山东省桓台第一中学2025-2026学年高二下学期期中数学试卷

2025-2026桓台一中高二下学期期中数学试卷 一、单选题 1.小夏计划某日从武汉到兰州游玩，当天的交通工具中，火车共有12个车次，飞机共有2个航班，则乘 坐方式的种数共有 () A12 B.14 C.16 D.24 2若函数fx)在心=处可导，则 f(c+2△m)-f(ol= () △x A f'(o) B.2f'(o) C.3f'(co) D.f(ao) 3.函数f(x)=x3-12x+1的极小值为 A-17 B.-15 C.15 D.17 4在(2- √E 的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则(2x-”的展开式中有理项的项 数是 () A5 B.4 C.3 D.2 5.已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f'(c),函数y=f'(x)的图象如图，则下列说法正确的是 A函数f(xc)的增区间是(-2,0)，(2，+∞) B.函数f(x)的减区间是(-∞，-2)，(2，+∞) C.x=-2是函数的极大值点 D.x=2是函数的极大值点 6已知f回)满足2f()+f）=3x若y=f()-alna为增函数，a∈R.则a的取值范围是(） A[W2,+∞) B.[2W2,+∞) C.(-∞，2√2) D.(-0,2W2] 7已知函数f(四)的定义域为(-乏，受)其导函数是f(,且满足f()cose+f@)n<0,则关于 的不等式f)<2f于)cosx的解集为 () A(5,) B(-受5) c.（-5) D(-受) 8.设函数f(x)的导函数为f'(x),若函数f(x)在区间D上是减函数，且函数f'(x)在区间D上是增函数， 称fx)在区间D上是“缓减函数”，区间D称为f(x)的“缓减区间”，若f(c)=cosc+2sinx,下 列区间不是f(c)的“缓减区间”的是 () A[] B.4π c[] D.[,] 二、多选题 9.下列各式正确的是 () AC号·A=60 B.A9÷A=A C.C3+C+C3=19 D.C8+C6+…+C+C9=25 10.李清照，齐州章丘（今山东省济南市章丘区）人，宋代女词人，婉约词派代表，有“千古第一才女”之 称.现将李清照不同的9本诗集全部奖励给3名同学（每人至少会分到1本），则下列选项正确的有 () A若刚好每人分到3本书，则有1680种不同的分法 B.若每人至少分到2本书，则有11508种不同的分法 C.若刚好有1人只分到1本书，则有6326种不同的分法 D.若每人至多分到4本书，则有13020种不同的分法 1.对于函数f@)=,则 () A函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，(1，e) B.f(π)>f(2) C.若方程fx)川=k有6个不等实数根，则k>e D.对任意正实数c1,c2,且c1≠x2,若f(c)=f(x),则c1c2>e 三、填空题 12.己知a,b∈R,若直线y=3x+a是曲线f(x)=e”+2x-b与曲线g(x)=x十2lnx的公切线，则a+b 13.甲、乙、丙、丁等6名大学生被分配到三个单位实习，每个单位分配2人，甲、乙不在同一个单位， 丙、丁也不在同一个单位，则不同的分配方案共有种（用数字作答） 14.已知函数f(x)=x2-ae+1有两个极值点，则实数a的取值范围是」 四、解答题 15.已知（x-2)”的展开式的二项式系数和为2048. (1)求n; (2)求（x-2”的展开式中含x2的项： (3)若(x-2”=a0十a1(x-1)+a2(x-1)2+…+an(x-1”,求a1+a2+a3+…+am 16.己知函数f(c)=axlnc--1(a>0). (1)求f(c)的最值. (2)若f)≤x-2,求实数a的取值范围. 17.甲、乙、丙等6名学生准备利用假期时间从三个社区中选一个参加志愿者活动，每个社区至少安排1 人. (1)若每个社区刚好安排2人，则不同的安排方法有多少种？ (2)若甲、乙、丙全部分到同一个社区，则不同的安排方法有多少种？ (3)若甲、乙、丙分别分到三个社区，则不同的安排方法有多少种？ 18.己知函数f(x)=lnc-ax (1)讨论函数的单调性 (2)若函数的极大值为-1. ①求实数a的值； ②冷P)=fa)+,实数k∈(0,1.求证：Pe)有两个极小值点，，且F=F 19已知函数fe)-la(e+1)-2。a>≥0 (1)当a=3时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)若f(c)在[0，+o∞)上单调递增，求a的取值范围； (3)若f(c)存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求a的取值范围. 2025-2026桓台一中高二下学期期中数学试卷 一、单选题 1.小夏计划某日从武汉到兰州洲游玩，当天的交通工具中，火车共有12个车次，飞机共有2个航班，则乘 坐方式的种数共有 () A12 B.14 C.16 D.24 【答案】B 【详解】根据分类加法计数原理，从武汉到兰州可以乘火车(12种)或飞机(2种)，总计12+2=14种方 式 故选：B 2若函数f()在x=0处可导，则 f+2△x)-fro）= △c Af'(xo】 B.2f'(xo） C.3f'(co) D.) 【答案】B 【详解】因为函数f(x)在x=x处可导， 所以 色+2a-2题色28。f1-= △x 2△x 故选：B 3.函数f(x)=x3-12x+1的极小值为 A-17 B.-15 C.15 D.17 【答案】B 【详解】由函数f(x)=x3-12x+1,可得f'(x)=3x2-12=3(x-2)(c+2), 当x<-2时，f'(x)>0,函数f(x)单调递增； 当-2<x<2时，f'(x)<0,函数f(x)单调递减； 当x>2时，f'(x)>0,函数f(x)单调递增， 所以x=2是极小值点，则函数的极小值为f(2)=一15. 故选：B 4在2x2- √元 的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则2x-店厂： 的展开式中有理项的项 数是 () A5 B.4 C.3 D.2 【答案】A 【详解】因为在(2x。广的展开式中，仅有第5项的二项式系数大， 所以仅有C.最大，则n=8, 2-方的通项公试么=02店广=6传〔-1 其中0≤k≤8，keN,当(16-2k)ez时， T+1是有理项，所以k=0,2,4,6,8, 即(22广的展开式中有理项的项数是5. 故选：A. 5.已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f'(x),函数y=f'(x)的图象如图，则下列说法正确的是 VA A函数f(x)的增区间是(-2,0)，(2，十∞) B.函数f(x)的减区间是(-∞，-2)，(2，+0) C.x=-2是函数的极大值点 D.x=2是函数的极大值点 【答案】C 【详解】根据y=f'(x)的图像可知： 当x<-2时，f'(c)>0;-2<x<0时，f(x)<0,当0<x<2时，f'(x)<0,当x>2时，f'(x)> Q 所以f(x)在(-∞，一2)，(2，十∞)上单调递增，在（一2,2）上单调递减 因此函数f(x)在c=2时取得极小值，在c=一2取得极大值 故ABD错误，C正确 故选：C 6.已知f(o)满足2f(o)+f士)=3x.若g=f()-alnx为增函数，a∈R,则a的取值范围是（) A[√2，+∞) B.[2W2,+∞) C.(-00,2W2) D.(-0,2W2] 【答案】D 【详解】因为2fo)+(2）=3,可得2()+f四)=， 联立方程 程1-片 因为y=f(x)-alnx=2x-1 一alnc为增函数， 则g=2+子-会≥0在(0.+四)内恒成立即2江+是≥a在(0，+四内恒成立， 又因为2+≥22士=2W2,当组仅当2=，即=2时，等号或立， 2 可得a≤2√2，所以a的取值范围是(-0∞，2W2] 故选：D. 7.已知函数f()的定义域为(-乏，受），其姆函数是f(,且满足f')cosx+f()sin<0,则关于x 的不等式f()<2f号)osx的解集为 () A(5) B(-5 【答案】A 【详解】令ge=e，e(-受，》则g因=g)co@m cos 因为f(oos+f(z)sina<0,所以g')<0,所以go)在(-受，号)上单调递减， 所以✉<2管)os等价于包<】 c0s号 即g)<g5) 所以号<“<受，即不等式的解集为（号，受） 故选：A 8.设函数f(x)的导函数为f'(x),若函数f(x)在区间D上是减函数，且函数f'(x)在区间D上是增函数， 称fx)在区间D上是“缓减函数”，区间D称为f(x)的“缓减区间”，若f(x)=cosx+2sic,下 列区间不是f(x)的“缓减区间”的是 () A[] B.4x c[] D[] 【答案】B 【详解】由题意得f'(x)=2cosx(-sinx)+2cosx=2cosx(1-sinx), 又1-sin≥0，由f)≤0，得c0sx≤0，解得号+2kr≤x≤+2kr,M∈Z, 2 即f✉)的单调递减区间为[受+2%x,妥+2%x],ke2。 g(x)=f'(c)=2cosx(1-sing)=2cosx-2cosxsina, g'(x)=-2sinx-2(-sin'c+cos'c)=2sin'x-2cos2c-2sinx =4sin2x-2sina-2. 由g(x)≥0得4sinx-2sinw-2≥0，即2(2sinc+1)(sinx-1)≥0， 又sin-1≤0，则sin≤-号，解得石+2k领≤≤+2k,keZ, 6 即f的单调递增区间为[+2kx,1日+26]，∈2.。 由“缓减区间”的定义可得@的“缓减区间”为[石+2k,受+2]，k∈乙， 2 而[石，亚]是[石+2x,罗+2]的子集，是“缓减区间”： 4女不是[石+2水，变+k的子集，不是“缓减区间” [巫，告]是[套+2x,受+2]的子集，是“缓减区间”： [5,警]是[套+2版，受+2]的子集，是“须减区间” 故选：B 二、多选题 9.下列各式正确的是 AC号·A=60 B.A9÷A=A C.C9+C9+Cg=19 D.C%+C6+…+C8+C8=2 【答案】AC 【详解】对A选项，C·A=5×±×3×2=60，A正确： 2×1 对B选项，左边=7X6X54X3X2=6≠右边=2，B错误； 7×6×5×4 对C选项，方法一：C附+C1+Cg=3+6+10=19,方法二：C3+C3+C1+C号-1=C8-1=20-1= 19,C正确； 对D选项，C6+C+…+C+C=25-1,故D错误 故选：AC 10.李清照，齐州章丘（今山东省济南市章丘区）人，宋代女词人，婉约词派代表，有“千古第一才女”之 称.现将李清照不同的9本诗集全部奖励给3名同学（每人至少会分到1本），则下列选项正确的有 A若刚好每人分到3本书，则有1680种不同的分法 B. 若每人至少分到2本书，则有11508种不同的分法 C. 若刚好有1人只分到1本书，则有6326种不同的分法 D. 若每人至多分到4本书，则有13020种不同的分法 【答案】AB 【详解】若好每人分到3本书，则有CCC.A=1680种不同的分法，故A正确； A 若每人至少分到2本书，则3人分书的本数可能是(2,3,4)，(2,2,5)，(3,3,3)， 所以有CC:CC+C5CC.A+C5CC.4=7560+2268S+16s0=11503种不同的分法，故B正确： A A 若刚好有1人只分到1本书，则3人分书的本数可能是(1,2,6)，(1,3,5)，(1,4,4)， 所以有CCCC5+aidald+CCC.A=1512+3024+1890=6426种不同的分法，故C不正确； A 若每人至多分到4本书，则3人分书的本数可能是(2,3,4)，(3,3,3)，(1,4,4)， 所以有C5C5CC+C3C8C1.A+C5CC生，A=7560+16s0+190=1130种不同的分法，故D不正 A A 确。 故选：AB 11对于函数f@=,则 A函数f(c)的单调递减区间为(0,1)，(1，e) B.f(π)>f(2) C.若方程fx)川=k有6个不等实数根，则k>e D.对任意正实数x1,c2,且c1≠x2,若f(x1)=f(x),则x1c2>e 【答案】ACD 【详解】f(x)定义域为(0,1)U(1,+o),f(o)=hx- (ln)2 对于A,f'(x)<0→x∈(0,1)U(1,e),从而f(x)的单调递减区间为：(0,1)，(1，e),故A正确； 对于B,f'(x)>0→c∈(e,+∞)，则f(x)在(e,+o)上单调递增 注意到f2-品2品=f,又4>x之3>e,则f4=f2)>≥f,故B错误： 2 4 对于C,因lif(x)=0,limf(r)→-o,lif()→+oo,f(e)=e,lif(m)→+m, 结合九单调性医出f大致图象又0=“0：0e0=f什，则（动为偶函数 轴跖则图与回图像一致，据此阿画出fD大致图像，又F川=广，0，一 则为得到f(x)川图像，需f(x)在x轴上方图像不变，f(x)在x轴下方图像沿x轴翻折，据此得到 fx)川图像如下： 为使方程f)川=k有6个根，则fx)川图像与直线y=k有6个交点，从而k>e,故C正确： 对于D,设<，由AB分折，若f)=f,则<e<设=，t>1,因= 则2-》-h-1→ha=片，则nln场=la+片= colnc1 txilnai tlnci 从而a,+n-2=+lnt2t-少.令g)=(+1nt-2t-1,t>L,g)=lad+1+-2 t-1 =lnt+名-l, 再令=ht+日-1，>1，则Nt=专=>09h在1，+0)上递增，则g到=h >limh(t)=0 从而0在1，)上单调谜增，从而g0>≥心=0则>1时，a29>0 lnc1c2>2→C12>e,故D正确 三、填空题 12.已知a,b∈R,若直线y=3x十a是曲线f(x)=e“+2x-b与曲线g(x)=x+2lnx的公切线，则a+b 【答案】1 【详解】设直线y=3c+a在f(c)=e”+2x-b处的切点坐标为(m,n), 在g四=0+2nx处的切点坐标为(2，g,f代)=e+2,g)=1+2 因为直线g=3x十a是曲线f(m)和gr)的公切线，所以g(p)=1+2=3,解得p=1,则g=1+2nl p =1, 把(1,1)代入直线y=3x+a中可得a=-2,又f'(m)=em+2=3,解得m=0, 把m=0代入直线y=3x-2中可得n=-2, 再把(0，-2)代入f(x)=e+2c-b中可得1-b=-2,即b=3,所以a+b=-2+3=1. 故答案为：1 13.甲、乙、丙、丁等6名大学生被分配到三个单位实习，每个单位分配2人，甲、乙不在同一个单位， 丙、丁也不在同一个单位，则不同的分配方案共有种（用数字作答） 【答案】60 【详解】甲、乙、丙、丁等6名大学生被平均分到三个单位有CCC=90. 其中甲、乙在同一个单位的分法有CC.4=18种， A 丙、丁在同一个单位的分法有CC·A=18种， A 甲、乙在同一个单位且丙、丁也在同一个单位的分法有A=6种 故甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位，则不同的分配方案共有90-18-18+6=60. 故答案为：60 14.已知函数f(x)=x2-ae十1有两个极值点，则实数a的取值范围是 【答案10,2 【详解】由题意知f'()=2x-ae有两个相异实根，即a=2 也即g=a与g)-兰的图警有两个交点 g()=2-22,所以当r<1时，gr)>0,g)单调递增， 当x>1时，g(c)<0,9(x)单调递减 且9(0)=0，当x>0时，g(x)>0, 所以g(x)在x=1处取得极大值也即是最大值为g(1)= e 画出g(x)的图象如下图所示， y=g(x) v=a 图可知，要使y=a与)=2二的图象有两个交点，则需0<a<名 e 故答案为：(0名) 四、解答题 15.已知(x-2)”的展开式的二项式系数和为2048。 (（1)求n; (2)求（x-2”的展开式中含x2的项； (3)若(x-2”=a0十a1(c-1)+a2(x-1)2++an(-1”,求a1+a2+a3+…+a· 【答案】(1)11 (2)-28160x (3)1 【详解】(1)(x-2)”的展开式的二项式系数和为2m=2048,解得n=11 (2)展开式的通项公式为T+1=C1-r(-2)(r=0,1,2,…,11), 令11-r=2,解得r=9,代入通项公式得T10=C%x2(-2)°=-512×55x2=-28160x (3)因为(x-2)=a+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a11(x-1)11, 令x=1,得a=(1-2)1=-1, 令x=2,得(2-2)1=a0十a1+a+…+an=0, 所以a1十a2十…十a1=0-a0=1. 16.已知函数f(x)=axlnc-1(a>0) (1)求f(x)的最值， (2)若f)≤m-22,求实数a的取值范围 e 【答案】(1)最小值-8-1，无最大值 2oe-2] 【详解】略 17.甲、乙、丙等6名学生准备利用假期时间从三个社区中选一个参加志愿者活动，每个社区至少安排1 人 (1)若每个社区刚好安排2人，则不同的安排方法有多少种？ (2)若甲、乙、丙全部分到同一个社区，则不同的安排方法有多少种？ (3)若甲、乙、丙分别分到三个社区，则不同的安排方法有多少种？ 【答案】(1)90 (2)36 (3)162 【详解】(1)将6名学生平均分成3组 分法数为C5CC-262×212×22-2_8器×提×1 6: 2! =15(种)， A 3! 3×2×1 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有A=3!=6(种)， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有15×6=90（种）： (2)①甲、乙、丙看作一组，有1种分法 将剩下的3人分成2组，分法数为C3C号=3×1=3（种）， 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有A=3!=6(种) 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有1×3×6=18（种）； ②甲、乙、丙和剩余3人中的1人形成一组，其余2人各一组，有3种分法 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有A=3!=6(种)， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有3×6=18（种）： 综上不同的安排方法有18+18=36（种）： (3)甲、乙、丙分别安排到3个社区，有A=3!=6(种) 剩下的3人每人都可以选择3个社区中的任意一个，有3×3×3=27（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有6×27=162（种）】 18.已知函数f(x)=lnx-ax (1)讨论函数的单调性 (2)若函数的极大值为-1. ①求实数a的值； ②令F(x)=fr)+ke -,实数k∈(0,1).求证：F(x)有两个极小值点c1,x2,且F(x1)=F(x2. 【答案】(1)答案见解析 (2)①a=1;②证明见解析 【详解】(1)因为函数f(x)=lnx-ax的定义域为(0，十oo), 所以f(x）=1-a=1-am m 当a≤0时，f'(x)>0恒成立，f(x)在(0，十∞)递增， 当a>0时，令fo)=0,可得=日 当0<x<1时，f()>0,函数f(x)在(0,1)上单调递增， 当x>是时，fo)<0,函数f()在(，+0)上单调递减： (2)①因为函数f(x)的极大值为-1，由(1)知a>0, 此a时函数a)的极大值为（日）=-1na-1, 所以-lna-1=-l,解得a=1; ②f(x)=lnx-x, 则re=inx-+s-一nc-lhaj+&g-点g-hg e x e x 可知F(x)的定义域为(0，+∞)， 构造n()=g,x>0,则n')=z-1e x2。 令n'(x)>0,解得x>1;令n'(x)<0,解得0<x<1; 可知n(x)在(0,1)内单调递减，在(1，十∞)内单调递增，则n(x)≥n(1)=e, 且当x趋近于0或+o∞时，n(x)趋近于+o, 可知n(x)在(0，+∞)内值域为[e,+o), 令t=g≥e,可得m-名-ln,t≥e,则m国-冬-}= et 且ke(0,),令m()=0,解得t=无>e, 当t>是时，m(>0:当e≤t<是时，m'(<0 可知mt)在[©，）内单调递减，在（号+∞）内单调递增， 由y=n(m)的单调性和值域可知关于x的方程n()=是有2个不同的实数根，，不妨设0<1<1< 因为F(x)=m(n(x),x>0,则有： 当ae0,时，则n()>无，可知)在(0，四)内单调递减： 当x∈(m,1时，则e<n()<,可知F(m)在(，1)内单调递增； 当x∈1，)时，则e<n()<号，可知F()在(1，)内单调递减， 当e∈(，+m)时，则n(>号，可知F()在（购，+o)内单调递增； 所以F(x)有两个极小值点m1,, 又因为n(）=n()=, 则Fa)=mn(a》=m）=lnk,F(,）=mn()=m(是）=lnk, 所以F(c1)=F(c)=lnk. 19.已知函数fr)=ln(x+1）-2(a>0). x+a (1)当a=3时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)若f(x)在[0，+oo)上单调递增，求a的取值范围； (3)若f(c)存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求α的取值范围， 【答案】(1)y=3元 1 (2)[2,+∞) (3)(0,1). 【详解】(1)由f)=n(c+1)-2m=n(m+1）-2+2a x+a x+a! 得r-中a 2a 当a=3时，r0)=1-8=3f0=0, 所以曲线划=f@)在点0f0)处的切线方程为y-0=号口-0，即y=行女 (2)因为f(x)在[0，+∞)上单调递增，所以Vx∈[0，十∞)，f'(x)≥0. 由(1)知f'()=1-,2a x2+a2-2a +1。(@+aj(m++a≥0， 因为x+1>0,(x+a)2>0,所以x2+a2-2a≥0，即a2-2a≥-x2在[0，+∞)上恒成立， 所以a2-2a≥0，又a>0,所以a≥2， 即a的取值范围为[2，+∞). (3)①当a≥2时，f'(x)≥0在(-1，+∞)上恒成立，所以f(c)在(-1，+∞)上单调递增， 所以f(x)不存在极值，不合题意； 踏a1时，f儿长+当1<a<I时，@<0g当>1时， >0,所以f(x)在(-1,1)上单调递减，在(1，+o∞)上单调递增， 所以f(x)无极大值，不合题意； ③当1<a<2时，f(x)的定义域为(-1，+∞)，2a-a2∈(0,1)， 令f'(x)=0,得c1=-√2a-a2,c2=V2a-a2,当x∈(-1,1)U(c2,十0)时，f'(x)>0,当x∈(c1,x) 时，f'(x)<0,所以f(x)在(-1，x),(c2,十∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减， 所以f(x)的极大值为f(),极小值为f(c,且f(c1)>f(),不合题意； ④当0<a<1时，f(x)的定义域为(-1，-a)U(-a,+o),2a-a2∈(0,1)，且V2a-a>a, 令f'(x)=0,得1=-V2a-a,x=√2a-a,且-l<1<-a, 当x∈(-1，)时，f'(x)>0;当x∈(c1,-a)时，f'(x)<0;当x∈(-a,x2)时，f'(c)<0; 当x∈(x2,+o)时，f'(x)>0, 所以f(x)在(-1，c1)上单调递增，在（1，-a)上单调递减，在(-a,)上单调递减，在(，+o∞)上单调 递增， 所以f(x)的极大值为f(),极小值为f(x）,且f(,)=ln(+1)-2+2a r1十a1 f(x)=ln(2+1)-2+2a x+a f-fe)=n+-n+1+十a十a=1n+2a 1n,+i+(+a)(+a 因为，<-a<2n十<0，。<0，所以f)-f<0 (x1+a)(x2+a) 即f(c1)<f(x),符合题意. 综上所述，a的取值范围为(0,1)