广东中山市中山纪念中学2025-2026学年高二下学期数学段考一试题

广东中山纪念中学2025-2026学年高二下数学一段考 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.下列函数求导正确的是() A.(2e-2)'=2e-2 B.(e+n2y=e+号 c.(x2y=3 D.(e"sinz)'=e"(cosa-sinz) 2.记Sn为数列am}的前m项和，设甲：{a}为等差数列：乙：}为等差数列，则() m A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4=-5,S6=21S2,则Ss=(). A.120 B.85 C.-85 D.-120 4.曲线y=3x2在点(1,3)处的切线的方程为() A.3x-y+3=0B.6x-y+3=0C.6x-y-3=0D.x-6y-3=0 5.己知函数f(x)=e2x+f(1)x2,则f(1)=() A.-2e2 B.2e2 C.e2 D.-e2 6已知0<a<1且a≠分若函数fa)=2og,-10go,在0.十o)止单调递诚，则实数a的取值范国 为() A动 B.(0, c.(年U3)D.o,U3) 7已知等比数列m的前项和为5，若尧=子侧受-() S6 A. 3 B.43 1 C.7 D.41 8.定义在R上的函数f(c)的导函数为f'(x),若f'(x)<f(x),则不等式e·f(2x)<e·f(3x-4)的 解集是 A.（-∞，2) B.(2,+∞) C.(4,+0∞) D.（-o,4) 第1页共4页 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求.全部答对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.若函数h(x=lnx-ax2-2x(a≠0)在[1,4上存在单调递减区间，则a的取值可以是() 1 A.1 B.0 C.4 D.-1 10.已知f(2=(2-)3=a+a1x+a2z2+…十asx8,则下列描述正确的是 () A.a1+a2++a8=1 B.f(-1)除以5所得的余数是1 C.laIl+la2+a31+...+as|=38 D.2a2+3ag+·+8a8=-8 11.已知函数f(x)=ln(x+a)-x2-x在c=0处取得极值，则下列结论正确的是() A.a=1 n(x+1) B. e+1 ≥x C.函数g)=血红+卫的图像与直线y=只有一个公共点 x+1 34 对任意的n∈N2十4十g十+”十) n2≥ln(n+1) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上 12.已知数列{an}满足a1+4a2+7a3+·+(3n-2)am=4n,则an= a2a3+a3a4+·+a21a22= 13.2020年5月1日，北京市开始全面实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加.己知甲、乙两个小 区在[0，这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示.给出下列四个结论： e 乙小区 甲小区」 甲小区 乙小区I 0 ①甲小区在[0，t1],[t1,t2],[t2,t3]三段时间中，在[t2,t]的平均分出量最大： ②在[t1,t2]这段时间内，甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大： ③在[t2,t3]这段时间内，乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大： ④在t2时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢， 其中所有正确结论的序号是 第2页 共4页 14.杨辉是南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质 与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个11阶杨辉三角： 第0行 1… 第0斜列 第1行 第1斜列 第2行 121… 第2斜列 第3行 1331 …………… 第3斜列 第4行 14641 第4斜列 第5行 15101051…第5斜列 第6行 1615201561…第6斜列 第7行 172135352171… 第7斜列 第8行18285670562881…第8斜列 (1)第10行中从左到右的第4个数是 (2)在第2斜列中，前5个数依次为1,3,6,10,15：第3斜列中，第5个数为35.显然， 1+3+6+10+15=35.事实上，一般有这样的结论：第斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定 等于第m+1斜列中第k个数.试用含有m,k(m,飞∈N*)的数学公式表示上述结论 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程过演算步骤. 15.已知函数f(x)=ax2+x-nx(a∈R) 0当a=1时，求fa在K问[2 上的最值 2)若f(x)在区 [。小年讨褪溶，求a的取值粒正 16.己知数列{an}中，a2=1,设Sn为{an}前n项和，2Sn=nan (1)求{an}的通项公式 2)求数列m+1 2m 的前n项和Tn. 第3页 共4页 17.已知数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*) 1)若{a}为等差数列，01=-1，-卫 g,求Sn和an的表达式8 a5 (2)若数列{S}满足2S +是5++是=3n+5,求a 1 区散正项等比数别a为公比丙：Hg≠1geN令，-·红为数列a.的n政积 Sn为数列{bn}的前n项和. (1)若4a2=a1a3,S2+T3=67,求{an}的通项公式： (2)若{bn}为等差数列，且S99-log2T9=99,求q. 19已f回=0产+4e-az-5 (1)当a=3时，求f(x)的单调区间： (2)若f(x)有两个极值点x1,x2,证明：f(x1)+f(c2)十x1+x2<0. 第4页 共4页 广东中山纪念中学2025-2026学年高二下数学一段考 数学参考答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 2 3 5 6 C C C D A D 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求.全部答对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 A,C B A,C,D 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 45 12. 3n-2'4 13.③④【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、平均变化率 14.(1)①.120 (②)②.Cm}+Cm1+…+C%k-2=Cm+k-1(m,k∈N*且k≤m) 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程过演算步骤 15()fe)的最大值为fe)=e2+e-1,.最小值为f分-子+a2 2)a≥e2-e 2 16.(1)am=m-1 四五=2-(+()》 16,n=1, 17.(1)am=1-2m,Sn=-n2:(2)an= -4,n=2, 3×2n-1,n≥3. 18.(1)an=23m-4 (2)2 19.(1)单调递减区间为(-o,0)、(n3,+o),单调递增区间为(0，ln3): (2)证明见解析 第1页共10页 数学参考解析 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.C 【解答过程】 (2ey-2e,(e+1n2y=e,(mx2y-2,(esinz)=e(sinx+cos,则hBD错误， C正确. 故选：C 2.C 【解答过程】 方法一：通项公式法 (充分性){an}为等差数列，设其公差为d, 则.=na1+n,-d,故8 2 =a+”2a-至+a-号 因比（受为公发是号的等然数列，即甲是乙的充分条件 (必要性)若(}为等差数列，设其公差为D, 则=+(m-1)D,即Sn=nS+nn-D, 当n≥2时，有Sm-1=(m-1)S1+(m-1)(n-2)D, 两式相减得：Sm-Sn-1=S1+2(n-1)D, 于是an=a1+(m-1)·2D,当n=1时，上式成立， 因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件， 综上，甲是乙的充要条件，故选：C 方法二：定义法 (充分性)若{an}为等差数列，设其公差为d, +0”a号=a+”a 则Sn=na1+ Sn+1 2 - n+l n 因此（受）为公差是的等茶数列，即甲是乙的充分条作： (必要性)若}为等差数列， 则Sn+1 二nSn+1-（n+1)Sn=a1-S为常数，设为， n+1 n n(m+1) n(n+1) 即nan+1-Sn n(n+1) =t,Sn nan+i-t.n(n+1), 有Sn-1=(n-1)amn-t.n(n-1),n≥2， 两式相减得：an=nan+1-(n-1)am-2tn,即 an=nan+1-(n-1)an-2tm→an+1-am=2t,对n=1也成立， 因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件， 综上，甲是乙的充要条件，C正确 第2页 共10页 3.C 【解答过程】 方法一：设等比数列{an}的公比为q,首项为a1, 若q=1,则S6=6a1=3×2a1=3S2,与题意不符，所以q≠1： 由54=-5,5=215，可得.11-1）-5.1-0）=21×a41-g）0. 1-9 1-9 1-q 由①可得，1+q2+g=21,解得：q=4, 所以 a41-g_a1-g）×1+g）=-5×1+16)=-85 1-91-q 故选：C. 方法二：设等比数列{an}的公比为q, 因为S4=-5,S6=21S2,所以q≠-1，否则S4=0, 从而，S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6成等比数列， 所以有，（-5-S2)2=5,(21S,+5).解得：=-1或52=5， 当S2=-1时，S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6,即为-1，-4，-16，S8+21, 易知，S8+21=-64,即S8=-85: 当S,-时，5，-a+a+as+au-au+agj1+)-1+)S>0. 与S4=-5矛盾，舍去. 故选：C. 4.C 【解答过程】 设f(x)=3x2, 所以f(四=m6 f(1+△x)-f(1) 3(1+△x)2-3×12 3(△x)2+6△x △x △x △x =m63△x+6)=6. 因为f(1)=3, 所以曲线y=3x2在点(1,3)处的切线的方程为y-3=6(x-1),即6x-y-3=0. 故选：C 5.A 【解答过程】 因为f(x)=e2m+f(1)x2, 所以f(x)=2e2x+2f(1)x, 所以f(1)=2e2+2f(1), 所以f(1)=-2e2, 故选：A. 6.D 【解答过程】 依题意，f(z)=na In 4a 2In Inx.Inc=2d) -lna·(1n2a) -·lnc, 第3页共10页 显然函数y=lnx在(0，+o∞)上单调递增，而函数f(x)在(0，十∞)上单调递减， 因此、 In 4a <0,而0<a<2a<4a,则1ln4a<0或 lna·(ln2a) 2.0<<<a<1 所以实数的取值范围为0，U兮)， 故选：D 7.A 【解答过程】 设S3=x,则S6=7x, 因为{an}为等比数列， 所以S3,S-S3,Sg-S6仍成等比数列. 因为S6。=7m-2=6,所以5-5=36， S3 所以S)=43,放-43 S6=7 故选：A 8.D 【解答过程】 由题意得：f回)-fe)<0.即f@ef(四<0 [< 故函数g(e)=儿回在R上单调递减 ex ef2a)<e.f3x-4,即e,f2）<e4f3a-4 f2<f3x-4④ e3x e3m-4 即g(2x)<g(3x-4) .2x>3x-4,解得x<4 本题正确选项：D 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求.全部答对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.A,C 【解答过程】 因为h(x)在[1,4上存在单调递减区间，所以h'(x)<0在[1,4上有解，所以当x∈[1,4④时， a> 造-号有解，当L4时多子1比时=，所以a>1因为 a卡0，所以a的取值范围是(-1,0)U(0,+∞). 10.B 【解答过程】 对于A:令x=1得：a0+a1+a2+·+a8=1;令x=0,得a0=2. a1十a2十··+ag=1-2°，因此A错误： 对于B: f(-1=38=94=(10-1)4=104-C4103+C%102-C10+1=10×(103-C4102+c101-C)）+1 第4页共10页 ,因此B正确 对于C:因为(2-x)8二项展开式的通项公式为T,+1=Cg28-r(-x)”=(-1)Cg28-x', 由通项公式知，(2-x)8二项展开式中偶数项的系数为负数， 所以a1+la2+a3+..+a8=-a1+a2-a3+…+a8, 由(2-x)°=a0+a1x+a2x2+·+a8x8，令x=0,得到a0=28, 令x=-1,得到a0-a1+a2-a3+…+a8=38, 所以a1+a2+a3+..+ag=38-28,因此C错误 对于D:对原表达式的两边同时对x求导， 得到-8×(2-x)7=a1+2a2x+3a3x2+·+8a8x7, 令x=1,得到a1+2a2+3a3+·+8a8=-8,令x=0,得a1=-8×27 所以，2a2+3a3+…+8a8=-8+8×27=8(27-1) 所以选项D错误， 故选：B 11.A,C,D 【解答过程】 对于A,因为函数f(x)=ln(c十a)-x2-x在x=0处取得极值， 所以f(回)=1。-2z-1,f0)=1-1=0,解得a=1,故A正确 x+a 即f(x)=ln(x+1)-x2-x 对于B,因为真数x+1>0,所以 n(e+业≥台1n(e+1)≥x2+x今1h(e+1）-2-t≥0 x+1 所以，欲证十1≥x,只需证f(@)≥0 因为f(x)=n(x+1)-x2-x,定义域为{xx>-1} 所以回)=十2z-1=2+, 1 x+11 令f()=0,解得x=0 所以当x>0时，f(x)<0,f(x)在(0，+∞)上单调递减， 当-1<x<0时，f'(x)>0,f(x)在(-1,0)上单调递增 所以f()max=f(0)=0,即f()≤0，所以ln(x+1)-2-c≤0， 即血（红+山≤，故错误 x+1 对于C,欲证g(x)与y=x只有一个交点，只需证g(x)=x只有一个根， 即证血+】=只有一个根，即ne+1)-2-=0只有一个根， x+1 由上述可得f(x)在(0，+o∞)递减，f(x)在(0,1)递增， 所以f(x)max=f(O)=0,故C正确 对于D,由上述得f(x)=ln(x+1-x2-x≤0恒成立， 即ln(x+1)≤x2+x恒成立， eN,片是(P) n+1 n n2 4 4 因为ln。 332 所以 第5页 共10页 I+ 3 2+h 。，1、之上一之上3,4 4 121 22+ 32+…+n+1 n2 ni++血+…+n+ 3 4 n=h /234 … n+1 、23 =ln(m+1) 3 2+3、4 2+3 22+34 +…++1 4+g+…+n+1 n2 所以n(n+1)<2+3+4 4+9+…+ n+ +…+”+1 n2 n2 >ln(m+1),故D正确 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上· 12. 45 3n-2'4 【解答过程】 由题意，当n=1时，a1=4:当n≥2时，由a1+4a2+7a3+·+(3n-2)an=4n,可得 a1十4a2+7ag++(3m-5)an-1=4(m-1)两式相减，可得，a=3n-2 4 4 :a1=4地满足上式，.an=3n-2 16 16/ 1 .an+1an+2= (3m+1)(3m+4)-33m+13n+4 1671 111 ∴.a2a3+a3a4+·+a21a22= 3（4- 7+7-0++ 13.③④【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、平均变化率 【解答过程】 有图可知甲小区在[0，t],[t1,t2],[t2,t3]三段时间中平均分出量基本相等，故①错.在[t1,t2 ]这段时间内，甲小区的增长量小于乙小区增长量，所以甲的平均分出量比乙小区的平均分出量小， 故②错.在[t2,t3]这段时间内，乙小区增长量高于甲小区，所以乙的平均分出量比甲小区的平均分 出量大，故③对.在t2时刻，乙的图像比甲陡，瞬时增长率大，所以④对. 故答案为：③④. 14.(1)①.120 【解答过程】 (1)根据题意，归纳可得：第n行的从左到右第m+1个数为C,(n∈N*,m∈N*且m≤n ),则第10行中从左到右的第4个数为C0=120: (2)②.Cm+C项-1++Cmk-2=Cm+-1m,k∈N且k≤m 【解答过程】 根据结论：第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m+1斜列中第k个数. 用公式表示为：Cm}+Cm1+…+Cmk-2=Cm+k-1(m,k∈N*且k≤m) 证明：左式=C0}+Cm1+…+C%k-2 Cm+Cm1+…+Cm2=Cm1+C哪++Cm话2 =…=Cm+k-2+Cm-2=Cm+k-1=右式， 即等式Cm}+Cm-1+…+Cm+k-2=Cm+k-1(m,k∈N且k≤m)成立. 第6页 共10页 故答案为：(1)120： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程过演算步骤 15.(1) )的最大值为f0)=c2+e-1、最小值为分)=+2， 【解答过程】 当a=1时，f(x)=x2+x-lnx, f'(x)=2x+1-1x=(2x-1)(x+1)x f()=0.解得x=-1,或x=2 1 函数fe,f(e)随x在区间2，c上的变化如下表： 哈=+2，日=点+是+1f间=2+e-1 1 所以时e)的级大值为f间)=e2+e-1,最小值为f(分》=+12， (2) e2-e a2 【解答过程】 若f(o)在2，上为单调递增函数，则∫()≥0在。，d上恒成立. 1 2ax+1- 11 ≥0，x>0,2a 2- 1 令g(x)= 所以g)在。e上的最大值为g(白)=e2-e, 所以2a≥e2-e,即a≥ e2-e 2 16.(1) an=n-1 【解答过程】 .…2Sn=nan; 当n=1时，2a1=a1,即a1=0; 当n=3时，21十a3=3ag,即ag=2, 当n≥2时， 2-(。-小…(8败-(-= 化简得： n-2a=(n-1)j-, 当n≥3时， an an-1 n1n-2s…- =1,即an=n-1, 2 当n=1,2,3时都满足上shi上式，∴.an=n-1 (2) 第7页共10页 =2- +) 【解答过程】 2n 2n1 =1x()'+2×()+3x()°++×() =1x(份)°+2×()++(a-()°+m×() 两式相减得 五=()+()+()++()°-a×() 1- 即Tn=2- 16,n=1, (1)a=1-2m,Sn=-n2:(2)an= -4,n=2, 3×2m-1,n≥3. 【解答过程】 解：(1)设等差数列{an}的通项为an=a1+(n-1)d=-1+(m-1)d(d为等差数列的公差)， 则e=-1+5d-11 -1+4d=9,解得d=-2, 所以a=1-2nS=na+a）_n-1+1-2n=-2. 2 回方+安++京=m+5,0 1 当n≥2时， 1 291+20S9++ F2n1Sn-1=3(m-1)+5=3m+2,② 由①-②得， 8=3,8=3×2, 当n=1时， 28=8,5=16, ∫3×2"，n≥2， 所以Sn={16,n=1,。 当n=1时，a1=S1=16: 当n=2时，a2=S2-S1=12-16=-4: 当n≥3时，an=Sn-Sn-1=3×2”-1, 所以 第8页 共10页 16,m=1 an -4,n=2 3×2m-1,n≥3 本题考查等差数列通项、前项和的求法，考查运算能力和分析问题能力，属于中档题.求数列通项、前 项和的方法如下： (1)判断数列是等差数列还是等比数列，列出相应通项公式： (2)根据Sn和an之间的关系，求得an(讨论n符合的取值)； (3)判断数列是等差数列还是等比数列，列出前n项和S,的式子 18.(1) an=23n-4 【解答过程】 因为4a2=a1a3,所以4a2=a号，解得a2=4,所以T3=a1·a2·a3=a=64, 2 6 2 6 又59=6+6：=1o8,a+og,4+,所以S2+B=1oga1+1og,41+T+64=67, 十 整莲化简得30oga-5k,a-2=0,解hg,a1=写或g,a=2。 所以a=g或a1=,又a2=a19=4,所以g=8或g=4(舍去)，所以a1= 21 所以an=a1g-1=23n-4. (2) 2 【解答过程】 因为{b}为等差数列，所以2b2=b1+bg, 12 2 og,a1+2”解得1o8,a1=1或g,41=2.所以a1=q或a1=g, 12 即， 1ogga1+1=10g,a4 所以an=q或an=q"+1, ①当0=g时，6=n心+n=n十1，易知b}是等差数列， 所以Sg9= 92+10）-51×99.1og2Ig=1og2(日-q2g9）=log9q9x60=99×501o829 2 又Sgg-1og2T9=99,所以51×99-99×50log29=99,所以1og2q=1,解得q=2: ②当0=g1时，6，=n+n=n,易知}是等差数列， n+1 所以Sg= 99(1+99 2 2=50×99,log2T9=1og2(q2.q2…q200)=1og2g9x51=99×51log2g 又S9g-l1og2Tg=99,所以50-51og2g=1,解得q=27￠N*,舍去： 综上，q=2. 19.(1) 单调递减区间为(-∞，0)、(ln3,+o∞)，单调递增区间为0，ln3): 【解答过程】 当a=3时，f回=+4址-3红-5 第9页 共10页 f(x)=-e2r+4e-3=-(e2-1)(e-3), 则当e∈(0,1)U(3,+∞)，即x∈(-oo,0)U(1n3,+o∞)时，f(x)<0, 当e∈(1,3)，即x∈(0，ln3)时，f'(c)>0, 故f(x)的单调递减区间为(-o∞，0)、(n3,+o∞)，单调递增区间为(0，ln3): (2) 证明见解析 【解答过程】 f(x)=-e2+4e-a,令t=e，即f'(x)=-t2+4t-a, 令t1=e,t2=e2,则t1、t2是方程t2-4t+a=0的两个正根， 则△=(-4)2-4a=16-4a>0,即a<4, 有t1+t2=4,t1t2=a>0,即0<a<4, 则fa)+f0a++幻=+4e-am-5-2+4e-a-5++2 -代+)+46+a)-a-)仙有+h)-10 2[+2)2-2]+46+a)-(a-1)m-10 2(16-2a)+16-(a-1)ma-10 =a-(a-1)lna-2, 要证f(x1)+f(x2)+x1+x2<0,即证a-(a-1)lna-2<0(0<a<4), 令g(x)=x-(x-1)nx-2(0<x<4), w国=1(@2+：） 一n 令()=是-laz0<2<4到.则N(回)=-是-王<0， 2-x 则g(x)在(0,4)上单调递减， g)=-n1=1.ga=专h2<0, 故存在0∈(1,2)，使g(0)=1-1n0=0,即 _In co 则当x∈(0，x0)时，g(x)>0,当x∈(o,4)时，g(x)<0, 故g(x)在(0，xo)上单调递增，g(x)在(xo,4)上单调递减， g回≤9）=0-国-)ha-2=-a-)×高2=+2 0 2一3， 1-3<0, e,2照m+∈（引e)=a+ 20 即g(x)<0,即f(x1)+f(x2)+1+x2<0. 第10页 共10页