七年级数学下学期期末学情自测·培优卷（新教材沪科版，举一反三，测试范围：七下全册）

**基本信息** 七年级数学期末培优卷，120分钟120分，24题覆盖代数几何，精选多地区期末真题改编，通过新能源汽车费用计算、三角板叠放实验等情境，考查抽象能力、推理意识与应用意识，适配培优需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数分类、平行线判定、分式方程无解|跨年级真题改编，基础概念辨析| |填空题|6/18|整式展开不含某项、分式方程正整数解|逆向思维考查，如第11题不含x²项求参数| |解答题|8/72|新能源汽车费用对比（应用）、平方差公式探究（推理）、三角板叠放（几何直观）|分层设计，第21题结合社会热点，第24题数学实验培养创新意识|

七年级数学下学期期末学情自测·培优卷 【新教材沪科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·河南开封·期末）下列计算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘法法则，积的乘方法则，合并同类项法则，负整数指数幂的意义，单项式的乘法法则逐一计算后判断即可． 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B正确； 选项C：，C错误； 选项D：，D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，负整数指数幂，熟练掌握各知识点是解题的关键． 2．在​、、​、​、​​、0.1010010001…（两个 1 之间依次多一个 0）中，无理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查无理数，根据无理数的定义（无限不循环小数），进行判断即可． 【详解】解：在​、、​、​、​​、0.1010010001…（两个 1 之间依次多一个 0）中，无理数有、​​、0.1010010001…（两个 1 之间依次多一个 0）共3个； 故选C． 3．（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的判定定理逐项进行判断． 【详解】解：A.∵， ∴； B. ∵， ∴； C. ∵， ∴， 无法得出； D.∵， ∴； 【点睛】注意掌握“三线八角”模型和平行线的判定定理． 4．（25-26八年级上·云南昆明·期末）若关于x的分式方程无解，则m的值是（   ） A．1或2 B．2或3 C．1或3 D．3或0 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，先把分式方程化为整式方程得到，由于关于x的分式方程无解，分最简公分母为0分式方程有增根和化简后的整式方程无解两种情况可求得m． 【详解】解： 去分母，得， ． ∵关于x的分式方程无解， 当时，原方程无解， ∴， 当最简公分母， ， 当时，得， 综上m的值为1或， 故选A． 5．（24-25七年级上·浙江温州·期末）点，，在同一条数轴上，其中点，表示的数分别为，，若，则等于（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴和数轴上两点间的距离，明确实数与数轴的关系、清晰的分类是关键. 先根据数轴上两点间的距离得到，进而分类讨论即可得出答案. 【详解】解：∵A、B对应的实数分别为和1， ∴， ∵， ∴当在的右边时，， 当在的左边时， ∴的长为或； 故选：C . 6．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）已知，则计算的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题可通过换元法结合完全平方公式的变形进行求解，利用完全平方公式中平方和与乘积的关系转化计算． 【详解】解：设， ∵，且 又∵ ∴ 即 移项得 ∴ 即 故选：C． 7．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，直线，直线，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，两直线平行同位角相等，垂直的性质，对顶角相等．利用对顶角相等算出，利用三角形的外角性质求得，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如下图， 由题意得， ∵直线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 8．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘法规律的应用和有理数的乘方个位数字的周期性，关键是将和式简化并利用余数确定个位． 利用给定的乘法规律，将原算式转化为 ，再通过 的个位数字循环规律（周期为4）求 的个位数，进而得到最终结果的个位数字． 【详解】解：∵ 根据规律，， ∴ ， 令 ，，则： ∵ 的个位数字循环为：2， 4， 8， 6（周期为4）， 计算 余 2， ∴ 的个位数字与 相同，为 4， ∴ 的个位数字为 ． 故算式值的个位数字为 3． 故选B. 9．（2024·安徽合肥·三模）已知三个实数满足则下列结论一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，因式分解等，将代入化简可得，将此代入可得，通过因式分解可得，从而可得，据此进行逐一判断，即可求解；掌握整式之间转化运算是解题的关键． 【详解】解：将代入， 得， ， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， A. ，结论错误，不符合题意； B. ，结论错误，不符合题意； C. ，结论错误，不符合题意； D. ，结论正确，符合题意． 故选：D． 10．（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接交于点，，点、在上，连接、，已知，，，下列结论：与互为同位角；②；③平分；④．其中正确的结论是（   ） A．②③ B．①②③ C．①④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，同位角的定义，由同位角的定义即可判断①；由内错角相等，两直线平行即可判断②；证明即可判断③；求出即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①与互为同旁内角，故①错误，不符合题意； ②∵， ∴，故②正确，符合题意； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分，故③正确，符合题意； ④∵，， ∴， ∴，故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的有②③， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．已知将展开的结果不含和项，则__________ 【答案】 【分析】先利用多项式乘法法则把多项式展开，再根据结果不含和项可知，含和项的系数为0，即可求出、的值． 【详解】解： ， 展开的结果不含和项， ，， ． 12．已知，求__________． 【答案】8 【分析】根据幂的乘方可得，，再根据同底数幂的乘法法则解答即可． 【详解】解：∵， 即， ∴， 解得， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握幂的运算法则． 13．（25-26八年级上·河北邢台·期末）若，则____________． 【答案】0 【分析】题目主要考查因式分解，求代数式的值，熟练掌握是解题关键． 先对所求代数式提取公因式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算求解． 【详解】解： 将，代入上式，得 原式 ， 故答案为：0． 14．（25-26八年级上·广东汕头·期末）若关于的分式方程的解为正整数，则整数的一个值可以是___________． 【答案】(或或，写出一个即可) 【分析】本题考查分式方程的解法，关键是先解出分式方程的解，再根据解为正整数且不为增根的条件，推导整数的取值． 【详解】解：分式方程两边同乘，得， 展开整理得，即， 解得； ∵方程的解为正整数，且， ∴是8的正约数，2，4，， 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时(增根，舍去)； 故整数的一个值可以是(或或)； 故答案为：(或或，写出一个即可)． 15．（25-26九年级上·广东茂名·期末）一个正方体纸盒体积为80，设正方体的棱长为x，估计（a，b是连续的两个整数），则的值为______． 【答案】9 【分析】本题主要考查了立方根的定义，无理数的值的估算，熟练掌握立方根的定义与无理数的值的估算是解题的关键． 根据正方体体积公式，棱长x满足，估算的值介于4和5之间即可求解． 【详解】解：∵正方体的体积公式为， ∴， 解得， ∵， ∴，即，， ∴． 故答案为：9． 16．（24-25七年级下·吉林松原·期中）如图，，点M在直线，之间，是的平分线，连接，，在的延长线上取点N，连接，若，，则的度数为______． 【答案】/45度 【分析】本题考查平行线的性质及应用，涉及角平分线，角的和差等知识，解题的关键是掌握平行线的性质．过作，过作，设，可得，由 ，可得，从而，又，即知，故． 【详解】解：过作，过作，如图： 设，则， ， ∵平分， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·河南开封·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)0； (2) 【分析】本题考查了整式的运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先算积的乘方，再算单项式的乘法，然后合并同类项即可； （2）先将题目中的式子展开，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．（6分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算算术平方根、立方根，再计算加减运算即可； （2）先计算有理数的乘方、算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减运算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 19．（8分）（25-26八年级上·山东威海·期末）（1）分解因式：； （2）利用因式分解计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了提公因式法、平方差公式、完全平方公式在因式分解及简便计算中的应用，熟练掌握因式分解的方法和乘法公式的结构特征是解题的关键． （1）先提取公因式 ，再将括号内的式子整理为平方差的形式，利用平方差公式分解，最后对分解后的因式用完全平方公式进一步化简； （2）观察式子结构，将 转化为 ，使原式符合完全平方公式的形式，再利用公式进行简便计算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 20．（8分）（2025·河北邯郸·二模）已知分式． (1)化简分式； (2)若的值为方程的解，求该分式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，分式的混合运算． （1）根据分式混合运算法则，先算小括号里面的分式减法，然后再算分式的除法即可； （2）先把分式方程转变为整式方程，解分式方程求出x的值，然后检验，把分式方程的解代入（1）中化简后的分式，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：对于方程， 去分母，得， 解得． 检验：把代入，得， 分式方程的解为， 原分式的值为． 21．（10分）（25-26八年级上·陕西榆林·期末）问题背景：随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车进行使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素材1：燃油车油箱容积：50升，油价：8元/升，续航里程：千米；新能源车电池电量：100千瓦时，综合电价：1元/千瓦时，续航里程：千米．（续航里程是指加满油或充满电汽车能够连续行驶的最远距离） 素材2：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 解决问题： (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用； (2)分别求出这两款车的每千米行驶费用． 【答案】(1)元 (2)燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元 【分析】本题考查了分式方程的应用、列代数式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据素材中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； （2）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知，新能源车的每千米行驶费用为（元）． （2）解：由题意列分式方程得：， 整理得，， 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴，， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元． 22．（10分）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形 (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母表示） (3)【应用】请应用这个公式完成下列各题 ①已知，则的值为 ②计算： (4)【拓展】①结果的个位数字为 ②计算： 【答案】(1)， (2) (3)①；② (4)①；② 【分析】（1）根据两个图形中阴影部分的形状表示出面积即可； （2）由题意得两个图形中阴影部分的面积相等，令（1）中两个式子相等即可； （3）①根据（2）中结论可得，代入数据计算即可；②将原式变形为，利用（2）中结论计算即可； （4）①将原式变形为，再利用（2）中结论计算即可；②将原式变形为，再利用（2）中结论计算即可． 【详解】（1）解：图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为； （2）解：由题意得两个图形中阴影部分的面积相等， 则； （3）解：①由（2）中结论可得， ∵， ∴； ② ； （4）解：① ， ∵； ∴2的正整数次方的尾数为2，4，8，6循环， ∵， ∴尾数为6，即结果的个位数字为； ②原式 ． 23．（12分）（25-26八年级上·北京·月考）阅读下列材料，并解答问题： 【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式． 例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 方法1：； 方法2：由分母为，可设（a，b为待确定的系数）， ， 对于任意x，上述等式均成立， ，解得， ． ， 这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 【材料2】对于式子，由知的最小值为1，所以的最大值为3，所以的最大值为5． (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式； (3)当时，求分式的最大值． 【答案】(1)真 (2) (3)最大为1 【分析】本题主要考查了分式的基本概念、分式的基本性质、分式的混合运算和化简，阅读材料获得信息再进行化简计算是解题的关键． （1）根据分子次数为0，分母次数为1，可作出判断． （2）利用已知分式，将其转化为整数与真分数的和的形式，可得答案． （3）先求出的最小值，进而可求出 的最大值． 【详解】（1）解：是真分式． （2）解：设， 则 ， 解得， . （3）解：考虑，求其最小值， ∵，， 当时，最小为1 最大为1． 24．（12分）（25-26七年级上·江苏扬州·期末）数学实验：玩转三角板 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中，，． (1)填空：与的数量关系是_________，理由是_________； (2)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合．探究一下问题： ①当时，画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？若存在，请画出图形直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，同角的余角相等 (2)①图见解析，；②存在，或或或或． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，几何图形中的角度计算，余角的性质．数形结合并分类讨论是解题的关键． （1）由题意知，，则，然后作答即可； （2）①当时，作，则，根据，求解作答即可； ②由题意知，分四种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ， 故答案为：，同角的余角相等； （2）解：①如图3，当时，作， ，， ， ，， ， ； ②存在，如图3，当时，； 如图4， 当时，， ； 如图5， 当时，； 如图6， 当时，， ； 如图7， 当时，， ． 综上，这两块三角尺存在一组边互相平行，此时的值为或或或或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学下学期期末学情自测·培优卷 【新教材沪科版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·河南开封·期末）下列计算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在​、、​、​、​​、0.1010010001…（两个 1 之间依次多一个 0）中，无理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·云南昆明·期末）若关于x的分式方程无解，则m的值是（   ） A．1或2 B．2或3 C．1或3 D．3或0 5．（24-25七年级上·浙江温州·期末）点，，在同一条数轴上，其中点，表示的数分别为，，若，则等于（ ） A． B． C．或 D．或 6．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）已知，则计算的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，直线，直线，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 9．（2024·安徽合肥·三模）已知三个实数满足则下列结论一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接交于点，，点、在上，连接、，已知，，，下列结论：与互为同位角；②；③平分；④．其中正确的结论是（   ） A．②③ B．①②③ C．①④ D．①②④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．已知将展开的结果不含和项，则__________ 12．已知，求__________． 13．（25-26八年级上·河北邢台·期末）若，则____________． 14．（25-26八年级上·广东汕头·期末）若关于的分式方程的解为正整数，则整数的一个值可以是___________． 15．（25-26九年级上·广东茂名·期末）一个正方体纸盒体积为80，设正方体的棱长为x，估计（a，b是连续的两个整数），则的值为______． 16．（24-25七年级下·吉林松原·期中）如图，，点M在直线，之间，是的平分线，连接，，在的延长线上取点N，连接，若，，则的度数为______． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·河南开封·期末）计算 (1)； (2)． 18．（6分）计算： (1) (2) 19．（8分）（25-26八年级上·山东威海·期末）（1）分解因式：； （2）利用因式分解计算：． 20．（8分）（2025·河北邯郸·二模）已知分式． (1)化简分式； (2)若的值为方程的解，求该分式的值． 21．（10分）（25-26八年级上·陕西榆林·期末）问题背景：随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车进行使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素材1：燃油车油箱容积：50升，油价：8元/升，续航里程：千米；新能源车电池电量：100千瓦时，综合电价：1元/千瓦时，续航里程：千米．（续航里程是指加满油或充满电汽车能够连续行驶的最远距离） 素材2：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 解决问题： (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用； (2)分别求出这两款车的每千米行驶费用． 22．（10分）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形 (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母表示） (3)【应用】请应用这个公式完成下列各题 ①已知，则的值为 ②计算： (4)【拓展】①结果的个位数字为 ②计算： 23．（12分）（25-26八年级上·北京·月考）阅读下列材料，并解答问题： 【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式． 例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 方法1：； 方法2：由分母为，可设（a，b为待确定的系数）， ， 对于任意x，上述等式均成立， ，解得， ． ， 这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 【材料2】对于式子，由知的最小值为1，所以的最大值为3，所以的最大值为5． (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式； (3)当时，求分式的最大值． 24．（12分）（25-26七年级上·江苏扬州·期末）数学实验：玩转三角板 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中，，． (1)填空：与的数量关系是_________，理由是_________； (2)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合．探究一下问题： ①当时，画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？若存在，请画出图形直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $