3.4+乘法公式第1课时（教学课件）2025-2026学年浙教版数学七年级下册

浙教版 七年级 数学 下册 3.4 乘法公式 第3章 整式的乘除 第1课时 学习目标 01 能理解平方差公式( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2， 了解平方差公式的几何背景 02 能利用平方差公式进行简单的计算和推理 新知导入 从前有一个狡猾的地主，他把一块边长 x 米的正方形的土地租给老张种植。有一天，他对老张说：“我把这块地的一边减少 5 米，另一边增加 5 米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？” 老张答应了。 你认为老张吃亏了吗？ 请计算：( a + b ) ( a - b ) = ________。 比较等号两边的代数式，它们在系数和字母方面各有什么特点？ a2 - b2 解：( a + b ) ( a - b ) = a2 - ab + ab - b2 = a2 - b2。 ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2 相同数 相反数 平方相减 结构特征： ( 1 ) 左边是两个二项式相乘， 并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ( 2 ) 右边是相同项的平方-相反项的平方。 新课讲解 平方差公式： 一般地，我们有以下平方差公式： ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2。 两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。 口诀：一同一反，平方相减。 新课讲解 新知讲解 探索1：计算：(a+b)(a-b) (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2 =a2-b2 左边：a符号相同，b符号相反. 右边：符号相同项a的平方减去符号相反项b的平方. 新知讲解 这张纸片的面积可表示为___________. a a b b a - b a2-b2 a - b b a 拼成的长方形的面积可表示为 . (a+b)(a-b) (a+b) (a-b)=a2-b2 探索2： 请计算：( a + b ) ( a - b ) = ________。 比较等号两边的代数式，它们在系数和字母方面各有什么特点？ 02 知识精讲 a2 - b2 解：( a + b ) ( a - b ) = a2 - ab + ab - b2 = a2 - b2。 ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2 相同数 相反数 平方相减 结构特征： ( 1 ) 左边是两个二项式相乘， 并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ( 2 ) 右边是相同项的平方-相反项的平方。 02 知识精讲 平方差公式： 一般地，我们有以下平方差公式： ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2。 两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。 口诀：一同一反，平方相减。 将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系直观地说明平方差公式吗？ S = ( a + b ) ( a - b ) S = ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2 S = a2 - b2 新课讲解 平方差公式的几何背景： 法一：S绿 = a2 - b2 a a b b b a - b 法二：S绿 = ( a + b ) ( a - b ) S = ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2 新课讲解 计算：( 1 ) ( xy + 4 ) ( xy - 4 )； ( 2 ) ( -2a + 7b ) ( -2a - 7b )。 02 知识精讲 将xy看作整体 做 一做 【分析】( 1 ) 相同项：xy， 相反项：4与-4， 解：( 1 ) ( xy + 4 ) ( xy - 4 ) = ( xy )2 - 42 = x2y2 - 16； 将-2a、7b看作整体 ( 2 ) 相同项：-2a， 相反项：7b与-7b， ( 2 ) ( -2a + 7b ) ( -2a - 7b ) = ( -2a )2 - ( 7b )2 = 4a2 - 49b2。 新知讲解 (a+b)(a−b)= a2−b2 两个数的和与这两个数的差的积, 等于这两个数的平方差. 公式变形: 1.（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2 平方差公式 结构特点： 左边：a符号相同，b符号相反. 右边：符号相同项a的平方减去符号相反项b的平方. 新知讲解 (1) (a+2b)(a−2b)； (2) (a−2b)(2b−a) ； (3) (2a+b)(b+2a)； (4) (a−3b)(a+3b) ； (5) (2x+3y)(3y−2x)． (不能) (不存在相同的项) (不能) (不能) (能) −(a2 −9b2)= −a2 + 9b2 ； (不能) 判断下列式子能否用平方差公式计算： (不存在符号相反的项) (不存在符号相反的项) (不存在相同的项) 注意：两个乘式中完全相同的项是a，只有符号相反的项的绝对值是b。 02 知识精讲 平方差公式的注意点： ( 1 ) 公式中的a、b可是具体数，也可以是单项式或多项式； ( 2 ) 对形如两数和与这两数差相乘的计算，都可以用这个公式。 02 知识精讲 例1 用平方差公式计算： ( 1 ) ( 3x + 5y ) ( 3x - 5y )； ( 2 ) ( b + a ) ( -b + a )。 解：( 1 ) ( 3x + 5y ) ( 3x - 5y ) = ( 3x )2 - ( 5y )2 = 9x2 - 25y2； ( 2 ) ( b + a ) ( -b + a ) = ( a + b ) ( a - b ) = a2 - ( b )2 = a2 - b2。 计算：( 1 ) ( xy + 4 ) ( xy - 4 )； ( 2 ) ( -2a + 7b ) ( -2a - 7b )。 将xy看作整体 【分析】( 1 ) 相同项：xy， 相反项：4与-4， 解：( 1 ) ( xy + 4 ) ( xy - 4 ) = ( xy )2 - 42 = x2y2 - 16； 将-2a、7b看作整体 ( 2 ) 相同项：-2a， 相反项：7b与-7b， ( 2 ) ( -2a + 7b ) ( -2a - 7b ) = ( -2a )2 - ( 7b )2 = 4a2 - 49b2。 新课讲解 平方差公式的注意点： ( 1 ) 公式中的a、b可是具体数，也可以是单项式或多项式； ( 2 ) 对形如两数和与这两数差相乘的计算，都可以用这个公式。 新课讲解 02 知识精讲 例2 用平方差公式计算： ( 1 ) 103 × 97； ( 2 ) 59.8 × 60.2。 解：( 1 ) 103 × 97 = ( 100 + 3 ) ( 100 - 3 ) = 1002 - 32 = 10000 - 9 = 9991； ( 2 ) 59.8 × 60.2 = ( 60 - 0.2 ) ( 60 + 0.2 ) = 602 - 0.22 = 3600 - 0.04 = 3599.96。 计算：( 1 ) ( 3a - b ) ( 3a + b ) ( 9a2 + b2 )； ( 2 ) 997 × 1003。 解：( 3a - b ) ( 3a + b ) ( 9a2 + b2 ) = [( 3a )2 - b2] ( 9a2 + b2 ) = ( 9a2 - b2 ) ( 9a2 + b2 ) = (9a2)2 - (b2)2 = 81a4 - b4； 例1 03 典例精析 二次使用平方差公式 新知讲解 例1 运用平方差公式计算： （1）（3ｘ＋5ｙ）（3ｘ－5ｙ）． （2） 解： （1）（3ｘ＋5ｙ）（3ｘ－5ｙ） ＝（3ｘ）2－（5ｙ）2 ＝9ｘ2－25ｙ2 （2） 能否利用平方差公式进行计算，我们需要找到公式中的相同项a，相反项b，所得结果应为相同项的a的平方减去相反项b的平方. 新知讲解 例2 用平方差公式计算： （1） 103×97 （2） 59．8×60.2 解：（1） 103×97 =(100+3)(100-3) =1002-32 =10000-9 =9991 （2） 59.8×60.2 =(60-0.2)(60+0.2) =602-0.22 =3600-0.04 =3599.96 运用平方差公式可以简化一些运算。 已知a - b = 2，则a2 - b2 - 4b的值为（　　） A．5 B．4 C．2 D．1 解：a2 - b2 - 4b = ( a + b ) ( a - b ) - 4b = 2 ( a + b ) - 4b = 2a + 2b - 4b = 2 ( a - b ) = 2 × 2 = 4。 B 例3 03 典例精析 古希腊一位庄园主把一边长为a米( a > 4 )的正方形土地租给老农，第二年他对老农说：“我把这块地的一边增加4米，相邻的一边减少4米，变成长方形土地继续租给你，租金不变”后来老农发现收益减少，感觉吃亏了。聪明的你帮老农算出土地面积其实减少了________平方米。 解：∵a2 - ( a + 4 ) ( a - 4 ) = a2 - ( a2 - 16 ) = 16 (平方米)， ∴土地面积其实减少了16平方米。 16 例4 03 典例精析 平方差公式： 一般地，我们有以下平方差公式：( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2。 两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。口诀：一同一反，平方相减。 平方差公式的注意点： ( 1 ) 公式中的a、b可是具体数，也可以是单项式或多项式； ( 2 ) 对形如两数和与这两数差相乘的计算，都可以用这个公式。 平方差公式的几何背景： 课堂总结 课堂总结 平方差公式 内容 注意 两数的___与这两数的___的积，等于这两个数的平方差 字母表示：(a + b)(a－b) = a2－b2 (1) 观察该运算是否符合平方差公式 (两个多项式中的各项，除符号外是否完全相同)； (2)符号相同看作 a ，符号相反看作 b，套用公式. 和 差 $