八年级数学下学期期末学情自测·培优卷（新教材北师大版，举一反三，测试范围：八下全册）

**基本信息** 八年级北师大版数学期末培优卷，以几何画板活动、刘徽勾股分割等真实情境为载体，通过梯度化题型设计，融合空间观念与运算推理，精准检测抽象能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|中心对称、不等式解集、角平分线计算|结合陕西宝鸡二模等真题素材，第1题融入科技活动情境| |填空题|6/18|分式方程、等腰三角形、勾股定理应用|第15题引用刘徽勾股形分割，渗透文化传承| |解答题|8/72|因式分解、图形旋转、实际问题建模|24题旋转探究综合考查推理能力，21题木箱制作体现模型意识|

八年级数学下学期期末学情自测·培优卷 【新教材北师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2025·陕西宝鸡·二模）某校开展“运用几何画板，探寻美丽的数学世界”活动，下面是活动的部分作品，其中是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义判断即可，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解： A、不是中心对称图形，故选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故选项不符合题意； C、是中心对称图形，故选项符合题意； D、不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将M、N统一分母，再根据分式运算法则计算各选项判断即可． 【详解】解：∵ ，． ∴A． ，A错误； B．， B错误； C．．与选项一致， C正确； D．，D错误． 3．若不等式组的解集是，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解第一个不等式得到，再根据一元一次不等式组“同小取小”的解集规律，建立关于的不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解：， 解不等式，得， ∴原不等式组可化为 ， ∵不等式组的解集是， 根据“同小取小”的规律，可得， 解得． 4．（2024·安徽合肥·三模）已知三个实数满足则下列结论一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，因式分解等，将代入化简可得，将此代入可得，通过因式分解可得，从而可得，据此进行逐一判断，即可求解；掌握整式之间转化运算是解题的关键． 【详解】解：将代入， 得， ， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， A. ，结论错误，不符合题意； B. ，结论错误，不符合题意； C. ，结论错误，不符合题意； D. ，结论正确，符合题意． 故选：D． 5．（25-26九年级上·河南商丘·期末）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，为的角平分线，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 证明为等腰直角三角形，结合等腰三角形的性质解题即可． 【详解】解：由图可知，， ， ， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵为的角平分线， ∴是斜边上的中线， ∴． 故选：B． 6．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，等边与关于直线对称，，且的边长为，为线段上一动点，则的最小值是（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到，，证明，得到，推出当三点共线时，最小，即可求解． 【详解】如图，连接， ∵等边与关于直线对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 7．（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，中，是的中点，过点作于点，的垂直平分线分别交，于点，，且，连接，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段中点的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 延长至点，使，连接，证明，得出相等的边和角，根据线段垂直平分线的性质得出相等边和，根据同角的余角相等得出，证明，得出相等边，最后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：如图所示，延长至点，使，连接， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， ∵垂直平分线段， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由翻折得出，，求出，根据勾股定理求出，进而求出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，， 点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上， ，， ， ， ， ． 9．对于分式：，，，，，在每个式子前添“+”或“-”号，并求和的绝对值，称此操作为“绝对和差操作” 例如：，，…下列说法： ①对于“绝对和差操作，若，则化简后的结果为； ②至少存在一种“绝对和差操作”使化简后的结果为常数； ③所有可能的“绝对和差操作”化简后有32种不同结果； 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了分式的运算，按照分式运算法则即可判断①，举例计算，即可判断②，5个分式，每个分式有正负两种情况，则组合的可能有：（种），根据，可以判断③． 【详解】① ， ∵， ∴， ∴原式，故①正确； ②举例： ， 即至少存在一种“绝对和差操作”使化简后的结果为常数，故②正确； ③，，，，这5个分式，每个分式有正负两种情况， 则组合的可能有：（种）， 又∵， ∴至少有两种情况的结果相同， ∴所有可能的“绝对和差操作”化简后不可能有32种不同结果，故③错误， 故正确的有2个， 故选：C． 10．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，过点O作平行于的直线交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定． 由平行四边形的性质推出，，， 由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，因此，推出，证明，可得 ，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作交射线于点F， 四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若关于的不等式组无解，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围. 【详解】解： 解不等式①得：； 解不等式②得：； 不等式组无解， ， 解得. 12．（25-26八年级上·河北邢台·期末）若，则____________． 【答案】0 【分析】题目主要考查因式分解，求代数式的值，熟练掌握是解题关键． 先对所求代数式提取公因式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算求解． 【详解】解： 将，代入上式，得 原式 ， 故答案为：0． 13．（25-26八年级上·广东汕头·期末）若关于的分式方程的解为正整数，则整数的一个值可以是___________． 【答案】(或或，写出一个即可) 【分析】本题考查分式方程的解法，关键是先解出分式方程的解，再根据解为正整数且不为增根的条件，推导整数的取值． 【详解】解：分式方程两边同乘，得， 展开整理得，即， 解得； ∵方程的解为正整数，且， ∴是8的正约数，2，4，， 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时(增根，舍去)； 故整数的一个值可以是(或或)； 故答案为：(或或，写出一个即可)． 14．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，在等腰中，，；在上取一点，以为底边作等腰三角形，且，连，______． 【答案】/30度 【分析】连接，由等腰三角形的性质，可得，由三角形的内角和定理，可得，由，可得，是等边三角形，可得，，由三角形的内角和定理，可得，即可得的度数． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，，，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形全等的性质，等边三角形的判定和性质． 15．（25-26八年级上·山西长治·期末）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1，数学家刘徽（约公元225年-公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理。如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的运用．设小正方形的边长为，在中，利用勾股定理可建立关于的方程，求得，进而可求出该长方形的面积． 【详解】解：设阴影部分小三角形长直角边边长为x， ∵，， ∴，，， 在中，， 即， 解得，， 而长方形面积为， 故答案为：． 16．如图，垂直平分，交于E，，垂足为A，，则的长为_____． 【答案】9.6 【分析】首先证明四边形为平行四边形，易得，设，则，在和中，由勾股定理解得的值，然后由求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，垂直平分， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 即，解得， ∴， ∴，， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·山东威海·期末）（1）分解因式：； （2）利用因式分解计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了提公因式法、平方差公式、完全平方公式在因式分解及简便计算中的应用，熟练掌握因式分解的方法和乘法公式的结构特征是解题的关键． （1）先提取公因式 ，再将括号内的式子整理为平方差的形式，利用平方差公式分解，最后对分解后的因式用完全平方公式进一步化简； （2）观察式子结构，将 转化为 ，使原式符合完全平方公式的形式，再利用公式进行简便计算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．（6分）（25-26八年级上·山东菏泽·期末）（1）解不等式： （2）解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1）；（2），数轴表示见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，解题的关键是掌握不等式的基本性质，尤其是在去分母、系数化为1时，若两边乘（或除以）负数，不等号方向要改变； （1）先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1； （2）分别解两个不等式，再取它们的公共解集，并在数轴上表示． 【详解】（1）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解： 解不等式 ， 去括号，得， 移项，得， 即， ∴． 解不等式 ， 去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得． ∴ 不等式组的解集为 ． 不等式组的解集在数轴上表示为： 19．（8分）（2025·河北邯郸·二模）已知分式． (1)化简分式； (2)若的值为方程的解，求该分式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，分式的混合运算． （1）根据分式混合运算法则，先算小括号里面的分式减法，然后再算分式的除法即可； （2）先把分式方程转变为整式方程，解分式方程求出x的值，然后检验，把分式方程的解代入（1）中化简后的分式，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：对于方程， 去分母，得， 解得． 检验：把代入，得， 分式方程的解为， 原分式的值为． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为点，点，点，将先向上平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度，得到，其中点与点A对应，点与点对应，点与点对应． (1)若将看成是由经过一次平移得到的，请写出这一平移的平移方向与平移距离； (2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后得到的，其中点与点A对应，点与点对应，分别写出点、点的坐标． 【答案】(1)是由沿方向一次平移单位长度得到的． (2)点、点 【分析】本题主要考查了平移作图、平移的性质、旋转作图、勾股定理等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）连接，然后用勾股定理求得的长即可解答； （2）先根据旋转的性质求得对应点、，然后直接读出点、点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图：连接， 根据勾股定理可得：， ∴是由沿方向一次平移个单位长度得到的． （2）解：如图：即为所求； 由坐标系可得：点、点． 21．（10分）（24-25七年级下·浙江杭州·期末）用如图（1）中的长方形和正方形木板作侧面和底面，做如图（2）的无盖竖式和有盖横式两种木箱，现在仓库里有块正方形木板和块长方形木板． (1)当，，恰好将库存木板用完，则两种木箱各做了多少个？ (2)当时，且，恰好要将库存木板用完，求整数的值． 【答案】(1)无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个 (2)的值为或 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个，根据制作的两种木箱正好使用个正方形木板和个长方形木板，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设无盖竖式木箱做了个，则有盖横式木箱做了个，根据两种木箱每个均需使用个长方形木板，可找出，结合，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合，均为整数，即可确定的值，进而可得出的值． 【详解】（1）解：设无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个， 根据题意得：， 解得：． 答：无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个； （2）解：设无盖竖式木箱做了个，则有盖横式木箱做了个， 根据题意得：， ， ， 解得：， 又，均为整数， 可以为或100， 或． 答：的值为或． 22．（10分）（24-25八年级下·四川巴中·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹，画图过程用虚线，画图结果用实线）． (1)在图1中画一条线段，使它平分四边形的面积； (2)在图2的边上画点E，使． 【答案】(1)见解析（答案不唯一，过对角线交点O即可） (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质． （1）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形作图即可； （2）如图，点向右4个格点，向下3个格点为，连接，则是等腰直角三角形，则，与的交点即为所求； 【详解】（1）解：由题意知，，，， ∴四边形是平行四边形； 则连接，交于O，做一条过O的线段即可； （2）解：如图，取格点M，连接交于E，点即为所求； 证明：由勾股定理可知：，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即． 23．（12分）（25-26八年级上·北京·月考）阅读下列材料，并解答问题： 【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式． 例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 方法1：； 方法2：由分母为，可设（a，b为待确定的系数）， ， 对于任意x，上述等式均成立， ，解得， ． ， 这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 【材料2】对于式子，由知的最小值为1，所以的最大值为3，所以的最大值为5． (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式； (3)当时，求分式的最大值． 【答案】(1)真 (2) (3)最大为1 【分析】本题主要考查了分式的基本概念、分式的基本性质、分式的混合运算和化简，阅读材料获得信息再进行化简计算是解题的关键． （1）根据分子次数为0，分母次数为1，可作出判断． （2）利用已知分式，将其转化为整数与真分数的和的形式，可得答案． （3）先求出的最小值，进而可求出 的最大值． 【详解】（1）解：是真分式． （2）解：设， 则 ， 解得， . （3）解：考虑，求其最小值， ∵，， 当时，最小为1 最大为1． 24．（12分）（25-26八年级上·湖北十堰·期末）数学活动课上，老师让同学们准备两个等腰直角三角形纸片，将直角顶点重合到一起，利用图形的旋转开展探究活动． (1)当两个等腰直角三角形纸片如图1放置时，，，点和点分别在和上，且，则与的数量关系是______，位置关系是______； (2)将图1中的绕着点顺时针旋转，连接，在旋转过程中与的数量关系和位置关系与（1）中是否发生变化？请结合图2加以证明； (3)将绕着点顺时针旋转到图3的位置，过点作于点，延长交于点．求证：为的中点． 【答案】(1)相等，垂直； (2)不变，证明见解析； (3)证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据线段的和差可得，延长，交于点，由，得到． （2）延长交于点P，交于点，证明 得到，进而得到，即可求解； （3）分别过两点作交于点，交的延长线于点，， ，得到，再证明，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 延长，交于点， ∵， ∴， ∴与的数量关系是相等，位置关系是垂直， 故答案为：相等，垂直； （2）解：不发生变化，理由如下： 如图1，延长交于点P，交于点， ∵， ∴， 即， ∵， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴； （3）证明：如图2，分别过两点作交于点，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， 同理可证， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即M为的中点． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学下学期期末学情自测·培优卷 【新教材北师大版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟．本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2025·陕西宝鸡·二模）某校开展“运用几何画板，探寻美丽的数学世界”活动，下面是活动的部分作品，其中是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若不等式组的解集是，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽合肥·三模）已知三个实数满足则下列结论一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·河南商丘·期末）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，为的角平分线，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，等边与关于直线对称，，且的边长为，为线段上一动点，则的最小值是（　　）． A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，中，是的中点，过点作于点，的垂直平分线分别交，于点，，且，连接，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．对于分式：，，，，，在每个式子前添“+”或“-”号，并求和的绝对值，称此操作为“绝对和差操作” 例如：，，…下列说法： ①对于“绝对和差操作，若，则化简后的结果为； ②至少存在一种“绝对和差操作”使化简后的结果为常数； ③所有可能的“绝对和差操作”化简后有32种不同结果； 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，过点O作平行于的直线交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若关于的不等式组无解，则的取值范围是_________． 12．（25-26八年级上·河北邢台·期末）若，则____________． 13．（25-26八年级上·广东汕头·期末）若关于的分式方程的解为正整数，则整数的一个值可以是___________． 14．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，在等腰中，，；在上取一点，以为底边作等腰三角形，且，连，______． 15．（25-26八年级上·山西长治·期末）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1，数学家刘徽（约公元225年-公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理。如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为_____． 16．如图，垂直平分，交于E，，垂足为A，，则的长为_____． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·山东威海·期末）（1）分解因式：； （2）利用因式分解计算：． 18．（6分）（25-26八年级上·山东菏泽·期末）（1）解不等式： （2）解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上． 19．（8分）（2025·河北邯郸·二模）已知分式． (1)化简分式； (2)若的值为方程的解，求该分式的值． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为点，点，点，将先向上平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度，得到，其中点与点A对应，点与点对应，点与点对应． (1)若将看成是由经过一次平移得到的，请写出这一平移的平移方向与平移距离； (2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后得到的，其中点与点A对应，点与点对应，分别写出点、点的坐标． 21．（10分）（24-25七年级下·浙江杭州·期末）用如图（1）中的长方形和正方形木板作侧面和底面，做如图（2）的无盖竖式和有盖横式两种木箱，现在仓库里有块正方形木板和块长方形木板． (1)当，，恰好将库存木板用完，则两种木箱各做了多少个？ (2)当时，且，恰好要将库存木板用完，求整数的值． 22．（10分）（24-25八年级下·四川巴中·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹，画图过程用虚线，画图结果用实线）． (1)在图1中画一条线段，使它平分四边形的面积； (2)在图2的边上画点E，使． 23．（12分）（25-26八年级上·北京·月考）阅读下列材料，并解答问题： 【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式． 例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 方法1：； 方法2：由分母为，可设（a，b为待确定的系数）， ， 对于任意x，上述等式均成立， ，解得， ． ， 这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 【材料2】对于式子，由知的最小值为1，所以的最大值为3，所以的最大值为5． (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式； (3)当时，求分式的最大值． 24．（12分）（25-26八年级上·湖北十堰·期末）数学活动课上，老师让同学们准备两个等腰直角三角形纸片，将直角顶点重合到一起，利用图形的旋转开展探究活动． (1)当两个等腰直角三角形纸片如图1放置时，，，点和点分别在和上，且，则与的数量关系是______，位置关系是______； (2)将图1中的绕着点顺时针旋转，连接，在旋转过程中与的数量关系和位置关系与（1）中是否发生变化？请结合图2加以证明； (3)将绕着点顺时针旋转到图3的位置，过点作于点，延长交于点．求证：为的中点． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $