专题05 三角形（6大考点48道题）（期末真题汇编）四年级数学下学期（北京专用·人教版）

专题05 三角形 考点一、三角形的高及画法 1.定义理解 (1)从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 (2)这条对边叫做三角形的底。 (3)关键特征：高与底互相垂直，通常用虚线表示高，并标出直角符号。 2.高的数量 (1)任意一个三角形都有3条高。 (2)每条高都对应一条特定的底边。 3.不同三角形高的位置特点 (1)锐角三角形：3条高都在三角形内部。 (2)直角三角形：两条高分别是两条直角边，另一条高在三角形内部。 (3)钝角三角形：夹钝角的两条边上的高在三角形外部（需延长底边），钝角所对边上的高在内部。 4.画高步骤 (1)一靠：将三角尺的一条直角边与底边重合。 (2)二移：沿底边平移三角尺，使另一条直角边经过对应的顶点。 (3)三画：从顶点向底边画垂线段（虚线）。 (4)四标：标出垂足（直角符号）和字母h（高）、a（底）。 真题练习 1．（23-24四年级下·北京东城·期末）如图，以线段AB为底边，画高是3厘米的三角形，能画出（    ）个。 A．2 B．3 C．无数 【答案】C 【分析】根据三角形高的定义，从 三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。以线段AB为底边，这条线段上任意一点为垂足，都可以画出高是3厘米的三角形，这样的三角形有无数个。 【详解】以线段AB为底边，画高是3厘米的三角形，能画出无数个。 故答案为：C 2．（23-24四年级下·北京石景山·期末）画出三角形指定底边上的高。 【答案】见详解 【分析】把直角三角尺的直角边与三角形的底重合，使得三角形的顶点在三角尺的另一条直角边上，固定直角三角尺，沿着这条直角边，过顶点向底边画线段，即为底边的高。 【详解】 3．（22-23四年级下·北京西城·期末）画出三角形指定底边上的高。 【答案】见详解 【分析】根据过三角形指定底边的对角顶点向指定底边作垂线，顶点和垂足间的线段，就是三角形指定底边上的高，据此画图即可。 【详解】如图：    【点睛】本题主要考查作三角形的高，注意作高通常用虚线，并标出垂足。 4．（21-22四年级下·北京东城·期末）画出下图三角形ABC中BC边上的高。 【答案】见详解 【分析】根据三角形高的定义，过点A向BC边上作垂线即可，用虚线，垂足处添加直角标志。 【详解】画出三角形ABC中BC边上的高，如下图所示： 【点睛】本题考查过直线外一点作已知直线垂线，关键是掌握三角形高的作法。 5．（23-24四年级下·北京西城·期末）以点子图上的线段作为三角形的底，画高为3cm的三角形，并标出高。 【答案】见详解 【分析】由三条边组成的封闭图形是三角形，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底；因此可在距离底边的3厘米处任意取一个点作为三角形的顶点，再用线段将顶点分别与底的两端连接起来，即可解答。 【详解】画图如下： （答案不唯一） 考点二、三角形的稳定性及应用 1.特性描述 (1)三角形具有稳定性。即当三角形三条边的长度确定后，其形状和大小就完全确定了，不会发生改变。 (2)对比：四边形具有不稳定性（易变形）。 2.实际应用 (1)利用稳定性加固结构：如自行车车架、篮球架、电线杆支架、屋顶桁架等。 (2)防止变形措施：在容易变形的四边形框架中加一根木条，将其分割成两个三角形，从而利用三角形的稳定性进行加固。 真题练习 6．（24-25四年级下·北京东城·期末）下面各图是平面图形特性在生活中的应用，应用的特性与其他三幅图不同的是图（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点。而四边形具有不稳定性；据此进行解答。 【详解】A．伸缩门应用了平行四边形的不稳定性； B．伸缩机应用了平行四边形的不稳定性； C．框架应用了三角形的稳定性； D．伸缩连接应用了平行四边形的不稳定性； 故答案为：C 7．（22-23四年级下·北京朝阳·期末）生活中有很多应用三角形稳定性的例子，看看下面四个图，没有利用三角形稳定性的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】只要三角形的三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这个性质叫作三角形的稳定性，依此选择。 【详解】A．虽然图中出现三角形，但是描述的是路径问题，不属于利用三角形稳定性。 B、C、D中都利用了三角形的稳定性。 故答案为：A。 【点睛】熟练掌握三角形的稳定性及应用是解答本题的关键。 8．（21-22四年级下·北京东城·期末）为弘扬中华优秀传统文化，同学们在学校劳技课上认识和制作灯笼。小新做了一只灯笼，它的底部框架如图：如果想再加一根木条使框架更牢固，下面方法最好的是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角形具有稳定性，不容易变形，因此只要加的这根木棍将底部框架中的正方形平均分成2个三角形即可，依此选择。 【详解】根据分析可知： 如果想再加一根木条使框架更牢固，最好的方法是：或。 故答案为：C 【点睛】此题考查的是三角形的稳定性及其应用，应熟练掌握。 考点三、三角形三边关系 1.基本定理 (1)三角形任意两边之和大于第三边。 (2)公式表达：若三边长为 ，则 ， ， 。 2.推论应用 (1)三角形任意两边之差小于第三边。 (2)判断能否围成三角形的方法： ①　简便方法：只需检验较短的两条边之和是否大于最长边。 ②　若 ，则能围成三角形；否则不能。 3.第三边取值范围 (1)已知两边长分别为 和 （假设 ），则第三边 的取值范围为： (2)注意：取值范围不包含端点值。 真题练习 9．（24-25四年级下·北京丰台·期末）下面各组中的数据代表小棒的长度，不能围成三角形的是（    ）组。 A．5cm，5cm，8cm B．6cm，8cm，10cm C．8cm，8cm，16cm D．12cm，12cm，12cm 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边。以此逐项分析各个选项，选择正确的答案即可。 【详解】根据分析可知： A．5＋5＝10＞8，满足三角形三边关系，能围成三角形。 B．6＋8＝14＞10，满足三角形三边关系，能围成三角形。 C．8＋8＝16＝16，不满足三角形三边关系，不能围成三角形。 D．12＋12＝24＞12，满足三角形三边关系，能围成三角形。 故答案为：C 10．（19-20四年级下·辽宁·期末）把一根细铁丝剪成三段，围成一个三角形。下列剪法中，能围成一个三角形的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此分析每个选项，选出能围成三角形的即可。 【详解】A．3＋3＝6cm，6cm＝6cm，两边之和等于第三边，不能围成三角形； B．3＋4＝7cm，7cm＞5cm，4－3＝1cm，1cm＜5cm，能围成三角形； C．2＋3＝5cm，5cm＜7cm，两边之和小于第三边，不能围成三角形； D．4＋6＝10cm，10cm＞2cm，6－4＝2cm，2cm＝2cm，两边之差等于第三边，不能围成三角形。 能围成一个三角形的是。 故答案为：B 11．（23-24四年级下·北京朝阳·期末）如图，在一根长的小棒上剪2刀，再把它们固成一个三角形。若第一刀剪在P处，则第二刀剪在（    ）处一定能围成三角形。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】把一根16cm长的小棒平均分成16份，每份是1cm，三角形任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，依此选择即可。 【详解】A．如果第二刀剪在①处，则三条长度分别为：1cm、9cm、6cm，1cm＋6cm＝7cm，7cm＜9cm，因此不满足。 B．如果第二刀剪在②处，则三条长度分别为：3cm、7cm、6cm，3cm＋6cm＝9cm，9cm＞7cm，因此满足。 C．如果第二刀剪在③处，则三条长度分别为：8cm、2cm、6cm，2cm＋6cm＝8cm，8cm＝8cm，因此不满足。 D．如果第二刀剪在④处，则三条长度分别为：10cm、3cm、3cm，3cm＋3cm＝6cm，6cm＜10cm，因此不满足。 故答案为：B 12．（23-24四年级下·北京海淀·期末）将一根长14厘米的小棒剪2刀，用得到的三根小棒首尾相接围一个三角形。若第一刀剪在M处，如下图所示，第二刀剪在（    ）处一定能围成一个三角形。（14厘米长的小棒如下图，图中每个“”一样长） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】根据题意，明确三角形三边之间的关系：三角形两边之和大于第三边，根据三角形的三边关系，逐项分析后进行选择；据此解答。 【详解】根据分析可知： A．如果第二刀剪在A处，那么三根小棒分别为1厘米、4厘米和9厘米，1＋4＝5（厘米），5＜9，那么第二刀剪在A处不能围成一个三角形； B．如果第二刀剪在B处，那么三根小棒分别为3厘米、2厘米和9厘米，3＋2＝5（厘米），5＜9，那么第二刀剪在B处不能围成一个三角形； C．如果第二刀剪在C处，那么三根小棒分别为5厘米、5厘米和4厘米，5＋4＝9（厘米），9＞5，那么第二刀剪在C一定能围成一个三角形； D．如果第二刀剪在D处，那么三根小棒分别为5厘米、7厘米和2厘米，5＋2＝7（厘米），7＝7，那么第二刀剪在D处不能围成一个三角形。 故答案为：C 13．（23-24四年级下·北京丰台·期末）下面四种说法所描述的三角形，它的形状和大小与如图所示三角形一定相同的是（    ）。 A．三条边的长度分别是6cm、8cm和10cm的三角形 B．周长为24cm的三角形 C．一条边长10cm，有两个角都是的三角形 D．两条边的长分别为8cm和10cm，且这两边夹角为直角的三角形 【答案】A 【分析】两个完全相同的三角形，它们的三条边的长度分别相等，三个角的度数也分别相等。当两个三角形的三条边长度分别相等时，这两个三角形的三个角也相等，两个三角形一样。据此解答。 【详解】A．读图可知，选项中三角形的三条边与图中三角形的三条边分别相等，所以两个三角形相同，选项符合题意； B．周长为24cm的三角形，这个三角形三条边、三个角都不一定与图中三角形相等，选项不符合题意； C．观察图中的三角形，其中一个角是直角，另外两个角度数不相等，则“一条边长10cm，有两个角都是45°的三角形”与图中三角形不相等，选项不符合题意； D．观察图形，发现8cm和6cm两条边的夹角是90°，而选项中的直角边分别是10cm和8cm，与图中三角形不对应相等，所以“两条边的长分别为8cm和10cm，且这两边夹角为直角的三角形”与图中三角形不相等。选项说法错误。 故答案为：A 14．（23-24四年级下·北京东城·期末）如下图，小丽从家出发，先去中国科技馆当小讲解员，然后去奥林匹克森林公园锻炼身体，最后回到家中。小丽走的路线恰好形成一个近似的三角形，她走的路程可能是（    ）km。 A．1.5km B．1.6km C．1.9km D．3km 【答案】C 【分析】由题图可知，小丽家到中国科技馆的距离是0.7km，中国科技馆与奥林匹克森林公园的距离是0.8km，根据三角形的三边关系可知，0.7＋0.8＝1.5（km），0.8－0.7＝0.1（km），小丽家与奥林匹克森林公园的距离大于1.5km，小于0.1km；再根据小丽走的路程是三角形三边长之和，也就是三角形的周长，求出小丽走的路程的范围，然后结合选项进行选择即可解答。 【详解】0.7＋0.8＝1.5（km） 0.8－0.7＝0.1（km） 小丽家与奥林匹克森林公园的距离的范围：0.1km＜第三边＜1.5km 1.5＋0.1＝1.6（km） 1.5＋1.5＝3（km） 因此小丽走的路程的范围：1.6km＜三角形的周长＜3km A．1.5km＜1.6km B．1.6km＝1.6km C．1.6km＜1.9km＜3km D．3km＝3km 故答案为：C 15．（24-25四年级下·北京朝阳·期末）有两根长度分别为6cm、4cm的小棒，如果想再添上一根小棒（长度取整厘米数）搭成一个三角形，添上的这根小棒最长是( )cm。 【答案】 9 【分析】根据题意，根据三角形三边关系，第三边必须大于两边之差且小于两边之和。已知两根小棒分别为6厘米和4厘米，第三边长度需满足：6－4＜第三边＜6＋4，即2＜第三边＜10。由于长度取整厘米数，第三边最长为9厘米。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 6－4＝2（厘米） 6＋4＝10（厘米） 10－1＝9（厘米） 有两根长度分别为6cm、4cm的小棒，如果想再添上一根小棒（长度取整厘米数）搭成一个三角形，添上的这根小棒最长是9cm。 16．（22-23四年级下·北京西城·期末）有5根小棒，长度分别是2厘米、3厘米、5厘米、7厘米和8厘米。从中选择3根首尾相接围成三角形。要想围成的三角形周长最短，应选择长度是( )厘米、( )厘米和( )厘米的小棒。 【答案】 5 3 7 【分析】根据任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边，即可解题。 【详解】由分析可知： 5＋3＞7，2＋7＞8，3＋7＞8，5＋7＞8可以组成三角形，有这4种搭配方法，周长最短的三角形是：3＋5＋7＝17（厘米） 所以要想围成的三角形周长最短，应选择长度是5厘米、3厘米和7厘米的小棒。 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系的应用，需熟练掌握。 17．（23-24四年级下·北京石景山·期末）有4根小棒，它们的长度分别是2cm、5cm、7cm和10cm。聪聪从这4根小棒中选了3根，首尾相接地摆出一个三角形，这个三角形的周长是( )cm。 【答案】22 【分析】三角形的任意两边之和大于第三边，2与5的和是7，所以2cm、5cm、7cm这三根小棒不能摆出一个三角形，而5与7的和是12，12大于10，所以5cm、7cm和10cm这三根小棒是可以摆出一个三角形的。再把这三根小棒的长度相加，即可求出其周长。 【详解】5＋7＝12（cm） 12＞10 12＋10＝22（cm） 这个三角形的周长是22cm。 考点四、三角形的分类 1.按角分类 (1)锐角三角形：三个角都是锐角（小于90°）。 (2)直角三角形：有一个角是直角（等于90°）。 ①　特征：直角三角形中，两个锐角之和为90°。 (3)钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°且小于180°）。 (4)注意：一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个直角或一个钝角。 2.按边分类 (1)不等边三角形：三条边都不相等。 (2)等腰三角形：有两条边相等。 ①　腰：相等的两条边。 ②　底：另一条边。 ③　顶角：两腰的夹角。 ④　底角：腰与底的夹角。 ⑤　性质：两底角相等；是轴对称图形，有一条对称轴。 (3)等边三角形（正三角形）：三条边都相等。 ①　性质：三个角都相等，均为60°；是轴对称图形，有三条对称轴。 ②　关系：等边三角形是特殊的等腰三角形。 真题练习 18．（24-25四年级下·北京丰台·期末）四个三角形分别被遮住一部分，下列说法正确的是（    ）。 A．①号一定是等腰三角形 B．②号一定是直角三角形 C．③号一定是等边三角形 D．④号一定是锐角三角形 【答案】D 【分析】有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。等腰三角形是指至少有两边相等的三角形，等腰三角形的两个底角度数相等。三边相等的三角形是等边三角形，其三个内角大小相等，均为60°，据此逐项分析，即可解答。 【详解】①号露出的角是钝角，另外两个角不能确定，所以无法确定是等腰三角形； ②号露出的一个角是锐角，另外两个角不能确定，所以无法确定是直角三角形； ③号露出的一个角是锐角，另外两个角不能确定，所以无法确定是等边三角形； ④号露出的两个角是锐角，且露出的两个锐角的度数合起来一定大于90°，因此被遮住的角一定是锐角，所以是一个锐角三角形。 四个三角形分别被遮住一部分，说法正确的是④号一定是锐角三角形。 故答案为：D 19．（24-25四年级下·北京西城·期末）在下图中，直线和直线是一组平行线。三角形的顶点可以沿着直线移动。如果点向右移动且边位置不变，三角形不会变成（    ）。 A．等边三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】如果点A向右移边位置不变，三角形ABC会变成如下图所示： 在三角形中，当等于时，即两腰相等，那么三角形ABC就变成了等腰三角形；三个角都小于90度，都是锐角，那么三角形ABC就变成了锐角三角形。 在三角形中，∠大于90度，是一个钝角，那么三角形ABC就变成了钝角三角形。 根据等边三角形的定义：三边都相等的三角形是等边三角形，BC是三角形ABC的最短边，AB比BC长，并且点A在向右移动的过程中，AB是最短的一边。因此AB不可能等于BC。因此三角形不可能是等边三角形。 据此进行解答即可。 【详解】根据分析： A. 三角形不会变成等边三角形； B．三角形能变成等腰三角形； C．三角形能变成锐角三角形； D．三角形能变成钝角三角形。 故答案为：A 20．（24-25四年级下·北京东城·期末）如下图，小宇从家到学校行走的过程中，每走一步所在的位置与学校和图书馆所在的位置顺次连接都能围成一个三角形，想象一下所围成的三角形可能是（    ）。 A．AB B．AC C．BC D．ABC 【答案】D 【分析】三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形，有一个直角的三角形叫做直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。据此可知，任何一个三角形都至少有2个锐角，题目只明确了一个内角是60°，那么这个三角形三种情况都有可能。据此解答。 【详解】由分析得： 如果图书馆到小宇家的那条边与小宇家到学校的那条边围成的夹角是锐角，这个三角形是锐角三角形。若这个夹角是直角，这个三角形是直角三角形，若这个三角形是钝角，这个三角形是钝角三角形。 故答案为：D 21．（24-25四年级下·北京朝阳·期末）把所有三角形作为一个整体，锐角三角形、直角三角形、钝角三角形作为整体的一部分，可以表示它们之间关系的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】三角形按角来分，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形。据此解答。 【详解】 A．三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形且三者之间不存在包含关系，该关系图正确。 B．三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，但三角形按角分类，除了这三种三角形没有其它种类的三角形。该关系图错误。 C．锐角三角形不应该包含直角三角形和钝角三角形。该关系图错误。 D．钝角三角形不应该包含直角三角形和锐角三角形。该关系图错误。 故答案为：A 22．（22-23四年级下·北京西城·期末）一个三角形，它最大的角是85°。这个三角形是（    ）。 A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】三角形按角可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三类，3个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有1个角是直角的三角形是直角三角形，有1个角是钝角的三角形是钝角三角形，据此解答。 【详解】因为0°＜85°＜90°，则85°是锐角，一个三角形中最大的角是锐角，那么这个三角形的其它两个角也是锐角，那么，这个三角形的三个内角全部是锐角。根据定义：三个内角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。所以，这个三角形是锐角三角形。又因为85°接近90°，结合选项可知，这个三角形是  。 故答案为：A 【点睛】熟练掌握三角形的分类情况是解答本题的关键。 23．（23-24四年级下·北京朝阳·期末）工人叔叔打算用直角三角形瓷砖装饰墙面（如下图），请你想一想，空白部分还需要（    ）块这样的瓷砖。 A．6 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】 如图所示，两个直角三角形可以拼成一个长2分米宽1分米的长方形。四个直角三角形可以拼成边长为2分米的正方形。空白部分可以分成4个长2分米宽1分米的长方形，以及一个长2分米的正方形。则一共需要（2×4＋4）个直角三角形。 【详解】2×4＋4 ＝8＋4 ＝12（块） 空白部分还需要12块这样的瓷砖。 故答案为：B 24．（24-25四年级下·北京东城·期末）一个等腰三角形的两条边分别是3厘米和6厘米，它的第三条边是( )厘米。 【答案】 6 【分析】等腰三角形的两腰相等，三角形3条边的关系是：任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，依此确定出这个等腰三角形的第三条边长。 【详解】3厘米＋3厘米＝6厘米，因此第三条边长不能为3厘米； 6厘米＋6厘米＞3厘米，6厘米－3厘米＜6厘米， 因此第三条边长是6厘米。 25．（23-24四年级下·北京丰台·期末）已知一个等腰三角形的两条边长分别是6cm和14cm，这个三角形的周长是( )cm。 【答案】34 【分析】三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形的三条边之和是三角形的周长； 等腰三角形的两腰长度相等，先算出等腰三角形的第三条边是多少，再把三条边相加，即可算出这个三角形的周长是多少。据此解答。 【详解】6＋6＝12（cm），12＜14，所以这个等腰三角形的两腰长度不是6cm； 14＋14＝28（cm），28＞6，14－6＝8（cm），14＞8，所以这个等腰三角形的两腰长度是14cm； 14×2＋6 ＝28＋6 ＝34（cm） 已知一个等腰三角形的两条边长分别是6cm和14cm，这个三角形的周长是34cm。 26．（24-25四年级下·北京西城·期末）从长度分别为3cm、3cm、6cm、6cm和9cm的五根小棒中选取三根，首尾相接围成一个周长最短的等腰三角形，这个等腰三角形的周长是( )cm。 【答案】 15 【分析】根据题意，明确等腰三角形的两腰相等；三角形三边关系，等腰三角形需满足两边之和大于第三边。从给定小棒中选取两根相同长度作为腰，第三根作为底边，逐一验证可能的组合，找出周长最小的可行组合。 【详解】根据分析可知： 3cm、3cm、6cm：3＋3＝6，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形。 3cm、3cm、9cm：3＋3＝6＞9，不满足条件。 6cm、6cm、3cm：6＋6＞3，6＋3＞6，满足条件，周长为6＋6＋3＝15（厘米）。 6cm、6cm、9cm：6＋6＞9，满足条件，周长为6＋6＋9＝21（厘米）。 15＜21 从长度分别为3cm、3cm、6cm、6cm和9cm的五根小棒中选取三根，首尾相接围成一个周长最短的等腰三角形，这个等腰三角形的周长是15cm。 27．（23-24四年级下·北京石景山·期末）一个三角形三个内角的度数分别是45°、45°和90°。按角分类，这个三角形是( )三角形；按边分类，这个三角形是( )三角形。 【答案】 直角 等腰 【分析】三角形按角分属于什么三角形，看三角形中最大的内角，这个三角形中最大的内角是90°，这是一个直角，由此可知这是一个直角三角形。等腰三角形两腰相等，两个底角相等，这个三角形有两个内角的度数都是45°，此为等腰三角形。 【详解】一个三角形三个内角的度数分别是45°、45°和90°。按角分类，这个三角形是直角三角形；按边分类，这个三角形是等腰三角形。 28．（23-24四年级下·北京丰台·期末）按要求画图。 ①在下面的点子图中，以AB为一条边，画出一个等腰三角形ABC（三角形的顶点都在点子上） ②画出三角形以AB为底的高。 【答案】①②见详解 【分析】①等腰三角形的特征是有两条边相等，有两个底角相等。而且三角形的顶点都在点子上，所以要画一条与AB相等的边以A为一端画才保证在点子上，据此特征画图； ②经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高，据此画图即可。 【详解】如图： 考点五、三角形的内角和 1.核心结论：任意三角形的内角和都是 180°。 2.验证方法 (1)量一量：用量角器分别测量三个角的度数，求和。 (2)拼一拼：将三角形的三个角剪下来，拼在一起，形成一个平角（180°）。 (3)折一折：通过折叠将三个角汇聚到一点，形成平角。 3.常见计算模型 (1)已知两个角求第三个角： 。 (2)直角三角形：已知一个锐角，求另一个锐角： 。 (3)等腰三角形： ①　已知顶角求底角： 。 ②　已知底角求顶角： 。 真题练习 29．（23-24四年级下·北京朝阳·期末）同学们为了验证“三角形内角和是”采用了不同的方法。下图的验证方法中能说明“三角形内角和是”的有（    ）。 A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有①③④ D．①②③④都对 【答案】D 【分析】第①种方法是量出各个角的度数，相加是180°， 80°＋55°＋45°＝180°，从而证明三角形内角和 是180°；第②种方法是三个角拼在一起，拼成平角，平角是 180°，因而证明三角形内角和是180°；第③种方法是通过两直线平行，内错角相等，拼成平角，来证明三角形内角和是180°；第④种方法是把长方形分成了两个三角形，长方形内角和是360°，每个三角形内角和是180°。 【详解】根据分析：验证方法中能说明“三角形内角和是180°”的是①②③④。 故答案为：D 30．（22-23四年级下·北京东城·期末）如果等腰三角形中有一个角是70°，那么这个三角形一定是（    ）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】假设70°是顶角，根据三角形的内角和和等腰三角形的特征求出底角的度数，判断三角形的特征；假设70°是底角，根据三角形的内角和和等腰三角形的特征求出顶角的度数，判断三角形的特征，即可求解。 【详解】假设70°是顶角，则底角为：（180°－70°）÷2 ＝110°÷2 ＝55° 则三角形为锐角三角形； 假设70°是底角，则顶角为：180°－70°－70° ＝110°－70° ＝40° 则三角形为锐角三角形； 所以这个三角形一定是锐角三角形。 故答案为：A 【点睛】本题考查锐角三角形和等腰三角形的特征以及三角形的内角和。 31．（24-25四年级下·北京朝阳·期末）一个等腰三角形的一个顶角是一个底角的4倍，这个等腰三角形的顶角是( )°。 【答案】120 【分析】根据三角形三个内角的度数和是180°，等腰三角形两个底角度数相等，把一个底角看作1份，则顶角是1×4＝4（份），所以三个角的度数和就是1＋1＋4＝6（份），用180°除以总份数6，即得到每份数一个底角的度数，再乘4即得到顶角的度数。据此解答。 【详解】1＋1＋4＝6（份） 180°÷6＝30° 30°×4＝120° 即一个等腰三角形的一个顶角是一个底角的4倍，这个等腰三角形的顶角是120°。 32．（24-25四年级下·北京丰台·期末）将一副三角尺的两个直角重合，如图所示。图中∠1＝( )°。 【答案】15 【分析】 如图，∠2是45°，∠2和∠3组成一个平角，平角是180°，用180°减去∠2的度数就是∠3的度数。∠4的度数是30°，用180°减去∠3的度数，再减去∠4的度数就是∠1的度数。 【详解】180°－45°＝135° 180°－135°－30° ＝45°－30° ＝15° 所以∠1＝15°。 33．（24-25四年级下·北京丰台·期末）顶角为36°的等腰三角形被叫做黄金三角形，如图所示。它不仅存在于自然界中，也因其对称美与和谐美被广泛应用于建筑及艺术等领域。黄金三角形的一个底角是( )°。 【答案】72 【分析】三角形的内角和是180°，等腰三角形的两个底角相等。用180°减去顶角的36°就是两个底角的度数。算出结果再除以2，就是一个底角的度数。 【详解】（180°－36°）÷2 ＝144°÷2 ＝72° 所以，黄金三角形的一个底角是72°。 34．（23-24四年级下·北京西城·期末）如图是由一副三角尺拼成图形的示意图。∠1＝( )°。 【答案】105 【分析】一副三角尺，其中一个三角尺的角有30°、60°、90°，等腰直角三角尺的角有45°、45°、90°，根据三角形的内角和等于180°，求出∠1＝180°－30°－45°；据此解答即可。 【详解】∠1＝180°－30°－45° ＝150°－45° ＝105° 因此∠1＝105°。 35．（24-25四年级下·北京西城·期末）如图是一个平行四边形，，。那么( )°。 【答案】35 【分析】如详解图，∠1和∠4拼成一个平角，平角＝180°，那么∠4＝（180°－75°），三角形内角和是180°，180°减去∠4的度数，再减去∠2的度数，即可算出∠3的度数。 【详解】 ∠4＝180°－∠1 ＝180°－75° ＝105° ∠3＝180°－∠4－∠2 ＝180°－105°－40° ＝75°－40° ＝35° 即如题图是一个平行四边形，，。那么35°。 36．（23-24四年级下·北京丰台·期末）直角三角形ABC中，和都是锐角，是的2倍，( )。 【答案】60 【分析】直角三角形ABC中，如果和都是锐角，就是90°。根据三角形的内角和是180°，加就等于180°减去 的度数，即180减去90°。再根据是的2倍，因此加就等于3 ，就用90°除以3，就是的度数，最后用的度数乘2，就是的度数。据此解答即可。 【详解】因为三角形ABC是直角三角形 因此＋＝180°－ ＋＝180°－90° ＋＝90° 又因为＝2 因此2＋＝90° 3＝90° ＝30° ＝2×30°＝60° 因此＝60°。 37．（23-24四年级下·北京丰台·期末）将长方形纸的一个角折起，如图所示。如果，那么( )。 【答案】55 【分析】将长方形纸的一个角折起，如图所示。长方形四个角都是直角，∠D＝∠D’＝90°，∠2＝∠AED’，在三角形AED’，已知其中两个角，求第三个角，根据三角形内角和是180°，用180°减去这两个角的度数，求出∠AED’，即为∠2。 【详解】180°－35°－90°＝145°－90°＝55° 所以55° 38．（23-24四年级下·北京东城·期末）如图是由一个等边三角形ABD和一个等腰三角形ADC组成的大三角形ABC，∠2＝( )°。 【答案】30 【分析】三角形内角和是180°。ABD是等边三角形，等边三角形三条边都相等，三个角都相等，据此算出∠1和∠B的度数。ADC是等腰三角形，等腰三角形两腰相等，两底角也相等，所以∠2＝∠C。因为∠1＋∠2＋∠B＋∠C＝180°，用180°减去∠1的度数，再减去∠B的度数，然后除以2，即可算出∠2的度数。 【详解】180°÷3＝60° （180°－60°－60°）÷2 ＝（120°－60°）÷2 ＝60°÷2 ＝30° 如图是由一个等边三角形ABD和一个等腰三角形ADC组成的大三角形ABC，∠2＝30°。 39．（22-23四年级下·北京海淀·期末）下面是五个角的度数，其中有三个是同一个三角形的内角度数，这个三角形的三个内角度数分别是( )°，( )°和( )°，这个三角形是( )三角形。（填“锐角”“直角”或“钝角”） 55°     118°     45°     32°     80° 【答案】 55 45 80 锐角 【分析】三角形内角和是180°，从五个角中选出度数和是180°的三个角，这三个角就是三角形的三个内角。三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。据此判断这个三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形。 【详解】55°＋45°＋80° ＝100°＋80° ＝180° 55°、45°、80°的角都是锐角，这个三角形是锐角三角形。 下面是五个角的度数，其中有三个是同一个三角形的内角度数，这个三角形的三个内角度数分别是（55）°，（45）°和（80）°，这个三角形是（锐角）三角形。（填“锐角”“直角”或“钝角”） 55°     118°     45°     32°     80° 【点睛】此题考查了三角形的分类，熟记三角形的内角和是180°是解题关键。 40．（22-23四年级下·北京西城·期末）下图中三角形ABC是等腰三角形，已知∠1＝110°，∠2＝( )°。    【答案】35 【分析】根据等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是180°，用180°减去110°，求出两个底角之和，再用两个底角之和除以2，即可求出∠2的度数。 【详解】由分析可知： （180°－110°）÷2 ＝70°÷2 ＝35° 所以∠2＝35° 【点睛】熟练掌握三角形的内角和定理以及等腰三角形的特征是解答此题的关键。 41．（22-23四年级下·北京门头沟·期末）三角形ABC和等腰三角形ACD组成一个大三角形。如图所示，∠1＝50°，∠2＝( )°。 【答案】25 【分析】观察图中可知，∠ACD与∠1组成一个平角，平角＝180°，因此用180°减去∠1的度数，即可求出∠ACD的度数；又因为三角形的内角和等于180°、且等腰三角形的两个底角相等，据此用180°减去∠ACD的度数，再除以2，即可求出∠2的度数。 【详解】因为∠ACD＋∠1＝180°，∠1＝50°， 所以∠ACD＝180°－50°＝130°。 ∠2＝（180°－130°）÷2 ＝50°÷2 ＝25° 【点睛】熟练掌握三角形的内角和和等腰三角形的特征，是解答此题的关键。 考点六、多边形的内角和 1.探究方法 (1)分割法：从多边形的一个顶点出发，连接不相邻的顶点，将多边形分割成若干个三角形。 (2)规律发现： ①　四边形可分成2个三角形，内角和 。 ②　五边形可分成3个三角形，内角和 。 ③　六边形可分成4个三角形，内角和 。 2.通用公式 (1) 边形可以分成 个三角形。 (2) 边形内角和公式： (3)其中 代表边数，且 。 3.应用提示 (1)此公式适用于所有凸多边形。 (2)知道内角和可以反求边数，或解决正多边形单个内角度数的问题（正 边形每个内角 = 内角和 ）。 真题练习 42．（24-25四年级下·北京西城·期末）下面是4位同学探索四边形内角和的过程，其中错误的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要涉及三角形内角和定理以及四边形内角和的探索方法。三角形内角和定理是指三角形的内角和为180°。探索四边形内角和的常见思路是将四边形转化为三角形，或者通过剪拼等方法来确定其内角和。我们需要对每个选项所描述的方法进行分析，判断其是否能正确得出四边形内角和。 【详解】A．从图中可以看出，通过连接四边形的一条对角线，把四边形分成了2个三角形。根据三角形内角和为180°，那么这2个三角形的内角和就是180°×2＝360°，所以这种方法能正确求出四边形内角和，选项A正确。 B．从图中可知，把四边形分割成3个三角形时，这3个三角形的内角和相加的度数比四边形内角和多了一个平角（180°）。因为在拼接处多算了180°，所以3个三角形内角和不能直接作为四边形内角和，这种方法错误，选项B错误。 C．从图中看到，把四边形分成4个三角形，4个三角形内角和为180°×4＝720°。但是在四边形内部的公共顶点处，这几个三角形的内角组合成了一个周角360°，这部分不是四边形的内角，所以要减去360°，即720°－360°＝360°，可以求出四边形内角和，选项C正确。 D．把四边形的4个角剪下来拼在一起，会发现可以拼成一个周角360°，这就直观地说明了四边形内角和是360°，选项D正确。 所以，B选项是错误的 故答案为：B 43．（23-24四年级下·北京丰台·期末）在探究五边形的内角和时，同学们采用了不同的方法。下图是小明、小秦，小红、小军四名同学的作品，小明使用的算式是。你认为图（    ）是小明的作品。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察算式可知，三角形的内角和是180°，180°×4，说明图中有四个三角形，再减去一个180°，说明是减去一个平角或者是一个三角形。据此解答。 【详解】A．观察图形可知，图中有3个三角形，计算五边形内角和时，是180°×3＝540°，选项不符合题意； B．观察图形可知，图形中有4个三角形，且这四个三角形中各有一个角，共同组成了一个平角，计算五边形内角和时，是180°×4－180°＝720°－180°＝540°，选项符合题意； C．观察图形可知，图中有5个三角形，且这五个三角形中各有一个角，共同组成了一个周角，计算五边形内角和时，要减去这个周角，所以算式是180°×5－360°＝900°－360°＝540°，选项不符合题意； D．观察图形可知，图中被分成了一个三角形和一个四边形，四边形内角和时360°，所以计算这个五边形内角和的算式为360°＋180°＝540°，选项不符合题意。 故答案为：B 44．（23-24四年级下·北京石景山·期末）如图，你能想办法求出这个多边形的内角和吗？ 可以在图中画一画，再算一算，这个多边形的内角和是（    ）°。 【答案】540° 【分析】连接多边形的一个顶点和其他不相邻的顶点，可以把这个多边形分割成三个三角形。每个三角形的内角和是180°，三个三角形的内角和就是这个多边形的内角和。 【详解】 如图把这个多边形分割成三个三角形，因为一个三角形的内角和是180°，所以三个三角形的内角和就是，也就是这个多边形的内角和是540°。 45．（23-24四年级下·北京西城·期末）请你观察下表中的图形与算式，找到规律，把结果写在下面括号里。 图形 …… 边数 3 4 5 …… （    ） 内角和 180° 180°×2 180°×3 …… （    ） 【答案】n；180°×（n－2） 【分析】数四边形和五边形里面的三角形得出内角和，再根据三边形、四边形和五边形的内角和得出规律：当边数为n时，内角和为180° ×（n－2）。由此可以得出七边形的内角和。 【详解】4条边时，可以分成两个三角形，内角和是180° × 2； 5条边时，可以分为3个三角形，内角和是180° × 3； 6条边时，可以分为4个三角形，内角和是180° × 4； 7条边时，可以分为5个三角形，内角和是180° × 5。 当边数为n时，内角和为180° ×（n－2）。 46．（22-23四年级下·北京朝阳·期末）请你用适当的方法来验证六边形的内角和是。 【答案】见详解 【分析】先用线段将这个六边形分成几个三角形，一个三角形的内角和是180°，六边形可被分成几个三角形，则它的内角和就是几个180°，依此计算并解答。 【详解】 如上图所示：六边形被分成了4个三角形，4×180°＝720°，因此六边形的内角和是720°。 【点睛】熟练掌握多边形的内角和的计算方法，是解答此题的关键。 47．（22-23四年级下·北京门头沟·期末）下图是同学们在解决四边形的内角和问题时所采用的四种不同的方法。 欢欢：1周角＝360°[√][×] 乐乐：180°×2＝360°[√][×] 笑笑：180°×4－360°＝360°[√][×] 明明：180°×3＝540°[√][×] ①他们解答的方法正确吗？请把正确方法后面的“√”涂黑或错误方法后面的“×”涂黑。 ②请你试着用所学到的方法，求出下面图形的内角和。 【答案】①欢欢、乐乐、笑笑方法正确；明明错误 ② 【分析】（1）欢欢同学把四边形四个角剪下来拼成一个周角，方法正确，但过程繁琐； 乐乐同学连接四边形不相邻的两个顶点，把四边形分割成两个三角形，这时四边形内角和就等于两个三角形的内角总和，这种方法易操作，适用于所有四边形，是推导四边形内角和的方法； 笑笑同学把一个四边形分割成四个三角形，这样四个三角形的内角和比一个四边形多出一个周角的度数，用四个三角形内角和减去一个周角度数就是一个四边形度数，方法正确，但过程也较繁琐； 明明同学把四边形分割成三个三角形，此时四边形内角和等于三个三角形内角和减去一个平角，明明列式错误。 （2）连接五边形不相邻的三个顶点，把五边形分割成三个三角形，这时五边形内角和就等于三个三角形的内角总和，列式计算即可。 【详解】（1）欢欢：把四边形四个角剪下来拼成一个周角，方法正确； 乐乐：把四边形分割成两个三角形，两个三角形的内角和等于四边形内角和。方法正确。 笑笑：把四边形分割成四个三角形，四个三角形内角和减去一个周角度数就是一个四边形度数，方法正确。 明明：把四边形分割成三个三角形，四边形内角和等于三个三角形内角和减去一个平角，明明列式错误。 （2）把五边形分割成三个三角形，如下图： 三个三角形内角和等于五边形内角和；180°×3＝540° 【点睛】本题考查三角形的内角和与四边形内角和、五边形内角和之间的关系，思考问题要认真、全面。 48．（23-24四年级下·北京朝阳·期末）在课堂中，同学们对四边形内角和进行了研究，以下是4位同学的想法。 ①请在你认为正确的名字旁边的里打“√”。 ②请你解释欧阳同学的做法。 ③请根据以上经验选择你喜欢的方法研究六边形的内角和，先在下图中画出示意图，再列式计算。 【答案】①笑笑√欢欢√淘气√欧阳√ ②将四边形分成4个三角形，由图可知，四边形的内角和比4个三角形的内角和少360° ③见详解 【分析】①笑笑的方法是：将四边形四个角剪下来，然后拼成1个周长，1周角是360°，也就是说四边形的内角和是360°； 欢欢的方法是：将四边形分成2个三角形，即四边形的内角和等于2个三角形的内角和。 欧阳的方法是：将四边形分成4个三角形，由图可知，四边形的内角和比4个三角形的内角和少360°； 淘气的方法是：将四边形分成3个三角形，由图可知，四边形的内角和比3个三角形的内角和少180°；依此判断。 ②欧阳同学的做法是：将四边形分成4个三角形，由图可知，四边形的内角和比4个三角形的内角和少360°； ③根据观察以上经验，我喜欢用把四边形分成两个三角形，三角形的内角和是180°，所以四边形的内角和是180°×2＝360°。同理：把六边形分成4个三角形，那么六边形的内角和是180°×4＝720°，据此解答。 【详解】①笑笑的方法：1周角＝360°＝四边形的内角和，即笑笑的方法正确； 欢欢的方法：四边形的内角和＝180°×2＝360°，即欢欢的方法正确； 欧阳的方法：四边形的内角和＝180°×4－360°＝720°－360°＝360°，即欧阳的方法正确； 淘气的方法：四边形的内角和＝180°×3－180°＝540°－180°＝360°，即淘气的方法正确； ②欧阳的方法是：将四边形分成4个三角形，由图可知，四边形的内角和比4个三角形的内角和少360°，四边形的内角和＝180°×4－360°＝720°－360°＝360°。 ③画法如下图： 180°×4＝720° 答：此多边形内角和是720°。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角形 考点一、三角形的高及画法 1.定义理解 (1)从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 (2)这条对边叫做三角形的底。 (3)关键特征：高与底互相垂直，通常用虚线表示高，并标出直角符号。 2.高的数量 (1)任意一个三角形都有3条高。 (2)每条高都对应一条特定的底边。 3.不同三角形高的位置特点 (1)锐角三角形：3条高都在三角形内部。 (2)直角三角形：两条高分别是两条直角边，另一条高在三角形内部。 (3)钝角三角形：夹钝角的两条边上的高在三角形外部（需延长底边），钝角所对边上的高在内部。 4.画高步骤 (1)一靠：将三角尺的一条直角边与底边重合。 (2)二移：沿底边平移三角尺，使另一条直角边经过对应的顶点。 (3)三画：从顶点向底边画垂线段（虚线）。 (4)四标：标出垂足（直角符号）和字母h（高）、a（底）。 真题练习 1．（23-24四年级下·北京东城·期末）如图，以线段AB为底边，画高是3厘米的三角形，能画出（    ）个。 A．2 B．3 C．无数 2．（23-24四年级下·北京石景山·期末）画出三角形指定底边上的高。 3．（22-23四年级下·北京西城·期末）画出三角形指定底边上的高。 4．（21-22四年级下·北京东城·期末）画出下图三角形ABC中BC边上的高。 5．（23-24四年级下·北京西城·期末）以点子图上的线段作为三角形的底，画高为3cm的三角形，并标出高。 考点二、三角形的稳定性及应用 1.特性描述 (1)三角形具有稳定性。即当三角形三条边的长度确定后，其形状和大小就完全确定了，不会发生改变。 (2)对比：四边形具有不稳定性（易变形）。 2.实际应用 (1)利用稳定性加固结构：如自行车车架、篮球架、电线杆支架、屋顶桁架等。 (2)防止变形措施：在容易变形的四边形框架中加一根木条，将其分割成两个三角形，从而利用三角形的稳定性进行加固。 真题练习 6．（24-25四年级下·北京东城·期末）下面各图是平面图形特性在生活中的应用，应用的特性与其他三幅图不同的是图（    ） A． B． C． D． 7．（22-23四年级下·北京朝阳·期末）生活中有很多应用三角形稳定性的例子，看看下面四个图，没有利用三角形稳定性的是（    ）。 A． B． C． D． 8．（21-22四年级下·北京东城·期末）为弘扬中华优秀传统文化，同学们在学校劳技课上认识和制作灯笼。小新做了一只灯笼，它的底部框架如图：如果想再加一根木条使框架更牢固，下面方法最好的是（ ）。 A． B． C． D． 考点三、三角形三边关系 1.基本定理 (1)三角形任意两边之和大于第三边。 (2)公式表达：若三边长为 ，则 ， ， 。 2.推论应用 (1)三角形任意两边之差小于第三边。 (2)判断能否围成三角形的方法： ①　简便方法：只需检验较短的两条边之和是否大于最长边。 ②　若 ，则能围成三角形；否则不能。 3.第三边取值范围 (1)已知两边长分别为 和 （假设 ），则第三边 的取值范围为： (2)注意：取值范围不包含端点值。 真题练习 9．（24-25四年级下·北京丰台·期末）下面各组中的数据代表小棒的长度，不能围成三角形的是（    ）组。 A．5cm，5cm，8cm B．6cm，8cm，10cm C．8cm，8cm，16cm D．12cm，12cm，12cm 10．（19-20四年级下·辽宁·期末）把一根细铁丝剪成三段，围成一个三角形。下列剪法中，能围成一个三角形的是（    ）。 A． B． C． D． 11．（23-24四年级下·北京朝阳·期末）如图，在一根长的小棒上剪2刀，再把它们固成一个三角形。若第一刀剪在P处，则第二刀剪在（    ）处一定能围成三角形。 A．① B．② C．③ D．④ 12．（23-24四年级下·北京海淀·期末）将一根长14厘米的小棒剪2刀，用得到的三根小棒首尾相接围一个三角形。若第一刀剪在M处，如下图所示，第二刀剪在（    ）处一定能围成一个三角形。（14厘米长的小棒如下图，图中每个“”一样长） A．A B．B C．C D．D 13．（23-24四年级下·北京丰台·期末）下面四种说法所描述的三角形，它的形状和大小与如图所示三角形一定相同的是（    ）。 A．三条边的长度分别是6cm、8cm和10cm的三角形 B．周长为24cm的三角形 C．一条边长10cm，有两个角都是的三角形 D．两条边的长分别为8cm和10cm，且这两边夹角为直角的三角形 14．（23-24四年级下·北京东城·期末）如下图，小丽从家出发，先去中国科技馆当小讲解员，然后去奥林匹克森林公园锻炼身体，最后回到家中。小丽走的路线恰好形成一个近似的三角形，她走的路程可能是（    ）km。 A．1.5km B．1.6km C．1.9km D．3km 15．（24-25四年级下·北京朝阳·期末）有两根长度分别为6cm、4cm的小棒，如果想再添上一根小棒（长度取整厘米数）搭成一个三角形，添上的这根小棒最长是( )cm。 16．（22-23四年级下·北京西城·期末）有5根小棒，长度分别是2厘米、3厘米、5厘米、7厘米和8厘米。从中选择3根首尾相接围成三角形。要想围成的三角形周长最短，应选择长度是( )厘米、( )厘米和( )厘米的小棒。 17．（23-24四年级下·北京石景山·期末）有4根小棒，它们的长度分别是2cm、5cm、7cm和10cm。聪聪从这4根小棒中选了3根，首尾相接地摆出一个三角形，这个三角形的周长是( )cm。 考点四、三角形的分类 1.按角分类 (1)锐角三角形：三个角都是锐角（小于90°）。 (2)直角三角形：有一个角是直角（等于90°）。 ①　特征：直角三角形中，两个锐角之和为90°。 (3)钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°且小于180°）。 (4)注意：一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个直角或一个钝角。 2.按边分类 (1)不等边三角形：三条边都不相等。 (2)等腰三角形：有两条边相等。 ①　腰：相等的两条边。 ②　底：另一条边。 ③　顶角：两腰的夹角。 ④　底角：腰与底的夹角。 ⑤　性质：两底角相等；是轴对称图形，有一条对称轴。 (3)等边三角形（正三角形）：三条边都相等。 ①　性质：三个角都相等，均为60°；是轴对称图形，有三条对称轴。 ②　关系：等边三角形是特殊的等腰三角形。 真题练习 18．（24-25四年级下·北京丰台·期末）四个三角形分别被遮住一部分，下列说法正确的是（    ）。 A．①号一定是等腰三角形 B．②号一定是直角三角形 C．③号一定是等边三角形 D．④号一定是锐角三角形 19．（24-25四年级下·北京西城·期末）在下图中，直线和直线是一组平行线。三角形的顶点可以沿着直线移动。如果点向右移动且边位置不变，三角形不会变成（    ）。 A．等边三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 20．（24-25四年级下·北京东城·期末）如下图，小宇从家到学校行走的过程中，每走一步所在的位置与学校和图书馆所在的位置顺次连接都能围成一个三角形，想象一下所围成的三角形可能是（    ）。 A．AB B．AC C．BC D．ABC 21．（24-25四年级下·北京朝阳·期末）把所有三角形作为一个整体，锐角三角形、直角三角形、钝角三角形作为整体的一部分，可以表示它们之间关系的是（    ）。 A． B． C． D． 22．（22-23四年级下·北京西城·期末）一个三角形，它最大的角是85°。这个三角形是（    ）。 A．   B．   C．   D．   23．（23-24四年级下·北京朝阳·期末）工人叔叔打算用直角三角形瓷砖装饰墙面（如下图），请你想一想，空白部分还需要（    ）块这样的瓷砖。 A．6 B．12 C．14 D．16 24．（24-25四年级下·北京东城·期末）一个等腰三角形的两条边分别是3厘米和6厘米，它的第三条边是( )厘米。 25．（23-24四年级下·北京丰台·期末）已知一个等腰三角形的两条边长分别是6cm和14cm，这个三角形的周长是( )cm。 26．（24-25四年级下·北京西城·期末）从长度分别为3cm、3cm、6cm、6cm和9cm的五根小棒中选取三根，首尾相接围成一个周长最短的等腰三角形，这个等腰三角形的周长是( )cm。 27．（23-24四年级下·北京石景山·期末）一个三角形三个内角的度数分别是45°、45°和90°。按角分类，这个三角形是( )三角形；按边分类，这个三角形是( )三角形。 28．（23-24四年级下·北京丰台·期末）按要求画图。 ①在下面的点子图中，以AB为一条边，画出一个等腰三角形ABC（三角形的顶点都在点子上） ②画出三角形以AB为底的高。 考点五、三角形的内角和 1.核心结论：任意三角形的内角和都是 180°。 2.验证方法 (1)量一量：用量角器分别测量三个角的度数，求和。 (2)拼一拼：将三角形的三个角剪下来，拼在一起，形成一个平角（180°）。 (3)折一折：通过折叠将三个角汇聚到一点，形成平角。 3.常见计算模型 (1)已知两个角求第三个角： 。 (2)直角三角形：已知一个锐角，求另一个锐角： 。 (3)等腰三角形： ①　已知顶角求底角： 。 ②　已知底角求顶角： 。 真题练习 29．（23-24四年级下·北京朝阳·期末）同学们为了验证“三角形内角和是”采用了不同的方法。下图的验证方法中能说明“三角形内角和是”的有（    ）。 A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有①③④ D．①②③④都对 30．（22-23四年级下·北京东城·期末）如果等腰三角形中有一个角是70°，那么这个三角形一定是（    ）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 31．（24-25四年级下·北京朝阳·期末）一个等腰三角形的一个顶角是一个底角的4倍，这个等腰三角形的顶角是( )°。 32．（24-25四年级下·北京丰台·期末）将一副三角尺的两个直角重合，如图所示。图中∠1＝( )°。 33．（24-25四年级下·北京丰台·期末）顶角为36°的等腰三角形被叫做黄金三角形，如图所示。它不仅存在于自然界中，也因其对称美与和谐美被广泛应用于建筑及艺术等领域。黄金三角形的一个底角是( )°。 34．（23-24四年级下·北京西城·期末）如图是由一副三角尺拼成图形的示意图。∠1＝( )°。 35．（24-25四年级下·北京西城·期末）如图是一个平行四边形，，。那么( )°。 36．（23-24四年级下·北京丰台·期末）直角三角形ABC中，和都是锐角，是的2倍，( )。 37．（23-24四年级下·北京丰台·期末）将长方形纸的一个角折起，如图所示。如果，那么( )。 38．（23-24四年级下·北京东城·期末）如图是由一个等边三角形ABD和一个等腰三角形ADC组成的大三角形ABC，∠2＝( )°。 39．（22-23四年级下·北京海淀·期末）下面是五个角的度数，其中有三个是同一个三角形的内角度数，这个三角形的三个内角度数分别是( )°，( )°和( )°，这个三角形是( )三角形。（填“锐角”“直角”或“钝角”） 55°     118°     45°     32°     80° 40．（22-23四年级下·北京西城·期末）下图中三角形ABC是等腰三角形，已知∠1＝110°，∠2＝( )°。    41．（22-23四年级下·北京门头沟·期末）三角形ABC和等腰三角形ACD组成一个大三角形。如图所示，∠1＝50°，∠2＝( )°。 考点六、多边形的内角和 1.探究方法 (1)分割法：从多边形的一个顶点出发，连接不相邻的顶点，将多边形分割成若干个三角形。 (2)规律发现： ①　四边形可分成2个三角形，内角和 。 ②　五边形可分成3个三角形，内角和 。 ③　六边形可分成4个三角形，内角和 。 2.通用公式 (1) 边形可以分成 个三角形。 (2) 边形内角和公式： (3)其中 代表边数，且 。 3.应用提示 (1)此公式适用于所有凸多边形。 (2)知道内角和可以反求边数，或解决正多边形单个内角度数的问题（正 边形每个内角 = 内角和 ）。 真题练习 42．（24-25四年级下·北京西城·期末）下面是4位同学探索四边形内角和的过程，其中错误的是（    ）。 A． B． C． D． 43．（23-24四年级下·北京丰台·期末）在探究五边形的内角和时，同学们采用了不同的方法。下图是小明、小秦，小红、小军四名同学的作品，小明使用的算式是。你认为图（    ）是小明的作品。 A． B． C． D． 44．（23-24四年级下·北京石景山·期末）如图，你能想办法求出这个多边形的内角和吗？ 可以在图中画一画，再算一算，这个多边形的内角和是（    ）°。 45．（23-24四年级下·北京西城·期末）请你观察下表中的图形与算式，找到规律，把结果写在下面括号里。 图形 …… 边数 3 4 5 …… （    ） 内角和 180° 180°×2 180°×3 …… （    ） 46．（22-23四年级下·北京朝阳·期末）请你用适当的方法来验证六边形的内角和是。 47．（22-23四年级下·北京门头沟·期末）下图是同学们在解决四边形的内角和问题时所采用的四种不同的方法。 欢欢：1周角＝360°[√][×] 乐乐：180°×2＝360°[√][×] 笑笑：180°×4－360°＝360°[√][×] 明明：180°×3＝540°[√][×] ①他们解答的方法正确吗？请把正确方法后面的“√”涂黑或错误方法后面的“×”涂黑。 ②请你试着用所学到的方法，求出下面图形的内角和。 48．（23-24四年级下·北京朝阳·期末）在课堂中，同学们对四边形内角和进行了研究，以下是4位同学的想法。 ①请在你认为正确的名字旁边的里打“√”。 ②请你解释欧阳同学的做法。 ③请根据以上经验选择你喜欢的方法研究六边形的内角和，先在下图中画出示意图，再列式计算。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $