期末真题专项训练07 概率8大考点【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

期末真题专项训练07 概率 【考点一】计算古典概型问题的概率 【考点五】互斥事件与对立事件关系的辨析 【考点二】判断所给事件是否是互斥关系 【考点六】利用对立事件的概率公式求概率 【考点三】互斥事件的概率加法公式 【考点七】独立事件的判断 【考点四】利用互斥事件的概率公式求概率 【考点八】独立事件的乘法公式 【考点一】计算古典概型问题的概率 1．（24-25高一下·云南昆明·期末）某地区公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行了调查．调查中使用了下面两个问题： 问题一：你的生日日期是不是奇数？ 问题二：你是否经常吸烟？ 调查者设计了一个随机化装置：一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，最后收集回来60个小石子，则可以估计出该地区经常吸烟的中学生所占的百分比约为（假设一年为365天，其中日期为奇数的天数为186天）（   ） A．9% B．14% C．16% D．32% 【答案】A 【分析】根据摸到白球和红球的概率都为，再结合一年365天中，阳历为奇数的有186天，即可估计对应人数. 【详解】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子中，随机摸出1个球，摸到白球和红球的概率都为， 因此，这200人中，回答了第一个问题的有100人， 而一年365天中，阳历为奇数的有186天，所以对第一个问题回答“是”的概率为， 所以这100个回答第一个问题的学生中，约有51人回答了“是”， 从而可以估计，在回答第二个问题的100人中，约有9人回答了“是”， 所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为.故A正确. 故选：A. 2．（24-25高一下·山东青岛·期末）若，则为整数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用列举法求出样本空间，列举出满足条件的样本点，然后可得概率. 【详解】从中任取两个数的样本空间为： ，共25个. 使为整数的样本点有，共8个. 所以为整数的概率为. 故选：C 3．（24-25高一下·新疆喀什·期末）从字母a、b、c、d中任取两个不同的字母，则取到字母a的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用列举法，列举出总事件数以及符合题目的事件数，根据古典概型的概率计算，可得答案. 【详解】由题意可得基本事件有，，，，，，共种情况； 符合题意的基本事件有，，，共种情况. 故选：A. 4．（24-25高一下·河南平顶山·期末）现有4名男志愿者和2名女志愿者报名参加第21届文博会的服务工作，从这6名志愿者中随机抽取2人安排在文博会的A展区工作，则抽取的2名志愿者中有一男一女的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】我们需要先求出从这6名男志愿者中随机抽取的2人的所有情况数，再求出抽取的2名志愿者中有一男一女的情况数，利用古典概型公式即可求出. 【详解】4名男志愿者用表示，2名女志愿者用表示， 从这6名男志愿者中随机抽取的2人的基本事件有：共15种情况， 其中抽取的2名志愿者中有一男一女的基本事件有：共有8个基本事件， 抽取的2名志愿者中有一男一女的概率. 故选：. 5.（24-25高一下·陕西·期末）已知甲盒中有3个红球和2个黄球，乙盒中有2个红球和1个黄球．现从甲盒中随机抽取1个球放入乙盒中，搅拌均匀后，再从乙盒中随机抽取1个球，此球恰好为红球的概率是_____ 【答案】/ 【分析】分从甲盒中取出的球是红球和黄球两种情况求概率，然后相加可得. 【详解】若从甲盒中抽到黄球放入乙盒，则从乙盒中抽到红球的概率为， 若从甲盒中抽到红球放入乙盒，则从乙盒中抽到红球的概率为， 所以从乙盒中抽到红球的概率为. 故答案为： 6．（24-25高一下·安徽滁州·期末）柜子中有两双不同的鞋，从中随机取出两只，则事件“取出的鞋不是同一双鞋”的概率为________. 【答案】 【分析】4只鞋，分别设为，其中为一双，为一双，先求出总的情况数，再得到取出的鞋不是同一双鞋的情况数，相除得到答案. 【详解】4只鞋，分别设为，其中为一双，为一双， 从中随机取出两只，有6种情况，分别为， 其中“取出的鞋不是同一双鞋”的情况为，有4种情况， 故“取出的鞋不是同一双鞋”的概率为. 故答案为： 7．（24-25高一上·山东威海·期末）某学校体育部有5名学生干部，其中高一2名，高二3名．从这5名学生中随机选2名组织校体育活动，则这2名学生来自不同年级的概率为______． 【答案】/ 【分析】列出所有的样本空间以及满足题意的情况数，根据古典概型的概率计算公式即可得到答案. 【详解】2名高一学生干部记为：a，b；3名高二学生干部记为：，，， 则样本空间 共含有10个样本点， 设事件表示“这2名学生来自不同年级”， 则包含，即， 所以这2名学生来自不同年级的概率为. 故答案为：. 8.（25-26高一下·全国·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，设复数． (1)求事件“为实数”的概率； (2)求事件“”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若为实数，则该复数的虚部为0，可解得，所以第二次抛掷出现的点数的概率为，即事件“为实数”的概率为； （2）由题意，结合复数的模的计算，有，逐个分析所有的可能，先确定的取值，再分析可能的取值，经计算，共有9种情况下可使事件“”成立，又，的取值情况共有种，进而可求得该事件的概率. 【详解】（1）若为实数，即为实数，所以， 故该事件只与第二次抛掷骰子有关，与第一次抛掷骰子无关， 又依题意，第二次抛掷出现的点数可取1，2，3，4，5，6， 故出现的概率为， 即事件“为实数”的概率为. （2）由已知， 可知，的值只能取1，2，3， 当时，，即可取1，2，3，4， 当时，，即可取1，2，3，4， 当时，，即可取2， 由上可知，共有9种情况下可使事件“”成立， 又，的取值情况共有种， 故事件“”的概率为. 【考点二】判断所给事件是否是互斥关系 9.某射手射击一次，命中的环数可能为0，1，2，…，10共11种，设事件A：“命中环数大于8”，事件B：“命中环数大于5”，事件C：“命中环数小于4”，事件D：“命中环数小于6”，在事件A、B、C、D中，互斥事件有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【分析】根据互斥事件的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】， 所以与、与，与，与是互斥事件， 共对. 故选：D 10.从名男生和名女生中任选名学生参加座谈会，则下列事件互斥的是（    ） A．“恰好选中名男生”与“恰好选中名女生” B．“至少选中名男生”与“至少选中名女生” C．“选中名男生”与“选中名女生” D．“至多选中名男生”与“至多选中名女生” 【答案】C 【分析】列举出每个选项中每个事件所包含的基本情况，结合互斥事件的定义判断可得出结论. 【详解】从名男生和名女生中任选名学生参加座谈会，共有种情况：男、女，男女. 对于A选项，“恰好选中名男生”与“恰好选中名女生”为同一事件，A不满足条件； 对于B选项，“至少选中名男生”包含：男、男女. “至少选中名女生”包含：女，男女，B不满足条件； 对于C选项，“选中名男生”与“选中名女生”互斥，C满足条件； 对于D选项，“至多选中名男生”包含女，男女， “至多选中名女生”包含男、男女，D不满足条件. 故选：C. 11.（多选）（24-25高一下·湖南邵阳·期末）在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.1，0.2，0.3，0.4，则下列说法错误的是（    ） A．与C是互斥事件，也是对立事件 B．与D是互斥事件，也是对立事件 C．与是互斥事件，但不是对立事件 D．A与是互斥事件，也是对立事件 【答案】ABC 【分析】利用互斥事件与对立事件的定义逐项判断即可. 【详解】因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以与C也互斥， 但是，又， 所以与C不是对立事件，故A错误； 因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以与D也互斥， 但是，， 所以与D不是对立事件，故B错误； 因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以与也互斥， 又因为，， 又因为，所以与是对立事件，故C错误； 因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以A与也互斥， 又因为， 所以，所以A与也是对立事件，故D正确． 故选：ABC. 12.一枚质地均匀的骰子，拋掷三次，事件A为“三次抛掷的点数均为奇数”，事件B为“恰有一次点数为偶数”，事件C为“至少有两次点数是偶数”，则__________． 【答案】1 【分析】判断试验的空间与事件的关系，即可求解作答. 【详解】依题意，一枚骰子抛掷三次的试验的所有基本事件构造的空间，而事件两两互斥， 所以. 故答案为：1 【考点三】互斥事件的概率加法公式 13.（24-25高一下·浙江宁波·期末）柜子里有3双不同的手套，现从中随机地取出2只．若表示事件“取出的手套是一只左手一只右手的，但不是一双手套”，表示事件“取出的手套都是右手的”，表示事件“取出的手套不成双”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过列举得到对应基本事件，再逐项判断即可. 【详解】记三双不同的手套为：白1，白2；红1，红2；黑1，黑2，（1为左，2为右） 从中随机取出2只共有：白1白2，白1红1，白1红2，白1黑1，白1黑2，白2红1， 白2红2，白2黑1，白2黑2，红1红2，红1黑1，红1黑2，红2黑1，红2黑2，黑1黑2，共15种情况， 事件包含：白1红2，白1黑2，白2红1，白2黑1，红1黑2，红2黑1， 6个基本事件， 事件包含：白2红2，白2黑2，红2黑2，3个基本事件， 事件包含：白1红1，白1红2，白1黑1，白1黑2，白2红1，白2红2，白2黑1， 白2黑2，红1黑1，红1黑2，红2黑1，红2黑2，12个基本事件， ，， ，， 对于A，，A错误； 对于B，事件互斥，则，B正确； 对于C：，C错误； 对于D，，，D错误. 故选：B 14．（23-24高一下·重庆·期末）(改编)已知两个互斥事件A， B满足，，则 （    ） A．0.4 B．0.3 C．0.6 D．0.1 【答案】B 【分析】根据互斥事件概率的加法公式求解. 【详解】因为两个互斥事件A， B， ， 所以. 故选：B 15．（23-24高一下·新疆巴州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据概率加法公式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：A 16.（23-24高一下·安徽阜阳·期末）一品牌机器保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种机器在使用一年内维修次数最多是3次，其中维修1次及以上占，维修2次占，维修3次占，某人购买了一台该机器，则一年内恰好维修1次的概率为______． 【答案】 【分析】根据并事件的性质即可求解. 【详解】由题意可得一年内恰好维修1次的概率为， 故答案为： 17.已知事件，，两两互斥，若，，，则_________． 【答案】 【分析】先利用互斥事件的概率公式求出，再利用互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】因为事件，，两两互斥， 所以， 因为，所以， 又因为，所以， 故答案为：. 18.如果事件A与事件B互斥，那么=_________. 【答案】 【分析】根据概率的性质即可得结果. 【详解】由，事件互斥，即， 所以. 故答案为： 19.某人射击一次命中7—10环的概率如下表 命中环数 7 8 9 10 命中概率 0.16 0.19 0.28 0.24 计算这名射手在一次射击中： (1)射中9环或10环的概率； (2)至少射中7环的概率； (3)射中环数不足8环的概率. 【答案】(1)0.52； (2)0.87； (3)0.29. 【分析】（1）（2）（3）根据并事件的概率公式进行求解即可. 【详解】（1）设“射中10环” 、“射中9环”、“射中8环”、“射中7环”、“射中7环以下”的事件分别为. 因此, 所以射中10环或9环的概率为0.52； （2）， 至少射中7环的概率为0.87； （3）， ， 射中环数不足8环的概率为0.29. 20.由经验得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如下表 排队人数 0 1 2 3 4 5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 (1)至多有2人排队的概率是多少? (2)至少有2人排队的概率是多少? 【答案】（1）0.56　（2）0.74 【分析】（1）“至多2人排队”是排队人数为0、1、2三个事件的和事件，由互斥事件的概率公式可得； （2）“至少2人排队”与“少于2人排队”是对立事件；“少于2人排队”是排队人数为0、1二个事件的和事件，利用互斥事件的概率公式和对立事件的概率关系可得． 【详解】（1）记没有人排队为事件A，1人排队为事件B． 2人排队为事件C，A、B、C彼此互斥． P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56 （2）记至少2人排队为事件D，少于2人排队为事件A+B，那么事件D与A+B是对立事件，则 P(D)=P()=1﹣(P(A)+P(B))=1﹣(0.1+0.16)=0.74． 【考点四】利用互斥事件的概率公式求概率 21.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.52，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是（    ） A．0.2 B．0.28 C．0.52 D．0.8 【答案】A 【分析】根据题意，摸出球为红球、白球、黑球事件为两两互斥事件，根据概率加法公式可求解. 【详解】设“摸出红球”为事件M，“摸出白球”为事件N，“摸出黑球”为事件E，且为两两互斥事件，又口袋内只有这三种球， 则，所以. 故选：A. 22．人类通常有O，A，B，AB四种血型，某一血型的人可以给哪些血型的人输血，是有严格规定的．设X代表O，A，B，AB中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血者，则输血规则如下：①X→X；②O→X；③X→AB．已知我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，按照上述规则，若受血者为A型血，则一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为（       ） A．0.31 B．0.48 C．0.65 D．0.69 【答案】D 【分析】由题可得O型血和A型血可以为这位受血者输血，即可求出. 【详解】若受血者为A型血，则O型血和A型血可以为这位受血者输血，所以一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为. 故选：D. 23.（多选）（23-24高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知事件两两互斥，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据互斥事件的概率加法公式计算可得. 【详解】因为事件两两互斥，所以，故D正确； ，则，故A正确； ，则，故B错误； ，故C正确. 故选：ACD 24．（多选）设为两个互斥事件，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据已知条件，结合互斥事件的概念，逐一判断各个选项即可得解. 【详解】解：因为为两个互斥事件，且， 所以，即，故A正确，B错误； ，故C正确； 是必然事件，所以，故D正确. 故选：ACD. 25．（多选）甲、乙两人下棋，和棋的概率是，乙获胜的概率是，则下列的说法正确的是（    ） A．甲获胜的概率是 B．甲不输的概率是 C．乙不输的概率是 D．乙输的概率是 【答案】AC 【分析】利用互斥事件的概率公式计算即可得出答案. 【详解】解：甲、乙两人下棋，和棋的概率是，乙获胜的概率是， 则甲获胜的概率为，故A正确； 甲不输的概率为，故B错误； 乙不输的概率为，故C正确； 乙输的概率即为甲赢的概率为，故D错误. 故选：AC. 26.已知与为互斥事件，且，，则________． 【答案】/ 【分析】利用互斥事件的概率公式可求得的值. 【详解】因为与为互斥事件，则， 因此，. 故答案为：. 27．（24-25高一上·辽宁·期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.现有一把初始状态的算盘如图所示，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（简称上珠）代表，下面一粒珠子（简称下珠）代表，五粒下珠表示的数的大小等于同组一粒上珠表示的数的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被整除”，“表示的四位数能被整除”，则__________. 【答案】/ 【分析】利用古典概型的概率公式计算出、，即可求出的值. 【详解】因为只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示或， 因为个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上， 所以所得的四位数的个数为个， 能被整除的四位数，数字和各出现个，这样的四位数有：、、、、、，共个， 所以， 能被整除的四位数，个位数为，则这样的四位数为：、、、、、、、，共个， 所以， 所以，. 故答案为：. 28.（23-24高一下·四川攀枝花·期末）袋中有6个大小和质地相同的小球，分别为黑球、黄球、红球，从中任意取一个球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或红球的概率是. (1)从中任取一个球，得到黑球、黄球、红球的概率各是多少？ (2)从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、红球为事件，，，由于，，为互斥事件，列出方程组，由此能求出从中任取一球，得到黑球、黄球、红球的概率． （2）黑球、黄球、红球个数分别为2，1，3，得到的两个球同色的可能有：两个黑球只有1种情况，两个红球共3种情况，而从6个球中取出2个球的情况共有15种，由此能求出得到的两个球颜色不相同的概率． 【详解】（1）从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、红球为事件，，， 由于，，为互斥事件， 根据已知得， 解得， 从中任取一球，得到黑球、黄球、红球的概率分别是； （2）由（1）知黑球、黄球、红球个数分别为2，1，3， 得到的两个球同色的可能有：两个黑球只有1种情况，两个红球共3种情况， 而从6个球中取出2个球的情况共有15种， 所以所求概率为， 则得到的两个球颜色不相同的概率是． 【考点五】互斥事件与对立事件关系的辨析 29.（24-25高一上·安徽淮北·期末）掷两枚骰子，设事件两骰子出现点数之和为奇数，两骰子出现点数之和为偶数，则（   ） A．事件和事件是互斥但不对立事件 B． C．事件和事件是对立事件 D．以上均不对 【答案】C 【详解】由互斥事件和对立事件的定义知，事件和事件互斥且对立，所以A错误，C正确， 又（必然事件），所以B错误. 30．（24-25高一下·河南·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件“点数不大于4”，“点数大于3且小于6”，“点数是3的倍数”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，则（   ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 【答案】D 【分析】根据题意写出样本空间和各事件的样本点，再根据互斥和对立的定义，判断各选项正误. 【详解】抛掷一颗质地均匀的骰子，向上的点数为基本事件，则样本空间． ． 因为，所以A与B不互斥，A错误． 因为，所以B与C互斥，但不对立，B错误． 因为，所以C与D不互斥，C错误． 因为，所以D与E对立，D正确． 故选：D. 31．（23-24高一下·河北·期末）下列说法正确的是（    ） A．互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件 B．若，则事件A与事件B是对立事件 C．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为 D．事件A与事件B中至少有一个发生的概率不一定比A与B中恰有一个发生的概率大 【答案】D 【分析】根据互斥事件、对立事件和古典概型及其计算逐一判定即可． 【详解】对于A，由互斥事件和对立事件的关系可判断，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A错误; 对于B，由，并不能得出A与B是对立事件， 举例说明：现从a，b，c，d四个小球中选取一个小球，已知选中每个小球的概率是相同的， 设事件A表示选中a球或b球，则，事件B表示选中b球或c球，则，所以，但A，B不是对立事件，故B错误; 对于C，该试验的样本空间可表示为： ，共有10个样本点，其中能构成三角形的样本点有，共3个， 故所求概率，故C错误; 对于D，若A，B是互斥事件，事件A，B中至少有一个发生的概率等于A，B中恰有一个发生的概率，故D正确． 故选：D. 32．（23-24高一下·河北邢台·期末）一个袋子里装有2个红球和2个黑球，甲、乙每人随机不放回地取1个球，则互斥且不对立的两个事件是（    ） A．“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球” B．“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球” C．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球” D．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球” 【答案】C 【分析】由互斥，对立事件定义分析各选项可得答案. 【详解】A选项，“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球”是对立事件，故A错误； B选项，“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球”可以同时发生，不是互斥事件，故B错误； C选项，“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球”是互斥且不对立事件，故C正确； D选项，“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球”可以同时发生，不是互斥事件，故D错误. 故选：C. 33.（多选）（25-26高一上·河北保定·期末）下列说法正确的有（   ） A．数据的分位数是23 B．抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上的点数为1或4”，事件“向上的点数是奇数”，则 C．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 D．数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为27 【答案】BCD 【分析】对于A，根据百分位数的求法按步骤求解即可；对于B，明确事件，根据古典概型即可求解；对于C，根据对立事件的定义判断即可；对于D，根据平均数与方差的性质可判断. 【详解】对于A，将按从小到大的顺序排列为，因为，所以分位数是第7和第8个数据的平均数，即，故A错误； 对于B，由题意知事件“向上的点数为奇数或4”，所以，故B正确； 对于C，从中任选2名同学参加演讲比赛，有“两名男生”“一名男生一名女生”“全是女生”三种情况，而“至少一名男生”包含“两名男生”“一名男生一名女生”，所以“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件，故C正确； 对于D，根据平均数与方差的性质可知，的平均数为，方差为，故D正确. 故选：BCD. 34．（多选）（23-24高一下·四川达州·期末）如图，一个电路中有四个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．记“电路是通路”，“电路是断路”，“至少三个元件正常”，“恰有三个元件正常”，则（    ） A．与互斥，但不对立 B．与互斥，但不对立 C． D． 【答案】BC 【分析】分析各事件的含义，结合事件的互斥性和对立性判断选项A，B；分析的关联，判断选项C；分析的关联判断选项D． 【详解】选项A：电路不可能同时通路和断路，故，互斥成立； 全集是所有元件状态组合，覆盖了通路和断路所有情况，故是对立事件，故A错误； 选项B：表示至多两个元件正常，表示恰有三个元件正常， ，互斥成立，仅覆盖正常数，未包含 “四个元件都正常”，故不对立，故B正确； 选项C：恰有三个元件正常时，必有一个元件失效，由电路图可知： 任意三个元件正常时，电路均保持通路，即必然发生， ，故C正确； 选项D：“电路是断路”， 表示至多两个元件正常， 若正常，失效，此时正常元件数为2，但电路为通路， 故发生时不一定发生，故D错误． 故选：BC． 35．（多选）（24-25高一下·安徽宣城·期末）先后抛掷质地均匀的硬币两次，下列说法正确的是（    ） A．样本空间中一共含有4个样本点 B．事件“两次正面向上”发生的概率是 C．事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”是互斥事件 D．事件“至少一次正面向上”与事件“两次反面向上”是对立事件 【答案】ABD 【分析】根据列举法判断选项A；根据古典概型判断计算判断选项B；根据互斥事件、对立事件的概念判断选项C、D.. 【详解】对于A：样本空间中一共含有：正正，正反，反正，反反共4个样本点，故A正确； 对于B，两次正面向上含有一个样本点，故事件“两次正面向上”发生的概率是，故B正确； 对于C：当恰好一次正面向上，一次反面向上时， 事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”同时发生， 故不是互斥事件，故C错误； 对于D：事件“至少一次正面向上”与事件“两次背面向上”是对立事件，故D正确. 故选：ABD. 36．（多选）（24-25高一下·山西运城·期末）已知、是随机事件，则下列结论不正确的是（    ） A．互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 B．事件与事件中至少有一个发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率大 C．事件与事件同时发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率小 D．若、是两个随机事件，且，，则 【答案】BCD 【分析】根据对立事件和互斥事件的关系可判断A选项；取可判断BC选项；举特例可判断D选项. 【详解】对于A选项，互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，A对； 对于B选项，当时，事件与事件中至少有一个发生的概率一定和与中恰有一个发生的概率相等，B错； 对于C选项，当时，事件与事件同时发生的概率一定与与中恰有一个发生的概率相等，C错； 对于D选项，抛掷骰子一次，记事件向上的点数不小于，记事件向上的点数不大于， 则，所以，D错. 故选：BCD. 【考点六】利用对立事件的概率公式求概率 37.（24-25高一下·吉林长春·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6 【答案】C 【分析】根据对立事件与互斥事件的概率公式求解. 【详解】由和对立，可得，解得， 又∵随机事件和互斥，， ∴． 故选：C． 38才能进入第二次射击，且这两次射击相互独立．第一次未命中得0分，仅第一次命中得10分，两次都命中可得20分，那么小王此次考核得分不低于10分的概率是（   ） A．0.16 B．0.64 C．0.8 D．0.96 【答案】C 【分析】根据已知条件结合对立事件概率公式计算求解. 【详解】第一次未命中得0分，仅第一次命中得10分，两次都命中可得20分， 那么小王此次考核得分低于10分的概率是， 则小王此次考核得分不低于10分的概率是. 故选：C. 39.（多选）（24-25高一下·河北·期末）已知事件两两互斥，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用互斥事件满足的关系式，对选项一一分析求解，求出答案. 【详解】A选项，因为事件两两互斥， 所以， 则，所以，故A错误； B选项，，则，故B正确； C选项，，故C正确； D选项，，故D错误. 故选：BC. 40.（23-24高一下·山西大同·期末）有5张卡片，上面分别标有数字1，2，3，4，5，从中任取2张，则 (1)卡片上数字全是奇数的概率为________， (2)卡片上数字之积为偶数的概率为________. 【答案】 /0.3 /0.7 【分析】（1）从5张卡片中任取2张共10种取法, 卡片上数字全是奇数的有3种取法，由古典概型的概率计算公式可得概率； （2）方法一：卡片上数字之积为偶数的有7种取法，由古典概型的概率计算公式可得概率.方法二：“卡片上数字全是奇数”“卡片上数字之积为偶数”为对立事件，由（1）可知所求概率. 【详解】从标有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任取2张，有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10种取法． （1）卡片上数字全是奇数的有(1，3)，(1，5)，(3，5)，共3种取法，由古典概型的概率计算公式可得卡片上数字全是奇数的概率为. （2）方法一：卡片上数字之积为偶数的有(1，2)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(4，5)，共7种取法，由古典概型的概率计算公式可得卡片上数字之积为偶数的概率为. 方法二：从5张卡片中任取2张，有“卡片上数字全是奇数”“卡片上数字之积为偶数”两种结果，且二者必居其一，由(1)可知所求概率为1－＝. 故答案为：； 41．（23-24高一下·广东潮州·期末）设A、B、C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，，，则______. 【答案】 【分析】先利用对立事件的概率公式求得的值，再利用互斥事件的概率公式即可求得的值. 【详解】由与是对立事件，可得 由与是互斥事件，可得 . 故答案为： 42．（23-24高一下·河南商丘·期末）已知事件A和B互斥，且，，则______. 【答案】0.4/ 【分析】根据互斥事件及对立事件的概率相关知识进行求解. 【详解】∵事件A和B互斥，∴， 又，∴， ∴. 故答案为：0.4. 43.（24-25高一下·云南昆明·期末）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局． (1)设事件A=“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； (2)若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得样本总共有36个，符合的有12个，再利用古典概率即可求解； （2）记事件为第局甲胜，，记事件为甲恰好胜一局，有如下两种情况：①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜，再结合概率的乘法公式即可求解. 【详解】（1）因为骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型， 样本空间：共个样本点， 事件含有： 共12个样本点，故． （2）记事件为第局甲胜，，由题意知， 记事件为甲恰好胜一局，有如下两种情况： ①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜， 因为每局比赛结果相互独立，所以事件与与也独立，则 ， ， 因为，且事件与互斥， 所以， 所以甲恰好胜一局的概率为． 44．（23-24高一下·甘肃·期末）兰州机场停车场小型机动车收费标准为：30分钟内免费.停车时长在30分钟至1小时之间的，收费为5元/辆.超过1小时后，超出部分每小时收费5元，不足1小时按1小时计费24小时内最高收费50元.现有甲、乙二人在该机场临时停小型机动车，两人停车时间均大于半小时且不超过4小时. (1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于10元的概率为.求甲停车付费恰为5元的概率； (2)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为25元的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据题意结合对立事件的概率公式求解即可； （2）设甲停车付费元，乙停车付费元，其中，可能取值为5，10，15，20，然后利用列举法求解即可. 【详解】（1）设“甲临时停车付费恰为5元”为事件， 则， 所以甲临时停车付费恰为5元的概率为. （2）设甲停车付费元，乙停车付费元，其中，可能取值为5，10，15，20. 则甲、乙二人的停车费用的所有样本点为，，，，， ，，，，，，，， ，，共16种情形 其中，，，，这4种情形符合题意. 故“甲、乙二人停车付费之和为25元”的概率为 【考点七】独立事件的判断 45.（24-25高一下·山东青岛·期末）已知事件A，B，C满足：，，则下列结论正确的为（   ） A．若，则C与B相互对立 B．若，则 C．若事件A与B相互独立，则 D．若事件A与B相互独立，则 【答案】C 【分析】根据对立事件的概念可判断A；根据事件的包含关系可判断B；根据并事件的概率和独立事件概率关系可判断CD. 【详解】对于A，因为不一定互斥，所以由得不到C与B对立，错误； 对于B，若，则，错误； 对于C，若事件A与B相互独立，则， 则，正确； 对于D，若事件A与B相互独立，则相互独立， 则，错误. 故选：C 46.．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，A表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，B表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，C表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（    ） A．A与B为相互独立事件 B．A与C为互斥事件 C．B与C为相互独立事件 D．B与C为互斥事件 【答案】C 【分析】根据互斥事件的概念和独立事件的定义进行判断即可. 【详解】根据题意可知，. 第一次抛掷骰子的点数为2，且第一次抛掷骰子的点数为奇数的概率为0， 即，所以不相互独立，所以A错误； 第一次抛掷骰子的点数为奇数，两次抛掷骰子的点数之和为7的情况数有. 所以，所以相互独立，所以C正确； 第一次抛掷骰子的点数为2，且两次抛掷骰子的点数之和为7的情况数有， 这说明能同时发生，所以不是互斥事件，B错误； 第一次抛掷骰子的点数为奇数，两次抛掷骰子的点数之和为7的情况数有. 这说明能同时发生，所以不是互斥事件，D错误； 故选：C. 47．（24-25高一下·湖南永州·期末）一个袋子中有2个红球，4个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.记事件A：第一次取到红球，事件B：第二次取到绿球，事件C：两次取到同色球，事件D：两次取到异色球，则（    ） A．A与B互斥 B．A与C相互独立 C．C与D互为对立事件 D．B与D相等 【答案】C 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义即可判断AC；利用事件独立性的定义即可判断B；列出事件的样本空间即可判断D. 【详解】设2个红球为，4个绿球为，所以 ，， ，，， 由，所以A与B不互斥，故A错误； ， 因为，所以A与C不独立，故B错误； 由，所以C与D互为对立事件，故C正确； 显然，故D错误. 故选：C. 48．（24-25高一下·河北保定·期末）抛掷质地均匀的骰子两次，记第1次和第2次出现的点数分别为，，设事件A=“”，事件B=“”，事件C=“”，则（    ） A．A与B互斥 B．A与B相互独立 C． D． 【答案】B 【分析】对于AB，由互斥、独立事件的定义判断即可；对于CD，直接写出进行判断即可. 【详解】对于A，事件为第一次出现的点数为3且第二次出现的点数为4，这是可能发生的，故不互斥，故A错误； 对于B，由题意，所以，即A与B相互独立，故B正确； 对于C，事件C=“”包含的样本子空间为， 而事件包含的样本点对应的子空间为，故C错误； 对于D，，， 所以也不成立，故D错误. 故选：B. 49．（24-25高一下·新疆·期末）已知甲、乙两袋中分别装有编号为1、2、3、4的四个球．从甲、乙两袋中各取出一个球，每个球被取出的可能性相同．事件A：从甲袋中取出的球的编号是偶数；事件B：从乙袋中取出的球的编号是奇数；事件C：取出的两个球的编号都是偶数或都是奇数．给出下列命题：①事件A与事件B为互斥事件；②事件B与事件A相互独立；③事件C与事件A相互独立．那么这三个命题中真命题的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】写出总的情况以及事件A，B，C包含的情况，从而根据互斥事件和独立事件的定义进行判断，得到结论. 【详解】甲、乙两袋中各取出一个球，总的情况分别为， ，共16种， 其中事件A包含，共8种， 事件B包含，共8种， 事件C包含，共8种， 对于①，，故事件A与事件B不为互斥事件，为假命题； 对于②，，又， 故，事件B与事件A相互独立，为真命题； 对于③，，， 又，故，事件C与事件A相互独立，为真命题； 故选：C 50．（23-24高一下·广东广州·期末）一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4，5，6的6个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球，设事件表示“第一次摸到球的标号是偶数”，事件表示“第二次摸到球的标号是质数”，事件表示“两次摸到球的标号之和是9”，事件表示“两次摸到球的标号之和是10”.在上述四个事件中任选两个事件，它们相互独立的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型的概率公式求出各个事件的概率，再利用独立事件的概率公式判断事件之间的独立性，最后利用古典概型的概型公式即可. 【详解】偶数有；质数有；标号之和为的有； 标号之和为的有， 样本空间包含的样本点个数为， 由于质数的个数和非质数的个数相同，故利用对称性可知事件包含的样本点个数为 ， 则，，，， 事件：，共种； 事件：；事件：；事件：； 事件：；事件为不可能事件； 则，，，， ，， 故，，，，，， 则事件独立、事件独立、事件独立、事件不独立、 事件不独立、事件不独立， 则在上述四个事件中任选两个事件，它们相互独立的概率为. 故选：C 51（多选）（24-25高一下·广东汕头·期末）如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A和B，其中，，，，下列结论正确的有（   ） A． B．事件A与B互斥 C． D．事件与B相互独立 【答案】ACD 【分析】根据计算，判断A的真假；计算，判断B的真假；根据。利用古典概型概率公式，求，判断C的真假；分别计算和，可判断D的真假. 【详解】∵，A对； ∵，∴，∴A与B不互斥，B错； ，C对； ∵， 又，， ∴ ∴事件与B相互独立D对． 故选：ACD 52．（多选）（25-26高一上·河南·期末）已知事件，且，则下列说法正确的是（    ） A．A与B是对立事件 B．若A与B相互独立，则 C．若A与B相互独立，则 D．若A与B相互独立，则P(A∪B)=0.76 【答案】CD 【分析】先根据对立事件的定义排除A选项，再利用相互独立事件的概率公式分别计算B、C、D选项的概率，从而判断正误. 【详解】对于选项A，对立事件需满足 且 ， 仅 不满足互斥条件，故A错误. 若 与 相互独立，则 . ，故B错误，C正确. ，故D正确. 故选：CD 【考点八】独立事件的乘法公式 53.（24-25高一下·甘肃天水·期末）某企业两台设备在一天内正常运行的概率分别为0.7，0.9，且它们是否正常运行相互独立，则一天内这两台设备至少有一台正常运行的概率为（    ） A．0.03 B．0.07 C．0.63 D．0.97 【答案】D 【分析】先根据独立事件的概率公式求出一天内这两台设备没有一台正常运行的概率，再根据对立事件的概率公式可求得结果. 【详解】这两台设备都没有正常运行的概率为， 则一天内这两台设备至少有一台正常运行的概率为. 故选：D. 54．（24-25高一下·福建福州·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中，2，3，4，5，6；“点数不大于4”，“点数大于4”，“点数为质数”，下列结论错误的是（    ） A．与互斥 B．和是对立事件 C．和相互独立 D．和相互独立 【答案】D 【分析】由互斥事件定义判断A，由对立事件定义判断B，由独立事件定义判断CD. 【详解】由题意， 对于A，，故A正确； 对于B，由题意，且，故B正确； 对于C，因为， 所以， 所以，故C正确； 对于D，因为， 所以， 所以，故D错误. 故选：D. 55.（多选）（24-25高一下·河南濮阳·期末）一个袋中装有若干大小、质地均相同的球，颜色有红、黄两种，且有部分球带标记，若从中随机摸出一个球，摸到红球的概率为，摸到带标记的球的概率为，且摸到红球与摸到带标记的球相互独立．现从袋中随机摸取一个球，设事件A为“摸到红球”，事件B为“摸到带标记的球”，则下列结论正确的是（   ） A．事件A与事件B互斥 B．摸到的球是红色但不带标记的概率为 C． D．若连续摸球两次（有放回），则两次摸到的球都是黄色且不带标记的概率为 【答案】BD 【分析】根据独立事件的乘法公式可知可排除A；由代入计算可确定B；由可排除C；对于D，先计算摸一次摸到的球是黄色且不带标记的概率，然后可求两次摸到的球都是黄色且不带标记的概率. 【详解】根据题意事件A与事件B独立，， 事件A与事件B不互斥，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； 摸一次摸到的球是黄色且不带标记事件为，， 所以两次摸到的球都是黄色且不带标记的概率，故D正确； 故选：BD. 56．（多选）（25-26高一上·辽宁丹东·期末）设事件满足，则下列命题正确的有（   ） A．若，则与相互独立 B．若与相互独立，则 C． D．若，则 【答案】ABC 【分析】由条件证明，结合独立事件的定义判断A；若与相互独立，由概率的加法公式求结论判断B；当时，有最小值，当与互斥时，有最大值，故C正确；若，所以；，所以，故D错误. 【详解】对于A，因为，所以， 由，得， 因为，所以， 所以与相互独立，故A正确； 对于B，若与相互独立，则，由概率的加法公式 ，故B正确； 对于C，当时，有最小值， 当与互斥时，有最大值； 所以，故C正确； 对于D，若，则，所以； 又因为， 根据德摩根定律有，又因为，所以，故 所以 所以，故D错误； 故选：ABC. 57.（24-25高一下·甘肃天水·期末）某种开关在电路中闭合的概率为，现将3只这种开关并联在某电路中，若该电路为不通电的概率为，则_____. 【答案】 【分析】直接根据相互独立的概率公式进行求解即可. 【详解】已知该电路不通电，根据电路的并联原理，说明三只开关均未闭合， 所以，解得：. 故答案为： 58．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）由甲、乙、丙、丁组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由其中一人猜一个成语，已知甲猜对乙未猜对的概率为，乙猜对丙未猜对的概率为，丙猜对丁未猜对的概率为，甲、丁都猜对的概率为，在每轮活动中，四人猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙、丙都猜对的概率是______. 【答案】 【分析】依据独立事件性质得到四个人猜对的概率，再得到乙、丙都猜对的概率. 【详解】设甲、乙、丙、丁猜对的概率依次为， 依据独立事件的性质，可得，解得， 所以，乙、丙都猜对的概率为， 故答案为：. 59.（24-25高一下·甘肃·期末）已知同一个样本空间下的两个事件A，B满足，，在以下情况下求： (1)A与B互斥； (2)A与B独立； (3)A包含于B. 【答案】(1)0.3 (2)0.6 (3)0.8 【分析】（1）利用互斥事件的概率加法公式计算即得； （2）利用独立事件的概率乘法公式结合随机事件的概率加法公式计算即可； （3）由条件可得，利用随机事件的概率加法公式计算即得. 【详解】（1）当A与B互斥时， ，故； （2）当A与B独立时，，因， 代值可得，解得； （3）当A包含于B时，，由可得. 60．（25-26高一上·河南南阳·期末）在某项体能测试中，甲、乙两人各自通过体能测试的概率分别是和，两人都通过体能测试的概率为，甲、乙两人是否通过体能测试相互独立. (1)求的值； (2)求恰有一人通过体能测试的概率； (3)求至少有一人通过体能测试的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用独立事件的概率公式可得出关于的等式，即可解出的值； （2）利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率； （3）方法一：利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率； 方法二：利用对立事件的概率公式和独立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】（1）记“甲通过体能测试”为事件，“乙通过体能测试”为事件，则，． 由题意可知：事件、相互独立． 两人都通过体能测试的概率为，解得：． （2）记“恰有一人通过体能测试”为事件． 所以， 所以恰有一人通过体能测试的概率为. （3）记“至少有一人通过体能测试”为事件． （方法一）； （方法二）． 所以至少有一人通过体能测试的概率为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末真题专项训练07 概率 【考点一】计算古典概型问题的概率 【考点五】互斥事件与对立事件关系的辨析 【考点二】判断所给事件是否是互斥关系 【考点六】利用对立事件的概率公式求概率 【考点三】互斥事件的概率加法公式 【考点七】独立事件的判断 【考点四】利用互斥事件的概率公式求概率 【考点八】独立事件的乘法公式 【考点一】计算古典概型问题的概率 1．（24-25高一下·云南昆明·期末）某地区公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行了调查．调查中使用了下面两个问题： 问题一：你的生日日期是不是奇数？ 问题二：你是否经常吸烟？ 调查者设计了一个随机化装置：一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，最后收集回来60个小石子，则可以估计出该地区经常吸烟的中学生所占的百分比约为（假设一年为365天，其中日期为奇数的天数为186天）（   ） A．9% B．14% C．16% D．32% 2．（24-25高一下·山东青岛·期末）若，则为整数的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·新疆喀什·期末）从字母a、b、c、d中任取两个不同的字母，则取到字母a的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河南平顶山·期末）现有4名男志愿者和2名女志愿者报名参加第21届文博会的服务工作，从这6名志愿者中随机抽取2人安排在文博会的A展区工作，则抽取的2名志愿者中有一男一女的概率为（   ） A． B． C． D． 5.（24-25高一下·陕西·期末）已知甲盒中有3个红球和2个黄球，乙盒中有2个红球和1个黄球．现从甲盒中随机抽取1个球放入乙盒中，搅拌均匀后，再从乙盒中随机抽取1个球，此球恰好为红球的概率是_____ 6．（24-25高一下·安徽滁州·期末）柜子中有两双不同的鞋，从中随机取出两只，则事件“取出的鞋不是同一双鞋”的概率为________. 7．（24-25高一上·山东威海·期末）某学校体育部有5名学生干部，其中高一2名，高二3名．从这5名学生中随机选2名组织校体育活动，则这2名学生来自不同年级的概率为______． 8.（25-26高一下·全国·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，设复数． (1)求事件“为实数”的概率； (2)求事件“”的概率． 【考点二】判断所给事件是否是互斥关系 9.某射手射击一次，命中的环数可能为0，1，2，…，10共11种，设事件A：“命中环数大于8”，事件B：“命中环数大于5”，事件C：“命中环数小于4”，事件D：“命中环数小于6”，在事件A、B、C、D中，互斥事件有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 10.从名男生和名女生中任选名学生参加座谈会，则下列事件互斥的是（    ） A．“恰好选中名男生”与“恰好选中名女生” B．“至少选中名男生”与“至少选中名女生” C．“选中名男生”与“选中名女生” D．“至多选中名男生”与“至多选中名女生” 11.（多选）（24-25高一下·湖南邵阳·期末）在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.1，0.2，0.3，0.4，则下列说法错误的是（    ） A．与C是互斥事件，也是对立事件 B．与D是互斥事件，也是对立事件 C．与是互斥事件，但不是对立事件 D．A与是互斥事件，也是对立事件 12.一枚质地均匀的骰子，拋掷三次，事件A为“三次抛掷的点数均为奇数”，事件B为“恰有一次点数为偶数”，事件C为“至少有两次点数是偶数”，则__________． 【考点三】互斥事件的概率加法公式 13.（24-25高一下·浙江宁波·期末）柜子里有3双不同的手套，现从中随机地取出2只．若表示事件“取出的手套是一只左手一只右手的，但不是一双手套”，表示事件“取出的手套都是右手的”，表示事件“取出的手套不成双”，则（   ） A． B． C． D． 14．（23-24高一下·重庆·期末）(改编)已知两个互斥事件A， B满足，，则 （    ） A．0.4 B．0.3 C．0.6 D．0.1 15．（23-24高一下·新疆巴州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 16.（23-24高一下·安徽阜阳·期末）一品牌机器保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种机器在使用一年内维修次数最多是3次，其中维修1次及以上占，维修2次占，维修3次占，某人购买了一台该机器，则一年内恰好维修1次的概率为______． 17.已知事件，，两两互斥，若，，，则_________． 18.如果事件A与事件B互斥，那么=_________. 19.某人射击一次命中7—10环的概率如下表 命中环数 7 8 9 10 命中概率 0.16 0.19 0.28 0.24 计算这名射手在一次射击中： (1)射中9环或10环的概率； (2)至少射中7环的概率； (3)射中环数不足8环的概率. 20.由经验得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如下表 排队人数 0 1 2 3 4 5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 (1)至多有2人排队的概率是多少? (2)至少有2人排队的概率是多少? 【考点四】利用互斥事件的概率公式求概率 21.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.52，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是（    ） A．0.2 B．0.28 C．0.52 D．0.8 22．人类通常有O，A，B，AB四种血型，某一血型的人可以给哪些血型的人输血，是有严格规定的．设X代表O，A，B，AB中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血者，则输血规则如下：①X→X；②O→X；③X→AB．已知我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，按照上述规则，若受血者为A型血，则一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为（       ） A．0.31 B．0.48 C．0.65 D．0.69 23.（多选）（23-24高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知事件两两互斥，若，则（    ） A． B． C． D． 24．（多选）设为两个互斥事件，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 25．（多选）甲、乙两人下棋，和棋的概率是，乙获胜的概率是，则下列的说法正确的是（    ） A．甲获胜的概率是 B．甲不输的概率是 C．乙不输的概率是 D．乙输的概率是 26.已知与为互斥事件，且，，则________． 27．（24-25高一上·辽宁·期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.现有一把初始状态的算盘如图所示，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（简称上珠）代表，下面一粒珠子（简称下珠）代表，五粒下珠表示的数的大小等于同组一粒上珠表示的数的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被整除”，“表示的四位数能被整除”，则__________. 28.（23-24高一下·四川攀枝花·期末）袋中有6个大小和质地相同的小球，分别为黑球、黄球、红球，从中任意取一个球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或红球的概率是. (1)从中任取一个球，得到黑球、黄球、红球的概率各是多少？ (2)从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？ 【考点五】互斥事件与对立事件关系的辨析 29.（24-25高一上·安徽淮北·期末）掷两枚骰子，设事件两骰子出现点数之和为奇数，两骰子出现点数之和为偶数，则（   ） A．事件和事件是互斥但不对立事件 B． C．事件和事件是对立事件 D．以上均不对 30．（24-25高一下·河南·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件“点数不大于4”，“点数大于3且小于6”，“点数是3的倍数”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，则（   ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 31．（23-24高一下·河北·期末）下列说法正确的是（    ） A．互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件 B．若，则事件A与事件B是对立事件 C．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为 D．事件A与事件B中至少有一个发生的概率不一定比A与B中恰有一个发生的概率大 32．（23-24高一下·河北邢台·期末）一个袋子里装有2个红球和2个黑球，甲、乙每人随机不放回地取1个球，则互斥且不对立的两个事件是（    ） A．“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球” B．“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球” C．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球” D．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球” 33.（多选）（25-26高一上·河北保定·期末）下列说法正确的有（   ） A．数据的分位数是23 B．抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上的点数为1或4”，事件“向上的点数是奇数”，则 C．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 D．数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为27 34．（多选）（23-24高一下·四川达州·期末）如图，一个电路中有四个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．记“电路是通路”，“电路是断路”，“至少三个元件正常”，“恰有三个元件正常”，则（    ） A．与互斥，但不对立 B．与互斥，但不对立 C． D． 35．（多选）（24-25高一下·安徽宣城·期末）先后抛掷质地均匀的硬币两次，下列说法正确的是（    ） A．样本空间中一共含有4个样本点 B．事件“两次正面向上”发生的概率是 C．事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”是互斥事件 D．事件“至少一次正面向上”与事件“两次反面向上”是对立事件【答案】ABD 36．（多选）（24-25高一下·山西运城·期末）已知、是随机事件，则下列结论不正确的是（    ） A．互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 B．事件与事件中至少有一个发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率大 C．事件与事件同时发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率小 D．若、是两个随机事件，且，，则 【考点六】利用对立事件的概率公式求概率 37.（24-25高一下·吉林长春·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6 38才能进入第二次射击，且这两次射击相互独立．第一次未命中得0分，仅第一次命中得10分，两次都命中可得20分，那么小王此次考核得分不低于10分的概率是（   ） A．0.16 B．0.64 C．0.8 D．0.96 39.（多选）（24-25高一下·河北·期末）已知事件两两互斥，若，则（    ） A． B． C． D． 40.（23-24高一下·山西大同·期末）有5张卡片，上面分别标有数字1，2，3，4，5，从中任取2张，则 (1)卡片上数字全是奇数的概率为________， (2)卡片上数字之积为偶数的概率为________. 41．（23-24高一下·广东潮州·期末）设A、B、C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，，，则______. 42．（23-24高一下·河南商丘·期末）已知事件A和B互斥，且，，则______. 43.（24-25高一下·云南昆明·期末）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局． (1)设事件A=“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； (2)若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率． 44．（23-24高一下·甘肃·期末）兰州机场停车场小型机动车收费标准为：30分钟内免费.停车时长在30分钟至1小时之间的，收费为5元/辆.超过1小时后，超出部分每小时收费5元，不足1小时按1小时计费24小时内最高收费50元.现有甲、乙二人在该机场临时停小型机动车，两人停车时间均大于半小时且不超过4小时. (1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于10元的概率为.求甲停车付费恰为5元的概率； (2)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为25元的概率. 【考点七】独立事件的判断 45.（24-25高一下·山东青岛·期末）已知事件A，B，C满足：，，则下列结论正确的为（   ） A．若，则C与B相互对立 B．若，则 C．若事件A与B相互独立，则 D．若事件A与B相互独立，则 46.．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，A表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，B表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，C表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（    ） A．A与B为相互独立事件 B．A与C为互斥事件 C．B与C为相互独立事件 D．B与C为互斥事件 47．（24-25高一下·湖南永州·期末）一个袋子中有2个红球，4个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.记事件A：第一次取到红球，事件B：第二次取到绿球，事件C：两次取到同色球，事件D：两次取到异色球，则（    ） A．A与B互斥 B．A与C相互独立 C．C与D互为对立事件 D．B与D相等 48．（24-25高一下·河北保定·期末）抛掷质地均匀的骰子两次，记第1次和第2次出现的点数分别为，，设事件A=“”，事件B=“”，事件C=“”，则（    ） A．A与B互斥 B．A与B相互独立 C． D． 49．（24-25高一下·新疆·期末）已知甲、乙两袋中分别装有编号为1、2、3、4的四个球．从甲、乙两袋中各取出一个球，每个球被取出的可能性相同．事件A：从甲袋中取出的球的编号是偶数；事件B：从乙袋中取出的球的编号是奇数；事件C：取出的两个球的编号都是偶数或都是奇数．给出下列命题：①事件A与事件B为互斥事件；②事件B与事件A相互独立；③事件C与事件A相互独立．那么这三个命题中真命题的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 50．（23-24高一下·广东广州·期末）一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4，5，6的6个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球，设事件表示“第一次摸到球的标号是偶数”，事件表示“第二次摸到球的标号是质数”，事件表示“两次摸到球的标号之和是9”，事件表示“两次摸到球的标号之和是10”.在上述四个事件中任选两个事件，它们相互独立的概率为（    ） A． B． C． D． 51（多选）（24-25高一下·广东汕头·期末）如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A和B，其中，，，，下列结论正确的有（   ） A． B．事件A与B互斥 C． D．事件与B相互独立 52．（多选）（25-26高一上·河南·期末）已知事件，且，则下列说法正确的是（    ） A．A与B是对立事件 B．若A与B相互独立，则 C．若A与B相互独立，则 D．若A与B相互独立，则P(A∪B)=0.76 【考点八】独立事件的乘法公式 53.（24-25高一下·甘肃天水·期末）某企业两台设备在一天内正常运行的概率分别为0.7，0.9，且它们是否正常运行相互独立，则一天内这两台设备至少有一台正常运行的概率为（    ） A．0.03 B．0.07 C．0.63 D．0.97 54．（24-25高一下·福建福州·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中，2，3，4，5，6；“点数不大于4”，“点数大于4”，“点数为质数”，下列结论错误的是（    ） A．与互斥 B．和是对立事件 C．和相互独立 D．和相互独立 55.（多选）（24-25高一下·河南濮阳·期末）一个袋中装有若干大小、质地均相同的球，颜色有红、黄两种，且有部分球带标记，若从中随机摸出一个球，摸到红球的概率为，摸到带标记的球的概率为，且摸到红球与摸到带标记的球相互独立．现从袋中随机摸取一个球，设事件A为“摸到红球”，事件B为“摸到带标记的球”，则下列结论正确的是（   ） A．事件A与事件B互斥 B．摸到的球是红色但不带标记的概率为 C． D．若连续摸球两次（有放回），则两次摸到的球都是黄色且不带标记的概率为 56．（多选）（25-26高一上·辽宁丹东·期末）设事件满足，则下列命题正确的有（   ） A．若，则与相互独立 B．若与相互独立，则 C． D．若，则 57.（24-25高一下·甘肃天水·期末）某种开关在电路中闭合的概率为，现将3只这种开关并联在某电路中，若该电路为不通电的概率为，则_____. 58．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）由甲、乙、丙、丁组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由其中一人猜一个成语，已知甲猜对乙未猜对的概率为，乙猜对丙未猜对的概率为，丙猜对丁未猜对的概率为，甲、丁都猜对的概率为，在每轮活动中，四人猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙、丙都猜对的概率是______. 59.（24-25高一下·甘肃·期末）已知同一个样本空间下的两个事件A，B满足，，在以下情况下求： (1)A与B互斥； (2)A与B独立； (3)A包含于B. 60．（25-26高一上·河南南阳·期末）在某项体能测试中，甲、乙两人各自通过体能测试的概率分别是和，两人都通过体能测试的概率为，甲、乙两人是否通过体能测试相互独立. (1)求的值； (2)求恰有一人通过体能测试的概率； (3)求至少有一人通过体能测试的概率． 1 学科网（北京）股份有限公司 $