八年级数学下学期期末学情自测·培优卷（新教材苏科版，举一反三，测试范围：八下全册）

**基本信息** 新教材苏科版八年级数学期末培优卷，精选多地期末真题，通过新能源汽车费用计算、矩形动态问题等真实情境，融合因式分解、概率、几何变换等知识，考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|因式分解、概率估算、分式方程|结合贵州遵义等多地期末题，基础与中档题结合| |填空题|6/18|分式方程解、几何面积计算|如湖南娄底题考查图形面积转化，体现几何直观| |解答题|8/72|实际应用、几何作图、统计分析|18题新能源汽车费用对比培养应用意识，24题正方形动态探究发展推理能力，21题统计图表分析强化数据意识|

八年级数学下学期期末学情自测·培优卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D．前三个都是 【答案】B 【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断即可． 【详解】解：、该变形是整式的乘法，是因式分解的逆运算，不属于分解因式，故本选项不符合题意； 、，是因式分解，故本选项符合题意； 、等式右边不是整式积的形式，不属于分解因式，故本选项不符合题意； 、本选项不符合题意． 2．（25-26九年级上·广东中山·期末）如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（精确到0.01）（    ） 投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500 投中次数（m） 28 60 78 104 124 153 252 A．0.56 B．0.51 C．0.50 D．0.52 【答案】C 【分析】大量重复试验中，频率会逐渐稳定在概率附近，试验次数越大，频率对概率的估计越准确，计算不同试验的频率后，观察频率的稳定值即可得到结果． 【详解】解：根据表格数据，计算各次试验的投中频率：，，，，，，， ∵试验次数越大，频率越接近真实概率，精确到为， ∴估计这位同学投篮一次投中的概率约是． 3．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将M、N统一分母，再根据分式运算法则计算各选项判断即可． 【详解】解：∵ ，． ∴A． ，A错误； B．， B错误； C．．与选项一致， C正确； D．，D错误． 4．（25-26九年级上·河南周口·期末）估计的值应在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算． 先利用乘法分配律化简原式，再通过估算结果的取值范围，推导得出原式的取值范围． 【详解】解： ， 又∵， ∴， 即， ∴， 即， ∴原式的值在5和6之间． 故选：A． 5．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由翻折得出，，求出，根据勾股定理求出，进而求出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，， 点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上， ，， ， ， ， ． 6．（2024·安徽合肥·三模）已知三个实数满足则下列结论一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，因式分解等，将代入化简可得，将此代入可得，通过因式分解可得，从而可得，据此进行逐一判断，即可求解；掌握整式之间转化运算是解题的关键． 【详解】解：将代入， 得， ， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， A. ，结论错误，不符合题意； B. ，结论错误，不符合题意； C. ，结论错误，不符合题意； D. ，结论正确，符合题意． 故选：D． 7．（25-26八年级上·云南昆明·期末）若关于x的分式方程无解，则m的值是（   ） A．1或2 B．2或3 C．1或3 D．3或0 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，先把分式方程化为整式方程得到，由于关于x的分式方程无解，分最简公分母为0分式方程有增根和化简后的整式方程无解两种情况可求得m． 【详解】解： 去分母，得， ． ∵关于x的分式方程无解， 当时，原方程无解， ∴， 当最简公分母， ， 当时，得， 综上m的值为1或， 故选A． 8．已知m、n是正整数，若+是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（　　） A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质分析即可得出答案． 【详解】解：∵+是整数，m、n是正整数， ∴m=2，n=5或m=8，n=20， 当m=2，n=5时，原式=2是整数； 当m=8，n=20时，原式=1是整数； 即满足条件的有序数对（m，n）为（2，5）或（8，20）， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，题目比较好，有一定的难度． 9．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，，，平分交于点E，连接，取的中点F，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，，结合平分，可以推出，在中，先使用勾股定理计算出斜边的长，再用直角三角形的性质算出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵点F是的中点， ∴是斜边上的中线， ∴． 10．（25-26八年级上·福建泉州·期末）已知，长方形中，，点是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过作于点，连接，取的中点，连接，．点在运动过程中，下列结论：①；②；③当点和点互相重合时，；④．正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据旋转性质、矩形性质等条件判断，确定①正确；通过判定四边形是正方形，得到，确定③正确；由题意得到，结合，点是线段上的一个动点，从而确定当运动到点时，最短，，；当运动到点时，最长，，，即可确定，确定④错误；无法证明②正确，综上所述即可得到答案． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和， ， ∴，故①正确； 当互相重合时，如图1所示： ∵是中点，，， ∴是等腰直角三角形，且，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，故③正确； 过作，交延长线于点，如图3所示： ∵AH平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 根据四边形内角和为得到， ∵， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴最短时，最短；最长时，最长， 当运动到点时，最短，此时，； 当运动到点时，最长，此时，； ∴，故④错误； 无法证明；故②错误， 综上所述，①③正确， 故选：B． 【点睛】本题综合性强、难度较大，考查较为综合，涉及旋转性质、矩形性质、两个三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、角平分线定义、动点最值问题等，熟练掌握相关知识点，熟记相关判定与性质是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·河北邢台·期末）若，则____________． 【答案】0 【分析】题目主要考查因式分解，求代数式的值，熟练掌握是解题关键． 先对所求代数式提取公因式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算求解． 【详解】解： 将，代入上式，得 原式 ， 故答案为：0． 12．（25-26八年级上·广东汕头·期末）若关于的分式方程的解为正整数，则整数的一个值可以是___________． 【答案】(或或，写出一个即可) 【分析】本题考查分式方程的解法，关键是先解出分式方程的解，再根据解为正整数且不为增根的条件，推导整数的取值． 【详解】解：分式方程两边同乘，得， 展开整理得，即， 解得； ∵方程的解为正整数，且， ∴是8的正约数，2，4，， 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时(增根，舍去)； 故整数的一个值可以是(或或)； 故答案为：(或或，写出一个即可)． 13．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，二次根式的乘法． 先根据两个小正方形的面积可求得它们的边长，根据长方形的面积列式计算，即可得余下部分的面积． 【详解】解：∵两个小正方形的面积分别为和， ∴这两个小正方形的边长分别为，， ∴余下部分的面积为． 故答案为：． 14．如图，垂直平分，交于E，，垂足为A，，则的长为_____． 【答案】9.6 【分析】首先证明四边形为平行四边形，易得，设，则，在和中，由勾股定理解得的值，然后由求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，垂直平分， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 即，解得， ∴， ∴，， ∴． 15．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交于点，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质、平行四边形的性质，是解题的关键．连接，由作图知，平分，得到，根据平行四边形的性质得到，，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 由作图知：，，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（24-25八年级下·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C为x轴正半轴上一动点，以，为边作矩形，点E为线段的延长线上一点，且，D为的中点，连接交于点F，连接，当三角形为等腰三角形时，点B的坐标为________． 【答案】或 【分析】取的中点G，连接，则为的中位线，，，证明，推出，，分和两种情况，分别讨论即可求解． 【详解】解：点A的坐标为，四边形为矩形， ，， 取的中点G，连接， 则， D为的中点，G为的中点， 为的中位线， ，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 由图可得，故分两种情况讨论： 当时，如图： 则， ， ； 当时，如图： 则， ， ； 综上可知，点B的坐标为或 故答案为：或． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的定义等，注意分情况讨论是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·山东威海·期末）（1）分解因式：； （2）利用因式分解计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了提公因式法、平方差公式、完全平方公式在因式分解及简便计算中的应用，熟练掌握因式分解的方法和乘法公式的结构特征是解题的关键． （1）先提取公因式 ，再将括号内的式子整理为平方差的形式，利用平方差公式分解，最后对分解后的因式用完全平方公式进一步化简； （2）观察式子结构，将 转化为 ，使原式符合完全平方公式的形式，再利用公式进行简便计算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．（6分）（25-26八年级上·陕西榆林·期末）问题背景：随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车进行使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素材1：燃油车油箱容积：50升，油价：8元/升，续航里程：千米；新能源车电池电量：100千瓦时，综合电价：1元/千瓦时，续航里程：千米．（续航里程是指加满油或充满电汽车能够连续行驶的最远距离） 素材2：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 解决问题： (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用； (2)分别求出这两款车的每千米行驶费用． 【答案】(1)元 (2)燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元 【分析】本题考查了分式方程的应用、列代数式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据素材中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； （2）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知，新能源车的每千米行驶费用为（元）． （2）解：由题意列分式方程得：， 整理得，， 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴，， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元． 19．（8分）（25-26八年级上·山西晋中·期末）综合与探究我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题： (1)化简：_____________，_____________； (2)若求的值； (3)根据以上规律计算下列式子的值： ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题围绕二次根式的分母有理化展开，综合考查平方差公式的应用、代数式求值、裂项相消求和等核心知识点，重点考查对“有理化因式”的理解及“裂项相消”这种简化求和的技巧． （1）对于，观察分母是“”，其有理化因式为“”，分子分母同乘该因式，利用平方差公式计算分母，即可得出结果，同理； （2）先对、分别分母有理化，得到，．再计算和，最后代入代数式即可； （3）将原式每一项按此规律展开，得到：，观察到中间项(如与、与等)相互抵消，最终只剩下首项的和末项的，从而得到结果． 【详解】（1）解：对于，分子分母同乘，得 ； 对于，分子分母同乘，得 ． 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ， ∴； （3）解： ． 20．（8分）（24-25八年级下·四川巴中·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹，画图过程用虚线，画图结果用实线）． (1)在图1中画一条线段，使它平分四边形的面积； (2)在图2的边上画点E，使． 【答案】(1)见解析（答案不唯一，过对角线交点O即可） (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质． （1）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形作图即可； （2）如图，点向右4个格点，向下3个格点为，连接，则是等腰直角三角形，则，与的交点即为所求； 【详解】（1）解：由题意知，，，， ∴四边形是平行四边形； 则连接，交于O，做一条过O的线段即可； （2）解：如图，取格点M，连接交于E，点即为所求； 证明：由勾股定理可知：，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即． 21．（10分）推行“双减”政策后，为了解某市初中生每周校外锻炼身体的时长（单位：）的情况，在全市随机抽取部分初中生进行调查，按五个组别（A组：；B组：；C组：；D组：；E组：）进行分类整理，并绘制了如图所示两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解决下列问题： (1)本次调查的总人数为_________，E组所在扇形的圆心角度数为_________； (2)请将频数分布直方图补充完整； (3)所抽取初中生中每周校外锻炼身体的时长不少于的有多少人？占所抽取初中生的百分之几? 【答案】(1)、 (2)见解析 (3)人； 【分析】（1）由频数分布直方图可知组有人，由扇形统计图可知，组人数占抽查人数的，用除以它所对应的百分比即可求出本次调查的总人数；根据组占抽查人数的百分比求出组所对应的扇形圆心角度数； （2）用抽查的总人数减去已知的人数，求出组所对应的人数，补充频数分布直方图； （3）利用频数分布直方图计算出抽查的名初中生每周校外锻炼身体的时长不少于的人数，再求出所占的百分比即可． 【详解】（1）解：由条形统计图可知组有人，由扇形统计图可知，组人数占抽查人数的， 这次抽样调查的样本容量是， 由条形统计图可知组有人， 组所在扇形的圆心角的大小是； （2）解：组人数为（人）， 补全图形如下： （3）解：所抽取初中生中每周校外锻炼身体的时长不少于的有（人）， 占所抽取初中生的． 22．（10分）（25-26七年级上·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以1/秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以2/秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒． (1)当四边形是矩形时，直接写出t的值为 ； (2)在点P，Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长． 【答案】(1)； (2)4 【分析】（1）利用时间路程速度，可确定t的取值范围，当运动时间为t（）时，，，，，根据四边形是矩形（即），可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值； （2）根据四边形是菱形（即），可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值，将其代入中，可求出的长，再利用勾股定理，即可求出的长． 【详解】（1）解：（秒），（秒）． 当运动时间为t（）时，，，，， 根据题意得：， 解得：t， ∴当四边形是矩形时，t的值为． 故答案为：； （2）解：当四边形为菱形时，， ∴， 解得：， ∴， ∴ ． 答：的长为． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、勾股定理、菱形的性质以及矩形的性质，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 23．（12分）（25-26八年级上·北京·月考）阅读下列材料，并解答问题： 【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式． 例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 方法1：； 方法2：由分母为，可设（a，b为待确定的系数）， ， 对于任意x，上述等式均成立， ，解得， ． ， 这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 【材料2】对于式子，由知的最小值为1，所以的最大值为3，所以的最大值为5． (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式； (3)当时，求分式的最大值． 【答案】(1)真 (2) (3)最大为1 【分析】本题主要考查了分式的基本概念、分式的基本性质、分式的混合运算和化简，阅读材料获得信息再进行化简计算是解题的关键． （1）根据分子次数为0，分母次数为1，可作出判断． （2）利用已知分式，将其转化为整数与真分数的和的形式，可得答案． （3）先求出的最小值，进而可求出 的最大值． 【详解】（1）解：是真分式． （2）解：设， 则 ， 解得， . （3）解：考虑，求其最小值， ∵，， 当时，最小为1 最大为1． 24．（12分）（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)是定值，6 (3) 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）过作于点，过作于点，可证四边形是正方形，得，进而证明，得到，即可求证； （）证明，可得，即得，即可求解； （3）由矩形为正方形，得到，根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为，此时，有最小值，即可解答． 【详解】（1）证明：如图，过作于点，过作于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是正方形对角线的一点， ∴， ， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：是定值，定值为，理由如下： ∵矩形为正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴是定值，定值为． （3）解：∵矩形为正方形， ∴， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为， 此时，有最小值， 由（2）知， ∴的最小值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学下学期期末学情自测·培优卷 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟．本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D．前三个都是 2．（25-26九年级上·广东中山·期末）如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（精确到0.01）（    ） 投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500 投中次数（m） 28 60 78 104 124 153 252 A．0.56 B．0.51 C．0.50 D．0.52 3．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河南周口·期末）估计的值应在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．无法确定 5．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·安徽合肥·三模）已知三个实数满足则下列结论一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·云南昆明·期末）若关于x的分式方程无解，则m的值是（   ） A．1或2 B．2或3 C．1或3 D．3或0 8．已知m、n是正整数，若+是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（　　） A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是 9．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，，，平分交于点E，连接，取的中点F，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·福建泉州·期末）已知，长方形中，，点是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过作于点，连接，取的中点，连接，．点在运动过程中，下列结论：①；②；③当点和点互相重合时，；④．正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·河北邢台·期末）若，则____________． 12．（25-26八年级上·广东汕头·期末）若关于的分式方程的解为正整数，则整数的一个值可以是___________． 13．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为______． 14．如图，垂直平分，交于E，，垂足为A，，则的长为_____． 15．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交于点，若，，则的长为______． 16．（24-25八年级下·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C为x轴正半轴上一动点，以，为边作矩形，点E为线段的延长线上一点，且，D为的中点，连接交于点F，连接，当三角形为等腰三角形时，点B的坐标为________． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·山东威海·期末）（1）分解因式：； （2）利用因式分解计算：． 18．（6分）（25-26八年级上·陕西榆林·期末）问题背景：随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车进行使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素材1：燃油车油箱容积：50升，油价：8元/升，续航里程：千米；新能源车电池电量：100千瓦时，综合电价：1元/千瓦时，续航里程：千米．（续航里程是指加满油或充满电汽车能够连续行驶的最远距离） 素材2：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 解决问题： (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用； (2)分别求出这两款车的每千米行驶费用． 19．（8分）（25-26八年级上·山西晋中·期末）综合与探究我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题： (1)化简：_____________，_____________； (2)若求的值； (3)根据以上规律计算下列式子的值： ． 20．（8分）（24-25八年级下·四川巴中·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹，画图过程用虚线，画图结果用实线）． (1)在图1中画一条线段，使它平分四边形的面积； (2)在图2的边上画点E，使． 21．（10分）推行“双减”政策后，为了解某市初中生每周校外锻炼身体的时长（单位：）的情况，在全市随机抽取部分初中生进行调查，按五个组别（A组：；B组：；C组：；D组：；E组：）进行分类整理，并绘制了如图所示两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解决下列问题： (1)本次调查的总人数为_________，E组所在扇形的圆心角度数为_________； (2)请将频数分布直方图补充完整； (3)所抽取初中生中每周校外锻炼身体的时长不少于的有多少人？占所抽取初中生的百分之几? 22．（10分）（25-26七年级上·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以1/秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以2/秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒． (1)当四边形是矩形时，直接写出t的值为 ； (2)在点P，Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长． 23．（12分）（25-26八年级上·北京·月考）阅读下列材料，并解答问题： 【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式． 例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 方法1：； 方法2：由分母为，可设（a，b为待确定的系数）， ， 对于任意x，上述等式均成立， ，解得， ． ， 这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 【材料2】对于式子，由知的最小值为1，所以的最大值为3，所以的最大值为5． (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式； (3)当时，求分式的最大值． 24．（12分）（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $