7.2 探索直线平行的条件培优作业2025-2026学年六年级下册数学鲁教版

第七章 相交线与平行线 2 探索直线平行的条件 第1课时 利用同位角判定两直线平行及平行公理 夯基础 1.如图，具有同位角关系的一对角是 ( ) A.∠1和∠2 B.∠1 和∠4 C.∠2 和∠3 D.∠3 和∠4 2.若∠1 与∠2 是同位角,且∠1=60°,则∠2 是 ( ) A.60° B.120° C.120°或 60° D.不能确定 3.下列说法错误的个数是 ( ) ①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ③直线外一点到这条直线的垂线段，叫作这个点到直线的距离 ④同一平面内不相交的两条直线叫作平行线 A.1 个 B.2个 C.3 个 D.4个 4.如图,由∠1=∠2,能得到AB∥CD 的是 ( ) 5.如图,在直线 AB 外取一点P，经过点 P 作 AB 的平行线，这种画法的依据是 ( ) A.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 B.同位角相等，两直线平行 C.内错角相等，两直线平行 D.两直线平行，同位角相等 6.如图,AB∥CD,过点 E 画EF∥AB,则 EF与CD 的位置关系是 ，理由是 7.如图,∠DAC 是三角形ABC的外角，射线 AE 在∠DAC 的内部，添加一个条件 ,使得 AE∥BC.(写出一种情况即可) 8.学习了平行线之后，李强同学想出了过直线外一点画一条直线的平行线的方法：如图 2，过点 P 作一条与a相交的直线b，如图 3 以 P 为顶点，以b 为角的一边,作∠2=∠1,如图 4 过∠2 的另一条边作直线c，则c∥a，这样做的数学依据是 。 9.如图,已知∠CDA =∠CBA,DE 平分∠CDA,BF 平分∠CBA,且∠1=∠2,说明DE∥BF 的理由. 解:∵DE 平分∠CDA(已知), 同理 又∵∠CDA=∠CBA(已知), ∴∠ =∠ , 又∵∠1=∠2(已知), ∴∠ =∠ ( ), ∴DE∥BF( ). 10.如图所示,AD 平分∠BAC,EF 平分∠DEC,且∠1=∠2,试说明 DE 与 AB的位置关系. 11.如图,在四边形 ABCD中,射线 CE 交 AD 于点 F,连接 BF,BF⊥CE. (1)若∠DFC=50°,求∠AFB 的度数; (2)若∠FBC+∠AFE=90°,判断直线AD 和BC 的位置关系，并说明理由. 练能力 12.在学习了平行线后，小明和小芳分别给出了过直线 AB 外一点 P画这条直线的平行线的方法. 小明的画法：如图a，①过点 P 画一条直线 MN 与直线 AB相交于点Q； ②测得∠BQM=62°;③以 P 为顶点，射线PM 为 一 边,画∠CPM = 62°(点 C在直线 MN 的右侧).直线 CP 即为所求. 小芳的画法：如图b，①过点 P 画直线 PQ⊥AB,垂足为 Q; ②过点 P 画直线 CD⊥PQ,垂足为P(点C,D分别在直线 PQ 的两侧，且点 C 在直线PQ的左侧). 直线 CD 即为所求. 完成下面问题： (1)在小明的画法中，判定CP∥AB 的依据是 ； (2)用三角尺或量角器，依画法补全图b； (3)完成小芳的证明. 证明:∵PQ⊥AB, ∴∠BQP= °( ). ∵CD⊥PQ, ∴∠DPE=90°. ∴∠BQP=∠DPE. ∴CD∥AB( ). 第 1 课时 利用同位角判定两直线平行及平行公理 1. B 2. D 3. C 4. A 5. B 6. EF∥CD 平行于同一直线的两直线互相平行 7.∠DAE=∠B(答案不唯一) 8.同位角相等，两直线平行 9.解:因为 DE 平分∠CDA(已知), 所以 (角平分线的定义). 同理 又因为∠CDA=∠CBA(已知), 所以∠1=∠3, 又因为∠1=∠2(已知), 所以∠2=∠3(等量代换), 所以 DE∥BF(同位角相等，两直线平行)； 故答案为：角平分线的定义；1；3；2；3；等量代换；同位角相等，两直线平行. 10.解:因为 AD 平分∠BAC,EF 平分∠DEC, 所以 因为∠1=∠2, 所以∠BAC=∠DEC, 所以DE∥AB. 11.解:(1)因为 BF⊥CE, 所以∠BFC=90°, 因为∠AFB +∠BFC +∠DFC = 180°, ∠DFC=50°, 所以∠AFB =180°-∠BFC-∠DFC =180°-90°-50°=40°; (2)AD∥BC, 理由如下， 因为 BF⊥CE, 所以∠BFC=90°, 所以∠FBC+∠BCF=90°, 又因为∠FBC+∠AFE=90°, 所以∠BCF=∠AFE, 所以AD∥BC. 12.解：(1)同位角相等，两直线平行； (2)图形如图所示： (3)证明:因为PQ⊥AB, 所以∠BQP=90°(垂直的定义). 因为CD⊥PQ, 所以∠DPE=90°, 所以∠BQP=∠DPE, 所以CD∥AB(同位角相等，两直线平行). 故答案为：90；垂直的定义；同位角相等，两直线平行. 第 2 课时 利用内错角、同旁内角判定两直线平行 1. C 2. A 3.①②③④ 4.30°或120°或165°解析:如图1,当AD∥BC时:则∠D=∠BCD=30°, 因为∠ACE+∠ECD=∠ECD+∠BCD=90°,所以∠ACE=∠BCD=30°, 如图2,当AD∥CE 时:∠D=∠DCE=30°, 此时∠ACE=90°+30°=120°, 如图3,当AD∥BE 时:延长BC 交AD于点M, 则∠AMC=∠B=45°, 所以∠ACM=180°-45°-60°=75°, 所以∠ACE=90°+75°=165°, 综上所述:∠ACE=30°或120°或165°. 5.②③④ 6.30°或150°解析:如图所示,当ED∥AC 时,∠CAD=∠D=30°; 如图所示,当ED∥AC时,∠E=∠EAC=60°,所以∠CAD=60°+90°=150°. 7.解:(1)证明:因为 OC 平分∠AOF,OD 平分∠BOF, 所以 所以 ∠BOF)=90°, 所以OC⊥OD; (2)证明:因为∠COD = 90°,所以∠1 +∠BOD=90°, 因为∠D与∠1互余,所以∠1+∠D=90°,所以∠D=∠BOD,所以 ED∥AB. 8.解:(1)因为∠ABE =3∠DCE,∠DCE =24°, 所以∠ABE=72°, 因为∠A=59°,∠D=121°,59°+121°=180°, 所以AB∥CD,所以∠DFE=∠ABE=72°; (2)CE∥PF,理由如下: 由(1)知,∠DFE=72°, 所以∠BFC=∠DFE=72°, 因为∠BFP=48°, 所以∠PFC=∠BFC-∠BFP=72°-48°=24°, 又因为∠DCE=24°, 所以∠DCE=∠PFC, 所以CE∥PF. 9.解:(1)因为 ON 是法线, 所以∠BON=∠AON,所以∠BOF=∠AOE. 因为∠AOE=65°,所以∠BOF=65°. 因为∠AOB=80°,ON 是法线, 所以∠BON=∠AON=40°, 所以∠BOF=90°-40°=50°. 故答案为:65,50; (2)设∠AMP =∠NMO =a,∠BNQ =∠MNO=β, 当AM∥BN时,∠AMN+∠BNM=180°,所以180°-2a+180°-2β=180°,所以α+β=90°, 所以△MON 中,∠O = 180°-∠NMO-∠MNO=180°-(α+β)=90°,所以当∠POQ 为90°时,光线 AM∥BN. 10.解:(1)AB∥CD, 理由:如图1,延长BE 交 CD 于 F. 因为∠BED=∠B+∠D,∠BED=∠EFD+∠D, 所以∠B=∠EFD,所以AB∥CD; (2)∠1=∠2+∠3. 理由如下:如图2,延长 BA 交CE 于F, 因为∠2+∠EFA+∠EAF=180°, ∠1+∠EAF=180°, 所以∠1=∠2+∠EFA,∠1=∠2+∠3, 所以∠3=∠EFA, 所以AB∥CD. 11.解:(1)过点 C 作CG//DF, 所以∠DFE=∠FCG, 因为 BC⊥MN, 所以∠BCF=90°, 所以∠BCG+∠FCG=90°, 所以∠BCG+∠DFE=90°, 因为∠ABC+∠DFE=90°, 所以∠ABC=∠BCG, 所以CG//AB, 所以 DF∥AB; (2)因为∠ABC=∠ACB,∠DEF=∠DFE, 又因为∠ABC+∠DFE=90°, 所以∠ACB+∠DEF=90°, 因为 BC⊥MN, 所以∠BCM=90°, 所以∠ACB+∠ACE=90°, 所以∠DEF=∠ACE, 所以 DE//AC. 学科网（北京）股份有限公司 $