专题04 比例（9大考点72道题）（期末真题汇编）六年级数学下学期（北京专用·人教版）

专题04 比例 考点一、比例的意义 1. 定义 (1)比：两个数相除又叫做两个数的比。 (2)比例：表示两个比相等的式子叫做比例。 (3)形式： 或 。 2. 判断依据 (1)判断两个比能否组成比例，关键看它们的比值是否相等。 (2)若 （即比值 相同），则 成立。 3. 比与比例的区别 (1)意义不同：比表示两个数相除；比例表示两个比相等。 (2)项数不同：比有2项（前项、后项）；比例有4项（两个外项、两个内项）。 (3)基本性质不同：比的基本性质是化简比的依据；比例的基本性质是解比例的依据。 真题练习 1．（23-24六年级下·北京房山·期末）下列各比中，能与2∶5组成比例的是（    ）。 A．3∶10 B．4∶15 C．5∶20 D．10∶25 【答案】D 【分析】比值相同的比可以组成比例，所以先将选项中的各个比的比值计算出来，和2∶5的比值相同的可以和它组成比例。 【详解】2∶5 ＝2÷5 ＝0.4 A．3∶10 ＝3÷10 ＝ ≠0.4，3∶10与2∶5不能组成比例； B．4∶15 ＝4÷15 ＝ ≠0.4，4∶15与2∶5不能组成比例； C．5∶20 ＝5÷20 ＝0.25 0.25≠0.4，5∶20与2∶5不能组成比例； D．10∶25 ＝10÷25 ＝0.4 0.4＝0.4，10∶25与2∶5能组成比例。 故答案为：D 2．（20-21六年级下·北京·期末）下列各比中，能与4∶3组成比例的是（　　）。 A．2∶1 B．3∶4 C．6∶9 D．8∶6 【答案】D 【分析】根据比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。算出各选项的比值，找出与4∶3比值相等的选项组成比例。 【详解】4∶3＝4÷3＝ A．2∶1＝2÷1＝2，2≠，所以2∶1不能与4∶3组成比例； B．3∶4＝3÷4＝，≠，所以3∶4不能与4∶3组成比例； C．6∶9＝6÷9＝，≠，所以6∶9不能与4∶3组成比例； D．8∶6＝8÷6＝，＝，所以8∶6能与4∶3组成比例； 故答案为：D 【点睛】此题考查比例的意义，只有两个比的比值相等才可以组成比例。 3．（22-23六年级下·北京顺义·期末）用24的因数写出一个比例是( )。 【答案】1∶2＝4∶8（答案不唯一） 【分析】24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，用24的因数写出一个比例，可以从这八个数中选择四个合适的数组成比例即可。 【详解】1∶2＝4∶8（答案不唯一） 【点睛】找出24的所在因数，根据比例的意义写出比例是解答的关键。 考点二、比例的基本性质 1. 内容 (1)在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 (2)若 ，则 。 2. 应用 (1)验证比例：通过计算外项积和内项积是否相等，来检验四个数能否组成比例，或判断给定的比例式是否正确。 (2)改写比例：根据 ，可以将乘积等式改写成8个不同的比例式（注意0除外）。 例如：若 ，可写出 ， 等。 真题练习 4．（24-25六年级下·北京房山·期末）下列各比中，能与9∶6组成比例的是（    ）。 A．2∶3 B．3∶2 C．4∶3 D．8∶12 【答案】B 【分析】根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，据此逐项分析，进行解答。 【详解】A．2∶3与9∶6 2×6＝12；3×9＝27 12≠27，2∶3与9∶6不能组成比例。 B．3∶2与9∶6 3×6＝18；2×9＝18 18＝18，3∶2与9∶6能组成比例。 C．4∶3与9∶6 4×6＝24；3×9＝27 24≠27，4∶3与9∶6不能组成比例。 D．8∶12与9∶6 8×6＝48；12×9＝108 48≠108，8∶12与9∶6不能组成比例。 能与9∶6组成比例的是3∶2。 故答案为：B 5．（21-22六年级下·北京门头沟·期末）下面每组中的四个数，可以组成比例的是（    ）。 A．3、5、7、9 B．6、8、14、16 C．、、、 D．4、2.4、1、0.4 【答案】C 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例，在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，如果四个数可以组成比例，那么最小数与最大数的乘积等于其它两个数的乘积，据此逐项分析。 【详解】A．3×9＝27，5×7＝35，因为27≠35，所以3、5、7、9不能组成比例； B．6×16＝96，8×14＝112，因为96≠112，所以6、8、14、16不能组成比例； C．×＝，×＝，因为＝，所以、、、能组成比例，如：∶＝∶； D．0.4×4＝1.6，2.4×1＝2.4，因为1.6≠2.4，所以4、2.4、1、0.4不能组成比例。 故答案为：C 【点睛】掌握比例的意义并灵活运用比例的基本性质是解答题目的关键。 6．（23-24六年级下·北京丰台·期末）从3、、1、、中去掉（    ）后，剩下的四个数能组成比例。 A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据比例的基本性质：在比例里，两个内项的积等于两个外项的积；在五个数中找出四个数，看最大数乘最小数所得的积是否等于其他两个数的积；相等即可组成比例，剩下的一个即为应该去掉的一个。 【详解】去掉3：1×＝； 去掉：3×＝；＝ 去掉1：3×＝； 去掉：3×＝； 去掉：3×＝； 所以去掉后，剩下的四个数能组成比例。 故答案为：D 【点睛】本题考查比例的基本性质，灵活应用比例的基本性质是解题的关键。 7．（23-24六年级下·北京东城·期末）如果5a＝6b，那么a∶b＝（    ）。 A．5∶6 B．4∶5 C．6∶5 D．5∶4 【答案】C 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。如果5a＝6b，则5和a要么都是外项，要么都是内项，6和b同样如此，据此解答。 【详解】通过分析可得：如果5a＝6b，那么a∶b＝6∶5。 故答案为：C 8．（23-24六年级下·北京房山·期末）如果2a＝3b，则a∶b＝_________。 【答案】 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。根据比例的基本性质把2a＝3b改写成比例式即可。 【详解】如果2a＝3b，即＝，则a∶b＝。 9．（23-24六年级下·北京通州·期末）已知6a＝5b，a、b均不为0，a∶b＝( )∶( )。 【答案】 5 6 【分析】比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，据此根据比例的逆运算进行解答。 【详解】因为6a＝5b，所以a∶b＝5∶6。 已知6a＝5b，a、b均不为0，a∶b＝5∶6。 考点三、解比例 1. 定义 (1)求比例中的未知项，叫做解比例。 2. 解题步骤 (1)设未知数：根据题意设未知数为 。 (2)列比例式：根据数量关系列出含有 的比例方程。 (3)转化方程：利用比例的基本性质，将比例式转化为一般方程（即“外项积=内项积”）。 (4)解方程：求解 的值。 (5)检验与作答：将结果代入原比例检验，并写出答语。 3. 注意事项 (1)解比例的本质是解方程，需严格遵守解方程的格式规范。 (2)计算过程中注意小数点位置和分数的约分。 真题练习 10．（24-25六年级下·北京海淀·期末）解方程。 （1）      （2）9x－4.5＝36 【答案】（1）x＝8；（2）x＝4.5 【分析】（1）根据比例的基本性质可得0.5x＝6×，再化简方程，最后根据等式的性质，等式两边同时除以0.5，最后计算求出x的值； （2）根据等式的基本性质，方程两边同时加上4.5，然后再同时除以9，最后计算求出x的值。 【详解】（1） 解： 0.5x＝4 0.5x÷0.5＝4÷0.5 x＝8 （2）9x－4.5＝36 解：9x＝36＋4.5 9x＝40.5 9x÷9＝40.5÷9 x＝4.5 11．（24-25六年级下·北京房山·期末）解方程。 ①                   ② 【答案】①x＝；②x＝ 【分析】①根据比例的基本性质，先把比例化为方程x＝×，两边再同时乘4； ②方程两边同时减去，两边再同时乘。 【详解】①   解：x＝× x＝ 4×x＝×4 x＝ ② 解：＋4x－＝－ 4x＝－ 4x＝ ×4x＝× x＝ 12．（24-25六年级下·北京房山·期末）解方程。 （1）      （2） 【答案】（1）x＝3；（2）x＝16 【分析】对于方程：根据等式的性质，等式两边同时加上相同的数，等式仍然成立。在方程3x－2＝7两边同时加2，得到3x－2＋2＝7＋2，即3x＝9。再根据等式的性质2，等式两边同时除以一个非零数，等式仍然成立。在3x＝9两边同时除以3，即可解出x的值。对于方程：根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，可得，把转化为小数，即方程变为0.75x＝12，在等式两边同时除以0.75，即可解出x的值。 【详解】3x－2＝7 解：3x＝7＋2 3x＝9 x＝9÷3 x＝3 解： 13．（23-24六年级下·北京东城·期末）解方程。                    【答案】； 【分析】“”先计算乘法，再根据等式的性质，将等式两边同时加上，再同时除以7，解出； “”将比例改写成一般方程，再根据等式的性质，将等式两边同时除以，解出。 【详解】 解： 解： 14．（23-24六年级下·北京东城·期末）解方程。                         13x－7.5x＝13.2 【答案】x＝3.6；x＝2.4 【分析】（1）根据比例的基本性质可得：3x＝12×0.9，再根据等式的性质，方程两边同时除以3即可解答； （2）先把方程左边化简为5.5x，再把方程两边同时除以5.5即可解出方程。 【详解】     解：3x＝12×0.9 3x＝10.8 3x÷3＝10.8÷3 x＝3.6                     13x－7.5x＝13.2 解：5.5x＝13.2 5.5x÷5.5＝13.2÷5.5 x＝2.4 15．（23-24六年级下·北京密云·期末）解方程。            【答案】x＝32；x＝ 【分析】先将方程左边转化成，再根据等式的性质，方程两边同时除以计算即可； 根据比例的基本性质，将原式转化成2x＝，再根据等式的性质，方程两边同时除以2计算即可。 【详解】 解： x＝32 解：2x＝ 2x＝ x＝ x＝× x＝ 16．（23-24六年级下·北京延庆·期末）解方程。 （1）              （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据等式的性质，方程两边先同时减去，再同时除以，求出方程的解； （2）先根据比例的基本性质把比例方程改写成，然后根据等式的性质，方程两边同时除以，求出方程的解。 【详解】（1） 解： （2） 解： 17．（23-24六年级下·北京房山·期末）解方程。 （1）3x－x＝4                  （2）6∶3＝12∶x 【答案】（1）x＝2；（2）x＝6 【分析】（1）先计算等式左边的减法得到2x，再根据等式的性质，两边同时除以2得出答案； （2）解比例时，根据比例基本性质：比例的两内项之积等于两外项之积，将比例化为方程，再根据等式的性质得出答案。 【详解】（1）3x－x＝4               解：2x＝4     2x÷2＝4÷2                  x＝2                     （2）6∶3＝12∶x 解：6x＝3×12 6x＝36 6x÷6＝36÷6 x＝6 18．（23-24六年级下·北京昌平·期末）解方程或解比例。 （1）3x＋2.7＝15.9                （2）x∶＝24∶5 【答案】（1）x＝4.4；（2）x＝1.8 【分析】（1）根据等式的性质，方程两边同时减去2.7，再同时除以3即可； （2）根据比例的基本性质，把式子转化5x＝×24，再化简方程，最后根据等式的性质，方程两边同时除以5即可。 【详解】（1）3x＋2.7＝15.9 解：3x＋2.7－2.7＝15.9－2.7 3x＝13.2 3x÷3＝13.2÷3 x＝4.4 （2）x∶＝24∶5 解：5x＝×24 5x＝9 5x÷5＝9÷5 x＝1.8 19．（22-23六年级下·北京海淀·期末）解方程。                  【答案】； 【分析】（1）将等式左边进行计算3x－1.5x＝1.5x；再根据等式的性质2，在方程两边同时除以1.5。 （2）先根据比例的基本性质，把化成；再根据等式的性质2，在方程两边同时除以0.2。 【详解】 解： 解： 考点四、正比例和反比例的意义及辨识 1. 正比例 (1)定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 (2)公式： （ 为常数，且 ）。 (3)特征：同增同减，比值恒定。 2. 反比例 (1)定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 (2)公式： （ 为常数，且 ）。 (3)特征：一增一减，乘积恒定。 3. 辨识步骤（核心考点） (1)找关联：判断两种量是否相关联（一个变，另一个也跟着变）。 (2)定关系：写出两者的数量关系式。 (3)看定量： ①　若 （一定） 正比例。 ②　若 （一定） 反比例。 ③　若既不是比值一定，也不是乘积一定（如 或 ） 不成比例。 4. 常见实例对比 (1)正比例：速度一定，路程与时间；单价一定，总价与数量；圆的周长与直径。 (2)反比例：路程一定，速度与时间；工作总量一定，工作效率与工作时间；长方形面积一定，长与宽。 (3)不成比例：正方形的边长与面积（比值 不固定，乘积 不固定）；人的身高与年龄。 真题练习 20．（23-24六年级下·北京密云·期末）长方形的面积一定，长方形的长和宽之间的关系是（    ）。 A．正比例关系 B．反比例关系 C．没有比例关系 D．都有可能 【答案】B 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；据此解答。 【详解】根据长方形的面积＝长×宽，面积一定，即长和宽的乘积一定，符合反比例的定义，即长方形的长和宽成反比例。 故答案为：B 21．（24-25六年级下·北京顺义·期末）下面（    ）说法中的两个量成正比例。 A．长方形周长一定，它的长和宽。 B．圆柱的体积一定，它的底面积和高。 C．一套运动服是178元，购买运动服的数量和总价。 D．李明阅读完《红楼梦》，他平均每天看的页数和天数。 【答案】C 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值是否一定，如果是比值一定，就成正比例。 【详解】A．长方形的长＋宽＝长方形的周长÷2（一定），和一定，所以长和宽不成比例。 B．底面积×高＝圆柱的体积（一定），乘积一定，所以底面积和高不成正比例。 C．总价÷数量＝单价，运动服的单价一定时，总价与数量的商一定，成正比例。 D．看的天数×平均每天看的页数＝总页数（一定），是乘积一定，不成正比例。 故答案为：C 22．（24-25六年级下·北京朝阳·期末）下面选项中，两种相关联的量成正比例关系的是（    ）。 A．圆柱的高一定，它的体积与底面积 B．步行去学校，平均每分钟走的路程和所用的时间 C．读一本书，读了的页数和未读的页数 D．三角形的面积一定，它的底和高 【答案】A 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系，用字母表示为（k一定）。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系，用字母表示为xy＝k（k一定）。 据此分析作答。 【详解】A．圆柱的体积公式为V＝Sh（V是体积，S是底面积，h是高）。当圆柱的高h一定时，（h为定值），也就是体积与底面积的比值一定，所以圆柱的高一定时，它的体积与底面积成正比例关系。 B．路程＝速度×时间，步行去学校，路程是固定的（从家到学校的距离）。平均每分钟走的路程（速度）和所用的时间，它们的乘积（速度×时间＝路程）一定，所以平均每分钟走的路程和所用的时间成反比例关系，不是正比例关系。 C．读一本书，总页数＝读了的页数＋未读的页数，读了的页数和未读的页数是和的关系，不是比值一定的关系，所以读了的页数和未读的页数不成正比例关系。 D．三角形的面积公式为S＝ah（S是面积，a是底，h是高），当面积S一定时，ah＝2S（2S为定值），底和高的乘积一定，所以三角形的面积一定时，它的底和高成反比例关系，不是正比例关系。 故答案为：A 23．（23-24六年级下·北京朝阳·期末）下面选项中两种量成正比关系的是（    ）。 A．一个人的身高与他的年龄。 B．一本书的总页数一定，未读的页数与已读的页数。 C．圆柱的体积一定，它的底面积与高。 D．某杂志的单价一定，订阅的费用与订阅的数量。 【答案】D 【分析】两个相关联的量，一个量随着另外一个量的变化而变化，如果两个量的商是一个定值，则说明这两个量成正比例关系；如果两个量的乘积一定，则说明这两个量成反比例关系。 【详解】A．一个人的身高与他的年龄，这两个量不是两种相关联的量，既不是正比例也不是反比例。 B．未读的页数＋已读的页数＝这本书的总页数（一定），是两个相关联的量，但是是和一定，则这两个量既不是正比例也不是反比例。 C．底面积×高＝圆柱的体积（一定），两个相关联的量的乘积是一定的，则圆柱的底面积和高成反比例。 D．订阅的费用÷订阅的数量＝杂志的单价（一定），两种相关联的量的商是一定的，则订阅的费用与订阅的数量成正比例。 故答案为：D 24．（23-24六年级下·北京房山·期末）下列几组相关联的量中，不成正比例关系的是（　　）。 A．铅笔的单价一定，购买的总价和数量 B．圆柱体的体积一定，底面积和高 C．比例尺一定，图上距离与实际距离 D．自行车车轮的直径一定，滚动的周数与行驶的路程 【答案】B 【分析】两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随之变化，且它们乘积一定，则这两个量成反比例；若它们的比值一定，则这两个量成正比例。据此逐一分析各项即可。 【详解】A．因为总价÷数量＝单价（一定），它们的比值一定，所以购买的总价和数量成正比例关系； B．因为圆柱的底面积×高＝圆柱的体积（一定），它们的乘积一定，所以底面积和高成反比例关系； C．因为图上距离÷实际距离＝比例尺（一定），它们的比值一定，所以图上距离与实际距离成正比例关系； D．因为行驶的路程÷滚动的周数＝πd，它们的比值一定，所以滚动的周数与行驶的路程成正比例关系。 故答案为：B 25．（21-22六年级下·北京·期中）下列几组相关联的量中，成反比例关系的是（    ）。 A．百米赛跑的速度和时间 B．比例尺一定，图上距离与实际距离 C．利率一定，存款的本金与利息 D．圆柱体体积一定，底面半径和高 【答案】A 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】A．百米赛跑的路程是一定的，根据速度×时间＝路程（一定），即百米赛跑的速度和时间的乘积是一定的，所以百米赛跑的速度和时间成反比例； B．根据比例尺的意义，图上距离∶实际距离＝比例尺（一定），即图上距离与实际距离的比值一定，所以图上距离与实际距离成正比例； C．存款的利息＝本金×利率×存期，即利率一定时，存款的利息与本金和存期都有关系，所以存款的本金与利息不成比例； D．根据圆柱的体积公式：V＝，（一定），底面半径的平方与高成反比例，但底面半径和高不成比例； 故答案为：A 【点睛】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 26．（24-25六年级下·北京东城·期末）要将一个水桶注满水，水龙头的出水量和所需时间成( )比例关系。 【答案】反 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】水龙头的出水量×所需时间＝水桶注满水的量（一定），所以水龙头的出水量和所需时间成反比例。 要将一个水桶注满水，水龙头的出水量和所需时间成反比例关系。 考点五、正比例图象的认识 1. 图象特征 (1)正比例关系的图象是一条经过原点（0,0）的直线（射线）。 (2)横轴通常表示自变量 ，纵轴表示因变量 。 2. 读图与应用 (1)看点：图象上的任意一点 都满足 。 (2)看趋势：直线越陡，说明比值 越大（变化越快）；直线越平缓，说明比值 越小。 (3)估算与预测： ①　可以根据一个量的值，在图象上找到对应的另一个量的值。 ②　可以延长直线，对超出已知数据范围的值进行合理推测（线性外推）。 真题练习 27．（24-25六年级下·北京房山·期末）2025年春晚名为《秧BOT》的机器人舞蹈，凸显了我国在机器人领域的强大实力。随着人工智能技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，下图显示了A，B两种型号搬运机器人搬运货物的质量与搬运时间之间的关系。 根据图中信息，有下列三个结论： ①A型机器人搬运货物的质量与搬运时间成正比例关系。 ②A型机器人的搬运速度比B型机器人的搬运速度更快一些。 ③A型机器人搬运240千克货物所用时间与B型机器人搬运160千克货物所用时间相等。 所有正确结论的序号是（    ）。 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】①两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系，据此解答。 ②观察图像，从图中分别找出A和B机器人的搬运货物质量与对应时间，用搬运货物质量除以搬运时间计算出搬运速度，进行比较。 ③观察图像，从图中找出A型机器人搬运240千克货物所用的时间，和B型机器人搬运160千克货物所用时间，进行比较。 【详解】①从图中可知，A型机器人搬运货物的质量随着搬运时间的增加而增加，且对于A型机器人，任意取两组搬运质量和对应时间，如搬运120千克用时1小时，搬运2400千克用时2小时，其比值＝120，＝120，即搬运货物的质量与搬运时间的比值是一定的。所以A型机器人搬运货物的质量与搬运时间成正比例关系，结论①正确。 ②A型机器人：选取搬运240千克用时2小时，速度为240÷2＝120（千克）；B型机器人：选取搬运320千克用时4小时，速度为320÷4＝80（千克）；因为120＞80，所以A型机器人的搬运速度比B型机器人的搬运速度更快一些，结论②正确。 ③由图可知A型机器人搬运240千克货物用时2小时，B型机器人搬运160千克货物用时2小时，所以所用时间相等，结论③正确。 综上，所有正确结论的序号是①②③。 故答案为：D 28．（23-24六年级下·北京延庆·期末）下图表示一辆汽车行驶的路程和耗油量之间的关系。汽车行驶的路程和耗油量成( )比例，汽车行驶20千米，耗油( )升。 【答案】 正 2 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。 从图中选取几组数据，求路程与耗油量的比值，比值相等，则路程与耗油量成正比例。 从图中的横轴上找到20千米，再找到图象中的对应的点，然后找到纵轴上对应的耗油量即可。 【详解】＝＝＝…＝＝10（一定） 比值一定，则路程和耗油量成正比例。 汽车行驶的路程和耗油量成正比例，汽车行驶20千米，耗油2升。 29．（23-24六年级下·北京海淀·期末）在弹性范围内，某种弹簧伸长的长度与所挂物体的质量情况如下图。 (1)如果挂4kg物体，弹簧伸长的长度是( )cm。 (2)弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成( )比例。（填“正”或“反”） (3)当弹簧伸长的长度是0.7cm时，所挂物体的质量是( )kg。 【答案】(1)1.6 (2)正 (3)1.75 【分析】（1）挂上4kg的物体，弹簧长度会成比例伸长，那么弹簧伸长的长度＝物体的质量÷（1÷0.4），据此代入数据解答； （2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例； （3）由（2）可知，物体的质量＝弹簧伸长的长度×2.5，据此代入数据解答。 【详解】（1）1÷0.4＝2.5 4÷2.5＝1.6（cm） 如果挂4kg物体，弹簧伸长的长度是1.6cm。 （2）1∶0.4＝2∶0.8＝2.5（一定），即物体的质量∶弹簧伸长的长度＝2.5（一定），所以物体的质量与弹簧伸长的长度成正比例； （3）0.7×2.5＝1.75（kg） 当弹簧伸长的长度是0.7cm时，所挂物体的质量是1.75kg。 30．（24-25六年级下·北京海淀·期末）某种铁丝的质量和长度的关系如图所示，根据如图回答问题。 （1）3米的铁丝质量是（    ）克。 （2）这种铁丝的长度与质量成（    ）比例。（填“正”或“反”） （3）淘气通过称质量确定铁丝的长度，测得同种铁丝的质量是1830克，这捆铁丝的长度是多少米？ 【答案】（1）150 （2）正 （3）36.6米 【分析】（1）根据比例的图像，长度3米和质量150克在直线上相交，据此解答。 （2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例； （3）设这捆铁丝的长度是多少米。用1830克比上x就等于50，列式是1830∶x＝50，解出x的值就是这捆铁丝的长度是多少米。 【详解】（1）3米的铁丝质量是150克。 （2）50∶1＝50，100∶2＝50，150∶3＝50，200∶4＝50，这种铁丝的质量与长度的比值是一定的，所以这种铁丝的长度与质量成正比例。 （3）解：设这捆铁丝的长度是x米。 1830∶x＝50 50x＝1830 50x÷50＝1830÷50 x＝36.6 答：这捆铁丝的长度是36.6米。 31．（24-25六年级下·北京房山·期末）如图是我国古代的一种计量时间的仪器——沙漏（又称沙钟）。上下是两个完全相同的圆锥形容器，其中一个完全装满细沙，根据流沙从上面的容器漏到下面的容器的体积来计量时间。 数学实验小组记录了沙漏漏口漏沙体积与漏沙时间的关系： 漏沙时间/分 0 1 2 3 4 5 … 漏沙体积/立方厘米 0 3 6 9 12 15 … （1）根据表中数据，在下图中描出表示沙漏漏口漏沙体积与对应的漏沙时间的点，并把这些点顺次连接起来： （2）如果漏沙时间为8分钟，则漏沙的体积为______立方厘米；如果漏沙的体积为36立方厘米，则漏沙时间为______分钟。 （3）如果单个圆锥形容器的高为9厘米，漏完全部细沙用时30分钟，这个沙漏的底面积是______平方厘米。 【答案】（1）见详解；（2）24；12；（3）30 【分析】（1）先看表格数据，漏沙时间为0分对应体积0立方厘米，在图中找（0，0）点；时间1分对应3立方厘米，找（1，3）点；时间2分对应6立方厘米，找（2，6）点……以此类推，把（0，0）、（1，3）、（2，6）、（3，9）、（4，12）、（5，15）这些点在图中描出，再顺次连接。 （2）观察表格，漏沙体积÷漏沙时间＝3（如3÷1＝3，6÷2＝3），说明漏沙体积和时间成正比例，即：漏沙体积＝3×漏沙时间。当漏沙时间为8分钟时：用8乘3即可得到体积。当漏沙体积为36立方厘米时：用36除以3即可得到时间。 （3）漏完全部细沙用时30分钟，根据前面的比例关系，总漏沙体积（即单个圆锥体积）为：3×30＝90立方厘米，圆锥体积公式是：V＝Sh÷3（S＝底面积，h＝高）。已知圆锥高h＝9厘米，体积V＝90立方厘米，代入公式即可解答。 【详解】 （1）如图： （2）3÷1＝3 6÷2＝3 8×3＝24（立方厘米） 36÷3＝12（分钟） 如果漏沙时间为8分钟，则漏沙的体积为24立方厘米；如果漏沙的体积为36立方厘米，则漏沙时间为12分钟。 （3）3×30＝90（立方厘米） 90×3÷9 ＝270÷9 ＝30（平方厘米） 这个沙漏的底面积是30平方厘米。 考点六、正比例和反比例的应用 1. 解题思路 (1)分析法：先判断题中两种相关联的量成什么比例关系。 (2)列式法： ①　正比例应用：利用比值相等列方程。 设未知数 ，列式： 。 ②　反比例应用：利用乘积相等列方程。 设未知数 ，列式： 。 2. 典型场景 (1)归一问题（正比例）：如买物品，单价不变，数量越多总价越高。 (2)归总问题（反比例）：如修路，总长度不变，每天修的越多，天数越少。 (3)行程问题： ①　速度一定 路程与时间成正比。 ②　时间一定 路程与速度成正比。 ③　路程一定 速度与时间成反比。 3. 易错点 (1)单位不统一：列式前必须确保对应量的单位一致。 (2)对应错误：分子分母、前后项的位置必须严格对应（如“路程/时间”对应“路程/时间”）。 真题练习 32．（24-25六年级下·北京房山·期末）已知与成反比例关系，且当时，，则当时，（    ）。 A．12 B．8 C．3 D．2 【答案】A 【分析】两个相关联的量成反比例，则两个相关联的量的乘积一定，即xy的积一定，据此解答。 【详解】4×6÷2 ＝24÷2 ＝12 已知与成反比例关系，且当时，，则当时，12。 故答案为：A 33．（23-24六年级下·北京丰台·期末）2024年3月10日至16日是第17个“世界青光眼周”。为更好的宣传和普及青光眼防治知识，3月16日上午19所医院参加了在北京园博园举行的2024年“世界青光眼周”北京第二届“健步走公益乐跑”活动。李医生30分钟跑了全程的，照这样计算，跑完全程的时间为x分钟，下面正确的关系式是（    ）。 ①；②；③ A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】把全程看作单位“1”，根据李医生的速度一定，他跑的总路程与跑的时间成正比例，列式即可。 【详解】如果他要跑完7千米全程，跑完全程的时间为x分钟。 变形可得 则正确的关系式有②③。 故答案为：C 34．（24-25六年级下·北京丰台·期末）科技小组的同学测量学校旗杆的高度。将一根高2米的竹竿直立在学校旗杆的旁边。同一时刻，量得竹竿的影长为1.2米，旗杆的影长为7.74米。那么，旗杆的高度是( )米。 【答案】12.9 【分析】根据同一时刻物体高度与影长成正比例的关系，设旗杆的高度是x米，根据竹竿高度与影长的比等于旗杆高度与影长的比列比例解答即可。 【详解】解：设旗杆的高度是x米。 x∶7.74＝2∶1.2 1.2x＝7.74×2 1.2x＝15.48 1.2x÷1.2＝15.48÷1.2 x＝12.9 所以旗杆的高度是12.9米。 35．（23-24六年级下·北京东城·期末）科学小组的同学做实验，在弹簧的弹性限度内，所挂物体的质量与弹簧伸长的长度情况如下表： 物体质量（kg） 0 1 2 3 4 5 6 … 10 弹簧伸长长度（cm） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 5 根据科学小组测量的数据，在弹簧的弹性限度内，所挂物体的质量与弹簧伸长的长度成( )比例关系，在下面简要说明理由：( )。 【答案】 正 所挂物体的质量与弹簧伸长的长度的比值一定 【分析】当两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量。 【详解】1∶0.5＝2∶1＝3∶1.5＝4∶2＝5∶2.5＝6∶3＝10∶5＝2 在弹簧的弹性限度内，所挂物体的质量与弹簧伸长的长度成正比例关系。理由如下：在弹簧的弹性限度内，发现物体质量增加，弹簧伸长长度也增加，且所挂物体的质量与弹簧伸长的长度的比值一定，因此在弹簧的弹性限度内，所挂物体的质量与弹簧伸长的长度成正比例。 36．（23-24六年级下·北京房山·期末）古时候人们常常以物换物，据《九章算术》记载“粟率五十，粝米三十”，“今有粟一斗，欲为粝米，问得几何？”大致意思是：50份粟米可换30份粝米，今有粟米一斗，要换成粝米，问能换多少升粝米？注：粟：小米；粝米：粗米；1斗＝10升。 【答案】6升 【分析】已知50份粟米可换30份粝米，所以粟米∶粝米＝50∶30，可以设能换x升粝米，则10升的粟米∶x升粝米＝50∶30，据此解比例即可。 【详解】1斗＝10升 解：设能换x升粝米。 10∶x＝50∶30 50x＝10×30 50x＝300 50x÷50＝300÷50 x＝6 答：能换6升粝米。 考点七、比例尺 1. 定义 (1)一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 (2)公式： 或 。 2. 分类 (1)数值比例尺：如 或 。表示图上1厘米代表实际1000000厘米。 (2)线段比例尺：在图上画一段线段，注明该线段代表的实际距离（如 0—50km）。 3. 单位换算（核心难点） (1)计算时，图上距离和实际距离的单位必须统一。 (2)常用进率： ①　 （去掉5个0）。 ②　 （去掉2个0）。 (3)技巧： ①　厘米 千米：小数点向左移5位（或除以100000）。 ②　千米 厘米：小数点向右移5位（或乘以100000）。 4. 三类计算 (1)求比例尺： 。（结果通常写成前项为1的比） (2)求图上距离： 。（注意单位换算，结果通常为cm） (3)求实际距离： 。（注意单位换算，结果通常转换为km或m） 真题练习 37．（24-25六年级下·北京东城·期末）A、B两地的实际距离是100千米，在一幅地图上量得这两地之间的距离是5厘米，这幅地图的比例尺是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】比例尺是图上距离与实际距离的比；根据1千米＝100000厘米，统一单位后写出比化简比即可。 【详解】100千米＝10000000厘米 5厘米∶10000000厘米 ＝（5÷5）∶（10000000÷5） ＝1∶2000000 所以，在一幅地图上量得这两地之间的距离是5厘米，这幅地图的比例尺是1∶2000000。 故答案为：D 38．（23-24六年级下·北京海淀·期末）毕业前夕，光明小学六（2）班的同学们为母校绘制了一张校园平面图。学校一幢教学楼的底面形状是长方形，底面的实际长是80m。在校园平面图上，这幢教学楼底面的长是8cm。这张校园平面图的比例尺是（    ）。 A．10∶1 B．1∶10 C．1000∶1 D．1∶1000 【答案】D 【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离，把数代入公式即可求解。 【详解】80m＝8000cm 8∶8000 ＝（8÷8）∶（8000÷8） ＝1∶1000 所以这张校园平面图的比例尺是1∶1000。 故答案为：D 39．（22-23六年级下·北京西城·期末）一个精密仪器上的零件长度是5mm，画在图纸上的长度是2cm，这幅图纸的比例尺是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一幅图的图上距离与实际距离的比，叫作这幅图的比例尺，比例尺＝图上距离∶实际距离，据此解答。 【详解】图上距离∶实际距离 ＝2cm∶5mm ＝（2×10）mm∶5mm ＝20∶5 ＝（20÷5）∶（5÷5） ＝4∶1 所以，这幅图纸的比例尺是4∶1。 故答案为：D 【点睛】本题主要考查比例尺的认识，掌握比例尺的意义是解答题目的关键。 40．（24-25六年级下·北京海淀·期末）教学楼的底面是长60米，宽20米的长方形。在绘制它的平面图时，乐乐选择的比例尺是1∶2000，淘气选择的比例尺是1∶1000。以下说法正确的（    ）。 ①在乐乐的平面图中，教学楼底面的图上长是实际长的 ②在淘气的平面图中，教学楼底面的实际面积是图上面积的1000倍 ③在两幅平面图中，教学楼底面的长都是宽的3倍 ④在两幅平面图中，乐乐画的教学楼底面的面积比淘气的小 A．只有① B．只有③ C．只有①③④ D．有①②③④ 【答案】C 【分析】①直接应用比例尺定义； ②面积倍数应为比例尺分母平方，而非分母本身； ③长宽比例与比例尺无关； ④比较两图的图上面积，分母越大，图上面积越小。 【详解】①在乐乐平面图中，比例尺1∶2000表示图上距离是实际距离的，原题说法正确； ②比例尺1∶1000对应实际距离是图上距离的1000倍，面积倍数为10002＝1000000倍，原题说法错误； ③实际长宽比为60∶20＝3∶1，在两幅平面图中，教学楼底面的长都是宽的3倍。原题说法正确； ④乐乐图上面积： ＝0.03×0.01＝0.0003（平方米） 淘气的图上面积： ＝0.06×0.02＝0.0012（平方米） 0.0003＜0.0012 在两幅平面图中，乐乐画的教学楼底面的面积比淘气的小。原题说法正确。 因此，说法正确的只有①③④。 故答案为：C 【点睛】本题考查比例尺的应用，根据比例尺的定义、图上距离与实际距离的关系、长方形面积公式等知识，对每个说法逐一进行分析判断。 41．（24-25六年级下·北京房山·期末）一个精密零件长0.5mm，画在图纸上的长度是2cm，这幅图纸的比例尺是_______。 【答案】40∶1 【分析】先将2cm换算成20mm，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离，写出比，并化成最简整数比。 【详解】2cm＝20mm 20mm∶0.5mm ＝200∶5 ＝40∶1 这幅图纸的比例尺是40∶1。 42．（24-25六年级下·北京房山·期末）现藏于三星堆博物馆的青铜大立人像被誉为“世界铜像之王”（如图）。在一张比例尺为1∶100的图上，这个青铜大立人像（含底座）的高为( )cm。 【答案】2.608 【分析】根据图上距离＝实际距离×比例尺，进行换算即可。 【详解】2.608m＝260.8cm 260.8×＝2.608（cm） 这个青铜大立人像（含底座）的高为2.608cm。 43．（23-24六年级下·北京东城·期末）小亮一家要出去游玩，他在一幅比例尺是1∶5000000的地图上量得出发地与目的地之间的图上距离是8厘米，那么出发地与目的地之间的实际距离是( )千米。 【答案】400 【分析】比例尺是1∶5000000，表示图上1厘米代表实际距离5000000厘米，即50千米。根据乘法的意义，用50乘8，即可求出出发地与目的地之间的实际距离。 【详解】5000000厘米＝50千米 50×8＝400（千米） 则出发地与目的地之间的实际距离是400千米。 44．（24-25六年级下·北京房山·期末）搜救船以本船位置O点为中心，发现某海域失事船只位于P点（如下图）。量得从中心O点到P点的图上距离为1.5厘米，请你报告失事船只的位置。失事船只的位置是：______________________________。 【答案】搜救船的东偏北30°方向150海里处 【分析】由图上的线段比例尺可知，图上1厘米表示实际距离100海里，用100乘图上距离（1.5厘米）求出实际距离是多少海里，再结合上北下南，左西右东以及角度即可解答。 【详解】100×1.5＝150（海里） 失事船只的位置在搜救船的东偏北30°方向150海里处。（答案不唯一） 45．（23-24六年级下·北京西城·期末）量一量、算一算。 (1)这幅地图的比例尺是1∶( )。 (2)A车和B车同时从所在位置出发，开往终点会合（如图）。他们的车速都是50km/h，先到终点的是( )车，比另一辆车提前( )h到达。（测量时取整cm数。） 【答案】(1)3000000 (2) A 1.2 【分析】（1）根据比例尺的意义把线段比例尺改写成数值比例尺即可； （2）先分别测量出A车、B车的出发位置到终点的图上距离，再分别用它们的图上距离÷比例尺＝实际距离，最后根据路程÷速度，求出各需的时间，再进一步解答即可。 【详解】（1）30km＝3000000cm 这幅地图的比例尺是1∶3000000。 （2）A车的出发位置到终点的图上距离是5cm， 5÷ ＝5×3000000 ＝15000000（cm） 15000000cm＝150km 150÷50＝3（h） B车的出发位置到终点的图上距离是7cm， 7÷ ＝7×3000000 ＝21000000（cm） 21000000cm＝210km 210÷50＝4.2（h） 3＜4.2 4.2－3＝1.2（h） 先到终点的是A车，比另一辆车提前1.2h到达。 46．（24-25六年级下·北京东城·期末）填空并按要求画图。 ①图中的圆形是一个体育馆底座的平面图，先在图上测量出它的半径（测量结果取整厘米）。再根据图中提供的信息求出它的占地面积大约是（    ）平方米。 ②小军从体育馆的南门出发，先向东偏南20°方向走60米到A点，再从A点向正东方向走100米到一号餐厅门口。根据描述，画出小军的行走路线，并标出A点和一号餐厅。 【答案】①5024 ②见详解 【分析】以图上的“上北下南，左西右东”确定方向，图例表示图上1厘米相当于实际距离20米。 ①在图上测量出圆的半径为2厘米，那么这个圆的半径实际长20×2＝40米；根据圆的面积公式S＝πr2，求出它的占地面积。 ②小军从体育馆的南门出发，先向东偏南20°方向走60米到A点，即以体育馆的南门为观测点，在南门的东偏南20°方向画60÷20＝3厘米长的线段，即是A点； 再从A点向正东方向走100米到一号餐厅门口，即以A点为观测点，在A点的正东方向画100÷20＝5厘米长的线段，即是一号餐厅； 据此在图中画出小军的行走路线，并标出A点和一号餐厅的位置。 【详解】①在图上测量出圆的半径为2厘米，实际半径为： 20×2＝40（米） 3.14×402 ＝3.14×1600 ＝5024（平方米） 它的占地面积大约是5024平方米。 ②60÷20＝3（厘米） 100÷20＝5（厘米） 如下图： 47．（24-25六年级下·北京海淀·期末）同学们开展探秘“北京中轴线”的实践活动，查到以下信息。如果以1∶30000的比例尺画出“北京中轴线”的平面图，图中“北京中轴线”全长多少厘米？ 【答案】26厘米 【分析】图上距离＝实际距离×比例尺，据此列式计算即可求出图中“北京中轴线”全长多少厘米。 【详解】7.8千米＝780000厘米 780000×＝26（厘米） 答：图中“北京中轴线”全长26厘米。 48．（24-25六年级下·北京朝阳·期末）公园里有一个圆形花坛。将此花坛按1∶50的比例尺画在图纸上，图纸上这个花坛的直径是8厘米。这个花坛的实际占地面积是多少平方米？ 【答案】12.56平方米 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，换算出花坛的实际直径，再根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，求出这个花坛的实际占地面积。 【详解】8÷＝8×50＝400（厘米） 400厘米＝4米 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 答：这个花坛的实际占地面积是12.56平方米。 49．（23-24六年级下·北京朝阳·期末）在一幅比例尺为1∶20000的地图上，北京地铁17号线北段的长度大约是125厘米。北京地铁17号线北段的实际长度大约是多少千米？ 【答案】25千米 【分析】根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”可知：实际距离＝图上距离÷比例尺，用125÷即可求出17号线北段的实际长度。 【详解】1∶20000＝ 125÷ ＝125×20000 ＝2500000（厘米） 2500000厘米＝25千米 答：北京地铁17号线北段的实际长度大约是25千米。 50．（23-24六年级下·北京东城·期末）在比例尺为1∶2000000的地图上，量得甲、乙两地之间的高速公路全长6cm。这段高速公路最高限速120千米/时，李叔叔行驶这段路程的平均车速是100千米/时。李叔叔从甲地到乙地要用几小时？ 【答案】1.2小时 【分析】由题意可知，根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出实际距离，1千米＝100000厘米，根据进率转换单位，然后再根据时间＝路程÷速度，求出时间即可。 【详解】实际路程：（厘米）＝120（千米） 时间：（小时） 答：李叔叔从甲地到乙地要用1.2小时。 51．（23-24六年级下·北京房山·期末）爷爷每天跑步锻炼的路线是：从家先向正西方向跑800米到达休闲公园，再从休闲公园向正北方向跑600米到达体育场，最后从体育场沿一条直路直接跑回家（方格图中每个小正方形的边长都是1厘米）。 （1）这幅图的比例尺是 ； （2）在图上标出体育场的位置，并补全爷爷每天跑步的路线； （3）测量爷爷家到体育场的图上距离是 厘米；爷爷每天跑步的实际距离共 米。 【答案】（1）1∶20000 （2）见详解 （3）5；2400 【分析】（1）根据比例尺＝图上距离∶实际距离，代入数据解答即可； （2）爷爷从家出发，向正西方向走4厘米，到达休闲公园，再从休闲公园向正北方向走3厘米，到达体育场，据此标出体育场的位置，再补全从体育场到爷爷家的路线即可； （3）测量爷爷家到体育场的图上距离是几厘米，再根据图上距离÷比例尺＝实际距离解答即可。 【详解】（1）800米＝80000厘米 4厘米∶80000厘米 ＝4∶80000 ＝1∶20000 所以这幅图的比例尺是1∶20000。 （2）作图如下： （3）经测量，爷爷家到体育场的图上距离是5厘米； （4＋5＋3）÷ ＝12×20000 ＝240000（厘米） 240000厘米＝2400米 所以爷爷每天跑步的实际距离共2400米。 52．（24-25六年级下·北京顺义·期末）“狡兔三窟”出自《战国策•齐策四》，是指狡猾的兔子会准备几个藏身的窝，便于躲避天敌。野外林区，摄像头拍下了一只野兔的活动轨迹，证实了这一说法。 （1）野兔从A窝出来，向东跑了4米，到达B窝（如图）。量一量，两个窝之间的图上距离是（    ）厘米（取整数），所用的比例尺是（    ）∶（    ）。 （2）从B窝出来后，野兔向北偏西30°方向跑了6米到达C窝，在上图标出C窝的位置。 （3）一天，野兔在A窝东边28米处吃草，一只狐狸在A窝西边20米处，发现了正在吃草的野兔，狐狸以10米/秒的速度朝野兔奔跑，同时野兔以12米/秒的速度跑向B窝，野兔能安全回到B窝吗？ 【答案】（1）1；1；400 （2）见详解 （3）能 【分析】（1）经实际测量，A窝和B窝距离为1厘米（测量允许存在误差），即图上1厘米代表实际4米，根据比例尺＝图上距离∶实际距离，先统一单位，再求出比例尺即可。 （2）根据上北下南左西右东，野兔向北偏西30°方向跑了6米到达C窝，也就是正北往西偏30°，以兔子的B窝为观测点，将量角器0刻度线对着北，往西面量出30°即可；又因图上距离1厘米表示实际距离4米，而B窝与C窝的实际距离为6米，于是就可以求出B窝和C窝的图上距离，据此作图，在图上标出C窝的位置； （3）根据“时间＝路程÷速度”求出狐狸跑到B窝的时间以及兔子跑到B窝的时间，比较时间的大小即可判断。 【详解】（1）1厘米∶4米 ＝1厘米∶400厘米 ＝1∶400 经测量，两个窝之间的图上距离是1厘米（取整数），所用的比例尺是1∶400。 （2）从B窝出来后，野兔向北偏西30°方向跑了6米到达C窝，在上图标出C窝的位置。 6米＝600厘米 ×600＝1.5（厘米） 如下图所示： （3）（28－4）÷12 ＝24÷12 ＝2（秒） （20＋4）÷10 ＝24÷10 ＝2.4（秒） 2＜2.4 即野兔先跑到B窝，狐狸抓不到。 答：野兔能安全回到B窝。 53．（23-24六年级下·北京昌平·期末）2023年4月27日，旅居美国孟菲斯动物园的大熊猫“丫丫”由专机运送抵达上海，按期返回中国。运送“丫丫”回国专机的飞行时间和飞行路程如下表所示： 时间/小时 1 2 3 4 5 路程/千米 900 1800 2700 3600 4500 （1）这架专机的飞行路程和飞行时间（    ）。 A．不成比例        B．成正比例       C．成反比例 （2）在比例尺是1∶60000000的地图上，量出孟菲斯到上海的距离是20厘米，那么，从孟菲斯到上海的实际距离为多少千米？ 【答案】（1）B （2）12000千米 【分析】（1）判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 如果既不是比值一定，也不是乘积一定，则这两种相关联的量不成比例。 （2）已知地图的比例尺和孟菲斯到上海的图上距离，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，以及进率“1千米＝100000厘米”，求出孟菲斯到上海的实际距离。 【详解】（1）＝＝＝＝＝…＝900（一定） 比值一定，则这架专机的飞行路程和飞行时间成正比例。 故答案为：B （2）20÷ ＝20×60000000 ＝1200000000（厘米） 1200000000厘米＝12000千米 答：从孟菲斯到上海的实际距离为12000千米。 54．（23-24六年级下·北京通州·期末）图回答问题。 （1）小红每天从家到学校要走多少米？ （2）如果小红每分钟走80米，她上学需要走多少分钟？ （3）星期天小红骑车到电影院看电影，她平均每分钟行140米，30分钟内她能到达电影院吗？ 【答案】（1）2000米 （2）25分钟 （3）能到达 【分析】（1）根据线段比例尺可知，1厘米表示500米，根据比例尺＝图上距离∶实际距离，先求出这幅图的比例尺，求出小红家到学校的图上距离，再根据实际距离＝图上距离÷比例尺，进而求出小红家到学校的距离； （2）根据时间＝路程÷速度，用小红家到学校的路程÷小红每分钟走的速度，即可解答； （3）先求出小红家到电影院的图上距离，再求出小红家到电影院的实际距离，再根据时间＝路程÷速度，求出小红自行车到电影院的时间，再和30分钟比较，即可解答。 【详解】（1）500米＝50000厘米 比例尺：1∶50000 小红家到学校的图上距离是4厘米。 4÷ ＝4×50000 ＝200000（厘米） 200000厘米＝2000米 答：小红每天从家到学校是2000米。 （2）2000÷80＝25（分钟） 答：她上学需要25分钟。 （3）从小红家到电影院的图上距离是7厘米。 7÷ ＝7×50000 ＝350000（厘米） 350000厘米＝3500米 3500÷140＝25（分钟） 25＜30，30分钟内她能到达电影院。 答：30分钟内她能到达电影院。 考点八、图形的放大与缩小 1. 定义 (1)把图形按一定的比放大或缩小，是指图形的各边长按相同的比变化。 (2)放大：比的前项 > 后项（如 ），图形变大，形状不变。 (3)缩小：比的前项 < 后项（如 ），图形变小，形状不变。 2. 性质 (1)形状不变：放大或缩小后的图形与原图形相似。 (2)角度不变：对应角的大小相等。 (3)边长变化：对应边的长度之比等于放大或缩小的比。 (4)面积变化：面积的比等于边长比的平方。 ①　若边长扩大 倍，面积扩大 倍。 ②　若边长缩小到原来的 ，面积缩小到原来的 。 3. 作图方法 (1)看：看原图形各边占几个格。 (2)算：根据给定的比，计算放大或缩小后各边应占几个格。 (3)画：在方格纸上画出新图形。 (4)查：检查形状是否相似，边长是否符合比例。 真题练习 55．（24-25六年级下·北京海淀·期末）把长方形甲按比缩小后得到长方形乙，如下图所示。根据图中信息，同学们列出了下面的四个等式，其中正确的（    ）。 ①16－12＝24－x          ②16∶24＝12∶x ③12∶16＝x∶24          ④x∶12＝16∶24 A．只有① B．只有② C．只有②③ D．只有③④ 【答案】C 【分析】根据图形缩小的方法，把长方形甲按比缩小后得到长方形乙，相对应的边的长度比相等，据此分析所给等式是否正确。 【详解】①长方形甲按比缩小得到长方形乙，缩小的比例是固定的，16－12＝24－x只是简单的边长相减，没有出现按比例缩小的关系，所以①错误。 ②因为长方形甲按比缩小得到长方形乙，所以甲的宽与长的比等于乙的宽与长的比，甲长24cm、宽16cm，乙长xcm、宽12cm，可得16∶24＝12∶x，②正确。 ③由长方形甲按比缩小得到长方形乙，可得乙的宽与甲的宽的比等于乙的长与甲的长的比，即12∶16＝x∶24，③正确。 ④x∶12＝16∶24，与按比缩小的性质不符，所以④错误。 分析可知，根据图中信息，同学们列出了四个等式，其中正确的有16∶24＝12∶x和12∶16＝x∶24。 故答案为：C 56．（24-25六年级下·北京顺义·期末）升入中学，我们将会学习这样的知识“三个角分别相等，三边成比例的两个三角形是相似三角形。”在小学，我们可以看作是“图形的放大和缩小”。根据你的理解，如图中( )和( )两个三角形相似。 【答案】 ① ④ 【分析】首先观察形状，图形①与图形④形状相同；图形①与图形②、图形③形状皆不同；图形②与图形③、图形④形状皆不同；图形③与图形④形状不同。其次再看图形①、图形④的对应边是否成比例。 【详解】图①的底是1格，高是2格；图④的底是2格，高是4格。 1∶2＝ 2∶4＝ ＝，1∶2＝2∶4；图④是图①的放大图形。图①与图④相似。 升入中学，我们将会学习这样的知识“三个角分别相等，三边成比例的两个三角形是相似三角形。”在小学，我们可以看作是“图形的放大和缩小”。根据你的理解，如图中①和④两个三角形相似。 57．（24-25六年级下·北京房山·期末）（1）请在方格纸上以线段AB为直角边，画出1个面积是6平方厘米的直角三角形。 （2）把你画的直角三角形，按照1∶2缩小后画在方格纸上。（图中每个小正方形的边长表示1厘米） 【答案】见详解 【分析】（1）由图可知，线段AB的长是6厘米，根据三角形的面积＝底×高÷2，直角三角形的两条直角边互为底和高，用直角三角形的面积乘2，再除以线段AB的长就是直角三角形的另一条边。据此画图。 （2）按照1∶2缩小，用直角三角形的两直角边分别除以2，就是缩小后的两直角边的长。据此画图。 【详解】（1）6×2÷6 ＝12÷6 ＝2（厘米） （2）2÷2＝1（厘米） 6÷2＝3（厘米） （1）（2）如图： （答案不唯一） 58．（23-24六年级下·北京延庆·期末）在方格纸上画图。（图中小方格的边长是1厘米） （1）用数对表示出三角形的顶点A（      ）和C（      ），画出将图中三角形绕B点顺时针旋转90°后的图形。 （2）画出将图中三角形按2∶1放大后的图形，放大后的图形和原图形比较，（    ）不变。 【答案】（1）（2，4）；（4，3）；见详解 （2）见详解；形状 【分析】（1）用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；据此用数对表示点A和点C的位置。 根据旋转的特征，将三角形绕B点顺时针旋转90°，点B位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形。 （2）三角形按2∶1放大，那么原来三角形的底和高都要乘2，即是放大后三角形的底和高，据此画出放大后的三角形。 放大或缩小图形，只改变图形的大小，不改变图形的形状。 【详解】（1）用数对表示出三角形的顶点A（2，4）和C（4，3）； 三角形绕B点顺时针旋转90°后的图形见下图。 （2）放大后三角形的底是：2×2＝4（厘米） 放大后三角形的高是：1×2＝2（厘米） 放大后的三角形如下图。 放大后的图形和原图形比较，形状不变。 59．（24-25六年级下·北京朝阳·期末）按要求在方格纸上画图。 ①画出以A（1，1）、B（3，3）、C（6，3）、D（4，1）为顶点的平行四边形。 ②画出一个和平行四边形ABCD面积相等的直角三角形EFG。 ③画出将直角三角形EFG按2∶1放大后的图形。 【答案】①~③见详解 【分析】①数对的前一个数表示列，后一个数表示行。A（1，1）在1列1行、B（3，3）在3列3行、C（6，3）在6列3行、D（4，1）在4列1行，据此找到对应的点。依次连接A、B、C、D，得到平行四边形。 ②平行四边形的底可以通过A、D两点计算，AD长度为4－1＝3（方格边长为单位1），高为3－1＝2，根据平行四边形面积公式：面积＝底×高，即3×2＝6。因为平行四边形面积是6，要画面积相等的直角三角形，根据直角三角形面积公式S＝底×高÷2，可以取底为4，高为3。在方格纸中画出三角形EFG。 ③按2∶1放大直角三角形EFG，则原三角形的底和高都要乘2。原直角三角形底为4，高为3，放大后底为8，高为6。根据放大后的底和高，在方格纸中确定新的顶点位置，连接得到放大后的图形。 【详解】 ①~③如图：（②③画法不唯一） 60．（24-25六年级下·北京东城·期末）画一画。 ①把三角形A向右平移6格得到三角形B，在方格图中画出三角形B。 ②把三角形A按2∶1放大后得到三角形C，在方格图中画出三角形C。 【答案】见详解 【分析】①根据平移的特征，将三角形A的各顶点分别向右平移6格，依次连接即可得到平移后的三角形B。 ②把三角形A按2∶1放大，则三角形A的三条边都要放大到原来的2倍，据此画出放大后的三角形C。 【详解】如图： 61．（24-25六年级下·北京丰台·期末）三角形ABC，顶点C的位置是（1，5）。先画出三角形ABC，再画出把它按2∶1放大后的三角形A′B′C′。 （1）以B′为圆心，在三角形A′B′C′内，画出一个最大的扇形。 （2）如果每个小方格的边长表示1厘米，画出的扇形面积是（    ）平方厘米。 【答案】（1）见详解 （2）14.13 【分析】数对的表示方法：（列数，行数），数对的第一个数表示列，第二个数表示行，根据C的位置是（1，5），根据方格中对应的列数和行数，找出点C，画出三角形ABC。把三角形ABC按照2∶1放大，就是将三角形ABC的底和高放大到原来的2倍，放大后图形与原图形对应边长的比是2∶1，形状没有发生变化。据此画出放大后的三角形A′B′C′。 （1）以B′为圆心，以线段B′A′为半径，即可画出三角形A′B′C′内最大的扇形。 （2） 已知三角形A′B′C′为等腰直角三角形，则扇形的圆心角是45°。线段B′A′为半径，即半径3×2＝6厘米，根据扇形的面积：S＝πr2×，代入数据，即可求出这个扇形的面积。 【详解】（1）如图： （2）半径：3×2＝6（厘米） 62×3.14× ＝36×3.14× ＝14.13（平方厘米） 画出的扇形面积是14.13平方厘米。 62．（24-25六年级下·北京房山·期末）下面的方格图中有四个小三角形，请按要求操作并回答问题。 (1)______号三角形是①号三角形缩小后得到的，它是按______的比缩小的； (2)______号三角形是②号三角形放大后得到的，它是按______的比放大的； (3)画出③号三角形按2∶1放大后的三角形，放大后的三角形面积与③号三角形面积的比是______。 【答案】(1) ③ 1∶3 (2) ④ 2∶1 (3)图见详解；4∶1 【分析】（1）要找几号图形是三角形①号图形缩小后的图形，先找出比三角形①号小的图形，看看底和高缩小的倍数是否一样，据此即可确定出要找的图形，然后数出缩小后的图形的底是几个格，同时数出原图的底是几个格，即可求出缩小的比例。 （2）要找几号图形是三角形②号图形放大后的图形，先找出比三角形②号图形大的图形，看看底和高扩大的倍数是否一样，据此即可确定出要找的图形，然后数出扩大后图形的底是几个格，同时数出原图形的底是几个格，即可求出放大的比例。 （3）根据放大的意义，把三角形③号图形的底和高分别扩大到原来的2倍，画出扩大后的三角形（位置不唯一），再根据三角形面积＝底×高÷2，分别求得原来三角形和放大后的三角形，再根据比的意义，用放大后三角形面积∶原来三角形面积，即可解答。 【详解】（1）三角形①号图形的底是9，高是6；三角形③号图形的底是3，高是2； 3∶9＝1∶3；2∶6＝1∶3 ③号三角形是①号三角形缩小后得到的，它是按1∶3的比缩小的。 （2）三角形②号图形的底是3，高是1；三角形④号图形的底是6，高是2。 6∶3＝2∶1；三角形④的高∶三角形②的高＝2∶1 ④号三角形是②号三角形放大后得到的，它是按2∶1的比放大的。 （3）三角形③的底是3格，高是2格。 放大后三角形的底是：3×2＝6（格）；高是：2×2＝4（格） 如下图： （6×4÷2）∶（3×2÷2） ＝（24÷2）∶（6÷2） ＝12∶3 ＝（12÷3）∶（3÷3） ＝4∶1 放大后的三角形面积与③号三角形面积的比是4∶1。 63．（23-24六年级下·北京东城·期末）操作。 （1）画出三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转后的图形。 （2）按2∶1画出三角形AOB放大后的图形，按1∶3画出长方形缩小后的图形。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）作旋转一定角度后的图形步骤：①根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角。②分析所作图形，找出构成图形的关键点。③找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点。④作出新图形，顺次连接作出的各点即可。 （2）三角形AOB的底是2，高是3，按2∶1放大后，底变为2×2＝4，高变为3×2＝6；长方形的长是9，宽是6，按1∶3缩小后，长变成9÷3＝3，宽变成6÷3＝2。据此画出图形。 【详解】（1）（2）作图如下： 64．（23-24六年级下·北京密云·期末）在下面方格纸中画一画。 （1）把图中三角形向右平移6格，画出平移后的图形。 （2）把图中三角形绕O点顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。 （3）把图中三角形按2∶1放大，画出放大后的图形。 【答案】见详解 【分析】（1）将三角形的各边均向右平移6格，画出平移后的图形。 （2）点O不动，将三角形的两条直角边均顺时针旋转90°，画出旋转后的线段，再连接画出斜边。 （3）将三角形的各边均放大到原来的2倍，画出放大后的图形。 【详解】（1）如下图所示： （2）如下图所示： （3）如下图所示： 65．（23-24六年级下·北京昌平·期末）下图中，点O的位置为（4，5）。 （1）点B的位置为（ ）。 （2）点A的位置为（7，8），在图中标出点A，依次连接点A、O、B。 （3）请在图中画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后的图形。 （4）请在图中画出△AOB按2∶1放大后的图形。 【答案】（1）（7，5） （2）（3）（4）图见详解 【分析】（1）由“点O的位置为（4，5）”可知，数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此用数对表示点B的位置； （2）根据数对找位置，依次找出对应的A、O、B点，再依次连接即可； （3）根据旋转的特征，△AOB绕点O顺时针旋转90°，点O的位置不动，这个图形的各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形； （4）将原△AOB的各边的长度都扩大到原来的2倍，据此作图即可。 【详解】（1）点B的位置为（7，5）。 （2）（3）（4）作图如下： 考点九、比例的应用 1. 用比例解决问题的通用步骤 (1)梳：梳理题目中的已知条件和所求问题，找出两种相关联的量。 (2)判：判断这两种量成什么比例关系（正比例还是反比例）。 (3)设：设未知数为 。 (4)列：根据比例意义列出方程。 ①　正比例： ②　反比例： (5)解：解方程求出 。 (6)验：检验结果合理性并作答。 2. 常见题型归纳 (1)比例尺应用：地图距离与实际距离互换。 (2)按比例分配：虽主要属于比的应用，但常与比例结合。如：已知总量和各部分比的份数，求各部分量。 (3)工程/行程/价格问题：识别不变量（总量、速度、单价等），确定比例类型。 真题练习 66．（21-22六年级下·北京门头沟·期末）如果按1∶1000的比例尺制作一个中央广播电视塔模型（包括避雷针），高为40.5cm。中央广播电视塔的实际总高度是（    ）米。 A．4.05 B．40.5 C．405 D．4050 【答案】C 【分析】设中央广播电视塔的实际总高度是x厘米，根据模型高度∶实际高度＝1∶1000，列出比例解答即可。 【详解】解：设中央广播电视塔的实际总高度是x厘米。 40.5∶x＝1∶1000 1x＝40.5×1000 x＝40500 40500厘米＝405米 中央广播电视塔的实际总高度是405米。 故答案为：C 【点睛】用比例解决问题只要等号两边的比统一即可。 67．（22-23六年级下·北京海淀·期末）姐姐沿着8千米长的环形跑道跑步（如图）。她从起点出发，用15分跑了一圈的，照这样的速度，她共用多少分跑完一圈？如果设她用x分跑完一圈，以下方程正确的（    ）。 x∶15＝8∶ x＝15 15∶x＝∶1 8∶x＝∶15 ① ② ③ ④ A．只有① B．只有② C．只有②③ D．只有①④ 【答案】C 【分析】把跑完全程的时间看作单位“1”，已知15分跑了一圈的，也就时跑完全程的时间×＝15分钟，设她用x分跑完一圈，列方程为x＝15；根据路程÷时间＝速度（一定），则路程和时间成正比例，所以可列比例为1∶x＝∶15，根据比例的基本性质，也可列比例为15∶x＝∶1。据此解答。 【详解】根据分析可知，可列方程为x＝15和15∶x＝∶1，即②和③。 故答案为：C 【点睛】本题主要考查了列方程解决问题，找到相应的数量关系式是解答本题的关键。 68．（24-25六年级下·北京房山·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺。别立一表，长一尺五寸，影得五寸。问竿长几何？”意思是：有一根竹竿不知其长度，在阳光下测得它影长为一丈五尺。同一时刻，立一根长为一尺五寸的小标杆，测得影长为五寸，问竹竿的长度是多少？（注：1丈＝10尺，1尺＝10寸） 设竹竿的长度为尺，依题意，可列方程为________。 【答案】x÷15＝1.5÷0.5 【分析】先将1丈5尺、1尺5寸、5寸换算成尺。从题意可知：在相同时间相同地点，竹竿与影长的比值是一定的，所以竹竿长和影长成正比例，据此设竹竿的长度为x尺，根据两根竹竿分别除以影长的商相等，列出方程，即可求出竹竿的长度。 【详解】1丈5尺＝15尺 1尺5寸＝1.5尺 5寸＝0.5尺 设竹竿的长度为尺，依题意，可列方程为x÷15＝1.5÷0.5 69．（21-22六年级下·北京大兴·期末）弹簧秤可以用来称物体的质量。悬挂物体的质量不同，弹簧伸长的长度也不同，有一个弹簧秤最多能称6千克重的物体。先观察下表，再填空。 悬挂物体的质量（千克） 1 2 3 … 弹簧伸长的长度（厘米） 3 6 9 … 如果悬挂5千克的物体，那么弹簧伸长的长度是( )厘米如果弹簧伸长的长度是7.5厘米，那么悬挂物体的质量是( )千克。 【答案】 15 2.5 【分析】观察表格数据可知数量关系：弹簧伸长的长度＝悬挂物体的质量×3，将5千克代入数量关系求出弹簧伸长的长度即可；已知弹簧伸长的长度是7.5厘米，用7.5除以3即可求出悬挂物体的质量，据此解答。 【详解】5×3＝15（厘米） 7.5÷3＝2.5（千克） 所以，悬挂5千克的物体，那么弹簧伸长的长度是15厘米，如果弹簧伸长的长度是7.5厘米，那么悬挂物体的质量是2.5千克。 【点睛】此题考查了小数除法的运用，关键能够结合条件找出数量关系再解答；也可以用正比例的知识解答。 70．（23-24六年级下·北京东城·期末）一个足球是用12块黑皮和20块白皮缝制而成的，王师傅在缝制过程中一共用了60块黑皮，那么相应地用了多少块白皮？（用比例解答） 【答案】100块 【分析】根据题意，黑皮的数量比和白皮的数量比会相等。将白皮数量设为未知数，从而列出比例。将比例写成一般方程，等式两边同时除以12，解出未知数即可。 【详解】解：设相应地用了x块白皮。 答：相应地用了100块白皮。 71．（23-24六年级下·北京东城·期末）3月12日植树节，春光小学组织同学们到实践基地种植一批树苗。如果每行种18棵，恰好可以种40行。如果每行种15棵，这些树苗要种多少行？（用比例的方法解答） 【答案】48行 【分析】根据题意可得：每行树苗的棵数×行数＝这批树苗的总棵数（一定），每行树苗的棵数和行数的积一定，则每行树苗的棵数和行数成反比例关系。据此设这些树苗要种x行，列方程为：15x＝18×40，解出方程即可。 【详解】解：设这些树苗要种x行。 15x＝18×40 15x＝720 15x÷15＝720÷15 x＝48 答：这些树苗要种48行。 72．（22-23六年级下·北京西城·期末）中国铁路经过第六次提速后，“复兴号”的标准速度为每小时350km，按照这个速度，王叔叔出差选择乘坐“复兴号”，原来7小时的车程现在只需要4小时。原来“复兴号”每小时行驶多少千米？ 【答案】200千米/小时 【分析】根据题意，路程不变，速度提高了，时间减少；用公式：路程＝现在的速度×现在的时间，求出总路程，再根据：原来的速度＝路程÷原来的时间，据此计算出结果即可。 【详解】350×4÷7 ＝1400÷7 ＝200（千米/小时） 答：原来“复兴号”每小时行驶200千米。 【点睛】此题考查了路程问题，可以根据路程一定，速度与时间成反比例关系，再用解比例的知识解答。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 55 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 比例 考点一、比例的意义 1. 定义 (1)比：两个数相除又叫做两个数的比。 (2)比例：表示两个比相等的式子叫做比例。 (3)形式： 或 。 2. 判断依据 (1)判断两个比能否组成比例，关键看它们的比值是否相等。 (2)若 （即比值 相同），则 成立。 3. 比与比例的区别 (1)意义不同：比表示两个数相除；比例表示两个比相等。 (2)项数不同：比有2项（前项、后项）；比例有4项（两个外项、两个内项）。 (3)基本性质不同：比的基本性质是化简比的依据；比例的基本性质是解比例的依据。 真题练习 1．（23-24六年级下·北京房山·期末）下列各比中，能与2∶5组成比例的是（    ）。 A．3∶10 B．4∶15 C．5∶20 D．10∶25 2．（20-21六年级下·北京·期末）下列各比中，能与4∶3组成比例的是（　　）。 A．2∶1 B．3∶4 C．6∶9 D．8∶6 3．（22-23六年级下·北京顺义·期末）用24的因数写出一个比例是( )。 考点二、比例的基本性质 1. 内容 (1)在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 (2)若 ，则 。 2. 应用 (1)验证比例：通过计算外项积和内项积是否相等，来检验四个数能否组成比例，或判断给定的比例式是否正确。 (2)改写比例：根据 ，可以将乘积等式改写成8个不同的比例式（注意0除外）。 例如：若 ，可写出 ， 等。 真题练习 4．（24-25六年级下·北京房山·期末）下列各比中，能与9∶6组成比例的是（    ）。 A．2∶3 B．3∶2 C．4∶3 D．8∶12 5．（21-22六年级下·北京门头沟·期末）下面每组中的四个数，可以组成比例的是（    ）。 A．3、5、7、9 B．6、8、14、16 C．、、、 D．4、2.4、1、0.4 6．（23-24六年级下·北京丰台·期末）从3、、1、、中去掉（    ）后，剩下的四个数能组成比例。 A． B．1 C． D． 7．（23-24六年级下·北京东城·期末）如果5a＝6b，那么a∶b＝（    ）。 A．5∶6 B．4∶5 C．6∶5 D．5∶4 8．（23-24六年级下·北京房山·期末）如果2a＝3b，则a∶b＝_________。 9．（23-24六年级下·北京通州·期末）已知6a＝5b，a、b均不为0，a∶b＝( )∶( )。 考点三、解比例 1. 定义 (1)求比例中的未知项，叫做解比例。 2. 解题步骤 (1)设未知数：根据题意设未知数为 。 (2)列比例式：根据数量关系列出含有 的比例方程。 (3)转化方程：利用比例的基本性质，将比例式转化为一般方程（即“外项积=内项积”）。 (4)解方程：求解 的值。 (5)检验与作答：将结果代入原比例检验，并写出答语。 3. 注意事项 (1)解比例的本质是解方程，需严格遵守解方程的格式规范。 (2)计算过程中注意小数点位置和分数的约分。 真题练习 10．（24-25六年级下·北京海淀·期末）解方程。 （1）      （2）9x－4.5＝36 11．（24-25六年级下·北京房山·期末）解方程。 ①                   ② 12．（24-25六年级下·北京房山·期末）解方程。 （1）      （2） 13．（23-24六年级下·北京东城·期末）解方程。                    14．（23-24六年级下·北京东城·期末）解方程。                         13x－7.5x＝13.2 15．（23-24六年级下·北京密云·期末）解方程。            16．（23-24六年级下·北京延庆·期末）解方程。 （1）              （2） 17．（23-24六年级下·北京房山·期末）解方程。 （1）3x－x＝4                  （2）6∶3＝12∶x 18．（23-24六年级下·北京昌平·期末）解方程或解比例。 （1）3x＋2.7＝15.9                （2）x∶＝24∶5 19．（22-23六年级下·北京海淀·期末）解方程。                  考点四、正比例和反比例的意义及辨识 1. 正比例 (1)定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 (2)公式： （ 为常数，且 ）。 (3)特征：同增同减，比值恒定。 2. 反比例 (1)定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 (2)公式： （ 为常数，且 ）。 (3)特征：一增一减，乘积恒定。 3. 辨识步骤（核心考点） (1)找关联：判断两种量是否相关联（一个变，另一个也跟着变）。 (2)定关系：写出两者的数量关系式。 (3)看定量： ①　若 （一定） 正比例。 ②　若 （一定） 反比例。 ③　若既不是比值一定，也不是乘积一定（如 或 ） 不成比例。 4. 常见实例对比 (1)正比例：速度一定，路程与时间；单价一定，总价与数量；圆的周长与直径。 (2)反比例：路程一定，速度与时间；工作总量一定，工作效率与工作时间；长方形面积一定，长与宽。 (3)不成比例：正方形的边长与面积（比值 不固定，乘积 不固定）；人的身高与年龄。 真题练习 20．（23-24六年级下·北京密云·期末）长方形的面积一定，长方形的长和宽之间的关系是（    ）。 A．正比例关系 B．反比例关系 C．没有比例关系 D．都有可能 21．（24-25六年级下·北京顺义·期末）下面（    ）说法中的两个量成正比例。 A．长方形周长一定，它的长和宽。 B．圆柱的体积一定，它的底面积和高。 C．一套运动服是178元，购买运动服的数量和总价。 D．李明阅读完《红楼梦》，他平均每天看的页数和天数。 22．（24-25六年级下·北京朝阳·期末）下面选项中，两种相关联的量成正比例关系的是（    ）。 A．圆柱的高一定，它的体积与底面积 B．步行去学校，平均每分钟走的路程和所用的时间 C．读一本书，读了的页数和未读的页数 D．三角形的面积一定，它的底和高 23．（23-24六年级下·北京朝阳·期末）下面选项中两种量成正比关系的是（    ）。 A．一个人的身高与他的年龄。 B．一本书的总页数一定，未读的页数与已读的页数。 C．圆柱的体积一定，它的底面积与高。 D．某杂志的单价一定，订阅的费用与订阅的数量。 24．（23-24六年级下·北京房山·期末）下列几组相关联的量中，不成正比例关系的是（　　）。 A．铅笔的单价一定，购买的总价和数量 B．圆柱体的体积一定，底面积和高 C．比例尺一定，图上距离与实际距离 D．自行车车轮的直径一定，滚动的周数与行驶的路程 25．（21-22六年级下·北京·期中）下列几组相关联的量中，成反比例关系的是（    ）。 A．百米赛跑的速度和时间 B．比例尺一定，图上距离与实际距离 C．利率一定，存款的本金与利息 D．圆柱体体积一定，底面半径和高 26．（24-25六年级下·北京东城·期末）要将一个水桶注满水，水龙头的出水量和所需时间成( )比例关系。 考点五、正比例图象的认识 1. 图象特征 (1)正比例关系的图象是一条经过原点（0,0）的直线（射线）。 (2)横轴通常表示自变量 ，纵轴表示因变量 。 2. 读图与应用 (1)看点：图象上的任意一点 都满足 。 (2)看趋势：直线越陡，说明比值 越大（变化越快）；直线越平缓，说明比值 越小。 (3)估算与预测： ①　可以根据一个量的值，在图象上找到对应的另一个量的值。 ②　可以延长直线，对超出已知数据范围的值进行合理推测（线性外推）。 真题练习 27．（24-25六年级下·北京房山·期末）2025年春晚名为《秧BOT》的机器人舞蹈，凸显了我国在机器人领域的强大实力。随着人工智能技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，下图显示了A，B两种型号搬运机器人搬运货物的质量与搬运时间之间的关系。 根据图中信息，有下列三个结论： ①A型机器人搬运货物的质量与搬运时间成正比例关系。 ②A型机器人的搬运速度比B型机器人的搬运速度更快一些。 ③A型机器人搬运240千克货物所用时间与B型机器人搬运160千克货物所用时间相等。 所有正确结论的序号是（    ）。 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 28．（23-24六年级下·北京延庆·期末）下图表示一辆汽车行驶的路程和耗油量之间的关系。汽车行驶的路程和耗油量成( )比例，汽车行驶20千米，耗油( )升。 29．（23-24六年级下·北京海淀·期末）在弹性范围内，某种弹簧伸长的长度与所挂物体的质量情况如下图。 (1)如果挂4kg物体，弹簧伸长的长度是( )cm。 (2)弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成( )比例。（填“正”或“反”） (3)当弹簧伸长的长度是0.7cm时，所挂物体的质量是( )kg。 30．（24-25六年级下·北京海淀·期末）某种铁丝的质量和长度的关系如图所示，根据如图回答问题。 （1）3米的铁丝质量是（    ）克。 （2）这种铁丝的长度与质量成（    ）比例。（填“正”或“反”） （3）淘气通过称质量确定铁丝的长度，测得同种铁丝的质量是1830克，这捆铁丝的长度是多少米？ 31．（24-25六年级下·北京房山·期末）如图是我国古代的一种计量时间的仪器——沙漏（又称沙钟）。上下是两个完全相同的圆锥形容器，其中一个完全装满细沙，根据流沙从上面的容器漏到下面的容器的体积来计量时间。 数学实验小组记录了沙漏漏口漏沙体积与漏沙时间的关系： 漏沙时间/分 0 1 2 3 4 5 … 漏沙体积/立方厘米 0 3 6 9 12 15 … （1）根据表中数据，在下图中描出表示沙漏漏口漏沙体积与对应的漏沙时间的点，并把这些点顺次连接起来： （2）如果漏沙时间为8分钟，则漏沙的体积为______立方厘米；如果漏沙的体积为36立方厘米，则漏沙时间为______分钟。 （3）如果单个圆锥形容器的高为9厘米，漏完全部细沙用时30分钟，这个沙漏的底面积是______平方厘米。 考点六、正比例和反比例的应用 1. 解题思路 (1)分析法：先判断题中两种相关联的量成什么比例关系。 (2)列式法： ①　正比例应用：利用比值相等列方程。 设未知数 ，列式： 。 ②　反比例应用：利用乘积相等列方程。 设未知数 ，列式： 。 2. 典型场景 (1)归一问题（正比例）：如买物品，单价不变，数量越多总价越高。 (2)归总问题（反比例）：如修路，总长度不变，每天修的越多，天数越少。 (3)行程问题： ①　速度一定 路程与时间成正比。 ②　时间一定 路程与速度成正比。 ③　路程一定 速度与时间成反比。 3. 易错点 (1)单位不统一：列式前必须确保对应量的单位一致。 (2)对应错误：分子分母、前后项的位置必须严格对应（如“路程/时间”对应“路程/时间”）。 真题练习 32．（24-25六年级下·北京房山·期末）已知与成反比例关系，且当时，，则当时，（    ）。 A．12 B．8 C．3 D．2 33．（23-24六年级下·北京丰台·期末）2024年3月10日至16日是第17个“世界青光眼周”。为更好的宣传和普及青光眼防治知识，3月16日上午19所医院参加了在北京园博园举行的2024年“世界青光眼周”北京第二届“健步走公益乐跑”活动。李医生30分钟跑了全程的，照这样计算，跑完全程的时间为x分钟，下面正确的关系式是（    ）。 ①；②；③ A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 34．（24-25六年级下·北京丰台·期末）科技小组的同学测量学校旗杆的高度。将一根高2米的竹竿直立在学校旗杆的旁边。同一时刻，量得竹竿的影长为1.2米，旗杆的影长为7.74米。那么，旗杆的高度是( )米。 35．（23-24六年级下·北京东城·期末）科学小组的同学做实验，在弹簧的弹性限度内，所挂物体的质量与弹簧伸长的长度情况如下表： 物体质量（kg） 0 1 2 3 4 5 6 … 10 弹簧伸长长度（cm） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 5 根据科学小组测量的数据，在弹簧的弹性限度内，所挂物体的质量与弹簧伸长的长度成( )比例关系，在下面简要说明理由：( )。 36．（23-24六年级下·北京房山·期末）古时候人们常常以物换物，据《九章算术》记载“粟率五十，粝米三十”，“今有粟一斗，欲为粝米，问得几何？”大致意思是：50份粟米可换30份粝米，今有粟米一斗，要换成粝米，问能换多少升粝米？注：粟：小米；粝米：粗米；1斗＝10升。 考点七、比例尺 1. 定义 (1)一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 (2)公式： 或 。 2. 分类 (1)数值比例尺：如 或 。表示图上1厘米代表实际1000000厘米。 (2)线段比例尺：在图上画一段线段，注明该线段代表的实际距离（如 0—50km）。 3. 单位换算（核心难点） (1)计算时，图上距离和实际距离的单位必须统一。 (2)常用进率： ①　 （去掉5个0）。 ②　 （去掉2个0）。 (3)技巧： ①　厘米 千米：小数点向左移5位（或除以100000）。 ②　千米 厘米：小数点向右移5位（或乘以100000）。 4. 三类计算 (1)求比例尺： 。（结果通常写成前项为1的比） (2)求图上距离： 。（注意单位换算，结果通常为cm） (3)求实际距离： 。（注意单位换算，结果通常转换为km或m） 真题练习 37．（24-25六年级下·北京东城·期末）A、B两地的实际距离是100千米，在一幅地图上量得这两地之间的距离是5厘米，这幅地图的比例尺是（    ）。 A． B． C． D． 38．（23-24六年级下·北京海淀·期末）毕业前夕，光明小学六（2）班的同学们为母校绘制了一张校园平面图。学校一幢教学楼的底面形状是长方形，底面的实际长是80m。在校园平面图上，这幢教学楼底面的长是8cm。这张校园平面图的比例尺是（    ）。 A．10∶1 B．1∶10 C．1000∶1 D．1∶1000 39．（22-23六年级下·北京西城·期末）一个精密仪器上的零件长度是5mm，画在图纸上的长度是2cm，这幅图纸的比例尺是（    ）。 A． B． C． D． 40．（24-25六年级下·北京海淀·期末）教学楼的底面是长60米，宽20米的长方形。在绘制它的平面图时，乐乐选择的比例尺是1∶2000，淘气选择的比例尺是1∶1000。以下说法正确的（    ）。 ①在乐乐的平面图中，教学楼底面的图上长是实际长的 ②在淘气的平面图中，教学楼底面的实际面积是图上面积的1000倍 ③在两幅平面图中，教学楼底面的长都是宽的3倍 ④在两幅平面图中，乐乐画的教学楼底面的面积比淘气的小 A．只有① B．只有③ C．只有①③④ D．有①②③④ 41．（24-25六年级下·北京房山·期末）一个精密零件长0.5mm，画在图纸上的长度是2cm，这幅图纸的比例尺是_______。 42．（24-25六年级下·北京房山·期末）现藏于三星堆博物馆的青铜大立人像被誉为“世界铜像之王”（如图）。在一张比例尺为1∶100的图上，这个青铜大立人像（含底座）的高为( )cm。 43．（23-24六年级下·北京东城·期末）小亮一家要出去游玩，他在一幅比例尺是1∶5000000的地图上量得出发地与目的地之间的图上距离是8厘米，那么出发地与目的地之间的实际距离是( )千米。 44．（24-25六年级下·北京房山·期末）搜救船以本船位置O点为中心，发现某海域失事船只位于P点（如下图）。量得从中心O点到P点的图上距离为1.5厘米，请你报告失事船只的位置。失事船只的位置是：______________________________。 45．（23-24六年级下·北京西城·期末）量一量、算一算。 (1)这幅地图的比例尺是1∶( )。 (2)A车和B车同时从所在位置出发，开往终点会合（如图）。他们的车速都是50km/h，先到终点的是( )车，比另一辆车提前( )h到达。（测量时取整cm数。） 46．（24-25六年级下·北京东城·期末）填空并按要求画图。 ①图中的圆形是一个体育馆底座的平面图，先在图上测量出它的半径（测量结果取整厘米）。再根据图中提供的信息求出它的占地面积大约是（    ）平方米。 ②小军从体育馆的南门出发，先向东偏南20°方向走60米到A点，再从A点向正东方向走100米到一号餐厅门口。根据描述，画出小军的行走路线，并标出A点和一号餐厅。 47．（24-25六年级下·北京海淀·期末）同学们开展探秘“北京中轴线”的实践活动，查到以下信息。如果以1∶30000的比例尺画出“北京中轴线”的平面图，图中“北京中轴线”全长多少厘米？ 48．（24-25六年级下·北京朝阳·期末）公园里有一个圆形花坛。将此花坛按1∶50的比例尺画在图纸上，图纸上这个花坛的直径是8厘米。这个花坛的实际占地面积是多少平方米？ 49．（23-24六年级下·北京朝阳·期末）在一幅比例尺为1∶20000的地图上，北京地铁17号线北段的长度大约是125厘米。北京地铁17号线北段的实际长度大约是多少千米？ 50．（23-24六年级下·北京东城·期末）在比例尺为1∶2000000的地图上，量得甲、乙两地之间的高速公路全长6cm。这段高速公路最高限速120千米/时，李叔叔行驶这段路程的平均车速是100千米/时。李叔叔从甲地到乙地要用几小时？ 51．（23-24六年级下·北京房山·期末）爷爷每天跑步锻炼的路线是：从家先向正西方向跑800米到达休闲公园，再从休闲公园向正北方向跑600米到达体育场，最后从体育场沿一条直路直接跑回家（方格图中每个小正方形的边长都是1厘米）。 （1）这幅图的比例尺是 ； （2）在图上标出体育场的位置，并补全爷爷每天跑步的路线； （3）测量爷爷家到体育场的图上距离是 厘米；爷爷每天跑步的实际距离共 米。 52．（24-25六年级下·北京顺义·期末）“狡兔三窟”出自《战国策•齐策四》，是指狡猾的兔子会准备几个藏身的窝，便于躲避天敌。野外林区，摄像头拍下了一只野兔的活动轨迹，证实了这一说法。 （1）野兔从A窝出来，向东跑了4米，到达B窝（如图）。量一量，两个窝之间的图上距离是（    ）厘米（取整数），所用的比例尺是（    ）∶（    ）。 （2）从B窝出来后，野兔向北偏西30°方向跑了6米到达C窝，在上图标出C窝的位置。 （3）一天，野兔在A窝东边28米处吃草，一只狐狸在A窝西边20米处，发现了正在吃草的野兔，狐狸以10米/秒的速度朝野兔奔跑，同时野兔以12米/秒的速度跑向B窝，野兔能安全回到B窝吗？ 53．（23-24六年级下·北京昌平·期末）2023年4月27日，旅居美国孟菲斯动物园的大熊猫“丫丫”由专机运送抵达上海，按期返回中国。运送“丫丫”回国专机的飞行时间和飞行路程如下表所示： 时间/小时 1 2 3 4 5 路程/千米 900 1800 2700 3600 4500 （1）这架专机的飞行路程和飞行时间（    ）。 A．不成比例        B．成正比例       C．成反比例 （2）在比例尺是1∶60000000的地图上，量出孟菲斯到上海的距离是20厘米，那么，从孟菲斯到上海的实际距离为多少千米？ 54．（23-24六年级下·北京通州·期末）图回答问题。 （1）小红每天从家到学校要走多少米？ （2）如果小红每分钟走80米，她上学需要走多少分钟？ （3）星期天小红骑车到电影院看电影，她平均每分钟行140米，30分钟内她能到达电影院吗？ 考点八、图形的放大与缩小 1. 定义 (1)把图形按一定的比放大或缩小，是指图形的各边长按相同的比变化。 (2)放大：比的前项 > 后项（如 ），图形变大，形状不变。 (3)缩小：比的前项 < 后项（如 ），图形变小，形状不变。 2. 性质 (1)形状不变：放大或缩小后的图形与原图形相似。 (2)角度不变：对应角的大小相等。 (3)边长变化：对应边的长度之比等于放大或缩小的比。 (4)面积变化：面积的比等于边长比的平方。 ①　若边长扩大 倍，面积扩大 倍。 ②　若边长缩小到原来的 ，面积缩小到原来的 。 3. 作图方法 (1)看：看原图形各边占几个格。 (2)算：根据给定的比，计算放大或缩小后各边应占几个格。 (3)画：在方格纸上画出新图形。 (4)查：检查形状是否相似，边长是否符合比例。 真题练习 55．（24-25六年级下·北京海淀·期末）把长方形甲按比缩小后得到长方形乙，如下图所示。根据图中信息，同学们列出了下面的四个等式，其中正确的（    ）。 ①16－12＝24－x          ②16∶24＝12∶x ③12∶16＝x∶24          ④x∶12＝16∶24 A．只有① B．只有② C．只有②③ D．只有③④ 56．（24-25六年级下·北京顺义·期末）升入中学，我们将会学习这样的知识“三个角分别相等，三边成比例的两个三角形是相似三角形。”在小学，我们可以看作是“图形的放大和缩小”。根据你的理解，如图中( )和( )两个三角形相似。 57．（24-25六年级下·北京房山·期末）（1）请在方格纸上以线段AB为直角边，画出1个面积是6平方厘米的直角三角形。 （2）把你画的直角三角形，按照1∶2缩小后画在方格纸上。（图中每个小正方形的边长表示1厘米） 58．（23-24六年级下·北京延庆·期末）在方格纸上画图。（图中小方格的边长是1厘米） （1）用数对表示出三角形的顶点A（      ）和C（      ），画出将图中三角形绕B点顺时针旋转90°后的图形。 （2）画出将图中三角形按2∶1放大后的图形，放大后的图形和原图形比较，（    ）不变。 59．（24-25六年级下·北京朝阳·期末）按要求在方格纸上画图。 ①画出以A（1，1）、B（3，3）、C（6，3）、D（4，1）为顶点的平行四边形。 ②画出一个和平行四边形ABCD面积相等的直角三角形EFG。 ③画出将直角三角形EFG按2∶1放大后的图形。 60．（24-25六年级下·北京东城·期末）画一画。 ①把三角形A向右平移6格得到三角形B，在方格图中画出三角形B。 ②把三角形A按2∶1放大后得到三角形C，在方格图中画出三角形C。 61．（24-25六年级下·北京丰台·期末）三角形ABC，顶点C的位置是（1，5）。先画出三角形ABC，再画出把它按2∶1放大后的三角形A′B′C′。 （1）以B′为圆心，在三角形A′B′C′内，画出一个最大的扇形。 （2）如果每个小方格的边长表示1厘米，画出的扇形面积是（    ）平方厘米。 62．（24-25六年级下·北京房山·期末）下面的方格图中有四个小三角形，请按要求操作并回答问题。 (1)______号三角形是①号三角形缩小后得到的，它是按______的比缩小的； (2)______号三角形是②号三角形放大后得到的，它是按______的比放大的； (3)画出③号三角形按2∶1放大后的三角形，放大后的三角形面积与③号三角形面积的比是______。 63．（23-24六年级下·北京东城·期末）操作。 （1）画出三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转后的图形。 （2）按2∶1画出三角形AOB放大后的图形，按1∶3画出长方形缩小后的图形。 64．（23-24六年级下·北京密云·期末）在下面方格纸中画一画。 （1）把图中三角形向右平移6格，画出平移后的图形。 （2）把图中三角形绕O点顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。 （3）把图中三角形按2∶1放大，画出放大后的图形。 65．（23-24六年级下·北京昌平·期末）下图中，点O的位置为（4，5）。 （1）点B的位置为（ ）。 （2）点A的位置为（7，8），在图中标出点A，依次连接点A、O、B。 （3）请在图中画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后的图形。 （4）请在图中画出△AOB按2∶1放大后的图形。 考点九、比例的应用 1. 用比例解决问题的通用步骤 (1)梳：梳理题目中的已知条件和所求问题，找出两种相关联的量。 (2)判：判断这两种量成什么比例关系（正比例还是反比例）。 (3)设：设未知数为 。 (4)列：根据比例意义列出方程。 ①　正比例： ②　反比例： (5)解：解方程求出 。 (6)验：检验结果合理性并作答。 2. 常见题型归纳 (1)比例尺应用：地图距离与实际距离互换。 (2)按比例分配：虽主要属于比的应用，但常与比例结合。如：已知总量和各部分比的份数，求各部分量。 (3)工程/行程/价格问题：识别不变量（总量、速度、单价等），确定比例类型。 真题练习 66．（21-22六年级下·北京门头沟·期末）如果按1∶1000的比例尺制作一个中央广播电视塔模型（包括避雷针），高为40.5cm。中央广播电视塔的实际总高度是（    ）米。 A．4.05 B．40.5 C．405 D．4050 67．（22-23六年级下·北京海淀·期末）姐姐沿着8千米长的环形跑道跑步（如图）。她从起点出发，用15分跑了一圈的，照这样的速度，她共用多少分跑完一圈？如果设她用x分跑完一圈，以下方程正确的（    ）。 x∶15＝8∶ x＝15 15∶x＝∶1 8∶x＝∶15 ① ② ③ ④ A．只有① B．只有② C．只有②③ D．只有①④ 68．（24-25六年级下·北京房山·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺。别立一表，长一尺五寸，影得五寸。问竿长几何？”意思是：有一根竹竿不知其长度，在阳光下测得它影长为一丈五尺。同一时刻，立一根长为一尺五寸的小标杆，测得影长为五寸，问竹竿的长度是多少？（注：1丈＝10尺，1尺＝10寸） 设竹竿的长度为尺，依题意，可列方程为________。 69．（21-22六年级下·北京大兴·期末）弹簧秤可以用来称物体的质量。悬挂物体的质量不同，弹簧伸长的长度也不同，有一个弹簧秤最多能称6千克重的物体。先观察下表，再填空。 悬挂物体的质量（千克） 1 2 3 … 弹簧伸长的长度（厘米） 3 6 9 … 如果悬挂5千克的物体，那么弹簧伸长的长度是( )厘米如果弹簧伸长的长度是7.5厘米，那么悬挂物体的质量是( )千克。 70．（23-24六年级下·北京东城·期末）一个足球是用12块黑皮和20块白皮缝制而成的，王师傅在缝制过程中一共用了60块黑皮，那么相应地用了多少块白皮？（用比例解答） 71．（23-24六年级下·北京东城·期末）3月12日植树节，春光小学组织同学们到实践基地种植一批树苗。如果每行种18棵，恰好可以种40行。如果每行种15棵，这些树苗要种多少行？（用比例的方法解答） 72．（22-23六年级下·北京西城·期末）中国铁路经过第六次提速后，“复兴号”的标准速度为每小时350km，按照这个速度，王叔叔出差选择乘坐“复兴号”，原来7小时的车程现在只需要4小时。原来“复兴号”每小时行驶多少千米？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 55 页 学科网（北京）股份有限公司 $