专题03 圆柱与圆锥（6大考点51道题）（期末真题汇编）六年级数学下学期（北京专用·人教版）

专题03 圆柱与圆锥 考点一、圆柱的认识及特征 1. 圆柱的定义与形成 (1)定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。 (2)直观认识：上下两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面。 2. 圆柱的各部分名称 (1)底面：圆柱上下两个完全相同的圆形平面。 (2)侧面：圆柱周围的面，是一个曲面。 (3)高：圆柱两个底面之间的距离。 ①　特征：圆柱有无数条高，且所有高的长度都相等。 ②　测量：通常在侧面展开图的宽或长方形的高上体现。 3. 圆柱的侧面展开图 (1)沿高剪开：侧面展开后通常是一个长方形。 ①　长方形的长 = 圆柱底面的周长 ( 或 )。 ②　长方形的宽 = 圆柱的高 ( )。 (2)特殊情况： ①　若底面周长等于高 ( )，侧面展开图是正方形。 ②　若不沿高斜着剪开，侧面展开图可能是平行四边形。 真题练习 1．（21-22六年级下·北京房山·期末）下面图形旋转过程中扫过的空间是圆柱的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱的特征，以长方形的一边为轴，旋转得到的立体图形是圆柱；据此解答。 【详解】 A．图形旋转过程中扫过的空间是圆柱； B．图形旋转过程中扫过的空间是圆柱和圆锥组合体； C．图形旋转过程中扫过的空间是圆锥； D．图形旋转过程中扫过的空间是球体和圆柱组合体； 故答案为：A 【点睛】此题考查了圆柱的特征认识，关键能够理解旋转形成的立体形状。 2．（21-22六年级下·北京门头沟·期末）下面展开图中，能围成圆柱的是（    ）。（单位：厘米） A． B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形（特殊情况下是正方形），长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。 已知圆柱的底面直径，根据圆柱的底面周长公式C＝πd，代入数据计算求出圆柱的底面周长，再与长方形的长相比较，如果相等，就能围成圆柱；反之，如果不相等，就不能围成圆柱。 【详解】四个选项中圆柱的底面直径都是3厘米，则圆柱的底面周长是： 3.14×3＝9.42（厘米） A．3.14≠9.42，长方形的长不等于圆柱的底面周长，所以不能围成圆柱； B．6.28≠9.42，长方形的长不等于圆柱的底面周长，所以不能围成圆柱； C．9.42＝9.42，长方形的长等于圆柱的底面周长，所以能围成圆柱； D．12.56≠9.42，长方形的长不等于圆柱的底面周长，所以不能围成圆柱。 故答案为：C 【点睛】本题考查圆柱展开图的特征及应用，明确圆柱的侧面展开图是长方形时，圆柱的底面周长、高与长方形的长、宽之间的关系是解题的关键。 3．（23-24六年级下·北京通州·期末）下图是小明做圆柱时的示意图，这个圆柱的高是（    ）厘米。（接头处忽略不计） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】观察图形可知，圆柱的底面周长＋圆柱的底面直径＝16.56厘米，根据圆的周长公式：周长＝π×直径，设圆柱的底面直径是x厘米，列方程：3.14x＋x＝16.56，解方程，求出圆柱的底面直径，圆柱的高等于圆柱的底面直径×2，由此求出圆柱的高。 【详解】解：设圆柱的底面直径为x厘米。 3.14x＋x＝16.56 4.14x＝16.56 x＝16.56÷4.14 x＝4 4×2＝8（厘米） 小明做圆柱时的示意图，这个圆柱的高是8厘米。 故答案为：D 考点二、圆柱的表面积及应用 1. 表面积的构成 圆柱的表面积由侧面积和两个底面积组成。 (1)公式： 2. 侧面积计算 (1)原理：侧面展开成长方形，面积 = 长 宽。 (2)公式： ①　 （底面周长 高） ②　 ③　 3. 底面积计算 (1)公式： 4. 综合表面积公式 (1) (2)提取公因式形式： 5. 实际应用中的变式（高频考点） 在解决实际问题时，需根据物体形状确定计算哪些面的面积： (1)全表面积：油桶、罐头盒等封闭容器（侧面积 + 2个底面积）。 (2)无盖表面积：水桶、鱼缸、笔筒等开口容器（侧面积 + 1个底面积）。 (3)仅侧面积：烟囱、通风管、压路机滚筒、柱子涂漆部分（只算侧面积）。 (4)注意：计算结果通常采用“进一法”取近似值（如制作材料需预留损耗），除非题目明确要求四舍五入。 真题练习 4．（24-25六年级下·北京顺义·期末）如图形（    ）是圆柱的展开图。（单位：厘米） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱展开图的特点，其侧面是一个长方形，长方形的长是圆柱底面圆的周长，底面圆的周长公式：C＝2πr＝πd，根据长方形的长与底面圆的周长是否相等判断是不是圆柱的展开图，据此即可解答。 【详解】A．3.14×6＝18.84（厘米），圆的周长等于18.84厘米；长方形的长等于圆的周长，所以图形A是圆柱的展开图。 B．3.14×6＝18.84（厘米），圆的周长等于18.84厘米；长方形的长是6厘米，不等于圆的周长，所以图形B不是圆柱的展开图。 C．3.14×6＝18.84（厘米），圆的周长等于18.84厘米；长方形的长是24厘米，不等于圆的周长，所以图形C不是圆柱的展开图。 D．3.14×4＝12.56（厘米），圆的周长等于12.56厘米；长方形的长是15厘米，不等于圆的周长，所以图形D不是圆柱的展开图。 故答案为：A 5．（23-24六年级下·北京东城·期末）下列问题中，（    ）需要计算物体的体积。 A．求包装一份生日礼物需要多少彩纸 B．给大厅里的柱子刷油漆，求需要多少油漆 C．装饰黑板的四周，求需要多少彩带 D．一个铁球沉入装满水的容器中，求溢出多少水 【答案】D 【分析】物体表面的面积之和，是表面积。围成一个封闭图形的边的长度之和，是图形的周长。物体所占空间的大小，是物体的体积。据此，再结合各个选项中的问题，选出是计算体积的即可。 【详解】A．求包装一份生日礼物需要多少彩纸，需要计算礼物盒子的表面积； B．给大厅里的柱子刷油漆，求需要多少油漆，需要计算柱子的侧面积； C．装饰黑板的四周，求需要多少彩带，需要计算黑板的周长； D．一个铁球沉入装满水的容器中，求溢出多少水，需要计算铁球的体积； 故答案为：D 6．（22-23六年级下·北京通州·期末）一张长方形纸分别沿长和宽可以围成两个不同的圆柱，即甲圆柱和乙圆柱（如图），比较这两个圆柱的侧面积的大小，下面说法正确的是（    ）。 A．甲圆柱侧面积大 B．乙圆柱侧面积大 C．侧面积相等 D．不能确定 【答案】C 【分析】一张长方形纸分别沿长和宽可以围成两个不同的圆柱，即甲圆柱和乙圆柱，甲圆柱和乙圆柱侧面展开都是这个长方形的纸，所以这两个圆柱的侧面积的大小相等，据此解答即可。 【详解】一张长方形纸分别沿长和宽可以围成两个不同的圆柱，即甲圆柱和乙圆柱（如图），比较这两个圆柱的侧面积的大小相等。    故答案为：C 【点睛】本题考查圆柱的侧面积，解答本题的关键是掌握圆柱的侧面积。 7．（22-23六年级下·北京通州·期末）给一个底面半径10厘米，高30厘米的圆柱形奶粉筒侧面贴满包装纸，至少需要( )平方厘米的包装纸。 【答案】1884 【分析】求需要包装纸的面积就是求圆柱的侧面积，利用“圆柱的侧面积S＝”，代入数据求出包装纸的面积。 【详解】2×3.14×10×30 ＝6.28×10×30 ＝1884（平方厘米） 即至少需要1884平方厘米的包装纸。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用圆柱的侧面积公式求解。 8．（23-24六年级下·北京东城·期末）如图，一个圆柱形铁罐的底面半径是4厘米，高是10厘米。它的侧面贴了一张彩纸，如果沿虚线剪开后可以得到一个平行四边形。这个平行四边形的面积是( )平方厘米。 【答案】251.2 【分析】根据题意，这个平行四边形的面积等于圆柱的侧面积。圆柱的侧面积＝底面周长×高＝2πrh，据此代入数据计算即可。 【详解】4×2×3.14×10 ＝25.12×10 ＝251.2（平方厘米） 则这个平行四边形的面积是251.2平方厘米。 9．（24-25六年级下·北京东城·期末）手工小组制作了一些圆柱形蜡烛，每根蜡烛高10厘米，底面直径6厘米。他们要给每根蜡烛的侧面都贴上一张装饰纸，每张装饰纸恰好将蜡烛的侧面围一圈。每张装饰纸的面积是( )平方厘米（接口处忽略不计）。 【答案】188.4 【分析】要求的是圆柱形蜡烛侧面装饰纸的面积，由于装饰纸恰好围蜡烛侧面一圈，所以装饰纸的面积等于圆柱的侧面积。圆柱侧面积的计算公式为：侧面积＝底面周长×高，根据圆周长的公式C＝πd（π取3.14，d为6厘米），求出圆柱的底面周长，然后再乘高（10厘米）即可解答。 【详解】3.14×6＝18.84（厘米） 18.84×10＝188.4（平方厘米） 每张装饰纸的面积是188.4平方厘米。 10．（23-24六年级下·北京海淀·期末）如图，有一种圆柱形的鱼肉罐头，底面直径是7cm，高是10cm。如果要用商标纸包装这个鱼肉罐头的侧面，至少需要( )cm2的商标纸。（π取3.14） 【答案】219.8 【分析】求商标纸的面积就是求圆柱的侧面积，利用公式S＝πdh，把题中数据代入公式计算。 【详解】3.14×7×10 ＝21.98×10 ＝219.8（cm2） 至少需要219.8cm2的商标纸。 11．（24-25六年级下·北京海淀·期末）为提高树木抗寒性和防虫害能力，工人师傅给横截面直径约为0.5米的大树树干底部涂满石灰浆，如图所示。涂石灰浆部分的面积大约是多少平方米？ 【答案】1.884平方米 【分析】根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，把数据代入公式解答。 【详解】3.14×0.5×1.2 ＝1.57×1.2 ＝1.884（平方米） 答：涂石灰浆部分的面积大约是1.884平方米。 12．（23-24六年级下·北京朝阳·期末）用一张长18.84厘米，宽12.56厘米的长方形纸，卷成一个圆柱形直筒，给这个直筒配一个底面，这个底面至少需要用纸多少平方厘米？（粘合处所用纸张大小忽略不计） 【答案】 12.56平方厘米 【分析】将一张长方形的纸卷成一个圆柱，则底面的周长是长方形的宽或者长，底面的面积至少用纸的平方厘米数就是用宽作为底面的周长。根据圆的底面周长公式C＝，得出底面圆的半径，再根据圆的面积公式S＝得出圆的面积。 【详解】（厘米） ＝ ＝（平方厘米） 答：这个底面至少需要用纸12.56平方厘米。 13．（22-23六年级下·北京海淀·期末）制作一个底面直径20厘米、长50厘米的圆柱形通风管，至少要用多少平方厘米的铁皮？（取3.14）    【答案】3140平方厘米 【分析】由图可知，圆柱形通风管没有上下底面，计算需要铁皮的面积就是求圆柱的侧面积，利用“”求出需要铁皮的面积，据此解答。 【详解】3.14×20×50 ＝62.8×50 ＝3140（平方厘米） 答：至少要用3140平方厘米的铁皮。 【点睛】本题主要考查圆柱侧面积公式的应用，熟记公式是解答题目的关键。 14．（23-24六年级下·北京延庆·期末）蔬菜大棚通常用塑料薄膜覆盖它的侧面。 （1）下图的横截面是一个直径为4米的半圆形。如果用塑料薄膜覆盖它的侧面，至少需要塑料薄膜多少平方米？ （2）某地蔬菜大棚如下图所示，依然用塑料薄膜覆盖它的侧面，至少需要塑料薄膜多少平方米？说明你的计算方法（不用计算出结果）。 【答案】（1）62.8平方米 （2）见详解 【分析】（1）求用塑料薄膜覆盖它的侧面，至少需要的塑料薄膜约有多少平方米，就是求圆柱的侧面积的一半，根据圆柱的侧面积＝2πrh，所以圆柱的侧面积的一半＝πrh，代入数据解答即可； （2）可以把这大棚看作是一个圆柱的侧面积，测量出圆柱的底面直径，再根据公式代入解答即可。 【详解】（1）r：4÷2＝2（米） 3.14×2×10 ＝6.28×10 ＝62.8（平方米） 答：至少需要塑料薄膜62.8平方米。 （2）如图： 把这个蔬菜大棚看作圆柱侧面积的一半，先测量出红线的长度，即为圆柱的底面直径，再根据圆柱的侧面积＝πdh，求圆柱的侧面积的一半，即可解答。 考点三、圆柱的体积及应用 1. 体积公式推导 (1)转化思想：将圆柱底面分成许多相等的扇形，切开后拼成一个近似的长方体。 (2)对应关系： ①　长方体的底面积 = 圆柱的底面积 ( ) ②　长方体的高 = 圆柱的高 ( ) ③　长方体的体积 = 圆柱的体积 ( ) (3)结论：因为长方体体积 = 底面积 高，所以圆柱体积 = 底面积 高。 2. 计算公式 (1)基本公式： (2)展开公式： ①　 ②　 ③　 3. 容积与体积的区别 (1)体积：物体所占空间的大小，从外部测量数据。 (2)容积：容器所能容纳物体的体积，从内部测量数据。 (3)单位换算： ①　 ②　 ③　计算容积时，务必使用容器内部的长、宽、高或半径、高。 4. 常见应用类型 (1)求体积/容积：直接代入公式计算。 (2)已知体积和高，求底面积： 。 (3)已知体积和底面积，求高： 。 (4)不规则物体体积：利用排水法，上升水的体积 = 浸入物体的体积（ ）。 真题练习 15．（24-25六年级下·北京海淀·期末）淘气在探究圆柱体积计算方法时，将一个圆柱沿底面直径等分后，拼成一个近似的长方体，如图所示。拼成后的近似长方体的长是（    ）。 A．πr B．πr C．2πr D．πr2 【答案】B 【分析】根据圆柱体积公式的推导方法可知，把一个圆柱切拼成一个近似长方体，拼成的长方体的长等于圆柱底面周长的一半，长方体的宽等于圆柱的底面半径，长方体的高等于圆柱的高。根据圆的周长公式：C＝2πr，把数据代入公式解答。 【详解】2πr÷2＝πr 所以拼成后的长方体的长是πr。 故答案为：B 16．（24-25六年级下·北京东城·期末）一个圆柱形容器，从里面量底面半径是5厘米，高是10厘米，这个圆柱形容器的容积是（    ）立方厘米。 A．157 B．314 C．785 D．1570 【答案】C 【分析】根据圆柱体积＝底面积×高，即可求出这个圆柱形容器的容积。 【详解】3.14×52×10 ＝3.14×25×10 ＝785（立方厘米） 这个圆柱形容器的容积是785立方厘米。 故答案为：C 17．（23-24六年级下·北京通州·期末）一个棱长是4分米的正方体容器装满水后，倒入一个底面积是8平方分米的圆柱体容器里正好装满，这个圆柱体的高是( )分米。 【答案】8 【分析】把正方体容器中的水倒入圆柱体容器中，水的形状改变了，体积没有变。根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，即可求出水的体积，然后根据圆柱体积＝底面积×高可得高＝体积÷底面积。据此即可求出该圆柱容器的高。 【详解】4×4×4÷8 ＝16×4÷8 ＝64÷8 ＝8（分米） 所以这个圆柱体的高是8分米。 18．（23-24六年级下·北京密云·期末）一个长方形，长6厘米，宽4厘米。以长为轴旋转一周，形成圆柱A；再以宽为轴旋转一周，形成圆柱B。求圆柱A与圆柱B的体积的最简比是( )。 【答案】2∶3 【分析】以长为轴旋转一周形成圆柱A的底面半径是长方形的宽，高是长方形的长；以宽为轴旋转一周形成圆柱B的底面半径是长方形的长，高是长方形的宽，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，分别求出这两个圆柱的体积，再根据比的意义写出比，化简即可。 【详解】（π×42×6）∶（π×62×4） ＝（π×16×6）∶（π×36×4） ＝96π∶144π ＝2∶3 圆柱A与圆柱B的体积的最简比是2∶3。 19．（24-25六年级下·北京房山·期末）同学们在推导圆柱的体积公式时，将圆柱按如图切分后拼成一个近似的长方体。如果圆柱的底面半径为2cm，高为6cm，那么圆柱的体积是________，拼成的长方体表面积是________（取）。 【答案】 72 120 【分析】将圆柱沿着半径切成若干份，依次拼接在一起，此时拼成的长方体的长、宽、高分别为圆柱的底面圆周长的一半、底面圆半径、圆柱的高，运用长方体体积＝长×宽×高，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此计算可得出答案。 【详解】根据题意得：拼成的长方体的长是圆柱底面圆周长的一半cm，宽是圆柱的半径2cm，高是圆柱的高6cm。则圆柱体积为： 6×2×6＝72（） 表面积为： （6×2＋6×6＋2×6）×2 ＝（12＋36＋12）×2 ＝60×2 ＝120（） 即圆柱的体积是72，拼成的长方体表面积是120 20．（23-24六年级下·北京房山·期末）小文从一张长方形卡纸上剪下一个长方形和一个圆（如图中阴影部分），做成一个无盖的笔筒（接口处忽略不计）。求这个笔筒的表面积和体积。 【答案】表面积为455.3平方厘米，体积为942立方厘米。 【分析】要用一个长方形和一个圆组成一个无盖圆柱，则长方形是圆柱侧面，圆是底面。此时底面圆周长就是侧面长方形的长，根据底面周长＝，可求出底面圆半径。再根据无盖圆柱表面积＝＋，体积＝，h即为长方形的宽。据此计算得出答案。 【详解】底面圆半径为r＝31.4÷3.14÷2＝5（厘米） 底面圆直径为d＝5×2＝10（厘米） 圆柱的高：h＝22－10＝12（厘米） S底＝3.14×52＝78.5（平方厘米） S侧＝31.4×12＝376.8（平方厘米） S表＝S底＋S侧＝78.5＋376.8＝455.3（平方厘米） V圆柱＝S底h＝78.5×12＝942（立方厘米） 答：这个笔筒的表面积为455.3平方厘米，体积为942立方厘米。 21．（23-24六年级下·北京丰台·期末）王亮家即将喜迁新居，选择购买这款空调（如图）。请你算一算这款空调占据的空间大约是多少立方米？（精确到百分位） 【答案】0.23立方米 【分析】由题可得，底面直径是40厘米、高是180厘米的圆柱的体积就是空调的体积，根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数据计算，然后把单位化成立方米，得数精确到百分位，即可求出空调的体积，据此解答。 【详解】3.14×（40÷2）2×180 ＝3.14×202×180 ＝3.14×400×180 ＝1256×180 ＝226080（立方厘米） 226080立方厘米＝0.22608立方米≈0.23立方米 答：这款空调占据的空间大约是0.23立方米。 22．（23-24六年级下·北京东城·期末）王叔叔每周三健身，教练建议他在健身当日需要喝水2000~2500毫升。王叔叔的水杯从里面量底面直径是6厘米，高是12厘米，每次倒水时水面距杯口大约2厘米（如下图）。照这样，王叔叔每周三用这个水杯喝8杯水，能否达到健身教练的要求？ 【答案】能达到 【分析】水杯高12厘米，每次倒水时水面距杯口大约2厘米，则水的高度是12－2＝10（厘米）。圆柱的容积＝底面积×高＝πr2h，据此求出王叔叔喝一杯水喝了多少毫升，再乘8即可求出喝8杯水喝了多少毫升，据此解答。 【详解】3.14×（6÷2）2×（12－2）×8 ＝3.14×32×10×8 ＝3.14×9×10×8 ＝2260.8（立方厘米） ＝2260.8（毫升） 2260.8毫升在2000~2500毫升之间。 答：能达到健身教练的要求。 23．（24-25六年级下·北京朝阳·期末）用一张长为2分米、宽为1分米的长方形硬纸分别以长边为轴、宽边为轴旋转（如下图）形成两个圆柱。对于这两个圆柱的侧面积和体积，同学们发表了自己的见解。 明明说：“这两个圆柱的侧面积相等。” 亮亮说：“这两个圆柱的体积相等。” 请你分别判断他们的说法是否正确，并说明理由。 【答案】明明的说法正确、亮亮的说法错误；理由见详解 【分析】已知长方形的长为2分米、宽为1分米。 侧面积：以宽边为轴旋转：此时圆柱的高h＝1分米，底面半径r＝2分米。根据侧面积公式S＝2πrh，π取3.14，把数据代入公式可得侧面积。以长边为轴旋转：此时圆柱的高h＝2分米，底面半径r＝1分米。根据侧面积公式S＝2πrh，π取3.14，把数据代入公式可得侧面积。然后比较判断即可。 体积：以宽边为轴旋转：此时圆柱的高h＝1分米，底面半径r＝2分米。根据体积公式V＝πr2h，π取3.14，把数据代入公式可得体积。以长边为轴旋转：此时圆柱的高h＝2分米，底面半径r＝1分米。根据体积公式V＝πr2h，π取3.14，把数据代入公式可得体积。然后比较判断即可。 【详解】侧面积： 2×3.14×2×1＝12.56（平方分米）。 2×3.14×1×2＝12.56（平方分米）。 体积： 3.14×22×1＝3.14×4×1＝12.56（立方分米）。 3.14×12×2＝3.14×1×2＝6.28（立方分米） 答：明明的说法正确、亮亮的说法错误。以长边为轴旋转和以宽边为轴旋转成的圆柱侧面积都是12.56平方分米。而以长边为轴旋转成的圆柱体积是12.56立方分米，而以宽边为轴旋转成的圆柱体积是6.28立方分米，它们不相等。 24．（23-24六年级下·北京房山·期末）用一张长方形铁皮（如下图），剪出一个底面和侧面，做一个容积最大的圆柱形无盖水桶。 （1）这个水桶的底面直径是（    ）分米，高是（    ）分米。 （2）这个水桶最多能装水多少升（铁皮的厚度忽略不计）？ 【答案】（1）4；4；（2）50.24升。 【分析】（1）在一张长方形铁皮剪出一个底面和侧面，所以底面圆的直径最大只能等于长方形的宽，即4分米。此时圆的周长：4×3.14＝12.56分米，长方形剩余的长：17－4＝13分米，13＞12.56，将剩余的长方形卷起来后足够作为侧面，所以水桶的高为4分米。 （2）根据公式：半径＝直径÷2，底面积＝圆周率×半径的平方，圆柱的体积＝底面积×高，代入数据计算，再进行单位换算，即可求出这个水桶最多能装水多少升，据此解答。 【详解】（1）由分析得：这个水桶的底面直径是4分米，高是4分米。 （2） （立方分米） 50.24立方分米＝50.24升 答：这个水桶最多能装水50.24升。 25．（24-25六年级下·北京东城·期末）幼儿园活动区装修，在柱子外面套了一层防撞软套，这个软套是空心的圆柱套管（如下图，单位；厘米）。这个软套的体积是多少立方厘米？ 【答案】2826立方厘米 【分析】根据题意可知，软套的体积＝底面直径是10厘米，高是100厘米的圆柱的体积－底面直径是8厘米，高是100厘米的圆柱的体积，根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（10÷2）2×100－3.14×（8÷2）2×100 ＝3.14×52×100－3.14×42×100 ＝3.14×25×100－3.14×16×100 ＝78.5×100－50.24×100 ＝7850－5024 ＝2826（立方厘米） 答：这个软套的体积是2826立方厘米。 26．（24-25六年级下·北京房山·期末）某工厂加工圆柱形的茶叶盒，购买了10块相同的金属板材。已知每块金属板材可以有A，B，C三种裁剪方式，如图，方式A：裁剪成6个圆形底面和1个侧面；方式B：裁剪成3个侧面；方式C：裁剪成9个圆形底面。已知2个圆形底面和1个侧面组成一个圆柱形茶叶盒（接头处忽略不计）。      （1）若每块金属板材都是边长为6分米的正方形，求出每个茶叶盒的表面积和体积；（取π≈3） （2）现已有2块金属板材按方式C裁剪，其余都按方式A或方式B裁剪，最多能加工多少个圆柱形茶叶盒？ 【答案】（1）18平方分米；6立方分米 （2）18个 【分析】（1）从图中可知：正方形边长＝6分米＝底面直径×3＝高×3，高＝直径＝6÷3＝2分米。根据圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，即：S＝2πr2＋Ch＝2πr2＋2πrh，圆柱的体积：V＝Sh＝πr2h，分别代入数据计算即可求出表面积和体积。 （2）从题意可知：已有2块金属板材按方式C裁剪，按方式A或方式B裁剪有10－2＝8块。设按方式A裁剪的有x块，按方式B裁剪的有（8－x）块。按方式C裁剪的底面有9×2＝18个，按方式A裁剪的底面有6x个，按方式A裁剪的侧面有x个，按方式B裁剪的侧面有3×（8－x）个。因为2个底面配一个侧面，即底面总个数÷2＝侧面总个数。据此列出方程求出x的值。再用10块板裁剪出的底面总个数除以2，即可求出茶叶盒的个数。 【详解】（1）6÷3＝2（分米） （2÷2）2×3×2＋2×3×2 ＝12×3×2＋2×3×2 ＝1×3×2＋2×3×2 ＝6＋12 ＝18（平方分米） （2÷2）2×3×2 ＝12×3×2 ＝1×3×2 ＝6（立方分米） 答：每个茶叶盒的表面积是18平方分米，体积是6立方分米。 （2）10－2＝8（块） 解：设剩下的板按方式A裁剪的有x块，那么按方式B裁剪的有（8－x）块。 （9×2＋6x）÷2＝x＋3×（8－x） 9×2÷2＋6x÷2＝x＋3×8－3x 9＋3x＝24－2x 9＋3x＋2x＝24－2x＋2x 9＋5x＝24 9＋5x－9＝24－9 5x＝15 5x÷5＝15÷5 x＝3 （9×2＋6×3）÷2 ＝（18＋18）÷2 ＝36÷2 ＝18（个） 答： 最多能加工18个圆柱形茶叶盒。 【点睛】根据底面总个数÷2＝侧面总个数，列方程，求出按方式A裁剪的块数是解此题的关键。 27．（24-25六年级下·北京丰台·期末）为了形象直观地说明“木桶效应”蕴含的道理，老师特意准备了一只木桶，制作此木桶底面与侧面用的木板的厚度相同，侧面木板长短不一，小明从木桶外部测量的数据，如图所示。 （1）如果从木桶的里面测量，底面的直径是多少厘米？ （2）这只木桶上的铁箍是用薄铁皮制作的，箍1圈铁箍，如果接头处、铁皮厚度都忽略不计，请你算一算，至少需要多少平方厘米的薄铁皮？ （3）把这个木桶斜放比平放最多能多接多少水？ 【答案】（1）40厘米； （2）659.4平方厘米； （3）12560毫升 【分析】（1）从里面测量的底面直径等于从木桶外面测量的直径减去两个木板的厚度。 （2）将这个铁箍沿着圆柱的高剪开后展开是一个长等于木桶外底面周长，宽等于5厘米的长方形，将数据代入圆的周长公式：C＝πd求出长方形的长，再代入长方形面积公式S＝ab计算求出至少需要多少平方厘米的薄铁皮。 （3）根据图示可知：平放时最多可以装水的容积是底面直径是42－1－1＝40厘米，高是36厘米的圆柱的体积。斜放比平放多装水的部分即为底面直径是40厘米，高是（56－36）厘米的圆柱体积的一半，据此解答。 【详解】（1）42－1－1＝40（厘米） 答：如果从木桶的里面测量，底面的直径是40厘米。 （2）3.14×42×5 ＝131.88×5 ＝659.4（平方厘米） 答：至少需要659.4平方厘米的薄铁皮。 （3）3.14×（40÷2）2×（56－36）÷2 ＝3.14×202×20÷2 ＝3.14×400×20÷2 ＝1256×20÷2 ＝25120÷2 ＝12560（立方厘米） 12560立方厘米＝12560毫升 答：把这个木桶斜放比平放最多能多接12560毫升的水。 28．（23-24六年级下·北京西城·期末）阅读下面资料，解决问题。 生物在进化过程中，为了求得生存，动物的骨、植物的茎等都是空心的，而且内圆直径和外圆直径之比大约都是8∶11。研究表明，当一根空心管子底面的内圆直径和外圆直径之比是8∶11时最不容易弯曲。根据这个研究，人们制成了空心零件、自行车的车身架等，以达到耗费最少材料而使其最坚固的目的。 （1）按照上面的研究，工人师傅制作了一种塑料零件（如下图）。这个零件底面的内圆直径是多少厘米？ （2）做这种塑料零件需要多少立方厘米的塑料？（π取3） 【答案】（1）16厘米 （2）6840立方厘米 【分析】（1）设这个零件底面的内圆直径是x厘米，根据内圆直径和外圆直径之比大约都是8∶11列比例解答； （2）用底面直径是22厘米的圆柱的体积减去空心圆柱的体积就是做这种塑料零件需要多少立方厘米的塑料，根据公式：外圆柱的体积与空心圆柱的体积差为：×（－）h解答即可。 【详解】（1）解：设这个零件底面的内圆直径是x厘米。 x∶22＝8∶11 11x＝176 x＝176÷11 x＝16 答：这个零件底面的内圆直径是16厘米。 （2）22÷2＝11（厘米） 16÷2＝8（厘米） 3×（－）×40 ＝3×（121－64）×40 ＝3×57×40 ＝171×40 ＝6840（立方厘米） 答：做这种塑料零件需要6840立方厘米的塑料。 29．（24-25六年级下·北京房山·期末）古希腊的阿基米德是历史上杰出的数学家。“圆柱容球”是他众多科学发现中最得意的成果。“圆柱容球”就是把一个球放在一个圆柱形容器中，盖上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面及侧面紧密接触。这时，球的体积正好是圆柱体积的。 （1）当“圆柱容球”时，如果圆柱的底面半径为3厘米，则球的体积是多少立方厘米？（取3.14） （2）请你根据上面的研究，提出一个好奇的想要研究的新问题。 【答案】（1）113.04立方厘米 （2）见详解 【分析】（1）当“圆柱容球”时，圆柱的高＝底面直径，根据圆柱体积＝底面积×高，求出圆柱体积，将圆柱体积看作单位“1”，圆柱体积×球的对应分率＝球的体积； （2）根据“圆柱容球”的研究，类似的还有“圆柱容圆锥”、“正方体容圆柱”等，根据“圆柱容球”可以提出“正方体容圆柱”时，圆柱和正方体体积之间的关系的问题。 【详解】（1）3.14×32×（3×2） ＝3.14×9×6 ＝169.56（立方厘米） 169.56×＝113.04（立方厘米） 答：球的体积是113.04立方厘米。 （2）由“圆柱容球”联想到“正方体容圆柱”。把圆柱体放入一个正方体容器中，盖好容器盖后，圆柱体的上下底面及侧面与正方体的上下底面及侧面紧密接触，这时圆柱的高、底面直径与正方体棱长相等，这时，圆柱的体积是正方体体积的几分之几？ 假设正方体的边长是4厘米。 正方体体积：4×4×4＝64（立方厘米） 圆柱体积：3.14×（4÷2）2×4 ＝3.14×22×4 ＝3.14×4×4 ＝50.24（立方厘米） 50.24÷64＝＝ 答：圆柱的体积是正方体体积的。 30．（22-23六年级下·北京西城·期末）工人准备在道路一侧安装栅栏，定制了500个大小相同的圆柱形木块。（π取3） （1）如果给一个圆柱形木块的表面刷漆，需要刷漆的面积是多少平方分米？ （2）做这些圆柱形木块一共需要多少立方米的木料？（损耗忽略不计） （3）将这些木块装箱，箱子的形状是一个正方体，从里面量棱长为8dm，这个箱多能装多少个这样的圆柱形木块？ 【答案】（1）21.12平方分米 （2）3.84立方米 （3）50个 【分析】由图可知，圆柱的高为4分米，底面直径是1.6分米， （1）根据题意，圆柱的底面不需要涂油漆，所以刷油漆的面积＝底面积＋侧面积，底面积＝πr2，侧面积＝πdh； （2）根据圆柱的体积＝底面积×高，计算出1个圆柱木料的体积，再乘500，求出全部木料的体积，最后根据1立方米＝1000立方分米，把单位换算为立方米； （3）分别用正方体的棱长去除以圆柱的高和直径，得到对应棱长能放进的数量，再用计算结果相乘即可；据此解答。 【详解】（1）（1.6÷2）2×3＋1.6×3×4 ＝0.64×3＋4.8×4 ＝1.92＋19.2 ＝21.12（平方分米） 答：需要刷漆的面积是21.12平方分米。 （2）（1.6÷2）2×3×4 ＝0.64×3×4 ＝1.92×4 ＝7.68（立方分米） 7.68×500＝3840（立方分米） 3840立方分米＝3.84立方米 答：做这些圆柱形木块一共需要3.84立方米的木料。 （3）8÷1.6＝5（个） 8÷4＝2（个） 5×5×2 ＝25×2 ＝50（个） 答：这个箱多能装50个这样的圆柱形木块。 【点睛】此题考查了圆柱的体积与面积的计算，关键能理解题目灵活运用公式。 考点四、圆锥的认识及特征 1. 圆锥的定义与形成 (1)定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 (2)直观认识：有一个顶点，一个圆形底面，一个曲面侧面。 2. 圆锥的各部分名称 (1)底面：一个圆形。 (2)侧面：一个曲面，展开后是一个扇形。 (3)顶点：圆锥尖端的点。 (4)高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离。 ①　特征：圆锥只有一条高。 ②　测量方法：平板水平放在顶点上，直尺垂直立在底面上，读取平板与底面之间的距离。 真题练习 31．（24-25六年级下·北京海淀·期末）一款“几何形状配对玩具”的面板从正面看有四个窟窿，如图所示。有一块积木既能塞满正方形窟窿，又能塞满圆形窟窿，这块积木的形状可能是（    ）。 A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥 【答案】C 【分析】本题主要考查立体图形的视图特征，需要判断每个选项中的立体图形的视图能否与题目中的正方形和圆形窟窿相匹配。 【详解】由分析可得：圆柱从正面和侧面观察，视图为长方形或正方形；从上面观察，视图为圆形。所以圆柱能够满足既能出现正方形视图又能出现圆形视图的要求。 故答案为：C 32．（21-22六年级下·北京平谷·期末）用一张正方形的硬卡纸，以其中一条边所在直线为轴快速旋转一周（如下图），它扫过空间的形状是（    ）。 A．长方体 B．正方体 C．圆锥 D．圆柱 【答案】D 【分析】根据圆柱、长方体、正方体、圆锥的特征可知，用一张正方形的硬卡纸，以其中一条边所在直线为轴快速旋转一周，所形成的图形是圆柱。 【详解】由分析可知： 用一张正方形的硬卡纸，以其中一条边所在直线为轴快速旋转一周（如下图），它扫过空间的形状是圆柱。 故答案为：D 【点睛】本题考查圆柱、长方体、正方体、圆锥的认识，明确它们的特征是解题的关键。 33．（23-24六年级下·北京房山·期末）下图是分别从正面、左面、上面看某几何体所得的平面图形，则该几何体是（    ）。 A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．正方体 【答案】A 【分析】根据立体图形的特征，想象出从各个角度观察到的样子，选择即可。 【详解】A．圆柱从正面、左面看是一个长方形或正方形，从上面看是一个圆，符合题意； B．圆锥的底面是圆，侧面是一个曲面，从一面观察到的图形是圆或等腰三角形，不符合题意； C．根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形，特殊情况有两个相对的面是正方形，从一面观察看到的是长方形或正方形，不符合题意； D．根据正方体的特征，正方体的六个面都是正方形，从一面观察到的图形是正方形；不符合题意。 故答案为：A 34．（23-24六年级下·北京通州·期末）以下面的长方形或三角形的一条边为轴，旋转一周，扫过的空间会形成什么图形？先想一想，再连一连。 【答案】图见详解 【分析】根据面动成体，一个平面图形围绕一条轴旋转一周，会形成一个立体图形，长方形以长或宽为轴旋转，可以得到圆柱；直角三角形以一条直角边为轴旋转，可以得到圆锥。据此解答。 【详解】根据分析，连线如下图： 考点五、圆柱与圆锥体积的关系 1. 等底等高关系（核心考点） (1)前提条件：圆柱和圆锥必须等底（底面积 相等）且等高（高 相等）。 (2)体积倍数关系： ①　圆柱体积是圆锥体积的 3倍。 ②　圆锥体积是圆柱体积的 。 (3)公式表达： ①　 ②　 2. 其他变量关系推导 若已知体积相等或高相等，推导底面积或高的关系： (1)等体积、等底：圆锥的高是圆柱高的 3倍 ( )。 (2)等体积、等高：圆锥的底面积是圆柱底面积的 3倍 ( )。 (3)记忆口诀：“积等底同高三倍，积等高同底三倍”。 3. 易错点提示 (1)只有在等底等高的前提下，3倍关系才成立。 (2)若题目未说明“等底等高”，不能直接使用3倍关系，需分别计算。 真题练习 35．（23-24六年级下·北京密云·期末）一个圆锥的体积是30立方厘米，与它等底等高的圆柱的体积是（    ）立方厘米。 A．90 B．60 C．30 D．10 【答案】A 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，等底等高圆柱的体积是圆锥体积的3倍。将圆锥体积乘3，求出与它等底等高的圆柱的体积。 【详解】30×3＝90（立方厘米） 所以，与它等底等高的圆柱的体积是90立方厘米。 故答案为：A 36．（22-23六年级下·北京东城·期末）一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们体积和是60立方厘米，圆柱的体积是（    ）立方厘米。 A．15 B．20 C．40 D．45 【答案】D 【分析】等底等高的圆锥的体积是圆柱，设圆柱的体积为V立方厘米，则圆锥的体积为V，再根据等量关系：圆柱的体积＋圆锥的体积＝60，据此列方程解答即可。 【详解】解：设圆柱的体积为V立方厘米，则圆锥的体积为V。 V＋V＝60 V＝60 V÷＝60÷ V＝60× V＝45 则圆柱的体积是45立方厘米。 故答案为：D 37．（24-25六年级下·北京房山·期末）下面四个圆柱中，与圆锥体积相等的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥体积公式：V＝πr2h（其中r是底面半径，h是高）。题意中圆锥的底面半径为6÷2＝3厘米，高是15厘米。代入公式可得×π×32×15＝×π×9×15＝45π立方厘米。然后根据圆柱体积公式：V＝πr2h（其中r是底面半径，h是高）分别计算选项中图形的体积，进而找出正确答案。 【详解】A．圆柱底面直径6厘米，半径为6÷2＝3厘米，高h＝5厘米。代入公式得π×32×5＝π×9×5＝45π（立方厘米）。 B．圆柱底面直径6厘米，半径为6÷2＝3厘米，高h＝15厘米。代入公式得π×32×15＝π×9×15＝135π（立方厘米）。 C．圆柱底面直径2厘米，半径为2÷2＝1厘米，高h＝10厘米。代入公式得π×12×10＝π×1×10＝10π（立方厘米）。 D．圆柱底面直径2厘米，半径为2÷2＝1厘米，高h＝15厘米。代入公式得π×12×15＝π×1×15＝15π（立方厘米）。 题意圆锥的体积是45π立方厘米，选项A中圆柱图形的体积是45π立方厘米，所以与圆锥体积相等的是选项A。也可通过圆锥与圆柱的体积关系来解答。 故答案为：A 38．（24-25六年级下·北京海淀·期末）一个圆锥形水杯，如下图所示。如果用它向如图三个容器中各倒入一满杯水，容器中水的高度会有怎样的关系？（单位：cm）同学们有以下想法，其中正确的（    ）。 淘气：①号容器水的高度等于 笑笑：②号容器水的高度小于 奇思：③号容器水的高度比②号的高 A．只有淘气 B．只有奇思 C．只有淘气和笑笑 D．有淘气、笑笑和奇思 【答案】D 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆锥与圆柱的体积相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的，所以当把圆锥形装满水倒入圆柱形容器中，圆柱形容器的水的高度是（h×）；再根据长方体的体积公式：V＝Sh，水的体积一定，容器的底面积与高成正比例，②号长方体容器的底面积大于①容器的底面积，所以②号容器水的高度小于h；③号长方体容器的底面积小于②号长方体容器的底面积，所以③号容器水的高度大于②容器水的高度。据此解答即可。 【详解】h×＝h 所以圆柱形容器的水的高度是h。 8×8＝64（cm2） 3.14×（8÷2）2＝3.14×42 ＝3.14×16＝50.24（cm2） 64cm2＞50.24cm2 所以②号容器水的高度小于h。 6×6＝36（cm2） 8×8＝64（cm2） 36 cm2＜64 cm2 所以③号容器水的高度比②号高。 所以淘气、笑笑和奇思的想法都是正确的。 故答案为：D 39．（23-24六年级下·北京房山·期末）一个圆柱的体积为90dm3，则与它等底等高的圆锥体积为_________dm3。 【答案】30 【分析】根据圆柱与圆锥的体积之间的关系，等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，解答此题即可。 【详解】90÷3＝30（dm3） 则与它等底等高的圆锥体积为30dm3。 40．（24-25六年级下·北京东城·期末）有一块圆柱形粘土，它的高是9厘米，底面半径是3厘米。小明要用这块粘土搓成一个圆锥形的模型。如果小明搓的这个模型底面积与圆柱形粘土的底面积相等，则这个模型的高是( )厘米。 【答案】27 【分析】圆柱和圆锥由同一块粘土制成，体积相等。已知圆锥底面积与圆柱底面积相等，根据圆柱体积公式V＝πr2h和圆锥体积公式V＝πr2h（πr2为底面积，h为高），当体积和底面积相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍。 【详解】因为圆锥高是等体积、等底面积圆柱高的3倍，圆柱高9厘米，所以圆锥高为： 9×3＝27（厘米） 这个模型的高是27厘米。 考点六、圆锥的体积（容积） 1. 体积公式 (1)推导实验：通过倒水或倒沙实验，发现等底等高的圆锥容积是圆柱容积的三分之一。 (2)计算公式： ①　 ②　 2. 计算步骤规范 (1)求底面积：先计算 。 (2)乘高：计算 。 (3)乘三分之一：最后务必乘以 或除以 3。 ①　易错警示：学生常忘记乘 ，导致结果扩大3倍。 3. 逆运算应用 (1)已知体积和高，求底面积： （注意先乘3再除以高） (2)已知体积和底面积，求高： （注意先乘3再除以底面积） (3)已知体积和半径，求高： 4. 实际应用注意事项 (1)麦堆/沙堆问题：通常近似看作圆锥，计算体积后，若求重量，需再乘以单位体积的重量（密度）。 (2)削切问题： ①　把圆柱削成最大的圆锥（等底等高），削去部分的体积是圆柱体积的 ，是圆锥体积的 2倍。 ②　。 真题练习 41．（23-24六年级下·北京昌平·期末）陀螺在我国最少有四、五千年的历史，是民间最早的娱乐工具之一。小刚有一个木制陀螺（如下图），这个陀螺的体积大约是（    ）立方厘米。 A．9π B．54π C．63π D．81π 【答案】C 【分析】从图中可知，陀螺的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出这个陀螺的体积。 【详解】π×（6÷2）2×6＋×π×（6÷2）2×3 ＝π×32×6＋×π×32×3 ＝π×9×6＋×π×9×3 ＝54π＋9π ＝63π（立方厘米） 这个陀螺的体积大约是63π立方厘米。 故答案为：C 42．（24-25六年级下·北京朝阳·期末）以下图直角三角形ABC的直角边AC为轴，旋转得到的立体图形是( )，它的体积是( )cm3。 【答案】 圆锥 78.5 【分析】根据题意可知，这个直角三角形沿较短的直角边旋转一周得到的是一个底面半径为5cm，高3cm的圆锥体，再利用圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，计算即可。 【详解】直角三角形ABC的直角边AC为轴，旋转得到的立体图形是圆锥； 3.14××3× ＝3.14×25×1 ＝78.5（） 所以它的体积是78.5。 43．（24-25六年级下·北京顺义·期末）如图，在直角三角形ABC中，分别以AB、BC为轴旋转一周，得到的两个圆锥体积之比是( )。 【答案】3∶2 【分析】以AB为轴旋转一周，可得到一个底面半径是3厘米，高为2厘米的圆锥；以BC为轴旋转一周，可得到一个底面半径是2厘米，高为3厘米的圆锥；根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出两个圆锥的体积，进而求出两个圆锥体积的比。 【详解】（π×32×2）∶（π×22×3） ＝（π×9×2）∶（π×4×3） ＝6π∶4π ＝（6π÷2π）∶（4π÷2π） ＝3∶2 得到的两个圆锥的体积之比是3∶2。 44．（23-24六年级下·北京房山·期末）六一儿童节，乐乐准备给幼儿园的小朋友做冰激凌甜筒，甜筒的底面直径是8cm，高是10cm（如图），做50个这样的冰激凌甜筒需要准备原料_________L（取π≈3）。 【答案】8 【分析】根据圆锥的体积V＝πr2h，求出一个甜筒需要多少原料，再乘50，即可求出做50个这样的冰激凌甜筒需要准备原料多少L。 【详解】3×（8÷2）2×10× ＝3×42×10× ＝3×16×10× ＝48×10× ＝480× ＝160（cm3） 160×50＝8000（cm3） 8000cm3＝8L 做50个这样的冰激凌甜筒需要准备原料8L。 45．（21-22六年级下·北京大兴·期末）一个用钢铸造成的圆锥形铅锤，底面直径是10厘米，高是12厘米。这个铅锤的体积是( )立方厘米。每立方厘米钢大约重7.8克，这个铅锤重( )千克。（得数保留一位小数） 【答案】 314 2.4 【分析】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，据此代入数值即可求出这个铅锤的体积；然后用铅锤的体积乘每立方厘米钢的重量即可求出这个铅锤的重量。 【详解】×3.14×（10÷2）2×12 ＝×3.14×25×12 ＝×12×3.14×25 ＝4×3.14×25 ＝12.56×25 ＝314（立方厘米） 314×7.8＝2449.2（克）≈2.4（千克） 则这个铅锤的体积是314立方厘米。每立方厘米钢大约重7.8克，这个铅锤重2.4千克。 【点睛】本题考查圆锥的体积，熟记公式是解题的关键。 46．（23-24六年级下·北京西城·期末）整流罩是运载火箭的重要组成部分，位于运载火箭顶部，通常是由近似的圆柱和圆锥组成，起到有效保护的作用。下图是某型号运载火箭整流罩的示意图，这个整流罩的容积约是( )m3（得数保留整数，整流罩的厚度忽略不计）。 【答案】113 【分析】观察图形可知，这个整流罩的容积＝圆柱的容积＋圆锥的容积，根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，圆锥的体积（容积）公式V＝πr2h，代入数据计算，即可求解。 【详解】3.14×22×8＋×3.14×22×3 ＝3.14×4×8＋×3.14×4×3 ＝100.48＋12.56 ≈113（m3） 这个整流罩的容积约是113m3。 47．（24-25六年级下·北京房山·期末）计算几何体的体积。 【答案】75.36cm3 【分析】由图可知，该几何体由底面直径4cm、高5cm的圆柱和底面直径4cm、高3cm的圆锥组成，用直径除以2计算出半径，分别根据圆柱体积公式和圆锥体积公式计算出圆柱体积和圆锥体积，再把两部分相加即可。 【详解】4÷2＝2（cm） 3.14×22×5 ＝3.14×4×5 ＝12.56×5 ＝62.8（cm3） ×3.14×22×3 ＝×3.14×4×3 ＝3.14×4 ＝12.56（cm3） 62.8＋12.56＝75.36（cm3） 所以该几何体的体积是75.36cm3。 48．（24-25六年级下·北京海淀·期末）小东家有一堆稻谷，堆成了圆锥形。稻谷堆高为1.2米，底面直径为2米。如乘果每立方米稻谷的质量为700千克，这堆稻谷的质量为多少千克？ 【答案】879.2千克 【分析】稻谷为圆锥形，底面直径为2米，那么半径为2÷2＝1米，高为1.2米，根据圆锥体积公式：V＝πr2h（r为底面半径，h为高，π取3.14），每立方米稻谷的质量为700千克，把数据代入公式计算后再与700相乘即可解答。 【详解】2÷2＝1（米） ×3.14×12×1.2×700 ＝×3.14×1×1.2×700 ＝×3.768×700 ＝1.256×700 ＝879.2（千克） 答：这堆稻谷的质量为879.2千克。 49．（23-24六年级下·北京海淀·期末）施工人员正在修一条长40米、宽10米的笔直的路，修建过程中要用沙子铺路面。有一个圆锥形沙堆，底面直径为4米，高为1.5米，如下图。如果要用沙子在这条路上铺2厘米厚的路面，这堆沙子够用吗？（π取3.14） 【答案】不够用 【分析】根据题意可知，先求出圆锥形沙堆的体积，用公式：圆锥的体积＝底面积×高×，然后求出铺2厘米厚的路面的沙子的体积，用路的面积×铺的厚度＝铺的沙子的体积，把两个体积进行对比，如果圆锥形沙堆的体积大于等于铺的沙子的体积，就够用，否则不够用，据此列式解答。 【详解】2厘米＝0.02米 3.14×（4÷2）2×1.5× ＝3.14×4×1.5× ＝12.56×1.5× ＝18.84× ＝6.28（立方米） 40×10×0.02 ＝400×0.02 ＝8（立方米） 6.28＜8 答：这堆沙子不够用。 50．（24-25六年级下·北京顺义·期末）李明把一块长12厘米、宽5厘米、厚2厘米的长方体形状的超轻粘土，捏成一个近似的圆锥，测得圆锥的高是7.5厘米。 （1）圆锥的底面积大约是多少平方厘米？ （2）李明准备把这块超轻粘土放进一个底面半径是3厘米，高5厘米的圆柱桶中收纳，能放下吗？说明理由。 【答案】（1）48平方厘米 （2）不能放下，理由是：圆柱桶的底面积小于圆锥的底面积 【分析】（1）根据长方体的体积公式：V＝abh，代入数据求出长方体形状的超轻粘土的体积，也就是圆锥的体积，圆锥的体积公式：V＝Sh，那么S＝3V÷h，把数据代入公式解答。 （2）根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式求出圆柱桶的底面积，然后与圆锥的底面积进行比较，如果圆柱桶的底面积大于或等于圆锥的底面积，就能放下，否则就不能放下。 【详解】（1）12×5×2×3÷7.5 ＝60×2×3÷7.5 ＝120×3÷7.5 ＝360÷7.5 ＝48（平方厘米） 答：圆锥的底面积大约是48平方厘米。 （2）3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 28.26平方厘米＜48平方厘米 答：不能放下，理由是：圆柱桶的底面积小于圆锥的底面积。 51．（22-23六年级下·北京通州·期末）沙漏是两个完全相同的圆锥形容器的组合体，单个圆锥容器高5厘米，漏口每秒可漏细沙0.05立方厘米，漏完全部细沙用时5分钟，这个沙漏的底面积是多少平方厘米？（细沙恰好装满单个圆锥） 【答案】9平方厘米 【分析】先将5分钟化为300秒，然后用0.05×300即可求出细沙的体积，细沙恰好装满单个圆锥，所以根据圆锥的体积公式：V＝ Sh，用细沙的体积×3÷5即可求出沙漏的底面积。 【详解】5分钟＝300秒 0.05×300＝15（立方厘米） 15×3÷5＝9（平方厘米） 答：这个沙漏的底面积是9平方厘米。 【点睛】本题主要考查了圆锥的体积公式的灵活应用，要熟练掌握公式。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 37 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆柱与圆锥 考点一、圆柱的认识及特征 1. 圆柱的定义与形成 (1)定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。 (2)直观认识：上下两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面。 2. 圆柱的各部分名称 (1)底面：圆柱上下两个完全相同的圆形平面。 (2)侧面：圆柱周围的面，是一个曲面。 (3)高：圆柱两个底面之间的距离。 ①　特征：圆柱有无数条高，且所有高的长度都相等。 ②　测量：通常在侧面展开图的宽或长方形的高上体现。 3. 圆柱的侧面展开图 (1)沿高剪开：侧面展开后通常是一个长方形。 ①　长方形的长 = 圆柱底面的周长 ( 或 )。 ②　长方形的宽 = 圆柱的高 ( )。 (2)特殊情况： ①　若底面周长等于高 ( )，侧面展开图是正方形。 ②　若不沿高斜着剪开，侧面展开图可能是平行四边形。 真题练习 1．（21-22六年级下·北京房山·期末）下面图形旋转过程中扫过的空间是圆柱的是（    ）。 A． B． C． D． 2．（21-22六年级下·北京门头沟·期末）下面展开图中，能围成圆柱的是（    ）。（单位：厘米） A． B．   C．   D．   3．（23-24六年级下·北京通州·期末）下图是小明做圆柱时的示意图，这个圆柱的高是（    ）厘米。（接头处忽略不计） A．2 B．4 C．6 D．8 考点二、圆柱的表面积及应用 1. 表面积的构成 圆柱的表面积由侧面积和两个底面积组成。 (1)公式： 2. 侧面积计算 (1)原理：侧面展开成长方形，面积 = 长 宽。 (2)公式： ①　 （底面周长 高） ②　 ③　 3. 底面积计算 (1)公式： 4. 综合表面积公式 (1) (2)提取公因式形式： 5. 实际应用中的变式（高频考点） 在解决实际问题时，需根据物体形状确定计算哪些面的面积： (1)全表面积：油桶、罐头盒等封闭容器（侧面积 + 2个底面积）。 (2)无盖表面积：水桶、鱼缸、笔筒等开口容器（侧面积 + 1个底面积）。 (3)仅侧面积：烟囱、通风管、压路机滚筒、柱子涂漆部分（只算侧面积）。 (4)注意：计算结果通常采用“进一法”取近似值（如制作材料需预留损耗），除非题目明确要求四舍五入。 真题练习 4．（24-25六年级下·北京顺义·期末）如图形（    ）是圆柱的展开图。（单位：厘米） A． B． C． D． 5．（23-24六年级下·北京东城·期末）下列问题中，（    ）需要计算物体的体积。 A．求包装一份生日礼物需要多少彩纸 B．给大厅里的柱子刷油漆，求需要多少油漆 C．装饰黑板的四周，求需要多少彩带 D．一个铁球沉入装满水的容器中，求溢出多少水 6．（22-23六年级下·北京通州·期末）一张长方形纸分别沿长和宽可以围成两个不同的圆柱，即甲圆柱和乙圆柱（如图），比较这两个圆柱的侧面积的大小，下面说法正确的是（    ）。 A．甲圆柱侧面积大 B．乙圆柱侧面积大 C．侧面积相等 D．不能确定 7．（22-23六年级下·北京通州·期末）给一个底面半径10厘米，高30厘米的圆柱形奶粉筒侧面贴满包装纸，至少需要( )平方厘米的包装纸。 8．（23-24六年级下·北京东城·期末）如图，一个圆柱形铁罐的底面半径是4厘米，高是10厘米。它的侧面贴了一张彩纸，如果沿虚线剪开后可以得到一个平行四边形。这个平行四边形的面积是( )平方厘米。 9．（24-25六年级下·北京东城·期末）手工小组制作了一些圆柱形蜡烛，每根蜡烛高10厘米，底面直径6厘米。他们要给每根蜡烛的侧面都贴上一张装饰纸，每张装饰纸恰好将蜡烛的侧面围一圈。每张装饰纸的面积是( )平方厘米（接口处忽略不计）。 10．（23-24六年级下·北京海淀·期末）如图，有一种圆柱形的鱼肉罐头，底面直径是7cm，高是10cm。如果要用商标纸包装这个鱼肉罐头的侧面，至少需要( )cm2的商标纸。（π取3.14） 11．（24-25六年级下·北京海淀·期末）为提高树木抗寒性和防虫害能力，工人师傅给横截面直径约为0.5米的大树树干底部涂满石灰浆，如图所示。涂石灰浆部分的面积大约是多少平方米？ 12．（23-24六年级下·北京朝阳·期末）用一张长18.84厘米，宽12.56厘米的长方形纸，卷成一个圆柱形直筒，给这个直筒配一个底面，这个底面至少需要用纸多少平方厘米？（粘合处所用纸张大小忽略不计） 13．（22-23六年级下·北京海淀·期末）制作一个底面直径20厘米、长50厘米的圆柱形通风管，至少要用多少平方厘米的铁皮？（取3.14）    14．（23-24六年级下·北京延庆·期末）蔬菜大棚通常用塑料薄膜覆盖它的侧面。 （1）下图的横截面是一个直径为4米的半圆形。如果用塑料薄膜覆盖它的侧面，至少需要塑料薄膜多少平方米？ （2）某地蔬菜大棚如下图所示，依然用塑料薄膜覆盖它的侧面，至少需要塑料薄膜多少平方米？说明你的计算方法（不用计算出结果）。 考点三、圆柱的体积及应用 1. 体积公式推导 (1)转化思想：将圆柱底面分成许多相等的扇形，切开后拼成一个近似的长方体。 (2)对应关系： ①　长方体的底面积 = 圆柱的底面积 ( ) ②　长方体的高 = 圆柱的高 ( ) ③　长方体的体积 = 圆柱的体积 ( ) (3)结论：因为长方体体积 = 底面积 高，所以圆柱体积 = 底面积 高。 2. 计算公式 (1)基本公式： (2)展开公式： ①　 ②　 ③　 3. 容积与体积的区别 (1)体积：物体所占空间的大小，从外部测量数据。 (2)容积：容器所能容纳物体的体积，从内部测量数据。 (3)单位换算： ①　 ②　 ③　计算容积时，务必使用容器内部的长、宽、高或半径、高。 4. 常见应用类型 (1)求体积/容积：直接代入公式计算。 (2)已知体积和高，求底面积： 。 (3)已知体积和底面积，求高： 。 (4)不规则物体体积：利用排水法，上升水的体积 = 浸入物体的体积（ ）。 真题练习 15．（24-25六年级下·北京海淀·期末）淘气在探究圆柱体积计算方法时，将一个圆柱沿底面直径等分后，拼成一个近似的长方体，如图所示。拼成后的近似长方体的长是（    ）。 A．πr B．πr C．2πr D．πr2 16．（24-25六年级下·北京东城·期末）一个圆柱形容器，从里面量底面半径是5厘米，高是10厘米，这个圆柱形容器的容积是（    ）立方厘米。 A．157 B．314 C．785 D．1570 17．（23-24六年级下·北京通州·期末）一个棱长是4分米的正方体容器装满水后，倒入一个底面积是8平方分米的圆柱体容器里正好装满，这个圆柱体的高是( )分米。 18．（23-24六年级下·北京密云·期末）一个长方形，长6厘米，宽4厘米。以长为轴旋转一周，形成圆柱A；再以宽为轴旋转一周，形成圆柱B。求圆柱A与圆柱B的体积的最简比是( )。 19．（24-25六年级下·北京房山·期末）同学们在推导圆柱的体积公式时，将圆柱按如图切分后拼成一个近似的长方体。如果圆柱的底面半径为2cm，高为6cm，那么圆柱的体积是________，拼成的长方体表面积是________（取）。 20．（23-24六年级下·北京房山·期末）小文从一张长方形卡纸上剪下一个长方形和一个圆（如图中阴影部分），做成一个无盖的笔筒（接口处忽略不计）。求这个笔筒的表面积和体积。 21．（23-24六年级下·北京丰台·期末）王亮家即将喜迁新居，选择购买这款空调（如图）。请你算一算这款空调占据的空间大约是多少立方米？（精确到百分位） 22．（23-24六年级下·北京东城·期末）王叔叔每周三健身，教练建议他在健身当日需要喝水2000~2500毫升。王叔叔的水杯从里面量底面直径是6厘米，高是12厘米，每次倒水时水面距杯口大约2厘米（如下图）。照这样，王叔叔每周三用这个水杯喝8杯水，能否达到健身教练的要求？ 23．（24-25六年级下·北京朝阳·期末）用一张长为2分米、宽为1分米的长方形硬纸分别以长边为轴、宽边为轴旋转（如下图）形成两个圆柱。对于这两个圆柱的侧面积和体积，同学们发表了自己的见解。 明明说：“这两个圆柱的侧面积相等。” 亮亮说：“这两个圆柱的体积相等。” 请你分别判断他们的说法是否正确，并说明理由。 24．（23-24六年级下·北京房山·期末）用一张长方形铁皮（如下图），剪出一个底面和侧面，做一个容积最大的圆柱形无盖水桶。 （1）这个水桶的底面直径是（    ）分米，高是（    ）分米。 （2）这个水桶最多能装水多少升（铁皮的厚度忽略不计）？ 25．（24-25六年级下·北京东城·期末）幼儿园活动区装修，在柱子外面套了一层防撞软套，这个软套是空心的圆柱套管（如下图，单位；厘米）。这个软套的体积是多少立方厘米？ 26．（24-25六年级下·北京房山·期末）某工厂加工圆柱形的茶叶盒，购买了10块相同的金属板材。已知每块金属板材可以有A，B，C三种裁剪方式，如图，方式A：裁剪成6个圆形底面和1个侧面；方式B：裁剪成3个侧面；方式C：裁剪成9个圆形底面。已知2个圆形底面和1个侧面组成一个圆柱形茶叶盒（接头处忽略不计）。      （1）若每块金属板材都是边长为6分米的正方形，求出每个茶叶盒的表面积和体积；（取π≈3） （2）现已有2块金属板材按方式C裁剪，其余都按方式A或方式B裁剪，最多能加工多少个圆柱形茶叶盒？ 27．（24-25六年级下·北京丰台·期末）为了形象直观地说明“木桶效应”蕴含的道理，老师特意准备了一只木桶，制作此木桶底面与侧面用的木板的厚度相同，侧面木板长短不一，小明从木桶外部测量的数据，如图所示。 （1）如果从木桶的里面测量，底面的直径是多少厘米？ （2）这只木桶上的铁箍是用薄铁皮制作的，箍1圈铁箍，如果接头处、铁皮厚度都忽略不计，请你算一算，至少需要多少平方厘米的薄铁皮？ （3）把这个木桶斜放比平放最多能多接多少水？ 28．（23-24六年级下·北京西城·期末）阅读下面资料，解决问题。 生物在进化过程中，为了求得生存，动物的骨、植物的茎等都是空心的，而且内圆直径和外圆直径之比大约都是8∶11。研究表明，当一根空心管子底面的内圆直径和外圆直径之比是8∶11时最不容易弯曲。根据这个研究，人们制成了空心零件、自行车的车身架等，以达到耗费最少材料而使其最坚固的目的。 （1）按照上面的研究，工人师傅制作了一种塑料零件（如下图）。这个零件底面的内圆直径是多少厘米？ （2）做这种塑料零件需要多少立方厘米的塑料？（π取3） 29．（24-25六年级下·北京房山·期末）古希腊的阿基米德是历史上杰出的数学家。“圆柱容球”是他众多科学发现中最得意的成果。“圆柱容球”就是把一个球放在一个圆柱形容器中，盖上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面及侧面紧密接触。这时，球的体积正好是圆柱体积的。 （1）当“圆柱容球”时，如果圆柱的底面半径为3厘米，则球的体积是多少立方厘米？（取3.14） （2）请你根据上面的研究，提出一个好奇的想要研究的新问题。 30．（22-23六年级下·北京西城·期末）工人准备在道路一侧安装栅栏，定制了500个大小相同的圆柱形木块。（π取3） （1）如果给一个圆柱形木块的表面刷漆，需要刷漆的面积是多少平方分米？ （2）做这些圆柱形木块一共需要多少立方米的木料？（损耗忽略不计） （3）将这些木块装箱，箱子的形状是一个正方体，从里面量棱长为8dm，这个箱多能装多少个这样的圆柱形木块？ 考点四、圆锥的认识及特征 1. 圆锥的定义与形成 (1)定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 (2)直观认识：有一个顶点，一个圆形底面，一个曲面侧面。 2. 圆锥的各部分名称 (1)底面：一个圆形。 (2)侧面：一个曲面，展开后是一个扇形。 (3)顶点：圆锥尖端的点。 (4)高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离。 ①　特征：圆锥只有一条高。 ②　测量方法：平板水平放在顶点上，直尺垂直立在底面上，读取平板与底面之间的距离。 真题练习 31．（24-25六年级下·北京海淀·期末）一款“几何形状配对玩具”的面板从正面看有四个窟窿，如图所示。有一块积木既能塞满正方形窟窿，又能塞满圆形窟窿，这块积木的形状可能是（    ）。 A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥 32．（21-22六年级下·北京平谷·期末）用一张正方形的硬卡纸，以其中一条边所在直线为轴快速旋转一周（如下图），它扫过空间的形状是（    ）。 A．长方体 B．正方体 C．圆锥 D．圆柱 33．（23-24六年级下·北京房山·期末）下图是分别从正面、左面、上面看某几何体所得的平面图形，则该几何体是（    ）。 A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．正方体 34．（23-24六年级下·北京通州·期末）以下面的长方形或三角形的一条边为轴，旋转一周，扫过的空间会形成什么图形？先想一想，再连一连。 考点五、圆柱与圆锥体积的关系 1. 等底等高关系（核心考点） (1)前提条件：圆柱和圆锥必须等底（底面积 相等）且等高（高 相等）。 (2)体积倍数关系： ①　圆柱体积是圆锥体积的 3倍。 ②　圆锥体积是圆柱体积的 。 (3)公式表达： ①　 ②　 2. 其他变量关系推导 若已知体积相等或高相等，推导底面积或高的关系： (1)等体积、等底：圆锥的高是圆柱高的 3倍 ( )。 (2)等体积、等高：圆锥的底面积是圆柱底面积的 3倍 ( )。 (3)记忆口诀：“积等底同高三倍，积等高同底三倍”。 3. 易错点提示 (1)只有在等底等高的前提下，3倍关系才成立。 (2)若题目未说明“等底等高”，不能直接使用3倍关系，需分别计算。 真题练习 35．（23-24六年级下·北京密云·期末）一个圆锥的体积是30立方厘米，与它等底等高的圆柱的体积是（    ）立方厘米。 A．90 B．60 C．30 D．10 36．（22-23六年级下·北京东城·期末）一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们体积和是60立方厘米，圆柱的体积是（    ）立方厘米。 A．15 B．20 C．40 D．45 37．（24-25六年级下·北京房山·期末）下面四个圆柱中，与圆锥体积相等的是（    ）。 A． B． C． D． 38．（24-25六年级下·北京海淀·期末）一个圆锥形水杯，如下图所示。如果用它向如图三个容器中各倒入一满杯水，容器中水的高度会有怎样的关系？（单位：cm）同学们有以下想法，其中正确的（    ）。 淘气：①号容器水的高度等于 笑笑：②号容器水的高度小于 奇思：③号容器水的高度比②号的高 A．只有淘气 B．只有奇思 C．只有淘气和笑笑 D．有淘气、笑笑和奇思 39．（23-24六年级下·北京房山·期末）一个圆柱的体积为90dm3，则与它等底等高的圆锥体积为_________dm3。 40．（24-25六年级下·北京东城·期末）有一块圆柱形粘土，它的高是9厘米，底面半径是3厘米。小明要用这块粘土搓成一个圆锥形的模型。如果小明搓的这个模型底面积与圆柱形粘土的底面积相等，则这个模型的高是( )厘米。 考点六、圆锥的体积（容积） 1. 体积公式 (1)推导实验：通过倒水或倒沙实验，发现等底等高的圆锥容积是圆柱容积的三分之一。 (2)计算公式： ①　 ②　 2. 计算步骤规范 (1)求底面积：先计算 。 (2)乘高：计算 。 (3)乘三分之一：最后务必乘以 或除以 3。 ①　易错警示：学生常忘记乘 ，导致结果扩大3倍。 3. 逆运算应用 (1)已知体积和高，求底面积： （注意先乘3再除以高） (2)已知体积和底面积，求高： （注意先乘3再除以底面积） (3)已知体积和半径，求高： 4. 实际应用注意事项 (1)麦堆/沙堆问题：通常近似看作圆锥，计算体积后，若求重量，需再乘以单位体积的重量（密度）。 (2)削切问题： ①　把圆柱削成最大的圆锥（等底等高），削去部分的体积是圆柱体积的 ，是圆锥体积的 2倍。 ②　。 真题练习 41．（23-24六年级下·北京昌平·期末）陀螺在我国最少有四、五千年的历史，是民间最早的娱乐工具之一。小刚有一个木制陀螺（如下图），这个陀螺的体积大约是（    ）立方厘米。 A．9π B．54π C．63π D．81π 42．（24-25六年级下·北京朝阳·期末）以下图直角三角形ABC的直角边AC为轴，旋转得到的立体图形是( )，它的体积是( )cm3。 43．（24-25六年级下·北京顺义·期末）如图，在直角三角形ABC中，分别以AB、BC为轴旋转一周，得到的两个圆锥体积之比是( )。 44．（23-24六年级下·北京房山·期末）六一儿童节，乐乐准备给幼儿园的小朋友做冰激凌甜筒，甜筒的底面直径是8cm，高是10cm（如图），做50个这样的冰激凌甜筒需要准备原料_________L（取π≈3）。 45．（21-22六年级下·北京大兴·期末）一个用钢铸造成的圆锥形铅锤，底面直径是10厘米，高是12厘米。这个铅锤的体积是( )立方厘米。每立方厘米钢大约重7.8克，这个铅锤重( )千克。（得数保留一位小数） 46．（23-24六年级下·北京西城·期末）整流罩是运载火箭的重要组成部分，位于运载火箭顶部，通常是由近似的圆柱和圆锥组成，起到有效保护的作用。下图是某型号运载火箭整流罩的示意图，这个整流罩的容积约是( )m3（得数保留整数，整流罩的厚度忽略不计）。 47．（24-25六年级下·北京房山·期末）计算几何体的体积。 48．（24-25六年级下·北京海淀·期末）小东家有一堆稻谷，堆成了圆锥形。稻谷堆高为1.2米，底面直径为2米。如乘果每立方米稻谷的质量为700千克，这堆稻谷的质量为多少千克？ 49．（23-24六年级下·北京海淀·期末）施工人员正在修一条长40米、宽10米的笔直的路，修建过程中要用沙子铺路面。有一个圆锥形沙堆，底面直径为4米，高为1.5米，如下图。如果要用沙子在这条路上铺2厘米厚的路面，这堆沙子够用吗？（π取3.14） 50．（24-25六年级下·北京顺义·期末）李明把一块长12厘米、宽5厘米、厚2厘米的长方体形状的超轻粘土，捏成一个近似的圆锥，测得圆锥的高是7.5厘米。 （1）圆锥的底面积大约是多少平方厘米？ （2）李明准备把这块超轻粘土放进一个底面半径是3厘米，高5厘米的圆柱桶中收纳，能放下吗？说明理由。 51．（22-23六年级下·北京通州·期末）沙漏是两个完全相同的圆锥形容器的组合体，单个圆锥容器高5厘米，漏口每秒可漏细沙0.05立方厘米，漏完全部细沙用时5分钟，这个沙漏的底面积是多少平方厘米？（细沙恰好装满单个圆锥） 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 37 页 学科网（北京）股份有限公司 $