学易金卷：高二数学下学期第三次月考（广东专用，范围：人教A版选择性必修第二册、第三册全部）

2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A D C C C C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD BCD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）点处的切线方程为，则， 由得， 得，化简得，解得.（4分） （2）由题意得， 则， 令，则，， ，且仅当，即时等号成立，（8分） 所以在R上单调递增，且，所以在上，在上， 因为，可得在上，在上单调递减，在上，（11分） 在上单调递增，在处取得最小值，， 所以函数的最小值为0. （13分） 16．（15分） 【解析】（1）由散点图可以判断，适宜作为卵数关于温度的回归方程类型. 对两边取自然对数，得， 令，，，则，（2分） 由数据得， ，，（4分） 所以，，（6分） 所以关于的线性回归方程为， 则关于的回归方程为；（8分） （2）由得，（10分） 因为，令得，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减，（12分） 所以有唯一的极大值为，也是最大值； 所以当时，.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）由数列满足， 当时，，又，所以， 当，时，， 两式相减，可得，整理得，（2分） 所以，， 所以是等比数列，则其公比为4，所以的通项公式为.（4分） （2）由题意，，则前项中：奇数项：，共项， 是首项为3，公差为4的等差数列（因为，相邻两项差为4）， 则：，（6分） 偶数项：，共项，对应， 是首项为4，公比为16的等比数列（）， 则：，（8分） 因此前项和为：．（9分） （3）由（1）知，，因为， 所以，整理得：， 所以，即，（12分） 因为成等差数列，即（）， 假设成等比数列，则，代入的表达式： ，化简得：，（13分） 由，得，故：， 结合，， 等号仅当时成立，这与题设(互不相等）矛盾． 故数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列．（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由题意可知：随机变量的可能值为0，1，2，3，（1分） 若，则3轮都失败，则； 若，则3轮中只有1轮成功，； 若，则3轮中只有2轮成功，； 若，则3轮都成功，；（5分） 所以.（7分） （2）①设第轮试验使用A型号机器人为事件， 则，，， 由全概率公式可得， 即，则， 且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列，（12分） 则，所以；（13分） ②设第轮得分期望为，则， 所以前轮期望总得分为.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）不妨设，则等价于， 即，令，，即证， 令，则，所以函数在上单调递减， 所以，所以，即成立；（4分） （2）（ⅰ）由得，， 因为函数有两个极值点，所以有两个相异正根， 即有两个相异正根， 则，解得，即a的取值范围为；（8分） （ⅱ）由（ⅰ）知：，满足，所以， 不妨设，则， 所以， 则证，即证， 即证，也即证成立，（12分） 设函数，则， 所以在单调递减，又， 所以当时，， 所以，即，得证．（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册、第三册全部。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在的展开式中，的系数为（    ） A． B．2 C． D．6 2．已知等差数列的前n项和为，若：，，则取到最大值的n是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．端午节是中国四大传统节日之一，端午节当天，3名同学要从超市购买粽子，现有4种不同口味的粽子，每名同学只购买其中一种口味的粽子，则不同的购买方式种数是（    ） A．4 B．16 C．32 D．64 4．近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌汽车商随机调查了甲､乙两地各200名消费者，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如下图所示，经计算得到. 车型与地区 下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 下列说法正确的是（    ） A．在所调查的甲地购车者中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则新能源车主有8人 B．在所调查的乙地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 C．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 D．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域无关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 5．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（    ） A． B． C． D． 8．设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中，正确的是（    ） A．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 B．关于一元线性回归，若相关系数，则y与x的相关程度很强 C．决定系数，甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好. D．若随机变量，满足，则 10．已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．数列的通项公式为 D． 11．对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（   ） A．的极大值点为 B．有且仅有3个零点 C．点是函数的对称中心 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量，，且，，则________． 13．已知数列中，，，则数列的通项公式为_______. 14．若函数与函数有两个公切线，则实数取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设函数在点处的切线方程为. (1)求； (2)求函数的最小值. 16．（15分） 红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数和平均温度有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值. 平均温度 21 23 25 27 29 31 33 平均产卵数/个 7 11 21 24 66 115 325 1.9 2.4 3.0 3.2 4.2 4.7 5.8 （1）根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程.（计算结果精确到0.01） （2）根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到以上的概率为.记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为，求的最大值，并求出相应的概率. 附：回归方程中，，. 参考数据 5215 17713 717 81.3 3.6 17．（15分） 已知数列的前项和为，且， (1)求数列通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和； (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 18．（17分） 在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈､列队､翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验. 已知A型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为；型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为.试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人. (1)记为前3轮试验的总得分，求的数学期望； (2)设为第轮试验使用A型号机器人的概率. ①求数列的通项公式； ②记为前轮试验的期望总得分，求关于的表达式. 19．（17分） 对于正数a，b，且，定义为a，b的对数平均值，且，我们把上述不等式称为对数平均不等式．人工智能DeepSeek给出了不等式右端的证明： （ⅰ）不妨设，则等价于， 即证：，令，即证：对一切恒成立. 记，则， 所以在上单调递增，从而有证毕． (1)请参照以上方法证明：； (2)已知函数. （ⅰ）若有两个极值点，求a的取值范围； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下证明：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3,请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[AJ[B][C][D] 7[A][B][CI[D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CI[D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 氧 12 均射 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册、第三册全部。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在的展开式中，的系数为（    ） A． B．2 C． D．6 2．已知等差数列的前n项和为，若：，，则取到最大值的n是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．端午节是中国四大传统节日之一，端午节当天，3名同学要从超市购买粽子，现有4种不同口味的粽子，每名同学只购买其中一种口味的粽子，则不同的购买方式种数是（    ） A．4 B．16 C．32 D．64 4．近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌汽车商随机调查了甲､乙两地各200名消费者，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如下图所示，经计算得到. 车型与地区 下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 下列说法正确的是（    ） A．在所调查的甲地购车者中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则新能源车主有8人 B．在所调查的乙地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 C．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 D．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域无关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 5．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（    ） A． B． C． D． 8．设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中，正确的是（    ） A．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 B．关于一元线性回归，若相关系数，则y与x的相关程度很强 C．决定系数，甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好. D．若随机变量，满足，则 10．已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．数列的通项公式为 D． 11．对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（   ） A．的极大值点为 B．有且仅有3个零点 C．点是函数的对称中心 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量，，且，，则________． 13．已知数列中，，，则数列的通项公式为_______. 14．若函数与函数有两个公切线，则实数取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设函数在点处的切线方程为. (1)求； (2)求函数的最小值. 16．（15分） 红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数和平均温度有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值. 平均温度 21 23 25 27 29 31 33 平均产卵数/个 7 11 21 24 66 115 325 1.9 2.4 3.0 3.2 4.2 4.7 5.8 （1）根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程.（计算结果精确到0.01） （2）根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到以上的概率为.记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为，求的最大值，并求出相应的概率. 附：回归方程中，，. 参考数据 5215 17713 717 81.3 3.6 17．（15分） 已知数列的前项和为，且， (1)求数列通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和； (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 18．（17分） 在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈､列队､翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验. 已知A型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为；型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为.试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人. (1)记为前3轮试验的总得分，求的数学期望； (2)设为第轮试验使用A型号机器人的概率. ①求数列的通项公式； ②记为前轮试验的期望总得分，求关于的表达式. 19．（17分） 对于正数a，b，且，定义为a，b的对数平均值，且，我们把上述不等式称为对数平均不等式．人工智能DeepSeek给出了不等式右端的证明： （ⅰ）不妨设，则等价于， 即证：，令，即证：对一切恒成立. 记，则， 所以在上单调递增，从而有证毕． (1)请参照以上方法证明：； (2)已知函数. （ⅰ）若有两个极值点，求a的取值范围； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下证明：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册、第三册全部。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在的展开式中，的系数为（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】C 【解析】由题意知：含的项为，故的系数为. 故选：C. 2．已知等差数列的前n项和为，若：，，则取到最大值的n是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【解析】设等差数列公差为，因为，， 所以，，所以，． 所以该数列单调递减，且, 所以当时，取得最大值． 故选：A． 3．端午节是中国四大传统节日之一，端午节当天，3名同学要从超市购买粽子，现有4种不同口味的粽子，每名同学只购买其中一种口味的粽子，则不同的购买方式种数是（    ） A．4 B．16 C．32 D．64 【答案】D 【解析】端午节当天，3名同学要从超市购买粽子，现有4种不同口味的粽子，每名同学只购买其中一种口味的粽子， 则每位同学都有4种不同的购买方式种数，故总共有种不同的购买方式种数. 故选：D 4．近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌汽车商随机调查了甲､乙两地各200名消费者，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如下图所示，经计算得到. 车型与地区 下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 下列说法正确的是（    ） A．在所调查的甲地购车者中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则新能源车主有8人 B．在所调查的乙地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 C．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 D．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域无关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 【答案】C 【解析】对A：，故新能源车主有人，故A错误； 对B：购买燃油车的人数为， 购买新能源车的人数为， 则购买燃油车的人数比新能源车的多人，故B错误； 对C、D：依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联， 由，故此推断犯错误的概率不大于，故C正确、D错误. 5．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题, 在上恒成立.即在上恒成立. 又,其导函数恒成立.故的最小值为.故. 故选：C 6．已知，，，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 因为， 所以，， 因为， 所以， 所以 故选：C 7．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，当时，的可能取值为，且， 所以 . 故选：C 8．设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为，函数是增函数，且， 当时，，不合题意，故，函数是增函数， 令，得，由题意， 并结合，的图象， 则，即， 则，设，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，即的最小值为． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中，正确的是（    ） A．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 B．关于一元线性回归，若相关系数，则y与x的相关程度很强 C．决定系数，甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好. D．若随机变量，满足，则 【答案】BD 【解析】对于A，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，A错误； 对于B，相关系数很接近1，则随机变量y与x的相关程度很强，故B正确； 对于C，因为甲的决定系数比乙的决定系数更接近1，所以模型甲的拟合效果更好，故C错误； 对于D，由随机变量方差的性质知加减不改变方差，缩放后方差变为平方倍，故，故D正确. 故选：BD. 10．已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．数列的通项公式为 D． 【答案】BCD 【解析】对A、B：由，则， 故，又， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故A错误、B正确； 对C：，则，故C正确； 对D：， 则，故D正确. 故选：BCD. 11．对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（   ） A．的极大值点为 B．有且仅有3个零点 C．点是函数的对称中心 D． 【答案】BCD 【解析】A选项，由函数，可得， 令，解得或；令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 当时，取得极大值，极大值为，所以极大值点为，故A错误； 选项，由知，当时，取得极小值， 极小值，且当时，， 当时，，，所以函数有3个零点，故正确； 选项，由，可得， 令，可得，又由， 所以点是函数的对称中心，故C正确； D选项，因为是函数的对称中心，所以， 令， 可得， 所以， 所以，即，所以D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量，，且，，则________． 【答案】 【解析】因为且，所以，则， 又且，所以，解得. 故答案为： 13．已知数列中，，，则数列的通项公式为_______. 【答案】 【解析】由题可知：，当时，， ， 经检验，当时也符合，故. 故答案为：. 14．若函数与函数有两个公切线，则实数取值范围是__________. 【答案】 【解析】设公切线在若函数与函数的切点为 则由, 得 ，化简得有两个不同的正根. 令，则. 令,解得：. 当时，；当 时，， 所以在时，单调递减；在 时，单调递增. 所以当，； 当时，；当时，； 所以要使有两个不同的正根，只需，解得： . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设函数在点处的切线方程为. (1)求； (2)求函数的最小值. 【答案】(1)1 (2)0 【解析】（1）点处的切线方程为，则， 由得， 得，化简得，解得. （2）由题意得， 则， 令，则，， ，且仅当，即时等号成立， 所以在R上单调递增，且，所以在上，在上， 因为，可得在上，在上单调递减，在上， 在上单调递增，在处取得最小值，， 所以函数的最小值为0. 16．（15分） 红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数和平均温度有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值. 平均温度 21 23 25 27 29 31 33 平均产卵数/个 7 11 21 24 66 115 325 1.9 2.4 3.0 3.2 4.2 4.7 5.8 （1）根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程.（计算结果精确到0.01） （2）根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到以上的概率为.记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为，求的最大值，并求出相应的概率. 附：回归方程中，，. 参考数据 5215 17713 717 81.3 3.6 【答案】（1）； （2）当时，. 【解析】解：（1）由散点图可以判断，适宜作为卵数关于温度的回归方程类型. 对两边取自然对数，得， 令，，，则， 由数据得， ，， 所以，， 所以关于的线性回归方程为， 则关于的回归方程为； （2）由得， 因为，令得，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以有唯一的极大值为，也是最大值； 所以当时，. 17．（15分） 已知数列的前项和为，且， (1)求数列通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和； (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【解析】（1）由数列满足， 当时，，又，所以， 当，时，， 两式相减，可得，整理得， 所以，， 所以是等比数列，则其公比为4，所以的通项公式为. （2）由题意，，则前项中：奇数项：，共项， 是首项为3，公差为4的等差数列（因为，相邻两项差为4）， 则：， 偶数项：，共项，对应， 是首项为4，公比为16的等比数列（），则：， 因此前项和为：． （3）由（1）知，，因为， 所以，整理得：， 所以，即， 因为成等差数列，即（）， 假设成等比数列，则，代入的表达式： ，化简得：， 由，得，故：， 结合，， 等号仅当时成立，这与题设(互不相等）矛盾． 故数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列． 18．（17分） 在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈､列队､翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验. 已知A型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为；型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为.试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人. (1)记为前3轮试验的总得分，求的数学期望； (2)设为第轮试验使用A型号机器人的概率. ①求数列的通项公式； ②记为前轮试验的期望总得分，求关于的表达式. 【答案】(1) (2)①② 【解析】（1）由题意可知：随机变量的可能值为0，1，2，3， 若，则3轮都失败，则； 若，则3轮中只有1轮成功，； 若，则3轮中只有2轮成功，； 若，则3轮都成功，； 所以. （2）①设第轮试验使用A型号机器人为事件， 则，，， 由全概率公式可得， 即，则， 且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，所以； ②设第轮得分期望为，则， 所以前轮期望总得分为. 19．（17分） 对于正数a，b，且，定义为a，b的对数平均值，且，我们把上述不等式称为对数平均不等式．人工智能DeepSeek给出了不等式右端的证明： （ⅰ）不妨设，则等价于， 即证：，令，即证：对一切恒成立. 记，则， 所以在上单调递增，从而有证毕． (1)请参照以上方法证明：； (2)已知函数. （ⅰ）若有两个极值点，求a的取值范围； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】（1）不妨设，则等价于， 即，令，，即证， 令，则，所以函数在上单调递减， 所以，所以，即成立； （2）（ⅰ）由得，， 因为函数有两个极值点，所以有两个相异正根， 即有两个相异正根， 则，解得，即a的取值范围为； （ⅱ）由（ⅰ）知：，满足，所以， 不妨设，则， 所以， 则证，即证， 即证，也即证成立， 设函数，则， 所以在单调递减，又， 所以当时，， 所以，即，得证． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $