精品解析：吉林松原市吉林油田高级中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

吉林油田高级中学2025-2026学年下学期期中考试卷 高二数学 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3. 已知随机变量X的分布列为 X 0 2 4 P m 则（ ） A. B. 1 C. D. 4. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 样本数据2， 3， 5， 8， 9， 10的25%分位数为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 6. 已知，则（ ） A. 32 B. 31 C. D. 1 7. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 8. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为X，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）水果篮中有8个水果，其中有2个是石榴，现从水果篮中随机地抽取3个，那么概率是的事件为（ ） A. 恰有1个不是石榴 B. 3个全不是石榴 C. 恰有2个石榴 D. 至少2个不是石榴 10. 已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则（ ） A. B. C. 若A，B独立，则 D. 若A，B互斥，则 11. 对于函数，下列说法正确的有（ ） A. 在上单调递减，在上单调递增 B. C. 设有3个不同的零点，则 D. 设，若对，使成立，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为________. 13. 已知随机变量服从正态分布，若，则______. 14. 设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”.若与在上是“关联函数”，则a的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看． （1）如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？ （2）如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？ （3）如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？ 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间． 17. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 18. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； 19. 在自动驾驶系统的路径规划中，车辆的车道选择行为可用马尔可夫链模型描述. 设道路只有两条车道，分别记为车道0和车道1. 每隔一个固定时间步长，车辆会选择更换车道或者保持车道不变，记为第个时间步长车辆所在的车道（）. 马尔可夫链的下一时刻状态仅取决于当前时刻状态，记为一步转移概率.已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道，下一时刻变道至车道的概率为；若当前在车道，下一时刻变道至车道的概率为. （1）已知时刻车辆处于车道的概率为，处于车道的概率为. ① 直接写出的值； ② 若时刻车辆处于车道，求时刻车辆处于车道的概率. （2）在第（1）问的初始概率条件下，记，求随机变量的分布列（结果用含的式子表示）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林油田高级中学2025-2026学年下学期期中考试卷 高二数学 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵，， 当时，，解得. 2. 某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】按照甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论，结合分类加法计数原理可得解. 【详解】分甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论， ①当甲站在第二位时，余下三人可以全排列，此时共有种情况； ②当甲不站在第二位时，甲有个位置可选，此时乙也有种情况可选，余下两人可以全排列，则此时共有种情况； 综上所述，一共有种情况， 故选：B. 3. 已知随机变量X的分布列为 X 0 2 4 P m 则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分布列的性质及期望公式即得. 【详解】由题可知，，解得， 则． 故选：D. 4. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得在上恒成立，参变分离后计算即可得. 【详解】由题意可得在上恒成立， 故在上恒成立， 由，故. 故选：B. 5. 样本数据2， 3， 5， 8， 9， 10的25%分位数为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得样本数据2， 3， 5， 8， 9， 10，则，， 又不是整数，故取数据的第2个数据为. 故样本数据的25%分位数为. 6. 已知，则（ ） A. 32 B. 31 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】令，则； 令，则，故. 7. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 【答案】D 【解析】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】. 8. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为X，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设为正面向上的次数，则， 总得分, 由于，， 所以 ，所以D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）水果篮中有8个水果，其中有2个是石榴，现从水果篮中随机地抽取3个，那么概率是的事件为（ ） A. 恰有1个不是石榴 B. 3个全不是石榴 C. 恰有2个石榴 D. 至少2个不是石榴 【答案】AC 【解析】 【分析】利用组合公式计算总事件数，进一步进算出恰有0个石榴，恰有1个石榴，恰有2个石榴的方法数，再利用古典概型进行计算概率． 【详解】水果篮中随机地抽取3个的总事件数为， 因为其中有2个石榴，所以可能出现的事件有：恰有0个石榴，恰有1个石榴，恰有2个石榴，取法数分别为； 所以恰有1个不是石榴的概率为，3个全不是石榴的概率为，恰有2个石榴的概率为，至少2个不是石榴的概率为， 故选：AC． 10. 已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则（ ） A. B. C. 若A，B独立，则 D. 若A，B互斥，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件概率、独立事件、互斥事件的基本概念，以及对应的概率计算公式可以得到答案. 【详解】因为，A正确，B错误； 由独立事件定义，若A，B独立，则，，C正确； 若A，B互斥，则，，，D正确． 故选：ACD 11. 对于函数，下列说法正确的有（ ） A. 在上单调递减，在上单调递增 B. C. 设有3个不同的零点，则 D. 设，若对，使成立，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数的定义域，求导并求出函数单调区间，判断选项A，B；结合函数图象分析讨论，判断选项C，D． 【详解】函数的定义域为， 求导得， 令，解得，即， 当时，，故，单调递减； 当时，，，故，单调递减； 当时，，，故，单调递增； 选项A：不在函数定义域内，故在上单调递减表述错误； 选项B：由函数的单调性可知上单调递减，在单调递增， ，且，，故B正确； 选项C：方程有3个不同的零点， 等价于有3个不同的实根； 当时，，，此时单调递减，单调递增； 且时，，时，； 当时，且单调递减，，时， 时取极小值； 当时，且单调递增，，时； 要使与有3个交点，直线必须处于与之间，且不能低于 极小值， 需满足，解得，故C正确； 选项D：由题意知，的值域是在上值域的子集， 在上恒成立，故在上单调递增， ，即的值域为； 由单调性可知，在处取得极小值，，且时， ， 的值域为， 要使，则需满足，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为________. 【答案】 【解析】 【详解】的展开式的通项公式为， 令，故的系数为. 13. 已知随机变量服从正态分布，若，则______. 【答案】0.8## 【解析】 【详解】由可得，因， 由正态曲线对称性，得， 则. 14. 设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”.若与在上是“关联函数”，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】参变分离后可得在上有两个不同的解，设，结合导数刻画其单调性后可求参数的取值范围. 【详解】由题设在上有两个不同的解， 故在上有两个不同的解， 故设， 故直线与的图像在上有两个不同的交点， 而 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 又，故可画出大致图形如图所示： 结合图形可得. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看． （1）如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？ （2）如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？ （3）如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？ 【答案】（1）24 （2）16 （3）144 【解析】 【分析】（1）根据题意直接全排列即可； （2）根据题意利用分步乘法计数原理即可求得答案； （3）根据题意先选2人观看同一部电影，然后安排另外2人观看其余的3部电影即可． 【小问1详解】 因为这4名同学选择观看的影片均不相同， 所以不同的选择方法共有种. 【小问2详解】 因为甲、乙2名同学选择观看的影片已确定， 所以其余2人观看影片的不同方法有种. 【小问3详解】 因为这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片， 所以不同的选择方法有种. 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间． 【答案】（1） （2）当时，的单调递增区间为，无递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）先代入确定函数，再求导确定切线斜率，最后结合点斜式方程即可写出切线方程； （2）先对函数求导，再根据的范围讨论导数的正负，从而确定单调区间. 【小问1详解】 当时，，所以，即切点坐标为， 又因为，所以， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 因为， 所以当时，因为，所以恒成立， 所以在上单调递增； 当时，由，得， 由，得， 综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 17. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 【答案】（1）； （2）的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 .【解析】 【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出； （2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望． 【小问1详解】 设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为 ． 【小问2详解】 依题可知，的可能取值为，所以， , ， ， . 即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 期望. 18. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； 【答案】（1）极小值，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）利用求导判断函数单调性，即可求得极值； （2）由恒成立，转化为恒成立，继而结合求导得出的最小值即可. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 则， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值. 【小问2详解】 因为恒成立，得，， 令，，则， 当，，当时，， 即函数在上递减，在上递增， 因此，则， 所以的取值范围为. 19. 在自动驾驶系统的路径规划中，车辆的车道选择行为可用马尔可夫链模型描述. 设道路只有两条车道，分别记为车道0和车道1. 每隔一个固定时间步长，车辆会选择更换车道或者保持车道不变，记为第个时间步长车辆所在的车道（）. 马尔可夫链的下一时刻状态仅取决于当前时刻状态，记为一步转移概率.已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道，下一时刻变道至车道的概率为；若当前在车道，下一时刻变道至车道的概率为. （1）已知时刻车辆处于车道的概率为，处于车道的概率为. ① 直接写出的值； ② 若时刻车辆处于车道，求时刻车辆处于车道的概率. （2）在第（1）问的初始概率条件下，记，求随机变量的分布列（结果用含的式子表示）. 【答案】（1）①；② （2）的分布列为 0 1 【解析】 【分析】（1）①根据题设条件可求的值；②根据贝叶斯公式可求对应的条件概率； （2）根据全概率可得的递推关系，求出通项后可求分布列. 【小问1详解】 ①由题意，车道转移概率： 当前在车道0时，留在0的概率为，变道到1的概率为； 当前在车道1时，变道到0的概率为，留在1的概率为； 因此一步转移的概率矩阵为. ②设事件：时刻车辆在车道0，：时刻车辆在车道1，：时刻车辆在车道1， 已知，，，， 由贝叶斯公式. 【小问2详解】 设， 由全概率公式得递推关系， 则，且，此时， 故为等比数列且公比为，首项为，故. 而也满足此时，即, 所以. 故的分布列为 0 1 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $