，h为高）。通过观察展开图，结合小正方形边长为1分米，确定长方体的长、宽、高，再代入公式计算表面积。 【详解】①确定长、宽、高观察展开图，“底面”对应的长方形的长包含4个小正方形边长，所以长a＝4×1＝4分米； 底面长方形的宽包含3个小正方形边长，所以宽b＝3×1＝3分米； 高h＝2×1＝2分米。 这个长方体包装盒的长是4分米，宽是3分米，高是2分米。 ②计算表面积根据长方体表面积公式S＝（ab＋ah＋bh）×2，把a＝4、b＝3、h＝2代入： （4×3＋4×2＋3×2）×2 ＝（12＋8＋6）×2 ＝（20＋6）×2 ＝26×2 ＝52（平方分米） 这个长方体包装盒的表面积是52平方分米。 31．（24-25五年级下·北京东城·期末）张爷爷打算按下面的步骤制作一个灯箱。他用一根长36分米的铝合金条先制作一个棱长为整分米数的长方体灯箱框架（接口处忽略不计，且无剩余）。 制作灯箱的步骤 ①先用铝合金条制作一个框架。 ②安装彩灯。 ③6个面围上灯箱布。 （1）请你帮助张爷爷设计出3种不同的方案，并把相关数据填在下表中。 方案 长/分米 宽/分米 高/分米 方案1  □ 方案2  □ 方案3  □ （2）从上面三个方案中任选一个方案（在□里画“√”），算出所选方案至少需要灯箱布多少平方分米？（粘接处忽略不计） 【答案】 （1）表格见详解； （2）30平方分米（答案不唯一） 【分析】（1）铝合金条总长36分米是长方体的棱长总和，根据公式“棱长总和＝4×（长＋宽＋高）”，可得长、宽、高的和为36÷4＝9分米。需设计三种长、宽、高均为整分米数且和为9的不同方案。 （2）灯箱布的面积即长方体表面积，公式为“表面积＝2×（长×宽＋长×高＋宽×高）”。任选一个方案代入数据计算即可。 【详解】（1）36÷4＝9（分米） 方案 长/分米 宽/分米 高/分米 方案1√ 7 1 1 方案2□ 6 2 1 方案3□ 5 3 1 （答案不唯一） （2）2×（7×1＋7×1＋1×1） ＝2×（7＋7＋1） ＝2×15 ＝30（平方分米） 答：至少需要灯箱布30平方分米。（答案不唯一） 32．（24-25五年级下·北京平谷·期末）一块长2米、宽0.2米、高0.4米的长方体木头，被李叔叔如图所示平均分成四块后，准备做成四个木秋千。这块木头被分开后，表面积增加了多少平方米？ 【答案】1.76平方米 【分析】观察可知，平均分成四块要切两下，每次一下就会增加2个长方形面积，所以表面积增加了4个长方形的面积，分别是2个长是2米，宽0.4米的长方形，2个长是0.4米，宽是0.2米的长方形，根据长方形的面积公式计算即可。 【详解】 （平方米） 答：表面积增加了1.76平方米。 33．（23-24五年级下·北京石景山·期末）王亮爱好航模，他为航模飞机制作了展示盒（如图）。除了底面，其它各面都用了亚克力材料。制作这个展示盒，至少需要多少平方分米的亚克力板（亚克力板的厚度忽略不计）？（单位：分米） 【答案】35平方分米 【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出这个长方体的表面积，根据长方形的面积＝长×宽，求出长方体的底面积，再用这个长方体的表面积减去一个底面积，即可求出至少需要多少平方分米的亚克力板，据此解答。 【详解】（2×4.5＋2×2＋4.5×2）×2 ＝（9＋4＋9）×2 ＝22×2 ＝44（平方分米） 44－2×4.5 ＝44－9 ＝35（平方分米） 答：至少需要35平方分米的亚克力板。 34．（24-25五年级下·北京房山·期末）某品牌巧克力1盒的尺寸如图： （1）每盒巧克力需要多少平方厘米的包装材料？（接口处忽略不计） （2）如果将2盒巧克力拼装成一大盒出售，请你设计出一种最节省材料的包装盒。（表达清楚包装盒的形状、大小及设计理由） 【答案】（1）184平方厘米； （2）见详解 【分析】（1）观察图形，发现巧克力的包装是一个长方体，根据长方体表面积公式S＝2×（ab＋ah＋bh）（其中a为长，b为宽，h为高），已知长方体巧克力盒的长a＝10厘米，宽b＝6厘米，高h＝2厘米，代入公式即可解答。 （2）要想最节省材料，就是要使拼接后大长方体的表面积最小。根据长方体表面积的特点，把两个长方体拼接时，让它们最大的面重叠，这样减少的表面积最多，得到的大长方体表面积就最小。原长方体10×6的面是最大面。把两盒巧克力的10×6面重叠拼接，此时大长方体的长a＝10厘米，宽b＝6厘米，高h为2×2＝4厘米。 【详解】（1）2×（10×6＋10×2＋6×2） ＝2×（60＋20＋12） ＝2×92 ＝184（平方厘米） 答：每盒巧克力需要184平方厘米的包装材料。 （2）答：最节省材料的包装盒是长10厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体，设计理由是将两盒巧克力最大的面（10×6）重叠拼接，可使大长方体表面积最小，从而最节省材料。 35．（23-24五年级下·北京密云·期末）新建一个游泳池，长50米，宽25米，深2.5米。在游泳池的底面和四周都抹一层水泥，如果每平方米用水泥12千克。至少需要用水泥多少千克？ 【答案】19500千克 【分析】游泳池的底面和四周抹上水泥，需求无上底面的长方体的表面积。表面积等于下底面积加左右侧面的面积加前后两个面的面积。求出表面积后，每平方米用水泥12千克，至少用水泥多少千克用乘法。 【详解】其表面积 50×25＋25×2.5×2＋50×2.5×2 ＝1250＋25×（2.5×2）＋50×（2.5×2） ＝1250＋25×5＋50×5 ＝1250＋125＋250 ＝1375＋250 ＝1625（立方米） 1625×12＝19500（千克） 答：至少需19500千克水泥。 36．（24-25五年级下·北京通州·期末）有一个底面是正方形的长方体铁皮油桶。如果把它的侧面展开正好得到一个边长是80厘米的正方形，做这样的一个油桶至少需要铁皮多少平方分米？ 【答案】72平方分米 【分析】底面是正方形的长方体铁皮油桶的侧面展开正好得到一个边长是80厘米的正方形，则长方体底面棱长（即长方体的长和宽）为80÷4＝20（厘米），长方体的高是80厘米，根据：长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入计算即可。 【详解】80÷4＝20（厘米） （20×20＋20×80＋20×80）×2 ＝（400＋1600＋1600）×2 ＝（2000＋1600）×2 ＝3600×2 ＝7200（平方厘米） 1平方分米＝100平方厘米 7200÷100＝72（平方分米） 答：做这样的一个油桶至少需要铁皮72平方分米。 考点五、正方体表面积的计算及应用 1.计算公式 (1)通用公式： (2)字母公式： 2.实际应用变式 (1)无盖正方体盒子：5个面。 (2)正方体通风管：4个面。 (3)切割增加表面积： ①　切一刀增加2个面。 ②　切成 段，增加 个面。 ③　增加的面积 = 新增面数 截面面积。 真题练习 37．（24-25五年级下·北京平谷·期末）李明将三个正方体木块黏合成一个模型（如下图），它们的棱长分别是1分米、2分米、3分米。这个模型的表面积是（    ）。 A．84平方分米 B．80平方分米 C．74平方分米 D．70平方分米 【答案】C 【分析】这个模型的表面积＝上面两个正方体木块的侧面积（前后左右）之和＋下面正方体的表面积。根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算即可。 【详解】1×1×4＋2×2×4＋3×3×6 ＝4＋16＋54 ＝74（平方分米） 这个模型的表面积是74平方分米。 故答案为：C 38．（24-25五年级下·北京西城·期末）一个正方体的棱长是10cm，它的表面积是( )cm2。 【答案】600 【分析】根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，代入数据，即可解答。 【详解】10×10×6 ＝100×6 ＝600（cm2） 一个正方体的棱长是10cm，它的表面积是600cm2。 39．（23-24五年级下·北京石景山·期末）用一根36厘米长的铁丝做一个正方体框架。如果将它的每个面都围上纸片，至少需要( )平方厘米的纸片。 【答案】54 【分析】用一根36厘米长的铁丝做一个正方体框架，即正方体的棱长总和是36厘米，根据棱长＝棱长总和÷12，求出棱长；再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，即可求出至少需要多少平方厘米的纸片，据此解答。 【详解】36÷12＝3（厘米） 3×3×6 ＝9×6 ＝54（平方厘米） 即至少需要54平方厘米的纸片。 40．（23-24五年级下·北京昌平·期末）中国灯笼是一种古老的传统工艺品。乐乐用一根24dm长的铁丝围了一个正方体灯笼框架，这个正方体灯笼的棱长是( )dm，如果给这个灯笼的四周围上灯笼布（上下面空着），至少需要( )dm2的灯笼布。 【答案】 2 16 【分析】根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12，代入数据，求出正方体灯笼的棱长；求四周围上灯笼布的面积，就是求正方体的侧面积，根据正方体侧面积公式：侧面积＝棱长×棱长×4，代入数据，即可解答。 【详解】24÷12＝2（dm） 2×2×4 ＝4×4 ＝16（dm2） 中国灯笼是一种古老的传统工艺品。乐乐用一根24dm长的铁丝围了一个正方体灯笼框架，这个正方体灯笼的棱长是2dm，如果给这个灯笼的四周围上灯笼布（上下面空着），至少需要16dm2的灯笼布。 41．（24-25五年级下·北京平谷·期末）（1）李叔叔因地制宜打造了一个沙包游戏活动区，想请王阿姨帮忙缝制一些棱长为1分米的正方体沙包。因为在制作时需要缝合，沙包的每个面在裁剪时均为边长1.1分米的正方形。缝制这样的一个沙包需要多少平方分米的花布？ （2）王阿姨找到一块长1.8米、宽1.7米的花布，可以做多少个上面这样的沙包？（沙包的每个面不能用碎花布拼接） 【答案】（1）7.26平方分米； （2）40个 【分析】（1）求需要花布的面积就是求正方体的表面积，每个面需要花布的面积就是边长为1.1分米正方形的面积，最后乘6求出一个沙包需要花布的总面积； （2）先把花布长和宽的单位换算成“分米”，再分别计算花布的长和宽分别包含多少个正方形布块的边长，最后根据每个沙包需要6个面的花布求出可以做的沙包数量，据此解答。 【详解】（1）1.1×1.1×6 ＝1.21×6 ＝7.26（平方分米） 答：缝制这样的一个沙包需要7.26平方分米的花布。 （2）1.8米＝18分米，1.7米＝17分米。 18÷1.1＝16（个）……0.4（分米） 17÷1.1＝15（个）……0.5（分米） 16×15÷6 ＝240÷6 ＝40（个） 答：可以做40个上面这样的沙包。 考点六、体积和体积单位的认识 1.体积定义：物体所占空间的大小叫做物体的体积。 2.常用体积单位 (1)立方厘米 ( )：棱长为1cm的正方体的体积。适用于较小物体（如橡皮、手指头）。 (2)立方分米 ( )：棱长为1dm的正方体的体积。适用于中等物体（如粉笔盒、西瓜）。 (3)立方米 ( )：棱长为1m的正方体的体积。适用于较大物体（如集装箱、房间空间）。 真题练习 42．（23-24五年级下·北京朝阳·期末）下列物体中，（    ）的体积最接近1立方厘米。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】棱长是1厘米的正方体的体积是1立方厘米；手指一节的体积大约是1立方厘米，据此解答。 【详解】 A．通过分析可得：的体积比1立方厘米大得多； B．的体积比1立方厘米大得多； C.的体积大约是1立方厘米； D．的体积比1立方厘米大得多。 故答案为：C 43．（22-23五年级下·北京顺义·期末）一本数学书的体积约（    ）。 A．3000cm3 B．300cm3 C．30cm3 D．20cm3 【答案】B 【分析】棱长1cm的正方体，体积是1cm3，大约是1个手指头的大小，据此根据体积和容积单位的认识，以及生活经验进行选择。 【详解】由分析可得：一本数学书的体积约300cm3。 故答案为：B 44．（22-23五年级下·北京朝阳·期末）在实际生活中，下面物品的体积最接近1立方分米的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】常见的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米。立方厘米用字母表示是cm3，立方分米用字母表示是dm3，立方米用字母表示是m3。棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米；棱长1分米的正方体，体积是1立方分米；棱长1米的正方体，体积是1立方米。1个指尖的体积接近1立方厘米；1个粉笔盒的体积接近1立方分米；教室讲台的体积接近1立方米。 【详解】A．书包的体积大约是12立方分米； B．苹果的体积大约是1立方分米； C．1块橡皮的体积接近8立方厘米； D．1颗花生的体积大约是1立方厘米。 体积最接近1立方分米的是苹果。 故答案为：B 考点七、长方体的体积 1.计算公式 (1)基本公式： (2)字母公式： (3)统一公式： (4)字母公式： （其中 为底面积， 为高） 真题练习 45．（24-25五年级下·北京顺义·期末）根据下图中的信息，计算出这个长方体的体积是（    ）立方厘米。 A．324 B．486 C．594 D．2916 【答案】C 【分析】根据求最大公因数的方法：两个数的公有质因数的连乘积，就是两个数的最大公因数，据此求出54和99的最大公因数；最大公因数就是以66平方厘米为底面的长方体的高，再根据长方体体积＝底面积×高，据此求出长方体体积。 【详解】54＝2×3×3×3 99＝3×3×11 54和99的最大公因数是3×3＝9。 66×9＝594（立方厘米） 这个长方体的体积是594立方厘米。 故答案为：C 46．（24-25五年级下·北京通州·期末）长方体有六个面。从如图的8个长方形中选6个，正好围成一个长方体（单位：厘米）。这个长方体的体积是（    ）立方厘米。 A．192 B．240 C．320 D．480 【答案】B 【分析】根据长方体的特征，长方体相对面的面积相等，可以选择长10厘米，宽6厘米；长10厘米，宽4厘米；长6厘米，宽4厘米的长方形各2个，这个长方体的长、宽、高分别是10厘米、6厘米、4厘米，根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，把数据代入公式解答。 【详解】长方体的长、宽、高分别是10厘米、6厘米、4厘米。 10×6×4＝240（立方厘米） 这个长方体的体积是240立方厘米。 故答案为：B 47．（23-24五年级下·北京顺义·期末）一个长方体（如图），如果宽减少3分米，长和高不变，形成的新长方体的体积减少了（    ）立方分米。 A．ah（b－3） B．3ab C．3ah D．3bh 【答案】C 【分析】根据题意，形成的新长方体的体积减少部分就是长a分米、宽3分米、高h分米的长方形，根据长方体的体积＝长×宽×高解答。 【详解】a×3×h＝3ah（立方分米） 形成的新长方体的体积减少了3ah立方分米。 故答案为：C 48．（24-25五年级下·北京平谷·期末）李师傅将一个长3分米、宽与高都是2分米的长方体木块，挖去一个棱长1分米的小正方体（如图）。下面表述错误的是（    ）。 A．原来长方体体积是12立方分米 B．挖去的小正方体体积是1立方分米 C．挖去小正方体后，原来长方体体积减少了 D．挖去小正方体后，原来长方体表面积减少了 【答案】D 【分析】根据长方体体积公式V＝a×b×h（a为长，b为宽，h为高），原长方体长3分米、宽2分米、高2分米，可计算其体积。 依据正方体体积公式V＝a3（a为棱长），小正方体棱长1分米，能算出其体积。 挖去小正方体，总体积会减少小正方体的体积。挖去小正方体时，原来的表面减少了小正方体3个面的面积，但同时又增加了小正方体3个面的面积。 【详解】A．原长方体体积为3×2×2＝12（立方分米），该选项正确。 B．小正方体体积为1×1×1＝1（立方分米），该选项正确。 C．挖去小正方体后，总体积减少了小正方体的体积，所以原来长方体体积减少了，该选项正确。 D．挖去小正方体时，原来长方体表面减少3个小正方形面的面积，又新增3个小正方形面的面积，表面积不变，该选项错误。 选项A、B、C中的说法都是正确的，只有选项D中的说法是错误的。 故答案为：D 49．（24-25五年级下·北京通州·期末）一根截面是正方形的长方体木料，木料长2米。把它与截面平行等分成3段后，表面积增加了8平方分米，这根长方体木料的体积是( )立方分米。 【答案】40 【分析】将木料截成3段，表面积会增加4个正方形横截面的面积；用增加的表面积除以4，求出一个正方形横截面面积；再根据长方体的体积公式即可求出这根木料原来的体积，注意单位的换算即可。 【详解】 即原来这根木料的体积是40立方分米。 50．（23-24五年级下·北京朝阳·期末）根据航空公司的规定，乘坐飞机时，随身行李箱和托运行李箱的尺寸要求如下图，随身行李箱的体积是( )立方厘米。 【答案】44000 【分析】由题可得，随身行李箱的长是40厘米，宽是20厘米，高是55厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，即可求出随身行李箱的体积，据此解答。 【详解】40×20×55＝44000（立方厘米） 即随身行李箱的体积是44000立方厘米。 51．（24-25五年级下·北京通州·期末）小睿用一个长8厘米，宽7厘米，高6厘米的长方体容器做实验。他先往容器中倒入5厘米深的水，再把一块棱长4厘米的正方体铁块放入水中，水( )溢出来。（填“会”或者“不会”） 【答案】会 【分析】根据，，求出正方体铁块的体积，容器内无水部分的体积，然后进行比较。如果铁块的体积小于或等于容器内无水部分的体积，水就不会溢出，否则水就会溢出。 【详解】4×4×4＝64（立方厘米） 8×7×（6－5） ＝56×1 ＝56（立方厘米） 64＞56 所以，水会溢出。 【点睛】本题考查正方体、长方体体积计算公式的灵活运用，也可以用正方体铁块的体积除以容器的底面积，求出水面上升的高度，与容器内无水部分的高度相比较，得出结论。 52．（23-24五年级下·北京东城·期末）下图是冰雪大世界冰灯展区的一个冰雕作品“数字0”，它的体积是( )立方分米。（单位：分米） 【答案】56 【分析】从图中可知，这个冰雕的外框是一个长6分米，宽2分米，高10分米的长方体，中间挖空了一个长4分米，宽2分米，高8分米的长方体。根据长方体的体积＝长×宽×高，分别代入数据，计算出这两个长方体的体积，再相减即可求出这个冰雕的体积。 【详解】6×2×10－4×2×8 ＝120－64 ＝56（立方分米） 它的体积是56立方分米。 53．（23-24五年级下·北京石景山·期末）计算下图长方体的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】184平方厘米；160立方厘米 【分析】长方体的体积＝长×宽×高；长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。据此代入数据计算即可。 【详解】表面积： （8×5＋8×4＋5×4）×2 ＝（40＋32＋20）×2 ＝92×2 ＝184（平方厘米） 体积：8×4×5 ＝32×5 ＝160（立方厘米） 54．（24-25五年级下·北京平谷·期末）李叔叔很喜欢养鱼，所以在基地修了一个长30米、宽20米、深2.2米的长方体小鱼池，又往鱼池中加了1.2米深的水。鱼池中水的体积是多少立方米？ 【答案】720立方米 【分析】把鱼池中的水看作一个长方体，长方体的长为30米，宽为20米，高为1.2米，利用“长方体的体积＝长×宽×高”求出鱼池中水的体积，据此解答。 【详解】30×20×1.2 ＝600×1.2 ＝720（立方米） 答：鱼池中水的体积是720立方米。 55．（24-25五年级下·北京顺义·期末）下图是由四个形状、大小完全相同的长方体柜子组成的电视柜，表面积比原来四个长方体柜子表面积的总和少了0.72平方米。这个电视柜的体积是多少立方米？ 【答案】0.288立方米 【分析】由图可知，电视柜的表面积比原来四个长方体柜子表面积的总和减少了6个拼接面的面积，根据减少的表面积先求出1个拼接面的面积，再利用“长方体的体积＝底面积×高”求出这个电视柜的体积，据此解答。 【详解】240厘米＝2.4米 减少拼接面的数量：2×（4－1） ＝2×3 ＝6（个） 电视柜的体积：0.72÷6×2.4 ＝0.12×2.4 ＝0.288（立方米） 答：这个电视柜的体积是0.288立方米。 56．（24-25五年级下·北京房山·期末）北京2022年冬奥会和冬残奥会，国家游泳中心“水立方”化身为“冰立方”，成为世界首座完成“水冰转换”的奥运场馆。作为冰壶比赛的场馆，“冰立方”改造出4条达到国际最高标准的冰壶赛道（如图）。每条赛道长44.5米，宽约4米，赛道上冰层厚度约为0.08米。每条冰壶赛道内约有多少立方米的冰？ 【答案】14.24立方米 【分析】求每条赛道内冰的体积，就是求长44.5米，宽4米，高0.08米的长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可解答。 【详解】44.5×4×0.08 ＝178×0.08 ＝14.24（立方米） 答：每条冰壶赛道内约有14.24立方米的冰。 57．（24-25五年级下·北京丰台·期末）某航天实验室研究出一种可折叠的太阳翼，通过吸收太阳光为航天器提供能量。发射前，太阳翼在图1的基础上，以2片为一层、共8层进行收缩折叠成一个只有10厘米厚的长方体形状藏在卫星里。在轨工作时，太阳翼会完全展开成一个如图2的大长方形。这种太阳翼折叠时的体积是多少立方米？ 【答案】19.2立方米 【分析】已知展开的太阳翼朝向太阳的面积为192平方米，展开长度在50米以下，宽度在5米以下且长、宽均为整米数。因为192＝32×6不符合条件，192＝48×4符合条件，所以展开后长是48米，宽是4米，把10厘米化成0.1米，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可解答。 【详解】10厘米＝0.1米 192＝32×6不符合条件 192＝48×4符合条件 展开后长方体的长是48米、宽是4米、高是0.1米 48×4×0.1 ＝192×0.1 ＝19.2（立方米） 答：这种太阳翼折叠时的体积是19.2立方米。 58．（23-24五年级下·北京密云·期末）（如下图）一块长方体木块，从上部和下部分别截去高3厘米和2厘米的小长方体后，成为一个正方体。表面积减少120平方厘米，原来长方体体积是多少立方厘米？ 【答案】396立方厘米 【分析】根据题意，把从长方体木块的上部和下部分别截去高3厘米和2厘米的小长方体，看作把长方体的高截去（3＋2）厘米，表面积减少120平方厘米，变成一个正方体，说明原来长方体的长、宽相等； 减少的表面积是4个完全一样的长方形的面积，长方形的宽是（3＋2）厘米，长是原来长方体的长或宽；用减少的表面积除以4，求出一个长方形的面积，然后除以（3＋2），即可求出原来长方体的长、宽；再用长方体的长或宽加上（3＋2）厘米，得到原来长方体的高； 最后根据长方体的体积＝长×宽×高，求出原来长方体的体积。 【详解】原来长方体的长、宽： 120÷4÷（3＋2） ＝120÷4÷5 ＝6（厘米） 原来长方体的高： 3＋2＋6＝11（厘米） 原来长方体的体积： 6×6×11 ＝36×11 ＝396（立方厘米） 答：原来长方体体积是396立方厘米。 59．（23-24五年级下·北京密云·期末）工人要将长15厘米，宽和高都是3厘米的长方体牙膏盒装入纸箱中。纸箱里面的尺寸如图，（单位：厘米）。这个纸箱最多能装多少个这种牙膏盒？ 【答案】400个 【分析】根据以长为边可以放60÷15＝4个， 32÷3＝10……2可以放10层， 32÷3＝10……2可以放10排；以高为边32÷15＝2……2可以放2个，60÷3＝20可以放20层，30÷3＝10可以放10排；以宽为边可以放30÷15＝2个，60÷3＝20可以放20层，32÷3＝10……2可以放10排；根据乘法的意义用长宽高上的数量相乘可解。 【详解】装法一：32÷3＝10……2，30÷3＝10，60÷15＝4；10×10×4＝400（个）， 装法二：60÷3＝20，30÷3＝10，32÷15＝2……2；20×10×2＝400（个）， 装法三：60÷3＝20，32÷3＝10……2，30÷15＝2；20×10×2＝400（个）， 答：这个纸箱最多能装400个这种牙膏盒。 60．（23-24五年级下·北京朝阳·期末）丽丽想制作一个长方体纸盒。她先在一张边长为30厘米的正方形纸上绘制出这个长方体纸盒的展开图（如下图）。然后准备将涂色部分裁掉，借助胶条粘贴成长方体。已知长方体的宽是高的2倍，那么这个长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】1000立方厘米 【分析】长方体的宽是高的2倍，所以高×2＝宽；观察图形可知，宽＋宽＋高＋高＝正方形的边长，即3×宽＝正方形的边长；据此求出宽和高；长方形的长＝正方形的边长－长方形的高×2，求出长方体的长，再根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【详解】宽：30÷3＝10（厘米） 高：10÷2＝5（厘米） 长：30－5×2 ＝30－10 ＝20（厘米） 体积：20×10×5 ＝200×5 ＝1000（立方厘米） 答：这个长方体的体积是1000立方厘米。 61．（23-24五年级下·北京丰台·期末）兰兰参加了学校的“创意木工坊”。她领取了一根长木条和一块木板制作小木凳。兰兰想将长木条截成4段同样长的短木条做凳腿（如图所示）。截开后，4段短木条表面积之和比长木条的表面积增加了150平方厘米。兰兰领取的这根长木条的体积是多少立方厘米？ 【答案】2000立方厘米 【分析】一根长木条截成4段同样长的短木条,需要截三次，而表面积增加6个截面的面积，所以每个截面的面积是25平方厘米，由图可知，原长木条的长度是20厘米的4倍，根据V＝Sh求出长木条的体积即可。 【详解】150÷[（4－1）×2]×（20×4） ＝150÷6×80 ＝25×80 ＝2000（立方厘米） 答：兰兰领取的这根长木条的体积是2000立方厘米。 考点八、正方体的体积 1.计算公式 (1)基本公式： (2)字母公式： （读作：a的立方，表示3个a相乘，不是 ） (3)统一公式： （正方体底面积 ，高 ，故 ） 真题练习 62．（24-25五年级下·北京通州·期末）如图，一个棱长是4cm的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1cm的小正方体后，下面说法正确的是（    ）。 A．体积减少，表面积减少 B．体积减少，表面积增加 C．体积减少，表面积不变 D．体积不变，表面积不变 【答案】C 【分析】通过观察图形可知，在大正方体的顶点上的小正方体原来外露3个面，从大正方体的顶点上挖掉一个小正方体后，又外露与原来相同的3个面，所以剩下图形的表面积不变。 体积比原来减少了挖掉的小正方体的体积，所以体积变小了。 【详解】图形的表面积＝原来正方体的表面积 图形的体积＝原来正方体的体积－小正方体的体积 所以，剩下图形的表面积不变，体积变小了。 故答案为：C 63．（24-25五年级下·北京平谷·期末）李明用一些棱长是2厘米的小正方体木块拼了一个模型，从前面、右面、上面三个角度观察模型，分别看到下面三个图形。这个模型的体积是（    ）。 A．48立方厘米 B．56立方厘米 C．64立方厘米 D．72立方厘米 【答案】B 【分析】 从题意可知：这个模型分上下两层。根据上面看到的图形可知下层有6个小正方体如图摆放：；再根据前面、右面看到的图形可知这个图形的上层有一个小正方体如图摆放；这个模型一共由7个小正方体拼成。根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出1个小正方体的体积，进而求出7个小正方体的体积即可。 【详解】2×2×2×7＝56（立方厘米） 这个模型的体积是56立方厘米。 故答案为：B 64．（22-23五年级下·北京顺义·期末）芳芳用棱长1厘米的小正方体搭了一个几何体，从正面、左面和上面看到的图形分别如下图。这个几何体的体积是（    ）cm3。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题意，可确定这个几何体一共一层，前后两行，前行有3个，后一行有1个，右对齐，所以有4个小正方体，根据正方体体积公式V＝a³，其中 V 表示正方体的体积，a 表示正方体的棱长，已知小正方体的棱长为1厘米，将数值代入公式计算出结果即可。 【详解】13×4 ＝1×4 ＝4（立方厘米） 这个几何体的体积是4立方厘米。 故答案为：C 65．（22-23五年级下·北京东城·期末）一个正方体的棱长是5cm，它的棱长总和是( )cm，体积是( )cm3。 【答案】 60 125 【分析】已知一个正方体的棱长是5cm，根据正方体的棱长总和＝棱长×12，正方体的体积V＝a3，代入数据计算，求出它的棱长总和与体积。 【详解】5×12＝60（cm） 5×5×5 ＝25×5 ＝125（cm3） 它的棱长总和是（60）cm，体积是（125）cm3。 66．一个正方体的棱长总和是48厘米，它的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 96 64 【分析】在正方体中，棱长和＝棱长×12，表面积＝棱长×棱长×6，体积＝棱长×棱长×棱长，本题中，可先计算出棱长再计算表面积与体积。 【详解】48÷12＝4（厘米） 4×4×6 ＝16×6 ＝96（平方厘米） 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 所以这个正方体的表面积是96平方厘米，体积是64立方厘米。 67．（24-25五年级下·北京朝阳·期末）榫卯结构是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式。在一块棱长为5厘米的正方体木料上挖一个棱长为2厘米的正方体，再向下挖一个棱长为1厘米的正方体（如图）。这个木块体积一共减少了( )立方厘米。 【答案】9 【分析】正方体体积公式为V＝a3（a为正方体棱长）。木块体积减少的量就是两次挖去的正方体体积之和，分别算出两个挖去的正方体体积，再相加即可。 【详解】计算棱长为2厘米的正方体体积：根据公式V1＝2×2×2＝8（立方厘米） 计算棱长为1厘米的正方体体积：根据公式V2＝1×1×1＝1（立方厘米） 计算总体积减少量：V＝V1＋V2＝8＋1＝9（立方厘米） 这个木块体积一共减少了9立方厘米 考点九、容积和容积单位的认识 1.容积定义：箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。 2.常用容积单位 (1)升 (L)：主要用于液体或较大容器。 (2)毫升 (mL)：主要用于少量液体（如药水、饮料）。 (3)关系： 3.容积与体积的区别与联系 (1)区别： ①　意义不同：体积指物体自身占空间大小；容积指容器内部能装多少。 ②　测量方法不同：体积从物体外部测量长宽高；容积从容器内部测量长宽高。 ③　大小关系：对于同一容器，体积 > 容积（因为容器壁有厚度）。若忽略壁厚，则数值相等。 (2)联系：计算方法相同（都是长 宽 高）。 真题练习 68．（24-25五年级下·北京昌平·期末）小明把一个拳头伸进装满水的长方体玻璃容器中，溢出的水的体积大约是（    ）。 A．250毫升 B．2.5升 C．2.5毫升 D．25毫升 【答案】A 【分析】小明把一个拳头伸进装满水的长方体玻璃容器中，溢出的水的体积就是拳头的体积，根据生活经验可知，人的拳头的体积大约是250毫升，据此解答。 【详解】根据分析可知，小明把一个拳头伸进装满水的长方体玻璃容器中，溢出的水的体积大约是250毫升。 故答案为：A 69．（24-25五年级下·北京顺义·期末）下面（    ）适合用mL来度量。 A．一个矿泉水瓶的容积 B．马桶水箱的容积 C．汽车油箱的容积 D．电冰箱的容积 【答案】A 【分析】20滴水大约是1mL，所以计量一个矿泉水瓶的容积用“mL”作单位比较合适； 两瓶矿泉水的容积是1L，所以计量马桶水箱、汽车油箱、电冰箱的容积用“L”作单位比较合适。 【详解】A．一个矿泉水瓶的容积适合用mL来度量； B．马桶水箱的容积适合用L来度量； C．汽车油箱的容积适合用L来度量； D．电冰箱的容积适合用L来度量。 故答案为：A 70．（24-25五年级下·北京平谷·期末）如图，这样一本新华字典的体积大约521（    ）。 A．毫升 B．立方厘米 C．立方分米 D．立方米 【答案】B 【分析】指尖的体积大约是1立方厘米，1个粉笔盒的体积约为1立方分米，1立方分米＝1000立方厘米。根据括号前的数据是521，填立方厘米作单位比较合适。 【详解】这样一本新华字典的体积大约521立方厘米。 故答案为：B 71．（24-25五年级下·北京大兴·期末）1支口服液，如图所示。它的净含量是（    ）。 A．1mL B．10mL C．1L D．10L 【答案】B 【分析】容积单位有毫升和升，1升＝1000毫升，毫升通常用于计量较少液体（如口服液、眼药水等），升用于计量较多的液体（如桶装水、食用油等）。 【详解】结合生活实际，口服液的容量很小，选项中1升和10升体积过大，不符合一支口服液的实际容量；1毫升又过少，通常一支口服液的净含量是10毫升左右，所以1支口服液，如图所示。它的净含量是10毫升。 故答案为：B 72．（23-24五年级下·北京海淀·期末）如图所示，小勺大约能装水（    ）。 A．2mL B．20mL C．200mL D．2L 【答案】A 【分析】升是比较大的容积单位，毫升是个比较小的容积单位，棱长为1cm的正方体的容积是1mL；1mL的水大约有20 滴，生活中同学们用来吃饭的小勺子大约能装2mL的水。 【详解】根据分析可知，小勺大约能装水2mL。 故答案为：A 73．（22-23五年级下·北京丰台·期末）下面说法正确的是（    ）。 A．一瓶酱油约1.75毫升 B．体积相等的两个木箱容积一定相等 C．1小袋牛奶约250升 D．一个笔袋的体积约640立方厘米 【答案】D 【分析】物体所占空间的大小叫做物体的体积；所能容纳物体的体积叫做物体的容积。所以计算体积时是从物体外面进行测量，计算容积时是从物体的里面测量。 常见的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米。立方厘米用字母表示是cm3，立方分米用字母表示是dm3，立方米用字母表示是m3。棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米；棱长1分米的正方体，体积是1立方分米；棱长1米的正方体，体积是1立方米。1个骰子的体积接近1立方厘米；1个魔方的体积接近1立方分米；教室讲台的体积接近1立方米。 计量水、油、饮料等液体的多少常用升作单位，升可以用字母“L”表示。棱长1分米的正方体容器的容量是1升（不计算壁厚）。计量比较少的液体，通常用毫升作单位，毫升可以用字母“mL”表示，1毫升水大约有十几滴。 【详解】A．一瓶酱油约1.75升，原题说法错误； B．体积相等的两个木箱厚度不一定相同，所以它们的容积不一定相等；原题说法错误； C．1小袋牛奶约250毫升；原题说法错误； D．联系生活实际可知，一个笔袋的体积约640立方厘米；原题说法正确。 说法正确的是：一个笔袋的体积约640立方厘米。 故答案为：D 【点睛】掌握体积和容积的测量方法，并结合题中数据联系生活实际选择合适的体积或容积单位是解答题目的关键。 74．（22-23五年级下·北京东城·期末）在括号里填上合适的体积单位或容积单位。 一本《新华字典》大约是0.6( )            一盒牛奶大约200( ) 【答案】 立方分米/dm3 毫升/mL 【分析】根据生活经验以及数据的大小，选择合适的计量单位，即可解答。 【详解】一本《新华字典》大约是0.6立方分米；一盒牛奶大约200毫升。 【点睛】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择。 75．（23-24五年级下·北京通州·期末）在括号里填上适当的计量单位。 一包A4复印纸的体积约是3.1( )； 一个集装箱的体积约是26( )； 一个茶杯的容积是100( )。 【答案】 立方分米/dm3 立方米/m3 毫升/mL 【分析】根据生活经验、对体积单位、容积单位和数据大小的认识可知， 粉笔盒的体积大约是1立方分米，所以计量一包A4复印纸的体积用立方分米作单位； 一个大衣柜的体积大约是1立方米，所以计量一个集装箱的体积用立方米作单位； 一瓶矿泉水大约是500毫升，所以计量一个茶杯的容积用毫升作单位。 【详解】一包A4复印纸的体积约是3.1立方分米； 一个集装箱的体积约是26立方米； 一个茶杯的容积是100毫升。 考点十、体积与容积单位间的进率及换算 1.进率体系 (1)相邻体积单位进率：1000 ①　 ②　 (2)容积与体积对应关系： ①　 ②　 (3)综合： ①　 ②　 2.换算方法 (1)高级单位 低级单位：乘以进率（小数点向右移3位）。 例： (2)低级单位 高级单位：除以进率（小数点向左移3位）。 例： 真题练习 76．（24-25五年级下·北京海淀·期末）2800mL＝( )L     0.5dm3＝( )cm3 【答案】 2.8 500 【分析】因为1L＝1000mL，将mL换算为L需除以进率1000。 1dm3＝1000cm3，将dm3换算为cm3需乘进率1000。 【详解】1L＝1000mL，2800÷1000＝2.8（L），所以2800mL＝2.8L； 1dm3＝1000cm3，0.5×1000＝500（cm3），所以0.5dm3＝500cm3。 77．（24-25五年级下·北京东城·期末）3.85立方米＝( )立方分米    5升70毫升＝( )升 【答案】 3850 5.07 【分析】根据1立方米＝1000立方分米，1升＝1000毫升，高级单位转化为低级单位乘进率，低级单位转化为高级单位除以进率，复名数换单名数，单位相同的不用换，单位不同的先统一单位，再加上之前没换单位部分的数，据此解答。 【详解】3.85×1000＝3850（立方分米） （升） 3.85立方米＝3850立方分米 5升70毫升＝5.07升 78．（24-25五年级下·北京房山·期末）3200mL＝( )L         0.05m3＝( )dm3 【答案】 3.2 50 【分析】高级单位化低级单位，乘单位之间的进率；低级单位化高级单位，除以单位之间的进率。1L＝1000mL，1m3＝1000dm3，据此解答。 【详解】3200÷1000＝3.2，则3200mL＝3.2L；          0.05×1000＝50，则0.05m3＝50dm3。 79．（24-25五年级下·北京西城·期末）4600毫升＝( )升        0.17立方分米＝( )立方厘米 【答案】 4.6 170 【分析】（1）1升＝1000毫升，低级单位转化成高级单位除以进率即可； （2）1立方分米＝1000立方厘米，高级单位转化成低级单位乘进率即可。 【详解】4600÷1000＝4.6（升），即4600毫升＝4.6升； 0.17×1000＝170（立方厘米），即0.17立方分米＝170立方厘米。 80．（23-24五年级下·北京海淀·期末）0.9立方分米＝( )立方厘米      83毫升＝( )升 2325立方厘米＝( )毫升       0.47立方分米＝( )毫升 【答案】 900 0.083 2325 470 【分析】（1）1立方分米＝1000立方厘米，高级单位转化成低级单位乘进率即可； （2）1升＝1000毫升，低级单位转化成高级单位除以进率即可； （3）1立方厘米＝1毫升，据此解答； （4）1立方分米＝1000立方厘米，1立方厘米＝1毫升，先根据高级单位转化成低级单位乘进率，先将立方分米转化成立方厘米，再转化成毫升，即可解答。 【详解】（1）0.9×1000＝900（立方厘米） 0.9立方分米＝900立方厘米 （2）83÷1000＝0.083（升） 83毫升＝0.083升 （3）2325立方厘米＝2325毫升 （4）0.47×1000＝470（立方厘米）＝470（毫升） 0.47立方分米＝470毫升 81．（23-24五年级下·北京昌平·期末）( )           8.6L＝( )L( )mL 【答案】 5.02 8 600 【分析】根据1dm3＝1000cm3，1L＝1000mL，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算即可。其中单名数换复名数，只换算小数部分即可。 【详解】5020÷1000＝5.02（dm3）；0.6×1000＝600（mL） 5.02；8.6L＝8L600mL 82．（23-24五年级下·北京东城·期末）350cm3＝( )dm3                2.08L＝( )mL 【答案】 0.35 2080 【分析】1dm3＝1000cm3，1L＝1000mL；高级单位换算成低级单位，乘进率；低级单位换算成高级单位，除以进率，据此解答。 【详解】350cm3＝350÷1000＝0.35dm3 2.08L＝2.08×1000＝2080mL 83．（23-24五年级下·北京海淀·期末）6.85升＝( )毫升           3600立方厘米＝( )立方分米           58毫升＝( )立方厘米 【答案】 6850 3.6 58 【分析】1升＝1000 毫升，1立方分米＝1000立方厘米，1毫升＝1立方厘米，高级单位化低级单位乘进率，低级单位化高级单位乘进率。 【详解】6.85×1000＝6850（毫升） 3600÷1000＝3.6（立方分米） 58毫升＝58立方厘米 所以6.85升＝6850毫升，3600立方厘米＝3.6立方分米，58毫升＝58立方厘米。 84．（24-25五年级下·北京大兴·期末）6600dm3＝( )m3    0.39dm3＝( )cm3    850mL＝( )L 【答案】 6.6 390 0.85 【分析】单位换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率；反之，就除以单位间的进率。根据1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1000立方厘米，1升＝1000毫升，解答此题即可。 【详解】6600÷1000＝6.6；0.391000＝390；850÷1000＝0.85 所以6600dm3＝6.6m3 0.39dm3＝390cm3 850mL＝0.85L。 考点十一、长方体、正方体的容积 1.计算方法 (1)公式与体积公式相同，但数据必须使用内部尺寸（内长、内宽、内高）。 (2) (3)若已知外部尺寸和壁厚，需先减去壁厚得到内部尺寸： ①　 ②　 ③　（若无盖，则减1个壁厚，视具体情况而定） 2.不规则物体体积测量（排水法） (1)原理：浸没在水中的物体体积等于它排开的水的体积（即水面上升部分的体积）。 (2)公式： ①　 ②　 (3)注意：物体必须完全浸没，且水不能溢出。若未完全浸没，则只能计算浸入部分的体积。 真题练习 85．（24-25五年级下·北京房山·期末）如图，在长方体盒子中摆了若干个体积为1dm3的小正方体，这个盒子的容积是( )dm3。 【答案】30 【分析】由图可知，长方体盒子的长是5dm、宽是3dm、高是2dm，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可解答。 【详解】5×3×2 ＝15×2 ＝30（） 所以这个盒子的容积是30。 86．（24-25五年级下·北京顺义·期末）下图中1个小球的体积是( )立方厘米，1个大球的体积是( )立方厘米。 【答案】 1 3 【分析】上升部分水的体积等于放入球的体积，2个大球和1个小球的总体积是7立方厘米，如果再放入5个小球，所有球的体积之和是12立方厘米，求出它们的体积之差就是5个小球的总体积，再除以5求出1个小球的体积，最后把1个小球的体积代入2个大球与1个小球的体积之和求出1个大球的体积，据此解答。 【详解】小球的体积：（12－7）÷5 ＝5÷5 ＝1（立方厘米） 大球的体积：（7－1）÷2 ＝6÷2 ＝3（立方厘米） 所以，1个小球的体积是1立方厘米，1个大球的体积是3立方厘米。 87．（24-25五年级下·北京大兴·期末）如图所示，一个棱长为10厘米的正方体玻璃容器中装有一些水，将一个高为8厘米的长方体铁块竖直放入水中，铁块还没有完全浸没时，水就满了。这个铁块浸没在水中的体积是( )立方厘米，整个铁块的体积是( )立方厘米。（玻璃的厚度忽略不计） 【答案】 300 400 【分析】（1）正方体容器棱长为10厘米，原来的水的高度是7厘米，可得水面上升的高度，水上升的体积就是铁块浸没在水中的体积，根据长方体的体积公式：长方体的体积＝长×宽×高，即可求解； （2）已知铁块高8厘米，浸没部分的高度是6厘米，由（1）可知铁块浸没的体积，用铁块浸没的体积除以浸没部分的高度，即可求出铁块的底面积，整个铁块的体积＝底面积×总高，即可求解。 【详解】（1）水面上升的高度：（厘米） 浸没的体积： （立方厘米） （2）铁块的底面积：（平方厘米） 整个铁块的体积：（立方厘米） 因此一个棱长为10厘米的正方体玻璃容器中装有一些水，将一个高为8厘米的长方体铁块竖直放入水中，铁块还没有完全浸没时，水就满了。这个铁块浸没在水中的体积是300立方厘米，整个铁块的体积是400立方厘米。 88．（24-25五年级下·北京朝阳·期末）亮亮发现了一块和鸡蛋大小差不多的石头，他想比较石头和鸡蛋的体积。亮亮做了一个实验（如下图，单位：厘米），通过实验发现( )（填“鸡蛋”或“石头”）的体积更大一些，大( )立方厘米。 【答案】 鸡蛋 8 【分析】根据第2幅图可知，水面上升部分的体积就是鸡蛋的体积，根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据，求出鸡蛋的体积；根据图3，由图2到图3，水面上升部分的体积等于石头的体积，据此求出石头的体积，再比较鸡蛋和石头的体积，用体积大的减去体积小的，进而解答。 【详解】10×8×（6.6－6） ＝80×0.6 ＝48（立方厘米） 10×8×（7.1－6.6） ＝80×0.5 ＝40（立方厘米） 48＞40 48－40＝8（立方厘米） 所以鸡蛋的体积更大，大8立方厘米。 89．（23-24五年级下·北京门头沟·期末）为了降低包装成本，某糕点厂简化了一款糕点的包装盒，使包装盒的盒壁变薄，如图所示，包装盒的体积( )，容积( )。（请选填：变大、变小、不变） 【答案】 变小 不变 【分析】体积是指物体所占空间的大小；容积是指木箱、油桶的等所能容纳物体的体积，即物体所含物质的体积，据此解答。 【详解】包装盒的盒壁变薄了，说明包装盒的体积变小； 包装盒里面所装的物体的重量不变，说明包装盒的容积不变。 为了降低包装成本，某糕点厂简化了一款糕点的包装盒，使包装盒的盒壁变薄，包装盒的体积变小，容积不变。 90．（24-25五年级下·北京昌平·期末）聪聪家买了一个长方体形状的鱼缸，长60厘米，宽40厘米，高50厘米。如果鱼缸要留出5厘米的高度不装水，这时鱼缸能装多少升水？ 【答案】108升 【分析】根据题意，高50厘米的长方体鱼缸内留出5厘米的高度不装水，则水的高度为（50－5）厘米；根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积；再根据进率“1升＝1000立方厘米”换算单位即可。 【详解】60×40×（50－5） ＝60×40×45 ＝2400×45 ＝108000（立方厘米） 108000立方厘米＝108升 答：这时鱼缸能装108升水。 91．（24-25五年级下·北京平谷·期末）在基地休息区，王阿姨为孩子们准备了鲜榨果汁和自制的小零食。盛果汁的容器是长3.2分米、宽2分米、高1.6分米的长方体。在容器中装满果汁，要分装在容积最大200毫升的杯子中，至少需要准备多少个杯子？ 【答案】52个 【分析】根据，代入数据计算长方体的体积把单位转化为毫升，再除以200，得数不是整数的要采用“进一法”保留整数，即可得解。 【详解】（立方分米） 10.24立方分米＝10240毫升 （个） 答：至少需要准备52个杯子。 92．（23-24五年级下·北京海淀·期末）长方体盒装牛奶一般有几种不同的规格，如：125毫升、200毫升、250毫升、500毫升、1000毫升等。淘气测得一个长方体盒装牛奶的外包装长6.3厘米、宽4厘米、高10.6厘米。请根据淘气测得的数据，判断这盒牛奶属于上面哪一种规格，并说明理由。（单位：厘米） 【答案】属于250毫升规格；理由见详解 【分析】体积是指物体所占空间的大小,容积是指某容器所能容纳别的物体的多少。淘气测得的外包装的长宽高数据能够计算这个盒装牛奶的体积，从包装盒内部测得的长宽高数据计算得到的才是容积。由于包装有一定的厚度，所以容积稍小于体积，据此计算体积，得到近似的容积，再与固有的几个规格比较，看接近哪个规格即可。 【详解】 （立方厘米） 267.12立方厘米＝267.12毫升 若包装盒内部测得的长宽高数据与外部一致，这盒牛奶的容积就是267.12毫升，实际上稍小于这个数值，那么与250毫升最为接近，这盒牛奶属于250毫升这个规格。 答：这盒牛奶属于250毫升这个规格。 93．（23-24五年级下·北京通州·期末）有一个正方体的水箱，从里面量棱长是60厘米。水箱中已经有一些水，水深35厘米。这个水箱最多还可以装多少升水？ 【答案】90升 【分析】水深35厘米，那么还有（60－35）厘米的高度可以装水。还可以装水的部分是一个长方体，根据长方体容积＝长×宽×高，列式求出这个水箱最多还可以装多少立方厘米的水。1升＝1000毫升＝1000立方厘米，据此进行单位换算。 【详解】60×60×（60－35） ＝3600×25 ＝90000（立方厘米） 90000立方厘米＝90000毫升＝90升 答：这个水箱最多还可以装90升水。 94．（24-25五年级下·北京西城·期末）下图是一个无盖长方体纸盒的展开图，李明测量并记录了数据（如下图）。这个长方体纸盒的容积是多少立方厘米？（纸的厚度忽略不计。） 【答案】54立方厘米 【分析】由图可知，这个长方体纸盒的底面是个正方形，所以长是6厘米，宽是6厘米，高是1.5厘米，根据长方体的容积＝长×宽×高，代入数值计算即可。 【详解】6×6×1.5＝54（立方厘米） 答：这个长方体纸盒的容积是54立方厘米。 95．（23-24五年级下·北京石景山·期末）下面是某航空公司对乘客随身携带液态物品的一些规定。张阿姨准备搭乘该航空公司的航班去旅行，她随身携带了一瓶长方体形状的化妆水，它的底面长和宽都是3.5厘米，高是10厘米，里面化妆水的高度是6厘米。她可以随身携带这瓶化妆水上飞机吗？（化妆水瓶厚度忽略不计） 【答案】不可以 【分析】先计算化妆水瓶的容积，根据，注意高应取瓶子高度，而不是化妆水高度，代入数据计算，再与100毫升比较，即可解答。 【详解】3.5×3.5×10 ＝12.25×10 ＝122.5（立方厘米） 122.5立方厘米＝122.5毫升 122.5＞100 答：她不可以随身携带这瓶化妆水上飞机。 96．（24-25五年级下·北京朝阳·期末）学校“巧巧手”社团的同学们为各班设计一款长方体的无盖鱼缸。在采购原材料的过程中，发现市场有以下几种不同规格的玻璃（单位：分米）。（玻璃的厚度忽略不计） ①可以怎样选取？请在选取的玻璃下面的（    ）里注明数量。 ②计算出这款长方体无盖鱼缸的容积。 【答案】①见详解；②120立方分米 【分析】要做无盖长方体鱼缸，需要5个面（缺少上面），且相对的面完全相同。要从玻璃中选1块当底面，4块当侧面（两两相同）。 ①观察玻璃规格，找能匹配的“长、宽、高”：假设底面用长6分米、宽5分米的玻璃（第4块，6×5），那么侧面需要：前后侧面（长6分米、高4分米）：对应第5块（6×4），选2块；左右侧面（宽5分米、高4分米）：对应第1块（4×5），选2块。 ②根据长方体容积公式：V＝长×宽×高（和体积公式相同，因为厚度忽略）。根据选取的玻璃，鱼缸长6分米、宽5分米、高4分米，代入公式计算即可。 【详解】 ① （答案不唯一） 举例1：长5、宽4的2块；长6、宽5的2块；长6、宽4的1块 举例2：长5、宽4的1块；长6、宽5的2块；长6、宽4的2块 举例3：长5、宽4的2块；长6、宽5的1块；长6、宽4的2块 ②6×5×4＝120（立方分米） 答：这款长方体无盖鱼缸的容积是120立方分米。 97．（24-25五年级下·北京西城·期末）张红家有一个长6分米，宽3分米，高5分米的无盖长方体玻璃鱼缸。由于鱼缸有一些破损，爷爷裁去了一部分，把它改造成了一个新型无盖鱼缸（如下图）。 （1）改造后鱼缸的玻璃总面积是多少平方分米？ （2）张红在改造后的鱼缸中倒入54升水，接着将一块假山石放入水中并完全浸没，此时鱼缸中水面的高度是3.5分米（如下图）。这块假山石的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）99平方分米 （2）9立方分米 【分析】（1）观察图形可知，裁去了一部分后，左右面是梯形；那么新型无盖鱼缸的5个面分别是：下面是长为6分米、宽是3分米的长方形，前面是长为6分米、宽为（5－1）分米的长方形，后面是长为6分米、宽为5分米的长方形，左右面是上底为（5－1）分米、下底为5分米、高为3分米的梯形； 根据长方形的面积＝长×宽，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，分别求出5个面的面积，再相加即是改造后鱼缸玻璃的总面积。 （2）已知将一块假山石完全浸没入水中，此时鱼缸中水面的高度是3.5分米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水面高度是3.5分米时水和假山石的体积之和，再减去水的体积，即是假山石的体积。注意单位的换算：1升＝1立方分米。 【详解】（1）5－1＝4（分米） 下面：6×3＝18（平方分米） 前面：6×4＝24（平方分米） 后面：6×5＝30（平方分米） 左右面： （4＋5）×3÷2×2 ＝9×3÷2×2 ＝27（平方分米） 总面积： 18＋24＋30＋27＝99（平方分米） 答：改造后鱼缸的玻璃总面积是99平方分米。 （2）54升＝54立方分米 6×3×3.5 ＝18×3.5 ＝63（立方分米） 63－54＝9（立方分米） 答：这块假山石的体积是9立方分米。 【点睛】（1）本题考查长方体表面积公式的灵活应用，关键是分析出新型无盖鱼缸的5个面是由哪些图形组合而成，进而根据图形的面积公式求出鱼缸的总面积。 （2）本题考查长方体体积公式的实际应用，理解假山石浸没水中后水的高度3.5分米，此时的体积包含水和假山石的体积之和是解题的关键。 98．（24-25五年级下·北京海淀·期末）学校新建了一个游泳池，围绕“游泳池的注水量”问题，数学小组的同学们展开了研究。他们从内部测量出游泳池长25米，宽10米，游泳池最浅处深1.2米，游泳池最深处深1.6米，是一个不规则的立体图形。为了便于思考，同学们画出了下面的示意图。 （1） （2）注满这个游泳池，需要多少立方米的水？ （3）请你换个新角度想一想，如何用其他方法求出注满这个游泳池需要多少立方米的水。尝试写出你解决问题的思路，如果有需要，可以在下面的示意图上标一标、画一画。 【答案】（1）300立方米到400立方米 （2）350立方米 （3）350立方米；方法见详解 【分析】（1）已知这个游泳池最浅处深1.2米，游泳池最深处深1.6米，根据长方体的容积公式V＝abh，分别求出高最小1.2米和高最大1.6米的长方体容积，也就是注水量的大致范围。 （2）根据老爷爷的提示，补一个和原游泳池完全一样的游泳池，和原游泳池拼成一个新游泳池，新游泳池是一个长为25米、宽为10米，高为（1.2＋1.6）米的长方体，根据长方体的容积公式V＝abh，求出新游泳池的容积，再除以2，即是原游泳池的容积。 （3）如下图，把不规则的游泳池分成上下两部分，下面是一个长为25米、宽为10米、高为1.2米的长方体，根据长方体的容积公式V＝abh，求出这个长方体的容积； 上面的立体图形截面是一个底为25米、高为（1.6－1.2）米的三角形，先根据三角形的面积公式S＝ah÷2，求出截面的面积；再根据公式V＝Sh求出这个立体图形的容积； 最后把两个图形的体积相加，就是原游泳池的体积。 【详解】（1）25×10×1.2＝300（立方米） 25×10×1.6＝400（立方米） 答：注水量的大致范围是300立方米到400立方米。 （2）25×10×（1.2＋1.6） ＝25×10×2.8 ＝700（立方米） 700÷2＝350（立方米） 答：注满这个游泳池，需要350立方米的水。 （3）如图： 25×10×1.2＝300（立方米） 25×（1.6－1.2）÷2×10 ＝25×0.4÷2×10 ＝5×10 ＝50（立方米） 300＋50＝350（立方米） （方法不唯一） 答：注满这个游泳池，需要350立方米的水。 【点睛】（1）本题考查长方体容积公式的灵活运用。 （2）借助研究平面图形面积的经验，用一个相同的不规则游泳池和原游泳池组合成一个规则的长方体，再利用长方体的容积公式求出新长方体的体积，除以2即可。 （3）利用分割法，把不规则游泳池图形分割成两部分，分别计算出容积，再相加即可。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 58 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 长方体和正方体 考点一、长方体和正方体的认识及特征 1.长方体的特征 (1)面：有6个面，一般都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）。相对的面完全相同（面积相等）。 (2)棱：有12条棱。相对的棱长度相等。可分为3组（长、宽、高），每组4条。 (3)顶点：有8个顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 (4)特殊长方体：若有两个相对的面是正方形，则其余4个面是完全相同的长方形，且这4个面的面积相等，对应的8条棱长度相等。 2.正方体的特征 (1)面：有6个面，都是完全相同的正方形。 (2)棱：有12条棱，长度都相等。 (3)顶点：有8个顶点。 (4)关系：正方体是特殊的长方体（长、宽、高都相等的长方体）。 真题练习 1．（24-25五年级下·北京房山·期末）一个长15cm、宽10cm、高3cm的长方体形状的物体，它可能是（    ）。 A．粉笔盒 B．新华字典 C．一张A4纸 D．教室木门 2．（23-24五年级下·北京通州·期末）一个长26厘米，宽18厘米，高0.6厘米的物体，最有可能的是（    ）。 A．数学书 B．电视机 C．新华字典 D．常见手机 3．（23-24五年级下·北京朝阳·期末）下面提供的材料正好能拼成长方体的是（    ）。 A． B． C． D． 4．（24-25五年级下·北京东城·期末）从下面6类图形中选择6个拼成一个长方体，长方体的长、宽、高如图所示：（单位：cm），正确的选项是（    ）。 A．2个A、2个B、2个C B．2个B、2个C、2个D C．2个B、2个C、2个E D．2个B、2个C、2个F 5．（23-24五年级下·北京海淀·期末）在围长方体的操作活动中，老师为每位同学准备了如下图所示的五种纸板各若干张。（单位：cm） 要围成一个长方体，淘气先选择了1块①号纸板做底面，他还需要再选择（    ）。 A．①号2块，②号3块 B．①号1块，②号2块，③号2块 C．①号1块，③号2块，④号2块 D．①号1块，③号2块，⑤号2块 6．（23-24五年级下·北京海淀·期末）淘气用5个黏球和4根10cm、4根6cm的小棒，搭成了一个底座是正方形的“金字塔”，如下图所示（单位：cm）。他想把这个“金字塔”改搭成一个长方体框架，还需要（    ）。 A．2个黏球，2根10cm和2根6cm的小棒 B．2个黏球，4根10cm的小棒 C．3个黏球，2根10cm和2根6cm的小棒 D．3个黏球，4根6cm的小棒 7．（24-25五年级下·北京丰台·期末）用下面给定的材料，能组成长方体的是（    ）。 A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 8．（23-24五年级下·北京丰台·期末）数学课上，强强在学具盒中选择学具袋，用其中的小棒搭建长方体或正方体框架，下面（    ）号袋中的小棒不能搭建成功。 小棒长度 1号袋 2号袋 3号袋 4号袋 15厘米 6根 10根 5根 12根 9厘米 5根 3根 8根 2根 6厘米 5根 3根 3根 2根 A．1 B．2 C．3 D．4 考点二、长方体和正方体有关棱长的应用 1.棱长总和公式 (1)长方体棱长总和： ①　逆运算求长宽高之和： (2)正方体棱长总和： ①　逆运算求棱长： 2.常见应用场景 (1)框架制作：计算焊接一个长方体或正方体框架所需的铁丝/钢管总长度。 (2)捆扎问题：计算捆扎礼盒所需的丝带长度。 ①　十字捆扎：通常涉及 （具体需根据图示判断经过的面和棱）。 (3)切割/拼接对棱长的影响： ①　切割会增加新的面和棱；拼接会减少接触面的棱（但在计算总棱长时通常不直接考拼接后的棱长变化，更多考表面积变化，此处主要关注单一体模型的棱长计算）。 真题练习 9．（24-25五年级下·北京通州·期末）张阿姨给长方体快递盒捆胶带，如图所示，前后捆绑一圈用胶带40厘米，左右捆绑一圈用胶带60厘米，中间捆绑一圈用胶带100厘米（接头处忽略不计）。这个长方体快递盒的棱长和是（    ）厘米。 A．1550 B．800 C．400 D．200 10．（24-25五年级下·北京房山·期末）快递公司的李叔叔正在包装一件商品。他先用长方体纸箱把商品包装好，再用胶带粘起来（如图），求一共要用胶带多少厘米？（接头处忽略不计）以下算式正确的是（    ）。 A．13×8＋15×6＋25×2 B．13×6＋15×4＋25×2 C．13×4＋15×4＋25×2 D．13×6＋15×4＋25×4 11．（23-24五年级下·北京海淀·期末）用3个完全一样的正方体拼成一个长方体（如图），拼成后的长方体棱长总和为60cm，原来一个正方体的棱长是（    ）cm。 A．3 B．5 C．10 D．36 12．（23-24五年级下·北京昌平·期末）下图是一个长方体纸盒的上面，这个长方体纸盒有两个相对的面是正方形。这个长方体纸盒的棱长总和最大是（    ）cm。（可以先画一画长方体，再解决问题） A．36 B．56 C．76 D．96 13．（24-25五年级下·北京大兴·期末）李叔叔用胶带对一件商品的包装箱进行加固，如图所示。按照这样的加固方法，至少需要多少分米的胶带？（接头处忽略不计） 14．（24-25五年级下·北京昌平·期末）一个棱长是30厘米的正方体礼盒（如下图），像这样用丝带捆扎起来（打结处需25厘米），至少需要丝带的长度是多少厘米？ 15．（24-25五年级下·北京平谷·期末）李叔叔设计了一个木工游戏区，小朋友可以在这里根据给出的木制材料，拼搭各种几何图形。现有两根长度为1米的木条，请你充分利用这两根木条，制作一个有两个面是正方形的长方体框架，可以根据需要进行截取。先在木条上标记截取方法和数据，再画出框架草图，标出长、宽、高的数据。 16．（23-24五年级下·北京丰台·期末）端午节是中国的传统节日，粽子是不可或缺的主题。陕西商洛的槲叶粽子不仅香气逼人，形状也与众不同，是近似的长方体。张阿姨准备包30个这样的粽子，买10米长的线团够用吗？ 考点三、长方体和正方体的展开图 1.长方体展开图 (1)由6个长方形组成（特殊情况含2个正方形）。 (2)相对面规律：在展开图中，相对的面通常中间隔着一个面，或者呈现“Z”字形两端。 (3)折叠还原：能想象出哪个面是底面，哪个面是侧面，从而确定长、宽、高对应的边。 2.正方体展开图（11种基本型） (1)“1-4-1”型（6种）：中间4个连成串，两边各一个，位置可移动。 (2)“2-3-1”型（3种）：中间3个连成串，一边2个，一边1个。 (3)“2-2-2”型（1种）：楼梯状。 (4)“3-3”型（1种）：两排各3个，错开排列。 (5)排除法口诀：“田”字格、“凹”字型、“7”字型（一线不过四，田凹应弃之）均不能折成正方体。 3.应用重点 (1)判断给定的平面图形能否围成长方体或正方体。 (2)根据展开图找出相对的面，用于后续表面积计算中缺失面的判断。 真题练习 17．（24-25五年级下·北京丰台·期末）沿虚线折叠，不能折成长方体或正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 18．（24-25五年级下·北京丰台·期末）小芳在一张长方形纸上设计了长方体展开图，想折叠成如下图的长方体纸盒。她选择的是下面4张纸中的（    ）。（图中单位为厘米） A． B． C． D． 19．（23-24五年级下·北京西城·期末）将下面的展开图围成正方体后，与“有”字相对的是（    ）字。 A．者 B．事 C．竟 D．成 20．（24-25五年级下·北京朝阳·期末）骰子是一种常见的正方体游戏工具，古时候多用骨头或木头制成。它的六个面分别标有1～6个点，相对两个面的点数相加都等于7。下图是一个骰子和它的展开图，其中三个面已经画好，如果完全画好，正确的展开图是（    ）。 A． B． C． D． 21．（22-23五年级下·北京通州·期末）请在展开图上把下面、左面和后面标出来。 22．（23-24五年级下·北京东城·期末）丽丽要把下面长方体展开图折成长方体。 (1)如果A面在底面，那么( )面在上面。 (2)用胶带沿棱将所有接缝处进行粘合，她至少需要用( )厘米的胶带。（提示：可以先画一画需要粘合的边再填空。） 考点四、长方体表面积的计算及应用 1.表面积定义：长方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 2.计算公式 (1)通用公式： (2)字母公式： 3.实际应用中的变式（去面法） (1)计算时需根据具体情况确定计算几个面： ①　无盖鱼缸/水池：5个面（去掉上面）。 ②　通风管/烟囱：4个面（去掉上下底面，即前后左右）。 或 ③　粉刷教室/墙壁：通常5个面（去掉地面），且需扣除门窗黑板面积。 ④　贴商标纸：通常4个侧面。 真题练习 23．（23-24五年级下·北京通州·期末）小东用一张长方形纸板折出了长方体的两个面（如下图），然后用其他纸板做出其他四个面围成一个长方体，小东制作这个长方体至少需要纸板( )平方厘米。 24．（23-24五年级下·北京昌平·期末）外卖行业一定程度上方便了人们的生活。下图是常见的外卖送餐包的示意图。做一个这样的送餐包至少需要多少平方厘米的材料？（舌头部分、重叠部分忽略不计） 25．（23-24五年级下·北京通州·期末）一种香皂的包装盒是长方体的，要用包装纸包装两个香皂盒。为了节省材料，想把两个香皂盒包装在一起（包装纸重叠处忽略不计）。三位同学分别设计了不同的包装方法。 这样包装，比单独包装每个香皂盒节约了24平方厘米的包装纸。 这样包装，比单独包装每个香皂盒节约了48平方厘米的包装纸。 这样包装，比单独包装每个香皂盒节约了64平方厘米的包装纸。 一个香皂盒的表面积是多少平方厘米？ 26．（23-24五年级下·北京海淀·期末）为积极推动治理塑料污染，国家倡导商场、超市等场所推广使用环保布袋、纸袋等可降解、可循环、易回收的环保购物袋。某商场要制作一种如下图所示的纸袋（单位：cm），制作一个这种纸袋至少需要多少平方厘米的纸？（重叠部分约需要400cm2的纸） 27．（24-25五年级下·北京海淀·期末）要在长方体饼干盒的侧面贴上一圈商标纸，如下图。至少需要贴多少平方厘米的商标纸？（单位：厘米） 28．（24-25五年级下·北京大兴·期末）一间教室长8米，宽6米，高3米（其中门窗所占面积是26平方米）。现在要粉刷这间教室的屋顶和四面墙壁，除去门窗，粉刷的面积是多少平方米？ 29．（23-24五年级下·北京房山·期末）工人师傅用木板制作一个长方体种植箱，种植箱的长、宽、高如下图所示，制作这个种植箱需要多少平方分米木板？ 30．（24-25五年级下·北京朝阳·期末）亮亮想制作一个长方体的礼品包装盒。他在方格纸上画出了这个长方体包装盒的展开图。（每个小正方形的边长为1分米，纸板厚度、接口部分忽略不计） ①这个长方体包装盒的长是（    ）分米，宽是（    ）分米，高是（    ）分米。 ②计算出这个长方体包装盒的表面积。 31．（24-25五年级下·北京东城·期末）张爷爷打算按下面的步骤制作一个灯箱。他用一根长36分米的铝合金条先制作一个棱长为整分米数的长方体灯箱框架（接口处忽略不计，且无剩余）。 制作灯箱的步骤 ①先用铝合金条制作一个框架。 ②安装彩灯。 ③6个面围上灯箱布。 （1）请你帮助张爷爷设计出3种不同的方案，并把相关数据填在下表中。 方案 长/分米 宽/分米 高/分米 方案1  □ 方案2  □ 方案3  □ （2）从上面三个方案中任选一个方案（在□里画“√”），算出所选方案至少需要灯箱布多少平方分米？（粘接处忽略不计） 32．（24-25五年级下·北京平谷·期末）一块长2米、宽0.2米、高0.4米的长方体木头，被李叔叔如图所示平均分成四块后，准备做成四个木秋千。这块木头被分开后，表面积增加了多少平方米？ 33．（23-24五年级下·北京石景山·期末）王亮爱好航模，他为航模飞机制作了展示盒（如图）。除了底面，其它各面都用了亚克力材料。制作这个展示盒，至少需要多少平方分米的亚克力板（亚克力板的厚度忽略不计）？（单位：分米） 34．（24-25五年级下·北京房山·期末）某品牌巧克力1盒的尺寸如图： （1）每盒巧克力需要多少平方厘米的包装材料？（接口处忽略不计） （2）如果将2盒巧克力拼装成一大盒出售，请你设计出一种最节省材料的包装盒。（表达清楚包装盒的形状、大小及设计理由） 35．（23-24五年级下·北京密云·期末）新建一个游泳池，长50米，宽25米，深2.5米。在游泳池的底面和四周都抹一层水泥，如果每平方米用水泥12千克。至少需要用水泥多少千克？ 36．（24-25五年级下·北京通州·期末）有一个底面是正方形的长方体铁皮油桶。如果把它的侧面展开正好得到一个边长是80厘米的正方形，做这样的一个油桶至少需要铁皮多少平方分米？ 考点五、正方体表面积的计算及应用 1.计算公式 (1)通用公式： (2)字母公式： 2.实际应用变式 (1)无盖正方体盒子：5个面。 (2)正方体通风管：4个面。 (3)切割增加表面积： ①　切一刀增加2个面。 ②　切成 段，增加 个面。 ③　增加的面积 = 新增面数 截面面积。 真题练习 37．（24-25五年级下·北京平谷·期末）李明将三个正方体木块黏合成一个模型（如下图），它们的棱长分别是1分米、2分米、3分米。这个模型的表面积是（    ）。 A．84平方分米 B．80平方分米 C．74平方分米 D．70平方分米 38．（24-25五年级下·北京西城·期末）一个正方体的棱长是10cm，它的表面积是( )cm2。 39．（23-24五年级下·北京石景山·期末）用一根36厘米长的铁丝做一个正方体框架。如果将它的每个面都围上纸片，至少需要( )平方厘米的纸片。 40．（23-24五年级下·北京昌平·期末）中国灯笼是一种古老的传统工艺品。乐乐用一根24dm长的铁丝围了一个正方体灯笼框架，这个正方体灯笼的棱长是( )dm，如果给这个灯笼的四周围上灯笼布（上下面空着），至少需要( )dm2的灯笼布。 41．（24-25五年级下·北京平谷·期末）（1）李叔叔因地制宜打造了一个沙包游戏活动区，想请王阿姨帮忙缝制一些棱长为1分米的正方体沙包。因为在制作时需要缝合，沙包的每个面在裁剪时均为边长1.1分米的正方形。缝制这样的一个沙包需要多少平方分米的花布？ （2）王阿姨找到一块长1.8米、宽1.7米的花布，可以做多少个上面这样的沙包？（沙包的每个面不能用碎花布拼接） 考点六、体积和体积单位的认识 1.体积定义：物体所占空间的大小叫做物体的体积。 2.常用体积单位 (1)立方厘米 ( )：棱长为1cm的正方体的体积。适用于较小物体（如橡皮、手指头）。 (2)立方分米 ( )：棱长为1dm的正方体的体积。适用于中等物体（如粉笔盒、西瓜）。 (3)立方米 ( )：棱长为1m的正方体的体积。适用于较大物体（如集装箱、房间空间）。 真题练习 42．（23-24五年级下·北京朝阳·期末）下列物体中，（    ）的体积最接近1立方厘米。 A． B． C． D． 43．（22-23五年级下·北京顺义·期末）一本数学书的体积约（    ）。 A．3000cm3 B．300cm3 C．30cm3 D．20cm3 44．（22-23五年级下·北京朝阳·期末）在实际生活中，下面物品的体积最接近1立方分米的是（    ）。 A． B． C． D． 考点七、长方体的体积 1.计算公式 (1)基本公式： (2)字母公式： (3)统一公式： (4)字母公式： （其中 为底面积， 为高） 真题练习 45．（24-25五年级下·北京顺义·期末）根据下图中的信息，计算出这个长方体的体积是（    ）立方厘米。 A．324 B．486 C．594 D．2916 46．（24-25五年级下·北京通州·期末）长方体有六个面。从如图的8个长方形中选6个，正好围成一个长方体（单位：厘米）。这个长方体的体积是（    ）立方厘米。 A．192 B．240 C．320 D．480 47．（23-24五年级下·北京顺义·期末）一个长方体（如图），如果宽减少3分米，长和高不变，形成的新长方体的体积减少了（    ）立方分米。 A．ah（b－3） B．3ab C．3ah D．3bh 48．（24-25五年级下·北京平谷·期末）李师傅将一个长3分米、宽与高都是2分米的长方体木块，挖去一个棱长1分米的小正方体（如图）。下面表述错误的是（    ）。 A．原来长方体体积是12立方分米 B．挖去的小正方体体积是1立方分米 C．挖去小正方体后，原来长方体体积减少了 D．挖去小正方体后，原来长方体表面积减少了 49．（24-25五年级下·北京通州·期末）一根截面是正方形的长方体木料，木料长2米。把它与截面平行等分成3段后，表面积增加了8平方分米，这根长方体木料的体积是( )立方分米。 50．（23-24五年级下·北京朝阳·期末）根据航空公司的规定，乘坐飞机时，随身行李箱和托运行李箱的尺寸要求如下图，随身行李箱的体积是( )立方厘米。 51．（24-25五年级下·北京通州·期末）小睿用一个长8厘米，宽7厘米，高6厘米的长方体容器做实验。他先往容器中倒入5厘米深的水，再把一块棱长4厘米的正方体铁块放入水中，水( )溢出来。（填“会”或者“不会”） 52．（23-24五年级下·北京东城·期末）下图是冰雪大世界冰灯展区的一个冰雕作品“数字0”，它的体积是( )立方分米。（单位：分米） 53．（23-24五年级下·北京石景山·期末）计算下图长方体的表面积和体积。（单位：厘米） 54．（24-25五年级下·北京平谷·期末）李叔叔很喜欢养鱼，所以在基地修了一个长30米、宽20米、深2.2米的长方体小鱼池，又往鱼池中加了1.2米深的水。鱼池中水的体积是多少立方米？ 55．（24-25五年级下·北京顺义·期末）下图是由四个形状、大小完全相同的长方体柜子组成的电视柜，表面积比原来四个长方体柜子表面积的总和少了0.72平方米。这个电视柜的体积是多少立方米？ 56．（24-25五年级下·北京房山·期末）北京2022年冬奥会和冬残奥会，国家游泳中心“水立方”化身为“冰立方”，成为世界首座完成“水冰转换”的奥运场馆。作为冰壶比赛的场馆，“冰立方”改造出4条达到国际最高标准的冰壶赛道（如图）。每条赛道长44.5米，宽约4米，赛道上冰层厚度约为0.08米。每条冰壶赛道内约有多少立方米的冰？ 57．（24-25五年级下·北京丰台·期末）某航天实验室研究出一种可折叠的太阳翼，通过吸收太阳光为航天器提供能量。发射前，太阳翼在图1的基础上，以2片为一层、共8层进行收缩折叠成一个只有10厘米厚的长方体形状藏在卫星里。在轨工作时，太阳翼会完全展开成一个如图2的大长方形。这种太阳翼折叠时的体积是多少立方米？ 58．（23-24五年级下·北京密云·期末）（如下图）一块长方体木块，从上部和下部分别截去高3厘米和2厘米的小长方体后，成为一个正方体。表面积减少120平方厘米，原来长方体体积是多少立方厘米？ 59．（23-24五年级下·北京密云·期末）工人要将长15厘米，宽和高都是3厘米的长方体牙膏盒装入纸箱中。纸箱里面的尺寸如图，（单位：厘米）。这个纸箱最多能装多少个这种牙膏盒？ 60．（23-24五年级下·北京朝阳·期末）丽丽想制作一个长方体纸盒。她先在一张边长为30厘米的正方形纸上绘制出这个长方体纸盒的展开图（如下图）。然后准备将涂色部分裁掉，借助胶条粘贴成长方体。已知长方体的宽是高的2倍，那么这个长方体的体积是多少立方厘米？ 61．（23-24五年级下·北京丰台·期末）兰兰参加了学校的“创意木工坊”。她领取了一根长木条和一块木板制作小木凳。兰兰想将长木条截成4段同样长的短木条做凳腿（如图所示）。截开后，4段短木条表面积之和比长木条的表面积增加了150平方厘米。兰兰领取的这根长木条的体积是多少立方厘米？ 考点八、正方体的体积 1.计算公式 (1)基本公式： (2)字母公式： （读作：a的立方，表示3个a相乘，不是 ） (3)统一公式： （正方体底面积 ，高 ，故 ） 真题练习 62．（24-25五年级下·北京通州·期末）如图，一个棱长是4cm的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1cm的小正方体后，下面说法正确的是（    ）。 A．体积减少，表面积减少 B．体积减少，表面积增加 C．体积减少，表面积不变 D．体积不变，表面积不变 63．（24-25五年级下·北京平谷·期末）李明用一些棱长是2厘米的小正方体木块拼了一个模型，从前面、右面、上面三个角度观察模型，分别看到下面三个图形。这个模型的体积是（    ）。 A．48立方厘米 B．56立方厘米 C．64立方厘米 D．72立方厘米 64．（22-23五年级下·北京顺义·期末）芳芳用棱长1厘米的小正方体搭了一个几何体，从正面、左面和上面看到的图形分别如下图。这个几何体的体积是（    ）cm3。 A．2 B．3 C．4 D．5 65．（22-23五年级下·北京东城·期末）一个正方体的棱长是5cm，它的棱长总和是( )cm，体积是( )cm3。 66．一个正方体的棱长总和是48厘米，它的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 67．（24-25五年级下·北京朝阳·期末）榫卯结构是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式。在一块棱长为5厘米的正方体木料上挖一个棱长为2厘米的正方体，再向下挖一个棱长为1厘米的正方体（如图）。这个木块体积一共减少了( )立方厘米。 考点九、容积和容积单位的认识 1.容积定义：箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。 2.常用容积单位 (1)升 (L)：主要用于液体或较大容器。 (2)毫升 (mL)：主要用于少量液体（如药水、饮料）。 (3)关系： 3.容积与体积的区别与联系 (1)区别： ①　意义不同：体积指物体自身占空间大小；容积指容器内部能装多少。 ②　测量方法不同：体积从物体外部测量长宽高；容积从容器内部测量长宽高。 ③　大小关系：对于同一容器，体积 > 容积（因为容器壁有厚度）。若忽略壁厚，则数值相等。 (2)联系：计算方法相同（都是长 宽 高）。 真题练习 68．（24-25五年级下·北京昌平·期末）小明把一个拳头伸进装满水的长方体玻璃容器中，溢出的水的体积大约是（    ）。 A．250毫升 B．2.5升 C．2.5毫升 D．25毫升 69．（24-25五年级下·北京顺义·期末）下面（    ）适合用mL来度量。 A．一个矿泉水瓶的容积 B．马桶水箱的容积 C．汽车油箱的容积 D．电冰箱的容积 70．（24-25五年级下·北京平谷·期末）如图，这样一本新华字典的体积大约521（    ）。 A．毫升 B．立方厘米 C．立方分米 D．立方米 71．（24-25五年级下·北京大兴·期末）1支口服液，如图所示。它的净含量是（    ）。 A．1mL B．10mL C．1L D．10L 72．（23-24五年级下·北京海淀·期末）如图所示，小勺大约能装水（    ）。 A．2mL B．20mL C．200mL D．2L 73．（22-23五年级下·北京丰台·期末）下面说法正确的是（    ）。 A．一瓶酱油约1.75毫升 B．体积相等的两个木箱容积一定相等 C．1小袋牛奶约250升 D．一个笔袋的体积约640立方厘米 74．（22-23五年级下·北京东城·期末）在括号里填上合适的体积单位或容积单位。 一本《新华字典》大约是0.6( )            一盒牛奶大约200( ) 75．（23-24五年级下·北京通州·期末）在括号里填上适当的计量单位。 一包A4复印纸的体积约是3.1( )； 一个集装箱的体积约是26( )； 一个茶杯的容积是100( )。 考点十、体积与容积单位间的进率及换算 1.进率体系 (1)相邻体积单位进率：1000 ①　 ②　 (2)容积与体积对应关系： ①　 ②　 (3)综合： ①　 ②　 2.换算方法 (1)高级单位 低级单位：乘以进率（小数点向右移3位）。 例： (2)低级单位 高级单位：除以进率（小数点向左移3位）。 例： 真题练习 76．（24-25五年级下·北京海淀·期末）2800mL＝( )L     0.5dm3＝( )cm3 77．（24-25五年级下·北京东城·期末）3.85立方米＝( )立方分米    5升70毫升＝( )升 78．（24-25五年级下·北京房山·期末）3200mL＝( )L         0.05m3＝( )dm3 79．（24-25五年级下·北京西城·期末）4600毫升＝( )升        0.17立方分米＝( )立方厘米 80．（23-24五年级下·北京海淀·期末）0.9立方分米＝( )立方厘米      83毫升＝( )升 2325立方厘米＝( )毫升       0.47立方分米＝( )毫升 81．（23-24五年级下·北京昌平·期末）( )           8.6L＝( )L( )mL 82．（23-24五年级下·北京东城·期末）350cm3＝( )dm3                2.08L＝( )mL 83．（23-24五年级下·北京海淀·期末）6.85升＝( )毫升           3600立方厘米＝( )立方分米           58毫升＝( )立方厘米 84．（24-25五年级下·北京大兴·期末）6600dm3＝( )m3    0.39dm3＝( )cm3    850mL＝( )L 考点十一、长方体、正方体的容积 1.计算方法 (1)公式与体积公式相同，但数据必须使用内部尺寸（内长、内宽、内高）。 (2) (3)若已知外部尺寸和壁厚，需先减去壁厚得到内部尺寸： ①　 ②　 ③　（若无盖，则减1个壁厚，视具体情况而定） 2.不规则物体体积测量（排水法） (1)原理：浸没在水中的物体体积等于它排开的水的体积（即水面上升部分的体积）。 (2)公式： ①　 ②　 (3)注意：物体必须完全浸没，且水不能溢出。若未完全浸没，则只能计算浸入部分的体积。 真题练习 85．（24-25五年级下·北京房山·期末）如图，在长方体盒子中摆了若干个体积为1dm3的小正方体，这个盒子的容积是( )dm3。 86．（24-25五年级下·北京顺义·期末）下图中1个小球的体积是( )立方厘米，1个大球的体积是( )立方厘米。 87．（24-25五年级下·北京大兴·期末）如图所示，一个棱长为10厘米的正方体玻璃容器中装有一些水，将一个高为8厘米的长方体铁块竖直放入水中，铁块还没有完全浸没时，水就满了。这个铁块浸没在水中的体积是( )立方厘米，整个铁块的体积是( )立方厘米。（玻璃的厚度忽略不计） 88．（24-25五年级下·北京朝阳·期末）亮亮发现了一块和鸡蛋大小差不多的石头，他想比较石头和鸡蛋的体积。亮亮做了一个实验（如下图，单位：厘米），通过实验发现( )（填“鸡蛋”或“石头”）的体积更大一些，大( )立方厘米。 89．（23-24五年级下·北京门头沟·期末）为了降低包装成本，某糕点厂简化了一款糕点的包装盒，使包装盒的盒壁变薄，如图所示，包装盒的体积( )，容积( )。（请选填：变大、变小、不变） 90．（24-25五年级下·北京昌平·期末）聪聪家买了一个长方体形状的鱼缸，长60厘米，宽40厘米，高50厘米。如果鱼缸要留出5厘米的高度不装水，这时鱼缸能装多少升水？ 91．（24-25五年级下·北京平谷·期末）在基地休息区，王阿姨为孩子们准备了鲜榨果汁和自制的小零食。盛果汁的容器是长3.2分米、宽2分米、高1.6分米的长方体。在容器中装满果汁，要分装在容积最大200毫升的杯子中，至少需要准备多少个杯子？ 92．（23-24五年级下·北京海淀·期末）长方体盒装牛奶一般有几种不同的规格，如：125毫升、200毫升、250毫升、500毫升、1000毫升等。淘气测得一个长方体盒装牛奶的外包装长6.3厘米、宽4厘米、高10.6厘米。请根据淘气测得的数据，判断这盒牛奶属于上面哪一种规格，并说明理由。（单位：厘米） 93．（23-24五年级下·北京通州·期末）有一个正方体的水箱，从里面量棱长是60厘米。水箱中已经有一些水，水深35厘米。这个水箱最多还可以装多少升水？ 94．（24-25五年级下·北京西城·期末）下图是一个无盖长方体纸盒的展开图，李明测量并记录了数据（如下图）。这个长方体纸盒的容积是多少立方厘米？（纸的厚度忽略不计。） 95．（23-24五年级下·北京石景山·期末）下面是某航空公司对乘客随身携带液态物品的一些规定。张阿姨准备搭乘该航空公司的航班去旅行，她随身携带了一瓶长方体形状的化妆水，它的底面长和宽都是3.5厘米，高是10厘米，里面化妆水的高度是6厘米。她可以随身携带这瓶化妆水上飞机吗？（化妆水瓶厚度忽略不计） 96．（24-25五年级下·北京朝阳·期末）学校“巧巧手”社团的同学们为各班设计一款长方体的无盖鱼缸。在采购原材料的过程中，发现市场有以下几种不同规格的玻璃（单位：分米）。（玻璃的厚度忽略不计） ①可以怎样选取？请在选取的玻璃下面的（    ）里注明数量。 ②计算出这款长方体无盖鱼缸的容积。 97．（24-25五年级下·北京西城·期末）张红家有一个长6分米，宽3分米，高5分米的无盖长方体玻璃鱼缸。由于鱼缸有一些破损，爷爷裁去了一部分，把它改造成了一个新型无盖鱼缸（如下图）。 （1）改造后鱼缸的玻璃总面积是多少平方分米？ （2）张红在改造后的鱼缸中倒入54升水，接着将一块假山石放入水中并完全浸没，此时鱼缸中水面的高度是3.5分米（如下图）。这块假山石的体积是多少立方分米？ 98．（24-25五年级下·北京海淀·期末）学校新建了一个游泳池，围绕“游泳池的注水量”问题，数学小组的同学们展开了研究。他们从内部测量出游泳池长25米，宽10米，游泳池最浅处深1.2米，游泳池最深处深1.6米，是一个不规则的立体图形。为了便于思考，同学们画出了下面的示意图。 （1） （2）注满这个游泳池，需要多少立方米的水？ （3）请你换个新角度想一想，如何用其他方法求出注满这个游泳池需要多少立方米的水。尝试写出你解决问题的思路，如果有需要，可以在下面的示意图上标一标、画一画。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 58 页 学科网（北京）股份有限公司 $